passo ...
battito cardiaco ...
traffico ...
condurre una vita ...
forma ...
gara ...
1
uali di queste sensazioni
ti ispira
il termine
?
Bello
Ripetitivo
Superficiale
Piacevole
Monotono
Negativo
Squadrato
Positivo 2
Quotidianamente usiamo
termini di cui non abbiamo
MAI
letto la
ma sappiamo cosa significano
( o no? )
3
Sai dare una definizione “precisa” dei
seguenti TERMINI:
brutto
bello
malvagio
buono
saggio
4
Nelle due diapositive
seguenti
5
A
?
**
?
B
?
**
?
**
?
**
!
**
C
6
D
F
E
7
veniamo
alla
Secondo te, quali figure tra
quelle che seguono sono poligoni
regolari?
8
9
10
Nella vita quotidiana usiamo
tranquillamente, senza conoscerne
la
, molti termini!
In matematica, purtroppo ( o per
fortuna?) non è così! E’ difficile che si
riesca a dimostrare che un poligono è
regolare se non si conosce la
definizione di poligono regolare!
11
Sei sicuro di ricordare la definizione
corretta di
poligono regolare ?
Si
No
12
ECCOLA!
DEFINIZIONE
di
un poligono piano con i lati e gli
angoli uguali, ovvero sia
equilatero sia equiangolo.
13
Cosa significa che due lati sono uguali ?
A
B
C
D
che se sovrapposti gli estremi coincidono
che hanno la stessa lunghezza
che sono paralleli
che hanno gli stessi estremi
Cosa significa che due angoli sono uguali ?
E
F
G
H
che sono simili
che sono complementari
che sono esattamente sovrapponibili
che hanno la stessa ampiezza
14
ccidenti,
sempre problemi
di
!
Comunque aver risposto che due lati
(segmenti) o due angoli sono uguali se
sono sovrapponibili è stata sicuramente
un’ottima risposta
Ma non l’unica!
15
Tornando ai poligoni regolari:
esistono poligoni regolari di n lati,
qualunque sia il numero naturale n,
purché n sia  3.
Infatti per ottenere
un poligono regolare con n lati
è sufficiente suddividere
una circonferenza in n archi uguali,
e poi collegare gli estremi.
16
Ma
come
è possibile
suddividere
una circonferenza
in n parti
uguali?
17
Con la riga e con il compasso?
1) Segna con una croce i poligoni regolari
che ti ricordi di avere disegnato con riga e
compasso durante la tua “lunga”
carriera scolastica:
A quadrato 4 lati
B ettagono 7 lati
C esagono 6 lati
D ottagono 8 lati
2) Si possono costruire con riga e compasso
tutti i poligoni regolari … o no?
18
aPPProposito:
Secondo te
* in una circonferenza
* si possono inscrivere
* solo poligoni regolari?
SI
NO
19
?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!
Gli antichi Greci sapevano che una
circonferenza può essere divisa
con riga e compasso
in 3, 5,15 archi uguali
o in n archi uguali dove n è una
potenza del 2 moltiplicata per 3, 5,15
come per esempio,
3
4=22
6=23
8=2
2
2
12=2 3
20=2 5
30=215 ...
20
?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?
21
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Dopo “poco più” di 1500 anni
GAUSS (1777-1855)
offre
la risoluzione completa al problema.
22
Una circonferenza può essere divisa
con riga e compasso:
in 3, 5, 15, 257 …
4, 6, 8, 10 12 … parti uguali
MA
NON
in 7, 11, 13, 14,
19, 22 ... parti uguali
23
Da dove arrivano tutti questi
numeri? …
Facciamo qualche conto:
20
2 =2
21
2 =4
24
2 = 65536
25
2 = 4294967296
Fanne qualcuno tu!
22
A: 2 = ?
23
B: 2 = ?
24
La regola di Gauss
Affinché un poligono regolare di n lati sia
costruibile con riga e compasso occorre che
n sia:
2h
o un numero primo della forma 2 +1
(primi di Fermat)dove h è un numero
naturale.
Es.
20
21
2 3 +1=3, 2 +1=5, 2
2
2 +1=257, …
22
+1=17,
2h
Non tutti i numeri del tipo 2 +1 sono primi:
25
… 2 +1 non è primo, è divisibile per 641!
2h
Non tutti i numeri primi sono del tipo 2 +1:
25
… 11 non va bene, 13 neppure.
o una potenza di 2 eventualmente
moltiplicata per numeri del tipo precedente
non ripetuti.
