Tema B
Unità
4
Esercizi
In più: esercizi interattivi
SINTESI E RIEPILOGO
Parole chiave
Ascissa
p. 173
Ordinata
p. 173
Asse delle ascisse
p. 173
Ordinata all’origine
p. 180
Asse delle ordinate
p. 173
Origine
p. 173
Asse x
p. 173
Pendenza (di una retta)
p. 180
Asse y
p. 173
Piano cartesiano
p. 173
Coefficiente angolare
p. 180
Punto medio di un segmento
p. 178
Coordinata
p. 173
Quadrante
p. 174
Distanza tra due punti
p. 175
Rette parallele
p. 187
Forma esplicita (dell’equazione di una retta)
p. 186
Rette perpendicolari
p. 189
Forma implicita (dell’equazione di una retta)
p. 186
Sistema di riferimento dimetrico
p. 173
Funzione lineare
p. 179
Sistema di riferimento monometrico
p. 173
Funzione lineare a tratti
p. 181
Termine noto
p. 180
Formule e proprietà importanti
Distanza tra i due punti Aðx1 , y1 Þ e Bðx2 , y2 Þ
Punto medio tra i due punti Aðx1 , y1 Þ e Bðx2 , y2 Þ
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
AB ¼ ðx2 x1 Þ2 þ ðy2 y1 Þ2
M
Equazioni delle rette parallele agli assi cartesiani
x þx
y1 þ y2 1
2
,
2
2
Equazione della retta in forma esplicita
y
y
Retta parallela
all’asse y
y = mx + q
y = mx
x=h
Retta passante
per l’origine
x
O
O
y=k
Retta parallela
all’asse x
Equazione di una generica retta nel piano cartesiano
ax þ by þ c ¼ 0, con a 6¼ 0 o b 6¼ 0
x
Generica retta
non parallela
all’asse y
Condizione di parallelismo per due rette di equazioni
y ¼ mx þ q e y ¼ m 0 x þ q 0
m ¼ m0
Coefficiente angolare della retta passante per Aðx1 , y1 Þ
e Bðx2 , y2 Þ
m¼
y2 y1
, con x1 6¼ x2
x2 x1
Condizione di perpendicolarità per due rette di equazioni y ¼ mx þ q e y ¼ m 0 x þ q 0
m m0 ¼ 1
Retta passante per un punto Pðx0 , y0 Þ e di coefficiente
angolare m
y y0 ¼ mðx x0 Þ
204
TEORIA a p. 173
Rappresenta nel piano cartesiano i seguenti punti:
3
1
Að2, 1Þ; B 2, ; Cð2, 3Þ; D
,2
2
2
2
Þ
3
Þ
Individua le coordinate dei punti indicati.
C
B
D
H
E
Punto
Simmetrico
rispetto
all’asse x
Simmetrico
rispetto
all’asse y
Simmetrico
rispetto
all’origine
ð2, 3Þ
ð2; 3Þ
ð2, 3Þ
ð2, 3Þ
Per quale valore di k il punto Pð2k 6, k 5Þ appartiene all’asse x? Per quale appartiene all’asse y?
8
Þ
9
Þ
ESERCIZIO SVOLTO
Affinché il punto P appartenga al quarto quadrante l’ascissa di P deve essere positiva e l’ordinata deve essere negativa, quindi k deve soddisfare il sistema:
k3>0
k5<0
x
O
Completa la tabella.
Determiniamo per quali valori di k il punto
Pðk 3, k 5Þ appartiene al quarto quadrante.
A
y
7
Þ
Rette nel piano cartesiano
Vero o falso?
a. se l’ascissa e l’ordinata di un punto sono
uguali, il punto appartiene al primo quadrante V F
b. se P è un punto del secondo quadrante, il
suo simmetrico rispetto all’asse x appartiene al
V F
terzo quadrante
c. se Pðx, yÞ è tale che xy > 0, allora P
appartiene al primo o al terzo quadrante
V F
d. il simmetrico di Pð0, 3Þ rispetto all’origine è
V F
P 0 ð3, 0Þ
[2 affermazioni vere e 2 false]
1
Þ
Unità 4
1. Richiami sul piano cartesiano
G
F
Risolvendo questo sistema si trova che deve essere:
4 Completa la seguente tabella, ponendo una crocetta
Þ
sulla casella corrispondente al quadrante al quale il punto
appartiene.
Punto
Quadrante
ð2, 3Þ
I
II
III
IV
ð10, 100Þ
I
II
III
IV
ð10, 10Þ
pﬃﬃﬃ
ð 3 1, 1Þ
pﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃ
ð 2 3, 1Þ
I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III
IV
3<k<5
10 Determina per quali valori di k il punto
Þ
Pðk 3, 4 kÞ appartiene al secondo quadrante.
[k < 3]
11 Determina per quali valori di k il punto
Þ
Pð2k þ 4, 3 2kÞ appartiene al primo quadrante.
3
2 < k <
2
Determina per quali valori di k il punto
1
k 1, 10 2k appartiene al terzo quadrante.
P
2
[Per nessun valore reale di k]
12
Þ
5
Þ
Rappresenta nel piano cartesiano il quadrato ABCD
che ha due vertici in Að2, 1Þ e Bð2, 1Þ e il centro in
Pð0, 3Þ.
13 Determina per quali valori di k il punto
Þ
Pð3 k, k2 þ k 2Þ appartiene al secondo quadrante.
[k > 3]
Rappresenta nel piano cartesiano il rombo ABCD
che ha due vertici in Að2, 2Þ e Bð0, 6Þ e il centro in
Pð0, 2Þ.
14 Determina per quali valori di k il punto
Þ
Pðk2 1, k þ 3Þ appartiene al quarto quadrante. [k < 3]
6
Þ
2. Distanza tra due punti
TEORIA a p. 175
Distanza tra due punti
Spiega quale formula utilizzeresti, fra le seguenti, per calcolare la distanza fra A(1, 5) e B(1, 11), motivando la risposta (potrebbe essere corretta più di una formula):
15
Þ
A
jyA yB j
B
jyB yA j
C
yA yB
D
yB yA
205
Sistemi lineari e retta
Tema B
Spiega quale formula utilizzeresti, fra le seguenti,
per calcolare la distanza tra A(5, 3) e B(1, 3), motivando
la risposta (potrebbe essere corretta più di una formula).
16
Þ
A
B
17
Þ
jxA xB j
jxB xA j
C
D
xA xB
xB xA
32
Þ
Determina la misura del perimetro e l’area del triangolo ABC di vertici Að1, 3Þ, Bð2, 3Þ e Cð5, 1Þ.
a. Utilizzando la formula per calcolare la distanza tra due
punti nel piano cartesiano, puoi ricavare che:
Vero o falso?
a. la distanza tra due punti nel piano
cartesiano è positiva o negativa a seconda del
V F
quadrante in cui si trovano i punti
b. comunque scelti tre punti distinti A, B e C,
risulta sempre AB < AC þ BC
V F
c. la distanza fra A(6, 10) e B(4, 10) è data dalla
formula xB xA
V F
d. la distanza del punto Pðx, yÞ dall’origine è
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
data dalla formula x2 þ y2
V F
e. la distanza del punto Pðx, yÞ dal suo
simmetrico rispetto all’origine è data dalla
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
formula 2 x2 þ y2
V F
[2 affermazioni vere e 3 false]
AB ¼ :::::,
BC ¼ :::::,
AC ¼ :::::
Quindi il perimetro del triangolo ABC misura ...........................
b. Per il calcolo dell’area, osserva la figura qui sotto.
y
A
R
C
x
O
H B
Determina la distanza tra A e B.
18
Þ
19
Þ
20
Þ
21
Þ
22
Þ
23
Þ
24
Þ
25
Þ
26
Þ
ESERCIZIO GUIDATO
pﬃﬃﬃ
[2 5]
Að1, 2Þ,
Bð3, 4Þ
Að1, 0Þ,
Bð4, 0Þ
[3]
Að1, 8Þ,
Bð1, 3Þ
Að2, 1Þ,
Bð1, 2Þ
[5]
pﬃﬃﬃ
[3 2]
Að3, 2Þ,
Bð1, 2Þ
Að2, 1Þ,
pﬃﬃﬃ
Að1 3, 4Þ,
pﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃ
Að 5, 3Þ,
Bð4, 5Þ
pﬃﬃﬃ
Bð1 þ 3, 6Þ
pﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃ
Bð 5, 3 3Þ
[4 ]
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
[2 13]
[4]
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
[2 17]
Verifica che i punti O(0, 0), B(3, 1), C(2, 2),
D(1, 3) sono i vertici di un rombo OBCD.
Verifica che il triangolo di vertici O(0, 0), B(3, 1),
C(2, 6) è rettangolo.
(Suggerimento: basta verificare che è soddisfatto il teorema
di Pitagora)
K
Puoi calcolare l’area del triangolo ABC sottraendo dall’area del rettangolo AHKR, le aree dei tre triangoli AHB,
BKC e CRA. Aiutandoti anche con la quadrettatura, puoi
ricavare che:
Area di AHKR ¼ 6 4 ¼ 24
1
Area di AHB ¼ 6 1 ¼ 3
2
Area di BKC ¼ ::::::::::
Area di CRA ¼ ::::::::::
Quindi l’area del triangolo ABC è:
24 3 ::::: ::::: ¼ :::::
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
[Perimetro ¼ 5 þ 20 þ 37; Area ¼ 11]
27
Þ
Determina la misura del perimetro e l’area del triangolo ABC di vertici A, B e C.
33
Þ
A(1, 2), B(2, 3), C(1, 1)
pﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1
Perimetro ¼ 2 þ 5 þ 13; Area ¼
2
Determina la misura del perimetro e l’area del triangolo ABC di vertici A, B e C.
34
Þ
A(3, 2), B(1, 0), C(2, 2)
28
Þ
Að1, 2Þ, Bð1, 0Þ, Cð3, 0Þ
pﬃﬃﬃ
[Perimetro ¼ 4 þ 4 2; Area ¼ 4]
35
Þ
A(1, 1), B(2, 2), C(4, 0)
29
Þ
Að1, 1Þ, Bð2, 1Þ, Cð3, 1Þ
pﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
[Perimetro ¼ 3 þ 2 2 þ 29; Area ¼ 3]
36
Þ
A(1, 1), B(2, 1), C(2, 3)
30
Þ
Að1, 1Þ, Bð1, 2Þ, Cð1, 3Þ
pﬃﬃﬃ
[Perimetro =3 5 þ 3; Area ¼ 3]
37
Þ
A(2, 3), B(2, 0), C(0, 2)
31
Þ
Að0, 2Þ, Bð4, 2Þ, Cð2, 3Þ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
[Perimetro ¼ 4 þ 29 þ 61; Area ¼ 10]
38
Þ
A(4, 2), B(2, 0), C(2, 4)
Perimetri e aree
206
pﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
[Perimetro ¼ 2 5 þ 13 þ 1; Area ¼ 1]
pﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
[Perimetro ¼ 3 2 þ 10; Area ¼ 2]
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
[Perimetro ¼ 2 13 þ 4; Area ¼ 6]
pﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
[Perimetro ¼ 2 2 þ 29 þ 5; Area ¼ 7]
pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
[Perimetro ¼ 6 2 þ 2 10; Area ¼ 8]
a. quella che ha il perimetro minore e quella che ha il
perimetro maggiore;
b. quella che ha l’area maggiore e quella che ha l’area
minore.
a. quella che ha il perimetro minore e quella che ha il
perimetro maggiore
b. quella che ha l’area maggiore e quella che ha l’area
minore.
y
O
y
x
x
O
Rette nel piano cartesiano
40 Dopo aver determinato la misura del perimetro e
Þ
l’area di ciascuna delle figure qui sotto, individua:
Unità 4
39 Dopo aver determinato la misura del perimetro e
Þ
l’area di ciascuna delle figure qui sotto, individua:
Esercizi vari
41
Þ
ESERCIZIO SVOLTO
Determiniamo, sull’asse y, il punto P, equidistante dai due punti Að1, 1Þ e Bð3, 1Þ.
Un generico punto P appartenente all’asse y ha coordinate (0, y), dove y può essere qualsiasi numero reale. Esprimendo
le distanze di Pð0, yÞ da A (1, 1) e da B(3, 1), otteniamo:
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
PA ¼ 1 þ ðy 1Þ2 e PB ¼ 9 þ ðy þ 1Þ2
2
2
Osserviamo ora che la condizione PA ¼ PB equivale a PA ¼ PB (perché PA e PB, essendo misure di segmenti, sono numeri senz’altro positivi).
2
2
Imponendo che sia PA ¼ PB otteniamo l’equazione nell’incognita y:
1 þ ðy 1Þ2 ¼ 9 þ ðy þ 1Þ2
che, risolta, fornisce y ¼ 2. Pertanto Pð0,2Þ.
5
P
,0
2
1
43 Determina il punto P, appartenente al semiasse delle ascisse negative, la cui distanza dal punto Q
, 0 sia
Þ
3
uguale a 3.
8
P ,0
3
7
44
Determina
il
punto
P
dell’asse
y
che
forma
con
A(2,
3)
e
B(4,
2)
un
triangolo
isoscele
sulla
base
AB.
P
0,
Þ
2
42 Determina il punto P dell’asse x equidistante dai due punti A(1, 2) e B(3, 4).
Þ
3. Punto medio di un segmento
TEORIA a p. 178
Vero o falso?
a. se A è nel primo quadrante e B è nel primo quadrante, anche il punto medio di AB è nel primo quadrante
V
F
b. se A ha coordinate intere e B ha coordinate intere, anche il punto medio di AB ha coordinate intere
V
F
c. se P 0 è il simmetrico di P rispetto all’asse x, allora il punto medio di PP 0 appartiene all’asse x
V
F
V
F
45
Þ
0
0
d. se P è il simmetrico di P rispetto all’asse y, allora il punto medio di PP appartiene all’asse y
e. se il punto medio del segmento AB è l’origine, allora A e B sono simmetrici rispetto all’asse x o rispetto
all’asse y
V F
[3 affermazioni vere e 2 false]
207
Sistemi lineari e retta
Tema B
Determina il punto medio del segmento AB, di estremi
A e B.
46
Þ
A(1, 2)
B(3, 4)
47
Þ
A(1, 0)
B(4, 0)
48
Þ
A(1, 8)
B(1, 3)
49
Þ
A(2, 1)
B(1, 2)
50
Þ
51
Þ
52
Þ
53
Þ
A(3, 2)
B(1, 2)
A(2, 1)
pﬃﬃﬃ
Að1 3, 4Þ
pﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃ
Að 5, 3Þ
B(4, 5)
pﬃﬃﬃ
Bð1 þ 3, 6Þ
pﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃ
Bð 5,3 3Þ
[(1, 3)]
5
,0
2
11
1, 2
1 1
,
2 2
[(1, 2)]
[(1, 3)]
[(1, 5)]
pﬃﬃﬃ
[ð0, 3Þ]
54 ESERCIZIO SVOLTO
Þ
Determiniamo le coordinate
del simmetrico del punto
1 3
Að1, 2Þ rispetto a P
,
.
2 4
Il simmetrico di A rispetto a P è il punto A0 tale che il punto medio di AA0 coincide con P.
Le coordinate ðx, yÞ di A0 devono soddisfare perciò le seguenti equazioni:
x1
1
¼
2
2
yþ2
3
¼
2
4
La media aritmetica delle ascisse di Að1, 2Þ e
A0 ðx, yÞ deve essere uguale all’ascissa di P
La media aritmetica delle ordinate di Að1, 2Þ e
A0 ðx, yÞ deve essere uguale all’ordinata di P
1
Risolvendo tali equazioni si ricava che x ¼ 2 e y ¼ .
2
1
.
Quindi A0 2, 2
55 Determina l’estremo B del segmento AB, noto l’eÞ
stremo A(1, 3) e il punto medio M(4, 5) di AB. [B(9, 7)]
Determina le coordinate del punto A0 , simmetrico
1
1
5
di A(4, 2) rispetto a P
,
.
A0 3, 2
4
2
56
Þ
57 Determina l’estremo B del segmento AB, noto l’eÞ
stremo A(4, 9) e il punto medio M(6, 6) di AB.
[B(8, 3)]
Determina le coordinate del punto A0 , simmetrico
3
[A0 ð7,6Þ]
di A(4, 2) rispetto a P ; 2 .
2
58
Þ
59 Determina le misure delle mediane del triangolo
Þ
ABC di vertici A(1, 1), B(1, 2), C(1, 3).
pﬃﬃﬃ 1 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 1 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2,
41,
53
2
2
60 Verifica che il quadrilatero ABCD di vertici A(1, 0),
Þ
B(3, 0), C(4, 2), D(0, 2) è un parallelogramma, mostrando
che i lati opposti sono congruenti. Verifica, inoltre, che
le diagonali di ABCD si tagliano scambievolmente per
metà.
61 Tre vertici consecutivi di un parallelogramma ABCD
Þ
sono A(1, 1), B(4, 2) e C(5, 5). Determina il vertice D.
(Suggerimento: osserva che D è il simmetrico di B rispetto
a ..........)
[D(2, 4)]
62 Verifica che il triangolo di vertici A(0, 1), B(1, 0) e
Þ
C(3, 3) è isoscele sulla base AB e determina la misura
pﬃﬃﬃ dell’altezza relativa ad AB.
7 2
Altezza ¼
2
pﬃﬃﬃ
63 Verifica che il triangolo di vertici Að 3, 1Þ,
Þ
pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
Bð 3, 3Þ, Cð3 3, 1Þ è equilatero. Determina inoltre le
pﬃﬃﬃ
misure delle altezze del triangolo.
[Altezze ¼ 2 3]
Esercizi riassuntivi sul calcolo di distanze e punti medi nel piano cartesiano
pﬃﬃﬃ
che il triangolo di vertici Að 3, 1Þ,
pﬃﬃﬃ
Bð 3, 5Þ, Cð3 3, 3Þ è equilatero.
64 Verifica
Þ
pﬃﬃﬃ
Verifica che il triangolo di vertici Að1, 1Þ, Bð0, 2Þ e
Cð4, 5Þ è isoscele sulla base AB e determina la misura
" pﬃﬃﬃ #
dell’altezza relativa ad AB.
7 2
65
Þ
2
Determina perimetro e area del triangolo ABC di
vertici Að1, 2Þ, Bð2, 1Þ, Cð2, 4Þ.
pﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
15
Perimetro ¼ 3 2 þ 13 þ 5; Area ¼
2
66
Þ
Determina perimetro e area del triangolo ABC di
vertici A(2, 4), B(2, 0), C(0, 2).
pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
[Perimetro ¼ 6 2 þ 2 10; Area ¼ 8]
67
Þ
Determina perimetro e area del quadrilatero ABCD
di vertici A(2, 1), B(1, 3), C(4, 1), D(0, 2).
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
[Perimetro ¼ 2 13 þ 17 þ 5; Area ¼ 16]
68
Þ
Determina perimetro e area del quadrilatero ABCD
di vertici A(4, 0), B(2, 3), C(3, 1), D(0, 3).
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
[Perimetro ¼ 2 13 þ 41 þ 5; Area ¼ 20]
69
Þ
208
Verifica che i punti A(1, 1), B(3, 1), C(4, 1),
D(0, 1) sono i vertici di un parallelogramma ABCD.
(Suggerimento: basta verificare che i lati opposti hanno la
stessa misura e quindi sono congruenti)
70
Þ
Verifica che i punti A(1, 1), B(4, 0), C(3, 3), D(0, 4)
sono i vertici di un rombo ABCD. Determina perimetro e
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
area del rombo.
[Perimetro ¼ 4 10; Area ¼ 8]
71
Þ
Verifica che il triangolo di vertici A(1, 1), B(2, 0),
C(4, 6) è rettangolo. Determina perimetro e area del
triangolo.
(Suggerimento: basta verificare che è soddisfatto il teorema
pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
di Pitagora)
[Perimetro ¼ 3 10 þ 5 2; Area ¼ 10]
72
Þ
73 Stabilisci se i tre punti A(1, 3), B(0, 1), C(2, 4)
Þ
sono allineati.
(Suggerimento: ricorda la disuguaglianza triangolare)
Stabilisci se i tre punti A(1, 5), B(1, 1), C(4, 5) sono allineati. Determina quindi la distanza tra il punto
" pﬃﬃﬃ #
medio di AB e il punto medio di BC.
5 5
74
Þ
2
76 Determina le misure delle mediane del triangolo
Þ
pﬃﬃﬃ
ABC di vertici A(1, 1), B(3, 1), C(1, 3).
[3, 3, 3 2]
bA.
bB < BC
C(1, 5), verifica che ABbC < CA
(Suggerimento: ricorda le relazioni di disuguaglianza che
sussistono tra gli angoli di un triangolo e i lati opposti)
Determina il punto P dell’asse y che forma con
A(2, 3) e B(4, 2) un triangolo isoscele sulla base AB.
7
P 0,
10
77
Þ
Determina per quali valori di a il punto medio del
segmento AB, avente per estremi i punti Aða 1, 2aÞ e
Bð5 2a, 1 aÞ, ha ascissa uguale all’ordinata.
3
a¼
2
78
Þ
le coordinate del punto A0 , simmetrico
3
1
, 1 rispetto a P , 2 . Determina quindi la
di A
2
2
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
5
distanza tra A e A0 .
A0 , 5 ; 2 13
2
79 Determina
Þ
Tre vertici consecutivi di un parallelogramma ABCD
sono A(2, 2), B(0, 4) e C(4, 1). Determina:
80
Þ
a. le coordinate del vertice D;
b. il perimetro del parallelogramma che ha come vertici i punti medi dei lati di ABCD.
