Dispense di Microeconomia Avanzata (Mod. A)
2007-2008
Parte 3: Teoria della produzione
Lezione 13: Descrizione della Tecnologia
Fabio Cerina,
[email protected]
Marzo 2008
1
Introduzione
L’impresa è il secondo importante attore nella nostra visione dell’economia.
Iniziamo l’analisi dell’impresa con quegli aspetti della produzione che sono
comuni a tutti i tipi di imprese. In seguito ci so¤ermeremo sul comportamento dell’impresa concorrenziale - un caso molto particolare di impresa, ma
che rappresenta un importante riferimento analitico. Vi accorgerete come
risulterà molto più agevole muoverci attraverso gran parte del materiale
poichè esistono molte analogie formali tra la teoria della produzione e la
teoria del consumatore.
Ri‡ettiamo un attimo su cosa sia un impresa. In prima analisi, un impresa è un entità creata da individui per determinati scopi. Lo scopo principale è quello di ampliare il numero delle allocazioni possibili che il semplice
scambio tra individui mette a disposizione. Da questo punto di vista, la
produzione potrebbe essere intesa come uno scambio tra le imprese e la
natura. Nel perseguire questo scopo l’impresa acquista dalla natura fattori
di produzione (inputs) e li combina in modo da produrre output. Gli inputs
sono acquistati nel mercato degli inputs e queste spese costituiscono i costi
dell’impresa. Gli outputs sono venduti nel mercato dei prodotti e l’impresa
guadagna il ricavo da queste vendite.
Per quale motivo gli individui si imbarcano nel rilevante e gravoso impegno di creare un impresa e quali principi guidano questi individui nella
miriade di decisioni che devono essere prese nel corso dell’attività di un’impresa?
La risposta più comune tra gli economisti a questa domanda è la seguente:
esiste una di¤erenza tra il costo sostenuto dai proprietari delle imprese per
acquistare gli input e il ricavo che essi ottengono vendendo gli output nel
mercato; questa di¤erenza, che costituisce il reddito dei proprietari, rappresenta il pro…tto dell’impresa. Gli individui che creano un’impresa lo fanno
pertanto per ottenere il pro…tto più alto possibile.
La massimizzazione del pro…tto è quindi comunemente considerato
l’obiettivo principale dei proprietari dell’impresa. Questi individui sono anche consumatori e i consumatori traggono soddisfazione dai beni e dai servizi
che con il loro reddito riescono ad acquistare. Chiaramente, maggiore il profitto ottenuto dall’impresa, maggiore il reddito che i proprietari dell’impresa
otterranno e quindi più ampio sarà il vincolo di bilancio che essi dovranno
a¤rontare quando "diventano" consumatori. Da questo punto di vista, sembra ragionevole pensare che i proprietari dell’impresa cercheranno di fare
in modo che tutte le decisioni riguardanti l’acquisto e l’utilizzo combinato
degli input e la vendita degli output debba essere coerente con il …ne della
massimizzazione del pro…tto.
1
Ovviamente, la massimizzazione del pro…tto potrebbe non essere l’unico
motivo che spiega il comportamento dell’impresa e, in e¤etti, gli economisti
ne hanno considerato degli altri possibili. Il livello di vendite, la quota
di mercato o anche la massimizzazione del prestigio sono altre possibilità.
Ciascuna di questi …ni alternativi alla massimizzazione del pro…tto - e altri
ancora - possiedono una qualche ragionevolezza. Tuttavia, la maggioranza
degli economisti continua a considerare l’ipotesi di massimizzazione del profitto quella più ragionevole, e per questo continuano ad utilizzarla nei loro
lavori.
Ci sono buone ragioni per questa tenacia. Da un punto di vista empirico, assumere che le imprese massimizzino il pro…tto conduce ad implicazioni e predizioni che risultano costantemente confermate dall’evidenza.
