Analisi e gestione del rischio
Lezione 9
Derivati di Credito
Titoli defaultable
• I titoli defaultable (con rischio di default) sono
strumenti di debito emessi da entità soggette a rischio
di bancarotta, e l’emittente può non essere in grado
di fare fronte alle proprie obbligazioni prima della
scadenza.
• Titoli defaultable: esempi
– Titoli corporate: emessi da aziende private
– Titoli con rischio sovereign: emessi da paesi
– Titoli municipali: emessi da autorità regionali
Rischio di default: determinanti
• Il rischio di default implica la possibilità di
perdere parte o tutto il capitale prestato alla
controparte.
• Determinanti del rischio di default
– Probabilità di default
– Ammontare che è possibile recuperare nell’evento
di default (recovery rate, RR) o in alternativa la
Loss Given Default (LGD) uguale a 1 – RR.
Rischio di default: misure
• Premio per il rischio di default
– Expected loss: la diminuzione di valore di un titolo
che è determinata dal rischio di default
EL = DP X Lgd
– Credit spread: la differenza tra il rendimento a
scadenza di un titolo con rischio di deafult e quello di
un titolo privo di rischio con le stesse caratteristiche
finanziarie
Credit spread = – ln(1 – EL)/maturity
Modelli del rischio di default
• Modelli strutturali
– Il rischio è determinato a partire da un modello della struttura
finanziaria e industriale dell’emittente dell’obbligazione (la
sua linea di business ed il suo stato patrimoniale)
– Il premio per il rischio è determinato a partire dalla teoria
delle opzioni
• Modelli in forma ridotta (intensity based)
– Il rischio è modellato sulla base di ipotesi statistiche sulle
probabilità di default ed il tasso di recupero
– Il premio per il rischio è determinato a partire dalla teoria
della struttura a termine
Informazione sul rischio di credito
• La probabilità di default può essere calibrata
usando
–
–
–
–
–
Dati storici (tassi di default e matrici di transizione)
Informazione implicita nei prezzi azionari
Informazione implicita negli asset swap.
Informazione implicita nei credit spread
Informazione implicita nei CDS
Derivati di credito
• Prodotti che consentono di scambiare e coprire il
rischio di credito
• Asset Swap (ASW): swap dei flussi di cassa di un
titolo contro spread.
• Credit default swap (CDS): acquisto di
assicurazione contro il default di un emittente
• Total rate of return swap (TRORS): consentono di
scambiare il reddito complessivo di un titolo
• Credit spread options (CSO): opzioni sugli spread
dei titoli o dei contratti swap.
Prodotti strutturati credit linked
•
•
•
Assumiamo di comprare un titolo con rischio di
default e allo stesso tempo un derivato di credito
(CD) di protezione.
L’esclusione di arbitraggio richiede
Titolo Defaultable = Risk-free – CD
Nota:
–
–
Il rischio di default è assimilabile a un derivato e un
titolo defaultable è di fatto un prodotto strutturato
Il rischio di default può essere creato sinteticamente
indipendentemente dalla presenza di “carta” emessa
da uno o un portafoglio di “obligor”
Contratti swap
• Lo strumento standard di trasferimento del rischio è il
contratto swap: due controparti si scambiano flussi di
pagamenti determinati in un contratto
• Ciascuno dei due flussi di pagamento è definita “gamba”
del contratto.
• Gran parte del mercato swap, definito in termini generali, è
costituito da contratti nei quali vengono scambiati
– Flussi fissi contro flussi variabili più spread (plain vanilla swap)
– Flussi di pagamenti denominati in valute diverse (currency swap)
– Flussi variabili denominati in valuta interna e indicizzati a curve
di paesi diversi (quanto swap)
– Asset swap, total return swap, credit default swap…
Swap fisso contro variabile
• In un contratto fisso contro variabile
– la controparte lunga paga un flusso di somme fisse pari a c,
definite su base annua
– la controparte corta paga una un flusso di somme indicizzate a un
tasso di mercato
m
c  ti  ti 1 vt , ti 
• Valore della gamba fissa:
i 1
• Valore della gamba variabile:
m
1  vt , t m    vt , ti ti  ti 1  f t , ti 1 , ti 
i 1
Swap: parametri da determinare
• La valutazione di in swap consiste nella
determinazione del valore delle due gambe
• Il valore di un swap può essere espresso come:
– Net-present-value (NPV), o upfront; la differenza tra il
valore attuale dei flussi che verranno ricevuti e quelli
che verranno pagati
– Running premium: il valore di un pagamento periodico
fisso il cui valore attuale sia uguale a quello dell’altra
gamba del contratto swap
– Spread: il valore di un pagamento periodico fisso che
aggiunto o sottratto a un flusso di pagamenti indicizzati
produce un valore attuale uguale a quello dell’altra
gamba del contratto
In memoria del tasso swap
• In un swap fisso contro variabile si scambia un
flusso di pagamenti fissi contro un flusso
indicizzato. All’origine
Valore gamba fissa = Valore gamba variabile
m
swap rate  ti  ti 1 vt , ti   1  vt , t m 
i 1
swap rate 
1  vt , t m 
m
 t
i 1
i
 ti 1 vt , ti 
Il tasso swap: definizioni
Il tasso swap può essere definito come
1. Il pagamento periodico, espresso su base annua,
equivalente a un flusso di pagamenti indicizzati
2. Una media ponderata di tassi forward, con i
fattori di ponderazione rappresentati dai fattori
di sconto corrispondenti
3. Il tasso interno di rendimento, e quindi la cedola,
di un titolo a tasso fisso che quota alla pari
Asset Swap (ASW)
• L’asset swap è un pacchetto composto di
– un titolo
– un contratto swap
• Le due parti del contratto pagano
– I flussi del titolo e la differenza tra la parità e il
valore di mercato del titolo, se positivo
– uno spread rispetto a un tasso variabile più la
differenza il valore di mercato e la parità, se
positivo
Asset Swap (ASW)
• Asset Swap sul titolo DP(t,T;c)
• Valore della gamba fissa:
m
max 1  DP t , T ; c ,0  c ti  ti 1 vt , ti 
i 1
• Valore della gamba variabile:
m
max DP t , T ; c   1,0  1  vt , t m   spread  vt , ti ti  ti 1 
i 1
Asset Swap (ASW) Spread
• Lo spread è ottenuto eguagliando il valore
attuale dei flussi delle due gambe
spread  c  tasso swap 
1  DP t , T ; c 
m
 t
i 1
i
 ti 1 vt , ti 
• Si noti che lo spread
è zero se
m
DP t , T ; c    cti  ti 1 vt , ti   vt , T 
i 1
Total Rate of Return Swap
(TRORS)
• Il sottostante di un TRORS è un qualsiasi titolo,
sia di debito che di capitale, che produce un flusso
di pagamenti e un guadagno o perdita in conto
capitale
• Nel contratto TRORS una parte scambia il tasso di
rendimento “totale” su un titolo (cedole o
dividendi più guadagni o perdite in conto capitale)
contro spread rispetto a un tasso variabile.
