I L SISTEMA DI RIFERIMENTO
CARTESIANO E LA RETTA
3
Per ricordare
H
Consideriamo una retta orientata r, fissiamo su di essa un punto O e prendiamo un segmento u come
unitaÁ di misura; consideriamo un punto P di r e sia a la misura del segmento OP rispetto ad u. Conveniamo di associare al punto P un numero reale in questo modo:
se P segue O, associamo a P il numero a
se P precede O, associamo a P il numero a.
Viceversa, ad ogni numero reale a si puoÁ associare il punto P
tale che il segmento OP abbia misura a e che si trovi oltre O
se a > 0, prima di O se a < 0.
Con questa operazione abbiamo quindi stabilito una corrispondenza biunivoca fra i numeri reali e i
punti di una retta orientata; si dice che si eÁ fissato un sistema di ascisse sulla retta r e il numero reale a
che individua il punto P si chiama ascissa di P e si scrive P …a†.
Dati i punti A…a† e B…b † :
la misura del segmento AB eÁ data dall'espressione:
H
AB ˆ jb
aj
AB ˆ b
a
se il segmento AB non eÁ orientato ed in questo caso la misura eÁ un numero sempre
positivo
ƒ!
se il segmento AB eÁ orientato ed in questo caso la misura eÁ un numero con segno
positivo se B segue A, con segno negativo se A segue B.
a‡b
.
l'ascissa c del punto medio di AB eÁ data dall'espressione c ˆ
2
Consideriamo due rette orientate fra loro perpendicolari che si intersecano
in O e fissiamo su ognuna di esse un sistema di ascisse avente origine in O;
chiamiamo asse delle ascisse o asse x la prima retta (di solito quella orizzontale) e asse delle ordinate o asse y la seconda (di solito quella verticale).
Ad ogni punto P del piano individuato da queste due rette si puoÁ associare
una coppia ordinata di numeri reali in questo modo:
tracciamo da P la parallela all'asse delle ordinate che incontra l'asse delle ascisse in un punto di ascissa a
tracciamo da P la parallela all'asse delle ascisse che incontra l'asse delle
ordinate in un punto di ascissa b.
associamo al punto P la coppia ordinata …a,b †.
Viceversa, ad ogni coppia …a,b † si puoÁ associare il punto P che si ottiene come intersezione delle parallele ai due assi tracciate dai punti di ascissa a e b.
52
H
3 - IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Esiste dunque corrispondenza biunivoca fra i punti del piano e le coppie ordinate di numeri reali e si
dice che si eÁ fissato nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali. Per indicare che un punto P eÁ
associato alla coppia …a,b † si dice che P ha coordinate …a,b † e si scrive P …a,b †; il numero a si chiama
ascissa di P, il numero b si dice ordinata di P.
Se in un sistema di assi cartesiani ortogonali sono dati i punti A…xA ,yA †, B…xB ,yB †, C …xC ,yC † allora:
q
la distanza fra i punti A e B (cioeÁ la misura del segmento AB) eÁ AB ˆ …xB xA †2 ‡…yB yA †2
le coordinate …xM ,yM † del punto medio M del segmento AB sono
le coordinate del baricentro G del triangolo ABC sono
H
xG ˆ
xM ˆ
xA ‡ xB
2
x A ‡ xB ‡ xC
3
yM ˆ
yG ˆ
y A ‡ yB
2
y A ‡ yB ‡ yC
3
Nel piano cartesiano ad ogni funzione di equazione y ˆ f …x † si puoÁ associare un grafico che eÁ formato dall'insieme dei punti le cui coordinate …x,y † soddisfano l'equazione data.
In particolare, quando f …x † eÁ un'espressione lineare, cioeÁ quando l'equazione si puoÁ scrivere nella forma y ˆ mx ‡ q, il grafico ad essa associato eÁ una retta. L'equazione di una retta si puoÁ scrivere:
in forma esplicita:
y ˆ mx ‡ q
in forma implicita:
ax ‡ by ‡ c ˆ 0
La relazione fra i coefficienti m e q della forma esplicita e quelli a,b,c della forma implicita sono i sea
c
qˆ
mˆ
b
b
Per esempio:
3
4
, q ˆ ˆ 2; la sua equazione in
la retta 3x ‡ 2y 4 ˆ 0, scritta in forma implicita, ha m ˆ
2
2
3
x‡2
forma esplicita si ottiene risolvendo l'equazione data rispetto a y : y ˆ
2
guenti:
3
3
x 1, scritta in forma esplicita, ha m ˆ , q ˆ 1; la sua equazione in forma impli4
4
cita si ottiene trasportando tutti i termini allo stesso membro e facendo eventualmente il denominatore
comune: 3x 4y 4 ˆ 0.
la retta y ˆ
H
Casi particolari:
l'asse delle ascisse ha equazione
l'asse delle ordinate ha equazione
una retta parallela all'asse delle ascisse ha equazione
una retta parallela all'asse delle ordinate ha equazione
una retta passante per l'origine ha equazione
la bisettrice del primo e terzo quadrante ha equazione
la bisettrice del secondo e quarto quadrante ha equazione
y
x
y
x
y
y
y
ˆ0
ˆ0
ˆk
ˆh
ˆ mx
ˆx
ˆ x
essendo k una costante
essendo h una costante
Il numero m si chiama coefficiente angolare e rappresenta la pendenza della retta rispetto all'asse x; il
numero q si dice ordinata all'origine e rappresenta l'ordinata del punto di intersezione della retta con
l'asse y.