Da un punto di vista teorico, c’è innanzitutto il vantaggio secondo cui questa
ipotesi sia coerente con il self-interest e la massimizzazione dell’utilità. Inoltre, molte ipotesi alternative, come la massimizzazione del fatturato o della
quota di mercato, possono essere meglio considerate come tattiche di breve
periodo (…ni intermedi) nell’ottica di una strategia di massimizzazione del
pro…tto nel lungo periodo, piuttosto che …ni ultimi. In…ne, possono essere
individuate delle forze di mercato che costringono l’impresa a perseguire il
…ne della massimizzazione del pro…tto anche se i loro managers non sono naturalmente inclini a ciò. Si assuma che l’impresa non massimizzi il pro…tto.
Allora, se la responsabilità è dei managers e se almeno la maggioranza attiva
dei proprietari dell’impresa sono consumatori con preferenze non-saturabili,
questi proprietari hanno un chiaro incentivo comune a scacciare il management e rimpiazzarlo con uno che persegua la massimizzazione del pro…tto.
Se la responsabilità è dei proprietari stessi, allora c’è un chiaro incentivo
per un imprenditore esterno all’impresa di acquistarla e modi…care i suoi
obiettivi.
Analogamente all’ipotesi di massimizzazione dell’utiltà per i consumatori, la massimizzazione del pro…tto è l’ipotesi più robusta che possiamo fare
nel momento in cui ci apprestiamo a esaminare e in ultima analisi predire il
comportamento dell’impresa. In qualsiasi scelta l’impresa debba compiere,
assumeremo pertanto che le sue decisioni siano sempre guidate dall’obiettivo
di massimizzare il pro…tto. Quale sia la particolare azione più funzionale a
questo scopo dipenderà dalle particolari circostanze a¤rontate dall’impresa.
- primo, con riferimento a ciò che è tecnologicamente possibile; secondo, con
riferimento alle condizioni nel mercato dei suoi input; e, in…ne, con riferimento alle condizioni del mercato dei suoi prodotti. Un’analisi concettuale
chiara del comportamento dell’impresa non può prescindere da una attenta
distinzione tra l’obiettivo dell’impresa - che rimane sempre lo stesso (mas2
simizzazione del pro…tto) - e i suoi vincoli, che sono diversi e che dipendono
dalle condizioni del mercato al di là del proprio controllo.
2
Tecnologia e piani di produzione
La produzione è il processo con il quale gli inputs vengono trasformati in
outputs. Il modi in cui tale trasformazione può avvenire dipende dalla tecnologia utilizzabile dall’impresa. Lo stato della tecnologia determina e restringe le possibilità in cui gli inputs possino essere combinati per produrre
output.
Sono diversi i modi in cui possiamo rappresentare formalmente questo
vincolo.
Il modo più generale è quello di pensare che ciascuna impresa abbia
a disposizione un insieme delle possibilità di produzione (più semplicemente, insieme di produzione), Y
Rm ; dove ciascun vettore y =
(y1 ; :::; ym ) 2 Y è un piano di produzione i cui elementi indicano l’ammontare
dei diversi net outputs (outputs netti). Se un’impresa utilizza yji unità del
bene j come input e produce yjo unità del bene j come output, allora il net
output del bene j è dato da yj = yjo yji : Se il net output del bene j è
positivo, allora l’impresa sta producendo più del bene j rispetto a quanto
utilizzi quel bene come input; se il net output è negativo, allora l’impresa
utilizza più di quel bene come input, rispetto a quanto ne produce. Vale la
pena di sottolineare che è sempre possibile classi…care i beni in modo tale
che l’impresa abbia input e output ben distinti.
L’insieme di produzione è l’analogo per l’impresa rispetto a quello che è
stato l’insieme di consumo per il consumatore. Esso rappresenta una completa descrizione di tutte le possibili azioni dell’impresa (in termini di piani
di produzione) e tali possibilità dipendono crucialmente dalla tecnologia
disponibile.
Presentiamo ora una lista abbastanza esaustiva delle proprietà comunemente introdotte sugli insiemi di produzione. L’appropriatezza di ciascuna
di queste assunzioni dipende dalle particolari circostanze.
