Microeconomia, Esercitazione 4 (11/03/2014)
Scelta combinazione input, costi dell’impresa.
Dott. Giuseppe Francesco Gori
Domande a risposta multipla
1) Per un'impresa l'isocosto:
a) È l'insieme delle quantità ottimali di produzione ;
b) È l'insieme delle combinazioni di fattori che generano una data quantità di prodotto;
c) Ha inclinazione pari a 1 + ;
d) L'insieme delle combinazioni di fattori che hanno lo stesso costo.
2) Se i prezzi dei fattori si dimezzano la retta di isocosto
a)
b)
c)
d)
e)
Diventa più inclinata;
Diventa meno inclinata;
Si sposta parallelamente verso destra;
Si sposta parallelamente verso sinistra;
Rimane invariata.
3) Se produco 20 unità di prodotto ho un costo totale pari a 100 euro, se ne produco 30 il costo
totale è 155 euro. Quindi, nell’intervallo produttivo considerato, ho
a) Economie di scala
b) Diseconomie di scala
c) Rendimenti costanti di scala
d) Prodotto marginale decrescente
e) Nessuna delle risposte indicate è corretta.
4) Un’impresa potrebbe decidere di chiudere nel breve periodo:
a) Se la massimizzazione del profitto si verifica a un livello di produzione a cui il prezzo è
minore del costo totale medio ma maggiore del costo variabile medio.
b) Se la massimizzazione del profitto si verifica a un livello di produzione a cui il prezzo è
minore del costo totale medio.
c) Se la massimizzazione del profitto si verifica a un livello di produzione a cui il prezzo è
minore del costo variabile medio.
d) Se la massimizzazione del profitto si verifica a un livello di produzione a cui il prezzo è
uguale al costo totale medio e l’impresa non prevede cambiamenti del prezzo di mercato nel
futuro.
5) Una impresa opera con la seguente funzione di produzione = ∙ , dove Q è la quantità
prodotta. Supponendo che i prezzi dei fattori siano pari a 2 per K e 5 per L, e che la quantità
prodotta dall’impresa sia 250, determinare le quantità utilizzate dei due fattori produttivi.
a)
b)
c)
d)
L=12; K=30;
L=10; K=25;
L=8; K= 16;
L=20; K=15.
6) Un’impresa utilizza capitale e lavoro. Supponiamo che il prezzo di un’unità di capitale sia pari
a 1 e che il prezzo di una unità di lavoro sia pari a 2. L’impresa attualmente impiega entrambi
gli input e in corrispondenza di tale combinazione il prodotto marginale del capitale è pari a 2 e
il prodotto marginale del lavoro è pari a 1. Secondo voi la combinazione degli input impiegata
minimizza il costo di produzione? In caso di risposta negativa se l’impresa vuole mantenere
inalterato il livello attuale di produzione le conviene aumentare il capitale o il lavoro?
a) Non minimizza, aumentare K;
b) Non minimizza aumentare L;
c) Minimizza;
7) Un’impresa opera nel breve periodo con la seguente funzione di produzione: = ∙ / e
sostiene, oltre ai costi del lavoro, un certo ammontare di costi fissi (CF). Si individui la curva di
costo medio totale.
a)
b)
c)
d)
=
=
=
=
⋅
∙
;
+
+
;
;
+
;
8) Sia = ∙ √ la funzione di produzione di un’impresa che dispone di 100 unità di capitale
acquistate al prezzo = 1.000. Sapendo che il salario medio per unità di lavoro è di 10.000
euro, si definisca la funzione dei costi medi totali di questa impresa.
a)
= + ;
= + !!.!!!
;
c)
= + √ ;
d) Nessuna delle precedenti.
b)
9) Un’impresa ha la seguente funzione di costo di breve periodo: CT = 1.600 + q + 8 · qe il
seguente costo marginale: C( = 2 · q + 8. Attualmente l’impresa produce 20 unità. Secondo voi
in corrispondenza di tale livello di produzione il costo medio sostenuto è minimo? In caso di
risposta negativa quale suggerimento date all’impresa?
a)
b)
c)
d)
Non minimizza, aumentare la produzione;
Non minimizza ridurre la produzione;
Minimizza aumentare la produzione;
Minimizza, lasciare invariata la produzione.
