Poligoni regolari - definizione Sono poligoni equilateri ed equiangoli ovvero hanno tutti i lati uguali hanno tutti gli angoli uguali Next Poligoni regolari 3 lati Triangolo Equilatero 5 lati 8 lati 4 lati 6 lati PENTAgono OTTAgono Quadrato 12 lati ESAgono DODECAgono Next Poligoni regolari - proprietà Sono ISCRITTIBLI: è possibile trovare una circonferenza in cui inscriverli, ovvero una circonferenza esterna alla figura e che la ‘tocca’ nei vertici Invio Sono CIRCOSCRITTIBLI: è possibile trovare una circonferenza a cui circoscriverli, ovvero una circonferenza interna alla figura e che la ‘tocca’ sui lati Next Poligoni regolari Circonferenza Circoscritta Per questa lezione concentriamo la nostra attenzione sulla circonferenza circoscritta Next Poligoni regolari Circonferenza Circoscritta raggio Ricordiamo che in un T. Equilatero il centro della circonferenza circoscritta è il circocentro: il punto d’intersezione degli assi dei lati Next Poligoni regolari Circonferenza Circoscritta Ripetendo il procedimento è possibile disegnare la circonferenza attorno ad ogni poligono regolare Next Poligoni regolari raggio Circonferenza Circoscritta Tracciata la circonferenza circoscritta è possibile disegnare all’interno del poligono tanti triangoli quanti sono i lati che formano il poligono stesso Next Poligoni regolari Quali segmenti formano i triangoli? ? Quale tipo di triangoli vengono formati? ? ISOSCELI, perché hanno 2 lati uguali raggio 1 lato del poligono 2 raggi Invio Come sono tra loro i triangoli? Se il poligono di partenza NON fosse stato REGOLARE, saremmo arrivati agli stessi risultati? ?Uguali! ?NO! perché . . . Next Poligoni regolari raggio Riassumendo Un T.Equilatero è formato da 3 T.isosceli uguali tra loro Un Pentagono è formato da 5 T.isosceli uguali tra loro Un Quadrato è formato da 4 T.isosceli uguali tra loro Un Esagono è formato da 6 T.isosceli uguali tra loro Next Poligoni regolari L’altezza di ognuno di questi t.isosceli prende il nome di APOTEMA del POLIGONO (a) raggio apotema apotema apotema Next Poligoni regolari Area lato apotema 2 = apotema L’area di un triangolino Area poligono = numero L’area di un lati triangolino = = numero lati lato apotema 2 = 2p a 2 pa = = = apotema Invi o perimetro apotema 2 = semiperimetro apotema Next Poligoni regolari Area a a a a a a Area poligono regolare = semiperimetro apotema Next Poligoni regolari Numero fisso Si può mostrare coi calcoli o ‘sperimentalmente’ che il rapporto apotema / lato è un valore costante per ogni poligono regolare. Tale rapporto viene detto numero fisso e indicato con la lettera f Il numero fisso è un valore importante perché consente di calcolare la misura dell’apotema nota quella del lato (o viceversa) f = apotema / lato apotema = f lato Next Poligoni regolari Numero fisso - tabella T. Equilatero 3 lati f = apotema / lato = 0.289 5 lati 8 lati 4 lati f = apotema / lato = 0.688 Quadrato f = apotema / lato = 0.500 6 lati f = apotema / lato = 0.866 pentagono esagono f = apotema / lato = 1.207 f = apotema / lato = 1.866 ottagono 12 lati dodecagono Next Poligoni regolari Area - Problema l Un quadrato ha il lato di 10 cm, quanto vale l’area? Metodo “classico”: a r A =?l 2 = 102 = 100 cm2 Metodo “del poligono regolare”: Invio Essendo la figura un poligono regolare, noto il lato posso calcolare l’apotema utilizzando il relativo numero fisso a=f Calcolo il perimetro del poligono 2p = 4 l = 4 10 = 40cm Calcolo l’area del poligono A = p a = 20 5 = 100cm2 l = 0.5 10 = 5cm Next Poligoni regolari Area - Problema Un pentagono REGOLARE ha il lato di 10 cm, quanto vale l’area? ? l r a Metodo “del poligono regolare”: Essendo la figura un poligono regolare, noto il lato posso calcolare l’apotema utilizzando il relativo numero fisso a=f Calcolo il perimetro del poligono 2p = 5 l = 5 10 = 50cm Calcolo l’area del poligono A = p a = 25 6.88 = 172cm2 l = 0.688 10 = 6.88cm Next Poligoni regolari perimetro e apotema Abbiamo detto che il rapporto apotema / lato è un valore costante per ogni poligono regolare. Allora sicuramente lo sarà anche il rapporto perimetro / apotema che indichiamo con la lettera 2s Quale relazione intercorre tra 2s e f ? Next Poligoni regolari da 2s a 2p T. Equilatero 3 lati 2s = 2p / a = 10.380 4 lati Quadrato 2s = 2p / a = 8.000 2s = 2p / a 2s = 2p / a 5 lati = 7.267 esagono pentagono 2s = 2p / a 8 lati = 6.628 ottagono = 6.928 6 lati 2s = 2p / a 12 lati = 6.431 dodecagono Next Poligoni regolari da Triangolo - 3 lati 2s = 10.380 2s a 2p 25 lati 2s = 6.316 175 lati 2s = 6.284 Si osservi50 ora laticon molta 200 lati 2s = 8.000 2s = 6.291 2s = 6.284 attenzione come varia il valore di Quadrato - 4 lati Pentagono - 5 lati 2s = 7.268 75 lati 2s =2s 6.287 225 lati 2s = 6.284 cioè il rapporto Esagono - 6 lati 100tra lati il perimetro e 250 lati 2s = 6.928 2s =poligono 6.285 regolare2s = 6.284 l’apotema del Ottagono - 8 lati 125 lati 275 lati 2s = 6.628 2s = 6.285 2s = 6.283 Dodecagono - 12 lati 150 lati 300 lati 2s = 6.431 2s = 6.284 2s = 6.283 Next Poligoni regolari da lati 3 4 5 6 8 12 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 2s 10.380 8.000 7.268 6.928 6.628 6.431 6.316 6.291 6.287 6.285 6.285 6.284 6.284 6.284 6.284 6.284 6.283 6.283 2s a 2p Aumentando il numero dei lati il valore di 2s diminuisce 2s NON diminuisce fino a zero, ma si assesta attorno al valore 6.2831853… Il valore 6.2831853… , che chiameremo 2p, viene raggiunto quando il poligono è formato da un numero grandissimo (infinito) di lati p = 3.1415927… Next Poligoni regolari dal 2p alla Circonferenza Come è fatto un poligono con un numero infinito di lati? ? È un poligono con i lati talmente corti che si possono considerare punti. Il POLIGONO è diventato una CIRCONFERENZA Next Poligoni regolari dal 2p alla Circonferenza Cosa è l’apotema di un poligono con un numero infinito di lati? ? raggio Man mano che il lato si riduce il triangolino, formato dai due raggi e il lato, diventa sempre ‘lungo’ e quindi anche la sua altezza, cioè l’apotema, si allunga. a a a a a Linee di riferimento Next Poligoni regolari dal 2p alla Circonferenza Aumentando all’infinito il numero dei lati del poligono regolare … … il poligono diventa una circonferenza … l’apotema diventa lunga come il raggio: a = r … il rapporto 2s tra il perimetro e l’apotema diventa uguale a 2p = 6.2831853… : circonferenza 2 π r raggio apotema 2p circonferenza circ r apotema Next Poligoni regolari Circonferenza Abbiamo così determinato la formula per calcolare la misura della lunghezza di una circonferenza circonferenza = 2pr Next Poligoni regolari Cerchio Per cerchio si intende la parte di piano racchiusa dalla circonferenza Next Poligoni regolari Cerchio Ricordando che la misura della superficie di un poligono regolare è data dalla formula A=pa per il cerchio posso scrivere cerchio = r semicirconferenza = = r 2pr / 2 = p r2 Next Circonferenza e Cerchio 2 pr Next
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