2.1
Proprietà degli insiemi di produzione
1. Y è non-vuoto: se non lo fosse non avrebbe senso studiare il comportamento dell’impresa
2. Y è chiuso: Y include la sua frontiera. Pertanto y n ! y e y n 2 Y
implicano y 2 Y: Si tratta di un’assunzione introdotta principalmente
3
per motivi tecnici.
3. No free lunch: se y 2 Y e y
0; allora y = 0: Non è possibile
produrre qualcosa dal nulla. Geometricamente Y \ <m
f0g (…g.
+
?.1a e ?.1b)
4. Possibilità di inazione: 0 2 Y: E’ possibile la chiusura completa
dell’impresa. Questa ipotesi potrebbe apparire innocua, ma la sua appropriatezza dipende crucialmente dal momento in cui viene analizzato
Y: Se ci riferiamo all’insieme di produzione di una impresa potenziale
che non si è ancora organizzata allora questa ipotesi risulta sensata.
Lo è di meno se si tratta di un’impresa esistente e alcune decisioni
sono state prese e alcuni contratti già …rmati (…g. 5.B.3 a e b)
5. Free disposal: l’utilizzo di una quantità maggiore di input senza
alcuna riduzione dell’output è sempre possibile: se y 2 Y e y 0
Y
(non si utilizzano meno input e non si produce più output), allora
y 0 2 Y (…g. 5.B.4). Interpretazione: quantità extra di inputs possono
essere utilizzate o eliminate a costo zero.
6. Irreversibilità: Si assuma y 2 Y e y 6= 0: Allora y 2
= Y: Non è
possibilile invertire il processo di produzione per trasformare l’output
nello stesso ammontare di input che era stato utilizzato per produrlo.
Se la descrizione di una merce include anche la data in cui è disponibile, allora l’irreversibilità è conseguenza dal requisito che gli inputs si
utilizzino prima che emerga l’output.
7. Rendimenti di scala non crescenti: se per ogni y 2 Y; allora
y 2 Y per ogni
2 [0; 1] : A parole, è possibile ridurre la scala
di qualsiasi piano di produzione. Si noti che questa ipotesi implica
divisibilità e possibilità di inazione (…g. 5.B.5)
8. Nondecreasing returns to scale: se per ogni y 2 Y; allora y 2 Y
per ogni
1: A parole, è possibile aumentare la scala di qualsiasi
piano di produzione. (fog. 5.B.6 a e b)
9. Constant returns to scale: vale quando sono valide la (8) e la (9)
insieme: y 2 Y implica y 2 Y per ogni
0: Geometricamente, Y
è un cono (…g. 5.B.7)
10. Additività: Supponiamo y 2 Y e y 0 2 Y: Allora y + y 0 2 Y: Oppure
Y +Y
Y: Ciò implica che ky 2 Y per ogni intero k (…g. 5.B.8) Se
0
y e y sono possibili, allora è possibile utilizzare due unità produttive
4
che non interferiscono tra loro e che producono rispettivamente y e
y 0 : Il risultato sarà (quantomeno) y + y 0 : Associato all’idea di entry.
Se c’è free entry, allora l’insieme di produzione aggregato deve essere
additivo.
11. Convessità: se y; y 0 2 Y e [0; 1], allora y + (1
) y 0 2 Y . Incorpora due idee: Nonincreasing returns. Se 0 2 Y (inazione possibile),
allora possiamo scrivere y = y+(1
) 0: Quindi convessità implica
rendimenti non crescenti
Se y e y 0 producono la stessa quantità di output utilizzando diversi
input, allora una vettore di produzzione che utilizza un livello
di ciascun input che sia una qualche media ponderata dei livelli
utilizzati da y e y 0 produce almeno la stessa quantità. (Ex, 5.B.3)
12. Y è un cono convesso: Se per ogni y; y 0 2 Y e per ;
0; abbiamo
y + y 0 2 Y (…g. 5.B.7) congiunzione di convessità (11) e CRS (9).
