Le animazioni si attivano una per volta, premendo il
tasto sinistro del mouse. Per tornare indietro,
premere sulla tastiera la lettera P.
In alternativa, si può ruotare avanti o indietro la
rotellina del mouse.
Per avanzare o retrocedere rapidamente, tenere
premuti i corrispondenti tasti con le frecce.
Il prof. Leonelli pone a disposizione degli
studenti le animazioni realizzate per le
lezioni di Matematica a Scienze
Biologiche.
Per motivi di spazio sul web, non è stato
possibile inserire anche i commenti audio.
Testo consigliato
Antonio Leonelli
MATEMATICA
PER LE SCIENZE
SPERIMENTALI
Editore JAPADRE
CAPITOLO VII
MASSIMI E MINIMI
DI UN
CAMPO SCALARE
f :R  R
il differenziale di f in un punto X
n
è la forma lineare L : R  R
che approssima al meglio Df (X)
Data la funzione
n
df ( XL) (h)  a1 h1  ...  a n h n
proiezione coordinata j-esima :
pj : R  R
n
p j ( X ) : x j
forma
lineare
Dp j ( X )(h)  p j ( X  h)  p j ( X )
 xj  hj  xj  hj
D
dx
x j (h)  h j
f : Rn
R
df
a11h1 
df ((X oo )(
) h)a1 dx
......
 a nadx
n hnn
f ( X o )
aj 
 xj
derivata parziale
rispetto ad xj
f : Rn
R
df ( X o )  a1 dx1  ...  a n dx n
f ( x o )
derivata parziale
aj 
rispetto ad xj
 xj
f ( X o )
f ( X o )
df ( X o ) 
dx1  ... 
dxn
o  x1
o  xn
df ( X )  f ( X )  dX
 f ( X o )
f ( X o )
f ( X o ) : 
, ... ,
x n
 x1
GRADIENTE di f in Xo



df(Xo)
Xo
f(Xo)
f(X ) := potenziale elettrico in X
f :R  R
n
campo scalare
df ( X o ) : R  R
n
M df ( X ) 
 f ( X o )

 x1
trasformazione lineare
f ( X o )

x 2
f ( X o ) 

x n 
n
R
n
R
M(
f
df(Xo)
campo vettoriale
m
R
m
R
f  ( f1 , f 2 , ..., f m )
matrice Jacobiana
di f in Xo
trasformazione lineare
 f ( X ) 



f
(
X
)

f
(
X )
o

x
 . . . . . . .... ... .

 f ( X )
 f ( X o x) 
  f1 ( X o )

1

x
1

 f (X )
df(X
Jf(Xoo)) ) ==  2 o2
  x1
 .....
 f (X )
 m o
  x1 m
 f1 ( X o )
o x
2
2
o
.....
.....
2
m
o
2
.....
.....
 f1 ( X o ) 

 xn

 f2 ( X o ) 

 xn

..... 
 fm ( X o ) 

 xn 
f
R
R
df(to)
campo vettoriale
m
R
m
R
f  ( f1 , f 2 , ..., f m )
trasformazione lineare
 f1 ' ( t o ) 


 f2 ' (t o ) 
M( df(to) ) = 




 fm ' (t o ) 
n=1
to
f :R R
3
f(R)
f (to)
f :R R
ttoo+ h
3
f(R)
f (to+ h)
Df (h )
f (to)
f :R R
ttoo+ h
3
f(R)
f (to+ h)
Df (h )
f (to)
to+ h
f :R R
3
f(R)
f (to+ h)
Df (h )
f (to)
to+ h
f :R R
3
f(R)
f (to+ h)
Df (h )
f (to)
to+ h
f :R R
3
f(R)
f (to+ h)
Df (h )
h
f (to)
to+ h
f :R R
3
f(R)
Df (h )
h
f (to+ h)
f (to)
to+ h
f :R R
3
f(R)
Df (h )
h
f (to+ h)
f (to)
to+ h
f :R R
3
f(R)
Df (h )
lim
h 0
h
f (to)
to+ h
f :R R
3
f ( t )  x ( t ) , y( t ) , z ( t ) 
f ' ( t )  x ' ( t ) , y ' ( t ) , z ' ( t ) 
f(R)
f ' (t o )
velocità
istantanea
f (to)
' ( t)
f ( X )
 ' (t ) cos
(Xt )
f (X )
D(f  )( t )   f (X(t ) )   ' (t )
d(f  )( t ) f ( X ) d1 ( t )
f ( X ) d n (t )




dt
x1
dt
x n
dt
regola della catena
R
n
R
f
R
f
2
R
R
campo scalare
Q
f(a1 , a2)
a1
a2
P
A
B
PUNTI DI SELLA
y
O
x
Xo
massimo

punto0 di  minimo
 sella


f ( Xo )  0
punto stazionario
0
f ( X o )  0
Xo+ h
f ( X o  h )
Xo
f ( X o )  0
Xo+ h
f ( X o  h )
Xo
f ( X o )  0
f ( X o  h )
Xo+ h
Xo
autovettore
di L
autovalore
di L
df(XfL
(ofX
o )hh
D
fh()h
X
((hhoX)o)h()
f ( X o )  0
f( Xv
o h )
1 1
1  0 ,  2  0  X o punto di minimo
h
2v2
Xo
autovettore
di L
autovalore
di L
L(h)   h
f ( X o )  0
1  0 ,  2  0  X o punto di massimo
2v2
autovettore
di L
1v1
Xo
autovalore
di L
L(h)   h
f ( X o )  0
1 e  2 discordi  X o punto di sella
2v2
1v1
Xo
autovettore
di L
autovalore
di L
L(h)   h
L(x)   x
Ax  x
Ax  x  0
A  x   In  x  0
A   I n   x  0
 è autovalore di L se e solo se:
Det A   I n   0
Det A   In   0

a
 11
A :  a 21
 .....

 a n1
A  In
a12
a 22
.....
an2

... a1n 

... a 2 n 
..... .....

... a nn 


a  

a12
... a1n
11


  a 21
a 22  
... a 2 n 
 ..... caratteristico
polinomio
di
.....
.....A..... 


an2
... a nn   
 a n1
Det A   In   p A ()
L

d


f

(
X
)
o
Teorema di Schwarz
nin X
f
o

f
:
R

R
f funzione continua Hf (Xo)
matrice Hessianan di




f

f

f
simmetrica
con derivate
prime
f

,
,
.
.
.
,


2
classe continue
C
 xn 
edi seconde
 x1  x 2




 f (X )
 f (X )
 f (X )
...

JHf
 f(X
( Xo o))   x x
 x x
x
. . . . . . . . 
  f ( X )  f ( X ) . . .  f ( X ) 
 x x
x x
x


 2f ( X o )
2
 x1
2
 2f ( X o )
 2f ( X o )
...
 x1 x 2
 x1 x n
2
2
o
2
o
2
1
2
o
2
2
2
2
o
n
n
o
1
n
2
o
2
n
• trovare i punti stazionari
f ( X )  0
Xo
• calcolare la matrice Hessiana


  xf ( Xx )

  f ( X )
  x x
 2f ( X o )
2
 x1
2
o
2
1
2
o
n
1


 f (X )

 x x

 f (X ) 

x

 2f ( X o )
 2f ( X o )
...
 x1 x 2
 x1 x n
 2f ( X o )
...
2
 x2
 2f ( X o )
...
x n x 2
H f ( Xo )
2
o
2
n
2
o
2
n
• risolvere l’equazione caratteristica
Det Hf ( X o )   I n   0
• controllare i segni delle soluzioni (autovalori)
Esercizi a Pag. 350