Analisi e gestione del rischio
Lezione 11
Introduzione al rischio di credito
Modelli Strutturali
Titoli defaultable
• I titoli defaultable (con rischio di default) sono
strumenti di debito emessi da entità soggette a rischio
di bancarotta, e l’emittente può non essere in grado
di fare fronte alle proprie obbligazioni prima della
scadenza.
• Titoli defaultable: esempi
– Titoli corporate: emessi da aziende private
– Titoli con rischio sovereign: emessi da paesi
– Titoli municipali: emessi da autorità regionali
Rischio di default: determinanti
• Il rischio di default implica la possibilità di
perdere parte o tutto il capitale prestato alla
controparte.
• Determinanti del rischio di default
– Probabilità di default
– Ammontare che è possibile recuperare nell’evento
di default (recovery rate, RR) o in alternativa la
Loss Given Default (LGD) uguale a 1 – RR.
Rischio di default: misure
• Premio per il rischio di default
– Expected loss: la diminuzione di valore di un titolo
che è determinata dal rischio di default
EL = DP X Lgd
– Credit spread: la differenza tra il rendimento a
scadenza di un titolo con rischio di deafult e quello di
un titolo privo di rischio con le stesse caratteristiche
finanziarie
Credit spread = – ln(1 – EL)/maturity
Modelli del rischio di default
• Modelli strutturali
– Il rischio è determinato a partire da un modello della struttura
finanziaria e industriale dell’emittente dell’obbligazione (la
sua linea di business ed il suo stato patrimoniale)
– Il premio per il rischio è determinato a partire dalla teoria
delle opzioni
• Modelli in forma ridotta (intensity based)
– Il rischio è modellato sulla base di ipotesi statistiche sulle
probabilità di default ed il tasso di recupero
– Il premio per il rischio è determinato a partire dalla teoria
della struttura a termine
Modelli strutturali
L’approccio di Merton
• Nel modello di Merton (1974), il paper che ha
inaugurato il filone dei modelli strutturali, il valore
dell’attivo del debitore determina congiuntamente
– La probabilità di default
– Il recovery rate nell’evento di default
– Il valore del debito e del capitale dell’impresa
• Il valore dei titoli corporate è determinato sulla
base della teoria delle opzioni
Min(B,V(T))= B – max(B – V(T),0)
80
60
40
20
Debito
0
Risk Free
0
-20
-40
-60
-80
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Default Put
Min(B,V(T))= V(T) – max(V(T)–
B,0)
250
200
150
100
Debito
50
Valore azienda
Equity
0
0
-50
-100
-150
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Il modello di Merton
• Il debito è un titolo zero-coupon-bond, cioè
interesse e capitale sono pagati in un’unica
soluzione alla maturità.
• Il rischio di default è descritto dal pay-off
Valore del debito alla maturità = min (B,V(T))
…e può essere scomposto alternativamente come
min (B,V(T)) = B - max(B - V(T), 0), cioè
Debito = Risk-free - put(V,t; B,T)
min (B,V(T)) = V(T) - max(V(T) - B, 0), cioè
Debito = Valore dell’attivo - call(V,t; B,T)
Modigliani-Miller
• Dalla relazione di parità tra opzioni put e call
abbiamo
V = B - put(V,t; B,T) + call(V,t; B,T)
V = valore dell’attivo (valore dell’impresa)
Call(V,t; B, T) = Valore del capitale
• La caratteristica dell’opzione del capitale deriva da
i) leverage
ii) limited liability
• Put (V,t; B, T) = Premio per il rischio di default
Un modello binomiale
Stato
Valore dell’impresa
Valore del capitale
Valore del debito
Opzione default put
Tempo T
No default
Default
V(H)
V(L)
V(H)-B
0
B
V(L)
0
B - V(L)
Credit spread
• Dalla valutazione di derivati con alberi binomiali
Debito = P(t,T)[B – (1 – Q )(B – V(L))]
con Q = (V(t)/P(t,T) - V(L))/(V(H) - V(L))
…e in termini di rendimento a scadenza…
Debito defaultable = B exp(–r*(t,T)(T - t))
Debito risk-free = P(t,T) = B exp(–r(t,T)(T - t))
…otteniamo il credit spread
r*(t,T) – r(t,T) = – ln[1 – (1 – Q)(1 – V(L)/B]/(T- t)
Determinanti dei credit spread
• Il credit spread è non-negativo
r*(t,T) - r(t,T) = - ln[1- (1 - Q )(1- V(L)/B]/(T- t)
• Il credit spread tende a zero se
– La probabilità di default tende a zero
– La perdita va a zero (recovery rate uguale a 1)
• Il credit spread raggiunge il suo valore massimo
quando il tasso di recupero va a zero
r*(t,T) - r(t,T) = - ln[ Q ]/(T- t)
Un esempio: finanziamento di un progetto
Valore di mercato dell’equity = 30
Valore attivo Debito
Equity
Prezzo del titolo risk-free = 1
Valore nominale del debito = 80
120
80
40
40
40
0
Soluzione
• Dal prezzo di mercato del capitale, cioè 30,
possiamo calcolare la probabilità di sopravvivenza
da 30 = Q 40 + (1 - Q) 0, cosicché Q = 0.75 e la
probabilità di default aggiustata per il rischio è
0.25
• Il debito è valutato come Q 80 + (1 – Q) 40 = 70
• Dal teorema di Modigliani-Miller calcoliamo il
valore del progetto come: V = 70 + 30 = 100
• N.B. Il valore del sottostante, cioè il progetto, è
determinato a partire dal valore del derivato, cioè
il capitale dell’azienda.
Modello di Merton
• Merton sviluppa nel tempo continuo le stesse idee
che abbiamo mostrato in un modello discreto. Il
valore dell’azienda segue un processo geometrico
browniano ed i valori di capitale e debito sono
determinato utilizzando la formula di Black e
Scholes. Le determinanti chiave dei credit spread
sono
1) Il leverage: quasi-debt-to-firm-value-ratio
2) La volatilità del valore dell’attivo
Modello di Merton
• Valore dell’impresa: processo geometrico browniano
dV = Vdt + VVdw(t) = (r+V)Vdt + VVdw(t)
• Valore del capitale: un’opzione call
f  V (t ) N d1   e  r T t  BN d 2 
d1 
d2 
ln V t  / B   (r   V2 / 2)T  t 
V T  t
ln V t  / B   (r   V2 / 2)T  t 
V T  t
Modello di Merton
• Il valore del debito:
F t , T   V t   f 
 V t   V (t ) N d1   e  r T t  BN d 2 
 V t N  d1   e
 r T t 
BN d 2 
…può essere scomposto come…
Modello di Merton
…debito default-free meno una default put option
F t , T   Vt N  d1   e
 r T t 
BN d 2 
 e  r T t  B  Vt N  d1   e  r T t  BN  d 2 


