Analisi e gestione del rischio
Lezione 11
Modelli in forma ridotta
Limiti del modello di Merton
Il modello di Merton produce:
1) Sottovalutazione dell’opzione di default put e dei
credit spread;
2) Sottovalutazione dei credit spread particolarmente
marcata su scadenze brevi
3) Sottovalutazione dei credit spread particolarmente
marcata per emittenti di standing creditizio più
elevato.
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Azioni Parmalat e CDS
2500
4 ,5
4
2000
3 ,5
3
1500
2 ,5
C D S S p re a d M id 5 ye a rs
S to c k
2
1000
1 ,5
500
1
0 ,5
0
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3.500.000.000
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Mrkt Price
Il valore di mercato del rischio di
credito (Expected loss)…
3.000.000.000
2.500.000.000
2.000.000.000
Mrkt Price
1.500.000.000
1.000.000.000
500.000.000
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3.500.000.000
…e quello previsto dal modello di
Merton
3.000.000.000
2.500.000.000
2.000.000.000
Merton Model
Mrkt Price
1.500.000.000
1.000.000.000
500.000.000
0
Credit spread bassi
• Il problema di credit spread bassi è che la calibrazione
richiederebbe valori di volatilità dell’attivo troppo alti
per essere coerenti con le probabilità di default storiche
• Soluzioni
– Asset substitution: volatilità dell’attivo può cambiare
– Absolute priority violations: servizio strategico del
debito (Anderson e Sundaresan, 1996)
– Valutazione conservativa del valore dell’attivo e della
probabilità di default (Cherubini e Della Lunga,
2001)
– Altri fattori di rischio: es. liquidità
Credit spread a breve
• Un altro limite rilevante del modello di Merton consiste nel
comportamento dei credit spread a breve, che sono molto
bassi ed hanno l’intercetta a zero.
• Per porre rimedio a questo problema esistono tre soluzioni
– Introdurre un processo a salto nel valore dell’azienda
(Zhou, 2001)
– Introdurre rumore nella default barrier (CreditGrades,
Giesecke, 2003)
– Introdurre “rumore” nell’informazione sull’azienda
(Duffie e Lando, 2001, Baglioni e Cherubini, 2005)
L’approccio in forma ridotta
• Nell’approccio in forma ridotta i credit spread sono
ottenuti direttamente sulla base di un modello
statistico della probabilità di default dei debitori.
• Tipicamente, per modellare la probabilità di default è
usato un processo di Poisson, che è caratterizzato da
un parametro definito “intensità”: per questo questi
modelli sono chiamati “intensity based”
• Mentre i modelli strutturali sono basati sulla teoria
delle opzioni, quelli in forma ridotta usano la teoria
della struttura a termine.
Un modello di credit spread
• Ricordiamo dai modelli strutturali che il credit
spread è ottenuto come
r*(t,T) – r(t,T) = – ln[1 – (1 – Q )(1 – V(L)/B)]/(T – t)
dove Q è la probabilità di sopravvivenza e V(L)/B è
il tasso di recupero. Assumendo un recovery rate
pari a zero otteniamo
r*(t,T) – r(t,T) = – ln[survival probability ]/(T – t)
• A differenza dai modelli strutturali, la probabilità di
sopravvivenza per ogni tempo T, cioè Prob ( > T),
è determinata utilizzando un processo di Poisson.
Intensità di default
• Se l’evento di default è modellato come un processo di
Poisson otteniamo
Probabilità ( > T) = exp (–  (T - t))
• Il parametro  è conosciuto come intensità del processo
e definisce la probabilità che il titolo vada in default tra
il temp t e t + dt.
• Consideriamo un modello molto semplice nel quale: i)
l’intensità è costante; ii) il tasso di recupero è zero
• In questo caso, per tutte le maturità T il credit spread è
r*(t,T) - r(t,T) = 
Modelli a intensità variabile
• Se il parametro di intensità non è fisso, ma si assume
che cambi al passare del tempo, il modello può
generare curve dei credit spread di forma più
generale di quella piatta legata al modello di Poisson
• In generale, abbiamo
r*(t,T) – r(t,T) = (t,T)
…dove (t,T) è la media integrale dell’intensità di
default da t a T, esattamente come il rendimento a
scadenza è la media integrale dei tassi forward
• Per questo motivo è naturale utilizzare la teoria della
curva per scadenze
Modellare l’intensità
• Poiché l’intensità può essere modellata utilizzando
gli stessi strumenti matematici della teoria della
struttura a termine, possiamo selezionare qualsiasi
modello della curva dei tassi per rappresentare la
funzione di intensità di default.
• Questi modelli possono quindi essere classificati
come quelli della struttura a termine,
– Modelli fattoriali, con curva degli spread endogena
– Modelli con curva dei credit spread esogena (HJM)
– Modelli dei credit spread osservabili, ad esempio swap
Modelli affini di intensità
• Assumiamo che l’intensità istantanea di default sia
descritta da un processo diffusivo come
d (t) = k( – (t))dt + dz(t)
dove con valori  = 0, 0.5 otteniamo un modello
affine della struttura a termine dei titoli defaultable
Debito(t,T) = v(t,T)exp(A(T-t) - B(T -t) (t))
con A e B funzioni descritte nei modelli di Vasicek
( = 0) o Cox Ingersoll Ross ( = 0.5)
Recovery rate positivo
• Se assumiamo
– recovery rate positivo
– indipendenza tra rischio di tasso e di interesse
possiamo scrivere (con  il recovery rate)
Debito(t,T; )=v(t,T)[Prob( > T)+ Prob(  T)]
Debito(t,T; )=  v(t,T) +(1-) Prob( >T)v(t,T)
Debito(t,T; 0)= Prob( >T)v(t,T), da cui...
Debito(t,T; )=  v(t,T) +(1-) D(t,T; 0)
Implied survival probabilities
•
Dall’equazione precedente
Debito(t,T; )=  v(t,T) +(1-) Debito(t,T; 0)
e da Debito(t,T; 0) = Prob( >T)P(t,T) otteniamo
Prob( >T) = [Debito(t,T; )/v(t,T) – ]/(1 – )
… cioè la probabilità di sopravvivenza coerente
con i prezzi osservati dei titoli defaultable,
rispetto a quelli osservati per la stessa maturità
sulla curva dei titoli privi di rischio di default.
Probabilità di default
• Lo spread di un titolo BBB a 10 anni rispetto alla
curva risk-free è di 45 punti base.
• Nell’ipotesi di recovery rate pari a zero abbiamo
Prob( >T) = exp (– .0045 10) = 0.955997
e la probabilità di default è 1 - 0.955997 = 4.4003%
• Nell’ipotesi di un recovery rate del 50% abbiamo
Prob( >T) = [exp (– .0045 10) - ]/(1- ) = 0.911995
e la probabilità di default è 1 - 0.911995 = 8.8005%
Implied probabilities: recovery rate 51.31%
80.0000%
70.0000%
60.0000%
50.0000%
AA
A
BBB
BB
B
NTT
40.0000%
30.0000%
20.0000%
10.0000%
0.0000%
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