SUN - Dipartimento di Matematica
Poligoni e Poliedri Regolari
Francesco Mazzocca
Facoltà di Scienze MM.FF.NN. - Piano Lauree Scientifiche - A.A.2010/11
Una considerazione
di Jules Henri Poincaré (1854 - 1912)
”The mathematician does not study pure
mathematics because it is useful; he studies
it because he delights in it and he delights
in it because it is beautiful”
Poligoni regolari
Poligoni
DEFINIZIONE
Un poligono è la regione limitata del piano delimitata da una
linea spezzata chiusa.
Poligoni
DEFINIZIONE
Un poligono è la regione limitata del piano delimitata da una
linea spezzata chiusa.
ESEMPI
Poligoni
DEFINIZIONE
Un poligono è la regione limitata del piano delimitata da una
linea spezzata chiusa.
ESEMPI
DEFINIZIONE
In un poligono, i segmenti che costituiscono la spezzata chiusa
si dicono lati e i punti in comune a due lati consecutivi si dicono
vertici.
Poligoni convessi
DEFINIZIONE
Un poligono è convesso se, comunque presi due suoi punti, il
segmento che li congiunge è contenuto nel poligono.
Poligoni convessi
DEFINIZIONE
Un poligono è convesso se, comunque presi due suoi punti, il
segmento che li congiunge è contenuto nel poligono.
ESEMPI
Poligoni convessi
DEFINIZIONE
Un poligono è convesso se, comunque presi due suoi punti, il
segmento che li congiunge è contenuto nel poligono.
ESEMPI
convesso
Poligoni convessi
DEFINIZIONE
Un poligono è convesso se, comunque presi due suoi punti, il
segmento che li congiunge è contenuto nel poligono.
ESEMPI
convesso convesso
Poligoni convessi
DEFINIZIONE
Un poligono è convesso se, comunque presi due suoi punti, il
segmento che li congiunge è contenuto nel poligono.
ESEMPI
convesso convesso non convesso
Poligoni convessi
DEFINIZIONE
Un poligono è convesso se, comunque presi due suoi punti, il
segmento che li congiunge è contenuto nel poligono.
ESEMPI
convesso convesso non convesso non convesso
Poligoni convessi
DEFINIZIONE
Un poligono è convesso se, comunque presi due suoi punti, il
segmento che li congiunge è contenuto nel poligono.
ESEMPI
convesso convesso non convesso non convesso
DEFINIZIONE
In un poligono convesso, gli angoli minori di 180◦ individuati da
due lati consecutivi si dicono angoli (interni) del poligono.
Poligoni regolari
DEFINIZIONE
Un poligono regolare è un poligono convesso che ha i lati e gli
angoli della stessa misura.
Poligoni regolari
DEFINIZIONE
Un poligono regolare è un poligono convesso che ha i lati e gli
angoli della stessa misura.
ESEMPI
Poligoni regolari
DEFINIZIONE
Un poligono regolare è un poligono convesso che ha i lati e gli
angoli della stessa misura.
ESEMPI
regolare
Poligoni regolari
DEFINIZIONE
Un poligono regolare è un poligono convesso che ha i lati e gli
angoli della stessa misura.
ESEMPI
regolare
non regolare
Poligoni regolari
DEFINIZIONE
Un poligono regolare è un poligono convesso che ha i lati e gli
angoli della stessa misura.
ESEMPI
regolare
non regolare
non regolare
Poligoni regolari
DEFINIZIONE
Un poligono regolare è un poligono convesso che ha i lati e gli
angoli della stessa misura.
ESEMPI
regolare
non regolare
non regolare
OSSERVAZIONE
Un poligono può avere i lati e gli angoli della stessa misura e
non essere convesso, come mostrano il secondo e il terzo
esempio.
Esempi di poligoni regolari
Poligoni regolari
Prime definizioni e proprietà
Poligoni regolari
Prime definizioni e proprietà
• Per ogni intero n ≥ 3, esiste un poligono regolare Pn con n
lati (n−gono).
Poligoni regolari
Prime definizioni e proprietà
• Per ogni intero n ≥ 3, esiste un poligono regolare Pn con n
lati (n−gono).
• le bisettrici degli angoli e gli assi dei lati di Pn si incontrano
in un punto, detto centro.
Poligoni regolari
Prime definizioni e proprietà
• Per ogni intero n ≥ 3, esiste un poligono regolare Pn con n
lati (n−gono).
