Geometria Lingotto.
LeLing3: Sistemi lineari non-omogenei.
Argomenti svolti:
¯
• Sistemi lineari non-omogenei.
• Il metodo di Gauss-Jordan per sistemi non-omogenei.
• Scrittura della soluzione generale.
• Soluzione generale = soluzioni del sistema omogeneo associato + soluzione particolare.
• Interpretazione geometrica delle soluzioni.
Esercizi consigliati: Geoling 3, Geoling 5.
¯
1
Definizione di sistema lineare non-omogeneo.
Un sistema di equazioni della forma:

a1 1 x 1 + a1 2 x 2 + · · · + a1 n x n = b 1




a2 1 x 1 + a2 2 x 2 + · · · + a2 n x n = b 2

a3 1 x 1 + a3 2 x 2 + · · · + a3 n x n = b 3
S=


.
.
.
................................



am 1 x 1 + am 2 x 2 + · · · + am n x n = b m
dove almeno uno dei bj e’ non nullo si chiama sistema d’equazioni lineari nonomogeneo con n incognite ed m equazioni.
 
0
 0 
 
 0 
 
Notare che la colonna nulla 0 =  ..  non e’ mai soluzione di un sistema non . 
 
 0 
0
omogeneo.
Esempio 1.1. Ecco due esempi:
A=
x−y =1
x+y =0
B=
3x1 − x2 + x4 = 3
x5 − x6 = −2
E’ facile ricordare il sistema tramite la matrice completa :
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1
Geometria
Geometria Lingotto.







···
···
···
..
.
a1 n
a2 n
a3 n
..
.
am 1 am 2 · · ·
am n
a1 1
a2 1
a3 1
..
.
a1 2
a2 2
a3 2
..
.
b1
b2
b3
..
.







bm
La matrice seguente A si chiama matrice dei coefficienti:


a1 1 a1 2 · · · a1 n
 a2 1 a2 2 · · · a2 n 


 a3 1 a3 2 · · · a3 n 


 ..
..
..
.. 
 .
.
.
. 
am 1 am 2 · · · am n


b1
 b2 




e la colonna B =  b3  si chiama colonna dei termini noti.
 .. 
 . 
bm
La notazione (A|B) si usa per denotare la matrice completa di un sistema nonomogeneo dove A e’ la matrice dei coefficienti e B la colonna dei termini noti.
Esempio 1.2. Ecco le due matrici complete corrispondenti agli esempi precedenti:
1 −1 1
3 −1 0 1 0 0 3
1 1 0
0 0 0 0 1 −1 −2
Notare il collegamento tra la incognita x1 e la prima colonna della matrice A, tra la
incognita x2 e la seconda colonna della matrice A, etc. Inoltre notare il collegamento
tra le equazioni del sistema S e le righe della matrice A.
Osservazione 1.3. Si deve fare molta attenzione nel passagio dal sistema alla ma3x + y = 0
trice per evitare errori gravi. Ad esempio la matrice del sistema
non e’
3y
+
x
=
2
3 1 0
.
3 1 2
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2
Geometria
1.1 Concetto di soluzione.
1.1
Geometria Lingotto.
Concetto di soluzione.
La differenza piu’ importante tra i sistemi omogenei e i sistemi non omogenei e quella
della esistenza di almeno una soluzione (la colonna nulla 0 non e’ mai soluzione di un
sistema non omogeneo per definizione!!). Cioe’ i sistemi non omogenei possono non
averne soluzioni. Ecco un esempio abbastanza semplice di sistema senza soluzioni:
I=
x=0
.
x=1
Si tratta dunque di un sistema di 1 equazione
con1 incognita chiaramente senza
1 0
soluzioni. Ecco la matrice di questo sistema:
1 1
Definizione 1.4. Un sistema lineare si chiama incompatibile se non ammette nessuna
soluzione. Altrimenti il sistema si chiama compatibile o risolubile.
Piu’ avanti si risolvera’ il problema di decidere quando un sistema e’ compatibile e
quando non lo e’.
Come per i sistemi omogenei durante questo corso per soluzione di un sistema S si
intende una colonna R = (ri ) tale che, se il numero ri si sostituisce all’incognita xi ,
tutte le equazioni di S sono soddisfatte. Dunque le soluzioni si scrivono come colonne.
1.2
Sistemi equivalenti e operazioni elementari.
Come con i sistemi omogenei due sistemi S e S 0 si dicono equivalenti se hanno le stesse
soluzioni.
Le operazioni elementari OPE1, OPE2 e OPE3 si possono usare per produrre dei
sistemi equivalenti iniziando da un sistema dato. Come nel caso omogeneo si lavora sulla
matrice del sistema.
Cosı́, usando le operazioni elementari possiamo cercare di ottenere un sistema facile
da risolvere o gia’ risolto in modo analogo al caso omogeneo.
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3
Geometria
1.3 Il metodo di Gauss-Jordan.
1.3
Geometria Lingotto.
Il metodo di Gauss-Jordan.
Il metodo di Gauss-Jordan si puo adattare per risolvere i sistemi non-omogenei. Semplicemente si opera sulla matrice completa come se si tratasse di un sistema omogeneo con
l’unica differenza di terminare la tappa di Gauss limitandosi alla matrice dei coefficienti
A.
1 −1 1
Esempio 1.5. Ecco come si risolve il sistema la cui matrice completa e’
.
1 1 0
Allora
R2 /2
1 −1 1
1 −1 1 R2 −R1 1 −1 1
=⇒
=⇒
1 1 0
0 2 −1
0 1 −1/2
Qui termina la tappa Gauss e inizia la tappa Jordan. Dunque
1 −1 1
1 0 1/2
R1 +R2
=⇒
0 1 −1/2
0 1 −1/2
Finitala tappa Jordan risulta x = 1/2 e y = −1/2, cioe’ la soluzione e’ la colonna
1/2
.
−1/2
Notare che la sbarra che separa la matrice dei coefficenti con la colonna dei termini
noti serve come indicatore per finire la tappa di Gauss.
Puo’ capitare che si abbia bisogno di risolvere un sistema per diversi termini noti. In
questo caso si possono aggiungere le colonne dei termini noti una dietro l’altra dopo la
sbarra e cosı́ risolvere contemporaneamente i sistemi. Ecco un esempio:
Esempio 1.6. I sistemi
3x1 − x2 + x4 + 3x5 = 1
x5 − x6 = −1
3x1 − x2 + x4 + 3x5 = 4
x5 − x6 = 7
hanno la stessa matrice dei coefficenti. Dunque
mente tramite la matrice:
3 −1 0 1 3 0 0 0 0 0 1 −1 1 −1/3 0 1/3 1 0 Facendo R1 /3 risulta
0
0
0 0 1 −1 Ingegneria dell’Autoveicolo, LeLing3
4
possiamo risolverli contemporanea-
1 4
−1 7
1/3 4/3
−1 7
Geometria
1.4 Soluzione generale = soluzioni dell’omogeneo + soluzione
Geometria
particolare
Lingotto.
Cosa che termina la tappa di Gauss. Facendo R1 − R2 si ottiene
1 −1/3 0 1/3 0 1 4/3 −17/3
0
0
0 0 1 −1 −1
7
cosa che termina la tappa di Jordan. Ecco i sistemi equivalenti ottenuti:
x1 − 1/3x2 + 1/3x4 + x6 = 4/3
x5 − x6 = −1
x1 − 1/3x2 + 1/3x4 + x6 = −17/3
x5 − x 6 = 7
Dunque tutte le soluzioni si trovano assegnandoa x2 , x3 , x4 , x6 qualsiasi
valore e