(Suggerimento: D è il simmetrico di B rispetto al centro del
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
parallelogramma)
[a. D(2, 1); b. 29 þ 37]
82
Þ
Considera il triangolo di vertici A(3, 2), B(2, 0),
83
Þ
Dati i punti A(4, 4) e B(0, 2), determina:
a. le coordinate del punto P dell’asse x equidistante da
A e da B;
b. le coordinate del punto Q dell’asse y equidistante da
7
7
A e da B.
a. P , 0 ; b. Q 0, 2
3
84
Þ
Rette nel piano cartesiano
Dati i punti Að3, 2Þ, Bð3, kÞ, Cðh, 2Þ, Dð2, 4Þ,
determina h e k in modo che il quadrilatero ABCD sia un
parallelogramma. Determina l’area di tale parallelogramma.
[h ¼ 4, k ¼ 4; Area ¼ 18]
81
Þ
Unità 4
75 Determina il punto P dell’asse x, equidistante da
Þ
A(1, 3) e B(2, 4). Determina quindi la misura dell’altezza
relativa alla base del triangolo isoscele APB.
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 5
7 10
P
,0 ;
3
6
Considera i punti Að1, 0Þ, Bð0, 1Þ, Cð4 a, a 3Þ.
a. Sia M1 il punto medio di AB, M2 il punto medio di BC
e M3 il punto medio di M1 M2 . Determina a in modo che
M3 abbia ascissa doppia dell’ordinata.
b. Determina a in modo che C sia equidistante da A e
7
7
da B.
a. a ¼ ; b. a ¼
3
2
Di un parallelogramma ABCD si conoscono il vertice Að2, 2Þ e i punti medi Mð2, 1Þ ed Nð1, 0Þ, rispettivamente del lato AB e del lato AD. Determina:
85
Þ
a. le coordinate dei vertici B, C e D;
b. l’area e il perimetro del parallelogramma.
[a. Bð6, 0Þ, Cð8, 4Þ, Dð0, 2Þ;
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
b. Perimetro ¼ 4 5 þ 4 17; Area ¼ 28]
4. La funzione lineare
TEORIA a p. 179
Esercizi preliminari
86
Þ
a.
b.
c.
d.
e.
87
Þ
Completa, individuando il coefficiente angolare m e il termine noto q.
y
y
y
y
y
¼ 2x 3
¼ x þ 1
¼1
¼x
¼ x
m ¼ ::::::::::
m ¼ ::::::::::
m ¼ ::::::::::
m ¼ ::::::::::
m ¼ ::::::::::
q ¼ ::::::::::
q ¼ ::::::::::
q ¼ ::::::::::
q ¼ ::::::::::
q ¼ ::::::::::
Ciascuna delle rette disegnate nelle seguenti figure è il grafico di una delle seguenti funzioni lineari:
a. y ¼ 2x þ 3
b. y ¼ 2x 3
c. y ¼ 2x 3
d. y ¼ 2x þ 3
Scrivi, al di sotto di ciascun grafico, l’equazione della funzione corrispondente.
y
y
O
y ¼ ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
x
O
y ¼ ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
y
y
x
O
y ¼ ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
x
O
x
y ¼ ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
209
Sistemi lineari e retta
Tema B
Una funzione lineare è definita da un’equazione in
cui il termine noto è 3. Quali sono le coordinate del
punto in cui il grafico della funzione interseca l’asse y?
88
Þ
Il grafico della funzione lineare e le funzioni lineari a tratti
Sapendo che y ¼ 2x 4, completa la seguente tabella e rappresenta la funzione corrispondente.
90
Þ
x
y
1
..........
..........
0
0
..........
..........
2
Traccia i grafici delle seguenti funzioni lineari, dopo
avere determinato le coordinate di almeno quattro
punti.
91
Þ
y ¼ 2x
3
x
2
2
93 y ¼ x
Þ
3
92
Þ
y¼
94
Þ
y ¼ 2x þ 3
95
Þ
y ¼ 3x 4
96
Þ
y ¼xþ2
97
Þ
y ¼ x þ 1
98
Þ
y¼
99
Þ
y
100
Þ
y
101
Þ
y
102
Þ
y
103
Þ
1
xþ1
2
2
¼ xþ2
3
3
¼ x1
2
4
¼ x3
3
3
¼ xþ3
2
(
108
Þ
f ðxÞ ¼
x þ 3 se x 1
xþ5
se x > 1
8
< 1 x 1 se x 2
109 f ðxÞ ¼
2
Þ
:
x2
se x < 2
8
>
< x se x 0
110 f ðxÞ ¼ 2x se 0 < x 2
Þ
>
:
4
se x > 2
8
2
se x 0
>
<
111
f
ðxÞ
¼
x
3
se 0 < x 3
Þ
>
:
2x 6 se x > 3
Determina per quale valore di k il grafico della funzione y ¼ ðk 2Þx þ 1 k passa per il punto di coordinate
ð2, 3Þ, quindi traccia il grafico della funzione corrispondente a questo valore di k.
[k ¼ 0]
112
Þ
Determina per quale valore di k il grafico della funzione y ¼ ðk þ 3Þx þ 2 k passa per il punto di coordinate
ð1, 3Þ, quindi traccia il grafico della funzione corrispondente a questo valore di k.
[k ¼ 2]
113
Þ
Traccia il grafico di ciascuna delle seguenti funzioni
lineari, dopo aver determinato i suoi punti di intersezione con gli assi cartesiani (nelle risposte sono indicati solo i punti di intersezione con gli assi).
1
114 y ¼ 2x 1
ð0, 1Þ; , 0
Þ
2
115
Þ
y ¼ x þ 2
[(0, 2); (2, 0)]
116
Þ
y ¼ 3x þ 3
[(0, 3); (1, 0)]
117
Þ
y ¼x3
[(0, 3); (3, 0)]
118
Þ
y¼
y ¼ 2,5x 4
119
Þ
y
104
Þ
y ¼ 0,2x þ 2
120
Þ
y
105
Þ
y ¼ 2,3 x 1
121
Þ
y
122
Þ
y
Rappresenta i grafici delle seguenti funzioni lineari a
tratti.
(
xþ2
se x < 2
106 f ðxÞ ¼
Þ
x þ 6 se x 2
(
2x se x 0
107 f ðxÞ ¼
Þ
2 se x < 0
210
89 Una funzione lineare è definita da un’equazione in
Þ
cui il coefficiente angolare è 3. L’angolo che la retta forma con l’asse x è acuto o ottuso?
1
xþ2
2
1
¼ x1
2
2
¼ xþ3
3
pﬃﬃﬃ
¼ x 2 þ 2
pﬃﬃﬃ
¼xþ 2
[(0, 2); (4, 0)]
[(0, 1); (2, 0)]
9
ð0, 3Þ;
,0
2
pﬃﬃﬃ
½ð0, 2Þ; ð 2, 0Þ
pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
½ð0, 2Þ; ð 2, 0Þ
Determina l’area del triangolo formato dal grafico
2
della funzione y ¼ x þ 4 con gli assi cartesiani. [12]
3
123
Þ
Determina l’area del triangolo formato dal grafico
3
3
3
della funzione y ¼ x þ con gli assi cartesiani.
4
2
2
124
Þ
125 Ciascuna delle rette disegnate nelle seguenti figure è il grafico di una funzione lineare, di equazione y ¼ mx þ q. Per
Þ
ogni grafico, poni una crocetta sulle caselle che esprimono i segni di m e di q.
O
y
y
O
x
x
x
O
m>0
m<0
m>0
m<0
m>0
m<0
m>0
m<0
q>0
q<0
q>0
q<0
q>0
q<0
q>0
q<0
Quali condizioni devono soddisfare m e q in modo
che il grafico della funzione y ¼ mx þ q intersechi l’asse y
nel punto di coordinate ð0, 3Þ e formi con l’asse x un angolo ottuso?
[m < 0; q ¼ 3]
126
Þ
È data la funzione y ¼ ð3 k2 Þx þ 4 8k, con k 2 R.
Stabilisci per quali valori di k il suo grafico interseca l’asse
1
y in un punto di ordinata non negativa.
k
2
127
Þ
È data la funzione: y ¼ ð2k þ 4Þx þ 2k þ 1, con
k 2 R. Stabilisci per quali valori di k la retta grafico della
funzione forma con l’asse x un angolo ottuso.
[k < 2]
128
Þ
129
Þ
y
x
O
È data la funzione: y ¼ 2kx þ k 2 , con k 2 R. Sta-
Rette nel piano cartesiano
y
Unità 4
I legami tra i coefficienti e le caratteristiche del grafico
bilisci per quali valori di k la retta grafico della funzione
[k < 0]
forma con l’asse x un angolo acuto.
È data la funzione: y ¼ ð3 kÞx þ k 1, con k 2 R.
Stabilisci per quali valori di k la retta grafico della funzione forma con l’asse x un angolo acuto.
[k < 3]
130
Þ
Data la funzione y ¼ ð2k2 8Þx þ 2k þ 1, con k 2 R,
stabilisci per quali valori di k la retta grafico della funzione forma con l’asse x un angolo ottuso.
[2 < k < 2]
131
Þ
È data la funzione: y ¼ ð2k2 8Þx þ 2k þ 1, con
k 2 R. Stabilisci per quali valori di k il suo grafico forma
con l’asse x un angolo ottuso e interseca l’asse y in un
1
punto di ordinata positiva.
<k<2
2
132
Þ
5. L’equazione della retta nel piano cartesiano
TEORIA a p. 182
Esercizi preliminari
Vero o falso?
a. ogni retta del piano cartesiano può essere rappresentata da un’equazione del tipo y ¼ mx þ q
V
F
b. ogni retta del piano cartesiano può essere rappresentata da un’equazione del tipo ax þ by þ c ¼ 0
V
F
c. il coefficiente angolare della retta di equazione y þ 1 ¼ 0 è zero
V
F
d. l’equazione x þ y ¼ 1 è l’equazione implicita di una retta
V
F
e. l’equazione 2y ¼ x 1 è l’equazione esplicita di una retta
V
F
133
Þ
[2 affermazioni vere e 3 false]
Vero o falso?
a. ogni retta parallela all’asse y ha equazione
del tipo y ¼ k, dove k è un numero reale
V
F
b. una retta di equazione y ¼ mx þ q è
parallela all’asse x se e solo se m ¼ 0
V
F
134
Þ
c. il coefficiente angolare di ogni retta
parallela all’asse x è zero
135 Ciascuna delle rette
Þ
disegnate nella figura qui
a fianco ha una delle seguenti equazioni:
a. x ¼ 2;
b. y ¼ 2;
V
F
d. il coefficiente angolare di ogni retta
parallela all’asse y è zero
V F
[2 affermazioni vere e 2 false]
y
O
x
c. y ¼ x;
d. y ¼ x 1
Associa a ogni grafico la sua equazione.
211
Sistemi lineari e retta
Rette passanti per l’origine e parallele agli assi
136
Þ
ESERCIZIO GUIDATO
Scrivi le equazioni delle rette passanti per Pð2, 3Þ e parallele agli assi cartesiani, e l’equazione della retta passante
per P e per l’origine.
La retta parallela all’asse x ha tutti i punti di ordinata uguale a 3: la sua equazione è perciò:
Tema B
y ¼ :::::
La retta parallela all’asse y ha tutti i punti di ascissa uguale a 2: la sua equazione è perciò:
x ¼ :::::
La retta OP ha equazione del tipo y ¼ mx (poiché passa per l’origine). Per determinare m, sostituisci, in tale equazione,
le coordinate di Pð2, 3Þ al posto di x e y; otteniamo l’equazione:
3 ¼ m ð2Þ, da cui m ¼ :::::
Di conseguenza la retta OP ha equazione:
y ¼ :::::
Per ciascuno dei seguenti punti P, disegna le rette passanti per P e parallele agli assi cartesiani e la retta passante per P e passante per l’origine. Scrivi poi le equazioni di tali rette.
137
Þ
Pð1, 2Þ
138
Þ
Pð0, 3Þ
139
Þ
Pð2, 3Þ
140
Þ
Pð2, 1Þ
141
Þ
Pð4, 8Þ
½x ¼ 4; y ¼ 8; y ¼ 2x
142
Þ
Pð0, 2Þ
½x ¼ 0; y ¼ 2
143
Þ
Pð2, 0Þ
144
Þ
Pð8, 12Þ
Scrivi le equazioni delle rette rappresentate nella seguente figura.
y
145
Þ
P(–3, 2)
½x ¼ 1; y ¼ 2; y ¼ 2x
½x ¼ 0; y ¼ 3
3
x ¼ 2; y ¼ 3; y ¼ x
2
1
x ¼ 2; y ¼ 1; y ¼ x
2
½x ¼ 2; y ¼ 0
3
x ¼ 8; y ¼ 12; y ¼ x
2
O
x
Q(–3, –3)
Dato il punto Að2, 2Þ, siano B, C e D, rispettivamente, i simmetrici di A rispetto all’asse y, all’origine e all’asse
x. Scrivi le equazioni delle rette che contengono i lati e le
diagonali del quadrato ABCD.
146
Þ
Dato il punto Að3, 2Þ, siano B, C e D, rispettivamente, i simmetrici di A rispetto all’asse y, all’origine e all’asse
x. Scrivi le equazioni delle rette che contengono i lati e le
diagonali del rettangolo ABCD.
147
Þ
Forma esplicita e forma implicita
148
Þ
ESERCIZIO GUIDATO
Scrivi l’equazione della retta x þ 2y 4 ¼ 0 in forma esplicita, identificane il coefficiente angolare , il termine noto e tracciane il grafico.
Per scrivere l’equazione della retta in forma esplicita devi risolvere l’equazione x þ 2y 4 ¼ 0 rispetto alla variabile y:
1
x þ 2y 4 ¼ 0 ) 2y ¼ :::::::::: ) y ¼ x þ ::::::::::
2
Dall’equazione esplicita puoi riconoscere immediatamente il coefficiente angolare e il
y
termine noto:
1
m ¼ , q ¼ :::::
2
Dal termine noto puoi dedurre che la retta incontra l’asse delle ordinate nel punto
P(....., .....).
Per tracciare il grafico della retta basta individuarne un altro punto; per esempio:
se x ¼ 2,
allora y ¼ :::::
quindi la retta passa anche per il punto Q(2, .....).
Ora puoi tracciare il grafico della retta nella figura predisposta qui a fianco.
212
O
x
154
Þ
ESERCIZIO SVOLTO
1
1 3
,1 eB
,
appartenStabiliamo se i punti A
2
4 2
gono alla retta di equazione 2x y þ 1 ¼ 0.
1
, 1 appartiene alla retta,
Per stabilire se il punto A
2
sostituiamo nell’equazione 2x y þ 1 ¼ 0, al posto di
x e di y, le coordinate di A; otteniamo:
1
2 1 þ 1 ¼ 0 ossia 1 ¼ 0
2
Avendo ottenuto un’uguaglianza falsa, concludiamo
che il punto A non appartiene alla retta.
Analogamente,
sostituendo nell’equazione le coordi
1 3
nate di B
,
, otteniamo:
4 2
1
3
þ 1 ¼ 0 ossia 0 ¼ 0
4
2
Avendo ottenuto una uguaglianza vera, concludiamo che
il punto B appartiene alla retta.
2
pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
Stabilisci
quali dei punti Að0, 1Þ; Bð2 2 1, 2Þ;
1
C 0,
appartengono alla retta avente equazione
2
x þ 2y 1 ¼ 0.
Rette nel piano cartesiano
La condizione di appartenenza di un punto a una retta
Unità 4
Scrivi l’equazione esplicita delle seguenti rette, identificane il coefficiente angolare e il termine noto e tracciane il
grafico (nelle risposte è indicata solo l’equazione in forma esplicita).
1
1
1
149 6x 3y þ 1 ¼ 0
y ¼ 2x þ
152 x 2y þ 1 ¼ 0
y ¼ xþ
Þ
Þ
3
2
2
3
150 2x þ y 2 ¼ 0
½y ¼ 2x þ 2
Þ
153 3x þ 2y 4 ¼ 0
y ¼ xþ2
Þ
2
1
151 x 2y 2 ¼ 0
y ¼ x1
Þ
2
155
Þ
Determina il punto della retta x þ 2y 3¼
0
1
di ascissa 4.
4, 2
157
Determina
il
punto
della
retta
2x
þ
2y
3
¼
0
Þ
5
di ordinata 4.
,4
2
158
Determina
per
quale
valore
di
a
la
retta
di
equazioÞ
1
ne ax þ y þ a 3 ¼ 0 passa per il punto P(1, 2).
a¼
2
159 Determina per quale valore di a il punto
Þ
Pða þ 1, aÞ appartiene alla retta di equazione
x þ 2y 1 ¼ 0.
½a ¼ 0
156
Þ
160 Determina il punto P appartenente alla retta di
Þ
equazione 4x y þ 1 ¼ 0, equidistante dal punto
1 9
Að2, 0Þ e dal punto Bð2, 4Þ.
P
,
5 5
Esercizi con parametri
161
Þ
ESERCIZIO SVOLTO
Determiniamo per quali valori di k la retta di equazione ðk 2Þx þ ky 3 ¼ 0:
a. è parallela all’asse x
b. è parallela all’asse y
c. passa per il punto Pð2, 3Þ
a. Una retta parallela all’asse x ha equazione del tipo
y ¼ a. Pertanto l’equazione data rappresenterà una retta
parallela all’asse x se e solo se il coefficiente di x è nullo,
cioè per k ¼ 2.
b. Una retta parallela all’asse y ha equazione del tipo
x ¼ b. Pertanto l’equazione data rappresenterà una retta
parallela all’asse y se e solo se il coefficiente di y è nullo,
cioè per k ¼ 0.
c. Imponendo il passaggio per Pð2, 3Þ otteniamo l’equazione:
ðk 2Þ 2 þ k ð3Þ 3 ¼ 0
che ha come soluzione k ¼ 7.
162 Determina per quali valori di k la retta di equazione
Þ
ð2k þ 4Þx ky 1 þ k ¼ 0:
a. è parallela all’asse x;
b. è parallela all’asse y;
c. passa per il punto Pð1, 2Þ.
[a. k ¼ 2; b. k ¼ 0; c. k ¼ 3]
163 Determina per quali valori di k la retta di equazione
Þ
kx ðk þ 1Þy k 2 ¼ 0:
a. è parallela all’asse x;
b. è parallela all’asse y;
c. passa per l’origine.
[a. k ¼ 0; b. k ¼ 1; c. k ¼ 2]
164 Determina per quali valori di k la retta di equazione
Þ
ðk 2Þx ky þ k 3 ¼ 0:
a. è parallela all’asse x;
b. è parallela all’asse y;
c. passa per il punto Pð1, 1Þ.
[a. k ¼ 2; b. k ¼ 0; c. k ¼ 1]
213
Sistemi lineari e retta
Tema B
165 Determina per quali valori di k la retta di equazione
Þ
ð2k þ 3Þx ðk2 þ 5kÞy k2 þ 3k ¼ 0:
166 Determina per quali valori di k la retta di equazione
Þ
ð3k 2Þx þ 2y þ 1 ¼ 0 forma con l’asse x un angolo ottu
2
so.
k>
3
167
Determina
per
quali
valori
di
k
la
retta
di
equazione
Þ
ðk 1Þx þ y þ 1 ¼ 0 forma con l’asse x un angolo acuto.
[k < 1]
a. è parallela all’asse x;
b. è parallela all’asse y;
c. passa per l’origine.
3
a. k ¼ ; b. k ¼ 5 _ k ¼ 0; c. k ¼ 0 _ k ¼ 3
2
168
Þ
tuso.
Determina per quali valori di k la retta di equazione ðk 2Þx þ ðk 1Þy þ 2 ¼ 0 forma con l’asse x un angolo ot[k < 1 _ k > 2]
6. Rette parallele e posizione reciproca di due rette
TEORIA a p. 187
Esercizi preliminari
169
Þ
Completa la seguente tabella, sull’esempio della seconda riga.
Equazioni delle rette
y¼
m¼2
m0 ¼ 2
Sı̀
perché
No
m 6¼ m0
1
xþ1
3
y ¼ 0,3x þ 1
m ¼ ::::::::::
m0 ¼ ::::::::::
Sı̀
perché
....................
1
xþ1
2
y ¼ 0,5x þ 1
Sı̀
perché
....................
Sı̀
perché
....................
y ¼ 4x þ 1
6x þ 2y þ 5 ¼ 0
170
Þ
a.
b.
c.
d.
e.
Le rette sono parallele?
y ¼ 2x þ 1
y ¼ 2x þ 1
y¼
Coefficienti angolari
m ¼ ::::::::::
8x 2y 7 ¼ 0
y ¼ 3x þ 10
m ¼ ::::::::::
m ¼ ::::::::::
m0 ¼ ::::::::::
m0 ¼ ::::::::::
m0 ¼ ::::::::::
Sı̀
perché
No
No
No
No
....................
Ogni retta della prima colonna è parallela a una della seconda. Fai le opportune associazioni.
x¼1
y ¼ x þ 1
y¼2
y ¼ 0,5x 1
4x þ 2y 1 ¼ 0
f. 2x þ 4y þ 1 ¼ 0
A. x þ y þ 10 ¼ 0
B. y ¼ 0,5x
C. 2x þ y 6 ¼ 0
D. x 10 ¼ 0
E. y ¼ 100
1
F. y ¼ x þ 1
2
Stabilire la posizione reciproca di due rette
Stabilisci se le seguenti coppie di rette sono formate da rette parallele distinte, incidenti o coincidenti.