Es:4=22, 6=2·3, 8=23, 10=2·5, 12= 22 ·3,
attenzione 18=2·3·3 non va bene
PERCHÉ ?
A: 18 non è primo
B: 3 è ripetuto
C: non è una potenza del 2
26
sappiamo già che se una circonferenza
è divisa in n archi uguali (n>2), il
poligono ottenuto congiungendo
successivamente i punti di
suddivisione è regolare
n=6
MA
è anche regolare il poligono i cui lati
sono tangenti alla circonferenza
in quei punti
n=6
27
I poligoni nello spazio
diventano
POLIEDRI.
E i poligoni regolari
POLIEDRI REGOLARI
28
Un poliedro è qualcosa di questo tipo:
Conoscete, per caso, dei poliedri
regolari ?
SI
NO
29
alcuni !
Prendi il foglio A ed usa gli
occhialini
N.B:
la lente verde deve essere
appoggiata sull’occhio destro.
30
I poliedri regolari che vedi sono:
31
Ma CoS’ è
un
POLIEDRO REGOLARE?
Sappiamo già che nel piano un poligono
regolare è un poligono con
i lati e gli angoli uguali.
Potremmo allora pensare di formulare
una definizione analoga nel seguente modo:
32
un
è un poliedro
le cui facce sono poligoni regolari tutti uguali
i cui angoli solidi sono anch’essi tutti uguali.
Già, ma cos’è un
?
Lo sai? -No?
Non importa,
tanto non ci sogniamo di definirlo;
già è difficile definire un angolo piano,
figurati un angolo solido.
33
Un poligono regolare si può sovrapporre
a se stesso mediante un movimento
rigido (che non deforma la figura) in
modo da portare
… un vertice qualsiasi su un qualsiasi
altro vertice, oppure
… un lato qualsiasi su un qualsiasi
altro lato
34
Sostanzialmente: in un poligono regolare
ogni vertice è indistinguibile da ogni altro vertice
ogni lato è indistinguibile da ogni altro lato
35
Le proprietà 1-2 valgono solo per i poligoni
regolari. Nota bene che devono valere
entrambe le proprietà perché il
poligono sia regolare.
…Segna a fianco quali proprietà valgono
per le seguenti figure geometriche piane:
rettangolo
rombo
qua
drato
36
… Dunque un poligono regolare è un poligono
che soddisfa le due proprietà precedenti.
Un poliedro regolare si può sovrapporre a se stesso ,
mediante un movimento rigido (che non deforma la
figura), in modo tale da portare:
1) un vertice qualsiasi su un qualsiasi altro vertice, o
2) uno spigolo qualsiasi su un qualsiasi altro spigolo, o
3) una faccia qualsiasi su una qualsiasi altra faccia
37
Sostanzialmente: in un poliedro regolare
ogni vertice è indistinguibile da ogni altro
vertice
ogni lato è indistinguibile da ogni altro lato
ogni faccia è indistinguibile da ogni altra faccia
38
39
40
41
42
43
A
B
C
D
E
44
.
.
È possibile definire gli iperpoliedri o polítopi
regolari in uno spazio di dimensione qualsiasi!!!
Ebbene nello spazio di dimensione 4 esistono
6 tipi di iperpoliedri regolari
(tra questi il famoso ipercubo).
Ma dalla dimensione 5 in poi esistono solo più
3 tipi! Si tratta dei tre iperpoliedri che
corrispondono al tetraedro, al cubo ed
all’ottaedro. In dimensione 4, come abbiamo già
detto, esistono altri tre tipi di iperpoliedri che 45
hanno rispettivamente 24, 120, 600 vertici !
L’ipertetraedro, l’ipercubo
in dimensione 4 hanno rispettivamente
5, 16 vertici
e
5, 8 facce tridimensionali.
Cerchiamo di capire come sono fatti.
46
Per capire meglio, partiamo dal
tetraedro e dal cubo di dimensione 3.
Ecco le loro proiezioni sul piano:
tetraedro
cubo
le facce sono rispettivamente
4 triangoli equilateri e 6 quadrati. 47
Ecco le proiezioni sul piano
dell’ipertetraedro e dell’ ipercubo di
dimensione 4
48
Le facce tridimensionali
dell’ipertetraedro sono 5 tetraedri,
quelle dell’ ipercubo sono 8 cubi.
Una delle facce la vedi colorata
49
Sai trovare
le altre
facce?