Modelli analitici per la stima della
qualità creditizia nel mercato del
credito al consumo
Lorenzo Quirini
Responsabile Servizio Sistemi Decisionali,
Scoring e Monitoraggio
Consum.it Gruppo MPS
Firenze
20 Novembre 2008
2 Dicembre 2008
1
Consum.it
Società del Gruppo MPS specializzata
nel credito al consumo
2
Consum.it
1999: inizio attività nel credito
finalizzato (acquisto auto, mobili, …)
2002: carte di credito revolving
2003: prestiti personali clienti Gruppo MPS
2006: nasce “Integra”, accordo con
Unicoop Firenze
2008: 5.7 miliardi di crediti in portafoglio
(ottobre)
3
Lo sviluppo di modelli interni per
la valutazione e la gestione del
rischio di credito
4
L’elemento base…
… Indice di affidabilità
Indicatore del rispetto degli obblighi
contrattuali
5
Indice di affidabilità
Caso 1) presenza del piano di
ammortamento (prestiti personali,
finalizzati, mutui)
Caso 2) carta di credito (revolving, a
saldo)
6
Caso 1)
Gli elementi da considerare:
Piano rimborso contrattuale
Piano rimborso effettivo
Epoca di osservazione
Attualizzazione flussi di cassa
7
Indice di affidabilità
Definizione
Data l' epoca di valutazion e  0
t
h
R
(1

i)
 h
X t  h t1
h
r
(1

i)
h
h 1
Rh importo aleatorio corrisposto epoca h (mese)
rh rata contrattuale epoca h
i tasso di interesse periodale, per convenzione, quello contrattuale
t periodo di osservazione
8
Indice di affidabilità
Interpretazione 1
Affidabilità legata al pagamento
parziale delle rate
Se Rh  arh (a  1) allora
t
Xt 
h
R
(1

i)
 h
h 1
t
h
r
(1

i)
h
 ...  a
h 1
9
Indice di affidabilità
Interpretazione 2
Affidabilità media legata alla
probabilità del rispetto degli
impegni contrattuali alle varie
epoche
p  Probabilit à del generico pagamento di rata
t
E(X t)  E (
 R (1  i)
h 1
t
h
h
h
r
(1

i)
h
)  ...  p
h 1
10
Indice di affidabilità
Interpretazione 3
Affidabilità quale indicatore di
ritardo dei pagamenti
1
fattore di sconto periodale
1 i
b  ritardo in mesi
v 
t
Xt 
 R (1  i)
h 1
h
t
( h b )
 r (1  i)
h 1
h
h
 ...  v b
11
Indice di affidabilità
Interpretazione 4
Affidabilità finale e default
m1


-T
 δ  (1  i)   rh  (1  i)-h 

h 1
E(XT )  1 - pD   1  pD .