10) Un’impresa ha la seguente funzione di costo totale: CT = 100 − 20 ∙ q + q . Si determini il
livello di produzione e l’ ammontare dei profitti realizzati nel caso in cui l’azienda operi con l’
obiettivo di massimizzare i profitti e venda il suo prodotto ad un prezzo di mercato pari a 10 (si
consideri che C′ = 2 ∙ q − 20).
a)
b)
c)
d)
-
= 30; / = 600;
= 10; / = 1000;
= 15; / = 575;
= 8; / = 200;
Soluzioni: d,c,b,c,b,a,d,b,a,c.
Esercizi
Esercizio 1 (ottima combinazione dei fattori produttivi)
Una impresa ha una funzione di produzione data da
I prezzi degli input sono w = 1 e r = 4,
( , )= 1) Si derivi e si rappresenti graficamente l’isoquanto associato al livello di produzione Q = 4.
2) Sapendo che il saggio marginale di sostituzione tecnica tra i fattori vale SMSTLK = K/L, si
calcoli e si rappresenti la scelta ottima dei fattori quando il livello desiderato di produzione è
pari a 4.
3) Quanto vale il costo di produzione in corrispondenza della scelta ottima?
Svolgimento
Punto 1
Si tratta di eguagliare la funzione di produzione ( , ) = ∙ a 4 e risolvere per K in funzione
di L ovvero ∙ = 4 da cui = 4/ che è una iperbole che passa per i punti (1,4), (2,2), (4, 1).
Punto 2
Per trovare la combinazione ottimale dei fattori si deve risolvere il sistema
7
6 6 =
che nel nostro caso diventa
Punto 3
Il costo è dato da
ovvero
5
( , )=4
1
=
A∗ = >
4→8
4→< =
→@
8
4
4
: ;
:∗ = ;
=
=
:= = >?
; :
=
= 7 ∙ + ∙
= 1 ∙ 4 + 4 ∙ 1 = 8
K
K =2
8 = 1⋅ L + 4 ⋅ K
K* =1
F (L, K ) = 4
L =8
L* = 4
L
Esercizio 2 (ottima combinazione dei fattori produttivi e curve di costo)
Un’impresa utilizza una tecnologia descritta dalla seguente funzione di produzione:
( , )= ∙
i prezzi dei fattori lavoro e capitale sono rispettivamente 7 = 4e = 9.
1) determinare la combinazione ottima di fattori nel caso in cui l’impresa possa sostenere una
spesa massima per l’acquisto dei fattori pari a 1200;
2) determinare l’espressione delle curve di costo totale e medio di lungo periodo.
Svolgimento
Punto 1
La scelta ottimale dei fattori può essere ottenuta risolvendo il problema di massimizzazione
dell’output sotto un vincolo di costo, imponendo che l’impresa possa sostenere una spesa massima
per l’acquisto dei fattori pari a 1200. Il sistema da risolvere in questo caso è:
da cui si ottiene
∗
= 150 e
5
6 6 =
7
=7∙ + ∙
∗
→5
=
4
9
1200 = 4 ∙ + 9 ∙
= 66, 6D . A cui corrisponde una produzione di:
K
K = 133, 3
( , ) = 150 ∙ 66, 6D = 12,2 ∙ 8,2 = 100
1.200 = 4 ⋅ L + 9 ⋅ K
K * = 66, 6
F (L, K ) = 100
L = 300
L* = 150
L
Punto 2
Si noti che per determinare le curve di costo di lungo periodo occorre innanzitutto determinare
come si modifica la domanda ottimale di lavoro e capitale (che nel lungo periodo non è più un input
fisso) in funzione del livello di produzione. Dato che abbiamo bisogno di q, scriviamo il sistema
sostituendo il vincolo di costo con la funzione di produzione.
