APPUNTI DI MATEMATICA
ALGEBRA LINEARE
• Le equazioni di primo grado
• Le disequazioni di primo grado
• I sistemi di primo grado
ALESSANDRO BOCCONI
Indice
1 Le equazioni di primo grado
3
1.1
Le uguaglianze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Le equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3
Equazioni di primo grado numeriche intere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4
Equazioni determinate, equazioni indeterminate e equazioni impossibili . . . . . . . . 10
1.5
Problemi risolubili tramite equazioni di primo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.1
I vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6
Domande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7
Esercizi e problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Le disequazioni di primo grado
19
2.1
Le disuguaglianze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2
Gli intervalli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1
Intervalli Limitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2
Intervalli illimitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3
Le disequazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4
Disequazioni di primo grado numeriche intere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5
Disequazioni determinate, disequazioni indeterminate e disequazioni impossibili . . . 30
2.6
Problemi risolubili tramite disequazioni di primo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.7
Domande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.8
Esercizi e problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 I sistemi di primo grado
38
3.1
Le equazioni con due incognite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2
I sistemi di primo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3
Sistemi in forma normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4
Risoluzione di un sistema: il metodo della sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5
Sistemi determinati, indeterminati e impossibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1
3.6
Il metodo del confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.7
Problemi risolubili tramite sistemi di primo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.8
Domande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.9
Esercizi e problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Capitolo 1
Le equazioni di primo grado
1.1
Le uguaglianze
Consideriamo le due seguenti scritture:
3=3
2=5
in prima battuta potremmo dire (e non sbaglieremmo nel farlo) che la prima è un’ovvia verità,
mentre la seconda è un’ovvia falsità. Preferiamo però chiamare la prima un’uguaglianza vera e la
seconda un’uguaglianza falsa. Diamo quindi la seguente:
Definizione di uguaglianza, di uguaglianza vera, di uguaglianza falsa. Due espressioni
numeriche separate dal simbolo di uguale, formano un’uguaglianza. Se le due espressioni portano
allo stesso risultato l’uguaglianza si dice vera, altrimenti si dice che è falsa.
Sono pertanto uguaglianze le seguenti:
1.
−6 = +6
2.
−3 · 5 + 2 = (20 − 7) · (−1)
3.
5 · 5 = 2 − 28
4.
3=
1
3
·6+1
Prima di verificare se sono uguaglianze vere o false diamo la seguente:
Definizione di primo termine e secondo termine di un’uguaglianza. In una uguaglianza
l’espressione che sta a sinistra dell’uguale si dice primo termine dell’uguaglianza, l’espressione che
sta a destra dell’uguale si dice secondo termine dell’uguaglianza.
Passiamo quindi a verificare le uguaglianze:
1. è ovviamente falsa
3
Alessandro Bocconi
4
2. Primo termine: −3 · 5 + 2 = −15 + 2 = −13
Secondo termine: (20 − 7) · (−1) = 13 · (−1) = −13
Pertanto il primo e il secondo termine danno lo stesso risultato e quindi l’uguaglianza è vera.
3. Primo termine: 5 · 5 = 25
Secondo termine: 2 − 28 = −24
Pertanto il primo e il secondo termine non danno lo stesso risultato e quindi l’uguaglianza è
falsa.
4. Primo termine: 3
Secondo termine:
1
3
·6+1=2+1=3
Pertanto il primo e il secondo termine danno lo stesso risultato e quindi l’uguaglianza è vera.
Risulta fondamentale la seguente:
Proprietà invariantiva delle uguaglianze.
• Prima proprietà invariantiva: addizionando o sottraendo una stessa quantità ad entrambi i
termini di un’uguaglianza si ottiene una nuova uguaglianza che, se la precedente è vera è
anch’essa vera, mentre se la precedente è falsa è anch’essa falsa.
• Seconda proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo per una stessa quantità diversa da zero,
entrambi i termini di un’uguaglianza si ottiene una nuova uguaglianza che, se la precedente
è vera è anch’essa vera, mentre se la precedente è falsa è anch’essa falsa.
Esempi
. Abbiamo visto in precedenza che l’uguaglianza −3 · 5 + 2 = (20 − 7) · (−1) è vera. Applichiamo
la prima proprietà invariantiva addizionando ad entrambi i termini il numero +4, l’uguaglianza
diventa:
−3 · 5 + 2 + 4 = (20 − 7) · (−1) + 4
verifichiamo se è vera: primo termine: −3 · 5 + 2 + 4 = −15 + 2 + 4 = −9; secondo termine:
(20 − 7) · (−1) + 4 = 13 · (−1) + 4 = −13 + 4 = −9. Quindi anche la nuova uguaglianza è vera.
. Abbiamo visto in precedenza che l’uguaglianza 5 · 5 = 2 − 28 è falsa. Applichiamo la seconda
proprietà invariantiva moltiplicando entrambi i termini per il numero +2, l’uguaglianza diventa:
(5 · 5) · 2 = (2 − 28) · 2
la parentesi al secondo termine è necessaria perché tutto il secondo termine deve essere moltiplicato
per 2.
Verifichiamo se è falsa: primo termine: (5 · 5) · 2 = 50; secondo termine: (2 − 28) · 2 = −26 · 2 = −52.
Quindi anche la nuova uguaglianza è falsa.