• le bisettrici degli angoli e gli assi dei lati di Pn si incontrano
in un punto, detto centro.
• La distanza dal centro di un lato (apotema) è il raggio della
circonferenza inscritta in Pn .
Poligoni regolari
Prime definizioni e proprietà
• Per ogni intero n ≥ 3, esiste un poligono regolare Pn con n
lati (n−gono).
• le bisettrici degli angoli e gli assi dei lati di Pn si incontrano
in un punto, detto centro.
• La distanza dal centro di un lato (apotema) è il raggio della
circonferenza inscritta in Pn .
• La distanza dal centro di un vertice è il raggio della
circonferenza circoscritta a Pn .
Poligoni regolari
Prime definizioni e proprietà
• Per ogni intero n ≥ 3, esiste un poligono regolare Pn con n
lati (n−gono).
• le bisettrici degli angoli e gli assi dei lati di Pn si incontrano
in un punto, detto centro.
• La distanza dal centro di un lato (apotema) è il raggio della
circonferenza inscritta in Pn .
• La distanza dal centro di un vertice è il raggio della
circonferenza circoscritta a Pn .
• Ogni angolo interno di Pn misura 180(n−2)
gradi.
n
Poligoni regolari
Prime definizioni e proprietà
• Pn è simmetrico rispetto alle rette (assi di simmetria) che
congiungono il centro con un vertice e il centro col punto
medio di un lato (questi due insiemi di rette coincidono
quando n è dispari).
Poligoni regolari
simmetrie
TEOREMA
Esistono esattamente 2n movimenti del piano che trasformano
in sé un poligono regolare Pn con n lati (simmetrie di Pn ):
• le n rotazioni intorno al centro di Pn di ampiezza 360
n h
gradi, con h = 0, 1, 2, . . . , n − 1;
• le n riflessioni rispetto agli assi di simmetria di Pn .
Poligoni regolari
le 16 simmetrie di un ottagono
le 8 rotazioni
le 8 riflessioni
Poligoni regolari
e gruppi diedrali
OSSERVAZIONE
La composizione di due simmetrie di Pn è di nuovo una
simmetria. Questa operazione sull’insieme delle simmetrie di
Pn
• è associativa;
• ha l’elemento neutro;
• ogni elemento è invertibile.
CONCLUSIONE
La composizione dà alle simmetrie di Pn la struttura algebrica
di gruppo. Questo gruppo si chiama gruppo diedrale di grado n
e si denota con Dn .
Poligoni regolari
il triangolo equilatero e il gruppo D3
La seguente tabella di Cayley mostra gli effetti della
composizione nel gruppo D3 (le simmetrie di un triangolo
equilatero).
R0 denota l’identità; R1 e R2 denotano le rotazioni in senso
antiorario di 120 e 240 gradi.
S0 , S1 , S2 indicano le riflessioni individuate dai tre assi di
simmetria.
Costruzione di poligoni regolari
PROBLEMA (in linea di massima)
Fissato un intero n > 2 costruire un poligono regolare con n lati.
Costruzione di poligoni regolari
PROBLEMA (in linea di massima)
Fissato un intero n > 2 costruire un poligono regolare con n lati.
OSSERVAZIONE
Il nostro problema non è ben posto se non dichiariamo in
precedenza quali strumenti vogliamo usare per queste
costruzioni.
Costruzione di poligoni regolari
PROBLEMA (in linea di massima)
Fissato un intero n > 2 costruire un poligono regolare con n lati.
OSSERVAZIONE
Il nostro problema non è ben posto se non dichiariamo in
precedenza quali strumenti vogliamo usare per queste
costruzioni.
PROBLEMA
Fissato un intero n > 2 costruire un n−gono regolare, avendo a
disposizione un prefissato insieme di strumenti.
Gli strumenti classici: la riga e il compasso
(Euclide, ”Gli Elementi di Geometria”, IV sec.A.C.)
Le costruzioni di base (operazioni elementari) che si possono
fare:
Gli strumenti classici: la riga e il compasso
(Euclide, ”Gli Elementi di Geometria”, IV sec.A.C.)
Le costruzioni di base (operazioni elementari) che si possono
fare:
• tracciare il segmento avente per estremi due punti
assegnati;
Gli strumenti classici: la riga e il compasso
(Euclide, ”Gli Elementi di Geometria”, IV sec.A.C.)
Le costruzioni di base (operazioni elementari) che si possono
fare:
• tracciare il segmento avente per estremi due punti
assegnati;
• prolungare a piacere in linea retta un segmento;
Gli strumenti classici: la riga e il compasso
(Euclide, ”Gli Elementi di Geometria”, IV sec.A.C.)