E’possibile dimostrare che l’insieme di produzione Y è additivo ed esibisce rendimenti non crescenti se e solo se è un cono convesso.
Vale la pena di sottolineare che Y descrive limiti nella tecnologia, non
nelle risorse. Se tutti gli inputs venissero esplicitamente presi in considerazione (compreso l’input imprenditoriale), allora dovrebbe essere sempre possibile replicare la produzione. Del resto non si sta a¤ermando che
l’e¤ettiva duplicazione di tutti gli input sia possibile, ma solo che se ciò fosse
in principio possibile, allora la produzione dovrebbe raddoppiare. Secondo
l’interpretazione di McKenzie (1959), i rendimenti decrescenti ri‡ettono la
scarsità di un input più o meno nascosto (terra, spazio, imprenditorialità,
etc.). Da questo punto di vista, l’assunzione di rendimenti costanti di scala
è quella più generale e anche più vicina alla realtà1 .
Del resto, per ogni insieme di produzione convesso Y
<m con 0 2 Y; es0
m+1
iste un insieme di produzione CRS Y
<
tale che Y = fy 2 <m : (y; 1) 2 Y 0 g
Sia Y 0 = y 0 2 <m+1 : y 0 = (y; 1) 2 Y 0 per y 2 Y e
0 (…g. 5.B.9)
Possiamo interpretare l’input aggiuntivo m + 1 come il "fattore imprenditoriale". In un contesto competitivo, il rendimento marginale di questo
fattore è il pro…tto. Il messaggio implicito è qello secondo cui, in un contesto concorrenziale, limitarsi a considerare tecnologie a rendimenti costanti
non comporti una perdita rilevante di generalità.
1
Questa visione non è molto dissimile da quella di Sra¤a (1925 e 1960) e i classici.
5
3
La funzione di produzione
L’insieme di produzione è il modo più generale di descrivere la tecnologia
dell’impresa in quanto ammette la possibilità di outputs e inputs multipli.
Spesso, è utile focalizzare l’attenzione su imprese che producono un unico
prodotto utilizzando molti inputs. In questo caso, è più conveniente descrivere la tecnologia dell’impresa in termini di funzione di produzione.
Quando c’è un solo output prodotto da molti inputs, denoteremo con y
l’ammontare dell’output e con xi l’ammontare dell’input i; cosicchè, con n
inputs, l’intero vettore degli inputs sarà dato da x = (x1 ; :::xn ) : Naturalmente, il vettore degli input così come l’ammontare degli output deve essere
ora non-negativo: x 2 Rn+ , y 2 R+ :
Una funzione di produzione associa semplicemente ad ogni vettore di
inputs l’ammontare massimo di output che esso può produrre. La funzione
di produzione f è pertanto una mappa da Rn+ in R+ : Quando scriviamo
y = f (x) intendiamo quindi che y unità di output (e non di più) possono
essere prodotte utilizzando il vettore di input x:
Nel corso dell’analisi manterremo sempre la seguente assunzione sulla
funzione di produzione f
De…nition 1 (Proprietà della funzione di produzione) La funzione di produzione f : Rn+ ! R+ è continua, strettamente crescente, strettamente quasiconcava in Rn+ ; e f (0) = 0:
La continuità di f assicura che piccoli cambiamenti nel vettore degli
inputs conducano a piccoli cambiamenti nell’ammontare di output prodotto.
Richiediamo che f sia strettamente crescente per assicurare che impiegando una quantità strettamente maggiore di ciascun input si produca una
quantità strettamente maggiore di output.
