ITCS E. Bona - Biella
Due applicazioni dei logaritmi
22 febbraio 2013
I logaritmi vengono usati per trattare grandezze che presentano ampie
variazioni su un intervallo di diversi ordini di grandezze; il pH ne è un
esempio.
1
Il pH
Il pH è una grandezza che esprime la concentrazione [H + ], misurata in moli
al litro (moli/l), di ioni idrogeno in una soluzione acquosa1 ed è denito da
pH = − log H + = log
1
.
[H + ]
Il pH varia da 0 a 14. In dipendenza dal valore assunto dal pH, le soluzioni
vengono così classicate:
se pH < 7,
se pH = 7,
se pH > 7,
la soluzione è acida;
la soluzione è neutra;
la soluzione è basica.
Esercizio 1 Il succo di limone ha una concentrazione di ioni idrogeno pari
a 2 · 10−3 moli/l. Sapendo che log 2 ' 0,3, determinare il pH del succo di
limone.
Sappiamo che [H + ] = 2 · 10−3 moli/l e che pH = − log [H+ ], quindi
pH = − log 2 · 10−3 = − log 2 + log 10−3 = − (0,3 − 3) = 2,7.
1 In
chimica, le parentesi quadre indicano la concentrazione molare di una sostanza in
una soluzione acquosa; ad esempio, la scrittura
litro di soluzione è presente una quantità di ioni
1
[H + ] = 0,5 moli/l vuol dire che in
+
idrogeno H
uguale a mezza mole.
ogni
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Esercizio 2 La Coca-Cola ha pH = 2,4. Determinare la concentrazione
[H + ] di ioni idrogeno.
In questo esercizio conosciamo il valore del pH = 2,4 e dobbiamo determinare
[H + ]. Ricordiamo la denizione di pH:
pH = − log H + = 2,4.
Per ottenere il valore di [H + ], applichiamo la denizione di logaritmo2 dopo
aver cambiato i segni:
log H + = −2,4 ⇒ H + = 10−2,4 = 3,98 · 10−3 moli/l.
Possiamo osservare che la Coca-Cola e il succo di limone hanno valori di [H + ]
dello stesso ordine di grandezza.
Esercizio 3 L'acqua pura è neutra, pH = 7, mentre il caè ha pH = 5.
Di quanto è maggiore la concentrazione di ioni idrogeno del caè rispetto a
quella dell'acqua?
L'acqua pura e il caè hanno, rispettivamente, pH uguale a 7 e 5. Ricaviamo
in entrambi i casi [H + ] dalla relazione pH = − log [H + ].
• Per l'acqua pura [H + ] = 10−7 moli/l. Infatti,
− log H + = 7 ⇒ log H + = −7 ⇒ H + = 10−7 moli/l.
• Per il caè [H + ] = 10−5 moli/l. Infatti,
− log H + = 5 ⇒ log H + = −5 ⇒ H + = 10−5 moli/l.
In conclusione, il valore della concentrazione [H + ] del caè è cento volte
maggiore di quello dell'acqua.
Esercizio 4 I succhi gastrici hanno pH = 1. Di quanto è maggiore la con-
centrazione di ioni idrogeno dei succhi gastrici rispetto a quella dell'acqua?
La concentrazione [H + ] dei succhi gastrici vale 10−1 moli/l. Nell'esercizio
precedente abbiamo ricavato che per l'acqua essa vale 10−7 moli/l. Facendo
il rapporto tra queste due quantità:
10−1
[H + ] succhi gastrici
= −7 = 10−1+7 = 106
+
[H ] acqua
10
possiamo concludere che il valore della concentrazione [H + ] dei succhi grastrici è un milione di volte maggiore di quello dell'acqua.
2 log
a
b = c ⇔ ac = b
2
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Esercizio 5 L'ammoniaca ha pH = 12. Di quanto è minore la concentra-
zione di ioni idrogeno dell'ammoniaca rispetto a quella dell'acqua?
La concentrazione [H + ] dell'ammoniaca vale 10−12 moli/l. Dal rapporto
10−12
[H + ] ammoniaca
=
= 10−12+7 = 10−5
[H + ] acqua
10−7
concludiano che il valore della concentrazione [H + ] dell'ammoniaca è centomila volte minore rispetto a quello dell'acqua.
Possiamo osservare che
• una variazione di una unità nella scala del pH corrisponde ad una
moltiplicazione o divisione per 10 della concentrazione [H + ];
• la concentrazione [H + ] varia da 10−14 moli/l (corrispondente all'idrossido di sodio con pH = 14) a 1 moli/l (corrispondente all'acido cloridrico
con pH = 0). Passando ai logaritmi riusciamo a rappresentare questo
ampio intervallo con una scala con 14 gradini.