Osservazione importante. Il lettore si sarà accorto che nel secondo principio è specificato che
la quantità deve essere diversa da zero. Questo dipende da due motivi: il primo è che non ha
senso una divisione per zero e dato che la proprietà dice moltiplicando o dividendo, questa specifica
risulta necessaria. Il secondo motivo risiede nel fatto che altrimenti la proprietà sarebbe sbagliata:
infatti si consideri la seguente uguaglianza falsa:
2=3
Alessandro Bocconi
5
moltiplicando entrambi i termini per zero si ottiene:
primo termine: 2 · 0 = 0; secondo termine: 3 · 0 = 0 e quindi la nuova uguaglianza è vera in
contraddizione con quello che dice la proprietà invariantiva.
Tale problema non sussiste nella prima proprietà in quanto addizionando o sottraendo zero non
cambierebbe niente e otterremmo un’uguaglianza identica alla precedente e quindi se è vera rimane
vera e se è falsa rimane falsa.
1.2
Le equazioni
Se in un’uguaglianza sono presenti delle lettere si dice che siamo di fronte ad una equazione.
Abbiamo quindi la seguente:
Definizione di equazione. Un’equazione è una uguaglianza contenente una o più lettere.
In questo capitolo considereremo equazioni contenenti una sola lettera.
In una equazione lo scopo è quello di trovare quel valore (o quei valori) che sostituiti alla lettera
trasformano l’equazione in una uguaglianza vera. Dal momento che all’inizio questo valore (o questi
valori) non sono noti e quindi sono incogniti, la lettera presente in una equazione si chiama incognita
e, convenzionalmente, si usa la lettera x (che infatti, anche nel linguaggio comune, ha assunto il
significato di qualche cosa di non conosciuto o misterioso).
Coerentemente a quanto detto possiamo dare la seguente:
Definizione di soluzione di una equazione. La soluzione di un’equazione è l’insieme costituito
da quei valori che sostituiti all’incognita trasformano l’equazione in un’uguaglianza vera.
Per meglio chiarire quanto detto, consideriamo i seguenti:
Esempi
.
Risolvere l’equazione
x+3=5
Con un pò di intuizione capiamo che quel valore da sostituire alla x affinchè l’equazione diventi
un’uguaglianza vera è 2; infatti:
primo termine: 2 + 3 = 5
secondo termine: 5
Quindi sostituendo 2 ad x l’equazione diventa una uguaglianza vera e quindi 2 è la soluzione dell’equazione. Come notazione useremo quella degli insiemi (vedi capitolo 4 di Appunti di Matematica
parte prima) scrivendo:
S = {x ∈ R|x = 2}
Questa notazione si legge “x appartenente ai numeri reali, tale che x uguale a 2” che significa che
l’insieme S, fra tutti i possibili reali, contiene il valore 2 (per un approfondimento sui numeri reali
vedi il paragrafo 3.17 di Appunti di Matematica parte prima).
Alessandro Bocconi
6
Questo esempio prendeva in considerazione un’equazione molto facile e siamo arrivati alla soluzione
tramite una semplice intuizione. Se l’equazione è più complessa non è sufficiente ricorrere al proprio
intuito ma abbiamo bisogno di strumenti adatti, come si vede dal seguente esempio:
.
Risolvere l’equazione: 3x(7 − 2x) + 5(124 − 53x) = 32x + 14(2x − 7) + 31 x − 8
Come detto in precedenza, capiamo che al momento non siamo in grado di risolvere una simile
equazione.
Gli strumenti di cui abbiamo bisogno sono i 2 principi di equivalenza delle equazioni, che sono una
diretta conseguenza delle proprietà invariantive delle uguaglianze. Prima di enunciarli abbiamo
bisogno della seguente:
Definizione di equazioni equivalenti. Due equazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso
insieme di soluzioni.
Principi di equivalenza delle equazioni.
• Primo principio di equivalenza: addizionando o sottraendo una stessa quantità ad entrambi
i termini di una equazione si ottiene un’equazione equivalente.
• Secondo principio di equivalenza: moltiplicando o dividendo per una stessa quantità diversa da zero,
entrambi i termini di una equazione si ottiene un’equazione equivalente..
La strategia per risolvere un’equazione è quella di trasformarla, tramite i principi di equivalenza, in
altre equazioni equivalenti all’originale ma di più facile risoluzione: una volta risolta l’equazione più
semplice avremo risolto anche l’equazione assegnata in quanto hanno lo stesso insieme di soluzioni.
1.3
Equazioni di primo grado numeriche intere
Ci occuperemo in questo paragrafo di risolvere equazioni di primo grado (quindi l’incognita ha
esponente sottinteso 1), numeriche (non abbiamo altre lettere oltre l’incognita) e intere (l’incognita
non compare mai al denominatore).
Sottolineiamo comunque che i principi di equivalenza valgono per qualunque equazione e non solo
per questo tipo di equazioni.
Alla fine del precedente paragrafo abbiamo descritto la strategia di risoluzione di un’equazione.
Vediamo adesso come trasformare un’equazione in una più semplice usando i principi di equivalenza.
Per raggiungere questo obiettivo analizziamo le:
Conseguenze dei principi di equivalenza.