1
[Parallele e distinte]
171 x 2y 1 ¼ 0
y ¼ x1
Þ
2pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
172
3x y ¼ 0
3x 3y ¼ 0
[Coincidenti]
Þ
pﬃﬃﬃ
173 x 1 ¼ 0
xþ 2¼0
[Parallele e distinte]
Þ
174
Þ
175
Þ
176
Þ
177
Þ
178
Þ
179
Þ
180
Þ
214
4x y þ 1 ¼ 0
pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
ð 2 þ 1Þx þ ð 2 1Þy þ 3 ¼ 0
y ¼ 4x þ 4
pﬃﬃﬃ
y ¼ ð3 þ 2 2Þx þ 4
x 2y þ 1 ¼ 0
pﬃﬃﬃ
x 2y þ 1 ¼ 0
pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
ð1 2Þx þ ð 2 1Þy 2 ¼ 0
3x 6y þ 3 ¼ 0
pﬃﬃﬃ
2x y þ 1 ¼ 0
pﬃﬃﬃ
xyþ1þ 2¼0
x 9y þ 8 ¼ 0
pﬃﬃﬃ
1
1
3
x
y ¼0
2
4
2
3x 3y þ 4 ¼ 0
pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
2 3x 6y 3 ¼ 0
[Incidenti]
[Parallele e distinte]
[Coincidenti]
[Incidenti]
[Parallele e distinte]
[Incidenti]
[Coincidenti]
[k ¼ 3]
1
182 Determina per quale valore di k le rette di equazioni kx þ ðk 1Þy þ 2 ¼ 0 e x 3y þ 2k ¼ 0 sono parallele. k ¼
Þ
4
183
Þ
Determina per quali valori di h e k risultano coincidenti le rette di equazioni:
2x þ y þ h ¼ 0; kx y 3 ¼ 0
[h ¼ 3; k ¼ 2]
Punto di intersezione di due rette
Verifica che le seguenti coppie di rette sono incidenti e
determina le coordinate del loro punto di intersezione.
3
1
,
184 2x þ y 1 ¼ 0
y ¼ 2x 2
Þ
4
2
1
2
185
x
y
1
¼
0
x
þ
2y
þ
1
¼
0
;
Þ
3
3
1 3
186 y ¼ 3x
xyþ1¼0
;
Þ
4 4
187
Þ
188
Þ
189
Þ
y ¼ x 1
y ¼ 2x 1
½ð0, 1Þ
xy3¼0
2x þ 3y 1 ¼ 0
½ð2, 1Þ
192 Determina le coordinate dei vertici del paralleloÞ
gramma avente i lati sulle rette di equazioni:
2x y 2 ¼ 0;
x þ y 1 ¼ 0;
Determina inoltre le coordinate del punto di intersezione
delle diagonali del parallelogramma.
2
10
;
ð1, 0Þ; ð1, 2Þ; , 3
3
8
4
5
2
; punto di intersezione: , ,
3
3
6
3
Verifica che il punto di intersezione delle rette di
equazione 2x y ¼ 0 e 3x 2y 1 ¼ 0 appartiene alla
retta di equazione 4x 3y 2 ¼ 0.
193 Determina per quale valore di k il punto di interseÞ
zione delle rette di equazioni x þ y þ k ¼ 0 e 2x y ¼ 0
ha ordinata uguale a 2.
[k ¼ 3]
190 Determina le equazioni delle rette parallele agli assi
Þ
passanti per il punto di intersezione delle
rette di equa-
1
8
3
zioni 2x 3y 1 ¼ 0 e y ¼ x þ 1.
x¼ ,y¼
2
7
7
194 Determina per quale valore di k il punto di interseÞ
zione delle rette di equazioni x 2y þ 1 ¼ 0 e 2x y ¼ 0
appartiene alla retta di equazione kx y þ 1 ¼ 0.
[k ¼ 1]
Determina le coordinate dei vertici del triangolo
avente i lati sulle rette di equazioni:
191
Þ
2x þ 5y 11 ¼ 0;
3x 4y 5 ¼ 0;
2x y þ 4 ¼ 0;
xþyþ4¼0
Rette nel piano cartesiano
Determina per quale valore di k le rette di equazioni 3x y þ 1 ¼ 0 e 9x þ ky þ 1 ¼ 0 sono parallele.
Unità 4
181
Þ
Determina per quale valore di k le due rette di equazioni 2x y k ¼ 0 e 2x ky 1 ¼ 0 si incontrano in un
punto appartenente alla bisettrice del primo e del terzo
quadrante.
[k ¼ 1]
195
Þ
8x 3y þ 2 ¼ 0
Calcola inoltre l’area di tale triangolo.
1
23
, 2 , ð3, 1Þ, ð1, 2Þ; Area ¼
2
4
7. Rette perpendicolari
TEORIA a p. 189
Esercizi preliminari
196
Þ
Completa la seguente tabella, sull’esempio della seconda riga.
Equazioni delle rette
Coefficienti angolari
Le rette sono perpendicolari?
y ¼ 2x þ 1
x 2y 3 ¼ 0
m ¼ 2
1
m0 ¼
2
Sı̀
perché
No
mm0 ¼ 1
Sı̀
perché
No
....................
Sı̀
perché
....................
Sı̀
perché
....................
Sı̀
perché
....................
y ¼ 0,5x þ 1
y ¼ 2x þ 10
m ¼ ::::::::::
4x y þ 1 ¼ 0
y ¼ 4x þ 4
m ¼ ::::::::::
x 2y 1 ¼ 0
y ¼ 2x 2
m ¼ ::::::::::
pﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃ
yp¼ﬃﬃﬃ ð p
5 ﬃﬃﬃ
6Þx þ 1
ð 5 þ 6Þx y ¼ 0
m ¼ ::::::::::
L’equazione esplicita della
1
3
seconda retta è y ¼ x 2
2
m0 ¼ ::::::::::
m0 ¼ ::::::::::
m0 ¼ ::::::::::
m0 ¼ ::::::::::
No
No
No
215
Sistemi lineari e retta
Tema B
197
Þ
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Ogni retta della prima colonna è perpendicolare a una della seconda. Fai le opportune associazioni.
x ¼ 10
y ¼ 3x
xþyþ1¼0
y ¼ 0,3x þ 0,5
y¼0
10x 25y þ 3 ¼ 0
A. y ¼ 2,5x þ 1,5
pﬃﬃﬃ
B. x þ 2 ¼ 0
C. y ¼ 2
D. y ¼ x
E. x ¼ 3y þ 9
F. 6x 2y 9 ¼ 0
Esercizi sulla perpendicolarità tra rette
Riconosci quali delle seguenti coppie di rette sono perpendicolari.
198
Þ
y ¼ 2x þ 1
199
Þ
2x þ y 5 ¼ 0
pﬃﬃﬃ
x þ 3y 2 ¼ 0
5x þ y 7 ¼ 0
pﬃﬃﬃ
202 y ¼ ð 2 1Þx
Þ
pﬃﬃﬃ
203 x 6 ¼ 0
Þ
y ¼ 5 0,2x
pﬃﬃﬃ
y ¼ ð 2 þ 1Þx 4
201
Þ
204
Þ
pﬃﬃﬃ
x ð 5 1Þy 3 ¼ 0
Scrivi l’equazione della retta passante per l’origine e
2
perpendicolare alla retta di equazione y ¼ x 1.
3
3
y¼ x
2
207
Scrivi
l’equazione
della
retta
passante
per
l’origine
e
Þ
perpendicolare alla retta di equazione 3x 4y ¼ 1.
4
y¼ x
3
206
Þ
x þ 2y 3 ¼ 0
1
y ¼ xþ3
2
pﬃﬃﬃ
200
3
x
yþ1¼0
Þ
Scrivi le equazioni di due rette perpendicolari alla
retta di equazione x 2y þ 1 ¼ 0.
205
Þ
y ¼ 1000
pﬃﬃﬃ
1
5þ1
x
y¼
5
3
Esercizi riassuntivi su perpendicolarità e parallelismo con parametri
208
Þ
ESERCIZIO SVOLTO
Sono date la retta r di equazione 5x þ ðk 3Þy þ 1 ¼ 0
e la retta s di equazione 2x y þ 1 ¼ 0. Determiniamo
per quali valori di k la retta r è:
a. parallela alla retta s;
b. perpendicolare alla retta s.
Poniamo le equazioni di r ed s in forma esplicita, in modo
da individuare i coefficienti angolari.
5x þ ðk 3Þy þ 1 ¼ 0
y¼
5
1
x
(per k 6¼ 3Þ
k3
k3
mr ¼ 5
k3
2x y þ 1 ¼ 0
y ¼ 2x þ 1
ms ¼ 2
a. Affinché la retta r sia parallela alla retta s deve essere
mr ¼ ms . Ciò si traduce nell’equazione:
5
1
¼ 2, da cui si ricava k ¼
k3
2
5
1
¼ ,
k3
2
da cui si ricava
Determina per quali valori di k la retta di equazione
ðk 2Þx 2y þ 1 ¼ 0 è:
209
Þ
[k ¼ 0]
b. perpendicolare alla retta di equazione y ¼ 2x þ 3.
[k ¼ 1]
216
212 Determina per quali valori di k la retta di equazione
Þ
ð2k þ 1Þx ðk 3Þy þ 2 ¼ 0 è:
1
a. parallela all’asse x;
k¼
2
[k ¼ 3]
2
9
k¼
c. parallela alla retta di equazione y ¼ x;
3
4
d. perpendicolare alla retta di equazione y ¼ 3x.
[k ¼ 0]
213 Determina per quali valori di k la retta di equazione
Þ
ðk 4Þx ð5 kÞy þ 1 ¼ 0 è:
k ¼ 13
a. parallela alla retta di equazione y ¼ x;
211 Determina per quali valori di k la retta di equazione
Þ
ðk þ 1Þx ðk þ 2Þy þ 2 ¼ 0 è:
5
a. parallela alla retta di equazione y ¼ 2x; k ¼ 3
b. perpendicolare alla retta di equazione y ¼ 5x.
3
k¼
4
b. parallela all’asse y;
b. Affinché la retta r sia perpendicolare alla retta s deve
1
essere mr ¼ . Ciò si traduce nell’equazione:
ms
210 Determina per quali valori di k la retta di equazione
Þ
2x ðk 2Þy þ 2 ¼ 0 è:
a. parallela alla retta di equazione y ¼ 2x þ 1;
[k ¼ 3]
1
b. perpendicolare alla retta di equazione y ¼ x.
3
4
k¼
3
a. parallela all’asse x;
[k ¼ 4]
b. parallela all’asse y;
[k ¼ 5]
c. parallela alla retta di equazione 2x þ 4y þ 3 ¼ 0.
[k ¼ 3]
d. perpendicolare alla retta di equazione:
2x 3y þ 5 ¼ 0
[k ¼ 7]
a. passa per il punto Pð1, 1Þ;
[k ¼ 1]
[k ¼ 2]
c. è parallela all’asse y;
[Impossibile]
d. è parallela alla retta di equazione y ¼ 2x;
e. è perpendicolare alla retta di equazione:
xþyþ3¼0
[k ¼ 2]
[k ¼ 4]
215 Determina per quali valori di k la retta di equazione
Þ
2x ðk 2Þy þ 2 ¼ 0:
[k ¼ 4]
a. passa per il punto Pð2, 3Þ;
b. è parallela all’asse x;
[Impossibile]
c. è parallela alla retta di equazione y ¼ 2x þ 1; [k ¼ 1]
216 Determina per quali valori di k la retta di equazione
Þ
ðk þ 1Þx ðk þ 2Þy þ 2 ¼ 0:
4
a. passa per il punto Pð2, 4Þ;
k¼
3
b. è parallela all’asse y;
[k ¼ 2]
c. è parallela alla retta di equazione 4x þ 2y 3 ¼ 0; 5
k¼
3
d. è perpendicolare all’asse y;
[k ¼ 1]
e. è perpendicolare alla retta di equazione: 11
x 5y 3 ¼ 0
k¼
6
8. Come determinare l’equazione di una retta
Rette nel piano cartesiano
b. è parallela all’asse x;
[k ¼ 2]
2
e. è perpendicolare alla retta di equazione y ¼ x.
3
2
k¼
3
d. è perpendicolare all’asse x;
Unità 4
Determina per quali valori di k la retta di equazione
ðk 2Þx 2y þ 1 ¼ 0:
214
Þ
TEORIA a p. 191
Esercizi preliminari
Test
217 Quale delle seguenti è l’equazione della retta pasÞ
sante per Pð1, 3Þ e parallela alla retta di equazione
y ¼ 2x?
A
B
C
D
Quale delle seguenti formule fornisce il coefficiente
angolare della retta passante per Að3, 4Þ e Bð5, 7Þ?
35
47
A mAB ¼
C mAB ¼
47
53
43
74
B mAB ¼
D mAB ¼
75
53
219
Þ
y þ 3 ¼ 2ðx 1Þ
y 3 ¼ 2ðx þ 1Þ
y 3 ¼ 2ðx þ 1Þ
y þ 3 ¼ 2ðx 1Þ
Quale delle seguenti è l’equazione della retta passante per Pð1, 2Þ e perpendicolare alla retta di equazio1
ne y ¼ x?
3
A y 2 ¼ 3ðx þ 1Þ
C y þ 2 ¼ 3ðx 1Þ
B y 2 ¼ 3ðx þ 1Þ
D y þ 2 ¼ 3ðx 1Þ
218
Þ
220 Quale delle seguenti è l’equazione della retta pasÞ
sante per Að1, 0Þ e Bð0, 3Þ?
A
B
C
D
y
y
y
y
¼ 3x 3
¼ 3x þ 3
¼ 3x þ 3
¼ 3x 3
Retta passante per un punto e parallela a una retta data
221
Þ
ESERCIZIO GUIDATO
Determina l’equazione della retta passante per
Pð1, 3Þ e parallela alla retta s: x 3y þ 1 ¼ 0:
Scrivi l’equazione della retta s in forma esplicita; ricavi
cosı̀ che il coefficiente angolare di s è ms ¼ :::::.
La retta cercata è quella passante per Pð1, 3Þ e di coefficiente angolare ms , quindi la sua equazione è:
y yP ¼ ms ðx xP Þ
ossia:
y 3 ¼ :::::::::: ðx ð::::::::::ÞÞ
Svolgendo i calcoli, troverai che l’equazione esplicita del1
la retta richiesta è y ¼ x þ ::::::::::
3
Scrivi l’equazione della retta passante per P e parallela
alla retta r.
222
Þ
223
Þ
224
Þ
Pð1, 3Þ
r: y ¼ 2x 1
Pð1, 2Þ
r: 2x y þ 1 ¼ 0
[y ¼ 2x]
Pð1, 3Þ
r: 2x þ y 1 ¼ 0
225
Þ
Pð1, 3Þ
r: 2x 3y þ 1 ¼ 0
226
Þ
Pð1, 3Þ
r:
[y ¼ 2x þ 1 ]
2
7
y ¼ xþ
3
3
3
9
y ¼ xþ
2
2
x
y
þ ¼1
2
3
[y ¼ 2x þ 1]
227 Scrivi le equazioni delle rette, passanti per Pð1, 0Þ,
Þ
che formano un parallelogramma con le rette di equazio1
ni y ¼ x 4 e y ¼ x þ 2. Individua poi le coordinate dei
2
vertici di tale parallelogramma.
1
1
y ¼ x 1; y ¼ x ; ð1, 0Þ; ð7, 3Þ; ð12, 8Þ; ð6, 5Þ
2
2
217
Sistemi lineari e retta
Tema B
Siano A e B, rispettivamente, i punti di intersezione della retta di equazione con 2x þ y 2 ¼ 0 con l’asse x e con
l’asse y. Dal punto A conduci la parallela alla retta di equazione x þ 2y þ 1 ¼ 0 e indica con C il punto di intersezione
di
3
tale parallela con l’asse y. Determina l’area del triangolo ABC.
4
228
Þ
Di un triangolo ABC si sa che A(2, 1) e C(4, 3) e che la retta AB ha equazione y ¼ 2x þ 5. Qual è l’equazione della
retta che congiunge i punti medi di AC e BC?
[y ¼ 2x þ 8]
229
Þ
Retta passante per un punto e perpendicolare a una retta data
230
Þ
ESERCIZIO GUIDATO
Scrivi l’equazione della retta passante per P e perpendicolare alla retta r.
Determina l’equazione della retta passante per
Pð1, 3Þ e perpendicolare alla retta s: x 3y þ 1 ¼ 0.
Scrivi l’equazione della retta s in forma esplicita; puoi riconoscere cosı̀ che il coefficiente angolare di s è
ms ¼ ::::::::::
La retta cercata è quella passante per Pð1, 3Þ e di coeffi1
, quindi la sua equazione è:
ciente angolare ms
1
y yP ¼ ðx xP Þ
ms
ossia:
y 3 ¼ :::::::::: ðx ð::::::::::ÞÞ
Svolgendo i calcoli, trovi che l’equazione esplicita della
retta richiesta è y ¼ ::::::::::
r: y ¼ x þ 1
1
r: y ¼ x þ 2
2
231
Þ
232
Þ
Pð1, 1Þ
233
Þ
Pð1, 2Þ
r: 2x y þ 1 ¼ 0
234
Þ
Pð2, 3Þ
r: 2x 3y þ 1 ¼ 0
235
Þ
236
Þ
Pð1, 1Þ
r: x þ 4y 1 ¼ 0
Pð1, 1Þ
[y ¼ x]
[y ¼ 2x þ 3]
1
5
y ¼ x
2
2
3
y ¼ xþ6
2
[y ¼ 4x þ 5]
Considera la retta r di equazione x þ 2y 2 ¼ 0 e
indica con A e B, rispettivamente, i punti di intersezione
di r con l’asse y e con l’asse x. Da A e da B conduci, rispettivamente, le rette s e t, perpendicolari a r, e indica con D
il punto di intersezione di s con l’asse x e con C il punto
di intersezione di t con l’asse y. Determina l’area del tra
25
pezio ABCD.
4
Coefficiente angolare della retta passante per due punti
237
Þ
Determina il coefficiente angolare delle rette disegnate nelle seguenti figure.
y
y
y
6
5
5
O
2
x
–4
O
x
O
–2
–1
3
x
Disegna la retta che passa per A e per B e determina, se esiste, il suo coefficiente angolare.
218
238
Þ
Að3, 0Þ, Bð4, 1Þ
239
Þ
Að2, 0Þ, Bð6, 3Þ
240
Þ
Að5, 4Þ, Bð0, 4Þ
241
Þ
Að6, 3Þ, Bð9, 0Þ
242
Þ
Að7, 0Þ, Bð7, 8Þ
243
Þ
Að4,
1
7
3
4
pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
2Þ, Bð3, 2 2Þ
[0]
1
5
[Non è definito]
"
pﬃﬃﬃ #
3 2
7
245 Stabilisci se le rette r ed s disegnate nella figura qui
Þ
sotto sono perpendicolari.
y
y
C
A
D
B
O
x
O
A
B
246
Þ
Rette nel piano cartesiano
C
Unità 4
244 Stabilisci se i due segmenti AB e CD disegnati nella
Þ
figura qui sotto sono paralleli.
ESERCIZIO GUIDATO
5
Considera i punti Að0, 0Þ, Bð2, 4Þ, Cð0, 5Þ, D , 0
2
e verifica che il quadrilatero ABCD è un trapezio rettangolo.
Disegnando il quadrilatero ABCD (vedi figura qui sotto) puoi riconoscere che le basi del trapezio sono AB e
CD e che il lato perpendicolare alle basi è BC.
y
x
D
Sono dati i punti Að1, 0Þ, Bð3, 0Þ, Cð1, 4Þ, Dð0, 2Þ.
Verifica che il quadrilatero ABCD è un trapezio e stabilisci
se è isoscele.
[Non è isoscele]
247
Þ
Sono dati
i quattro punti Að0, 0Þ, Bð4, 2Þ, Cð2, 3Þ,
4 8
. Verifica che il quadrilatero ABCD è un traD ,
5 5
pezio rettangolo.
248
Þ
249
Þ
ESERCIZIO SVOLTO
Stabiliamo se i punti Að1, 4Þ, Bð1, 0Þ e Cð2, 2Þ sono
allineati.
C(0, 5)
B(2, 4)
 5 
D  – ,0
2
O
A(0, 0)
x
Devi quindi verificare che le rette AB e CD sono parallele e che la retta BC è perpendicolare ad AB (e quindi anche a DC). A tal scopo non è necessario scrivere le
equazioni delle rette AB e CD, basta determinare i loro
coefficienti angolari.
Il coefficiente angolare della retta AB è:
mAB ¼
yB yA
¼
xB xA
:::::::::::::::
:::::::::::::::
¼ :::::::::::::::
Il coefficiente angolare della retta CD è:
mCD ¼
yD yC
¼
xD xC
:::::::::::::::
:::::::::::::::
¼ :::::::::::::::
Dal momento che mAB ¼ mCD , puoi concludere che le
due rette AB e CD sono effettivamente ............... (quindi
ABCD è un trapezio).
Il coefficiente angolare della retta BC è:
mBC ¼
yC yB
:::::::::::::::
¼ :::::::::::::::
¼
:::::::::::::::
xC xB
Dal momento che mAB mBC ¼ ::::::::::, puoi concludere
che le due rette AB e BC sono effettivamente ...............
(quindi il trapezio ABCD è rettangolo).
Basta calcolare i coefficienti angolari delle due rette AB e
BC: se sono uguali, allora i punti sono allineati, altrimenti
non lo sono (sai giustificare perché?). Abbiamo che:
yB yA
04
¼ 2
mAB ¼
¼
1 ð1Þ
xB xA
mBC ¼
yC yB
20
¼2
¼
21
xC xB
Quindi i punti non sono allineati.