b




T durata operazione
PD probabilità di default
m1 epoca ultimo versamento
b importo finanziato
δ importo recuperato opportunamente attualizzato
i tasso di attualizzazione
12
Una relazione tra affidabilità
finale e probabilità default
Posto i  0
se
m1
δ   rh
h 1
b
allora
0
E(XT )  1  pD
13
Indice di affidabilità
Un esempio… di due posizioni
Istanti tempo
1
2
3
4
5
6
Pagamenti effettivi
0
0
0
300
0
0
Pagamenti contrattuali
100
100
100
100
100
100
Ritardi
100
200
300
100
200
300
Affidabilità epoca
0%
0%
0%
69%
57%
49%
Tasso interesse mensile
5%
Rata
100
Importo Finanziato
500
Istanti tempo
1
2
3
4
5
6
Pagamenti effettivi
0
0
0
300
200
100
Pagamenti contrattuali
100
100
100
100
100
100
Ritardi
100
200
300
100
0
0
Affidabilità epoca
0%
0%
0%
69%
93%
94%
14
Nella costruzione di prodotti
finanziari cosa dobbiamo
considerare?
Alcuni strumenti:
Simulazione Monte-Carlo
Analisi di sensitività
Correlazione tra i ranghi (Copule)
15
L’esercitazione
16
Indice di affidabilità
Caso 1) presenza del piano di
ammortamento (prestiti personali,
finalizzati, …)
Caso 2) carta di credito (revolving, a
saldo)
17
Il processo stocastico di rapporto
debitore: un esempio di carta
revolving
1.33%
Acquisti
1589.70
437.20
0.00
100.00
80.00
80.00
80.00
32.29
14.29
0
5.29
1639.24
2036.12
1983.40
2034.20
Rimborsi
Spese
addebitate
Saldo
Epoca h*=3 osservazione
tasso interesse periodale
?
18
Il processo stocastico di rapporto
debitore: la carta revolving
x
Acquisti
tasso interesse
Epoca h* osservazione
a1
A h*+1
A h*+2
b1
Bh*+1
Bh*+2
c0
c1
CH*+1
CH*+2
s0
s1
Sh*+1
Sh*+2
a0
Rimborsi
Spese
addebitate
Saldo
Uscita in equità
Default
19
Il processo stocastico di rapporto
debitore: carta di credito, cliente,
dealer…
s0  a0  c0
sh  sh 1 (1  x)  ah  ch  bh
a0  0, ah  0; c0  0, c h  0; b0  0, bh  0; s0  0, sh  0
per h  1, 2, ..., h*
S h  S h 1 (1  x)  Ah  Ch  Bh
Ah  0, Ch  0, B h  0, S h  0
per h  h*  1, h*  2, ..., 
20
L’affidabilità
Sia h* l’istante di valutazione del rapporto
debitore
Si ipotizzano due eventi:
1) Il conto chiude in equità epoca t
2) Il conto chiude in default epoca t
t= h*+1, h*+2, …, ω
21
L’affidabilità
Evento 1: uscita in equità epoca t
In questo caso l’affidabilità è pari a 1, vale a
dire il titolare ha adempiuto agli obblighi
contrattuali
X eh* ( t )  1
22
L’affidabilità
Evento 2: uscita in default epoca t
 K t St 
X dh* ( t ) 

h  0 ,..., h*
bh ( 1  x )t h 
t h
B
(
1

x
)
 h
h  h* 1,..., t
 h 0 ,..., h* ah ( 1  x )t h  h h* 1...., t Ah ( 1  x )t h
23
Una sintesi per l’affidabilità
affh*  1 peh*  t h* 1,..., pdh*( t ) E( X dh* ( t ))
peh*  t h* 1,..., peh* ( t )
Essendo
pdh* (t) la probabilità che un conto in essere
all’epoca h* esca per default epoca t
peh* (t) la probabilità che un conto in essere
all’epoca h* esca in equità all’epoca t
24
Stima probabilità di uscita in
default e in equità
Il modello
25
Il modello (1)
T1 variabile aleatoria che descrive il tempo di uscita per default
T1 ha valori in 1, 2, …, ω-1
T2 variabile aleatoria che descrive il tempo di uscita in equità
contrattuale;
T2 ha valori in 1, 2, …, ω
Sia
phk = Prob(T1 = h, T2 = k)
26
Il modello (2)
Sussistono
phh = 0
 1 
 p
h 1 k 1
hk
  1
Se δ< 1 , la distribuzione non è propria;
1- δ è la probabilità di non osservare il default.
In questo caso, si definisce un valore “fittizio” per T1, θ, che
rappresenta l’evento di “no default”.
Si ottiene una distribuzione congiunta:

 p    1
hk
h1, 2 ,..., 1,  k1, 2 ,..., 1,
con prob(T1= θ , T2=k) = pθk
27
Il modello (3)
La stima dei phk dai dati di archivio non è semplice.
Si procede al calcolo delle seguenti grandezze:
lh,1 è la probabilità che un titolare che ha utilizzato la carta al tempo 0,
sia a rischio all’epoca h-1 e non vada in default fra h-1 e h;
lh,2 è la probabilità che un titolare che ha utilizzato la carta al tempo 0,
sia a rischio all’epoca h-1 e non vada in default né esca in equità fra h-1 e
h.
28
Il modello (4)
Sussiste
l-1,2 = l0,1 = l0,2 = 1≥ l1,1 ≥ l1,2 ≥ l2,1≥ l2,2 ≥ …≥ lh,1 ≥ lh,2 ≥ …≥ lω-1,1 ≥ lω-1,2 = lω,1 ≥ lω,2= 0
Oss.
1) l-1,2 = l0,1 = l0,2 = 1 è relativa all’intera popolazione di titolari finanziati
al tempo -1 e che hanno effettuato il primo utilizzo al tempo 0.
2) Vale lω-1,2= lω,1 in quanto il modello assume che al tempo ω non possa
essere osservato il default.
3) lω,2 = 0 per definizione di ω.
29
Il modello (5)
Il numero di parametri da stimare per il modello (4) è
2(ω-1).
Sebbene questi non siano sufficienti a descrivere la distribuzione
congiunta, che possiede un numero di parametri
ω2 - ω
tuttavia essi caratterizzano la distribuzione di
T = min(T1, T2)
30
Il modello (6)
Per h = 1, 2, …, ω-1,
l h,1  prob(T1  h , T2  h) 
l h, 2  prob(T1  h , T2  h) 

p 

p
ij
ih 1,..., 1,  jh ,h 1,..., 1,
ij
ih 1,...,  1,  jh 1,...,  1, 
Se la carta è a rischio al tempo h*, h* = 0, 1, 2, …, ω-2, è importante
fornire una stima del periodo nel quale la carta andrà in default
Per h = h*+1, …, ω-1
pdh* (h) 

lh 1, 2  lh,1
lh*,2

prob(T1  h  1, T2  h  1)  prob(T1  h, T2  h)

*
*
prob(T1  h , T2  h )
prob(T1  h, T2  h)
prob(T1  h, T2  h)

 prob(T  h in default )
prob(T1  h * , T2  h * ) prob(T1  h * , T2  h * )
31
Il modello (7)
Analogamente, è possibile valutare la probabilità che una carta, a rischio
all’epoca h*, h* = 0, 1, 2, …, ω-1, chiuda regolarmente.
Per h = h*+1, …, ω
peh* (h) 
=
lh,1  lh, 2
lh*,2

prob(T1  h, T2  h)  prob(T1  h, T2  h)

prob(T1  h* , T2  h* )
prob( T1  h ,T2  h )
 prob( T  h equità )
prob( T1  h* ,T2  h* )
Oss.
Le probabilità locali pdh*(h*+1), peh*(h*+1) possono essere viste come
intensità di chiusura per default o di chiusura in equità rispettivamente.
32
Il modello (8)
Se il focus è su una delle due cause di elimazione si ottiene:
Lh
è la distribuzione (decumulativa) di probabilità del tempo di default
definita da
L0  1  L1  L0 
...  Lh  Lh 1 
l h ,1
l h 1, 2
l1,1
l0 , 2
 L2  L1 
l 2 ,1
l1, 2
 ...  L 1  L  2 
 ...
l 1,1
l  2, 2
 prob T1   
33
Il modello (9)
Analogamente, per
Mh la funzione di distribuzione (decumulativa) di
uscità in equità si ottiene:
M 0  1  M1  M 0 
...  M h  M h 1 
lh, 2
l h ,1
l1, 2
l1, 1
 M 2  M1 
 ...  M   M  1 
l , 2
l ,1
l 2, 2
l 2,1
 ...
0
Le precedenti stime sono coerenti in quanto:
l h , 2  Lh  M h
34
L’analisi statistica di
sopravvivenza
Il focus sull’uscita per solo
default
35
L’analisi di sopravvivenza
Il tempo aleatorio di osservazione
è pari al minimo delle due
seguenti grandezze:
Il tempo di default T1
Il tempo di censura C
36
L’analisi di sopravvivenza
epoca 1 2 3 4 5 6 7 8
carta 1
carta 2
carta 3
☻uscita per default=3 mese
☺ uscita in equità = 5 mese
☼ uscita per osservazione = 8 mese
37
L’analisi di sopravvivenza
Il meccanismo di censura:
- uscita in equità
- inattività di utilizzo
- tempo di osservazione
38
0.2
0.4
0.6
0.8
S (t )  P(T1  t )
0.0
Quota sopravvissuti al default
1.0
La funzione di sopravvivenza
0
10
20
30
40
50
Mesi da primo utilizzo
39
Lo stimatore Kaplan-Meier