Le costruzioni di base (operazioni elementari) che si possono
fare:
• tracciare il segmento avente per estremi due punti
assegnati;
• prolungare a piacere in linea retta un segmento;
• tracciare la circonferenza con centro in un punto e
passante per un altro punto.
Gli strumenti classici: la riga e il compasso
(Euclide, ”Gli Elementi di Geometria”, IV sec.A.C.)
Le costruzioni di base (operazioni elementari) che si possono
fare:
• tracciare il segmento avente per estremi due punti
assegnati;
• prolungare a piacere in linea retta un segmento;
• tracciare la circonferenza con centro in un punto e
passante per un altro punto.
Non è lecito usare:
Gli strumenti classici: la riga e il compasso
(Euclide, ”Gli Elementi di Geometria”, IV sec.A.C.)
Le costruzioni di base (operazioni elementari) che si possono
fare:
• tracciare il segmento avente per estremi due punti
assegnati;
• prolungare a piacere in linea retta un segmento;
• tracciare la circonferenza con centro in un punto e
passante per un altro punto.
Non è lecito usare:
• la riga graduata;
Gli strumenti classici: la riga e il compasso
(Euclide, ”Gli Elementi di Geometria”, IV sec.A.C.)
Le costruzioni di base (operazioni elementari) che si possono
fare:
• tracciare il segmento avente per estremi due punti
assegnati;
• prolungare a piacere in linea retta un segmento;
• tracciare la circonferenza con centro in un punto e
passante per un altro punto.
Non è lecito usare:
• la riga graduata;
• segnare sulla riga delle tacche;
Gli strumenti classici: la riga e il compasso
(Euclide, ”Gli Elementi di Geometria”, IV sec.A.C.)
Le costruzioni di base (operazioni elementari) che si possono
fare:
• tracciare il segmento avente per estremi due punti
assegnati;
• prolungare a piacere in linea retta un segmento;
• tracciare la circonferenza con centro in un punto e
passante per un altro punto.
Non è lecito usare:
• la riga graduata;
• segnare sulla riga delle tacche;
• usare il compasso avendone conservato l’apertura da una
precedente operazione.
Gli strumenti classici: la riga e il compasso
(Euclide, ”Gli Elementi di Geometria”, IV sec.A.C.)
OSSERVAZIONE
Le costruzioni di base che abbiamo descritto non sono altro
che i primi tre postulati degli ”Elementi di geometria” di Euclide,
anche se qui non si parla esplicitamente di ”riga” e ”compasso”
ma si considerano in astratto punti, linee rette e cerchi.
Gli strumenti classici: la riga e il compasso
(Euclide, ”Gli Elementi di Geometria”, IV sec.A.C.)
OSSERVAZIONE
Le costruzioni di base che abbiamo descritto non sono altro
che i primi tre postulati degli ”Elementi di geometria” di Euclide,
anche se qui non si parla esplicitamente di ”riga” e ”compasso”
ma si considerano in astratto punti, linee rette e cerchi.
DEFINIZIONE
Una figura geometrica è costruibile con riga e compasso se,
partendo da due punti assegnati, si può ottenere mediante un
numero finito di operazioni elementari.
Costruzioni con riga e compasso
Alcuni esempi
Trasporto di un segmento su una retta 1
Asse e punto medio di un segmento
Bisezione di un angolo
1
Questa costruzione autorizza ad usare il compasso avendone
conservato l’apertura da una precedente operazione
Problemi non risolubili con riga e compasso
Tre esempi famosi
Trisezione di un angolo
Quadratura del cerchio
Duplicazione del cubo
Dante e la ”quadratura del cerchio”
Ultimi 13 versi della Divina Commedia (Paradiso XXXIII, 133-145)
133
136
139
142
145
Qual è ’l geomètra che tutto s’affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond’elli indige,
tal era io a quella vista nova:
veder voleva come si convenne
l’imago al cerchio e come vi s’indova;
ma non eran da ciò le proprie penne:
se non che la mia mente fu percossa
da un fulgore in che sua voglia venne.
A l’alta fantasia qui mancò possa;
ma già volgeva il mio disio e ’l velle,
sì come rota ch’igualmente è mossa,
l’amor che move il sole e l’altre stelle.