8
=
4
9
( , ) = - =
1
2
∙
1
2
da cui, sostituendo la condizione di tangenza ( = F ∙ ) nella funzione di produzione, ricaviamo le
domande ottimali di K e L in funzione di q:
E
3
2
= ∙ -; = ∙ 2
3
Si noti che, infatti, sostituendo il valore di - = 100 otteniamo gli L e K ottimali che abbiamo
trovato al punto (1).
L, K
L=
3
⋅q
2
L = 150
K =
2
⋅q
3
K = 66, 6
q = 100
F (L, K ) ≡ q
La curva di costo totale di lungo periodo è quindi:
3
2
(-) = 7 · + · = 4 · ∙ - + 9 · ∙ - = 12 ∙ -
2
3
e nel lungo periodo
G = 12. Si noti che sostituendo il valore di - = 100 otteniamo il costo
totale ottimali che avevamo imposto al punto (1).
CT, CMe, CMg
CT (q)
CT = 1.200
CM e = CMg = 12
q = 100
F (L, K ) ≡ q
Esercizio 3 (ottima combinazione dei fattori produttivi e curve di costo)
Si consideri un’impresa con la seguente funzione di produzione:
-( , ) = 2 ∙
∙
i prezzi dei fattori lavoro e capitale sono rispettivamente 7 = 2 e = 1.
1) Determinare le funzioni di costo totale e medio di breve periodo, supponendo che nel breve
periodo l’impresa sia vincolata ad utilizzare una quantità di lavoro D = 3;
2) Determinare le funzioni di costo totale e medio di lungo periodo.
Svolgimento
Punto 1
Se il fattore di produzione lavoro è fisso nel breve periodo, la funzione di produzione diventa:
- =2 ∙ D ∙
= 2∙3 ∙
= 2 ∙ √3 ∙
quindi la domanda dell’input variabile K in funzione dell’output è:
= (-/
il costo totale di breve periodo è quindi:
HI =
·
2
) =
12
√3
+ 7 D = 1 · + 6
12
12
questo è il costo totale per l’impresa, ovvero il costo per l’acquisto dei fattori fissi e variabili nel
breve periodo. Il costo marginale e il costo medio di breve periodo sono:
′HI = ;
12
HI =
12
CTB, CM e, CM g, K
CTB(q) = K (q) =
q2
12
CM e =
q
12
F (L, K ) ≡ q
Punto 2
Nel lungo periodo tutti gli input sono variabili, quindi per ricavare la funzione di costo di lungo
periodo occorre determinare prima le funzioni di domanda di entrambi i fattori in funzione
dell’output:
<
6 6 =
- = 2 ∙
1
2
7
∙
1
2
A
==
:
→8
- = 2 ∙
1
2
∙
@
1
2
A==∙:
→@
- = 2 ∙
=2∙
J = = ∙ K= ∙ :
1
2
∙
1
2
→@
=2∙
>
>
J = = ∙ := ∙ (= ∙ :)=
da cui si ricava che le funzioni di domanda dei due fattori in funzione del livello di produzione
sono:
√2
√2
=
∙ -; =
∙ -
4
2
quindi la funzione di costo di lungo periodo è
I (-) =
·
+7·
= 1·
√2
√2
∙-+2·
∙ - = √2 ∙ -
2
4
I costi marginali e medi associati a questa funzione di costo di lungo periodo sono:
′
I
= √2;
I
= √2
Il fatto che i costi medi di lungo periodo sono costanti indica che la funzione di produzione in
oggetto ha rendimenti di scala costanti.
CTL, CMe, CMg, K , L
CTL (q) =
2 ⋅q
L=
2
q
2
K =
2
q
4
CMe = CMg =
2
F (L, K ) ≡ q
Esercizio 4 (ottima combinazione dei fattori produttivi e curve di costo, fattori perfetti
sostituti)
Un’impresa ha una funzione di produzione data da
lavoro e = 3 prezzo del capitale.