x4
x2
4
−
−
x
+
6
3
3
3


x
2




x
3
 per il primo
ricavando i valori di x1 , x5 tramite il sistema, cioe’ 


x4




x6 − 1
x6
 x2 x4

17
− 3 − x6 − 3
3


x2




x
3
 per il secondo.
sistema e 


x4




x6 + 7
x6
1.4
Soluzione generale = soluzioni dell’omogeneo + soluzione
particolare

Come abbiamo visto le soluzioni del sistema



3x1 − x2 + x4 + 3x5 = 1
sono 

x5 − x6 = −1


Questa colonna soluzione si puo’ scrivere come la somma di due colonne, cioe’
 x2 x4
  4 
− 3 − x6
3
3
  0 

x
2
 


  0 

x3


+

  0 
x
4


 

  −1 
x6
x6
0
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5
Geometria
x2
3
−
x4
3
− x6 +
x2
x3
x4
x6 − 1
x6
4
3




.



1.4 Soluzione generale = soluzioni dell’omogeneo + soluzione
Geometria
particolare
Lingotto.
dove la prima colonna coinvolge i parametri o incognite libere e invece la seconda
colonna non dipende delle incognite. Questa seconda colonna si chiama soluzione particolare.
Dato un sistema non-omogeneo S la cui matrice completa e’ (A|B) le si associa un
sistema omogeneo nel seguente modo: semplicemente si prende la matrice A dei coefficienti come la matrice di un sistema omogeneo.
Teorema 1.7. Sia S un sistema non omogenea e sia (A|B) la sua matrice completa.
Sia X0 una soluzione del sistema S . Allora tutte le soluzioni del sistema S si possono
esprimere come :
X0 + Y
dove Y e’ soluzione del sistema omogeneo associato.
Dunque se conosciamo in anticipo una soluzione di un sistema non omogeneo allora
per trovare tutte le soluzione basta risolvere il sistema omogeneo associato.


1
Esempio 1.8. La colonna  2  e’ soluzione del sistema non omogeneo
3
x+y+z =6
S=
2x − y − 3z = −9

  
1
x



2
y  con
Allora tutte le soluzioni di S si scriveno come:
+
3
z
x+y+z =0
2x − y − 3z = 0
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6
Geometria
1.5 Interpretazione geometrica.
1.5
Geometria Lingotto.
Interpretazione geometrica.
Una equazione lineare ax = b rappresenta il punto x =
b
a
della retta se a 6= 0.
3x = 3
Esempio 1.9. Il sistema
x = 1, cioe’ un punto della retta.
ha come soluzione
Di modo analogo una equazione lineare ax + by = c con
due incognite x, y rappresenta una retta del piano se almeno
a 6= 0 o b 6= 0.
Esempio 1.10. Il sistema 3x + 2y = 3 ha come soluzione
una retta del piano.
Dunque ciascuna equazione di un sistema con due incognite si puo’ interpretare geometricamente come una retta
del piano. Se queste rette si incontrano in un punto allora
il sistema e’ compatibile altrimenti il sistema e’ incompatibile.
y−x=1
e’
y + 2x = 4
x
y
La soluzione del sistema
1
, cioe’ il punto d’intersezione tra le due rette.
2
=
Ecco
la rappresentazione geometrica del sistema incompaty−x=1
ible
. Le due rette sono parallele, quindi non
y − x = −1
si incontrano mai.
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Geometria
1.5 Interpretazione geometrica.
Geometria Lingotto.
Invece una equazione come x + y + 3z = 0, con tre incognite, rappresenta un piano dello spazio.
Ecco il sistema incompatibile
z=1
, cioe’ senza soluzioni:
z = −1
Infine ecco la retta soluzione d’un sistema compatible, cioe’
come intersezione di due piani dello spazio:
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Geometria