LABORATORIO DI CIRCUITI ELETTRICI
Nozioni generali e guida agli esperimenti
Rappresentazione grafica dei risultati sperimentali
Uno strumento molto utile per comunicare e leggere risultati sperimentali è la
rappresentazione grafica; tale rappresentazione si chiama “grafico”. Essa diviene quasi
indispensabile quando i risultati sono dipendenti da più di un parametro. Se il parametro
di dipendenza è uno, allora è sufficiente un sistema di due assi cartesiani per
rappresentare i dati; spesso si sceglie un sistema di assi ortogonali ed è noto che ogni
punto del piano è individuato da una coppia di numeri.
Gli assi cartesiani hanno una ben definita graduazione, cioè:
§ Il valore che identifica il punto di intersezione con l’altro asse: normalmente
questo valore lo si sceglie uguale a zero.
§ Il verso positivo
§ La scelta della scala. È da questa scelta che dipende la chiarezza della
rappresentazione e la possibilità di una lettura facile e rapida.
Nei grafici a coordinate cartesiane si possono avere due tipi di scale: le scale
aritmetiche e quelle funzionali. La scelta dipende dal tipo di funzione da rappresentare.
Tipi di scale funzionali sono le quadratiche, le logaritmiche ecc. Le scale funzionali, in
molti casi, hanno il vantaggio di trasformare i grafici curvilinei in grafici rettilinei di più
facile lettura.
Le scale aritmetiche sono quelle che hanno le graduazioni degli assi cartesiani
direttamente proporzionali ai valori da rappresentare. Per fare ciò è necessario
determinare l’unità grafica, cioè un segmento la cui lunghezza corrispondente all’unità
della grandezza da rappresentare o ad un suo multiplo, es. 1.2 cm sull’asse = 1 Kg, 1.2
cm sull’asse =10 kg, 3 cm sull’asse = 1 s, ecc.
Le unità grafiche devono essere scelte in modo tale che il grafico dia una
rappresentazione di tutti i risultati che si intendono rappresentare. Il grafico deve
visualizzare, oltre ai risultati anche i valori che quotano le scale, cioè del parametro che
rappresentano. Questi devono essere scelti opportunamente, e dipendono dal range dei
dati e dal loro andamento. Infatti, i risultati sperimentali del comportamento dei circuiti
elettrici a regime, in altre parole eccitati con funzioni sinusoidali la cui frequenza spazia
da un valore minimo ad un massimo, sono rappresentati utilizzando scale logaritmiche.
Iniziamo con esempi piuttosto semplici.
Se dobbiamo graficare una funzione:
y = 10 x + 100
si sceglie un sistema di assi ortogonali in cui la graduazione dell’asse delle x sarà
differente dalla graduazione dell’asse delle y in modo da visualizzare meglio i dati poiché
l’incremento di una unità del valore di x comporta un incremento di dieci unità del valore
di y. I valori numerici che si mettono sugli assi dipendono dal range dei valori che
devono essere rappresentati. Quindi, per il caso in esempio, se si sceglie il valore
dell’unità grafica dell’asse y minore di quella scelta sull’asse x, allora i dati sono
rappresentati in maniera conveniente. Ancora, nell’origine degli assi i parametri che si
stanno rappresentando non devono necessariamente assumere valore zero, ma opportuni
valori funzione dei dati che si vogliono rappresentare.
Supponiamo di dovere rappresentare con un grafico i seguenti valori sperimentali:
X
2
3
5
7
8
9
10
15
Y
120
130
150
170
180
190
200
250
2
4
6
8
10
12
14
300
250
200
150
100
50
0
0
Figura1. Asse x: 1cm ≡ 2, asse y 1cm ≡ 50. Unità grafica
16
l x = 1 / 2 cm l y = 1/ 50 cm
Possiamo notare che l’unità grafica dell’asse x è differente da quella dell’asse y.
Sull’asse x il valore unitario del parametro da rappresentare è contenuto in un segmento
di 0.5 cm, mentre sull’asse y il valore 50 del parametro che si vuole rappresentare è
contenuto in segmento di lunghezza 1 cm.
Ora costruiamo un nuovo grafico con gli stessi dati di sopra e con gli stessi valori
delle unità grafiche, ma con l’origine degli assi più conveniente; cioè facciamo
corrispondere l’intersezione degli assi con il punto (2, 100). In questo caso il grafico
risulta più dettagliato e quindi ancora più chiaro.