TRORS
• Total Rate of Return Swap su un titolo a cedola nulla
DP(t,T;0)
• L’acquirente di “protezione” paga:
DP ti , T ;0  DP ti 1 , T ;0
1
 *
 1  i * ti 1 , ti 
DP ti 1 , T ;0
v ti 1 , ti 
• Il venditore di protezione paga:
1
 1  spread  i ti 1 , ti   spread
vti 1 , ti 
TRORS Spread
• Lo spread è ottenuto eguagliando il valore
attuale dei flussi delle due gambe
m
spread 
 vt , t E   i * t
i 1
i
Q ti
i 1
, ti   iti 1 , ti 
n
 vt , t 
i 1
i
• Si noti che lo spread è *zero se
vt , ti   v t , ti 
ASW e TRORS
• Sia ASW che TRORS sono contratti scritti su uno
specifico titolo come sottostante
• Determinanti dello spread di ASW e TRORS sono
infatti
– Il rischio di tasso (fisso/variabile)
– Il rischio di credito
– Il rischio di liquidità del titolo
• Un mercato di gran lunga più liquido del rischio di
credito è data dai credit default swap (CDS)
Credit Default Swap
• Un credit default swap è uno scambio nel quale il
compratore di protezione (buyer) riceve la
copertura della perdita su un insieme di titoli
emessi da una reference entity, in cambio di un
flusso di pagamenti fissi che si arresta al termine
del contratto swap o alla data di default, se questa
è antecedente
• Il valore del pagamento fisso viene determinato in
modo da eguagliare a zero il valore del swap al
momento della stipula.
Credit Default Swap
• Il sottostante di un CDS non è un titolo, ma è un “nome”: un emittente.
Il pagamento può avvenire per cash settlement o physical delivery:
quest’ultima è la regola e implica delivery option.
• Il default è definito come
–
–
–
–
–
–
Bankrupcy
Obligation acceleration
Obligation default
Failure to pay
Moratorium/repudiation
Restructuring
• L’acquirente di “protezione” paga: (1 > t(i-1) – 1  > t(i) ) LGD
• Il venditore di protezione paga: bp premium * 1 > t(i-1).
Modalità di pagamento
• Nella valutazione di un CDS utilizziamo la
probabilità di sopravvivenza Q(T).
• Possiamo assumere che il pagamento del premio
al periodo t avvenga in pieno anche se l’impresa è
fallita tra t – 1 e t
N 1
N 1
 vt , T  1QT   QT  1  c  vt , T  1QT 
T 0
N
T 0
N 1
N 1
• oppure
che non avvenga per niente
 vt , T  1QT   QT  1  c  vt , T  1QT  1
T 0
N
T 0
Pagamento del rateo al default
• La struttura più comune è quella nel quale, in
caso di default al tempo , l’acquirente di
protezione paga il rateo del premio fino a tale
data e il venditore di protezione paga la LGD
contestualmente al default.
• Nel caso di un contratto a 1 anno
1
1
0
0
LGD   v0, u d 1  Qu   c1  v0, u ud 1  Qu 
Un CDS a N anni
• Nella generalizzazione a N anni il premio di un
CDS è dato da
N 1 T 1
  v0, u  T d 1  Qu  T 
T 0
c N  LGD  N 1 T T1
  v0, u  T ud 1  Qu  T 
T 0 T
• Le versioni semplificate con pagamenti alle date di
reset sono comunque buone approssimazioni
Bootstrap di probabilità di default
da CDS
• Dati di credit default swap su Fiat 25 gennaio
2002
Maturity
Bid
Ask
1
1.45
1.55
3
1.70
1.75
5
1.80
1.83
10
1.95
2.15
Cds Fiat ieri
Credit Linked Note
Coupon +
premium
premium
CDS DEALER
INVESTORS
TRUST
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c
o
u
p
o
n
f
u
n
d
s
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