In particolare:
se m > 0 la retta forma un angolo acuto con la direzione positiva dell'asse x
se m < 0 la retta forma un angolo ottuso con la direzione positiva dell'asse x
se m ˆ 0 la retta eÁ parallela all'asse x.
Le rette parallele all'asse y non hanno coefficiente angolare.
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
H
3 - IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA
Nota la sua equazione, il grafico di una retta si puoÁ costruire trovando le coordinate di due punti e
tracciando la retta cha passa per essi.
1
Per esempio, se vogliamo costruire il grafico della retta di equazione y ˆ x 2, prepariamo uno
2
schema nel quale attribuiamo due valori a scelta alla variabile x e troviamo i corrispondenti valori
di y :
x
0
4
y
2
0
La retta passa per i punti di coordinate …0,
eÁ in figura.
2† e …4,0† ed il suo grafico
Se la retta eÁ parallela ad uno degli assi cartesiani, non eÁ necessario preparare lo schema precedente; per esempio per disegnare il grafico della
retta x ˆ 2, scegliamo un qualsiasi punto di ascissa 2 e tracciamo da
esso la parallela all'asse y; per tracciare il grafico della retta y ˆ 3, scegliamo un qualsiasi punto di ordinata 3 e tracciamo da esso la parallela
all'asse x.
H
Le formule piuÁ importanti che occorre ricordare sono le seguenti:
coefficiente angolare della retta che passa per i punti …x1 ,y1 † e …x2 ,y2 †
mˆ
y2
x2
y1
x1
condizione di parallelismo fra due rette: avere lo stesso coefficiente angolare m ˆ m 0
condizione di perpendicolaritaÁ fra due rette: avere coefficienti angolari tali che il loro prodotto sia
1
m m0 ˆ 1
condizione di allineamento di tre punti:
y2
x2
y1
y
ˆ 3
x1
x3
y2
x2
equazione della retta che passa per il punto di coordinate …x0 ,y0 † e di coefficiente angolare m
y y0 ˆ m … x x0 †
equazione della retta che passa per i punti di coordinate …x1 ,y1 † e …x2 ,y2 †
y
y2
y1
x
ˆ
y1
x2
x1
x1
Questa formula vale solo se la retta non eÁ parallela agli assi cartesiani.
H
distanza d di un punto dalla retta ax ‡ by ‡ c ˆ 0 (l'equazione della retta deve essere in forma implicita), cioeÁ misura del segmento di perpendicolare condotto dal punto alla retta
ax0 ‡ by0 ‡ c
p
dˆ
a2 ‡ b 2
Ricordiamo poi che per determinare il punto di intersezione fra due rette si deve risolvere il sistema
formato dalle loro equazioni. In particolare, se il sistema eÁ:
determinato, le rette si intersecano in un punto
indeterminato, le rette coincidono
impossibile, le rette sono parallele e non si intersecano.
53
54
3 - IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA
E SERCIZI
DI
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
C ONSOLIDAMENTO
Risolvi i seguenti problemi relativi al sistema di ascisse sulla retta.
1
ESERCIZIO SVOLTO
Dati i punti A… 3†, B…‡4†, C…‡6†, calcola le misure dei segmenti AB, AC, CB considerandoli orientati e non orientati e trova le ascisse del punti medi di questi segmenti.
La misura di un segmento orientato eÁ dato dalla differenza fra l'ascissa del secondo estremo
e quella del primo; quindi:
ƒ!
AB ˆ ‡4
… 3† ˆ 7
ƒ!
AC ˆ ‡6
… 3† ˆ 9
ƒ!
CB ˆ ‡4
…‡6† ˆ
La misura di un segmento non orientato eÁ un numero sempre positivo ed eÁ:
AB ˆ ‡4 … 3† ˆ 7
AC ˆ ‡6 … 3† ˆ 9
BC ˆ ‡4
2
…‡6† ˆ 2
Le ascisse dei punti medi si trovano calcolando la semisomma delle ascisse degli estremi del
segmento:
3‡4 ˆ 1
punto medio di AB :
2
2
punto medio di AC :
punto medio di BC :
3‡6 ˆ 3
2
2
4‡6 ˆ5
2
ƒ!
15 , C… 2†, trova le misure dei segmenti orientati ƒ!
AB , BC e quella
2 Dati i punti A 3 , B
4
2
ƒƒ!
del segmento MN avente per estremi rispettivamente i punti medi di questi due segmenti.
33 ; 11 ;
4 2
11
8
3 Un segmento AB ha per estremo il punto A…‡3† e per punto medio M 2 ; trova l'ascissa
del
5
l'estremo B.
11
5
ƒ!
4 Del segmento orientato AB si sa che A…‡2† e che misura 17 ; trova l'ascissa di B.
2
5 Del segmento non orientato AB si sa che B… 4† e che misura 3 ; trova l'ascissa di A.
4
(Suggerimento: indicata con x l'ascissa di A, devi risolvere l'equazione jx ‡ 4j ˆ 3 )
4
13 ;
4
21
2
19
4
6 Un segmento orientato misura 19 e il suo punto medio ha ascissa 1; calcola le ascisse
dei suoi
5
estremi.