La quasiconcavità stretta di f è introdotta principalmente per ragioni
di convenienza analitica. Analogamente allla nostra assunzione di convessità stretta delle preferenze, è possibile farne a meno senza grandi cambiamenti nei risultati presentati. Tuttavia, possiamo interpretarne il signi…cato
economico. Essa ci dice che una combinazione convessa di due input può
produrre almeno lo stesso ammontare di output prodotto da ciascuno dei
due vettori originali. Ma sotto quali condizioni ciò sarà vero? Si assuma
che i processi di produzione siano divisibili nel tempo. Allora ciascuna combinazione convessa di due vettori di input può essere considerata come un
vettore input ibrido in cui il primo vettore di input è utilizzato per una
qualche frazione di tempo e l’altro è utilizzato per la rimanente frazione di
6
tempo. La quasiconcavità ci dice quindi che due vettori di input, ciascuno
capace di produrre almeno y unità di output nell’intero tempo considerato,
devono essere capaci di produrre almeno atrettando se uno viene utilizzato
per una frazione t di tempo e l’altro per una frazione (1 t) di tempo. La
quasiconcavità stretta della funzione di produzione implica quindi la convessità stretta dell’insieme di produzione e quest’ultima, a sua volta, implica
in…nita divisibilità dei processi di produzione. Quest’ultima assunzione è
talvolta particolarmente restrittiva.
L’ultima condizione stabilisce che per produrre un ammontare positivo di
output è necessario utilizzare una quantità strettamente positiva di almeno
un input. (No free-lunch)
3.1
Prodotto marginale, isoquanto e saggio marginale di sostituzione
Quando la funzione di produzione è di¤erenziabile, la sua derivata parziale,
@f (x) =@xi ; è chiamata prodotto marginale dell’input i e rappresenta il
tasso al quale l’output varia se viene utilizzata un’unità aggiuntiva dell’input
i: Se f è strettamente crescente e ovunque di¤erenziabile, allora @f (x) =@xi >
0 per "quasi" tutti i vettori di input. Assumeremo per semplicità che valga
sempre la diseguaglianza stretta.
Per ogni livello …sso di output, y, l’insieme dei vettori di input che producono (al massimo) y unità di output è chiamato isoquanto di livello
y: Un isoquanto è quindi semplicemente un insieme livello di f: Denotiamo
questo insieme con Q (y)
Q (y)
fx
0 : f (x) = yg
Per un vettore di input x; l’isoquanto che attraversa x è l’insieme di
vettori di input che producono lo stesso ammontare di output prodotto da
x; vale a dire, Q (f (x)) :
L’analogo del saggio marginale di sostituzione per la teoria del consumo,
è, per la teoria della produzione, il saggio marginale di sostituzione
tecnica. Esso misura il tasso al quale un input può essere sostituito con
un altro senza modi…care la quantità di output prodotto. Formalmente, il
saggio marginale di sostituzione tecnica tra un input i e un input j; quando
il vettore di input utilizzato è x; si denota con M RT Sij (x) ed è de…nito
come il rapporto fra i prodotti marginali
M RT Sij (x) =
7
@f (x) =@xi
@f (x) =@xj
Nel caso a due input, come rappresentato in …g. ?.1, M RT S12 (x) è il
valore assoluto dell’inclinazione dell’isoquanto che attraversa x1 valutato nel
punto x1 :
(Figura 3.1 JR)
In generale, il MRTS tra due inputs qualsiasi dipende dall’ammontare di
tutti gli inputs impiegati. Tuttavia, è abbastanza comune, soprattutto nel
lavoro empirico, assumere che gli inputs possano essere classi…cati secondo
un ristretto numero di tipologie e in modo tale che il grado di sostituibilità
tra inputs appartenenti a diverse tipologie sia sistematicamente diverso dal
grado di sostituibilità tra inputs dello stesso tipo. Le funzioni di produzione
de…nite in tal senso sono chiamate separabili
De…nition 2 (Funzioni di produzione separabili) Si ammetta che gli inputs
vengano indicizzati con N = f1; ::::; ng e si assuma che questi inputs possano
essere partizionati in S > 1 sottoinsiemi esaustivi e mutuamente escludibili
N1 ; ::::; NS : La funzione di produzione è chiamata debolmente separabile se il
MRTS tra due input all’interno dello stesso gruppo è indipendente dall’input
utilizzato nell’altro gruppo
@ (fi (x) =fj (x))
@M RT Sij (x)
=
= 0 per ogni i; j 2 Ns e k 2
= Ns
@xk
@xk
Dove fi e fj sono i prodotti marginali degli input i e j.
