Il matematico impertinente
di Piergiorgio Odifreddi
professore ordinario di logica matematica all’Università di Torino
e visiting professor alla Cornell University di Ithaca (New York)
La chiave dello scrigno lucente
Come la terza legge di Keplero aiutò a seppellire una polemica secolare
16 Le Scienze
546 febbraio 2014
Tarker/Corbis
N
el 1619 Keplero pubblicò uno strano libro, inti- ri. Essi si posero il problema se la stessa legge valesse anche per le
tolato Harmonices Mundi, che portava a compi- orbite ellittiche, e non riuscendo a risolverlo lo girarono nel 1684
mento il programma dei Pitagorici. Questi ultimi a Newton, che nel suo capolavoro del 1687, i Princìpi matematiavevano scoperto le prime leggi matematiche del- ci della filosofia naturale, sviscerò matematicamente l’argomento.
la musica: in particolare, che i rapporti numeriNewton dimostrò che per le orbite circolari la terza legge di
ci corrispondenti ai rapporti armonici dell’unisono (lo stesso do), Keplero è equivalente alla legge dell’inverso del quadrato deldell’ottava (due do consecutivi) e della quinta (il sol successivo a la distanza. E che per orbite qualunque la legge dell’inverso del
un do) sono, rispettivamente, 1, 2 e 3/2. E il motivo è che per far quadrato della distanza è caratteristica di tutte e sole le orbite derisuonare una corda di violino un’ottava sopra bisogna dividerla scrivibili con un’equazione quadratica: cioè, oltre ai cerchi, anche
a metà, mentre per farla risuonare una quinta sopra bisogna divi- ellissi, parabole e iperboli. Inoltre, la terza legge di Keplero impliderla a due terzi.
ca che la costante di proporzionalità sia la stessa per tutti i pianeti:
I Pitagorici avevano applicacioè che ci si trovi di fronte agli
to le proprie teorie musicali all’aeffetti di un’unica forza di attrastronomia, e sulla loro scia Keplezione solare.
ro considerava il sistema solare
Per poter però dedurre una
come una lira di Apollo cosmica,
legge di gravitazione universale,
in cui i pianeti risuonavano con
Newton dovette lavorare ancora.
suoni emessi da corde ideali che li
Notò che la terza legge di Keplero
collegavano al Sole. Analizzando
vale non solo per i pianeti attori dati astronomici in suo possesno al Sole, ma anche per i satelliti
so, Keplero si accorse che i rapdi Giove e quelli di Saturno: dunporti fra i tempi di rivoluzione dei
que, anche questi pianeti generapianeti erano legati ai raggi meno forze di attrazione analoghe a
di delle loro orbite da un rapporto
quella solare. Quanto alla Terra,
numerico più che lineare, ma meche ha un unico satellite, Newton
no che quadratico: cioè, l’espoparagonò la gravità responsabile
nente del raggio era maggiore di
della caduta delle mele con quel1 e minore di 2. In termini mula responsabile della tenuta in orsicali, questo corrispondeva a un
bita della Luna, e trovò che erano
rapporto compreso fra l’unisono e
legate dalla legge dell’inverso del
l’ottava, ed egli suppose che fosse
quadrato della distanza: dunque
una quinta: cioè, che l’esponente
si poteva immaginare che si tratdel raggio dovesse essere 3/2.
tasse di un’unica forza, anch’essa
Enunciò dunque quella che
analoga alle precedenti.
Ricercatore di armonia. Ritratto dell’astronomo
oggi chiamiamo la terza legge di
A questo punto Newton poté
e matematico tedesco Johannes Kepler.
Keplero: i quadrati dei tempi di
postulare l’esistenza di una forza
rivoluzione dei pianeti attorno al Sole sono proporzionali ai cu- di attrazione gravitazionale universale, inversamente proporziobi dei raggi medi delle loro orbite (t2 = kr3). Nel 1666 il giovane nale al quadrato della distanza. E direttamente proporzionale alNewton scoprì la formula per l’accelerazione nel moto circolare le masse, perché nel vuoto tutti i corpi cadono con la stessa velociuniforme (a = v2/r), e supponendo che le orbite planetarie fossero tà. Dall’espressione della forza gravitazionale generata da un corpo
circolari derivò banalmente dalla terza legge di Keplero che l’ac- (GM/r2), Newton derivò il valore della costante di proporzionalicelerazione dei pianeti è inversamente proporzionale al quadrato tà della terza legge di Keplero relativa a quel corpo (k = 4p2/GM).
del raggio medio delle loro orbite (a = 4p2/kr2).
Misurando empiricamente le costanti per il Sole rispetto ai piaPoco dopo anche Huygens ritrovò la formula per l’accelerazio- neti, e per la Terra, Giove e Saturno rispetto ai loro satelliti, Newne, e la pubblicò nel 1673 nella descrizione dell’orologio a pendo- ton poté calcolarne le masse. E con la terza legge di Keplero dimolo. E da essa almeno altri tre scienziati (Edmond Halley, Robert Ho- strò che se fosse stato il Sole a girare attorno alla Terra avrebbe
oke e Christopher Wren) derivarono dalla terza legge di Keplero la dovuto farlo in 600 anni, invece che in uno, seppellendo per semlegge dell’inverso del quadrato della distanza per orbite circola- pre una secolare polemica con una semplice formuletta.