1. Spostando un monomio dal primo termine di un’equazione al secondo o viceversa, cambiandogli il segno, si ottiene un’equazione equivalente (conseguenza del primo principio di
equivalenza). Chiariamo col seguente esempio:
3x − 5 = 2x
Alessandro Bocconi
7
e sommiamo ad entrambi i termini 5. Per quanto affermato dal primo principio di equivalenza
quello che otterremo è un’equazione equivalente alla precedente:
3x − 5+5 = 2x+5 →
3x = 2x + 5
e quindi si osserva che il monomio −5 è stato spostato al secondo termine col segno cambiato
(infatti è diventato +5).
2. Se l’equazione contiene delle frazioni possiamo trasformarla in un’equazione equivalente a
coefficienti interi (conseguenza del secondo principio di equivalenza). Chiariamo col seguente
esempio:
2
6
1
x− = x+2
3
5
10
Determiniamo il minimo comune multiplo fra i denominatori e portiamo sia il primo che il
secondo termine ad un’unica frazione. Essendo 30 il m.c.m. fra i denominatori, otteniamo:
3x + 60
20x − 36
=
30
30
A questo punto possiamo usare il secondo principio di equivalenza moltiplicando il primo e il
secondo termine dell’equazione per il m.c.m. cioè 30:
630 ·
20x − 36
3x + 60
= 630 ·
630
630
→
20x − 36 = 3x + 60
Abbiamo quindi trasformato l’equazione iniziale con le frazioni, in una equazione equivalente
senza denominatori.
3. Cambiando il segno di tutti i monomi presenti nell’equazione si ottiene un’equazione equivalente (conseguenza del secondo principio di equivalenza). Chiariamo col seguente esempio:
−3x + 4 = −6
Usiamo il secondo principio di equivalenza moltiplicando il primo e il secondo termine dell’equazione per −1:
(−1) · (−3x + 4) = (−1) · (−6)
→
3x − 4 = +6
A questo punto possiamo dare il seguente:
Metodo per la risoluzione delle equazioni.
• Si eliminano le parentesi dall’equazione: se le espressioni al primo termine e/o al secondo termine contengono delle parentesi si eliminano seguendo le consuete regole del calcolo
algebrico.
• Si eliminano i denominatori: se l’equazione contiene delle frazioni si trasforma in una equivalente a coefficienti interi agendo come illustrato nella seconda conseguenza dei principi delle
equazioni.
• Si trasportano i monomi contenenti l’incognita nel primo termine dell’equazione e i monomi
che non la contengono al secondo termine agendo come detto nella prima conseguenza dei
principi delle equazioni.
• Se il coefficiente dell’incognita è negativo si cambia il segno a tutti i monomi dell’equazione
agendo come detto nella terza conseguenza dei principi delle equazioni.
Alessandro Bocconi
8
Al termine di questi 4 punti abbiamo trasformato l’equazione originale in una equivalente del tipo:
ax = b
dove a è un numero positivo (lasciamo al prossimo paragrafo il caso in cui sia zero) e b un numero
qualunque. A questo punto si applica il secondo principio delle equazioni dividendo entrambi i
termini per il numero a ottenendo:
→
ax = b
6a
b
x=
6a
a
→
x=
b
a
e quindi l’insieme delle soluzioni è S = {x ∈ R|x = ab }.
A questo punto possiamo risolvere la nostra prima equazione.
Esempio
.
Risolvere l’equazione: 3(x + 52 ) −
7
10
= 72 x −
3
2
Al primo termine compare una parentesi, eliminiamola effettuando il prodotto:
3x +
6
5
−
7
10
= 72 x −
3
2
Dal momento che ci sono delle frazioni si portano entrambi i termini a denominatore comune,
determinando il m.c.m. fra tutti i denominatori che è 10:
30x+12−7
10
=
35x−15
10
Eliminiamo i denominatori moltiplicando entrambi i termini per 10:
610 · 30x+12−7
= 610 · 35x−15
610
610
(D’ora in poi non scriveremo più il fattore a moltiplicare (in questo caso 10), ma elimineremo
direttamente i denominatori).
L’equazione è diventata
30x + 12 − 7 = 35x − 15
→
30x + 5 = 35x − 15
A questo punto spostiamo, cambiandogli di segno, i monomi contenenti la x al primo termine e
quelli che non la contengono al secondo:
30x − 35x = −15 − 5
→
−5x = −20
Dal momento che il coefficiente di x è negativo possiamo cambiare il segno a tutti i monomi
dell’equazione:
5x = 20
Il coefficiente di x è 5. Dividiamo quindi entrambi i termini per 5:
65
65x
=
6204
6 51
→
x=
4
1
→
x=4
Quindi la soluzione è S = {x ∈ R|x = 4}.
Verifica della soluzione. Se volessimo essere sicuri dell’esattezza della nostra soluzione lo strumento da usare è quello della verifica: per capire come effettuare la verifica ricordiamo che la soluzione di un’equazione è quel valore che sostituito all’incognita trasforma l’equazione in un’uguaglianza
vera (paragrafo 1.2).
Alessandro Bocconi
9
Dal momento che il valore che abbiamo trovato è 4, sostituiamo 4 alla x sia nel primo che nel
secondo termine e verifichiamo che l’eguaglianza ottenuta è un’uguaglianza vera:
primo termine:
3(4 + 52 ) −
7
10
= 3( 20+2
5 )−
7
10
=3·
22
5
−
7
10
=
66
5
−
7
10
=
132−7
10
=
125
6 25
6102
=
25
2
secondo termine:
7
2
·4−
3
2
= 14 −
3
2
=
28−3
2
=
25
2
quindi l’uguaglianza è vera e conferma che la soluzione trovata è quella esatta.