9 ; 29
10 10
1 e B 7 ; determina l'ascissa del pun7 Un segmento orientato AB ha per estremi i punti A
2
2
ƒ!
ƒ!
to P tale che AP ˆ 1 AB .
P 1
2
4
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
3 - IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA
55
Risolvi i seguenti problemi riferiti ad un sistema di assi coordinati cartesiani ortogonali.
8 Trova le coordinate dei punti medi dei segmenti che hanno come estremi le seguenti coppie di
punti.
1
1
1
3
;
C 0;
D
;2 ;
E…4; 1†
F 2;
A…1; 2†
B 3;
4
2
2
4
"
2;
7 ;
8
1 ; 5 ; 1;
4 4
1
8
#
9 Trova i secondi estremi dei seguenti segmenti di cui sono noti il primo estremo e il punto medio.
1
7
5
5
5
11
;
C 5;
M2
;
;
E
15;
M3
7;
A…5; 1†
M1 9;
2
4
2 4
2
4
3
; …1; 3†
…13; 2†; 0;
4
10
ESERCIZIO SVOLTO
Un triangolo ABC ha i vertici di coordinate A…1; 1†, B…3; 2†, C…4; 3†. Stabilisci la natura del
triangolo, trova la misura del suo perimetro e la lunghezza delle mediane.
Rappresentiamo i punti nel piano cartesiano.
Per stabilire la tipologia del triangolo conviene trovare le misure dei suoi lati applicando la formula della distanza fra due
punti:
q
p p
2
2
AB ˆ …3 1† ‡… 2 1† ˆ 4 ‡ 9 ˆ 13
q
p p
2
2
AC ˆ …4 1† ‡…3 1† ˆ 9 ‡ 4 ˆ 13
q
p p
2
2
BC ˆ …4 3† ‡…3 ‡ 2† ˆ 1 ‡ 25 ˆ 26
Poiche AB ˆ AC, il triangolo eÁ isoscele ed il suo perimetro eÁ:
p p p
p p
2p ˆ 13 ‡ 13 ‡ 26 ˆ 2 13 ‡ 26
Inoltre, poicheÁ AC 2 ‡ AB 2 ˆ 13 ‡ 13 ˆ 26 ˆ BC 2 , il triangolo eÁ rettangolo in A.
Per trovare la lunghezza delle sue mediane dobbiamo prima trovare le coordinate dei punti
medi M di BC e N di AC; essendo il triangolo isoscele, non serve trovare il punto medio di
AB percheÁ le mediane relative ai lati congruenti hanno la stessa misura:
4
‡
3
7
2
‡
3
1
7
1
ˆ
yM ˆ
ˆ
!
M
;
!
xM ˆ
2
2
2
2
2 2
s
2
2 p
7
1
!
1 ‡
1 ˆ 1 26
AM ˆ
2
2
2
yN ˆ 1 ‡ 3 ˆ 2
!
xN ˆ 1 ‡ 4 ˆ 5
2
2
2

s
2
p
2
5
!
3 ‡…2 ‡ 2† ˆ 1 65
BN ˆ
2
2
N 5 ;2
2
!
56
3 - IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
11 Determina la natura del triangolo di vertici A… 1; 0†, B…1; 2†, C… 2; 3† e calcolane il perimetro.
h
p pi
isoscele di base AB; perimetro ˆ 2 10 ‡ 2
12 Dopo aver verificato che il triangolo A… 1; 0†; B… 4; 4†; C 1; 3 eÁ rettangolo calcolane l'a 2
rea.
25
4
13 Dopo aver verificato che il triangolo A…5; 2†; B…5; 3†; C 17; 1 eÁ isoscele, calcolane l'area.
2
‰30Š
14 Trova gli estremi del segmento AB di misura 1, sapendo che il suo punto medio ha coordinate
1 ; 5 e che eÁ parallelo all'asse x.
A 0; 5 ; B 1; 5
7
7
2 7
15 Il punto P…a
2; 3a ‡ 4† ha distanza dall'origine uguale a
p
10; quali sono le coordinate di P?
‰P… 3; 1†Š
16 Le coordinate dei primi tre vertici del parallelogramma ABCD sono A… 3; 1†; B…0; 1†; C…2; 5†;
trova le coordinate del punto D.
(Suggerimento: ricorda che in un parallelogramma le diagonali si incontrano nel punto medio,
‰D… 1; 3†Š
quindi il punto medio di AC eÁ anche punto medio di BD)
17 Del rettangolo ABCD si sa che ha un vertice in A 3; 3 , che un lato eÁ parallelo all'asse delle
2
5
. Trova le coordinate degli altri vertici.
ascisse, che ha centro nel punto P 1;
2
"
#
1; 7 ; D
1; 3
B 3; 7 ; C
2
2
2
3
5
7
;B
;
ed essendo A 0 e B 0 le proie18 Trova l'area del quadrilatero ABB A essendo A 1;
2
2
2
zioni di A e B sull'asse delle ascisse.
15
0
0
4
3
5
; B 3;
e C; proiezione di B sull'asse delle
19 Verifica che il triangolo ABC di vertici A 1;
2
2
5
ascisse, eÁ isoscele di base AB e calcolane l'area.
2
20 Dopo aver verificato che il quadrilatero di vertici A…1; 3†; B…2; 5†; C…6; 2†; D…5; 10† eÁ un rombo,
‰39Š
calcolane l'area.