Stabilisci se A, B e C sono allineati.
250
Þ
Að2, 0Þ, Bð1, 2Þ, Cð0, 4Þ
251
Þ
Að2, 3Þ, Bð0, 2Þ, Cð2, 0Þ
252
Þ
Að0, 3Þ, Bð1, 0Þ, Cð2, 3Þ
253
Þ
Að1, 3Þ Bð3, 4Þ, Cð9, 6Þ
[Allineati]
[Non allineati]
[Allineati]
[Non allineati]
Determina per quale valore di k la retta passante per
Að1, kÞ e Bð3, 5Þ ha coefficiente angolare uguale a 2.
[k ¼ 13]
254
Þ
Determina per quale valore di k la retta passante per
Að1, kÞ e Bð3, 5Þ è parallela alla retta di equazione
y ¼ 4x þ 8.
½k ¼ 21
255
Þ
Determina per quale valore di k la retta passante per
Að1, kÞ e Bðk, 3Þ è perpendicolare alla retta di equazione
1
3
y ¼ x þ 1.
k
¼
3
2
256
Þ
219
Sistemi lineari e retta
Tema B
Retta passante per due punti
257
Þ
ESERCIZIO GUIDATO
Scrivi le equazioni delle rette passanti per A e per B.
Að1, 0Þ
1
259
A
0,
Þ
4
Scrivi l’equazione della retta AB, in ciascuno dei seguenti casi:
a. A(1, 2), B(1, 10)
258
Þ
b. A(1, 2), B(2, 5)
a. Osserva che i due punti A e B hanno la stessa ascissa,
quindi puoi subito dire che l’equazione della retta AB è
..........
b. Determina innanzitutto il coefficiente angolare della retta AB:
5 :::::
:::::
¼
¼ ::::::::::
mAB ¼
2 ð::::::::::Þ
:::::
½y ¼ x þ 1
1
1
y ¼ xþ
8
4
Bð3, 4Þ
Bð2, 0Þ
260
Þ
Að1, 1Þ
Bð1, 3Þ
261
Þ
Að0, 3Þ
Bð4, 0Þ
262
Þ
263
Þ
264
Þ
Að1, 4Þ
Bð2, 4Þ
Að1, 6Þ
Bð4, 0Þ
½x ¼ 1
3
y ¼ xþ3
4
½y ¼ 4
½y ¼ 2x þ 8
Scrivi le equazioni delle rette disegnate nelle seguenti figure; un quadretto corrisponde all’unità.
y
Ora per determinare l’equazione della retta AB puoi scrivere, per esempio, l’equazione della retta passante per
A(1, 2) e di coefficiente angolare mAB ; l’equazione di tale retta è:
y
y ::::: ¼ ::::: ðx ð:::::ÞÞ
O
da cui, sviluppando i calcoli:
x
O
x
y ¼ ::::::::::
265 Ognuna delle seguenti figure rappresenta un sistema di due equazioni in due incognite. Per ciascuna figura, scrivi
Þ
un sistema che sia rappresentato dalle rette in figura; un quadretto corrisponde all’unità.
y
O
266
Þ
y
x
y
O
x
O
x
Scrivi le equazioni delle rette cui appartengono i lati del triangolo ABC, essendo Að2, 0Þ, Bð0, 3Þ, Cð2, 1Þ.
½3x 2y þ 6 ¼ 0; 2x þ y 3 ¼ 0; x þ 4y þ 2 ¼ 0
Scrivi le equazioni delle rette cui appartengono le mediane del triangolo ABC, essendo Að1, 2Þ, Bð3, 4Þ,
Cð5, 0Þ.
½3x þ 4y 15 ¼ 0; y 2 ¼ 0; 3x y 5 ¼ 0
267
Þ
Scrivi le equazioni delle rette che contengono i lati del quadrilatero ABCD, di vertici Að1, 2Þ, Bð2, 4Þ, Cð2, 0Þ,
Dð0, 5Þ, e stabilisci se si tratta di un trapezio.
5
y ¼ 2x; x ¼ 2; y ¼ ðx 2Þ; y ¼ 3x þ 5; non è un trapezio
2
268
Þ
Scrivi le equazioni delle rette cui appartengono i lati del quadrilatero ABCD, di vertici Að2, 0Þ, Bð0, 2Þ, Cð4, 0Þ,
Dð0, 1Þ, e stabilisci se si tratta di un trapezio.
1
1
1
y ¼ x 2; y ¼ x 2; y ¼ x þ 1; y ¼ x þ 1; è un trapezio
2
4
2
269
Þ
270
Þ
Determina, in dipendenza da a, l’equazione della retta passante per Að2, aÞ e Bð3, 4Þ.
[Per ogni a 2 R, la retta AB ha equazione y ¼ ð4 aÞx þ 3a 8]
271
Þ
220
Determina, in dipendenza da a, l’equazione della retta passante per Aða, 1Þ e Bð2, 1Þ.
Se a ¼ 2, la retta AB ha equazione x ¼ 2; se a 6¼ 2, la retta AB ha equazione y ¼
2
aþ2
x
a2
a2
Determina l’asse del segmento AB.
Að1, 3Þ, Bð1, 5Þ
[y ¼ x þ 4]
273
Þ
Að1, 0Þ, Bð2, 3Þ
274
Þ
Að0, 1Þ, Bð2, 0Þ
275
Þ
Að1, 1Þ, Bð3, 2Þ
[y ¼ x þ 2]
3
y ¼ 2x 2
11
y ¼ 2x 2
276 Determina l’equazione della retta cui appartiene
Þ
l’altezza relativa ad AB nel triangolo ABC di vertici
Að1, 0Þ, Bð2, 1Þ, Cð1, 3Þ.
[y ¼ 3x þ 6]
Determina le equazioni delle rette cui appartengono le tre altezze del triangolo ABC di vertici Að0, 1Þ,
Bð4, 1Þ, Cð1, 3Þ.
3
1
x ¼ 1; y ¼ x þ 1; y ¼ x þ 3
2
2
277
Þ
278 Determina l’equazione della retta passante per
Þ
Pð1, 3Þ:
a. parallela alla retta passante per i punti Að1, 2Þ e
Bð2, 3Þ;
b. perpendicolare alla retta passante per i punti
Qð2, 1Þ e Rð3, 2Þ.
1
10
a. y ¼ x þ 2; b. y ¼ x þ
3
3
Considera il triangolo di vertici Að1, 0Þ, Bð1, 1Þ e
Cð2, 2Þ.
279
Þ
a. Determina il suo perimetro e la sua area.
b. Stabilisci se il triangolo è rettangolo.
c. Determina l’equazione della retta che contiene la
mediana relativa ad AB.
d. Determina l’equazione della retta che contiene l’altezza relativa ad AB.
pﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
7
a. Perimetro ¼ 5 þ 10 þ 13, Area ¼ ;
2
5
1
b. non è rettangolo; c. y ¼ x ; d. y ¼ 2x 2
4
2
280 Determina l’equazione della retta passante per il
Þ
punto Pð1, 2Þ:
a. parallela alla retta passante per Að4, 2Þ, Bð0, 2Þ;
b. perpendicolare alla retta passante per Að1, 4Þ e
Bð8, 5Þ.
[a. y ¼ x þ 3; b. y ¼ 9x þ 11]
281 Scrivi l’equazione della retta, passante per il punto
Þ
di intersezione delle rette di equazioni y ¼ x 1 e y ¼ 2x,
parallela alla retta di equazione 6x þ 2y 1 ¼ 0.
[y ¼ 3x 5]
282 Determina per quali valori di k la retta passante per
Þ
Að3, 1Þ e per Bðk, 4Þ, risulta:
a. parallela alla retta di equazione y ¼ 3x þ 1;
[k ¼ 4]
b. perpendicolare alla retta di equazione:
9
2x þ 4y þ 5 ¼ 0
k¼
2
a. parallela alla retta di equazione y ¼ x 1; [k ¼ 2]
b. perpendicolare alla retta di equazione:
4x þ y 1 ¼ 0
[k ¼ 3]
284 Scrivi l’equazione della retta, passante per il punto
Þ
di intersezione delle rette di equazioni x þ 2y ¼ 1 e
3x 2y ¼ 5, perpendicolare alla retta che passa per l’ori
1
1
gine e per Pð1, 3Þ.
y ¼ xþ
3
4
1
285
Þ
Sono
dati i punti A 2 , 2 , Bð2, 1Þ, Cð4, 1Þ,
5
,4 .
D
2
Rette nel piano cartesiano
272
Þ
283 Determina per quale valore di k la retta passante per
Þ
Að1, 2Þ e Bð3, kÞ risulta:
Unità 4
Esercizi riassuntivi su rette parallele e perpendicolari, punti di intersezione tra rette
e determinazione dell’equazione di una retta
a. Verifica che il quadrilatero ABCD è un parallelogramma.
b. Scrivi le equazioni delle rette che contengono le diagonali del parallelogramma.
c. Determina il punto di intersezione delle diagonali
del parallelogramma.
2
15
9 3
b. y ¼ x þ
, y ¼ 10x 21; c.
,
7
7
4 2
Sia P il punto di intersezione delle rette di equazioni
x y 1 ¼ 0 e x þ 2y þ 1 ¼ 0 e r la retta di equazione
2x þ y þ 1 ¼ 0. Scrivi l’equazione della retta passante per
P e parallela a r e l’equazione della retta passante per P e
1
5
perpendicolare a r.
y ¼ 2x, y ¼ x 2
6
286
Þ
Considera il triangolo di vertici Að1, 1Þ, Bð0, 2Þ e
Cð3, 1Þ.
287
Þ
a. Verifica che è isoscele e determina il suo perimetro e
la sua area.
b. Stabilisci se il triangolo è rettangolo.
c. Determina le equazioni delle rette che contengono i
suoi lati.
d. Determina l’equazione della retta che contiene l’altezza relativa all’ipotenusa.
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
a. Perimetro ¼ 2 5 þ 2 10, Area ¼ 5;
1
b. è rettangolo in B; c. y ¼ 3x þ 2, y ¼ x þ 2,
3
1
1
y ¼ x ; d. y ¼ 2x þ 2
2
2
Determina la proiezione ortogonale P0 di Pð1, 3Þ
1 5
sulla retta r: y ¼ 3x þ 1.
P0 ,
2 2
288
Þ
Dati i punti Að0, 1Þ e Cð4, 1Þ, determina i restanti
vertici del rombo ABCD, di diagonale AC, sapendo che B
appartiene alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.
4 4
8
4
B
,
,D
,
3 3
3
3
289
Þ
Determina la proiezione ortogonale P 0 di Pð1, 1Þ
1
2 11
sulla retta r: y ¼ x þ 2.
P0 ,
2
5
5
290
Þ
221
Sistemi lineari e retta
291
Þ
292
Þ
Tema B
294
Þ
Determina per quale valore di a il punto Pða 1, 2aÞ appartiene alla retta passante per Að0, 1Þ e Bð2, 4Þ.
[a ¼ 7]
Determina i vertici del rombo ABCD, di cui sono noti i vertici Að1, 0Þ e Bð1, 2Þ, sapendo che la retta a cui appartie 3
4
7
14
ne la diagonale BD è parallela alla retta di equazione 2x y 1 ¼ 0.
,
,D ,
C
5
5
5
5
Determina il vertice C del triangolo ABC, isoscele sulla base AB, sapendo che Að0, 2Þ, Bð2, 0Þ e che C appartiene alla
5 5
retta di equazione x þ y 5 ¼ 0.
C
,
2 2
293
Þ
Sono dati i punti Að1, 0Þ e Cð2, 3Þ. Determina i vertici del rettangolo ABCD, in cui AC è una diagonale, sapendo
che il lato AB è parallelo alla retta di equazione y ¼ 2x.
4 18
1
3
,
,D
,
B
5
5
5
5
19
18
0
0
,
295
Determina
il
punto
P
,
simmetrico
di
Pð1,
2Þ
rispetto
alla
retta
r:
x
þ
2y
þ
4
¼
0.
P
Þ
5
5
296
Þ
Di un triangolo ABC si sa che:
la retta passante per il punto medio M del lato AC e per il punto medio N del lato BC ha equazione y ¼ 7
11
xþ
;
3
2
il punto M e il vertice B appartengono all’asse y;
il vertice A ha coordinate ð3, 3Þ.
½Bð0, 4Þ;Cð3, 8Þ
Determina le coordinate dei vertici B e C.
Determina il punto P, d’intersezione tra la bisettrice del secondo e del quarto quadrante, e l’asse del segmento di
estremi Að4, 2Þ e Bð0, 4Þ.
1
1
,
P
3
3
298
Determina
l’ortocentro
del
triangolo
ABC,
di
vertici
Að2,
0Þ,
Bð5,
0Þ,
Cð0,
2Þ.
Þ
(Suggerimento: ricorda che l’ortocentro è il punto in comune alle rette che contengono le altezze di un triangolo; per individuarlo, basta determinare le coordinate del punto di intersezione delle rette che contengono due delle tre altezze del
triangolo)
[0, 5]
297
Þ
½ð5, 4Þ
299
Þ
Determina l’ortocentro del triangolo ABC, di vertici Að1, 2Þ, Bð3, 2Þ, Cð5, 4Þ.
300
Þ
Metodi a confronto Determina la distanza del punto Pð6, 4Þ dalla retta r: x 2y þ 4 ¼ 0 nei seguenti due modi:
a. determinando le coordinate della proiezione H di P su r e calcolando la distanza PH;
b. determinando preliminarmente l’area del triangolo APB, essendo A e B i punti di intersezione di r con le parallele agli
assi cartesiani passanti per P, e calcolando poi la distanza di P da r come altezza relativa ad AB di tale triangolo.
pﬃﬃﬃ
[Distanza ¼ 2 5]
Metodi a confronto Determina il baricentro G del triangolo di vertici Að1, 2Þ, Bð1, 3Þ e Cð0, 4Þ, nei seguenti due
modi:
a. determinando il punto di intersezione di due mediane del triangolo;
b. ricordando la proprietà in base alla quale il baricentro divide ciascuna mediana in due parti tali che quella contenente
un vertice del triangolo è doppia dell’altra.
½Gð0, 3Þ
301
Þ
9. Distanza di un punto da una retta
302
Þ
ESERCIZIO GUIDATO
Determina la distanza del punto Pð1, 1Þ dalla retta r
di equazione x þ 2y 3 ¼ 0.
Applica la formula:
jax0 þ by0 þ cj
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
d¼
a2 þ b 2
con a ¼ 1, b ¼ 2, c ¼ 3, x0 ¼ 1, y0 ¼ 1. Ottieni:
pﬃﬃﬃ
j1 ::::: þ 2 ð:::::Þ þ ð3Þj
j:::::j
4 5
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼
d¼
5
:::::2 þ :::::2
:::::
222
TEORIA a p. 195
Determina la distanza del punto P dalla retta r.
" pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ #
3 10
303 Pð1, 2Þ
r: x þ 3y 1 ¼ 0
Þ
5
304
Þ
Pð0, 0Þ
r: x þ y þ 1 ¼ 0
305
Þ
Pð1, 2Þ
r:x 3y þ 1 ¼ 0
306
Þ
Pð2, 1Þ
r: 4x þ 3y 1 ¼ 0
" pﬃﬃﬃ #
2
2
" pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ #
4 10
5
[2]
Unità 4
307
Þ
ESERCIZIO SVOLTO
Determiniamo la misura dell’area del triangolo ABC, di vertici Að2, 2Þ, Bð2, 0Þ, Cð4, 6Þ.
y
1
A ¼ AB CH
2
C
essendo CH l’altezza relativa ad AB del triangolo ABC.
A
Mediante la formula per calcolare la distanza tra due punti si ricava:
pﬃﬃﬃ
AB ¼ 2 5
x
O H B
La misura di CH non è altro che la distanza di Cð4, 6Þ dalla retta AB.
Rette nel piano cartesiano
La misura A dell’area del triangolo è data, per esempio, dalla formula:
Seguendo i metodi esposti nel Paragrafo 4 si ricava che l’equazione della retta AB è x þ 2y 2 ¼ 0; mediante la formula
della distanza di un punto da una retta otteniamo:
pﬃﬃﬃ
j1 4 þ 2 6 2j
14 5
pﬃﬃﬃ
.
CH ¼ dðC, rAB Þ ¼
¼
5
5
pﬃﬃﬃ
1 pﬃﬃﬃ 14 5
¼ 14.
La misura dell’area di ABC è quindi uguale a 2 5 2
5
Determina la misura dell’area del triangolo ABC.
308
Þ
Að0, 2Þ, Bð1, 1Þ, Cð2, 0Þ.
309
Þ
Að2, 0Þ, Bð1, 2Þ, Cð2, 3Þ
[2]
11
2
310
Þ
311
Þ
Að1, 2Þ, Bð0, 3Þ, Cð4, 1Þ
312
Þ
Að2, 1Þ, Bð4, 0Þ, Cð3, 3Þ
[4]
Að0, 1Þ, Bð2, 3Þ, Cð5, 1Þ
[8]
5
2
Determina la misura dell’area del quadrilatero convesso ABCD, essendo A(0, 2), B(1, 0), C(2, 1), D(0, 3). (Suggerimen to: l’area del quadrilatero si può ottenere come somma delle aree di due opportuni triangoli)
5
2
313
Þ
314
Þ
Determina la misura dell’area del quadrilatero concavo ABCD, essendo A(1, 0), B(2, 2), C(0, 1), D(1, 1).
315
Þ
ESERCIZIO SVOLTO
[2]
Determiniamo la distanza tra le rette parallele r: x þ 3y þ 4 ¼ 0 ed s: x þ 3y þ 14 ¼ 0.
Date due rette parallele r ed s, la distanza tra r ed s si può determinare scegliendo arbitrariamente un punto su una delle due rette e calcolando la distanza di tale punto
dall’altra retta.
Scegliamo, per esempio, sulla retta r il suo punto di intersezione P con l’asse x, che
ha coordinate ð4, 0Þ e calcoliamo la distanza di P dalla retta s: x þ 3y þ 14 ¼ 0 mediante la formula che fornisce la distanza di un punto da una retta:
dðr, sÞ ¼ dðP, sÞ ¼
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
10
j1 ð4Þ þ 3 0 þ 14j
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ¼ 10
2
2
10
1 þ3
Determina la distanza tra le seguenti coppie di rette
parallele.
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
316 4x þ y þ 1 ¼ 0, 4x þ y þ 18 ¼ 0
½ 17
Þ
pﬃﬃﬃ
317 y ¼ 2x 3, y ¼ 2x 8
½ 5
Þ
1
318 3x þ 4y ¼ 0, 3x þ 4y þ 1 ¼ 0
Þ
5
" pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ #
7 10
319 y ¼ 3x 1, y ¼ 3x þ 6
Þ
10
y
r
P
s
H
O
x
x +3
y+4
=0
x+3
y +1
4 =0
Scrivi l’equazione della retta r passante per Pð2, 0Þ
e parallela alla retta s di equazione 6x 8y þ 3 ¼ 0. Deter
9
mina quindi la distanza tra la retta r e la retta s.
10
320
Þ
Scrivi l’equazione della retta r passante per Pð0, 2Þ e
parallela alla retta s di equazione 2x 4y þ 5 ¼ 0. Deter" pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ #
mina quindi la distanza tra la retta r e la retta s.
3 20
321
Þ
20
223
Sistemi lineari e retta
10. Semipiani, segmenti, semirette, angoli e poligoni
Tema B
324
Þ
325
Þ
326
Þ
327
Þ
328
Þ
329
Þ
y0
330
Þ
y
nel piano cartesiano
TEORIA a p. 196
Semipiani
Rappresenta nel piano cartesiano i semipiani definiti dalle seguenti disequazioni.
1
322 y > 2x
335 y x þ 1
Þ
Þ
3
323 y x þ 2
Þ
336 x y 1 0
Þ
337
Þ
338
Þ
339
Þ
y >x3
y > 2x
x2
y > x þ 1
y < 1
3
xþ2
2
331 x > 3
Þ
1
x1
332 y >
Þ
2
3x þ 9 < 0
xy >0
2x y 6 0
1
y0
2
340
Þ
x
341
Þ
342
Þ
343
Þ
344
Þ
345
Þ
346
Þ
6 2x < 0
347
Þ
x
3x y 1 < 0
2y þ 4 0
xþyþ10
x 2y 4 0
2x y > 0
333
Þ
334
Þ
y < x
348
Þ
Scrivi le disequazioni che rappresentano i semipiani colorati nelle seguenti figure.
y xþ2
y
1
y3<0
2
y
y
4
3
1
–2 O
349
Þ
x
x
O
O
–2
Scrivi le disequazioni che rappresentano i semipiani colorati nelle seguenti figure.
y
y
y
2
135°
–3
O
x
O
x
O
Segmenti e semirette
Rappresenta graficamente i segmenti o le semirette rappresentati dai seguenti sistemi misti.
8
1
<
y ¼ 2x þ 2
y¼ x
350
353
2
Þ
Þ
:
1 x 2
x2
x þ y ¼ 2
y ¼ x þ 1
354
Þ
351
Þ
x>4
1 x 2
y ¼ 2x þ 2
y ¼ 2x þ 1
355
352
Þ
Þ
1 < x < 0
x 1
224
x
2
x
4
8
< 3x y 3 ¼ 0
358
2
Þ
:x >
3
x 2y 2 ¼ 0
359
Þ
4 < x 6
Scrivi un sistema misto che rappresenti le semirette e i segmenti disegnati nelle seguenti figure. Il punto pieno è
da considerare incluso e il punto vuoto escluso.