Il MRTS è una misura locale di sostituibilità tra inputs in corrispondenza di un certo livello di output. Gli economisti, tuttavia, preferiscono
talvolta misurare queste grandezze con elasticità prive di unità di misura.
Sebbene esistano diverse misure si¤atte, la più comune è l’elasticità di sostituzione : L’elasticità di sostituzione fra due input xi e xj ; tenendo costanti
tutti gli altri inputs, essa è de…nita come il cambiamento percentuale nella
proporzione degli input xj =xi associata alla variazione dell’1% nel saggio
marginale di sostituzione tra i due stessi input.
De…nition 3 Per una funzione di produzione f (x) ; l’elasticità di sostituzione tra gli inputs i e j nel punto x è de…nito come
ij
=
d ln (xj =xi )
d (xj =xi ) fi (x) =fj (x)
=
;
d ln (fi (x) =fj (x))
xj =xi d (fi (x) =fj (x))
Dove fi e fj sono i prodotti marginali degli inputs i e j:
8
Quando la funzione di produzione è quasiconcava, l’elasticità di sostituzione non può mai essere negativa, cosìcchè ij
0: In generale, più
è vicina a zero, più di¢ cile è la sostituzione tra gli inputs; maggiore è ;
più facile è sostituirli. L’intuizione è facile da cogliere nel caso bidimensionale. Nella …g ?.2(a), l’isoquanto è lineare e c’è perfetta sostituibilità tra gli
inputs. In questo caso = 1. Nella …g. ?.2(c), i due inputs producono
solo se utilizzati in proporzioni …sse: aumentare un input senza modi…care
l’altro non aumenta la produzione. In questo caso sostituire un input con
un altro è impossibile senza ridurre la produzione, quindi = 0: Nella …g.
?.2(b), è rappresentato un caso intermedio in cui 0 < < 1 e gli isoquanti
non sono nè linee rette nè angoli retti. In generale, più è vicina a zero,
più la forma degli isoquanti si avvicina ad una "L" e più di¢ cile diventa la
sostituzione reciproca; maggiore ; più piatto risulta l’isoquanto e più facile
risulta la sostituzione fra gli inputs.
3.1.1
Esempio: La funzione di produzione CES
Conosciamo già la funzione di utilità CES per averla introdotto studiando la
teoria della domanda. E’giunto il momento di capire da dove deriva il suo
nome. Lo facciamo prendendo in considerazione la funzione di produzione
CES
1=
per < 1
y = (x1 + x2 )
Per calcolare l’elasticità di sostituzione, notiamo innanzitutto che ln (x2 =x1 ) =
ln x2 ln x1 cosicchè prendendo il di¤erenziale totale del numeratore di
otteniamo
d ln
x2
x1
= d ln x2
d ln x1 =
1
dx1
x1
1
dx2
x2
Il denominatore è invece dato da
d ln
f1
f2
= d ln
1=
x1
1
1=
x2
1
(1= ) (x1 + x2 )
(1= ) (x1 + x2 )
= d ln x1
1
d ln x2
1
=(
!
1)
= d ln
1
dx1
x1
Sviluppando il rapporto otteniamo
12
1
x2 dx2
=
(
1)
1
x1 dx1
1
x1 dx1
9
1
x2 dx2
=
1
1
x1
1
x2
1
!
1
dx2
x2
Tale rapporto è costante. Da cui le iniziali: CES sta appunto per constant elasticity of substitution
Con la forma CES, il grado di sostituibilità tra gli inputs è sempre lo
stesso a prescindere dal livello di output o dalle proporzioni degli inputs.