300
250
200
150
100
2
4
6
8
10
12
Figura 2. Asse x 1cm≡ 2, Asse y 1cm ≡ 50. Unità grafica
14
16
l x = 1 / 2 l y = 1/ 50
L’errore che si commette durante la lettura della posizione di un punto su di un foglio
è pari alla metà del più piccolo valore che si riesce a leggere sulla scala dello strumento
utilizzato per la misurazione. Poiché questo apprezzamento è in genere soggettivo, ma
credo che non possa essere inferiore a 0.5 mm se si usa un comune righello, gli errori,
sull’asse x ed y rispettivamente, corrispondenti alla coppia di valori (x, y) di un punto in
esame, risultano:
e x = ±0.25/ l x
e y = ± 0.25/ l y
con l x e l y
le unità grafiche rispettivamente dell’asse x e y espresse in millimetri per
unità del parametro che l’asse rappresenta. Per l’esempio di Fig. 2, l x è 10 mm su 2, cioè
5, mentre l y è 10 mm su 50, cioè 0.2.
Derivata grafica
Molto spesso ci troviamo a dover effettuare la derivata di una funzione di cui si
conosce solamente il grafico. Per determinare la derivata in un punto P del grafico, si
scelgono allora due punti P1=(x1 , y1 ) e P2 =(x2 , y2 ) molto vicini tra loro ed equidistanti dal
punto P e appartenenti al grafico.
La derivata è:
dy y − y
=
dx x − x
2
1
2
1
oppure
dy l ? L
=
dx l ? L
x
y
y
x
(1)
dove ? L x e ? L y sono le distanze tra i punti P2 , P1 misurate con un righello
rispettivamente lungo l’asse x ed y.
Qualche volta è più facile calcolare la derivata misurando l’angolo a, compreso tra la
retta congiungente i due punti P1 , P2 e l’asse delle x, con un goniometro. Infatti, la
derivata corrisponde alla tangente dell’angolo α moltiplicata per il rapporto delle unità
grafiche, cioè:
dy l
= tga
dx l
x
y
e
tga =
?L
.
?L
y
x
Figura 3. Derivata grafica di una generica funzione nel punto P, utilizzando i punti grafici
P1 e P2 .
Integrale grafico
A differenza della derivata, l’integrale in un punto non esiste, o meglio si può
determinare solamente l’integrale improprio analiticamente. Allora, l’integrale di una
curva rappresentata graficamente, di funzione y = f (x) sconosciuta o elementarmente
non integrabile, è uguale all’area sottesa dalla curva rispetto all’asse x. Per calcolare
l’area è necessario determinare gli estremi di integrazione, cioè il punto iniziale x0 e
quello finale xn sull’asse x e suddividere l’intervallo corrispondente, [x0 , xn ], in un
numero n di piccole parti ∆ xk −1, k = xk − xk −1 > 0 (generalmente uguali), ottenendo così
delle figure prossime a dei trapezi rettangoli, se si considera come lato obliquo il tratto di
curva delimitato dal trattino ∆ xk −1, k . L’integrale sarà la somma dell’area di tutti i trapezi.
Se x 0 < x1 < x 2 sono i punti scelti sull’asse x e y0 , y1 , y2 … i corrispondenti valori
dell’asse y, si ottiene che:
∫
xn
x0
f ( x) dx ≅
n
y1 + y0
y +y
( x1 − x0 ) + y2 + y1 ( x 2 − x1 ) + .. = ∑ k k −1 ( x k − xk −1 )
2
2
2
k =1
Se gli intervallini ∆ xk −1, k k = 1,..., n sono uguali tra loro, allora indicando con
∆x il loro valore, l’integrale può essere scritto nella forma più conveniente
∫
xn
x0
 y + y n n −1 
f ( x) dx ≅ ∆ x ⋅  0
+ ∑ yk 
k =1
 2

.
Figura 4. Integrale grafico, tra i punti x 0 e x 17 (n=17) con intervalli ∆x equidistanti , di una generica
funzione.
Grafici con scale funzionali
Quando si hanno funzioni la cui rappresentazione grafica è una linea retta è molto
facile determinare i principali parametri che la caratterizzano, mentre risulta difficoltoso
fare altrettanto per una curva non retta. Esempio: y = ax 2 . In questo caso per ottenere un
grafico rettilineo, una delle due scale non dovrebbe essere lineare. Scegliendo la scala
delle ascisse graduata in x2 , cioè con una graduazione tale che per ogni tratto di lunghezza
dell’asse x che indichiamo con Lx , il valore corrispondente è il quadrato di x. In questo
2
modo si ottiene un grafico rettilineo. Per la realizzazione si applica la relazione Lx = x l x
tra la posizione del punto sull’asse x ed il valore di x stesso, con l x fattore di
proporzionalità. Vedere Fig. 5.