(Suggerimento: affincheÁ un quadrilatero sia un rombo eÁ sufficiente che abbia i lati congruenti)
5
; 3 insieme con A 0 e B 0 , loro proiezioni sull'asse delle ordinate, in21 I punti A… 1; 2† e B
2
dividuano un quadrilatero; determina la sua natura e calcolane il perimetro e l'area.
perimetro ˆ
17 ‡
p
109
35
; area ˆ
2
4
22 Trova l'area del triangolo ABD dove D eÁ il quarto vertice del parallelogramma A… 2; 1†; B…1; 1†;
3
‰6Š
;5 .
C
2
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57
3 - IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA
Risolvi i seguenti problemi sulla retta.
23 Determina quali fra i seguenti punti appartengono alla retta di equazione y ˆ 3x
1; 1
A 3 ;4
B…1; 2†
C
D 0; 1
E 0; 1
2
6
2
2
24 Trova le ordinate dei punti appartenenti alla retta di equazione y ˆ 2x
vamente uguali a 1 e
1 ; disegna poi il grafico della retta.
2
1:
2
‰A; C; EŠ
1 con ascisse rispetti2
3;
2
25 Trova le ascisse dei punti appartenenti alla retta di equazione y ˆ 1 x
5
3
1 e ; disegna poi il grafico della retta.
5
2 con ordinata uguale a
‰5; 13Š
26 Calcola il coefficiente angolare delle rette che passano per le seguenti coppie di punti:
27
a. A…1; 3†
e
B… 2; 1†
b. A…2; 1†
c. A 1 ; 1
2
1
;3
d. A
2
e
B…0; 5†
B 5; 1
2
1
B
;3
2
e. A…4; 1†
e
e
e
3
2
mˆ 4
3
‰m ˆ
2Š
‰m ˆ
1Š
‰m ˆ 0Š
B…4; 3†
‰non esisteŠ
ESERCIZIO SVOLTO
Scrivi l'equazione della retta cha passa per i punti A 3;
1
2
eB
; 1 .
5
5
I due punti non hanno ne la stessa ascissa, ne la stessa ordinata; la retta non eÁ quindi parallela agli assi cartesiani. Possiamo procedere in due modi:
y
calcolando il coefficiente angolare della retta m ˆ 2
x2
e poi usando la formula y y0 ˆ m…x x0 †.
4
2
x
Pertanto scegliendo il punto B: y ‡ 1 ˆ
13
5
applicando la formula
!
13
1
y‡
ˆ
5
5
28 Dati i punti A 1;
di essi.
y
y2
y1
x
ˆ
y1
x2
4…
x
5
3†
x1
:
x1
!
y‡ 1
5
1
1‡
5
yˆ
1 ‡1
5
4
ˆ
13
2
3
5
y1
ˆ
x1
!
ˆ
x
2
5
4
x
13
yˆ
3
3
4
x
13
73
65
!
73
65
2 , B…2; 1†, C…3; 2†, trova le equazioni di tutte le rette che passano per due
3
AB : y ˆ 5 x
9
1 ; AC : y ˆ 2 x; BC : y ˆ x
9
3
1
58
3 - IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
29 Data la retta y ˆ 3 x ‡ 1 determina le coordinate dei punti di intersezione con gli assi cartesiani.
4
2
"
#
2 ; 0 ; 0; 1
3
2
30 Stabilisci se i seguenti punti sono allineati:
a. A 1 ; 1
B…2; 5†
C…1; 2†
2 2
b. A…2; 8†
9
c. A 1;
5
‰siŠ
B…0; 5†
C…1; 4†
‰noŠ
B… 10; 7†
C…0; 1†
‰siŠ
31 Individua se le seguenti coppie di rette sono parallele o perpendicolari:
a. y ˆ 2x
3
2y
b. 2y ‡ x
3ˆ0
y ˆ 2x
c. 3y ˆ 2x
d. x ˆ 5y
e. y ‡ 3 ˆ 0
3
3
4
2y
4x ˆ 0
‰paralleleŠ
‰perpendicolariŠ
3x ˆ 1
2y ˆ 1
‰ne parallele ne perpendicolariŠ
10x
‰perpendicolariŠ
4x ˆ 3
‰perpendicolariŠ
32 Scrivi l'equazione delle rette che passano per il punto P ed hanno il coefficiente angolare dato:
a. P…0; 2†
mˆ
b. P…2; 1†
mˆ 1
3
c. P… 1; 1†
d. P 1 ; 5
2 2
mˆ
1
‰y ˆ
2Š
yˆ 1x‡ 1
3
3
yˆ
1
4
x
mˆ3
1x‡ 3
4
4
‰y ˆ 3x ‡ 1Š
33 Scrivi l'equazione della retta che passa per il punto A 1 ; 2 e che eÁ parallela a quella di equa2
zione y ˆ 3x 2.
1
y ˆ 3x ‡
2
34 Trova l'equazione della retta per l'origine che eÁ perpendicolare a quella che passa per i punti
A…1; 2†; B 1; 3 .