Si tratta quindi di una descrizione della tecnologia per certi versi molto
restrittiva. D’altra parte, valori diversi del parametro
e quindi valori
diversi del parametro possono essere utilizzati per rappresentare tecnologie
caratterizzate da un grado di sostituibilità molto diverso (sebbene sempre
costante). Quanto più si avvicina ad 1; maggiore è ; quando = 1; è
in…nito e la funzione di produzione è costante, con isoquanti simili a quelli
in …g. ?.2(a)
1=
lim (x1 + x2 ) = x1 + x2
!1
Altre funzioni di produzione popolari possono essere viste come casi speciali della forma CES. In particolare, è facile veri…care (fatelo per esercizio)
che
!1
n
n
X
X
y=
x
dove
i i
i =1
i=1
i=1
1
è una forma CES con ij = 1
per ogni i 6= j: E’ possibile mostrare
(fatelo per esercizio) che se ! 0; ij ! 1 e questa forma CES si riduce
nella forma Cobb-Douglas linearmente omogenea
y=
n
Y
xi i
i=1
Se invece ! 1; ij = 0 e otteniamo dalla forma CES la funzione di
Leontief come caso particolare
y = min f
1 x1 ; ::::;
n xn g
con isoquanti simili a quelli in …g. 3.2(c)
Tutte le funzioni CES, inclusi i casi limite di Cobb-Douglas e Leontief,
fanno parte della più ampia classe delle funzioni di produzione linearmente
omogenee (omogenee di primo grado) e queste funzioni sono particolarmente
importanti per il lavoro teorico e applicato. L’omogeneità lineare impone
una struttura notevolmente maggiore sulla funzione di produzione. In particolare è possibile dimostrare, non lo facciamo, che le funzioni di produzione
linearmente omogenee sono sempre funzioni concave.
10
Proposition 4 Sia f (x) una funzione di produzione continua, strettamente
crescente e strettamente quasiconcava e si assuma che essa sia omogenea di
grado uno. Allora f (x) è una funzione concava.
Le altre proprietà delle funzioni linearmente omogenee sono trattate nella
prossima sezione
3.2
Rendimenti di scala e a proporzioni variabili
Spesso risulta utile sapere come l’output risponde a variazioni nell’ammontare
dei diversi inputs.
Per esempio, nel breve periodo, l’orizzonte temporale con riferimento
al quale almeno un input risulta …sso, l’output può variare solo in seguito
alla modi…ca di alcuni inputs, ma non di tutti. Al cambiare dell’ammontare
di un input variabile, variano anche le proporzioni con cui un l’input …sso e
quello variabile vengono utilizzati. I "rendimenti a proporzioni variabili" si
riferiscono al modo in cui l’output risponde in questa situazione.
Nel lungo periodo, l’impresa è libera di variare tutti gli inputs e per
analizzare come l’output risponde alla variazione di tutti gli input possiamo
classi…care le funzioni di produzione secondo i rendimenti di scala ad esse
associati. In particolare, i rendimenti di scala si riferiscono al modo in
cui l’output si modi…ca quando le quantità utilizzate degli inputs vengono
modi…cate tutte secondo le stesse proporzioni, vale a dire, quando l’intera
"scala" dell’operazione è aumentata o diminuita proporzionalmente.