Osservazione. Fra 2 equazioni equivalenti non ci deve mai essere il simbolo =. Quindi ogni
passaggio nella risoluzione di un’equazione deve essere fatto a rigo nuovo. Se, per esigenze di
spazio, due passaggi sono scritti nello stesso rigo devono essere separati da una freccia orientata
verso destra, come già abbiamo usato in qualche esempio.
Esempi
.
Risolvere l’equazione
12x − 3(2x + 5) − 4 = −3x − 10 + 4(2 − 2x)
Eliminiamo le parentesi:
12x − 6x − 15 − 4 = −3x − 10 + 8 − 8x
6x − 19 = −11x − 2
A questo punto spostiamo, cambiandogli di segno, i monomi contenenti la x al primo termine e
quelli che non la contengono al secondo:
6x + 11x = −2 + 19
→
17x = 17
Il coefficiente di x è 17. Dividiamo quindi entrambi i termini per 17:
6171
x
6171
=
6171
6171
→
x=1
Quindi la soluzione è S = {x ∈ R|x = 1}.
Per la verifica sostituiamo allora 1 alla x nell’equazione iniziale.
Primo termine: 12 · 1 − 3(2 · 1 + 5) − 4 = 12 − 3(2 + 5) − 4 = 12 − 3 · 7 − 4 = 12 − 21 − 4 = −13
Secondo termine: −3 · 1 − 10 + 4(2 − 2 · 1) = −3 − 10 + 4(2 − 2) = −3 − 10 + 4 · 0 = −3 − 10 = −13
quindi l’uguaglianza è vera e conferma che la soluzione trovata è quella esatta.
. Risolvere l’equazione 31 x −
2
3
= −x −
5
6
Portiamo entrambi i termini allo stesso denominatore; essendo il m.c.m. fra i denominatori 6 risulta:
2x−4
6
=
−6x−5
6
Eliminiamo il comune denominatore:
2x−4
66
=
−6x−5
66
→
2x + 6x = −5 + 4
2x − 4 = −6x − 5
→
8x = −1
Il coefficiente di x è 8. Dividiamo quindi entrambi i termini per 8:
Alessandro Bocconi
6 81
x
6 81
= − 18
→
10
x = − 18
Quindi la soluzione è S = {x ∈ R|x = − 18 }.
.
Risolvere l’equazione −4x + 3 = 5(−2x + 35 )
Eliminiamo le parentesi
−4x + 3 = −10x + 3
−4x + 10x = +3 − 3
→
6x = 0
Il coefficiente di x è 6. Dividiamo quindi entrambi i termini per 6:
66
66x
=
0
6
→
x=0
Quindi la soluzione è S = {x ∈ R|x = 0}.
Osservazione. Il fatto che stiamo trattando equazioni di primo grado non esclude la possibilità
che ci siano dei monomi in cui l’incognita compare con grado maggiore di 1. L’importante è che
tali monomi, durante la risoluzione dell’equazione, si annullino fra loro e che si arrivi sempre alla
forma
ax = b
Chiariamo quanto detto col seguente:
Esempio
.
(x + 1)2 + 5x = x(x + 4) + 19
Risolvere l’equazione:
Eliminiamo le parentesi:
x2 + 2x + 1 + 5x = x2 + 4x + 19
→
x2 + 7x + 1 = x2 + 4x + 19
osserviamo che ci sono due monomi con l’incognita di grado 2. Spostiamo i monomi con la x al
primo termine e quelli senza al secondo termine (ovviamente cambiando il segno):
6x2 +7x −x
6 2 −4x = +19 − 1
i monomi di grado 2 si sono annullati a vicenda pertanto possiamo finire di risolvere l’equazione:
3x = 18
→
63
63x
=
6186
63
→
x=6
e quindi la soluzione è S = {x ∈ R|x = 6}.
1.4
Equazioni determinate, equazioni indeterminate e equazioni
impossibili
Le equazioni affrontate nel paragrafo precedente hanno tutte un’unica soluzione, di conseguenza il
loro insieme delle soluzioni è costituito da un unico valore. Diamo allora la seguente:
Definizione di equazione determinata. Un’equazione di primo grado si dice determinata se il
suo insieme delle soluzioni è costituito da un unico valore.
Alessandro Bocconi
11
Potremmo pensare che tutte le equazioni di primo grado siano determinate ma in questo paragrafo
vedremo che ci sono equazioni che non hanno nessuna soluzione e equazioni che ne hanno infinite.
Per meglio comprendere quanto detto diamo le seguenti:
Definizione di equazione impossibile. Un’equazione è impossibile quando non esiste nessun
valore che, sostituito all’incognita, trasforma l’equazione in una uguaglianza vera. In questo caso
l’insieme delle soluzioni è l’insieme vuoto e si indica con S = ∅.
Definizione di equazione indeterminata. Un’equazione è indeterminata quando qualunque valore sostituito all’incognita, trasforma l’equazione in una uguaglianza vera. In questo caso l’insieme
delle soluzioni è l’insieme di tutti i possibili valori che può assumere x e si indica con S = {x ∈ R};
oppure con S = ∀x (il simbolo della A rovesciata significa “qualunque”).