‰y ˆ 4xŠ
2
(Suggerimento: trova il coefficente angolare di AB e ricava quello della retta perpendicolare)
35 Scrivi l'equazione della retta perpendicolare a quella di equazione 2x
1
.
seca nel punto di ascissa
2
3y
1 ˆ 0 e che la inter
yˆ
3
x
2
17
12
36 Scrivi l'equazione della retta perpendicolare a quella di equazione y ‡ 1 ˆ 2x e che la interseca
nel punto di ordinata 3.
yˆ 1x 7
2
2
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
3 - IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA
59
37 Scrivi l'equazione della retta passante per il punto P… 2; 5† e perpendicolare a quella che passa
3
.
per i punti A… 2; 2† e B
1;
‰y ˆ 2x ‡ 9Š
2
38 Scrivi le equazioni delle rette passanti per il punto P
1; 1 che sono rispettivamente paral2
lela e perpendicolare a quella che passa per i punti A…5; 2† e B…1; 3†.
‰5x
39 Scrivi l'equazione della retta perpendicolare a quella di equazione y
1
ca nel punto di ascissa .
4
4y ‡ 7 ˆ 0; 10y ‡ 8x ‡ 3 ˆ 0Š
1
‡ 2x ˆ 0 che la interse2
yˆ 1x
2
1
8
40 Trova l'equazione della retta passante per P…1; 3† che interseca quella di equazione y ˆ 3x
nel punto di ordinata 5.
‰y ˆ x
41
2
4Š
ESERCIZIO GUIDATO
Scrivi l'equazione della retta che passa per il punto A di intersezione fra le rette di equazioni
x ‡ 3y 4 ˆ 0 e 2x ‡ y 1 ˆ 0 ed eÁ perpendicolare a quella che passa per i punti di coordinate …2; 2† e … 3; 1†.
Il punto di intersezione di due rette si trova risolvendo il sistema delle loro equazioni
x ˆ :::::::::::::::::
x ‡ 3y 4 ˆ 0
!
y ˆ :::::::::::::::::
2x ‡ y 1 ˆ 0
Calcola adesso il coefficiente angolare della retta che passa per i punti dati con la formula
y2 y1
e determina quello della perpendicolare.
y ˆ 5x ‡ 2
5
x2 x1
42 Trova le coordinate del punto P di intersezione delle rette di equazioni r : x 2y 8 ˆ 0 e
p s : 2x ‡ y 1 ˆ 0 e determina la sua distanza dall'origine.
P…2; 3†; 13
43
ESERCIZIO GUIDATO
Scrivi l'equazione della retta asse del segmento di estremi A… 2; 1† e B…1; 7†.
Puoi procedere in due modi:
calcolare il punto medio M del segmento AB, il coefficiente angolare della retta AB e scrivere l'equazione della retta che passa per M ed eÁ perpendicolare ad AB
considerare il generico punto P…x; y† dell'asse e imporre che
sia equidistante dagli estremi:
q q
2
…x ‡ 2†2 ‡…y ‡ 1†2 ˆ …x 1† ‡…y 7†2
…x ‡ 2†2 ‡…y ‡ 1†2 ˆ …x
6x ‡ 16y
45 ˆ 0
2
1† ‡…y
7†2
60
3 - IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
44 Trova l'equazione della retta asse del segmento avente per estremi i punti assegnati:
3
a. A…1; 3†
B 3;
‰16x 12y 5 ˆ 0Š
2
B…4; 2†
b. A 3; 1
‰56x 20y 43 ˆ 0Š
2
p p
c. A 2; 0
B 0;
2
‰x ‡ y ˆ 0Š
45
ESERCIZIO SVOLTO
Calcola la distanza del punto P…4; 2† dalla retta di equazione y ˆ 6x
1.
Scriviamo innanzi tutto l'equazione della retta in forma implicita:
6x
Applichiamo la formula
y
1ˆ0
p
jax0 ‡ by0 ‡ cj
j6 4 2 1j
21
37
21
p ˆ p ˆ p ˆ
dˆ
2
2
2
2
37
37
a ‡b
6 ‡1
46 Calcola la distanza dei punti P assegnati dalle rette indicate:
a. P…1; 0†
b. P 1 ; 1
3
5
c. P 2;
2
2x ‡ y
1ˆ0
yˆ 3x‡4
2
y‡xˆ2
p 5
5
p 11 13
13
p 13 2
2
47 Calcola la distanza del punto P…3; 2† dalla retta passante per i punti di coordinate …0; 1† e
p …5; 3†.
21 29
29
2
dalla retta che taglia gli assi cartesiani nei punti di ascissa
48 Calcola la distanza del punto P 4;
3
p 3
9 13
e ordinata 1.
13
2
49
ESERCIZIO SVOLTO
Calcola l'area del triangolo che ha per vertici i punti A…1; 1†, B… 2; 3†, C… 1; 1†.
Scegliamo un lato come base, per esempio il lato AC e scriviamo l'equazione della retta AC :
x yˆ0
p
Calcoliamo la misura di AC : AC ˆ 2 2
Calcoliamo la misura dell'altezza mediante la distanza di B
dalla retta AC :
hˆ
j 2 3j
p ˆ p5
2
2
Possiamo adesso calcolare l'area:
p
area ˆ 2 2 p5 1 ˆ 5
2 2
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
61
3 - IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA
50 Calcola l'area del triangolo ABC nei seguenti casi:
1
C… 2; 1†
a. A…1; 2†
B 2;
2
b. A…2; 1†
B… 1; 5†
C… 3; 0†
c. A 7 ; 1
2
1
;2
d. A
2
B 1; 5
2
13
B 1;
2
C
3; 3
2
2
C 3 ;0
2
21
4
23
2
55
8
‰6Š
51 Le rette y ˆ 3x ‡ 2 e y ˆ 2x ‡ 4 si intersecano in A ed intersecano l'asse x nei punti B e C.
Calcola l'area del triangolo ABC.
