MECCANICA DEI FLUIDI
• Un fluido è un corpo che non ha una forma propria.
La sua forma dipende da altri corpi che lo
contengono (per esempio un recipiente, una
condotta,…).
• Un fluido è composto da molte particelle: le
molecole. Tuttavia ci interessa studiare il fluido dal
punto di vista macroscopico, ovvero senza entrare
nel dettaglio del moto delle singole molecole.
• Le grandezze fisiche che utilizzeremo per descrivere
la meccanica dei fluidi sono:
– DENSITA’
– PRESSIONE
DENSITÀ
La densità di un corpo (solido o fluido) è il rapporto tra
la sua massa e il suo volume:
massa
densità =
volume
Unità di misura: kg/m3 nel SI
Densità relativa di un corpo:
densità del corpo
densità relativa =
densità dell’acqua
ESEMPI: densità dell’acqua: ρH O = 1000 kg/m3
densità relativa dell’alluminio: dAl = 2,7
2
PRESSIONE
F
p=
A
A
F
Vi sono delle forze di contatto tra fluido e solido e tra diverse parti
del fluido. La pressione è la forza per unità di area che si esercita
perpendicolarmente ad una superficie all’interno o al bordo del
fluido.
Unità di misura della pressione
-- Nel SI: Pascal (Pa)
1 Pa = 1 N / 1 m2
-- atmosfera
1 atmosfera = 101325 Pa
1 atmosfera = 760 mm Hg
-- torr
1 torr = 1 mm Hg = 133,3 Pa =
= 1,316 × 10-3 atm
La pressione all’interno del fluido e sulla sua
superficie dipende in generale dalle forze
esterne applicate al fluido e dal suo stato di
quiete o di moto.
Se conosciamo la pressione in ogni punto del
fluido possiamo calcolare la forza che esso
esercita mediante la formula
F = pA
VELOCITÀ
v4
v5
v3
v1
v2
v6
v8
v7
v9
La velocità può variare da un
punto all’altro del fluido, come nel
corpo rigido. Questa volta però
non c’è il vincolo di rigidità che
permette di ridurre la
distribuzione delle velocità alla
conoscenza della velocità
angolare. In generale avremo una
distribuzione di velocità che
ubbidisce ad altri vincoli che
vedremo in seguito.
Si dice che c’è un CAMPO di VELOCITÀ. La descrizione
cinematica del fluido è data mediante questo campo di
velocità, ovvero specificando la velocità nei diversi punti del
fluido.
Equilibrio di un fluido soggetto alla forza peso
(gravità uniforme)
Nel caso dell’equilibrio la velocità è nulla in ciascun punto del
fluido. E’ interessante vedere come varia la pressione all’interno
del fluido e sulle superfici.
h
mg
A
Consideriamo una piccola area A
piana e orizzontale all’interno del
fluido. La forza che il fluido esercita
su questa area per effetto della
forza peso è:
F = mg = ρAh g
La pressione esercitata in quel
punto è:
p = F/A = ρ g h
Legge fondamentale della statica dei fluidi
Ipotesi che accettiamo fin dall’inizio: la pressione dipende solo dalla quota, ovvero la
pressione è la stessa in ogni punto di un piano orizzontale.
pA ΔS + mg - pB ΔS = 0
A
pAΔS
Δh
B
ΔS
pB ΔS - pA ΔS = mg
pB ΔS - pA ΔS = ρ ΔS Δh g
mg
pBΔS
pB - pA = ρ g Δh
PRINCIPIO DI ARCHIMEDE
UN CORPO IMMERSO IN UN FLUIDO RICEVE UNA SPINTA DAL
BASSO VERSO L’ALTO UGUALE AL PESO DI FLUIDO SPOSTATO
Per «fluido spostato» si intende il peso di un volume di fluido
pari al volume immerso del corpo.
SA
SA
Se ρ è la densità del fluido,
V il volume della parte
immersa del corpo, la spinta
di Archimede è:
SA = ρVg
Il principio di Archimede è una conseguenza del principio fondamentale
della fluidostatica.
A
Δh
B
ΔS
Consideriamo un corpo immerso in un fluido di
densità ρ. Per semplicità supponiamo che il corpo sia
un parallelebipedo di altezza Δh e area di base ΔS.
La forza che il fluido esercita sulla faccia superiore ha
modulo:
pA ΔS
La forza che il fluido esercita sulla faccia inferiore è
diretta verso l’alto e ha modulo:
pB ΔS
La forza netta totale (verso l’alto) è data da:
SA = pB ΔS - pA ΔS
SA = (pB - pA ) ΔS
La Spinta di Archimede
non è altro che la
risultante delle forze che il
fluido esercita sul corpo
immerso.