1)
2)
3)
4)
( , )=
+2∙
con 7 = 2 prezzo del
Si calcoli e si rappresenti graficamente l’isoquanto di livello 20.
Qual è la combinazione ottimale dei fattori scelta dall’impresa per produrre 20 unità di output?
Qual è la combinazione ottimale per produrre 50 unità di bene? A quale costo?
Si calcoli la funzione di costo di LP.
Svolgimento
Punto 1
L’isoquanto di livello 20 è dato dalla retta di equazione 20 =
intercetta verticale 10, intercetta orizzontale 20, pendenza 1/2.
+2
ovvero
= 10 −
. Ha
Punto 2
I beni sono perfetti sostituti e la combinazione ottimale dei fattori dipende dalla pendenza relativa
dell’isocosto e dell’isoquanto. Mentre l’isocosto
= 2 ∙ + 3 ∙
ha pendenza 2/3 l’isoquanto
20 =
+2
→
→
=
3
−
= 10 −
1
2
2
3
ha pendenza 1/2. I costi sono quindi minimizzati scegliendo la soluzione d’angolo che prevede solo
capitale, ovvero l’intercetta dell’isoquanto con l’asse delle ordinate ( , ) = (0,10). Il costo sarà
pari a
= 7 ∙
+ ∙
= 2 ∙
+3∙
Punto 3
In questo caso avremo ancora una soluzione d’angolo con
= 30
= 25 e
= ∙
= 75.
Punto 4
Sappiamo che, dati i prezzi di capitale e lavoro, la soluzione scelta sarà sempre quella d’angolo, che
prevede = 0 . Sostituendo quest’ultima condizione nella funzione di produzione otteniamo
= 2 ∙ . Risolvendo per K e sostituendo nella funzione di costo otteniamo
( )=
∙ ( )=3∙
2
Esercizio 5 (curve di costo)
Un’impresa ha la seguente funzione di costo di breve periodo:
= 600 + 4 · -
e il seguente costo marginale:
′ = 8 · -
Si individui il costo fisso, il costo variabile di breve periodo, il costo medio di breve periodo.
Attualmente l’impresa produce 60 unità. Secondo voi in corrispondenza di tale livello di produzione
il costo medio sostenuto è minimo? In caso di risposta negativa quale suggerimento date
all’impresa?
Svolgimento
Il costo fisso è la componente della funzione di costo che non varia al variare di q, nel nostro caso
sarà quindi
= 600. Il costo variabile è invece la componente che varia al variare di q, e sarà
L =4∙- Per ottenere il costo medio è invece necessario dividere l’intera funzione di costo per la quantità:
=
-
=
600 + 4 ∙ 600
=
+ 4-
-
Sostituendo - = 60 nelle definizioni di costo marginale e medio siamo in grado di capire se ci
troviamo in corrispondenza della quantità che minimizza il costo medio. Abbiamo che
e
Dato che ′MNO! >
MNO!
MNO!
=
′MNO! = 8 ∙ 60 = 480
600
+ 4 · 60 = 10 + 240 = 250
60
l’impresa dovrà quindi ridurre la produzione per minimizzare il costo
medio.
Esercizio 6 (curve di costo)
La funzione di costo totale di un’impresa sia
= 10 + 2 +
. Si rappresentino nel grafico
sottostante le funzioni del costo medio fisso, del costo medio variabile del costo medio totale e
marginale ( ’ = 2 + 2 ). Si individui inoltre in corrispondenza di quale quantità il costo medio
totale risulta minimo.
Svolgimento
=
Il costo medio fisso è definito come:
!
, pertanto è una funzione che tende ad infinito per Q
che tende a zero e tende a zero per Q che tende ad infinito. Il costo medio variabile è pari a
L=
!
2 + ed è una retta con inclinazione pari a 1. Il costo medio totale è invece
= 2 + + ed
ha forma a U. Il costo marginale è una retta con inclinazione positiva ed intercetta verticale pari a 2.