360
Þ
y
y
y
5
–4
O
2
x
O
2
–2
x
O
–1
–2
361
Þ
y
x
y
y
4
Rette nel piano cartesiano
1
xþ2
356
3
Þ
:
3 < x 3
2x 6y þ 1 ¼ 0
357
Þ
x4
y¼
Unità 4
8
<
4
3
O 2
x
–4
O
2
–2
x
O
x
–2
Rappresenta graficamente la semiretta definita dal sistema misto
rente, che rappresenti però la medesima semiretta.
362
Þ
363 Rappresenta graficamente il segmento definito dal sistema misto
Þ
ferente, che rappresenti però il medesimo segmento.
2x y 4 ¼ 0
. Scrivi poi un sistema misto diffey 2
x 3y 2 ¼ 0
. Scrivi poi un sistema misto dif4 x 1
Angoli, strisce e poligoni
Rappresenta graficamente le regioni di piano (angoli, strisce o poligoni) definite dai seguenti sistemi.
8
< x 3
xþyþ10
y4
364
370
Þ
Þ
:
xþyþ30
y x3
8
y x 1
< y 2x þ 1
365
Þ
2x y þ 2 < 0
371
Þ :x y 0
8
y 2x þ 2
<x < 0
x
þ
y
>
0
366
8
Þ:
x>0
>
>
y < 2x þ 3
>
<x < y þ 3
8
372
x3
Þ
>
>
x 2y þ 6 > 0
>
>
< x þ 2y þ 1 > 0
>
:
2x þ 3y 16 < 0
367
Þ
>
y > 2x
>
:
8
y <xþ3
y 1
>
>
>
<y 2
8
x
þ
2
>
0
<
373
Þ
>
y <xþ4
>
2y 4 < 0
368
Þ
>
:
:
y < x þ 3
y 2x
8
< y x þ 1
y xþ3
369
Þ
:
y 2x
8
<y x
374
Þ : y x þ 2
y 2x 1
225
Scrivi un sistema che rappresenti le regioni di piano colorate nelle seguenti figure.
y
y
y
5
4
O
1
x
O
x
O
–5
4
2
x
3
–2
5
–6
–4
Tema B
Sistemi lineari e retta
375
Þ
–5
Esercizi vari
376
Þ
ESERCIZIO SVOLTO
Determiniamo un sistema di disequazioni che rappresenti il triangolo di vertici Að2, 0Þ, Bð0,3Þ, Cð3, 0Þ e stabiliamo per quali valori di a il punto Pð2a, 2a 1Þ appartiene a tale triangolo.
Dopo aver rappresentato graficamente il triangolo, ricaviamo le equazioni delle rette AB, BC e AC:
3
– la retta AB ha equazione y ¼ x þ 3;
2
– la retta BC ha equazione y ¼ x þ 3;
– la retta AC ha equazione y ¼ 0 (coincide con l’asse xÞ
y
B
A
O
C
x
Il triangolo ABC si può ottenere come intersezione di tre semipiani chiusi: quello
«al di sotto» della retta AB, quello «al di sotto della retta BC» e quello «al di sopra»
della retta AC. Pertanto, è rappresentato dal sistema:
8
y0
>
>
<
3
y xþ3
>
2
>
:
y x þ 3
Il punto Pð2a, 2a 1Þ appartiene al triangolo se e solo se le sue coordinate soddisfano questo sistema, cioè se e solo se
8
2a 1 0
>
>
<
3
risulta: 2a 1 2a þ 3
>
2
>
:
2a 1 2a þ 3
1
Risolvendo quest’ultimo sistema si trova che deve essere a 1.
2
377 Scrivi un sistema che rappresenti il quadrato coloraÞ
to in figura e stabilisci per quali valori di a il punto
Pð3a, 1 aÞ è interno a tale quadrato (ossia appartiene al
quadrato ma non alla sua frontiera).
y
C
D
O
226
Un rombo ABCD ha due vertici in Að0, 2Þ e
Bð4, 0Þ e il centro del rombo coincide con l’origine degli
assi. Scrivi un sistema che rappresenti il rombo e stabilisci
per quali valori di a il punto Pð2a, a 1Þ appartiene al
rombo.
1
3
a
2
2
379
Þ
B
A
378 Scrivi un sistema che rappresenti i punti interni al
Þ
trapezio ABCD (cioè i punti che appartengono al trapezio
ma non alla sua frontiera), essendo Að2, 0Þ, Bð3, 0Þ,
Cð1, 4Þ, Dð2, 4Þ. Stabilisci per quali valori di a il punto
Pða 1, aÞ è interno a tale trapezio.
8
0<a<
3
x
1
3
<a<
2
4
TEORIA a p. 201
Problemi di scelta
Per il noleggio di un’auto, due diverse compagnie offrono le seguenti condizioni:
a. La compagnia A applica 20 euro di costo fisso più 50 euro per ogni giorno di noleggio.
b. La compagnia B non applica nessun costo fisso e richiede 60 euro per ogni giorno di noleggio.
Stabilisci, in dipendenza del numero di giorni per cui si vuole noleggiare l’auto, qual è la scelta più conveniente.
[Per un solo giorno di noleggio conviene la compagnia B,
per più di 2 giorni conviene la compagnia A, per 2 giorni è indifferente]
381
Þ
A un promotore di polizze assicurative vengono proposti due tipi di contratto:
a. 500 euro al mese più un compenso di 100 euro per ogni polizza stipulata.
b. 1000 euro al mese più un compenso di 50 euro per ogni polizza stipulata.
Rette nel piano cartesiano
380
Þ
Unità 4
11. Problemi che hanno modelli lineari
Determina, in dipendenza del numero di polizze stipulate, il contratto più conveniente.
[Fino a 10 polizze al mese conviene il secondo contratto,
per più di 10 polizze conviene il primo; per 10 polizze è indifferente]
Per produrre un certo prodotto un’azienda ha la possibilità di utilizzare due macchinari diversi, che chiamiamo A e B.
Il macchinario A richiede 20 minuti di preparazione e produce 2 oggetti al minuto; il macchinario B richiede 10 minuti
di preparazione e produce 3 oggetti al minuto.
Determina, in dipendenza del numero di oggetti che si vogliono produrre, quale macchinario consente di impiegare meno tempo.
[Volendo produrre meno di 10 oggetti è più conveniente scegliere B;
per più di 10 oggetti è più conveniente A; per 10 oggetti è indifferente]
382
Þ
383
Þ
Una fabbrica deve scegliere se produrre:
a. un tessuto A che richiede costi fissi giornalieri di 1000 euro e fornisce un ricavo di 10 euro per metro di tessuto;
b. oppure un tessuto B che richiede costi fissi giornalieri di 2000 euro e fornisce un ricavo di 15 euro per metro di
tessuto.
Determina, al variare dei metri di tessuto che la fabbrica intende produrre giornalmente, la produzione più conveniente.
[Volendo produrre meno di 200 metri di tessuto al giorno conviene produrre il tessuto del tipo A;
volendo produrre più di 200 metri di tessuto conviene produrre il tessuto B;
per 200 metri la scelta è indifferente]
384
Þ
Per il trasporto di una certa merce due ditte diverse applicano le seguenti condizioni:
a. La ditta A applica una spesa fissa di 100 euro più 10 euro per ogni quintale di merce trasportata.
b. La ditta B non applica nessuna spesa fissa e chiede 12 euro per ogni quintale di merce trasportata.
Stabilisci, in dipendenza del numero di quintali di merce che si vogliono trasportare, la scelta più conveniente.
[Fino a 50 quintali conviene la ditta B; per più di 50 quintali conviene la ditta A;
per 50 quintali è indifferente]
385
Þ
Una banca propone tre diverse forme di investimento:
a. un rendimento annuo netto del 4% diminuito di 100 euro per le spese di gestione;
b. un rendimento annuo netto del 5% diminuito di 200 euro per le spese di gestione;
c. un rendimento annuo netto del 6% diminuito di 300 euro per le spese di gestione.
Determina, in dipendenza del capitale investito, qual è la forma di investimento più conveniente.
[Per capitali fino a 10 000 euro conviene il primo investimento; per capitali oltre i 10 000 euro il terzo,
per un capitale di 10 000 euro è indifferente scegliere la prima, la seconda o la terza forma di investimento]
386
Þ
Tre differenti compagnie telefoniche applicano le seguenti tariffe:
a. la compagnia A applica un costo fisso di 25 centesimi per ogni telefonata più 25 centesimi per ogni minuto di
conversazione;
b. la compagnia B applica un costo fisso di 40 centesimi per ogni telefonata più 20 centesimi per ogni minuto di
conversazione;
c. la compagnia C applica la tariffa di 30 centesimi per minuto di conversazione, senza costi fissi.
Stabilisci, in dipendenza della durata di una telefonata, quale scelta è la più conveniente.
[Fino a 4 minuti di conversazione è più conveniente C;
oltre i 4 minuti conviene B; per 4 minuti è indifferente B o C]
227
Sistemi lineari e retta
Tema B
387 Un ricco signore vuole ormeggiare durante la stagione estiva il suo panfilo per un certo periodo di tempo in un porÞ
ticciolo gestito da una club nautico. Ha le seguenti possibilità:
prendere in affitto il posto barca per l’intera stagione estiva (dal primo giugno al 30 settembre), pagando 3600 euro;
pagare la tariffa di ormeggio di 200 euro al giorno;
iscriversi al club, pagando una quota di iscrizione di 800 euro, quindi pagare la tariffa di ormeggio agevolata, di 40 euro al giorno.
Stabilisci qual è la scelta più conveniente, in relazione al numero dei giorni di ormeggio.
[Per meno di 5 giorni, conviene pagare la tariffa di ormeggio; per ormeggio tra i 5 e i 70 giorni, conviene iscriversi al club;
per più di 70 giorni di ormeggio conviene affittare per l’intera stagione; per 5 giorni è indifferente pagare la tariffa di
ormeggio o iscriversi al club; per 70 giorni è indifferente iscriversi al club o affittare per l’intera stagione]
388
Þ
A un rappresentante di televisori vengono proposte tre diverse forma di retribuzione:
a. la prima prevede 600 euro al mese, più 40 euro per ogni televisore venduto;
b. la seconda prevede 400 euro al mese, più 80 euro per ogni televisore venduto;
c. la terza non prevede nessuno stipendio fisso, ma 100 euro per ogni televisore venduto.
Stabilisci qual è la forma di retribuzione più conveniente, in relazione al numero di televisori venduti in un mese.
[Per meno di 5 televisori venduti in un mese conviene la prima forma di retribuzione; per vendite tra i 5 e i 20 televisori
conviene la seconda; per vendite superiori ai 20 televisori la terza; per 5 televisori è indifferente la prima o la seconda;
per 20 televisori è indifferente la seconda o la terza]
389
Þ
Per fabbricare dei bulloni un’azienda ha la possibilità di utilizzare tre macchinari diversi, che chiamiamo A, B e C:
a. il macchinario A richiede 10 minuti di preparazione e produce 4 bulloni al minuto;
b. il macchinario B richiede 15 minuti di preparazione e produce 6 bulloni al minuto;
c. il macchinario C richiede 30 minuti di preparazione e produce 10 bulloni al minuto.
Determina, in dipendenza del numero di bulloni che si vogliono produrre, quale macchinario consente di impiegare il
minimo tempo complessivo (intendendo come tempo complessivo la somma del tempo di preparazione e di quello di
produzione).
[Per meno di 60 bulloni conviene A, per una produzione tra i 60 e i 225 bulloni conviene B;
per più di 225 bulloni conviene C, per 60 bulloni è indifferente A o B; per 225 bulloni è indifferente B o C]
390
Þ
Figure dinamiche
A un assicuratore vengono offerte tre diverse forme di contratto:
1000 euro al mese più a euro per ogni polizza stipulata in quel mese;
1200 euro al mese più b euro per ogni polizza stipulata in quel mese;
1500 euro, indipendentemente dal numero di polizze stipulate.
Stabilisci, in dipendenza del numero di polizze che l’assicuratore stipula in un mese, il contratto più conveniente, in ciascuno dei seguenti tre casi:
a. a = 100 e b = 50
b. a = 100 e b = 75
c. a = 75 e b = 100
Problemi dalla realtà
Per frequentare una palestra si paga una quota mensile più una certa somma per ogni ora di attività. Il mese
scorso Patrizia ha fatto 9 ore di palestra e ha speso in tutto 138 euro. Marco ha fatto 15 ore di palestra e ha speso
in tutto 210 euro.
391
Þ
a. Indica con y il costo complessivo relativo a x ore di
palestra mensili. Giustifica perché la funzione f ; che
esprime y in funzione di x, è lineare e traccia il grafico di
f , unicamente sulla base delle informazioni date.
b. Qual è il coefficiente angolare di f ? Che cosa rappresenta in relazione al problema?
c. Qual è il termine noto di f ? Che cosa rappresenta in
relazione al problema?
d. Qual è l’espressione analitica della funzione f ?
[y ¼ 12x þ 30]
228
Le correnti d’aria, salendo verso l’alto, si espandono
e si raffreddano.
Una corrente d’aria ha, a terra, una temperatura di 15 e,
a 1 km di altitudine, una temperatura di 5 .
392
Þ
a. Esprimi, mediante un modello lineare, la temperatura T della corrente d’aria (in C) in funzione dell’altitudine h (in km).
Disegna il grafico della funzione ottenuta e spiega qual
è il significato del coefficiente angolare della retta, in
relazione a questo problema.
b. Stabilisci qual è la temperatura della corrente d’aria a
un’altitudine di 5 km.
c. Determina a quale altitudine la temperatura della
corrente d’aria sarà di 45 C.
[a. T ¼ 10h þ 15; b. 35 C; c. 6 km]
395 La relazione fra il record del mondo negli 800 metri
Þ
maschili (espresso in secondi) e l’anno in cui il record è
stato ottenuto si è mantenuta, nel corso degli anni, ap-
L’aspettativa di vita in Italia è cresciuta negli ultimi
decenni in modo approssimativamente lineare. Nel 1970
l’aspettativa di vita di una donna alla nascita era di 74,9
anni; nel 1997 di 81,3 anni. Costruisci un modello che
esprima l’aspettativa y di vita di una donna alla nascita in
funzione dell’anno x. Utilizzando tale modello, stima
quale sarà l’aspettativa di vita alla nascita nel 2020 e stabilisci quando l’aspettativa di vita alla nascita sarà di 90
anni.
[y ¼ 0,237x 392,063; nel 2020: circa 86,7 anni;
l’aspettativa di 90 anni verrà raggiunta
approssimativamente nel 2034]
396
Þ
Rette nel piano cartesiano
Il consumo di ossigeno di una persona (in litri per
minuto) è legato al numero di battiti cardiaci (al minuto)
da una relazione approssimativamente lineare. In media,
a 98 battiti al minuto, una persona consuma 1 litro di ossigeno e, a 155 battiti al minuto, consuma 1,5 litri di ossigeno. Esprimi il numero y di litri di ossigeno consumati
in un minuto in funzione del numero x di battiti cardiaci
x þ 16
(al minuto).
y¼
114
394
Þ
prossimativamente lineare.
Nel 1945, il record del mondo negli 800 metri era di
106.6 secondi. Nel 1985, era di 101,73 secondi. Esprimi,
mediante un modello lineare, il record R del mondo negli
800 metri in funzione dell’anno a.
In base a questo modello, stima quale è stato il record del
mondo nel 1995.
[R ¼ 0,12175a þ 343,40375; record nel 1995: 100,51]
Unità 4
La relazione che lega la temperatura F, misurata in
gradi Fahrenheit, alla temperatura C, misurata in gradi
centigradi, è lineare. Ricava tale relazione ricordando che
l’acqua congela a 0 centigradi, che corrispondono a 32
Fahrenheit, e bolle a 100 centigradi, che corrispondono
a 212 Fahrenheit.
9
F ¼ C þ 32
5
393
Þ
Problemi che hanno come modello funzioni lineari a tratti
397 Un negoziante vende delle penne al prezzo di 2 euÞ
ro ciascuna. Se si acquistano più di 10 penne, si gode di
uno sconto del 25% su ciascuna penna successiva alla decima. Esprimi la spesa in funzione del numero x di penne
acquistate e traccia il grafico della funzione ottenuta.
Un test è composto da 20 domande. Le prime 12
1
di punto, le domande dalla
domande valgono ognuna
4
1
tredicesima alla sedicesima valgono ognuna
punto, le
2
domande dalla diciassettesima alla ventesima valgono
ognuna 1 punto. Supponi di aver risposto esattamente alle prime x domande. Esprimi il punteggio in funzione di
x e traccia il grafico della funzione ottenuta.
398
Þ
399 In un hotel si spendono per la pensione completa
Þ
120 euro al giorno per ciascuno dei primi 7 giorni e 100
euro al giorno dall’ottavo in poi. Esprimi la spesa in funzione del numero x di giorni e traccia il grafico della funzione cosı̀ ottenuta.
400 Anna chiede due preventivi per organizzare un rinÞ
fresco.
il preventivo A prevede una quota fissa di 50 euro
più 5 euro per ogni persona;
il preventivo B prevede una quota fissa di 80 euro
più un costo di 2 euro a persona per i primi 15 invitati e di 6 euro a persona per ciascuno degli invitati
oltre il quindicesimo.
Stabilisci qual è il preventivo più conveniente, in relazione al numero di invitati.
[Il preventivo A conviene quando il numero di invitati è
minore di 10 o maggiore di 30, il preventivo B
conviene se il numero di invitati è compreso tra 10 e 30;
per 10 o 30 invitati è indifferente scegliere A o B]
401 Due società si noleggio delle auto praticano le seÞ
guenti tariffe:
società A: un forfait di 25 euro, cui si deve aggiungere 0,50 euro per ogni kilometro percorso;
società B: un forfait di 50 euro per percorsi fino a 80
kilometri, cui si deve aggiungere 1 euro per ogni kilometro percorso oltre gli 80.
Stabilisci qual è il preventivo più conveniente, in relazione al numero di kilometri percorsi.
[La società A conviene per percorsi inferiori a 50 km
o superiori a 110 km; la società B conviene per percorsi
compresi tra i 50 km e i 110 km; per percorsi di 50 km
o 110 km è indifferente scegliere la società A
o la società B]
402
Þ
Figure dinamiche
Dato un segmento AB, di misura 8, sia P un punto interno al segmento AB. Costruiti, dalla stessa parte rispetto
ad AB, i due quadrati APCD e PBEF, qual è la funzione
che esprime la lunghezza della poligonale ADCFEB colorata in rosso in funzione della misura x di AP? Quale deve essere la misura x di AP affinché la lunghezza della
poligonale sia minore di 20?
D
A
F
E
P
B
C
[2 < x < 6]
229
Sistemi lineari e retta
Tema B
Problemi che hanno come modello disequazioni (o sistemi di disequazioni)
lineari in due incognite
403
Þ
Una coppia di numeri naturali soddisfa le seguenti condizioni:
a. la somma del primo con il doppio del secondo è minore di 8;
b. la somma del triplo del primo con il secondo è minore di 9.
Individuare tutte le coppie di numeri naturali che soddisfano queste condizioni.
[(0,0); (1,0); (2,0); (0,1); (1,1); (2,1); (0,2); (1,2); (2,2); (0,3); (1,3)]
404 Si vogliono comprare penne e quaderni. Le penne costano 1 euro e i quaderni 75 centesimi. Si vogliono comprare
Þ
più di due penne e almeno un quaderno e si vuole spendere meno di 5 euro. Elenca tutti i possibili acquisti di penne e
quaderni.
[3 penne e uno o due quaderni, oppure 4 penne e 1 quaderno]
Un ascensore ha una portata massima di 500 kg. Supponiamo che sull’ascensore debbano salire bambini di 40 kg e
adulti di 75 kg. Rappresenta nel piano cartesiano tutti i carichi possibili. Quanti sono?
405
Þ
406 Si vuole formare una squadra, composta da ragazzi e ragazze, e costituita da più di 8 componenti. Si vuole che nella
Þ
squadra ci siano meno di 6 ragazze e che ci siano al massimo 5 ragazzi in più della metà delle ragazze.
a. Elenca tutti i modi in cui è possibile formare una squadra.
b. Volendo che il numero delle ragazze nella squadra sia il minimo possibile, come deve essere formata la squadra?
c. Volendo che il numero dei componenti della squadra sia il massimo possibile, come deve essere formata la
squadra?
[a. Le squadre possibili sono quelle rappresentate dalle seguenti coppie ordinate
(il primo numero indica quello dei ragazzi e il secondo quello delle ragazze):
(6,3); (5,4); (6,4); (4,5); (5,5); (6,5); (7,4); (7,5); b. 6 ragazzi e 3 ragazze; c. 7 ragazzi e 5 ragazze]
407 Una squadra partecipa a un torneo in cui ogni partita vinta fa guadagnare 3 punti, ogni partita pareggiata 1 punto
Þ
e ogni partita persa 0 punti. Quando mancano 6 partite alla fine torneo, la squadra si rende conto che deve totalizzare almeno 4 punti, per non essere retrocessa. Elenca tutti i possibili esiti delle restanti partite in corrispondenza dei quali la
squadra non viene retrocessa.