Per capire se un’equazione è indeterminata o impossibile vale la seguente regola:
Regola per determinare se un’equazione è indeterminata o impossibile. Se risolvendo un’equazione scompaiono i monomi contenenti l’incognita (perché si sono annullati fra loro),
l’equazione, ormai priva di lettere, si trasforma in una uguaglianza:
• se tale uguaglianza è vera l’equazione è indeterminata
• se tale uguaglianza è falsa l’equazione è impossibile.
Verifichiamo quanto detto con i seguenti:
Esempi
.
Risolvere l’equazione 2x − 12 = 2(5 + x)
2x − 12 = 10 + 2x
→
2x − 2x = 10 + 12
→
0 = 22
Osserviamo che l’incognita è scomparsa e l’equazione si è trasformata in una uguaglianza. Dal
momento che tale uguaglianza è falsa l’equazione è impossibile e la soluzione è l’insieme vuoto
S = ∅ (potremmo quindi provare a sostituire nell’equazione di partenza qualunque valore a x, ma
non otterremmo mai un’uguaglianza vera).
.
Risolvere l’equazione 2 + 4x − 10 = 4(x − 2)
2 + 4x − 10 = 4x − 8
→
4x − 8 = 4x − 8
→
4x − 4x = −8 + 8
→
0=0
Osserviamo che l’incognita è scomparsa e l’equazione si è trasformata in una uguaglianza. Dal
momento che tale uguaglianza è vera l’equazione è indeterminata e l’insieme soluzione è S = {x ∈
R}. Verifichiamo tale affermazione sostituendo alla x qualche valore scelto a caso e osservando che
l’uguaglianza che ne deriva è sempre vera:
Sostituiamo a x il valore 1:
primo termine: 2 + 4 · 1 − 10 = 2 + 4 − 10 = −4
secondo termine: 4(1 − 2) = 4 · (−1) = −4
Quindi l’uguaglianza è vera.
Sostituiamo a x il valore −2:
primo termine: 2 + 4 · (−2) − 10 = 2 − 8 − 10 = −16
Alessandro Bocconi
12
secondo termine: 4(−2 − 2) = 4 · (−4) = −16
Quindi l’uguaglianza è vera.
Sostituiamo a x il valore 12 :
primo termine: 2 + 4 ·
1
2
− 10 = 2 + 2 − 10 = −6
3
2
secondo termine: 4( 12 − 2) = 4 · ( 1−4
2 ) =6 4 · (−6 21 ) = −6
Quindi l’uguaglianza è vera.
Sostituiamo a x il valore 0:
primo termine: 2 + 4 · 0 − 10 = 2 − 10 = −8
secondo termine: 4(0 − 2) = 4 · (−2) = −8
Quindi l’uguaglianza è vera.
Abbiamo quindi visto che sostituendo qualunque valore alla x otteniamo un’uguaglianza vera,
pertanto ogni valore è soluzione dell’equazione.
Osservazione importante. Bisogna sempre ricordarsi che un’equazione è indeterminata o impossibile soltanto se, durante la sua risoluzione, scompare l’incognita. Un errore ricorrente è quello
di considerare indeterminata o impossibile un’equazione in cui l’incognita rimane mentre si annulla il secondo termine. Una tale equazione è perfettamente determinata ed ha come soluzione S = {x ∈ R|x = 0} che non è affatto l’insieme vuoto ma l’insieme costituito dal valore 0.
Convinciamoci con il seguente:
Esempio
Risolvere l’equazione 4(x − 5) = 2x − 20
4x − 20 = 2x − 20
→
4x − 2x = −20 + 20
→
2x = 0
→
2
2x
=
0
2
→
x=0
Quindi l’insieme soluzione è S = {x ∈ R|x = 0}.
1.5
Problemi risolubili tramite equazioni di primo grado
Una frequente applicazione delle equazioni di primo grado è nella risoluzione di problemi. La
difficoltà consiste nel costruire il cosiddetto modello matematico (vedi il paragrafo sui modelli
matematici al termine della parte sul calcolo letterale) cioè trovare l’equazione che “rappresenti” il
problema che vogliamo risolvere. Chiariamo quanto detto col seguente:
Esempio
. Per arrvare a comprare il biglietto del concerto di Vasco Rossi che costa 40 euro, Maria chiede
14 euro ai genitori. Quanti soldi ha Maria?
Proviamo a risolvere questo problema tramite un’equazione. Innanzitutto viene richiesto quanti
soldi ha Maria, quindi la nostra incognita x è la quantità di soldi, espressa in euro, che ha Maria.
Sappiamo che se Maria avesse 14 euro in più, quelli che chiede ai genitori, avrebbe i 40 euro per
poter acqistare il biglietto. L’equazione risulta quindi:
x + 14 = 40
Alessandro Bocconi
13
PISTOIA
x
km
30
.
PRATO
1x
4
.
FIRENZE
Figura 1.1: Rappresentazione grafica del problema
che risolviamo con le usuali tecniche di risoluzione delle equazioni:
→
x + 14 = 40
x = 40 − 14
→
x = 26
Quindi Maria ha 26 euro.
Si potrebbe obiettare che ci sono altri metodi più veloci per risolvere questo problema e l’obiezione
sarebbe giusta. Quando però ci troviamo di fronte a problemi più complessi l’uso delle equazioni
può risultare estremamente utile. Consideriamo altri esempi:
Esempi
. L’autostrada Firenze Pistoia è lunga 30 km. Lungo il percorso c’è Prato. La distanza da Firenze
a Prato è un quarto della distanza fra Prato e Pistoia. Quanti chilometri ci sono fra Prato e Pistoia?