Per la legge fondamentale della fluidostatica:
pB – pA = ρg Δh
SA = ρg Δh ΔS = ρg V
ESEMPI E APPLICAZIONI
Principio di Pascal: se viene applicata una pressione esterna
a un fluido racchiuso in un recipiente, in ogni punto del
fluido la pressione aumenta della stessa quantità.
TORCHIO IDRAULICO
FB
FA
SA
SB
pA = FA/SA
pA = FA/SA
pA = pB
FA/SA= FB/SB
FB = SB FA
SA
ESPERIMENTO DI TORRICELLI
vuoto
A
h
pressione
atmosferica
B
pA = 0
pB = 101325 Pa
ρHg = 13590 kg/m3
pB = ρgh
pB
h = ρg = 0,76 m
1 atm = 760 mm Hg
mercurio
COME MISURARE LA DENSITA’ DI UN CORPO
P
P-S
T2
= P-S =
T1
P
S
=1=
P
ρacqua g V
=1=
ρcorpo g V
ρacqua
=1ρcorpo
ρcorpo =
T1 = P
T2 = P - S
ρacqua
1 - T2
T1
FLUIDODINAMICA
Studieremo il moto di un fluido in presenza della
forza peso. Per semplicità ci limiteremo al caso in
cui valgono le seguenti ipotesi:
1) Il fluido non è viscoso (non ci sono forza di
attrito tra le diverse parti del fluido o tra il fluido
e altri corpi con cui il fluido è in contatto)
2) Il moto dei fluidi è stazionario (ciò significa che
in ogni punto del fluido la velocità è costante nel
tempo – N.B. Questo non significa che tutti i
punti del fluido hanno la stessa velocità)
Equazione di continuità
Consideriamo il moto di un fluido in un tubo. La velocità
del fluido varia da punto a punto all’interno del fluido.
Poiché il fluido è incompressibile (la sua densità è
costante) e supponendo che non vi siano perdite nel
tubo, il volume di fluido si conserva e ciò impone delle
limitazioni alle possibili variazioni di velocità all’interno
del fluido.
Supponiamo per semplicità che la velocità del fluido sia
uniforme in ogni sezione del tubo (la velocità non cambia
andando dal bordo del tubo verso il centro).
A
A’
vA Δt
B
B’
vB Δt
Fissiamo l’attenzione su una porzione di fluido: quella
compresa tra le sezioni A e B del tubo (indicate in
rosso). Dopo un intervallo di tempo Δt questa
porzione di fluido si sarà spostata e sarà compresa tra
le sezioni A’ e B’ del tubo (indicate in verde). Se la
velocità del fluido in A è vA e quella in B è vB , le
distanze AA’ e BB’ sono date da:
AA’ = vA Δt ; BB’ = vB Δt
A
A’
vA Δt
B
B’
vB Δt
Il volume della porzione di fluido che stiamo considerando non è variato durante
lo spostamento. Quindi il volume delimitato dalle sezioni A e A’ deve essere
uguale a quello delimitato dalle sezioni B e B’. Se SA è la sezione del tubo in A e
SB quella in B:
SA vA Δt = SB vB Δt
Ovvero
SA vA = SB vB
Poiché i punti A e B sono stati scelti in modo arbitrario senza particolari
specifiche, questa relazione vale per tutti i punti del tubo:
S v = costante
La grandezza Sv si chiama PORTATA e si misura in m3/s
B
A A’
B’
hB
hA
Il teorema di Bernoulli è un analogo del principio di conservazione
dell’energia meccanica. Consideriamo un fluido non viscoso,
soggetto alla forza peso che fluisce in un tubo.
Fissiamo l’attenzione sulla porzione di tubo compresa tra A e B.
Nell’intervallo di tempo Δt questa porzione si sposta e occupa il
volume delimitato dalle sezioni A’ e B’.
Vogliamo calcolare il lavoro compiuto dal resto del fluido su questa
sezione di fluido durante lo spostamento.
FB
B
A A’
FA
B’
hB
hA
FA = pASA
F B = p BS B
L = FA AA’ - FB BB’ = pA SA AA’ - pB SB BB’ =
= pA V- pB V = (pA - pB) V
Calcoliamo la variazione di energia meccanica nel fluido.