64
15
52 Dopo aver verificato che il quadrilatero di vertici A…5; 0†, B… 1; 3†, C… 3; 2†, D…3; 5† eÁ un
parallelogramma, calcolane l'area e trova le equazioni delle sue diagonali.
‰36; x
4y
5 ˆ 0; 2x ‡ y
1 ˆ 0Š
Risolvi i seguenti problemi sui fasci di rette.
53
ESERCIZIO SVOLTO
Scrivi l'equazione dei fasci di rette che:
a. hanno centro nel punto P…3; 4†
b. sono parallele alla retta 2x 3y ‡ 1 ˆ 0
c. sono perpendicolari alla retta 4x 5y ‡ 2 ˆ 0.
a. Basta usare la formula y y0 ˆ m…x
y ‡ 4 ˆ m…x 3†
x0 † nella quale m eÁ il parametro del fascio:
!
mx y 3m 4 ˆ 0
b. Le rette del fascio devono avere lo stesso coefficiente angolare, quindi hanno equazione:
2x 3y ‡ k ˆ 0
c. La retta data ha coefficiente angolare 4 , le rette ad essa perpendicolari hanno coefficiente
5
5
angolare
; il fascio ha quindi equazione
4
yˆ 5x‡q
4
o anche, scrivendolo in forma implicita e ponendo k ˆ 4q
5x ‡ 4y ‡ k ˆ 0
54 Scrivi le equazioni dei fasci di rette che passano per i seguenti punti:
1
a. P1
1;
2
b. P1 …2; 3†
5
1
;
c. P1
2
2
d. P1 …4; 1†
y ˆ m ‡ mx ‡ 1
2
‰y ˆ mx
y ˆ mx
‰y ˆ mx
2m
5m
2
4m
3Š
1
2
1Š
62
3 - IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
55 Scrivi l'equazione del fascio di rette che ha la stessa direzione della retta r di equazione
yˆ 3x
2
2 e quello del fascio che passa per il punto di r di ascissa
56 Scrivi l'equazione del fascio di rette che passa per il punto P 1; 4
3
a. la retta che passa per …2; 1†
1.
y ˆ 3 x ‡ q; y ˆ mx ‡ m
2
e fra queste determina:
yˆ
7 x ‡ 11
3
3
yˆ 4
3
yˆ x‡ 7
3
b. la retta parallela all'asse x
c. la retta con coefficiente angolare
7
2
1
d. la retta che passa per …1; 2†
‰x ˆ 1Š
57 Scrivi l'equazione del fascio di rette che sono perpendicolari alla retta y ˆ
determina:
a. la retta che passa per … 1; 2†
5
;1
b. la retta che passa per
3
c. la retta che passa per … 2; 1†
d. la retta che interseca l'asse delle ascisse in x ˆ 10
5 x ‡ 2 e fra queste
3
3
y ˆ 3 x ‡ 13
5
5
yˆ 3x
5
yˆ 3x‡ 1
5
5
yˆ 3x 6
5
58 Scrivi l'equazione del fascio di rette che passa per il punto P…2; 1† e fra queste determina:
a. la retta che passa per …1; 0†
‰y ˆ
b. la parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante
c. la retta di coefficiente angolare 1
2
d. la perpendicolare alla retta 3x
E SERCIZI
DI
2y ˆ 0
x ‡ 1Š
‰y ˆ x 3Š
yˆ 1x 2
2
yˆ 2x 7
3
3
A PPROFONDIMENTO
Risolvi i seguenti problemi sul piano cartesiano.
p
1 Il segmento AB misura 13; se A…k; 1† e P…k ‡ 2; 2
mi?
4k† quali sono le coordinate dei suoi estre A1
1 ; 1 ; B 3 ; 4 ; A …1; 1†; B …3; 2†
1
2
2
2
2
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
63
3 - IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA
3
; 1 e due vertici sono i punti A…0; 2† e
2 Il baricentro di un triangolo ABC ha coordinate
2
B 7 ; 1 . Trova le coordinate del vertice C e verifica poi che il baricentro divide ciascuna me2
‰C…1; 6†Š
diana in due parti tali che quella che contiene il vertice eÁ doppia dell'altra.
3 Un parallelogramma ha centro nel punto
2; 1
2
e due vertici nei punti A…1; 2† e B 1;
trova le coordinate degli altri due vertici e verifica che si tratta di un rombo.
C… 5; 1†; D
3 ;
2
3; 5
2
1
9
, B…3; 2†, C
; 2 sono i primi tre vertici del parallelogramma ABCD; dopo
4 I punti A 1;
2
2
aver trovato le coordinate del punto D, verifica che si tratta di un quadrato.
D 1; 7
5 Trova le coordinate del punto P sull'asse x che eÁ equidistante dai punti A
calcola poi il perimetro e l'area del triangolo ABP.
1; 1
3
2
2
e B 5 ;1 e
3
p
p
P 1 ; 0 ; perimetro ˆ 2 17 ‡ 1 85; area ˆ 17
2
3
3
18
6 Un punto P eÁ equidistante dai punti A… 1; 2† e B…3; 1† e di esso si sa inoltre che la sua ascissa eÁ
uguale alla sua ordinata; calcola le sue coordinate e determina poi la sua distanza dal segmento
AB.
