Algebra lineare
Prof. A. De Sole
II Esonero
18 gennaio 2016
Nome e Cognome:
Numero di Matricola:
Esercizio
Punti totali
1
5
2
5
3
5
4
5
5
5
6
5
Totale
30
Giustificate le risposte!
1
Punteggio
Esercizio 1. Determinare, al variare del parametro reale a, il determinante della seguente matrice:


a 1 1 1
 1 1 1 1 

A=
 1 1 1 0 .
1 1 0 0
Soluzione:
Risposta:
det(A) =
2
Esercizio 2. Siano X e Y due matrici invertibili 4 × 4 tali che det(X) = 7 e det(Y ) = 10. Calcolare
det 2(Y X)T (XY )−1 .
Soluzione:
Risposta:
3
Esercizio 3. Sia X ∈ Rn un vettore colonna tale che X T · X = 1 (X T denota il vettore riga ottenuto
facendo la trasposta di X e · denota il prodotto righe per colonne). Sia U ⊂ Rn il sottospazio
o
n
U = Y ∈ Rn X T · Y = 0 .
Si inoltre A la seguente matrice n × n:
A = 1I − 2X · X T
(a) Dimostrare che A è una matrice simmetrica e che A2 = 1I.
(b) Dimostrare che X è autovettore di A e calcolarne l’autovalore λX corrispondente.
(c) Dimostrare che ogni elemento u ∈ U è autovettore di A e calcolarne l’autovalore λu corrispondente.
(d) Determinare tutti gli autovalori di A e le rispettive molteplicità algebriche e geometriche.
Soluzione:
Risposta:
(b) λX :
, (c) λu :
, (d) molteplicità alg. e geo.:
4
Esercizio 4. Si consideri la successione di numeri x0 , x1 , x2 , . . . definita da x0 = x1 = 1 e dalla formula
ricorsiva
xn+1 = 2xn + 3xn−1 .
(1)
xn+1
(a) Scrivere la ricorsione (1) in forma matriciale Xn+1 = AXn , dove Xn+1 =
, e A è una
xn
matrice 2 × 2.
(b) Diagonalizzare la matrice A, ovvero trovare una matrice invertibile P ed una matrice diagonale D
tali che A = P DP −1 .
(c) Calcolare tutte le potenze An della matrice A.
(d) Trovare una formula chiusa per xn , n ∈ N.
Risposta:
xn =
5
Esercizio 5. Determinare se le seguenti due matrici possono rappresentare lo stesso endomorfismo di V
in due basi differenti:




0 7 1
−3 5 5
A =  −1 4 1  , B =  −1 3 1  .
0 3 1
−3 3 5
Soluzione:
Risposta:
SI \ NO (cerchiare la risposta corretta).
6
Esercizio 6. Determinare la forma canonica di Jordan

3 1
 −1 1
A=
 1 1
0 0
Soluzione:
Risposta:
J=
7
J della seguente matrice:

0 0
0 0 

2 1 
0 2