I POLIGONI REGOLARI
Un poligono è regolare quando ha tutti i lati
congruenti e tutti gli angoli congruenti.
l
2p = 5 · l
p=
I POLIGONI REGOLARI
a - apotema (altezza di un triangolo)
è la distanza del centro dal lato del poligono.
l – lato
2 p – perimetro
p - semiperimetro
a
Area di un triangolo:
A=
Area di pentagono:
A=5· l · a: 2
=2p
A =
= p·a
l
I POLIGONI REGOLARI
L’area di un poligono regolare si ottiene moltiplicando il
perimetro per la misura dell’apotema e dividendo tale
prodotto per due.
Le formule inverse sono:
p =
2p=
a =
a =
a
RELAZIONE TRA LA MISURA DELL’ APOTEMA E LA MISURA DI UN LATO
Il rapporto tra la misura di apotema e il lato di un
qualsiasi poligono regolare con lo stesso numero di
lati è sempre uguale.
a
a
a
l
l
a
l
l
per ogni pentagono regolare
(approssimato al millesimo)
= 0,688
RELAZIONE TRA LA MISURA DELL’ APOTEMA E LA MISURA DI UN LATO
a
l
a
l
a
l
a
per ogni esagono regolare
= 0,866
(approssimato al millesimo)
l
RELAZIONE TRA LA MISURA DELL’ APOTEMA E LA MISURA DI UN LATO
Tale relazione vale per ogni altro tipo di poligono regolare, per
esempio il rapporto per:
ogni triangolo
0,5.
equilatero è 0,288; ogni quadrato è
In un poligono regolare, con lo stesso numero di lati,
il rapporto tra la misura dell’ apotema e la misura
del lato è costante e si indica con N :
= N
a=N·l
l=
RELAZIONE TRA L’ AREA E LA MISURA DI UN LATO
Per ogni poligono regolare esiste un altro rapporto che
non varia e che si indica con la costante N’:
è il rapporto tra la misura dell’ area e il lato al
quadrato.
0,433
= N’
1
1,720
AREA DI UN POLIGONO REGOLARE CON USO DELLE COSTANTI
Dalla formula precedente possiamo calcolare l’area
di ogni poligono regolare conoscendo soltanto il suo
lato:
A = N’ ·
e calcolare il suo lato conoscendo l’area:
l =
I POLIGONI REGOLARI
I principali poligoni regolari sono:
triangolo equilatero
ettagono
ottagono
quadrato
ennagono
pentagono
decagono
esagono
dodecagono
I POLIGONI REGOLARI
Dato un poligono regolare, esistono sempre una circonferenza
inscritta e una circonferenza circoscritta. In esso circocentro e
incentro coincidono in un unico punto, che è il centro sia della
circonferenza inscritta sia della circonferenza circoscritta e si
chiama CENTRO DEL POLIGONO.
Il raggio della circonferenza inscritta è l’apotema del poligono.
TAVOLA DEI NUMERI FISSI
Poligono regolare
Numero lati
N=a/l
N‘= A/
Triangolo equilatero
3
0,288
0,433
Quadrato
4
0,5
1
Pentagono
5
0,688
1,720
Esagono
6
0,866
2,598
Ettagono
7
1,038
3,633
Ottagono
8
1,207
4,828
Ennagono
9
1,374
6,183
Decagono
10
1,538
7,690
Endecagono
11
1,702
9,361
Dodecagono
12
1,866
11,196
Pentadecagono
15
2,352
17,640
Icosagono
20
3,156
31,560
I POLIGONI REGOLARI INSCRITTI IN UNA CIRCONFERENZA
Consideriamo una circonferenza e inscriviamo in
essa poligoni regolari con un numero di lati
sempre maggiore:
• un poligono a 6 lati
• un poligono a 10 lati
• un poligono a 24 lati
Ogni poligono è inscritto in un circonferenza ed in
rosso è mostrato il raggio e in azzurro l’apotema.
I POLIGONI REGOLARI INSCRITTI IN UNA CIRCONFERENZA
Notiamo che all’aumentare del numero dei lati del
poligono regolare inscritto:
• Il perimetro dei poligoni regolari si approssima
sempre più alla circonferenza sino a confondersi
con essa.
• L’apotema dei poligoni regolari si approssima
sempre più al raggio della circonferenza sino a
confondersi con esso.
• L’area dei poligoni regolari si approssima sempre
più all’area del cerchio.
I POLIGONI REGOLARI INSCRITTI IN UNA CIRCONFERENZA
Se noi facciamo tendere infinito il numero
dei lati del poligono il suo perimetro
coinciderà
con
la
circonferenza
e
l’apotema con il raggio.
FINE