5 5
5
P
;
;d ˆ
2 2
2
7 I punti A… 5; 4† e B…3; 0† sono due vertici del triangolo ABC di cui M…0; 5† eÁ il punto medio del
lato AC. Trova le coordinate del vertice C e verifica se si tratta di un triangolo rettangolo.
‰C…5; 6†Š
8 I punti di coordinate … 1; 3†, …4; 5†, …2; 1† sono tre dei vertici di un parallelogramma; trova le
‰…7; 1†; …1; 9†; … 3; 3†Š
coordinate del quarto e verifica che esistono tre soluzioni.
Risolvi i seguenti problemi sulla retta.
9 Il punto B 7 ; 4 eÁ il punto di intersezione di due rette perpendicolari r e s; la retta r passa anche
2
per il punto A…1; 2†, mentre il punto C di s ha ordinata 9. Calcola l'area del triangolo ABC.
169
4
1
; 2 eÁ anche isoscele, ed ha i vertici A e C entrambi di ascissa
10 Un triangolo rettangolo in B
2
3 . Dopo aver trovato le coordinate di questi due punti, calcola perimetro e area del triangolo.
2
h
i
perimetro ˆ 4
11 Le rette t : 2x
3y
p
2 ‡ 1 ; area ˆ 4
2 ˆ 0 e r : 3x ‡ y 25 ˆ 0 si intersecano in B; una parallela alla retta r
passante per il punto di coordinate 5 ; 2 interseca t in A; indicato con A 0 il punto proiezione
3
di A sull'asse delle ordinate, calcola l'area del parallelogramma che ha AA 0 e AB come vertici
‰4Š
consecutivi.
64
3 - IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
5
3
9
7
; B 1;
;C
;
; D 11 ;
12 Sono dati i punti A 1;
2
2
2 2
2
1 ; scrivi le equazioni delle rette r e
2
s rispettivamente assi dei segmenti AB e CD e calcola il loro punto di intersezione E. Indicato
con P il punto di ordinata positiva appartenente alla retta r che ha distanza uguale a p1 dalla
17
retta s, calcola l'area del triangolo EPH essendo H il punto medio del segmento CD.
"
#
6 ; 2 ; H 5; 3 ; area ˆ 3
7 7
2
4
E… 1; 0†; P
4
13 Il segmento AB, lungo 5, appartiene alla retta y ˆ x ‡ 1 e le coordinate del suo punto medio M
3
3
sono
; 3 ; trova le coordinate di A e B.
‰A…0; 1†; B…3; 5†Š
2
14 Il segmento AB, lungo 5 , appartiene ad una retta con coefficiente angolare 3 ; se le coordinate
2
4
"
#
di A sono … 1; 4† quali sono quelle di B?
5
11
1;
2
_
3;
2
p
1
15 Il segmento AB, lungo 5, appartiene ad una retta di coefficiente angolare ; se le coordinate di
2
‰…0; 0† _ …4; 2†Š
A sono …2; 1† quali sono quelle di B?
5
11
;
16 Scrivi le equazioni delle due rette r e s passanti rispettivamente per i punti D
e
2
2
C 15 ; 11 ed entrambe di coefficiente angolare 12 e indica con A e B le loro intersezioni
2
5
con l'asse y. Individua la natura del quadrilatero convesso che ha per vertici i punti A; B; C; D e
calcolane l'area.
65
2
17 Un rombo ha un vertice nel punto A…1; 0† e le sue diagonali si intersecano"in P…2; 2†; calcola le#
coordinate degli altri vertici sapendo che ha area uguale a 5.
3; 3 ; …3; 4†; 1; 5
2
18 Verifica che il quadrilatero ABCD di vertici A 2; 1 ; B… 1; 1†; C…2; 1†; D
2
2
1;3
2 2
eÁ un tra-
pezio rettangolo di base maggiore BC; calcolane quindi il perimetro e l'area.
(Suggerimento: devi verificare che i lati delle basi sono paralleli e che uno dei lati obliqui eÁ perpendicolare alle basi; non serve calcolare le equazioni delle rette, bastano i loro coefficienti an
golari)
1 p p
39
perimetro ˆ
2
4 13 ‡
26 ; area ˆ
8
19 Dopo aver verificato che il quadrilatero A… 2; 4†; B 1 ; 9 ; C 5 ; 21 ; D 8; 23 eÁ un trapezio
2
2 2
2
isoscele calcolane area e perimetro.
p
area ˆ 75 ; perimetro ˆ 5 5 ‡ 3
4
20 Determina la natura del quadrilatero ABCD di vertici A…3; 5†; B 15 ; 11 ; C… 1; 8†; D 7 ; 14
2
2
e calcolane poi il perimetro e l'area.
e un rettangolo; perimetro ˆ 25; area ˆ 75
2
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
3 - IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA
65
21 Scrivi le equazioni delle rette dei lati del triangolo ABC i cui vertici hanno coordinate A…3; 6†;
63
6
;
. Calcola poi il perimetro e l'area del triangolo.