d
i
Sˆ (t )   1  
ni 
i t 
Essendo
ni il numero di carte in vita all’inizio dell’epoca i-ma
di il numero di default registrati nell’epoca i-ma tra coloro in vita
all’inizio di tale periodo
i pari ai periodi di osservazione
40
Lo stimatore Kaplan-Meier
Funzione di sopravvivenza e limiti di confidenza al
95%
Stima K-M
lim inf 95%
lim sup 95%
Quota sopravvissuti al default
1.005
1.000
0.995
0.990
0.985
0.980
0.975
0.970
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Mesi di osservazione
DATI FITTIZI
41
La formula di Greenwood per la
varianza
di
vâr( Ŝ ( t ))  ( Ŝ ( t ))  
i t ni ( ni  d i )
2
42
La stima intervallare per S(t)
Intervallo di confidenza (1   ) 100%
per S (t ), t fissato
1/ 2
ˆ
ˆ
S (t )  z  (vâr( S (t )))

2
43
L’esercitazione
44
Lo script S+ ( R )
#Funzione di sopravvivenza
u1<-survfit(Surv(TIMEN90, STATUS90)~1, Esercitazione2)
#Grafico stimatore K-M con intervalli di confidenza al 95%
plot(u1, xlab="Mesi da primo utilizzo", ylab="Quota sopravvissuti al default")
#Funzione di sopravvivenza per gruppi di score
u2<-survfit(Surv(TIMEN90, STATUS90)~E.SCORE, Esercitazione2)
#Grafico stimatore K-M con intervalli di confidenza al 95% per gruppi di score
plot(u2, xlab="Mesi da primo utilizzo", ylab="Quota sopravvissuti al
default“,main="Funzione di sopravvivenza per score", lty=3:6)
legend(5, 0.3, c(“D", “C", “B", “A"), lty=3:6)
#log-rank test
u2<-survdiff(Surv(TIMEN90, STATUS90)~E.SCORE, Esercitazione2)
#Test chi-quadro
u2
45
Impatto su redditività
del default e dell’uscita in equità
46
Il recupero in caso di default
Kt 
( k  t )
R
(
1