[Ci sono 23 diversi possibili esiti che permettono alla squadra di non retrocedere]
ESERCIZI DI RIEPILOGO E DI APPROFONDIMENTO
Esercizi di riepilogo
Vero o falso?
a. i punti A(0, 2), B(4, 4), C(6, 0), D(2, 2) sono i vertici di un quadrato
V F
b. non esiste il coefficiente angolare della retta di equazione y ¼ 2
V F
pﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃ
c. la retta di equazione ð 2 3Þx y 3 ¼ 0 forma con l’asse x un angolo acuto
V F
d. la retta di equazione y ¼ 3x þ 3 interseca l’asse x in ð1, 0Þ
V F
e. la retta di equazione y ¼ 4x 2 interseca l’asse y in (0, 2)
V F
pﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
f. il punto Pð 2, 3Þ appartiene alla retta di equazione x 3y 2 þ 3 ¼ 0
V F
g. la retta passante per i punti A(10, 18) e B(11, 17) è parallela alla retta di equazione y ¼ x þ 1
V F
pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
h. le rette di equazioni y ¼ ð1 2Þx þ 1 e ð1 þ 2Þx y 2 ¼ 0 non sono perpendicolari
V F
[5 affermazioni vere e 3 false]
408
Þ
409
Þ
Calcola la misura del perimetro e dell’area del quadrilatero disegnato nella figura.
y
A
D
O
B
x
C
[Perimetro ¼ 10 þ
230
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
20 þ 40; Area ¼ 26]
Considera il punto Pðk þ 3, 2 kÞ. Determina per quali valori di k:
[k ¼ 2]
a. appartiene all’asse x;
[k < 3]
b. appartiene al secondo quadrante;
[k ¼ 11]
Considera il punto Pðk 3, k þ 4Þ. Determina per quali valori di k:
[k ¼ 3]
a. appartiene all’asse y;
[k < 4]
b. appartiene al terzo quadrante;
c. appartiene alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.
[Impossibile]
412 Stabilisci se il punto R(2, 0) appartiene alla retta passante per P Þ
2 1
,
3 3
1
e Q 0,
.
2
413 Scrivi l’equazione dell’asse del segmento AB, di estremi Að2, 2) e B(4, 2Þ.
Þ
Rette nel piano cartesiano
c. appartiene alla retta di equazione 2x þ y þ 3 ¼ 0.
411
Þ
Unità 4
410
Þ
3
3
y ¼ x
2
2
414 Determina per quale valore di a il punto Pð2a, a þ 2Þ appartiene alla retta passante per Að0, 1Þ e Bð1, 2Þ.
Þ
3
a¼
5
Disegna il triangolo di vertici Að3, 1Þ, Bð0, 2Þ e Cð2, 4Þ.
Verifica che il triangolo è rettangolo, nei seguenti due modi:
415
Þ
a. mostrando che è soddisfatto il teorema di Pitagora;
b. mostrando, mediante i coefficienti angolari, che due lati sono perpendicolari.
416 Considera i punti A(0, 4), B(3, 0), C(3, 5), D(0, 1).
Þ
Verifica che il quadrilatero ABCD è un parallelogramma, nei seguenti tre modi:
a. mostrando che i lati opposti sono congruenti;
b. mostrando che i lati opposti sono paralleli;
c. mostrando che i punti medi delle diagonali coincidono.
Determina poi la misura del perimetro e l’area di ABCD e il punto di intersezione P delle diagonali.
3
1
,
Perimetro ¼ 20; area ¼ 15; P
2
2
417
Þ
Disegna il quadrilatero di vertici A(0, 2), B(1, 0), C(7, 3), D(4, 4).
a. Stabilisci di quale tipo di quadrilatero si tratta.
b. Calcola la misura del perimetro e l’area di ABCD.
c. Disegna il quadrilatero MNPQ che ha come vertici i punti medi dei lati di ABCD. Stabilisci di quale quadrilatero si
tratta e calcola la misura del perimetro e dell’area di MNPQ.
pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
25
25
; c. perimetro ¼ 5 2 þ 5, Area ¼
b. Perimetro ¼ 6 5 þ 10, Area ¼
2
4
418
Þ
Disegna il triangolo di vertici Að3, 1Þ, B(2, 4) e C(4, 1Þ.
a. Calcola la misura del perimetro e dell’area di ABC.
b. Determina le equazioni delle rette a cui appartengono i lati di ABC.
pﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
35
5
; b. y ¼ x þ 2, y ¼ 1, y ¼ x þ 9
a. Perimetro ¼ 5 2 þ 29 þ 7, Area ¼
2
2
419
Þ
Considera i quattro punti Að1, 1Þ, Bð0, 2Þ, Cð2, 0Þ, Dð2, 2Þ.
a. Verifica che il quadrilatero ABCD è un trapezio rettangolo.
b. Scrivi le equazioni delle rette cui appartengono i suoi lati e calcola la misura del perimetro e l’area di
pﬃﬃﬃ
ABCD.
[y ¼ x þ 2, y ¼ x þ 2, x ¼ 2, y ¼ x; Perimetro ¼ 6 2 þ 2, Area ¼ 5]
420
Þ
È dato il triangolo ABC di vertici A(0, 1), B(2, 0), C(3, 7).
a. Verifica che è rettangolo.
b. Calcola la misura del perimetro e l’area.
c. Verifica che la mediana relativa a BC divide il triangolo in due triangoli equivalenti.
pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
15
b. Perimetro ¼ 4 5 þ 5 2; Area ¼
2
231
Sistemi lineari e retta
Tema B
421
Þ
Determina:
a. l’equazione della retta r parallela alla bisettrice del I e del terzo quadrante e passante per C(2, 0);
b. l’equazione della retta s passante per C(2, 0) e perpendicolare alla retta di equazione 2x y ¼ 0;
c. l’area del triangolo ABC, essendo A e B i punti d’intersezione di r ed s, rispettivamente, con l’asse y.
1
a. y ¼ x þ 2, b. y ¼ x 1; c. Area ¼ 3
2
422
Þ
Scrivi l’equazione:
a. della retta r1 passante per P(2, 1) e parallela alla retta di equazione x 3y ¼ 0;
b. della retta r2 passante per Q(3, 1) e perpendicolare alla retta di equazione 3x þ y þ 1 ¼ 0.
Indicati con A e B, rispettivamente, i punti d’intersezione di r1 con l’asse y e con l’asse x, e con C e D, rispettivamente, i
punti di intersezione di r2 con l’asse y e con l’asse x, calcola l’area del trapezio ABCD.
1
1
1
49
a: r1 : y ¼ x þ ; b. r2 : y ¼ x 2; Area ¼
3
3
3
6
423 Scrivi l’equazione della retta r1 , passante per A(0, 2) e per E(1, 1) e della retta r2 , passante per A(0, 2) e parallela alla
Þ
retta di equazione y ¼ 2x.
Detti B e D, rispettivamente, i punti di intersezione di r1 ed r2 con l’asse x, determina le coordinate del vertice C del parallelogramma ABCD, di cui AB e AD sono due lati non paralleli.
[Cð3, 2Þ]
424
Þ
È data la retta di equazione kx þ ðk 1Þy 1 ¼ 0. Determina per quali valori di k:
a. è parallela all’asse x;
[k ¼ 0]
b. è parallela all’asse y;
[k ¼ 1]
2
k¼
3
1
k¼
2
c. è perpendicolare alla retta x þ 2y ¼ 0;
d. è parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.
425
Þ
Dati i punti Að2, 1Þ e Bð2, 3Þ, determina:
a. l’equazione della retta AB;
b. il punto P, appartenente alla retta AB, la cui ordinata è una unità in meno dell’ascissa;
c. l’asse del segmento AB e il suo punto di intersezione C con l’asse x;
d. il perimetro e l’area del triangolo ABC.
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
1
a. y ¼ x þ 2; b. Pð6, 5Þ; c. y ¼ 2x þ 2, Cð1, 0Þ; d. Perimetro ¼ 2 5 þ 2 10; Area ¼ 5
2
È data la retta di equazione
ðm 1Þx þ my 4 þ m ¼ 0
426
Þ
Determina per quali valori di m:
a.
b.
c.
d.
e.
è parallela all’asse x;
è parallela all’asse y;
passa per l’origine;
è parallela alla bisettrice del I e del III quadrante;
è perpendicolare alla retta di equazione:
x 3y 1 ¼ 0
f. passa per il punto P(1, 1).
1
1
5
a. m ¼ 1; b. m ¼ 0; c. m ¼ 4; d. m ¼ ; e. m ¼ ; f. m ¼
2
2
3
Data la retta di equazione
ðk 2Þx þ ðk þ 1Þy k 4 ¼ 0
427
Þ
determina per quali valori di k è:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
232
parallela all’asse x;
parallela all’asse y;
interseca l’asse x nel punto di coordinate (4, 0);
interseca l’asse y in un punto di ordinata positiva;
è parallela alla retta di equazione 6x 2y 1 ¼ 0;
è perpendicolare alla retta di equazione 6x 2y 1 ¼ 0
1
7
a. k ¼ 2; b. k ¼ 1; c. k ¼ 4; d. k < 4 _ k > 1; e. k ¼ ; f. k ¼
4
2
Considera la retta di equazione ðk 1Þx þ ðk 2Þy þ 3 k ¼ 0. Determina per quali valori di k:
430
Þ
a.
b.
c.
d.
431
Þ
a.
b.
c.
d.
e.
Rette nel piano cartesiano
a. è parallela all’asse x;
b. è parallela all’asse y;
c. passa per l’origine;
d. passa per il punto Pð1, 2Þ;
e. è parallela alla retta che passa per Að2, 3Þ e Bð2, 1Þ;
f. è perpendicolare alla retta che passa per Að2, 3Þ e Bð2, 1Þ;
g. interseca l’asse x in un punto di ascissa positiva;
h. interseca l’asse y in un punto di ordinata negativa.
5
a. k ¼ 1; b. k ¼ 2; c. k ¼ 3; d. k ¼ 1; e. k ¼ 0; f. k ¼ ; g. k < 1 _ k > 3; h. 2 < k < 3
3
1
3
,
, determina:
429 Dati i punti Að3, 2Þ e M
Þ
2
2
a. il punto B, tale che M sia il punto medio di AB;
b. l’equazione della retta AB;
c. l’equazione dell’asse di AB e il suo punto di intersezione C con l’asse x;
d. il perimetro e l’area del triangolo
ABC.
pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
21
a. Bð4, 5Þ; b. y ¼ x 1; c. y ¼ x 2, Cð2, 0Þ; d. Perimetro ¼ 2 29 þ 7 2; Area ¼
2
Unità 4
428
Þ
Data la retta r, di equazione x þ 2y 6 ¼ 0, determina:
il punto P, appartenente a r, tale che la sua ascissa supera di 1 il triplo dell’ordinata;
l’equazione della retta s, passante per Qð2, 4Þ e perpendicolare a r;
il punto di intersezione H delle rette r ed s;
6 12
14
,
; d. Area ¼
l’area del triangolo PHQ.
a. Pð4, 1Þ; b. y ¼ 2x; c. H
5
5
5
Dati i punti Að2, 3Þ, Bð4, 1Þ, determina:
l’equazione della retta AB;
l’equazione della retta r passante per il punto medio M di AB, parallela alla retta di equazione 4x þ 2y þ 1 ¼ 0;
l’equazione della retta s, passante per il punto medio M di AB, perpendicolare alla retta di equazione 4x þ 2y þ 1 ¼ 0.
Il valore di k per cui il punto Pð2k, k 1Þ appartiene alla retta r;
In corrispondenza al valore di k di cui al punto precedente, la distanza di P dalla retta AB.
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 1
7
1
3
10
a. y ¼ x þ ; b. y ¼ 4 2x; c. y ¼ x þ ; d. k ¼ 1; e.
3
3
2
2
2
432 Determina la retta parallela alla retta di equazione y ¼ 2x, che interseca gli assi cartesiani in due punti A e B tali che
Þ
1
il punto medio di AB appartenga alla retta r: 8x 8y þ 3 ¼ 0.
y ¼ 2x þ
2
433 Considera il triangolo ABC di vertici Að2, 2Þ, Bð4, 2Þ, Cð0, 4Þ determina:
Þ
a.
b.
c.
d.
e.
434
Þ
l’area del triangolo;
le equazioni delle rette che contengono i lati del triangolo;
le misure delle mediane del triangolo;
le equazioni delle rette che contengono le mediane;
le coordinate del baricentro del triangolo.
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
3
3
1
3
2
2
;0
a. Area ¼ 18; b. y ¼ 2, y ¼ 3x 4, y ¼ x 4; c. 5, 34, 37; d. y ¼ x þ , y ¼ x , y ¼ 6x 4; e.
2
4
2
5
5
3
Determina l’espressione analitica delle funzioni lineari a tratti di cui è rappresentato il grafico.
y
–2
1
y
y
5
3
3
O
–1
–3
x
–4
1
O 23
–2
x
2
–5
O
3
1
4
x
233
Sistemi lineari e retta
Tema B
Esercizi di approfondimento
435 Dati i punti A(2, 1), B(2, 3) e C(0, 1), scrivi le equaÞ
zioni degli assi dei lati del triangolo ABC e verifica che
passano tutti per il punto H(1, 4) (circocentro). Verifica
che tale punto è equidistante dai tre vertici del triangolo.
440 Nella figura qui sotto, ABCD è un quadrato, M è il
Þ
punto medio di AB ed N è il punto medio di BC. Riferisci
la figura a un opportuno sistema di riferimento cartesiano
ortogonale e dimostra che AN è perpendicolare a DM.
D
Dati i punti A(1, 1), B(2, 2), C(3, 3), scrivi le
equazioni delle rette cui appartengono le mediane del
triangolo ABC e verifica che passano tutte per il punto
G(0, 2) (baricentro). Verifica che tale punto divide le tre
mediane in due segmenti, di cui uno è doppio dell’altro.
436
Þ
437 Determina la retta parallela alla retta r: y ¼ 2x, che
Þ
interseca l’asse x e l’asse y in due punti A e B tali che l’asse
di AB passi per P(0, 1).
8
y ¼ 2x 3
438 Determina due punti P e Q, sul segmento AB di
Þ
estremi A(0, 2) e B(5, 4), in modo che AP ¼ PQ ¼ QB.
5 8
10 10
,
;Q
,
P
3 3
3
3
439 Considera un trapezio isoscele ABCD, in cui la base
Þ
maggiore misura a e la base minore misura b. Riferisci la
figura a un opportuno sistema di riferimento cartesiano
ortogonale e dimostra, analiticamente, che il segmento
congiungente i punti medi dei lati obliqui è parallelo alle
basi e congruente alla loro semisomma.
C
N
A
M
B
Determina i punti P, appartenenti
all’asse y, tali che
4
o
b
,0 .
AP B ¼ 90 , essendo A(3, 0) e B
3
[ P1 ð0, 2Þ, P2 ð0, 2Þ]
441
Þ
Considera il triangolo ABC di vertici A(0, 0), B(0, 4)
e C(3, 0). Determina:
442
Þ
a. le equazioni delle rette che contengono i lati del
triangolo;
b. la misura del perimetro e dell’area;
c. il baricentro H e il circocentro K del triangolo.
a. x ¼ 0, y ¼ 0, 4x þ 3y 12 ¼ 0;
4
3
b. Perimetro ¼ 12, Area ¼ 6; c. H 1,
,K
,2
3
2
Giochi ed esercizi dalle gare di matematica
I vertici di un quadrilatero ABCD hanno coordinate
Að0, 0Þ, Bðh, 0Þ, Cðh þ k, lÞ, Dðk, lÞ, dove h 6¼ 0 e l 6¼ 0.
Allora ABCD è:
443
Þ
A
B
C
D
E
un quadrato
un rettangolo
un parallelogramma
un rombo
un trapezio scaleno
[C]
444 In un piano cartesiano sono dati i seguenti punti:
Þ
Að0, 15Þ; Bð20, 0Þ; Cð0, 0Þ. Qual è la larghezza minima di
una striscia rettilinea che contiene tutti e tre i punti?
8
B
10
[E]
(High School Math Contest 2005)
(Giochi di Archimede 1994)
A
whose x-coordinate and y-coordinate are both positive if
and only if:
3
A m¼1
D <m<0
2
B m<1
3
3
E <m<1
C m>
2
2
C
12
D
15
E
447 Solve math in English In the figure shown, ABCD is
Þ
a parallelogram with Að0, 0Þ, Bð20, 10Þ, and Dð10, yÞ. If
the area of the parallelogram is 600, then what is the value of y?
A
32
B
33
C
34
D
y
20
[C]
3
13
,
9
and
B
,
3
445
Solve
math
in
English
Let
A
Þ
2
2
be two points in the plane. If P is a point on the x-axis or
the y-axis, then what is the least value for the sum of the
distances PA and PB?
A
9
B
10
C
11
446
Þ
D
12
E
36
D
B
13
[B]
Solve math in English Let m be a costant. The graphs
of the lines y ¼ x 2 and y ¼ mx þ 3 intersect at a point
234
E
C
(Giochi di Archimede 1997)
(High School Math Contest 2005)
35
O≡A
(High School Math Contest 2006)
x
[D]
Unità 4
PROVA DI AUTOVERIFICA
Piano cartesiano e retta
4 Dopo aver rappresentato il triangolo di vertici
Þ
Að1, 1Þ, Bð2, 0Þ, Cð1, 4Þ, determina la misura del suo perimetro e la sua area.
V
F
V
F
V
F
V
F
Di un segmento AB si conoscono
l’estremo
3 5
. Determina le
Að3, 2Þ e il punto medio M ,
2 2
coordinate di B.
5
Þ
È dato il triangolo di vertici: Að1, 1Þ, Bð2, 1Þ,
Cð2, 1Þ. Determina l’equazione:
6
Þ
V
F
V
F
V
F
Rette nel piano cartesiano
Vero o falso?
a. il punto Pð3, 2Þ appartiene al secondo
quadrante
b. il punto Pð3, 0Þ appartiene all’asse x
c. se Pðx, yÞ appartiene al primo quadrante,
allora xy > 0
d. se xy > 0, allora Pðx, yÞ appartiene al primo
quadrante
e. il simmetrico di Pðx, yÞ rispetto all’asse x è il
punto Pðx, yÞ
f. il simmetrico di Pðx, yÞ rispetto all’asse y è il
punto Pðx, yÞ
g. il punto medio del segmento AB, di estremi
Að2, 4Þ e Bð2, 8Þ, è Mð0, 6Þ
h. il punto medio di un segmento AB, in cui A
e B sono simmetrici rispetto all’origine, è
l’origine
i. la distanza tra Að2, 5Þ e Bð2, 3Þ è 2
pﬃﬃﬃ
j. la distanza tra Að2, 5Þ e Bð2, 3Þ è 4 5
1
Þ
a. della retta cui appartiene l’altezza del triangolo relativa al lato BC;
b. della retta passante per A e parallela a BC.
7
Þ
È data la retta di equazione:
ðk 2Þx þ y k þ 4 ¼ 0.
V
F
V
F
V
F
Determina k in modo che:
a. sia parallela all’asse x;
b. sia parallela all’asse y;
c. passi per l’origine;
d. passi per il punto Pð2, 3Þ;
e. sia parallela alla bisettrice del secondo e del quarto
quadrante;
f. sia perpendicolare alla retta di equazione 2x þ y ¼ 0.
Rappresenta le rette aventi le seguenti equazioni:
a. x ¼ 2
3
b. y ¼ x þ 1
2
c. 2x þ 3y þ 6 ¼ 0
d. y ¼ 3
2
Þ
8
Þ
3 Scrivi le equazioni delle rette rappresentate nella seÞ
guente figura.
Dati i punti Að3, 4Þ e Bð1, 2Þ, determina:
a. l’equazione dell’asse di AB;
b. le coordinate del punto C, appartenente all’asse x,
che forma con A e B un triangolo isoscele sulla base AB.
y
Di un rombo ABCD si conoscono il vertice
Að0, 1Þ, il punto medio Mð2, 0Þ della diagonale AC e si
sa che il vertice B appartiene alla bisettrice del primo e
del terzo quadrante. Determina i restanti vertici del rombo ABCD e calcola l’area del rombo.
9
Þ
x
O
Valutazione
Esercizio
Punteggio
1
2
3
4
0,1 10 ¼ 1 0,25 4 ¼ 1 0,25 4 ¼ 1 0,5
5
0,5 2 ¼ 1
6
7
8
0,5 2 ¼ 1 0,25 6 ¼ 1,5 0,75þ0,25¼1
9
Totale
2
10
Punteggio
ottenuto
Tempo massimo: 1 ora 30 min.
3Risposte a p. 635
Se non hai ottenuto la sufficienza, puoi svolgere la Scheda 4 del quaderno di recupero.
235
Informatica – FOGLIO ELETTRONICO / GEOGEBRA / ALGORITMI
Tema B
Laboratorio di informatica
Tema
236
B
Laboratorio di informatica
ATTIVITÀ GUIDATE
Attività 1 Foglio elettronico
Se hai difficoltà a svolgere le
attività guidate, fai
riferimento ai file disponibili
nel CD-ROM.
Intersezione (approssimata) tra due rette
Costruiamo un foglio Excel per interpretare graficamente e determinare la soluzione
approssimata di un sistema della forma:
y ¼ mx þ q
y ¼ m0 x þ q 0
a. Costruzione del foglio
La soluzione del sistema dato (se esiste) rappresenta le coordinate del punto di intersezione delle due rette di equazioni y ¼ mx þ q e y ¼ m0 x þ q0 .
La seguente figura rappresenta il foglio che costruiremo per risolvere il problema.
Il foglio è suddiviso in cinque parti:
una parte adibita all’immissione dei parametri che caratterizzano la prima retta, m1 e q1 , da inserire nelle celle F2 e F3;
una parte adibita all’immissione dei parametri che caratterizzano la seconda
retta, m2 e q2 , da inserire nelle celle I2 e I3;
una parte adibita all’immissione di due parametri relativi al grafico:
– x0 (da inserire nella cella L2) indica il valore iniziale della sequenza di valori
che vuoi considerare (colonna A della tabella dei dati);
– h (da inserire nella cella L3) indica la distanza, o passo, tra due valori successivi della sequenza della colonna A della tabella dei dati;
una parte, chiamata tabella dei dati, con tre colonne: la colonna A è già stata
descritta, le colonne B e C contengono le ordinate dei punti di ascissa x appartenenti rispettivamente alla prima e alla seconda retta;
un’area contenente il grafico a dispersione, che rappresenta i valori in tabella.