B…0; 2†; C
5
5
y ˆ 4 x ‡ 2; y ˆ
3
3 x ‡ 33 ; y ˆ
4
4
16 x ‡ 2; perimetro ˆ 30; area ˆ 30
63
22 Trova le coordinate dei vertici mancanti del quadrato ABCD sapendo un lato ha per estremi i
punti A 4 ; 1 e B…3; 5† e che i lati ad esso perpendicolari intersecano l'asse delle ordinate. Cal3
8;8
1; 20 ; perimetro ˆ 52 ; area ˆ 169
colane quindi il perimetro e l'area.
3 3
3
3
9
p p 3
p 7
3 3 5
;
B
3;
, scrivi le equazioni delle rette dei suoi lati,
23 Dato il triangolo A
C
3;
2 2
2
2
verifica che si tratta di un triangolo isoscele e trova le coordinate del punto D che, insieme ai
p #
precedenti, forma un rombo. "
p
y ˆ p2 x
3
1 ;y ˆ
2
p2 x ‡ 11 ; y ˆ
2
3
p1 x ‡ 4; x ˆ
3
3; D
3 5
;
2 2
3 x ‡ 1 siano A e D i suoi punti di ascissa 0 e 2; scrivi le equa4
2
1 che passano rispettivamente per A e
zioni delle rette r e t entrambe di coefficiente angolare
18
per D; indicato poi con C il punto di r di ascissa 1 e con B il punto di t di ascissa 3, calcola l'area
del quadrilatero ACBD dopo averne individuata la natura.
25
24 Data la retta s di equazione y ˆ
18
25
ESERCIZIO GUIDATO
Un triangolo ha area 5 e due vertici nei punti A… 1; 0† e B…3; 0†; trova le coordinate del terzo
vertice C sapendo che si trova nel primo quadrante e che appartiene alla retta di equazione
y ˆ 1 x ‡ 2.
3
Considera il lato AB come base del triangolo: AB ˆ ::::::
se l'area eÁ uguale a 5, l'altezza misura:
.......................
il punto C appartiene alla retta data ed ha quindi coordina
1
te generiche k; k ‡ 2
3
la sua distanza dalla retta AB, che eÁ l'asse delle ascisse, eÁ
1
quindi k ‡ 2
3
Basta adesso imporre che la distanza sia uguale all'altezza.
26 Sono dati i punti A… 3; 2†, B 1;
3;5
2 2
2 , C 7 ; 5 , D 5; 59 ; un triangolo ha due vertici nei
3
2 48
48
punti medi dei segmenti AB e CD ed il terzo vertice eÁ l'intersezione degli assi di questi due segmenti. Dopo aver individuato la natura di questo triangolo, trovane il perimetro e l'area.
perimetro ˆ 15; area ˆ 75
8
66
3 - IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
27 Un triangolo ha per lati le rette di equazioni y ˆ 1 x ‡ 3, 3x ‡ 2y
2
trova le coordinate dei suoi vertici e la misura delle tre altezze.
22 ˆ 0, 3x ‡ 10y
14 ˆ 0;
16 ; p24
 ; p48

…8; 1†; …4; 5†; … 2; 2†; p
5
13
109
28 Scrivi l'equazione della retta che passa per il punto medio del segmento di estremi A 1; 2 e
3
5
; 2 e che intercetta sull'asse y un segmento doppio di quello intercettato sull'asse x.
B
3
‰6x ‡ 3y 4 ˆ 0Š
29 Fra le rette di equazione x 2…k ‡ 1†y
a. la retta r che passa per l'origine
3k ˆ 0 individua:
b. la retta s che, insieme con r, e con l'asse y forma un triangolo di area 15 .
2
‰13x
30
‰x
2y ˆ 0Š
6y ‡ 30 ˆ 0; 7x ‡ 6y ‡ 30 ˆ 0Š
ESERCIZIO GUIDATO
Di un rettangolo ABCD si sa che il vertice A ha coordinate …1; 4†, il punto B appartiene all'asse x ed il lato AB appartiene ad una retta di coefficiente angolare 1; il centro del rettangolo eÁ il punto P di coordinate …4; 3†. Trova le equazioni dei suoi lati e le coordinate dei
rimanenti vertici.
Il punto B eÁ l'intersezione della retta s passante per A di coefficiente angolare 1 e l'asse delle ascisse.
Puoi trovare gli altri vertici come simmetrici dei punti A e B
rispetto a P usando la formula per il punto medio di un segmento.
‰B…5; 0†; C…7; 2†; D…3; 6†; y ˆ x ‡ 3; y ˆ x
5; y ˆ
x ‡ 5; y ˆ
x ‡ 9Š
31 Il triangolo ABC, isoscele di base AB ha il lato AB che appartiene alla retta di equazione
2x ‡ y ˆ 0 e il lato AC sulla retta di equazione y ˆ 4; trova le coordinate dei vertici del triangolo
sapendo che i lati congruenti misurano 6. A… 2; 4†; B1 2 ;
5
4 ; C …4; 4†; B
1
2
5
22 ; 44 ; C … 8; 4†
2
5 5
32 Dati i punti A… 3; 2†, B…1; 4†, C…5; 0†, trova le coordinate del punto P di intersezione degli assi
dei segmenti AB e BC e verifica che anche l'asse del segmento AC passa per P. P 2;
3
1
3
21
e due suoi vertici sono i punti A… 2; 2† e B…4; 1†. Trova le coor2
dinate del vertice C sapendo che appartiene alla retta di equazione x 4y ‡ 15 ˆ 0.
33 Un triangolo ABC ha area
C1 …1; 4†; C2
25 ; 5
3 3