Per identificare il punto minimo della curva di costo medio totale è necessario trovarne
l’intersezione con la curva dei costi marginali:
2+
10
+
= 2+2∙
10 −
→
10
−
=0→
=0→
10 −
=0
= √10
Che implica un costo medio totale pari a
= 2 + 2 ∙ √10
La rappresentazione grafica delle due curve è la seguente.
CM T, C ', CM F, CM V
CM T = 2 +
10
+q
q
C' = 2+ 2⋅q
CM V = 2 + q
C ' = CMT = 2 + 2 ⋅
10
CM F =
q=
10
10
q
F (L, K ) ≡ q
Soluzioni di alcune domande a risposta multipla
Domanda (5)
Dalla funzione di produzione ricaviamo il 6 6 = . In equilibrio: 6 6 = ; = ; 2 ∙ = 5 ∙ .
S
Sappiamo, inoltre, che = 250 = ∙ . Risolvendo il sistema di due equazioni in K e L
otteniamo: = 10e = 25.
R
R
T
Domanda (6)
L’esercizio non fornisce le informazioni necessarie per individuare la combinazione di input
ottimale ma ci permette comunque di capire se l’impresa si trova in posizione ottimale o meno. Per
far questo dobbiamo confrontare il valore del saggio marginale di sostituzione tecnica con quello
del rapporto tra i prezzi dei fattori produttivi. Il primo è pari al rapporto tra il prodotto marginale del
fattore lavoro e il prodotto marginale del fattore capitale:
U
1
=
UR
2
il secondo è pari a 2. Vale dunque che 6 6 ,R < 7/ (la pendenza della retta tangente l’isoquanto
in corrispondenza della coppia (L,K) in questione è minore della pendenza dell’isocosto) ovvero
WI
siamo in punto in cui il prodotto dell’ultimo euro speso per retribuire il fattore lavoro ( X = ) è
minore dell’ultimo dollaro speso per retribuire il fattore capitale ( S Y = ). L’impresa non si trova
in corrispondenza di una combinazione ottimale di input. Se volesse mantenere lo stesso livello di
produzione (ovvero rimanere sullo stesso isoquanto) le converrebbe inoltre aumentare l’impiego del
fattore capitale a discapito del fattore lavoro dato che in questo modo otterrebbe un risparmio in
termini di costo.
WI
La funzione dei costi totali è definita come:
= L + . Il costo variabile rappresenta il costo
per l’acquisto del fattore variabile ossia L, pertanto sarà dato da: L = 7 ∙ . Quindi,
=7∙ +
. Deriviamo L dalla funzione di produzione in modo tale da ottenere una funzione di costo totale
nella quantità:
=( / )
e quindi
= 7 ∙ ( / ) + .
Domanda (7)
ed il costo medio totale:
=
7∙
+
Domanda (8)
I costi totali dell’impresa sono definiti da:
= L + = 7 ∙ + ∙ = 10.000 ∙ + 1.000 ∙
Ricaviamo la L della funzione di produzione:
= 100 ∙ √ → = 10.000
= 10.000 ∙ + 100.000
Sostituiamo la L nella funzione di costo totale:
=
Il costo medio totale è dunque
=
+ 100.000.
/ = +
100.000
.
Domanda (9)
Si individui il costo fisso, il costo variabile di breve periodo, il costo medio di breve periodo. In
.O!!
questo caso abbiamo che
= 1.600 , L = - + 8 · - e
=
+ - + 8 . In
M
corrispondenza di - = 20 all’impresa conviene aumentare la produzione dato che
′MN
!
= 48 < 108 =
MN ! Domanda (10)
L’impresa vende il bene ad un prezzo dato dalla situazione di equilibrio di mercato. Massimizzerà i
profitti in condizioni di concorrenza perfetta, producendo q tale per cui Z = ′ . Pertanto,
considerato che
10 = 2 ∙ - − 20
risulterà - = 15. I profitti saranno quindi pari a:
/=[ −
= Z ∙ - −
=
= (10 ∙ 15) − \100 − (20 ∙ 15) + 15 ] = 150 − 100 + 300 + 225 = 575