 e  r T t  B   Vt N  d1   e  r T t  BN  d 2 
…e in termini moderni…
Modello di Merton
…debito default-free per (1 – Dp x Lgd)
F t , T   Vt N  d1   e  r T  t  BN  d 2 


Vt  N  d1   
e
B 1  N  d 2 1   r T  t 

B N  d 2   
 e

 e  r T  t  B1  Dp1  RR
 r T  t 
Dp = Default probability
Lgd = Loss given default = 1 – RR
Quasi-debt to firm value (quasi-leverage)
d = Bexp(–r(T – t))/V(t)
Copertura del rischio di credito
• Rischio di credito significa una posizione corta in
un’opzione put, ed un’esposizione al rischio del progetto
finanziato (delta = 1 – N(d1))
• Strategia 1: acquistare una default put/swap
– Si tratta di un derivato di credito che consente di
acquistare “protezione” sull’esposizione al rischio di
credito
• Strategia 2: vendere azioni dell’emittente
– Poiché le azioni sono opzioni call rappresentano
un’esposizione positiva al rischio del progetto (delta =
N(d1)) una posizione corta in titoli di capitale riduce
l’esposizione netta al rischio del progetto finanziato
Modello KMV™
• Il modello KMV ricava le stime di V e V dai valori e dalla
volatilità dei titoli azionari. Su questa base possiamo
valutare la probabilità di default al tempo T


 ln V / B      V2 / 2 T  t 
PrV  B   N 

V T  t


• Notiamo che è usato il drift oggettivo , per ricavare la
stima della probabilità oggettiva
• Nel modello KMV la distribuzione empirica dei casi di
default è utilizzata infine per tener conto della nonnormalità della distribuzione
Il modello di Merton e i dati:
la maturità a 10 anni (USA)
Rating
Leverage
Aaa
13.1%
Aa
21.2%
A
32.0%
Baa
43.3%
Ba
53.5%
B
65.7%
Source: Wang ang Wang (2000).
Volatility
27.8%
23.4%
19.7%
18.8%
25.2%
35.2%
Predicted
credit spread
8.0
10.0
14.3
32.0
137.9
363.3
Observed
credit spread
63
91
123
194
299
408
% explained
12.6%
11.0%
11.6%
16.5%
46.1%
89.0%
Covenants (Black e Cox, 1976)
• Una delle limitazioni del modello di Merton consiste nel
fatto che il default avviene a scadenza. Nella realtà
l’episodio di default può avvenire prima della scadenza,
quando il valore dell’azienda raggiunge un livello inferiore
minimo.
• Black & Cox (1976) estendono il modello di Merton per
tener conto del fatto che il valore del debito può essere
monitorato prima della scadenza attraverso l’osservazione
di safety covenants: se il valore dell’azienda scende al di
sotto di un certo livello, i creditori possono forzare la
restituzione del debito.
• E’ evidente che in questo caso il valore del capitale è
un’opzione call con barriera (down-and-out call).
0.0100
No-Covenant
Covenant
0.0090
0.0080
0.0070
Credit Spread
0.0060
0.0050
0.0040
0.0030
0.0020
0.0010
0.0000
0
5
10
15
Maturità
20
25
30
35