Dante e la ”quadratura del cerchio”
Ultimi 13 versi della Divina Commedia (Paradiso XXXIII, 133-145)
133
136
139
142
145
Qual è ’l geomètra che tutto s’affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond’elli indige,
tal era io a quella vista nova:
veder voleva come si convenne
l’imago al cerchio e come vi s’indova;
ma non eran da ciò le proprie penne:
se non che la mia mente fu percossa
da un fulgore in che sua voglia venne.
A l’alta fantasia qui mancò possa;
ma già volgeva il mio disio e ’l velle,
sì come rota ch’igualmente è mossa,
l’amor che move il sole e l’altre stelle.
Costruzioni di poligoni regolari con riga e compasso
Il triangolo equilatero
Costruzioni di poligoni regolari con riga e compasso
Il quadrato
Costruzioni di poligoni regolari con riga e compasso
Il pentagono
Costruzioni di poligoni regolari con riga e compasso
L’esagono
OSSERVAZIONE
Il lato di un esagono è congruente al raggio della circonferenza
circoscritta.
Costruzioni di poligoni regolari con riga e compasso
L’esagono e le api
OSSERVAZIONE
Le celle di cera costruite dalle api per conservare il miele sono
e sezione esagonale: si consuma meno cera costruendo le
celle a sezione esagonale!
Tra il quadrato, il triangolo e l’esagono (gli unici poligoni regolari
con cui si può pavimentare un piano), a parità di superficie,
l’esagono ha il perimetro minore.
Costruzioni di poligoni regolari con riga e compasso
L’eptagono
Costruzioni di poligoni regolari con riga e compasso
Un esempio
TEOREMA
Se il poligono con n lati è costruibile con riga e compasso,
allora è costruibile anche il poligono regolare con 2n lati.
Costruzioni di poligoni regolari con riga e compasso
Un esempio
TEOREMA
Se il poligono con n lati è costruibile con riga e compasso,
allora è costruibile anche il poligono regolare con 2n lati.
ESEMPIO
animazione
Primi di Fermat
Premessa per un risultato definitivo
DEFINIZIONE
Un primo di Fermat Fn é un numero primo p del tipo
n
Fn = 22 + 1
con n ≥ 0.
Primi di Fermat
Premessa per un risultato definitivo
DEFINIZIONE
Un primo di Fermat Fn é un numero primo p del tipo
n
Fn = 22 + 1
con n ≥ 0.
I primi cinque:
F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537.
Primi di Fermat
Premessa per un risultato definitivo
DEFINIZIONE
Un primo di Fermat Fn é un numero primo p del tipo
n
Fn = 22 + 1
con n ≥ 0.
I primi cinque:
F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537.
OSSERVAZIONE
A tutt’oggi gli unici primi di Fermat noti sono i cinque sopra
elencati. Per esempio, nel 1732 L.Euler provò che
F5 = 4.294.976.297 = 641 × 6.700.417 .
Poligoni regolari
costruibili con riga e compasso
NOTIZIA
Nel 1796, a soli 19 anni, F.Gauss dimostrò che il poligono
regolare con 17 lati era costruibile con riga e compasso.
Poligoni regolari
costruibili con riga e compasso
NOTIZIA
Nel 1796, a soli 19 anni, F.Gauss dimostrò che il poligono
regolare con 17 lati era costruibile con riga e compasso.
TEOREMA (F.Gauss, 1801)
Un poligono regolare con n lati è costruibile con riga e
compasso se, e soltanto se, risulta
n = 2k oppure n = 2k p1 p2 · · · pm ,
con k ≥ 0 e p1 p2 · · · pm primi di Fermat.
Poligoni regolari
costruibili con riga e compasso
NOTIZIA
Nel 1796, a soli 19 anni, F.Gauss dimostrò che il poligono
regolare con 17 lati era costruibile con riga e compasso.
TEOREMA (F.Gauss, 1801)
Un poligono regolare con n lati è costruibile con riga e
compasso se, e soltanto se, risulta
n = 2k oppure n = 2k p1 p2 · · · pm ,
con k ≥ 0 e p1 p2 · · · pm primi di Fermat.
OSSERVAZIONE
Questo risultato di Gauss, ritenuto tra i più sorprendenti e
straordinari della geometria, dice, per esempio, che si può
costruire con riga e compasso un poligono regolare con 17 lati,
ma non uno con 7 o 9 lati.