B
A A’
B’
hB
hA
Calcoliamo la variazione di energia meccanica nel fluido. Osserviamo che, poiché il
moto è stazionario, la parte di fluido compresa tra le sezioni A’ e B non subisce
variazioni di alcun tipo. Tutto accade come se il fluido compreso tra le sezioni A e A’
si fosse spostato ad occupare lo spazio compreso tra le sezioni B e B’.
Ricordiamo che il volume V di tale fluido è rimasto invariato nello spostamento.
Energia meccanica del fluido in A:
E(A) = (1/2) mvA2 + mghA = (1/2) ρVvA2 + ρVghA
Energia meccanica del fluido in B:
E(B) = (1/2) mvB2 + mghB = (1/2) ρVvB2 + ρVghB
La variazione di energia meccanica deve essere uguale al
lavoro:
L = E(B)-E(A)
(pA – pB) V = (1/2) ρVvB2 + ρVghB - (1/2) ρVvA2 - ρVghA
pA – pB = (1/2) ρvB2 + ρghB - (1/2) ρvA2 - ρghA
pA + (1/2) ρvA2 + ρghA = pB + (1/2) ρvB2 + ρghB
Poiché i punti A e B sono stati scelti in modo arbitrario, la
precedente espressione ha lo stesso valore in ogni punto del
fluido:
p + (1/2) ρv2 + ρgh = costante
Osservazioni:
1. Il teorema di Bernouilli è di fatto un principio di conservazione dell’energia. C’è
una differenza rispetto al principio di conservazione visto per un punto materiale.
Adesso l’espressione p + (1/2) ρv2 + ρgh oltre ad essere costante nel tempo è
anche UNIFORME, ovvero ha lo stesso valore in ogni punto del fluido.
2. I termini che compaiono nell’espressione p + (1/2) ρv2 + ρgh hanno le dimensioni
di una energia per unità di volume, ovvero di una DENSITA’ DI ENERGIA. Quindi il
teorema di Bernouilli afferma che la densità di energia è uniforme nel fluido.
3. Per un fluido in equilibrio e soggetto alla forza peso, v = 0 e dal teorema di
Bernouilli otteniamo:
pA + ρghA = pB + ρghB
pB - pA = + ρg(hB- hA)
LA LEGGE FONDAMENTALE DELLA FLUIDOSTATICA E’ UN CASO PARTICOLARE
DEL TEOREMA DI BERNOUILLI
FLUSSO LAMINARE
Modello di flusso laminare: il fluido è suddiviso in strati all’interno dei quali la velocità
è uniforme.
Le lamine più veloci tendono a trascinare con se quelle più lente per effetto delle
forze di attrito.
La forza di attrito si esercita parallelamente alle lamine.
VISCOSITA’
E’ una proprietà legata alle forze di attrito che diverse parti del fluido esercitano tra di
loro o con la parete della condotta.
In un fluido viscoso che scorre in un tubo la velocità non è costante in una sezione del
tubo: la velocità è maggiore al centro del tubo.
v
Coefficiente di viscosità
Consideriamo un fluido confinato tra due lastre parallele di area A e distanti tra
loro z. Teniamo ferma la lastra inferiore e facciamo scorrere quella superiore con
una velocità costante v applicandovi una forza F
Tale forza è necessaria perché il fluido vicino alla lastra superiore esercita su essa
una resistenza viscosa che si oppone al moto : ogni strato di fluido esercita su
quelli adiacenti ad esso una forza resistente così che la velocità del fluido vicino
alla lastra alla quale è applicata F è v mentre è quasi nulla vicino alla lastra
inferiore, variando linearmente con la quota.
A
F
v
z
F =η v A
z
η coefficiente di viscosità
[Pa s]
RESISTENZA DI UN TUBO
Consideriamo un fluido a sezione constante, orizzontale.
1
2
v1
v2
Per l’equazione di continuità:
v1 = v2
Per il teorema di Bernouilli:
p1 = p2
Se il fluido è non viscoso, in un tubo orizzontale a sezione costante, la pressione è
costante.
In realtà, a causa della viscosità, si osserva una caduta di pressione.
p2 – p1 = QR
Q = Portata
R = Resistenza
Si può dimostrare che:
R = 8 η L4
πr
L = distanza tra i punti 1 e 2
r = raggio del tubo
TURBOLENZA
All’aumentare della velocità il modello del flusso laminare non è più valido. Il moto
del fluido è disordinato e si definisce turbolento.
NUMERO DI REYNOLDS
2rρv
NR =
η
Il numero di Reynolds è adimensionale e permette di valutare se il flusso di
scorrimento è in regime laminare e turbolento
NR < 2000 FLUSSO LAMINARE
NR > 3000 FLUSSO TURBOLENTO