Esercizio 6 Sapendo che il latte ha pH = 6,6, determinare il valore della
concentrazione di ioni positivi presenti nel latte.
Esercizio 7 Determinare il pH del bicarbonato di sodio con la concentrazio-
ne di ioni positivi uguale a 3,981 · 10−9 moli/l.
Esercizio 8 Una soluzione ha pH uguale a 10. Per quale pH la concentra-
zione [H + ] risulterebbe diecimila volte maggiore?
Esercizio 9 Una soluzione ha pH uguale a 1. Per quale pH la concentrazione
[H + ] risulterebbe diecimila volte maggiore?
Esercizio 10 Vericare con almeno tre esempi che quantità con lo stesso
ordine di grandezza hanno logaritmi con la stessa parte intera.
La Terra e Marte hanno raggio uguale rispettivamente a 6,378 · 106 m e
3,397 · 106 m. Calcoliamo i logaritmi di queste due quantità e verichiamo
che otteniamo due numeri con la stessa parte intera 6:
• log 6,378 · 106 = log 6,378 + log 106 ' 0,805 + 6 = 6,805;
• log 3,397 · 106 = log 3,397 + log 106 ' 0,531 + 6 = 6,531.
3
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2
Il decadimento radioattivo
Il sico inglese Ernest Rutherford (18711937) mostrò che gli atomi di alcuni
elementi, detti radioattivi, sono instabili: in un intervallo di tempo una proporzione ssa di essi si disintegra spontaneamente trasformandosi in atomi
di un nuovo elemento.
Indichiamo con N (t) il numero di atomi di una sostanza radioattiva
presenti all'istante t. Il numero N (t) decresce secondo la legge esponenziale
N (t) = N0 e−λ·t .
Il parametro N0 rappresenta il numero di atomi presenti all'istante iniziale;
infatti, N (0) = N0 e−λ·0 = N0 .
Esercizio 11 Per gli atomi di uranio λ = 1,554 · 10−10 1/anni. Determinare
dopo quanto tempo il numero iniziale di atomi di uranio diminuisce del 50%.
Per determinare il tempo t anché il numero iniziale si dimezzi basta porre
1
N (t) = N0
2
nell'equazione della legge esponenziale del decadimento radioattivo:
1
−10
N0 = N0 e−1,554·10 t .
2
Dividiamo ambo i membri per il fattore comune N0 :
1
−10
= e−1,554·10 t .
2
Per la denizione di logaritmo naturale:
1
ln
= −1,554 · 10−10 t
2
da cui
ln 12
ln 2
t=−
=
= 4,46 · 109 anni.
−10
1,554 · 10
1,554 · 10−10
Esercizio 12 Determinare dopo quanto tempo il numero iniziale di atomi di
uranio diminuisce del 5%.
4
2.1
Il metodo di datazione del Carbonio-14
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Per determinare il tempo t anché il numero iniziale di atomi di uranio
diminuisca del 5% basta porre
N (t) =
95
N0
100
(è rimasto il 95% degli atomi iniziali) e risolvere questa equazione in t come
fatto prima.
Esercizio 13 Per gli atomi di Carbonio-14 λ = 1,209 7 · 10−4 1/anni. De-
terminare dopo quanto tempo il numero iniziale di atomi di Carbonio-14
diminuisce del 50%.
Il decadimento del Carbonio-14 viene utilizzato per determinare l'età dei
fossili e dei reperti archeologici.
2.1
Il metodo di datazione del Carbonio-14
Nel castello di Winchester è esposta una tavola di forma circolare. Secondo
una leggenda sarebbe proprio questa la tavola rotonda appartenuta a re Artù
nel V secolo.
Nel 1977 la tavola fu sottoposta al test del Carbonio-14. L'esame rivelò la
presenza di una quantità di Carbonio-14 pari al 91% di quella contenuta nello
stesso legno appena tagliato.
È realmente la tavola rotonda di re Artù?
Se t è l'età della tavola, si deve avere
N (t) =
91
· N0
100
(1)
cioè
91
−4
· N0 = N0 e−1,209 7·10 t .
100
5
2.1
Il metodo di datazione del Carbonio-14
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Dividiamo ambo i membri per il fattore comune N0 :
91
−4
= e−1,209 7·10 t .
100
Per la denizione di logaritmo naturale:
91
ln
= −1,209 7 · 10−4 t
100
da cui
91
ln 100
t=−
' 780 anni.
1,209 7 · 10−4
La tavola ha quindi circa 780 anni e non potè appartenere a re Artù che visse
nel V secolo.
Esercizio 14 In un fossile il Carbonio-14 è diminuto dell'88%. Qual è l'età
del fossile.
6