Variazione degli strumenti classici: la riga graduata e il compasso
OSSERVAZIONE
Tra i primi cento poligoni regolari Pn (n = 1, 2, . . . , 102) quelli
che possono essere costruiti con riga e compasso sono quelli
che si ottengono dai valori di n pari a
3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 32, 34, 40, 48, 64, 68, 80, 96.
Variazione degli strumenti classici: la riga graduata e il compasso
OSSERVAZIONE
Tra i primi cento poligoni regolari Pn (n = 1, 2, . . . , 102) quelli
che possono essere costruiti con riga e compasso sono quelli
che si ottengono dai valori di n pari a
3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 32, 34, 40, 48, 64, 68, 80, 96.
Se, invece della riga, si usa la riga graduata, aumenta il numero
di poligoni regolari che si possono costruire. Tra i primi cento,
oltre a quelli già elencati, si aggiungono quelli corrispondenti ai
valori di n pari a
7, 9, 14, 18, 21, 27, 28, 30, 35, 36, 42, 45,
51, 54, 56, 60, 63, 70, 72, 81, 84, 85, 90, 102
Variazione degli strumenti classici: la riga graduata e il compasso
OSSERVAZIONE
Tra i primi cento poligoni regolari Pn (n = 1, 2, . . . , 102) quelli
che possono essere costruiti con riga e compasso sono quelli
che si ottengono dai valori di n pari a
3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 32, 34, 40, 48, 64, 68, 80, 96.
Se, invece della riga, si usa la riga graduata, aumenta il numero
di poligoni regolari che si possono costruire. Tra i primi cento,
oltre a quelli già elencati, si aggiungono quelli corrispondenti ai
valori di n pari a
7, 9, 14, 18, 21, 27, 28, 30, 35, 36, 42, 45,
51, 54, 56, 60, 63, 70, 72, 81, 84, 85, 90, 102
CONCLUSIONE
La sostituzione della riga con la riga graduata non è sufficiente
per costruire tutti i poligoni regolari.
Variazione degli strumenti classici: la riga spezzata in n elementi e
il compasso
OSSERVAZIONE
Quando il segmento AB è perpendicolare alla bisettrice
dell’angolo α, i triangoli AOB e ABC sono simili. Allora
180
β = 180 − 2(n − 1)α = α ⇒ α = 2n−1
.
CONCLUSIONE
180
L’angolo di 2n−1
gradi è costruibile con la riga spezzata ed il
compasso.
Variazione degli strumenti classici: la riga spezzata in n elementi e
il compasso
Variazione degli strumenti classici: la riga spezzata in n elementi e
il compasso
TEOREMA
Ogni poligono regolare è costruibile con la riga spezzata ed il
compasso.
DIMOSTRAZIONE Con riferimento alla figura, basta osservare che se
180
α = 2n−1
gradi, allora ` è il lato del poligono regolare con
4n − 2 lati.
Poliedri regolari: poliedri convessi le cui facce sono poligoni
regolari tra loro congruenti e in ogni vertice concorrono lo stesso
numero di facce che formano angoli diedri congruenti
Poliedri regolari: poliedri convessi le cui facce sono poligoni
regolari tra loro congruenti e in ogni vertice concorrono lo stesso
numero di facce che formano angoli diedri congruenti
Mentre nel piano esistono poligoni regolari
con un numero qualsiasi di lati,
nello spazio esistono solo cinque tipi di poliedri regolari
Poliedri regolari
Poliedri regolari
Chi li ha scoperti?
H.S.M.Coxeter (1907-2003), nel suo pregevole
libro Regular Polytopes (Dover, 1973), riferendosi ai poliedri
regolari, dice ”To ask who first constructed them is almost as
futile as to ask who first used fire” e, rifacendosi al ritrovamento
di un dodecaedro etrusco nel corso di scavi archeologici nei
pressi di Padova, immagina che questa figura geometrica fosse
usata come un piacevole giocattolo almeno 500 anni prima di
Cristo.
Poliedri regolari
Un pò di storia
Lo storico della matematica Proclo (V secolo dopo
Cristo), legato alla filosofia neo-platonica, attribuisce a Pitagora
la scoperta dei 5 poliedri regolari:
”Pitagora, venuto dopo di lui (Talete) trasformò questa scienza
in una forma di educazione liberale, riconducendone i principi a
idee ultime e dimostrandone i teoremi in maniera astratta e
puramente intellettuale. Fu lui a scoprire la teoria delle
proporzioni e la costruzione delle figure cosmiche”.
Purtroppo, la mancanza di frammenti attribuibili a Pitagora
rende difficilmente dimostrabile questa tesi.
