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Analisi Numerica I
Docente: M.Gaviano; domande di ripasso_2 a.a. 07/08
Sistemi lineari
1. Cosa significa risolvere un sistema lineare.
2. Quali sono le condizioni per l’esistenza e l’unicità della soluzione di un sistema
lineare.
3. Cosa è l’inversa di una matrice A n×n.
4. Fai vedere che se si ha un metodo per risolvere un sistema lineare Ax=b, si riesce a
trovare l’inversa di A.
5. Quale caratteristica hanno i metodi diretti per la risoluzione di in sistema lineare.
6. Quale caratteristica hanno i metodi iterativi che risolvono un sistema lineare.
7. Cosa è lo scaling di un matrice A n×n.
8. Scrivi la definizione di sistema triangolare superiore ed inferiore.
9. Scrivi l’algoritmo che risolve il sistema triangolare inferiore Lx=b con L matrice
triangolare inferiore.
10. Scrivi l’algoritmo che risolve il sistema triangolare superiore Ux=b con U matrice
triangolare superiore.
11. Quale è la complessità computazionale dell’algoritmo che risolve un sistema
triangolare inferiore.
12. Calcola esattamente il numero di moltiplicazioni eseguite dall’algoritmo che risolve
un sistema triangolare inferiore.
13. Quando si può applicare l’algoritmo di Gauss senza scambio di righe.
14. Scrivi l’algoritmo di Gauss senza scambio di righe.
15. Sotto quale condizione si può applicare il metodo di Gauss con scambio di righe.
16. Quale è la complessità computazionale dell’algoritmo di Gauss.
17. In che cosa consiste la strategia del pivot.
18. Che vantaggi produce la strategia del pivot.
19. Cosa sono il pivoting parziale ed il pivoting totale.
20. Scrivi l’algoritmo di Gauss con scambio di righe e pivoting parziale.
21. Cosa è la decomposizione LU di una matrice A n×n.
22. In quale modo il metodo di Gauss senza scambio righe, permette di ottenere la
decomposizione LU di una matrice.
23. Nel caso si utilizzi Gauss con scambio di righe, quale fattorizzazione di A si ottiene.
24. Che cosa è una matrice di permutazione.
25. Mostrare che la matrice non singolare
0 1 
A=

1 0 
non ha una decomposizione A=LU
26. Cosa significa che una matrice A n×n ha decomposizione A=LDMT.
27. Come ottieni con Gauss una decomposizione A=LDMT .
28. Se di una matrice A si ha la decomposizione A=LU come risolvi il sistema lineare
Ax=b.
29. Scrivi l’algoritmo di Doolitle per trovare la fattorizzazione A=LU.
30. Nel caso di A, matrice simmetrica come si riscrive la fattorizzazione A= LDMT.
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31. Quando un matrice A si dice definita positiva.
32. Scrivi l’algoritmo di Cholesky per la decomposizione di una matrice A=RRT.
33. Dovendo risolvere un sistema lineare Ax=b con A simmetria definita positiva come
procedi.
34. Supponi di risolvere il sistema lineare Ax=b con A simmetria definita positiva
utilizzando l’algoritmo di Cholesky e di ottenere x^ . Di quale sistema lineare puoi
considerare x^ soluzione esatta. Che proprietà ha quest’ultimo sistema.
35. Cosa è una matrice a banda.
36. Dai una matrice 6×6 a banda superiore 2 ed inferiore 3.
37. Supponi che per la matrice A di ordine n valga A=LU e che A sia a banda superiore q
e inferiore p. Quali proprietà hanno la L e la U.
38. Scrivi l’algoritmo che risolve il sistema triangolare inferiore Lx=b con L matrice
triangolare inferiore e a banda inferiore 4. Supponi n>4.
39. Quando una matrice si dice sparsa.
40. Cosa è il numero di condizionamento di una matrice.
41. Perché è importante conoscere il numero di condizionamento di una matrice.
42. Quanto vale il numero di condizionamento della matrice identità.
43. La matrice A abbia numero di condizionamento µ=6. Quale è il numero di
condizionamento della matrice 5*A. Giustifica la risposta.
44. Dai le proprietà che conosci del numero di condizionamento di una matrice.
45. Che relazione esiste tra il numero di condizionamento di una matrice ed il suo
determinante.
46. Supponi che per una matrice A il metodo di Gauss con pivoting parziale dia le matrici
_
_
L e U come fattorizzazione di A. Cosa si può dire sull’errore commesso.
47. Quale è la matrice meglio condizionata.
48. Come operano i metodi iterativi per la risoluzione di un sistema lineare.
49. Quale è lo schema iterativo del metodo di Jacobi per la risoluzione di un sistema
lineare.
50. Quale è lo schema iterativo del metodo di Gauss-Seidel per la risoluzione di un
sistema lineare.
51. Quando un metodo iterativo per la risoluzione di un sistema lineare basato sullo
schema
Mx ( k +1) = Nx ( k ) + b
è convergente.
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Approssimazione di funzioni
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In che cosa consiste l’approssimazione di una funzione.
Dai la formulazione del problema dell’approssimazione mediante interpolazione.
Quando si parla di interpolazione lineare.
Dai due esempi di problemi di interpolazione.
In che cosa consiste l’approssimazione mediante polinomi.
Dimostra che il problema dell’interpolazione polinomiale ammette soluzione e questa
è unica.
7. Scrivi l’espressione dei polinomi interpolanti mediante la rappresentazione di
Lagrange.
8. In che cosa consiste l’interpolazione di Hermite.
9. Dai la forma generale dell’interpolazione lineare.
10. Quali sono le condizioni sotto le quali il problema generale dell’interpolazione
ammette soluzione e questa è unica.
11. Scrivi l’algoritmo di Neville per la valutazione di un polinomio interpolante in un
punto xs.
12. Su quale relazione si basa l’algoritmo di Neville.
13. Cosa stabilisce il teorema di Weierstrass sull’approssimazione di una funzione
mediante un polinomio.
14. Cosa è una matrice di interpolazione.
15. Cosa dice il teorema di Faber sui polinomi interpolanti.
16. Se f(x) è una funzione continua in un intervallo [a,b] puoi scegliere la matrice di
interpolazione in modo che la successione dei polinomi interpolanti converga
uniformemente a f(x).
17. Dai l’espressione dell’errore dei polinomi interpolanti.
18. In quali condizioni si può dare l’espressione dell’errore dei polinomi interpolanti.
19. Supponi di dover necessariamente approssimare una funzione mediante polinomi
interpolanti di grado crescente. Potendo scegliere la matrice di interpolazione, come
la sceglieresti per avere la convergenza uniforme.
20. Come si definisce la funzione di Runge e che caratteristiche ha.
21. In che cosa consiste l’approssimazione mediante funzioni spline.
22. Dai la definizione di funzione spline.
23. Cosa sono le funzioni spline interpolanti.
24. Cosa sono le splines continue e lineari a tratti.
25. Dai la formulazione del problema della migliore approssimazione.
26. Dai un esempio di problema di migliore approssimazione.
27. In che cosa consiste la migliore approssimazione nel senso dei minimi quadrati nel
continuo.
28. In che cosa consiste la migliore approssimazione nel senso dei minimi quadrati nel
discreto.
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