Filtri adattativi
FILTRI ADATTATIVI
Progetto di filtri
FA-1
Sintesi della funzione di trasferimento
del filtro
Adattamento
Un filtro adattativo e’ simile ad una rete neurale lineare
MA
I parametri del filtro sono continuamente cambiati secondo un criterio
predefinito (di ottimizzazione), senza un esplicito controllo
dell’utilizzatore
(MEMORIA A BREVE TERMINE)
La rete neurale non si addestra più dopo il training
(MEMORIA A LUNGO TERMINE)
COMBINATORE LINEARE ADATTATIVO
x(n)
D 1
y (n)   wi x (n  i )
FA-2
z-1
w0
w1
y(n)
z-1 w2 S
i 0
Criterio di progetto (sintesi)
z-1
wi = ?
wD-1
Linea di ritardo
Risposta desiderata d(n) (filtro adattativo)
x(n)
H(z)
y(n)
+
d(n)
-
(n)
CRITERIO
Regressore
lineare
(senza bias) dalla serie
in ingresso alla serie
desiderata, di ordine D.
FA-3
FILTRO OTTIMO
x(n)
w?
y(n)
+
d(n)
-
(n)
1
MSE= J =
<2(n)
2
>
funzione costo
(n)=d(n)-y(n)
J
0
wk
k = 0,..., D - 1
F
G
H
IJ
K
J
 1
1

2

  ( n)   
d ( n)  y ( n)
wk wk 2
2 wk
b
g
F
I
y (n)
b
d ( n)  y ( n) g
 G
d (n)   w x (n  i )Jx (n  k ) 
H
K
w
D 1
i
k
i 0
2
R
U
  d ( n)  x ( n  k )    S
 w x(n  i ) x(n  k )V
T
W
FA-4
D 1
i
i 0
D 1
 p(n, n  k )   wi R(n  i , n  k )
i 0
Equazioni di Wiener-Hopf
con
R(n  i , n  k )  x (n  i ) x (n  k ) 
Funzione di autocorrelazione
nel tempo
p(n, n  k )  d (n) x (n  k ) 
Funzione di cross-correlazione
nel tempo
J
0 
wk
D-1
 R(n -i, n  k )  p(n, n  k )
FA-5
i =0
Con notazione vettoriale:
J
 0  Rw  p

w


Con:
L
x ( n)
x (n) x (n  1)
..
x (n) x (n  D  1) O
M
P
x
(
n

1
)
x
(
n
)
x
(
n

1
)
x
(
n

1
)
..
x
(
n

1
)
x
(
n

D

1
)
M
P
 M .

P
.
.
.
M
P
.
.
.
.
M
P
M
Nx(n  D  1) x(n) x(n  D  1) x(n  2) . x(n  D  1) P
Q
2
R  x  x
T
2
p  d (n) x (n)  [d (n) x (n) ... d (n) x (n  D  1)]T 
IL PRINCIPIO DI ORTOGONALITÀ
1
J  <  2 (n) >
2
J
0
wk
D -1
y (n) =  wi x (n  i )
 ( n) = d ( n) - y ( n)
i =0
 <  (n) x (n - k ) >= 0
FA-6
k  0,..., D  1
Errore ortogonale all’ingresso
D -1
<  (n) y (n) >=<  (n)  wk x (n  k ) >=
i =0
D -1
=  wk   (n) x (n  k ) >= 0
i =0
Errore ortogonale all’uscita
LA SOLUZIONE DI WIENER
FA-7
d(n)
e(n)
<  (n) x (n - k ) >= 0
<  (n) y(n) >= 0
x(n-D+1)
w
x(n)
L’uscita del filtro è la proiezione del segnale desiderato
nello spazio degli ingressi
La soluzione di Wiener per la minimizzazione di J è analitica
e richiede l’inversione della matrice di correlazione (alto costo
computazionale)
w = R-1p
LA SOLUZIONE ITERATIVA
FA-8
J
1
<  2 (n) >
2
 ( n) = d ( n) - y ( n) = d ( n) - w T  x
Minimizzare il funzionale J 
Es: D=2
1
1 T
T
T
< d 2 (n) > + w < x x  w  w < xd (n) 
2
2
w(1)
1
1 T
T
2
  d (n) + w Rw  w p
2 n
2
J
Forma quadratica
w = wottimo
2-D
Jmin
w(2)
wottimo
Paraboloide
J = Jminimo
n indice iterazione
wn+1= wn- pn
 taglia dello step
pn direzione della ricerca
LMS
FA-9
1    2 ( n) 
p n  J n 
 wn 1  wn  J n
2
 wn
J
1    2 ( n) 
J n 

 wn 2
 wn
R
Rn; g
gn
Alto costo computazionale
Stima di Widrow e Stearns (Least Mean Square - LMS)
2


J
1


( n)

J n 

 wn 2  wn
Aggiornamento iterativo derivato dal
considerare il solo valore istantaneo
dell’errore
FA-10
2


J
1


( n) 1
 (n)
( d ( n )  w n  x n )

Jn 

 2 (n)
  ( n)

 wn 2  wn
2
 wn
 wn
T
  (n) x(n)
w(n  1)  w(n)   (n) x(n)
•Non richiede l’inversione di matrici
•Non richiede il calcolo di R e p
IL FILTRO DI WIENER COME APPROSSIMATORE DI
FUNZIONI
FA-11
•x(n)
•d(n)=f(x(n)) Il filtro deve trovare un’approssimazione lineare di f(.)
•Dati temporali
approssimazione nello spazio del segnale
Il combinatore lineare effettua una
regressione
nello spazio del segnale
•Le basi dello spazio del segnale sono l’ingresso e i campioni ritardati
PROPRIETA’ DELLA SOLUZIONE ITERATIVA
 max 

2
 max
 max
Taglia dello
step
Massimo
 max 
2
 min

 min
autovalore di R
Nella pratica:

0
1  tr ( R)
 0  0.01  01
.
N
(Potenza del
tr ( R)   x 2 (n  i ) segnale ai
i 0
taps)
R definisce la proprietà dell’algoritmo di learning
FA-12
Costante di
tempo
Minimo
autovalore di R
APPLICAZIONI
FA-13