Poliedri regolari: un pò di storia
Nel Timeo di Platone (400 A.C. circa, di poco successivo a
Pitagora) troviamo per la prima volta una descrizione precisa
dei cinque poliedri regolari. È questo il motivo per cui essi
vengono anche chiamati solidi platonici.
Poliedri regolari: un pò di storia
Nel Timeo di Platone (400 A.C. circa, di poco successivo a
Pitagora) troviamo per la prima volta una descrizione precisa
dei cinque poliedri regolari. È questo il motivo per cui essi
vengono anche chiamati solidi platonici.
Platone stabilì una corrispondenza tra i primi quattro poliedri
regolari e gli ”elementi” della natura, teorizzando che le più
piccole particelle di terra, aria, fuoco e acqua avessero
rispettivamente la forma di cubi, ottaedri, tetraedri e icosaedri.
Il dodecaedro fu ritenuto la forma dell’involucro dell’universo (la
”quinta essenza che tutto avvolge e comprende”).
Poliedri regolari
La più antica dimostrazione dell’unicità dei solidi platonici si
trova nel Libro XIII degli Elementi di Euclice (300 A.C.).
Poliedri regolari
La più antica dimostrazione dell’unicità dei solidi platonici si
trova nel Libro XIII degli Elementi di Euclice (300 A.C.).
Nel Libro XIV degli Elementi, che si deve ad un autore ignoto
del 300 D.C. (e non ad Euclide), viene provato per la prima
volta che il cubo e l’ottaedro, e analogamente l’icosaedro e il
dodecaedro, possono inscriversi l’uno nell’altro. Questo fatto,
con linguaggio moderno, si esprime dicendo che cubo e
ottaedro da una parte, e icosaedro e dodecaedro dall’altra,
sono l’uno il duale dell’altro.
I poliedri regolari in natura
Oggi sappiamo che i poliedri regolari trovano effettivamente
riscontro in natura.
Per esempio, alcuni di essi danno la forma ai cristalli di svariate
sostanze e dello scheletro di microscopici animali marini, detti
radiolaria.
Poliedri regolari: perché sono solo cinque?
In ogni vertice di un poliedro regolare devono concorrere
almeno tre facce e la somma degli angoli delle facce che
concorrono in questo vertice deve essere minore di 360 gradi.
Ne segue che non è possibile avere facce esagonali o con un
numero maggiore di lati dato che questi poligoni hanno angoli
maggiori di 120 gradi.
Poliedri regolari: perché sono solo cinque?
In ogni vertice di un poliedro regolare devono concorrere
almeno tre facce e la somma degli angoli delle facce che
concorrono in questo vertice deve essere minore di 360 gradi.
Ne segue che non è possibile avere facce esagonali o con un
numero maggiore di lati dato che questi poligoni hanno angoli
maggiori di 120 gradi.
Poliedri regolari: perché sono solo cinque?
In ogni vertice di un poliedro regolare devono concorrere
almeno tre facce e la somma degli angoli delle facce che
concorrono in questo vertice deve essere minore di 360 gradi.
Poliedri regolari: perché sono solo cinque?
In ogni vertice di un poliedro regolare devono concorrere
almeno tre facce e la somma degli angoli delle facce che
concorrono in questo vertice deve essere minore di 360 gradi.
Ne segue che non è possibile avere facce esagonali o con un
numero maggiore di lati dato che questi poligoni hanno angoli
maggiori di 120 gradi.
Poliedri regolari e arte
dodecaedro di epoca romana
Questo è un oggetto antico di bronzo con la forma di
dodecaedro, 8x7x7 cm. del secondo secolo a.C., decorato con
fori circolaridi vari diametri su ciascuna faccia e con sfere su
ciascun vertice. Risale al periodo romano.
(Bonn, Rheinisches Landesmuseum)
Poliedri regolari e arte
Luca Pacioli con Guidobaldo (Duca di Urbino) ritratto da Jacopo de Barberi
Luca Pacioli è l’autore dell’opera ”De Divina Proportione”
pubblicata a Venezia nel 1509. Egli dedicò l’intera seconda
parte del libro ai solidi platonici, collegandoli alla sezione aurea.
(Napoli, Museo di Capodimonte)
Nella parte superiore sinistra del quadro vediamo un
rombo-cubododecaedro mentre sul tavolo si nota un
dodecaedro regolare.
Poliedri regolari e arte
I disegni di Leonardo per il ”De Divina Proportione” di Luca Pacioli