x
)
 k
k t
 St
t l’epoca in cui si è registrato il default
Rk il pagamento aleatorio effettuato all’epoca k,
con k≥ t
x il tasso di attualizzazione
St il saldo all’epoca t
47
Una simulazione
I parametri:
Tasso contrattuale annuo: 0.18
ω = 25 mese
Numero carte iniziali: 3000
Kt variabile uniforme in [0, 0.6]
pdh*(h*+1) costante pari a 0.01
peh*(h*+1 ) costante pari a 0.04
A0 primo acquisto variabile uniforme in [-2400, 0)
Ah spese successive variabili uniformi in [-800, 0)
h =1, …, ω-1
Bh incassi variabili uniformi in (0, min(800,-Sh-1))
h =1, …, ω-1
Ch = -1 h =1, …, ω-1
48
Tavola di eliminazione e quota di
recupero
Epoca Pop
0 3000
1 3000
2 2864
3 2704
...
12 1749
...
23
24
25
982
930
891
Def. Eq.
0
0
27
109
41
119
27
97
Recupero
0.280
0.286
0.279
24
64
0.291
13
11
0
39
28
891
0.214
0.279
49
Flussi riferiti al gruppo default a
12 mesi
Epoca
Default
Acquisti
Pagamenti
12
0
-25923.17
0.00
12
1
-10368.03
7414.09
12
2
-8715.78
8230.73
12
3
-10449.54
8157.81
12
4
-10099.17
8473.60
12
5
-10185.19
10257.58
12
6
-10068.74
9181.53
12
7
-11601.57
9178.37
12
8
-9576.05
9342.18
12
9
-10175.21
9285.29
12
10
-11022.67
9566.73
12
11
-8432.70
11150.70
12
12
0.00
12720.69
Affidab.
0.8018
prob. def. 0.0080
tir annuo -0.6861
Perdita -23935.74 euro
Spese
-24.00
-24.00
-24.00
-24.00
-24.00
-24.00
-24.00
-24.00
-24.00
-24.00
-24.00
-24.00
0.00
50
Flussi riferiti al gruppo titolari
usciti in equità
Epoca
Default
Acquisti
Pagamenti
25
0 -2032366.00
25
1
-620213.50
25
2
-579627.00
25
3
-521423.70
25
4
-501907.10
25
5
-471739.10
25
6
-448971.70
25
7
-394624.70
25
8
-358213.90
25
9
-319892.40
25
10
-294004.90
25
11
-271436.10
25
12
-240165.90
25
13
-209034.70
25
14
-170471.70
25
15
-165551.60
25
16
-134363.20
25
17
-120863.50
25
18
-91797.71
25
19
-78529.86
25
20
-60319.35
25
21
-46617.63
25
22
-24691.77
25
23
-11167.57
25
24
0.00
Affidab. 1.0000
tir annuo 18.00
Guadagno 38158.40
0.00
656230.80
658261.30
626124.80
608484.60
538017.70
535698.00
521953.70
480523.50
467626.80
408461.30
352952.50
334293.70
348410.70
315944.00
272689.80
264786.80
196560.80
212209.70
174250.00
157098.80
133179.70
134009.90
107888.50
59422.07
Spese
-1660.00
-1551.00
-1432.00
-1335.00
-1237.00
-1167.00
-1075.00
-982.00
-891.00
-804.00
-726.00
-666.00
-602.00
-524.00
-450.00
-392.00
-336.00
-292.00
-241.00
-196.00
-155.00
-115.00
-67.00
-28.00
0.00
euro
51
Flussi riferiti al gruppo titolari
attivi al 24° mese
Acquisti
26
0 -1058830.00
26
1
-338978.30
26
2
-361308.20
26
3
-355251.80
26
4
-348015.00
26
5
-352028.50
26
6
-356228.10
26
7
-359548.50
26
8
-353006.40
26
9
-341590.00
26
10
-358746.00
26
11
-363867.50
26
12
-349981.30
26
13
-351234.30
26
14
-358983.20
26
15
-363280.60
26
16
-347761.80
26
17
-361133.70
26
18
-354062.50
26
19
-361459.00
26
20
-348569.50
26
21
-364060.00
26
22
-365704.70
26
23
-357075.40
26
24
-355226.90
26
25
0.00
Affidab. 1.0000
Tir annuo 0.18
Guadagno 573406.00
Pagamenti
0.00
295269.00
304546.50
314413.00
317796.00
319908.70
320588.30
322132.20
330613.30
332472.70
340461.00
336905.70
330053.90
345654.70
341266.60
336756.20
349990.80
347214.60
335289.30
341569.60
340182.10
338950.30
335977.50
341632.50
353684.30
2208285.00
Spese
-891.00
-891.00
-891.00
-891.00
-891.00
-891.00
-891.00
-891.00
-891.00
-891.00
-891.00
-891.00
-891.00
-891.00
-891.00
-891.00
-891.00
-891.00
-891.00
-891.00
-891.00
-891.00
-891.00
-891.00
-891.00
0.00
52
Esiti economico-finanziari sul
portafoglio simulato
I
VALORI MEDI DAI DATI DI GRUPPO
Prob. default cumulata 0.1497
Affidabilità media
0.9547
INDICATORI SINTETICI DI PORTAFOGLIO
Interessi
503445.80
Redditività
0.0821
Tasso nomin.
0.1800
Affid. port.
0.9736
53