Analizziamo i dati del problema: viene richiesta la distanza fra Prato e Pistoia e quindi la indichiamo
con x. Inoltre la distanza fra Firenze e Prato è un quarto di quella fra Prato e Pistoia e quindi è
1
4 x. Sappiamo poi che fra Firenze e Pistoia ci sono 30 Km. La figura 1.1 illustra il problema:
L’equazione da impostare risulta quindi:
1
x + x = 30
4
risolviamola:
1
x + x = 30
4
→
x + 4x
120
=
64
64
→
5x = 120
→
65
120
6 24
x=
65
65 1
→
x = 24
Quindi fra Prato e Pistoia ci sono 24 km.
. In una classe di 18 bambini la maestra vuole fare 2 gruppi di cui il più grande sia composto dal
triplo dei bambini del più piccolo. Quanti bambini ci sono nel gruppo più piccolo?
Indichiamo con x il numero dei bambini nel gruppo più piccolo. Dal momento che nel gruppo più
grande ci devono essere il triplo dei bambini del gruppo più piccolo, i bambini nel gruppo grande
sono 3x. In tutto i bambini sono 18 quindi l’equazione risolutiva è:
3x + x = 18
Risolviamola:
3x + x = 18
→
4x = 18
→
64
618 9
x= 2
64
64
→
x=
9
2
Quindi nel gruppo più piccolo ci devono essere 92 bambini. Ovviamente la soluzione non è accettabile
(a meno di tagliare un bambino in 2) e quindi il problema non ha soluzione.
Alessandro Bocconi
14
1.5.1
I vincoli
L’ultimo esempio evidenzia il fatto che non tutte le soluzioni di un problema sono accettabili; per
questo risulta necessario, una volta definito cosa indichiamo con la x, stabilire delle regole a cui
deve sottostare la soluzione per essere accettata. Tali regole sono chiamate vincoli.
I vincoli che affronteremo sono di 2 tipi:
• Il vincolo che la soluzione deve essere intera.
• Il vincolo che definisce un range entro il quale deve stare la soluzione.
Prendiamo ad esempio il primo problema dell’autostrada: in esso, a differenza del problema dei
bambini, non vi è alcun vincolo che la soluzione debba essere intera, infatti la distanza chilomerica
poteva benissimo essere una frazione in quanto i chilometri sono frazionabili. Per quanto riguarda il
vincolo di “range” osserviamo che se Prato sta fra Firenze e Pistoia la distanza Prato-Pistoia deve
essere minore di quella Firenze-Pistoia e quindi la soluzione deve essere minore di 30. Inoltre visto
che non ha senso una distanza negativa la soluzione deve essere maggiore di 0. Quindi il vincolo è
che la x deve soddisfare:
x < 30 e x > 0
Il risultato che abbiamo trovato, 24, soddisfa il vincolo e quindi la soluzione è accettabile.
Le fasi di risoluzione di un problema sono quindi:
1. Individuazione dell’incognita (cioè quale grandezza chiamare con la x).
2. Individuazione dei vincoli a cui deve sottostare l’incognita.
3. Creazione dell’equazione risolutiva.
4. Risoluzione di tale equazione
5. Verifica se la soluzione è accettabile.
Esempi
. In un palazzo di 10 piani Marcello abita 3 piani sopra Elena. Una volta Marcello le disse: “se
sommiamo il numero del tuo piano con il numero del mio piano otteniamo 15”. A che piano abita
Elena? A che piano abita Marcello?
1. Indichiamo con x il piano dove abita Elena, quindi il piano di Marcello, che sta 3 piani sopra
è x + 3.
2. Vincoli:
• x deve essere intero (non ci sono i “mezzi piani”)
• deve risultare che x deve essere minore di 8 (infatti se x fosse 8 oppure 9 oppure 10,
Marcello, che sta 3 piani sopra, starebbe all’11◦ o al 12◦ o al 13◦ piano. Assurdo in un
palazzo di 10 piani) e maggiore o uguale a zero. Quindi: x < 8 e x ≥ 0
3. Sommando il piano di Marcello con quelo di Elena si ottiene 15 quindi l’equazione risolutiva
è:
x + x + 3 = 15
Alessandro Bocconi
15
4. Risolviamola:
x + x + 3 = 15
→
2x = 12
→
62
612 6
x= 1
62
62
→
x=6
5. La soluzione 6 soddisfa il vincolo di essere intera e di essere compresa fra 0 e 7.
Quindi Elena sta al sesto piano e Marcello al nono.
. In un composto di 102 grammi di Nichel e Zinco, Il Nichel è presente in quantità doppia rispetto
allo Zinco. Quanti grammi di Zinco ci sono in questo composto? E quanti grammi di Nichel?
1. Indichiamo con x i grammi di Zinco. Essendo i grammi di Nichel doppi questi ultimi risultano
2x.
2. Vincoli:
• x non deve essere necessariamente intero (i grammi sono frazionabili)
• deve risultare che x deve essere minore di 102 e maggiore di zero.