Non dovresti avere problemi a costruire il foglio, tenendo presente quanto segue:
1. nella cella A8 devi inserire la formula =L2;
2. nella cella A9 devi inserire la formula =A8+$L$3;
3. nella cella B8 devi inserire la formula che calcola l’ordinata del punto della
prima retta avente ascissa uguale al valore nella cella A8; ricordando che i
parametri che definiscono la retta 1 sono stati immessi nelle celle F2 ed F3,
Cerca per esempio le coordinate del punto di intersezione fra:
Si può affidare a Excel la
gestione automatica della
finestra di visualizzazione del
grafico, evitando di fissare
manualmente le scale sugli
assi. Ciò comporta però che
il sistema non sia
monometrico, ossia che
sull’asse y e sull’asse x vi
siano due scale differenti.
Laboratorio di informatica
b. Utilizzo del foglio
Attenzione!
Tema B
puoi comprendere che la formula da inserire in B8 è:
=$F$2*A8+$F$3
Tale formula andrà poi copiata nelle celle sottostanti della colonna B fino
alla riga 18.
4. Analogamente, nella cella C8 devi inserire la formula che calcola l’ordinata
del punto della seconda retta avente ascissa uguale al valore nella cella A8;
lasciamo a te il compito di scrivere la formula opportuna e di copiarla nelle
celle sottostanti della colonna C.
5. Per costruire il grafico che rappresenti i dati nell’intervallo A8:C18, scegli
un grafico di tipo Dispersione con linee dritte.
la retta 1 di equazione y ¼ 2x 1 (parametri m1 ¼ 2, q1 ¼ 1Þ
la retta 2 di equazione y ¼ x þ 4
(parametri m2 ¼ 1, q2 ¼ 4Þ
1. In prima approssimazione visualizza le due rette a partire dal valore di x0
uguale a –5 (cella L2) a intervalli regolari di ampiezza h uguale a 1 (cella
L3). Dal grafico puoi vedere che le due rette si intersecano in un punto, diciamo P, la cui ascissa è compresa tra 1 e 2.
2. Puoi ora modificare i parametri x0 e h, ponendo x0 ¼ 1 e h ¼ 0,1 in modo
da fissare l’attenzione su un intervallo più piccolo, che consente di migliorare l’approssimazione e individuare l’ascissa di P con un errore minore o
uguale a 0,1. Con queste nuove impostazioni, tra quali due numeri puoi
dedurre che risulta compresa l’ascissa di P?
3. Prosegui similmente, andando ad analizzare intervalli sempre più piccoli
(un po’ come avviene con l’effetto «zoom») in modo da individuare l’ascissa di P con un errore prima minore o uguale a 0,01 e poi minore o uguale a
0,001. Imposta il lavoro completando la seguente tabella.
h¼1
intersezione compresa tra
1
e
2
x0 ¼ 1
h ¼ 0,1
intersezione compresa tra
..........
e
..........
x0 ¼ ..........
h ¼ 0,01
intersezione compresa tra
..........
e
..........
x0 ¼ ..........
h ¼ 0,001
intersezione compresa tra
..........
e
..........
4. In base alle approssimazioni dedotte per l’ascissa di P, deduci una stima
dell’ordinata di P e quindi della soluzione del sistema assegnato.
Attività 2 Foglio elettronico, GeoGebra
Noleggio di un furgone con confronto tra due diverse offerte
Per organizzare la partecipazione delle proprie squadre giovanili a una serie di tornei,
una società sportiva vuole noleggiare un furgone per il trasporto di persone. Chiede
pertanto il preventivo a due agenzie di noleggio, che chiamiamo A e B, in modo da
poter scegliere l’offerta più conveniente.
Le condizioni di noleggio praticate dalle due agenzie sono le seguenti:
– Agenzia A: costo iniziale di 300 euro e costo giornaliero costante di 40 euro;
– Agenzia B: costo iniziale nullo, costo giornaliero di 80 euro per i primi 5 giorni di
noleggio e costo giornaliero di 60 euro per i giorni successivi.
Qual è l’offerta più conveniente per un noleggio di 4 giorni? E per un noleggio di
12 giorni?
Per quanti giorni di noleggio l’offerta dell’agenzia A risulta più conveniente?
Per quanti giorni di noleggio, invece, conviene scegliere l’offerta dell’agenzia B?
Informatica – FOGLIO ELETTRONICO / GEOGEBRA / ALGORITMI
x0 ¼ 5
237
Laboratorio di informatica
Tema B
a. Costruzione del modello del problema
Indicato con x il numero di giorni di noleggio, il costo corrispondente può essere
espresso in funzione di x tramite le seguenti due funzioni (la prima lineare, la seconda lineare a tratti), aventi come dominio l’insieme N:
– Agenzia A:
– Agenzia B:
fa ðxÞ ¼ 300 þ 40x
80x
fb ðxÞ ¼
80 5 þ 60 ðx 5Þ
se x 5
se x > 5
Per rispondere alle domande poste dal problema, seguiamo due approcci diversi.
b. Approccio numerico (con Excel)
Puoi impostare un foglio Excel come quello qui sotto.
Informatica – FOGLIO ELETTRONICO / GEOGEBRA / ALGORITMI
Non dovresti avere difficoltà a costruire il foglio, tenendo presente quanto segue:
1. nelle celle in giallo vanno inseriti i dati da parte di chi usa il foglio (i dati
del problema sono dunque modificabili);
2. la colonna A contiene la sequenza dei giorni di noleggio, da 0 a 30;
3. nella cella B8 va inserita la seguente formula che traduce, in linguaggio Excel, l’espressione analitica della funzione fa :
=$B$4+A8*$B$5
Tale formula andrà poi copiata nelle celle sottostanti della colonna B;
4. nella cella C8 va inserita la seguente formula che traduce, in linguaggio Excel, l’espressione analitica della funzione fb :
=SE(A8<=$E$4;A8*$G$4;$G$4*$E$4+(A8-$E$4)*$G$5)
Tale formula andrà poi copiata nelle celle sottostanti della colonna C.
Analizzando i dati numerici, che puoi leggere nelle tre colonne A, B, C, puoi ora rispondere alle domande poste dal problema:
un noleggio di 4 giorni costa ..... euro con l’Agenzia A e ..... euro con l’Agenzia B.
Dunque per un noleggio di 4 giorni risulta più conveniente l’agenzia .....;
un noleggio di 12 giorni costa ..... euro con l’Agenzia A e ..... Euro con l’Agenzia
B. Dunque per un noleggio di 12 giorni risulta più conveniente l’agenzia ..........;
in generale, l’Agenzia B risulta più conveniente per i primi .......... giorni, mentre
l’agenzia A è più conveniente dal .......... giorno in poi. Per un affitto di ..... giorni,
le due agenzie hanno lo stesso costo.
c. Approccio grafico (con GeoGebra)
1. Tralascia in un primo momento le limitazioni sul dominio (cioè il fatto che
deve essere x 2 NÞ e traccia con GeoGebra i grafici delle due funzioni fa e fb ,
come se fossero funzioni di variabile reale. Per immettere l’equazione della
funzione fa devi digitare nella riga di inserimento:
f_a(x)= 300+40*x
Per immettere l’equazione della funzione fb devi digitare:
f_b(x)= Se[x<=5, 80*x, 400+60*(x-5)]
238
Suggerimento
Laboratorio di informatica
Puoi impostare gli intervalli
da visualizzare sull’asse x e
sull’asse y nella finestra che
si apre facendo clic sul menu
Opzioni e poi selezionando
la voce Vista grafica.
Tema B
Scegliendo in modo opportuno gli intervalli da visualizzare sull’asse x e sull’asse
y (nel caso in figura abbiamo scelto come minimo e massimo valore da visualizzare sull’asse x rispettivamente 3 e 25 e come minimo e massimo valore da visualizzare sull’asse y rispettivamente 250 e 1500), otterrai un grafico simile al
seguente:
2. Osservando attentamente i grafici e tenendo conto che solo i punti di essi
a coordinate intere positive rappresentano il problema, rispondi alle domande poste all’inizio.
Allineamento di punti
Scrivi un programma Visual Basic tale che, immessi in sei celle di un foglio Excel le
coordinate di tre punti A, B, C stabilisca se i tre punti sono o non sono allineati.
a. Interfaccia
Imposta un foglio Excel come indicato nella figura qui sotto.
b. Pseudocodifica
Siano AðxA ; yA Þ, BðxB ; yB Þ e CðxC ; yC Þ; per scrivere un possibile algoritmo che controlli se i tre punti sono allineati osserviamo che:
se xA ¼ xB , allora la retta passante per A e B ha equazione x ¼ xA ; se anche
xC ¼ xA , allora i tre punti sono allineati, altrimenti non lo sono;
Informatica – FOGLIO ELETTRONICO / GEOGEBRA / ALGORITMI
Attività 3 Algoritmi
239
Laboratorio di informatica
Tema B
se xA 6¼ xB , allora l’equazione della retta passante per A e B è:
y yA ¼
yB yA
ðx xA Þ
xB xA
Se le coordinate di C soddisfano tale equazione i tre punti A, B, C sono allineati, altrimenti non lo sono.
Indicate con xA, yA, xB, yB, xC, yC le variabili che rappresentano le coordinate di A,
B, C, completa la seguente pseudocodifica dell’algoritmo.
Variabili
Dichiara xA, yA, xB, yB, xC, yC come numeri reali
Inizio
Acquisisci xA, yA, xB, yB, xC, yC
Se xA=xB allora
Se xC=xA, allora
Comunica "........"
Altrimenti
Comunica "........"
Fine se
Fine se
Se xA6¼xB allora
yB yA
Se ::::: yA ¼
ð::::: xAÞ allora
xB xA
Comunica "........"
Altrimenti
Comunica "........"
Fine se
Fine se
Fine
c. Codice
Informatica – FOGLIO ELETTRONICO / GEOGEBRA / ALGORITMI
In relazione all’interfaccia definita, scrivi il codice Visual Basic corrispondente alla pseudocodifica dell’algoritmo.
240
d. Utilizzo del foglio
Considera le seguenti due terne di punti:
Að1, 3Þ
Bð2, 5Þ
Að1, 0Þ Bð1, 3Þ
Cð4, 9Þ
Cð3, 4Þ
Per ciascuna di esse, stabilisci se i tre punti sono allineati, eseguendo i calcoli a
mano e poi controllando i risultati che hai ottenuto con il foglio Excel poc’anzi
costruito.
Utilizza il foglio di Excel costruito nell’Attività guidata 1 per determinare approssimativamente l’ascissa del punto di intersezione tra la retta di equazione y ¼ 4x 7
e la retta di equazione y ¼ 3x 2. Risolvi poi algebricamente sul tuo quaderno il sistema che permette di determinare le coordinate del punto di intersezione fra le due
rette e confronta le soluzioni esatte ottenute per via algebrica con quelle approssimate ottenute con il foglio di Excel.
2
Þ
Due compagnie telefoniche applicano le seguenti tariffe, per il costo di ogni singola
telefonata:
Compagnia A:
0,15 euro per lo scatto alla risposta;
0,20 euro per ogni minuto di conversazione.
Compagnia B:
Laboratorio di informatica
1
Þ
Tema B
ATTIVITÀ PROPOSTE
lo scatto alla risposta è gratis;
0,25 euro per ogni minuto di conversazione, per i primi 5 minuti;
0,22 euro per ogni minuto di conversazione, per i minuti successivi a 5.
Per quale durata di conversazione è più conveniente la compagnia A? E per quali la
compagnia B?
Risolvi il problema secondo diversi approcci, come nell’Attività guidata 2.
3
Þ
Algoritmi. Scrivi un programma Visual Basic tale che, immessi in sei celle di un foglio Excel i coefficienti a, b, c e a0 ; b0 ; c0 di un sistema lineare nella forma normale
ax þ by ¼ c
a0 x þ b 0 y ¼ c 0
stabilisca se il sistema è determinato, indeterminato o impossibile e, nel caso sia determinato, ne fornisca la soluzione.
4
Þ
Að1, 0Þ
Að0, 1Þ
Bð1, 3Þ
Bð1, 2Þ
Cð1, 4Þ
Cð3, 5Þ
Per ciascuna di esse, stabilisci se i tre punti sono i vertici di un triangolo isoscele, eseguendo i calcoli a mano e poi controllando i risultati che hai ottenuto con il foglio
Excel che hai costruito.
5
Þ
Algoritmi. Una funzione f : N ! N si dice calcolabile se e solo se esiste un algoritmo
che, inserito in ingresso n, produce in uscita f ðnÞ per ogni n 2 N. Si può dimostrare
che esistono funzioni non calcolabili ma gli esempi non sono elementari; le funzioni
con cui siamo abituati a lavorare sono calcolabili. Per esempio, scrivi un programma
in Visual Basic tale che, immesso in una cella di un foglio Excel un valore di n, restituisca in un’altra cella il corrispondente valore f ðnÞ assunto dalla funzione:
8
< 2n se n è pari
f ðnÞ ¼
n
:
se n è dispari
2
Informatica – FOGLIO ELETTRONICO / GEOGEBRA / ALGORITMI
Algoritmi. Scrivi un programma Visual Basic tale che, immessi in sei celle di un foglio Excel le coordinate di tre punti non allineati A, B, C stabilisca se il triangolo ABC
è isoscele. Considera quindi le seguenti due terne di punti:
241
Tema B
Verso le competenze
Tema
B
Verso le competenze
UTILIZZARE LE TECNICHE DEL CALCOLO ALGEBRICO, RAPPRESENTANDOLE
ANCHE SOTTO FORMA GRAFICA
1 Rappresenta il quadrilatero di vertici Að0, 0Þ,
Þ
Bð2, 1Þ, Cð0, 5Þ, Dð2, 6Þ. Verifica che è un parallelogramma e calcola la misura del perimetro e l’area.
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
[Perimetro ¼ 2 5 þ 4 10; Area ¼ 10]
Determina le equazioni del lati del triangolo di vertici Að2, 0Þ, Bð0, 3Þ e Cð1, 1Þ. Determina inoltre la misura del perimetro e l’area del triangolo.
3
Equazioni lati: y ¼ x þ 3; y ¼ 4x þ 3;
2
1
y ¼ ðx þ 2Þ;
3
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
Perimetro ¼ 17 þ 13 þ 10;
11
Area ¼
2
2
Þ
3 Disegna il quadrilatero ABCD di vertici A(0,0),
Þ
B(3,6), C(1,7), Dð2,1).
a. Di che tipo di quadrilatero si tratta?
b. Determina le equazioni dei lati di ABCD, la misura
del perimetro e l’area.
pﬃﬃﬃ
[Perimetro ¼ 8 5; Area ¼ 15]
È dato il triangolo di vertici A(2, 1) B(4, 2) e C(3, 4).
Determina:
4
Þ
a. l’equazione della retta BC;
[2x þ y ¼ 10]
b. l’equazione della retta cui appartiene l’altezza relativa a BC;
[x 2y ¼ 0]
c. l’equazione della retta per A parallela alla retta BC.
[2x þ y ¼ 5]
5
Þ
È data la retta di equazione
ðk 2Þx ky k 1 ¼ 0
Determina per quali valori di k:
a. passa per l’origine;
[k ¼ 1]
b. è parallela all’asse y;
[k ¼ 0]
c. è parallela alla retta di equazione y ¼ 2x þ 3;
2
k¼
3
d. è perpendicolare alla retta di equazione x þ 3y ¼ 1.
[k ¼ 1]
6
Þ
Considera la retta di equazione:
ðk 2Þx þ ðk þ 4Þy k 5 ¼ 0
Determina per quali valori di k tale retta:
a.
b.
c.
d.
e.
242
è parallela all’asse x;
passa per l’origine;
interseca l’asse x nel punto di coordinate (2, 0);
è parallela alla retta di equazione y ¼ 2x þ 1;
è perpendicolare alla retta di equazione y ¼ 2x þ 1.
[a. k ¼ 2; b. k ¼ 5; c. k ¼ 9; d. k ¼ 2; e. k ¼ 8]
7
Þ
Considera la retta di equazione:
mx þ ð5 2mÞy þ m 3 ¼ 0
Determina per quali valori di m tale retta:
a.
b.
c.
d.
e.
è parallela all’asse y;
passa per l’origine;
interseca l’asse y nel punto di coordinate (0, 3);
è parallela alla retta di equazione x 3y þ 3 ¼ 0;
è perpendicolare alla retta di equazione:
x 3y þ 3 ¼ 0
5
12
15
; d. m ¼ 5; e. m ¼
a. m ¼ ; b. m ¼ 3; c. m ¼
2
5
7
Dati i punti Að3, 0Þ e Bð1, 2Þ, scrivi l’equazione
dell’asse del segmento AB.
[y ¼ x 1]
8
Þ
9 Risolvi graficamente i seguenti sistemi e verifica che
Þ
le soluzioni trovate graficamente siano corrette.
(
x þ y ¼ 5
y ¼ 2x 5
1
a.
b.
y ¼ x4
y ¼ x þ 1
2
Risolvi, con il metodo che preferisci, e se necessario discuti, i seguenti sistemi.
x ¼ 3y 2
1
1,
10
Þ 4x þ 3y ¼ 3
3
11
Þ
2x y ¼ 5
xþy ¼6
8
5
>
>
< xy ¼2
4
12
Þ
>
5
>
: x þ y ¼ 4
4
x 3y ¼ 5
13
Þ
7x þ 6y ¼ 2
14
Þ
3x 2y ¼ 8
0,5x 0,5y ¼ 2
8
3
y
>
< xþ ¼8
4
3
15
Þ
>
:x y ¼ 7
6
2
2
0,2x þ 0,1y ¼ 2
16
Þ
0,04x þ 0,05y ¼ 4
17
Þ
y ¼ 2x 5
18
Þ
y þ 1 ¼ x
3x þ 5y ¼ 7
19
Þ
y ¼ x þ 1
0,2x þ 0,4y ¼ 1
x þ 2y ¼ 5
11 7
,
3 3
4
,3
5
4
11
,
3
9
[Indeterminato]
[ð12, 3Þ]
[ð50, 120Þ]
[ð2, 1Þ]
[ð1, 2Þ]
[Impossibile]
8
4
,
3
3
22
Þ
(
26
Þ
[ð1, 1Þ]
[Se a ¼ 0: perde significato;
se a ¼ 1: indeterminato;
se a 6¼ 0 e a 6¼ 1, ða, a 1Þ]
8 x
<
þ y ¼ 2m
m
25
Þ
:
x my ¼ 0
x þ y ¼ 2k
kx ðk 1Þy ¼ 1 k
8
>
< xþ1 ¼1
y
27
Þ
>
:
x þ y ¼ 4k þ 1
29
Þ
1
1
2
1
þ 2
þ
¼
3x2 3xy
2xy 2y2
xy
x y xy2
>
>
6
>
: x 2y ¼ 5
8
2x þ z ¼ y þ 1
>
>
<
31
2x 2y ¼ z 2
Þ
>
>
:
2x þ y 2z ¼ 2
8
x
yz
1
>
>
¼
>
>
3
4
<2
3x þ 2y þ 2z ¼ 5
>
>
>
>
:
x 4y 2z ¼ 4
[(0, 3, 2)]
13 11 5
,
,
14
7
7
11
7
19
, ,
16
8
32
4 5
,
3 3
4
y = f (x)
1
1
–
2
y = h(x)
x
O 1
4
(
a. f ðxÞ ¼ 0
i.
b. gðxÞ ¼ 0
e. gðxÞ < 0
g. hðxÞ < gðxÞ
[Impossibile]
y = g(x)
j.
h.
f ðxÞ
0
hðxÞ
y ¼ f ðxÞ
y ¼ gðxÞ
(
k.
y ¼ f ðxÞ
y ¼ hðxÞ
(
l.
f ðxÞ > 0
gðxÞ < 0
(
f. f ðxÞ > gðxÞ
8
2x þ y z ¼ 1
>
>
<
30
x y þ 2z ¼ 1
Þ
>
>
:
3x þ 2y 2z ¼ 2
32
Þ
y
d. f ðxÞ 0
x þ y ¼ k2 þ k
x
34 Nella seguente figura sono riportati i grafici di tre
Þ
funzioni lineari: y ¼ f ðxÞ, y ¼ gðxÞ e y ¼ hðxÞ. Utilizzando
le informazioni che puoi dedurre dai grafici, determina le
soluzioni delle seguenti equazioni e disequazioni e dei seguenti sistemi.
c. hðxÞ ¼ 0
[Se k 6¼ 2, ðk2 1; k þ 1Þ; se k ¼ 2, indeterminato]
8
>
>
>
<
C(0, –1)
1
Se k 6¼ , ðk 1; k þ 1Þ;
2
1
se k ¼ , indeterminato
2
1
Se k 6¼ , ð2k; 2k þ 1Þ;
2
1
se k ¼ , impossibile
2
B(3, 0)
O
[Se m 6¼ 0, ðm2 , mÞ;
se m ¼ 0, perde significato]
8
< x þ ðk 1Þy ¼ 2k2 2
:
D(3, 5)
[(9, 6)]
xy
1
1
>
:
¼ ðx 10Þ
5
2
10
8x
< þya¼0
a
24
Þ
:
xy ¼1
y
A(0, 3)
8
>
< x y 1 ð2x 3y þ 1Þ ¼ 1
8
< x1 þ1¼ 3y
4
23
Þ: 2
ðx yÞðx þ 2Þ ¼ ðx y þ 1Þðx þ 1Þ
28
Þ
1
3
,
5
5
Verso le competenze
8
< x y ¼ 1 ðx þ 1Þ
3
21
Þ: 2
x y 1 ¼ 2 ð3x y þ 1Þ
33 In riferimento alla figura, determina le equazioni
Þ
delle rette AB e CD e le coordinate del loro punto di intersezione.