Nel caso a due beni, il signi…cato di questi due diversi concetti di rendimento può essere descritto gra…camente, come in …g. ?.3. I rendimenti
calcolati secondo proporzioni variabili riguardano il modo in cui l’output si
comporta se ci muoviamo attraverso l’isoquanto parallelamente all’asse orizzontale al livello x2 mantenendo x2 costante e facendo variare x1 : I rendimenti di scala hanno a che fare con il modo in cui l’output si comporta se
ci muoviamo attraverso la mappa degli isoquanti lungo un raggio come OA
dove il livello di x1 e x2 vengono cambiati simultaneamente, rispettando
sempre le proporzioni x2 =x1 = :
Misure elementari di rendimenti secondo proporzioni variabili includono
il prodotto marginale, M Pi (x)
fi (x) e il prodotto medio, APi (x)
f (x) =xi , di ciascun input. L’elasticità dell’output rispetto all’input i; che
misura la variazione percentuale dell’output associata ad una variazione
dell’1% nell’input i; è data da
i (x)
=
fi (x) xi
M Pi (x)
=
f (x)
APi (x)
11
Ciascuna di queste misure locali è de…nita in corrispondenza di un certo
punto. Le proprietà di scala della tecnologia possono essere de…nite sia localmente sia globalmente. Si dice che una funzione di produzione ha rendimenti
costanti, crescenti o decrescenti secondo le seguenti de…nizioni
De…nition 5 Una funzione di produzione f (x) ha le seguenti proprietà
(globali)
1. Rendimenti di scala costanti se f (tx) = tf (x) per ogni t > 0 e ogni x
2. Rendimenti di scala crescenti se f (tx) > tf (x) per ogni t > 1 e ogni
x
3. Rendimenti di scala decrescenti se f (tx) < tf (x) per ogni t > 1 e ogni
x
Si noti che una funzione di produzione esibisce rendimenti costanti di
scala se è una funzione linearmente omogenea. Si noti attentamente, tuttavia, che ogni funzione di produzione omogenea di grado maggiore (minore)
di 1 deve esibire rendimenti crescenti (decrescenti), sebbene il contrario non
sia necessariamente vero.
Si noti in…ne che molte delle funzioni de…nite dall’assunzione introdotta
inizialmente (quindi crescenti, continue e quasiconcave) non ricadono in nessuna delle tre categorie. Molte tecnologie possono esibire rendimenti crescenti, costanti o decrescenti relativamente a certi valori dell’output. E’pertanto utile avere anche delle misure locali dei rendimenti di scala. Una di
queste misure, de…nite in corrispondenza di un particolare vettore di inputs,
misura il cambiamento percentuale marginale nell’output associato al cambiamento dell’1% in ciascun input. E’conosciuta come elasticità di scala o
elasticità globale dell’output
De…nition 6 L’elasticità di scala nel punto x è de…nita come
n
(x)
d ln [f (tx)] X fi (x) xi
=
:
t!1
d ln (t)
f (x)
lim
i=1
I rendimenti di scala sono localmente costanti, crescenti o decrescenti a
seconda che (x) sia uguale, maggiore o minore di 1: L’elasticità di scala e
l’elasticità dell’output rispetto agli inputs sono legate nel seguente modo
(x) =
n
X
i=1
12
i (x)
3.2.1
Esempio: Rendimenti di scala variabili
Si consideri la funzione a rendimenti di scala variabili
y = k 1 + x1 x2
0
1
dove > 0, > 0 e k è il limite superiore sul livello dell’output, cosicchè
y k:
Calcolando le elasticità dell’output rispetto a ciascun input otteniamo
1 (x)
=
1 + x1 x2
2 (x)
=
1 + x1 x2
1
1
x1 x2
x1 x2
Ciascuno dei quali varia chiaramente sia rispetto alla scala di produzione
che rispetto a proporzioni variabili. Sommando le due elasticità otteniemo
l’elasticità di scala
(x) = ( + ) 1 + x1 x2
1
x1 x2
che, ugualmente, varia con x:
Si noti che possiamo scrivere le elasticità come funzione dell’output y:
In tal caso otteniamo delle espressioni molto più chiare. Possiamo infatti
scrivere
k
x1 x2 =
1:
y
Sostituendo nelle elasticità agli inputs otteniamo
y
1
1 (y) =
k
y
1
2 (y) =
k
Sommandole
y
k
Da questa espressione risulta chiaro come il rendimento di ciascun input,
e il rendimento di scala globale, diminuisce monotonicamente all’aumentare
dell’output. In particolare, se y = 0; abbiamo
(0) = ( + ) > 0
e per y ! k; abbiamo
(y) ! 0: Se +
> 1; la funzione di produzione esibisce rendimenti crescenti di scala per bassi livelli di output
1
1
0 y<k 1
; rendimenti di scala locali costanti per y = k 1
+
+
(y) = ( + ) 1
e rendimenti decrescenti per alti livelli di output k 1
13
1
+
<y<k
;