102 e x > 0
Quindi: x <
3. Sommando i grammi di Zinco con quelli di Nichel si ottiene tutto il composto cioè 102 grammi.
Quindi l’equazione risolutiva è:
x + 2x = 102
4. Risolviamola:
x + 2x = 102
→
3x = 102
→
63
102
6 34
x=
63
63 1
→
x = 34
5. La soluzione 34 è compresa fra 0 e 102 e quindi accettabile.
Quindi il composto contiene 34 grammi di Zinco. Per sapere i grammi di Nichel si può agire in 2
modi ugualmente facili:
• dal momento che i grammi di Nichel sono il doppio di quelli di Zinco si può moltiplicare 34
per 2.
• dal momento che in tutto i grammi sono 102, e 34 sono di Zinco, per ricavare i grammi di
Nichel si sottrae dai grammi totali (102) i grammi di Zinco (34).
In entrambi i casi si ottiene che i grammi di Nichel sono 68.
1.6
Domande
Paragrafo 1.1
1. Come è definita un’uguaglianza?
2. Come si chiama l’espressione che sta a sinistra dell’uguale in una uguaglianza? E l’espressione
che sta a destra?
Alessandro Bocconi
16
3. Cosa dicono le proprietà invariantive delle uguaglianze?
4. Mostra con un esempio che è necessario che nela seconda proprietà sia specificato che la
quantità sia diversa da zero.
Paragrafo 1.2
5. Cos’è un’equazione?
6. Cos’è la soluzione di un’equazione?
7. Quando due equazioni sono equivalenti?
8. Scrivi i due principi di equivalenza delle equazioni
Paragrafo 1.3
9. Mostra con un esempio che spostare un monomio dal primo termine al secondo termine di
un’equazione cambiandogli il segno è una conseguenza del primo principio di equivalenza.
10. Mostra con un esempio che eliminare i denominatori di un’equazione è una conseguenza del
secondo principio di equivalenza.
11. Mostra con un esempio che cambiare il segno a tutti i monomi di un’equazione è una
conseguenza del secondo principio di equivalenza.
12. Come si effettua la verifica di un’equazione?
Paragrafo 1.4
13. Quando un’equazione si dice determinata?
14. Quando un’equazione si dice impossibile?
15. Quando un’equazione si dice indeterminata?
16. Come capire se un’equazione è indeterminata o impossibile?
17. Un’equazione in cui, alla fine, la x rimane e il secondo termine è zero è impossibile? È
indeterminata?
Paragrafo 1.5
18. Cos’è un vincolo?
19. Quali sono i 2 tipi di vincoli che consideriamo?
20. Quali sono le 5 fasi per risolvere un problema?
1.7
Esercizi e problemi
Paragrafo 1.1
1. Determina se sono vere o false le seguenti uguaglianze:
3 · 2 − 1 = 5 + 1 − 1;
23 − 1 = 4 + 24 : 4;
5−2=
1
3
+
10
3
−
2
3
Verifica le seguenti uguaglianze:
2.
20 : 4 · 8 : 10 : 2 · 5 : 1 = (4 + 2 · 5) : (0 + 7) + (1 + 3 · 2) + 1
3. (10 − 2 · 3) · (13 − 5 · 2) : (0 + 3 · 2) = 2 · 6 + 50 + 30 − (2 + 8 · 5) + 5 · (7 − 1 · 4) − (3 + 3 · 2 · 2) · 4 − 7
Alessandro Bocconi
17
4. (14+4·5−4) : 10+10 : (5+5)+2·(7−3·2)−3 = 36 : 6 : (1+5)+39−5·4·(8−7)·(7·6−5·8)+3
Paragrafi 1.3 e 1.4
Risolvi le seguenti equazioni effettuando al termine la verifica
5. 2(x + 2) − 3(3 − x) = 10
[S = {x ∈ R|x = 3}]
6. 4x − 4(x + 2) = −2x − 5(x + 3)
7. 10 − 7x = 2(x + 5)
8.
6x+3
2
9. 2 +
7x+2
7
=
3x+5
2
+
[S = {x ∈ R|x = 0}]
28x+17
14
− 12x =
[S = {x ∈ R|x = −1}]
[S = {x ∈ R}]
3x+2
3
[S = {x ∈ R|x = 13 }]
[S = {x ∈ R|x = − 12 }]
10. (2x + 1)2 − 10x = 4x(x + 3) + 10
Risolvi le seguenti equazioni
[S = {x ∈ R|x = 12 }]
11. −6[2x + 10(6x + 1) − 41] + 4x = 6(1 + 2x) − 10
12.
4x+1
4
13. x −
−
1
3
6x+2
3
+
x+2
6
=
5−12x
12
[S = ∅]
= 4(x − 1) +
7
6
[S = {x ∈ R|x = 1}]
14. 2x(3x − 2) − (x + 1)(x − 1) = 5x(x − 1)
[S = {x ∈ R|x = −1}]
15. 2(x + 7) − 3x + 4[1 + 2(2x − 1)] = 10(2x + 1) − 5x
16.
1
5x
+
5
4
2
= − 27
20 − 3 x
[S = {x ∈ R|x = −3}]
[S = {x ∈ R|x = 32 }]
17. 8x − (−2x − 5) + x = −x + 23
18.
1
5
+ 22 x +
1
2
7
10
=
+ 5x − x
[S = {x ∈ R}]
[S = {x ∈ R|x = 1}]
19. 2000x + 10000 = 4000(1 + 2x)
20.
1 2
6x
= −1 +
21.