Tema B
8
>
< 1 ðx yÞ ¼ 1 ðx þ y þ 6Þ
2
3
20
Þ
>
:
x þ y ¼ 4
y ¼ hðxÞ
y ¼ gðxÞ
35 Scrivi l’equazione della retta r, passante per i punti
Þ
Að3, 0Þ e Bð0, 2Þ e l’equazione della retta s, perpendicolare a r, che interseca l’asse y nel punto Cð0, 1Þ. Determina poi le coordinate del punto di intersezione di tali
rette.
18 14
,
13 13
Determina le coordinate dei vertici del triangolo i
1
cui lati hanno equazioni y ¼ x þ 1, 2x y 4 ¼ 0 e
2
x y þ 1 ¼ 0 e calcola la misura del perimetro e l’area di
tale triangolo.
pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
15
(2, 0); (0, 1); (5, 6); Perimetro ¼ 4 5 þ 5 2; Area ¼
2
36
Þ
243
Verso le competenze
Tema B
37 Determina a, b 2 R in modo che i punti Aða, 1Þ,
Þ
Bð2, 3Þ, Cð1 b, 4Þ, Dðb, 2Þ siano allineati e determina, in tal caso, l’equazione della retta cui appartengono.
5
a ¼ 3, b ¼ ; y ¼ 2x þ 7
2
In un triangolo ABC l’ascissa del punto B è 4 ed è
uguale all’ordinata di C. Sapendo che la retta AB ha equazione 3x þ 4y 12 ¼ 0 e che la retta che congiunge i
punti medi dei lati AB e BC ha equazione
2x 10y þ 11 ¼ 0, determina le coordinate dei tre vertici
del triangolo.
[A(0, 3); B(4, 0); C(5, 4)]
38
Þ
RISOLVERE PROBLEMI
Un commerciante di capi di abbigliamento acquista
pantaloni e camicie per una cifra complessiva di 3000 euro. Rivende i pantaloni con un guadagno del 20% rispetto al prezzo di acquisto; ha difficoltà invece a vendere le
camicie, perciò le liquida con una perdita del 5% rispetto
al prezzo di acquisto. Complessivamente, dalla vendita di
pantaloni e camicie il commerciante ricava un guadagno
di 250 euro. Quale cifra aveva investito nei pantaloni e
quale nelle camicie?
[1600 euro nei pantaloni; 1400 nelle camicie]
39
Þ
Un asino trasportava dei carichi di vino, fianco a
fianco con un mulo. L’asino, schiacciato dal peso, si lamentava moltissimo. Allora il mulo gli disse: «Cos’hai da
lamentarti? Se io prendessi uno dei tuoi carichi, il loro
numero per me diventerebbe il doppio del tuo; se tu invece prendessi un mio carico, io ne avrei ancora il tuo stesso
numero da trasportare». Quanti carichi portava ciascuno
dei due animali?
[Mulo: 7 carichi; asino: 5 carichi]
40
Þ
41 In un torneo di calcio, ogni squadra guadagna 4
Þ
punti per una vittoria, 2 punti per un pareggio e 0 punti
per ogni sconfitta. La prima e la seconda squadra classificate hanno totalizzato 56 punti e 46 punti. La squadra
prima classificata ha vinto una partita in più della seconda classificata e quest’ultima ha pareggiato la metà delle
partite pareggiate dalla squadra prima classificata. Quante
partite ha vinto e quante ha pareggiato la squadra vincitrice del torneo?
[Vinte: 11; pareggiate: 6]
42 Paolo digita sul computer un numero di due cifre.
Þ
Nel digitare il numero, sfortunatamente, si sbaglia e rovescia le cifre. Scrive cosı̀ un numero che supera di 27 il numero originario e che, addizionato a quest’ultimo, dà come somma 99. Qual era il numero originario?
[36]
In un rettangolo, la base è 8 cm in meno del doppio
dell’altezza. Inoltre, aumentando ciascun lato di 2 cm,
l’area aumenta di 48 cm2 . Determina le lunghezze della
base e dell’altezza.
[12 cm; 10 cm]
43
Þ
44 In un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, l’angolo
Þ
esterno di vertice B supera di 36 il doppio dell’angolo
bB. Quali sono le ampiezze degli angoli del triangolo?
AC
[72 , 72 , 36 ]
Paolo e Barbara stanno progettando un viaggio in
Grecia e vorrebbero noleggiare un’auto ad Atene per i loro spostamenti. Stanno valutando le offerte di tre compagnie:
i. la compagnia A chiede una quota fissa di 10 euro
più 20 euro per ogni giorno di noleggio;
ii. la compagnia B chiede una quota fissa di 40 euro
più 15 euro per ogni giorno di noleggio;
iii. la compagnia C chiede 25 euro al giorno, senza
quote fisse.
45
Þ
a. Scrivi le equazioni delle funzioni che esprimono la
spesa complessiva y necessaria a noleggiare l’auto per x
giorni presso ciascuna delle tre compagnie.
b. Per quanti giorni di noleggio conviene la compagnia
A?
c. Per quanti giorni di noleggio conviene la compagnia
B?
d. Per quanti giorni di noleggio conviene la compagnia
C?
e. Supponendo che Paolo e Barbara desiderino avere
l’auto a noleggio per almeno una settimana, quale compagnia conviene scegliere?
[b. 2 < x < 6; c. x > 6; d. x < 2; e. la compagnia B]
INTERPRETARE GRAFICI E DATI
46 Valentina ha creato un blog e ha registrato il numeÞ
ro di visitatori al suo blog nel primo mese di creazione,
raccogliendo i seguenti dati.
244
Numero di giorni
5
10
20
30
Numero di visitatori
10
25
55
85
a. Il numero di visitatori del blog di Valentina è cresciuto nel primo mese in modo lineare?
b. In base ai dati raccolti, quale pensi possa essere una
stima ragionevole del numero di visitatori del blog di
Valentina dopo 45 giorni?
[130]
Osserva i grafici qui sotto, relativi al viaggio compiuto da un’auto.
500
50
400
40
300
30
200
20
100
10
O
1
2
3
4
tempo (ore)
O
5
Verso le competenze
carburante
nel serbatoio (l)
distanza percorsa
(km)
a.
b.
c.
d.
Tema B
47
Þ
100 200 300 400 500
distanza percorsa (km)
Qual è stata la lunghezza del viaggio?
Quale è stata la durata del viaggio?
Quanti litri di benzina erano contenuti nel serbatoio dell’auto all’inizio del viaggio?
Utilizzando le informazioni che puoi dedurre dai grafici determina:
l’espressione analitica della funzione che esprime la distanza percorsa d in funzione del tempo;
l’espressione analitica della funzione che esprime la quantità C di benzina contenuta nel serbatoio in funzione
della distanza d.
e. Utilizzando le espressioni analitiche delle funzioni ricavate al punto precedente, determina:
quanta benzina era contenuta nel serbatoio dopo 2 ore e 45 minuti dall’inizio del viaggio;
dopo quanto tempo dall’inizio del viaggio il serbatoio conteneva 29 litri.
4
d. d ¼ 100t, C ¼ 45 d;
45
e. circa 20,6 litri; 1 ora e 48 minuti
Considera il trapezio rettangolo ABCD rappresentato qui a fianco, in cui P è
un punto di AB, la cui distanza da A è uguale a x.
Sia f la funzione che rappresenta l’area del triangolo PCB e g la funzione che rappresenta l’area del trapezio APCD, espresse in funzione di x. Nella figura qui sotto
sono rappresentati i grafici delle due funzioni f e g (nel dominio imposto dalla situazione geometrica). Tenendo conto delle informazioni che puoi dedurre dai grafici, ricava le misure dei lati del trapezio ABCD.
48
Þ
30
28
12
A
C
x
P
B
g
20
16
10
0
D
f
0
2
4
6
8
x
pﬃﬃﬃ
[AB ¼ 8, AD ¼ 4, CD ¼ 6, BC ¼ 2 5]
245
popolazione
(numero di abitanti)
Germania
Tema B
Verso le competenze
49 Sul grafico qui riportato, ogni crocetta rappresenta una nazione partecipante alla competizione Matematica senza
Þ
frontiere: l’ascissa del centro della crocetta rappresenta la superficie della nazione e l’ordinata rappresenta la popolazione.
Italia
Polonia
Francia
Spagna
Belgio
+
Svizzera
O
superficie (km2)
Con l’aiuto di questo grafico, classifica in ordine crescente le diverse densità di popolazione (numero di abitanti per
km2 Þ. Illustra il procedimento seguito.
(Mathématiques sans frontières 1995)
ESPORRE, RAGIONARE E DIMOSTRARE
50 Logica I quantificatori. Completa in modo da otteÞ
nere proposizioni vere, con l’espressione opportuna, scelta tra «8 x 2 R» (per ogni numero reale xÞ, «9 x 2 R:» (esiste un numero reale x tale che), «6 9 x 2 R:» (per nessun
numero reale xÞ.
a. ......................... il punto Pðx, 2Þ appartiene alla retta di
equazione y ¼ 2.
b. ......................... il punto Pðx, 3Þ appartiene alla retta di
equazione y ¼ x þ 2.
c. ......................... il punto Pðx, 2Þ appartiene alla retta di
equazione x ¼ 1.
d. ......................... il punto Pðx, 4Þ appartiene alla retta di
equazione y ¼ 3.
e. ......................... il punto Pðx, 4Þ appartiene alla retta di
equazione y ¼ 3x þ 2.
51 Scrivi la definizione di coefficiente angolare di una
Þ
retta e spiega quali legami sussistono fra il segno del coefficiente angolare e il grafico della retta. Esistono rette per
cui non è definito il coefficiente angolare? Se sı̀, quali sono e che equazione hanno?
54 Descrivi quali analogie e quali differenze intercorroÞ
no nella risoluzione grafica dell’equazione x 3 ¼ 3x 5
y ¼x3
e nella risoluzione grafica del sistema
y ¼ 3x 5
55 Descrivi come possono essere caratterizzati algebriÞ
camente i seguenti enti geometrici: le rette, i segmenti, le
semirette, i semipiani e gli angoli.
Considera un generico triangolo rettangolo ABC, di
ipotenusa BC. Riferiscilo a un opportuno sistema di riferimento cartesiano ortogonale e dimostra analiticamente
che la mediana relativa a BC è la metà di BC. Sai dimostrare lo stesso risultato anche senza utilizzare il sistema di riferimento, ricordando i teoremi di geometrica euclidea?
56
Þ
57 Considera un quadrato ABCD, il triangolo equilateÞ
ro ABE, il cui vertice E è interno al quadrato, e il triangolo
equilatero BCF, il cui vertice F è esterno al quadrato. Riferisci la figura a un opportuno sistema di riferimento cartesiano ortogonale e dimostra analiticamente che i tre
punti D, E, F sono allineati. Sai dimostrare lo stesso risultato anche senza utilizzare il sistema di riferimento, ricordando i teoremi di geometrica euclidea?
52 Nel piano cartesiano, quali sono le rette il cui punto
Þ
di intersezione con l’asse x coincide con il punto di intersezione con l’asse y? Quali sono le equazioni di queste
rette?
53 Basandoti sull’interpretazione grafica di un sistema
Þ
lineare di due equazioni in due incognite, descrivi un
procedimento per scrivere un sistema impossibile.
246
Indicazioni per il recupero:
Schede 3, 4 del quaderno
Tema B
VERSO LE PROVE INVALSI
Per ogni quesito, una e una sola delle quattro affermazioni è corretta: indicala con una crocetta.
A
B
2
Þ
Il grafico nella figura qui a fianco è quello della retta di equazione:
1
xþ1
2
1
y ¼ xþ1
2
y¼
C
D
1
x1
2
1
y ¼ x1
2
y
y¼
O
x
La retta di equazione 2x þ 3y 1 ¼ 0:
A
ha coefficiente angolare uguale a 2
B
C
interseca l’asse y nel punto di coordinate ð0, 1Þ
pﬃﬃﬃ
è parallela alla retta di equazione 4x 6y þ 5 ¼ 0
D
è perpendicolare alla retta di equazione y ¼ 1,5 x 3
3
Þ
Verso le prove Invalsi
1
Þ
Quali delle seguenti affermazioni è corretta?
A
Ogni retta è il grafico di una funzione lineare.
B
Ogni funzione lineare ha come grafico una retta.
C
Ogni retta del piano cartesiano si può rappresentare analiticamente mediante una equazione del tipo y ¼ mx þ q.
D
Le rette parallele all’asse x non sono i grafici di funzioni lineari.
4
Þ
Quale delle seguenti coppie di rette è costituita da due rette che non sono né parallele né perpendicolari?
A
pﬃﬃﬃ
y ¼ ð 3 2Þx
pﬃﬃﬃ
y ¼ ð 3 þ 2Þx þ 1
B
4x þ 2y þ 3 ¼ 0
y¼
5
Þ
1
x þ 10
2
1
x
2
C
3x þ 6y þ 10 ¼ 0
y¼
D
pﬃﬃﬃ
ð 2 1Þx y ¼ 0
pﬃﬃﬃ
ð 2 þ 1Þx y 1 ¼ 0
Le due rette di equazioni y ¼ 2x e 2x þ y þ 8 ¼ 0:
A
sono parallele
C
sono perpendicolari
B
hanno in comune il punto di coordinate ð2, 0Þ
D
nessuna delle precedenti risposte è corretta
6
Þ
Sono dati i punti Að3, 0Þ e Bð7, 4Þ; la retta AB:
B
2
x
5
è perpendicolare alla retta di equazione 5x 2y 1 ¼ 0
C
passa per il punto Pð8, 1Þ
D
nessuna delle precedenti risposte è corretta
A
7
Þ
A
B
8
Þ
A
B
è parallela alla retta y ¼
L’equazione della retta passante per Að0, 3Þ e parallela alla retta di equazione 4x þ 2y þ 1 ¼ 0 è:
y ¼ 2x þ 3
y ¼ 2x þ 3
C
D
y ¼ 2x 3
y ¼ 2x 3
La retta passante per Að2, 0Þ e perpendicolare alla retta y ¼
x
ha equazione:
3
3x þ y þ 6 ¼ 0
x þ 3y þ 6 ¼ 0
y ¼ 3x þ 6
y ¼ 3x þ 6
C
D
Quali sono le coordinate del punto di intersezione P delle due rette disegnate
nella figura qui a fianco, grafico delle funzioni y ¼ x þ 3 e y ¼ 2x 1?
4 6
5 5
A
C
,
,
5 5
4 6
4 5
3 3
B
D
,
,
3 3
4 5
y
9
Þ
P
O
x
247
Verso le prove Invalsi
10
Þ
A
B
11
Þ
A
Tema B
B
12
Þ
A
B
13
Þ
A
14
Þ
A
15
Þ
A
Il sistema:
x 2y ¼ 1
2x 4y ¼ 2
è determinato
è impossibile
C
D
è indeterminato
nessuna delle precedenti risposte è corretta
Per quale valore di k la retta avente equazione ðk 1Þx þ ðk þ 2Þy 1 ¼ 0 passa per il punto di coordinate ð2, 1Þ?
k=2
k¼3
C
D
k¼4
k¼5
Che cosa rappresenta, nel piano cartesiano Oxy, l’equazione x ¼ 11?
Una retta parallela all’asse x.
Una retta parallela all’asse y.
C
D
Un punto sull’asse delle ascisse.
Un punto sull’asse delle ordinate.
Quanto vale la distanza tra i punti di coordinate Að3, 1Þ e Bð1, 1Þ?
pﬃﬃﬃ
2
B
pﬃﬃﬃ
2 2
C
pﬃﬃﬃ
3 2
D
pﬃﬃﬃ
4 2
Quale fra le seguenti rappresenta una funzione sempre decrescente e non passante per l’origine?
y ¼ 2x 1
B
y ¼ 3x þ 2
C
y ¼ 5x
D
y ¼ 6x
Per quale valore di a la retta avente equazione y ¼ 3ax 2a è parallela alla retta avente equazione y ¼ 12x þ 1?
a ¼ 4
B
a ¼ 3
C
a¼3
D
a¼4
16 Tre vertici di un rettangolo hanno coordinate ð2, 2Þ; ð0, 4Þ; ð66, 66Þ. Quali sono le coordinate del quarto
Þ
vertice?
A
17
Þ
A
B
18
Þ
A
ð0, 132Þ
B
ð62, 70Þ
C
ð64, 64Þ
D
ð64, 68Þ
In un piano cartesiano i punti di coordinate (2, 1), (3, 3), ð6, 1Þ sono ..........
i vertici di un triangolo acutangolo
i vertici di un triangolo rettangolo
C
D
i vertici di un triangolo ottusangolo
allineati
Quale delle seguenti coppie ordinate è una soluzione dell’equazione 3x 4y ¼ 5?
(7, 4)
B
ð7, 4Þ
C
ð7, 4Þ
D
ð7, 4Þ
19 Quali delle seguenti descrizioni corrisponde all’interpretazione grafica di un sistema di due equazioni di primo graÞ
do in due incognite privo di soluzioni? Le equazioni rappresentano due rette .....
A
B
20
Þ
incidenti e perpendicolari
incidenti, ma non perpendicolari
248
parallele e distinte
coincidenti
Quale delle seguenti tabelle esprime una relazione lineare tra le due variabili x e y?
x
y
x
y
x
y
x
y
0
1
2
3
0
1
1
2
3
5
8
10
1
2
3
5
7
9
1
2
3
5
6
8
A
21
Þ
C
D
B
C
D
Per quali valori di a, b, c vale l’uguaglianza 4x2 þ 4x 2 ¼ aðx þ bÞ2 þ c?
A
a ¼ 4, b ¼ B
a ¼ 4, b ¼
1
, c ¼ 3
2
1
,c¼3
2
1
, c ¼ 3
2
C
a ¼ 4, b ¼
D
a ¼ 4, b ¼
1
, c ¼ 3
2
Quale delle seguenti è condizione necessaria e sufficiente perché il sistema
sia impossibile?
22
Þ
A
24
Þ
A
a 6¼ 4
B
a 6¼ 3
D
ab0 a0 b ¼ 0 e bc0 b0 c ¼ 0
ab0 a0 b ¼ 0 e bc0 b0 c 6¼ 0
C
a 6¼ 2
C
D
Verso le prove Invalsi
ab0 a0 b ¼ 0
B ab0 a0 b 6¼ 0
ax 9y ¼ 1
23
Il
sistema
è determinato se e solo se:
Þ
x þ 3y ¼ 1
A
ax þ by þ c ¼ 0
a0 x þ b0 y þ c0 ¼ 0
Tema B
a 6¼ 1
Due numeri hanno somma uguale a 20 e differenza uguale a 16; allora il loro prodotto vale:
18
B
36
C
48
D
64
In una data giornata la somma tra la temperatura massima e quella minima registrate è stata di 3 C e la differenza
tra la temperatura massima e la temperatura minima è stata di 5 C. Qual è stata la temperatura massima in quella giornata?
25
Þ
A
0 C
B
2 C
C
4 C
D
6 C
26 Quale dei seguenti sistemi formalizza il problema: «la somma di x con il doppio di y è 10 e la differenza tra il triplo
Þ
di x e il doppio di y è 5»?
2
x þ 2y ¼ 10
2x þ y ¼ 10
x þ y2 ¼ 10
x þ y ¼ 10
A
B
C
D
3x 2y ¼ 5
2x 3y ¼ 5
x3 2y2 ¼ 5
x3 2y2 ¼ 5
y>x
27 Il sistema
rappresenta, nel piano cartesiano:
Þ
y < x
A
un semipiano
B
una striscia
C
un angolo convesso
D
un angolo concavo
28 La frontiera del semipiano colorato in figura è la retta di equazione 2x y þ 1 ¼ 0; la
Þ
disequazione che rappresenta tale semipiano, inclusa la retta r, è:
A
B
2x y þ 1 0
2x y þ 1 < 0
C
D
y
2x y þ 1 0
2x y þ 1 > 0
O
x
r
29
Þ
La tabella qui a fianco rappresenta i valori assunti da una funzione lineare f .
x
y
1
..........
Coefficiente angolare ¼ ..............................
..........
2
Ordinata all’origine ¼ ...................................
3
7
b. Completa la tabella.
4
..........
5
13
..........
16
a. Determina il coefficiente angolare e l’ordinata all’origine della funzione f :
30 Laura lavora in pasticceria. Per preparare 10 torte (tutte dello stesso tipo e dello stesso peso) utilizza 250 g di cioccoÞ
lato e impiega 1 ora. Per preparare 20 paste (anch’esse dello stesso tipo e dello stesso peso) utilizza 100 g di cioccolato e
impiega mezz’ora. In una data giornata Laura lavora per 8 ore e ha a disposizione 1,8 kg di cioccolato. Lavorando per tutte le 8 ore e utilizzando tutto il cioccolato a disposizione, quante torte e quante paste può preparare Laura?
a. Risposta: ....................................................................................................................................................................................................................................................
b. Scrivi i calcoli con cui sei giunto al risultato:
...................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................................
249
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Esercizi rette nel piano cartesiano

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QUIZ - MATFIS

Consideriamo una retta a in un piano.

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