Per una funzione del tipo y = x 3 è utile scegliere la scala delle ascisse graduata in x3
3
cioè L x = x l x . Vedere Fig. 6.
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
10
14,1
17,3
20
22,4
24,
5
26,5
28,3
30
Figura 5.Grafico con scala funzionale tipo x 2 della funzione y=ax2 , con a=0.5
30000
25000
20000
15000
10000
5000
0
17,1
21,5
24,7
27,1
29,2
31,1
Figura 6. Grafico con scala funzionale tipo x 3 della funzione y=x3
Graduazioni logaritmiche
Esse sono utili per rappresentare funzioni del tipo y = eαx e y = lg x e funzioni con
intervalli di definizioni molto grandi. Per la prima funzione si può scegliere la scala delle
ascisse graduata esponenzialmente mentre per la seconda logaritmicamente. Oppure si
può scegliere l’asse delle ordinate graduato logaritmicamente per la prima funzione ed
esponenzialmente per la seconda funzione.
Quando si decide di usare scale logaritmiche, si ha ad esempio per l’asse delle
ascisse, Lx = l x ln x , con lx unità grafica. Nonostante la funzione contenga un logaritmo
naturale, la graduazione della scala può essere eseguita anche utilizzando il logaritmo di
base 10 cioè Lx = l x log x . Scegliendo una lunghezza dell’asse x detta unità grafica
logaritmica, essa rappresenta un intervallo del parametro x di una decade, cioè 1 a 10, o
da 10 a 100, oppure da 200 a 2000 e così via.
Per la funzione y = eαx è utile scegliere la scala delle ascisse graduata
esponenzialmente come b x e Lx = b x l x . Il valore di x corrispondente alla distanza Lx è
lg b ( L x / l x ) = x .La base b è generalmente scelta uguale a 10.
8
7
y=ln(x)
6
5
4
y=log(x)
3
2
1
0
1
lx
10
100
1000
10000
Figura 7. Grafico con scala orizzontale logaritmica di base 10 e unità grafica lx
Tabella riassuntiva
Funzione
y = ax
Esempi di graduazione dell’asse x
Valore di x
Tipo graduazione
Lineare
Lx / l x = x
y = x2
y = x3
y= x
y = ax
y = a lg x
3
Valore di Lx
L x = xl x
Lx / lx = x
a quadrato
Lx = x 2 l x
L x / lx = x
a cubo
Lx = x 3 l x
a radice quadrata
Lx = l x x
Esponenziale
Lx = a x l x
Logaritmica
L x = l x lg x
(L
/ lx ) = x
2
x
log a (L x / l x ) = x
exp (L x / l x ) = x
Alcuni semplici accorgimenti per graficare i dati sperimentali
Quando si fanno dei grafici si usa solo la matita onde evitare l’impossibilità di
cancellare. Individuare bene i limiti inferiori e superiori e poi scegliere le scale più
opportune. Non è necessario scrivere il valore corrispondente ad ogni punto, ma
solamente alcuni valori corrispondenti ai punti più salienti del grafico e quando è
possibile elencare il valore dei dati.
Oggigiorno i grafici vengono realizzati mediante programmi al calcolatore già
sviluppati ma ciò non permette di sottovalutare le procedure per realizzare un grafico.
Nelle operazioni di fit dei dati sperimentali è molto semplice operare con comportamenti
lineari anziché curvilinei ed è per questo motivo che ci siamo preoccupati di sviluppare i
vari metodi che permettono a molte funzioni non lineari ad essere rappresentate con
grafici lineari. In questo caso per trovare la linea di tendenza si tracciano le due rette che
intersecano i segmenti relativi a tutti i punti sperimentali ottenendo così la massima e la
minima pendenza, e rispettivamente il minimo ed il massimo coefficiente angolare. Se i
dati sperimentali non permettono di ottenere una simile simulazione, allora può
significare che il fenomeno rappresentato dai dati sperimentali non è di tipo lineare
oppure che i dati sperimentali sono errati. Quindi volendo descrivere il comportamento
dei dati sperimentali con una relazione lineare del tipo
Y = mx + c
Il coefficiente angolare m sarà determinato dai coefficienti angolari estremi come
pure il termine noto c. I coefficienti estremi sono dati dalle due rette estreme di
adattamento:
Y = mmin x + cmax
e Y = mmax x + c min
Pertanto:
m=
c=
mmax + mmin mmax − mmin
±
2
2
cmax + c min cmax − c min
±
2
2