1
2
1−2x
3
=
x(x+3)
6
[S = {x ∈ R|x = 2}]
[S = {x ∈ R|x = − 14 }]
22. x + 8 + 3x2 + 2(x − 4) = 3(x2 + x)
[S = {x ∈ R}]
[S = {x ∈ R|x = 65 }]
23. 2(2x + 2) − 2x = 4 + 3(2 − x)
24. (x + 2)(x − 3) − 2(1 − 3x) = (x − 1)(x + 1) + 3
25. 2x + [2 − 3(x − 1) + x] = 4(x + 1) + 1
26. 2[ 2x−1
2 +
27.
3x+8
6
−
2x+1
4 ]
7x+4
3
=
x+1
2
−
x
2
+
1
2
1
8
30.
1 2x+1
6( 2
[S = {x ∈ R|x = 12 }]
[S = {x ∈ R|x = 0}]
=0
− 15(4 − x2 ) + x − 2(x − 1) − 2x = 92 x − 1
−
2x−1
3
+ x = − x3 + 56 ( 2x+1
2 +
2x−1
3 )
[S = {x ∈ R}]
[S = ∅]
32. 3(2x − 5)2 = (4x − 1)2 − 5x(2x + 10) − 2(x − 37)
2x−1
10
+9+
x
60
=
3x+1
3
−
2
15 (3x
− 1)
[S = {x ∈ R|x = −7}]
[S = ∅]
31. 3 + [−(1 − x) − 5(1 − 2x)] = x + 5(2x − 3)
33.
[S = {x ∈ R|x = 2}]
[S = {x ∈ R|x = 0}]
28. −5(1 + x) + 2(x − 3) − 2 = −1 + x + 2(1 − x)
29.
[S = {x ∈ R}]
[S = {x ∈ R}]
[S = {x ∈ R|x = 22}]
Alessandro Bocconi
18
34. 2 + 3(x − 1) − (2x + 1) = −4x + 12 − 3(x + 2)
35. 5(2x + 3) + 10(3x + 1) = 3(6 − 3x)
[S = {x ∈ R|x = 1}]
[S = {x ∈ R|x = − 17 }]
Paragrafo 1.5
Risolvi i seguenti problemi evidenziando i vincoli e verificando se la soluzione è accettabile
36. Un rettangolo ha area 40 cm2 e un lato di 8 cm. Determina l’altro lato.
37. Un bottiglione da 10 litri riempie esattamente due contenitori in cui il primo contiene un
quarto del secondo. Determina la capienza del primo e del secondo contenitore, ed eventuali
vincoli.
38. Mario e Roberta ricevono 100 euro per un lavoro svolto. Fra loro c’è l’accordo che Roberta
deve avere 80 euro più di Mario. Quanto riceve Mario, e quanto Roberta?
39. Un gioco a premi mette in palio 20 libri per i primi 2 arrivati: al primo devono spettare il
doppio dei libri che al secondo. Quanti libri vince il primo arrivato? E quanti il secondo?
40. Determina il numero che, sommato a 20, ha come risultato i
5
4
del numero stesso.
41. In un rettangolo un lato è maggiore dell’altro di 3cm. Determina l’area sapendo che il
perimetro è 26 cm.
42. Inizialmene ad una festa ci sono un certo numero di persone. Poi arrivano altri 5 invitati e
in tutto ci sono i 43 delle persone iniziali. Quante sono le persone inizialmente alla festa?
43. Al sabato il biglietto del cinema costa 3 euro in più del biglietto del mercoledı̀ e di conseguenza
andare 10 volte al cinema di sabato costa quanto andarci ben 16 volte il mercoledı̀. Quanto
costa andare al cinema di mercoledı̀?
44. Un segmento ABviene diviso in due segmenti AC e CB e AC è i
misura 21 cm determina quanto misura il segmento AB
2
3
di BC. Sapendo che BC
45. In una gita scolastica la quota è 120 euro per coprire le spese di viaggio; vitto e alloggio e
entrata ai musei. Le spese di vitto e alloggio sono i 23 di quelle di viaggio, mentre quelle per
entrare nei musei sono la metà di quelle di viaggio. Quanto sono le spese di viaggio?
46. Un astuccio contiene penne nere, rosse e blu. Le penne rosse sono la metà del totale delle
penne, mentre le penne nere sono 10 in più di quelle blu. Sapende che le penne in totale sono
18 determina quante sono le penne rosse, quante le nere e quante le blu.
47. La somma di 2 numeri consecutivi è 27. Quali sono questi numeri?
48. La somma di 2 numeri pari consecutivi è 34. Quali sono questi numeri?
49. Maria compra al mercato frutta, verdura e carne e spende in tutto 60 euro. Per la carne ha
speso i 32 del totale e per la frutta ha speso il triplo che per la verdura. Quanto ha speso di
verdura?
50. Una pianta cresce di notte il triplo che di giorno. Nel mese di Aprile è cresciuta di 240 cm.
Quanto cresce ogni notte?
Capitolo 2
Le disequazioni di primo grado
Lo studio delle disequazioni di primo grado ha molti punti di contatto con lo studio delle equazioni
di primo grado: per questo l’esposizione dell’argomento avverrà sullo stile del precedente capitolo
e molti esempi saranno ripresi dal capitolo delle equazioni.
2.1
Le disuguaglianze
Prima di procedere, ricordiamo il significato dei seguenti simboli:
simbolo
>
≥
<
≤
significato
maggiore
maggiore o uguale
minore
minore o uguale
Questi simboli vengono chiamati simboli di disuguaglianza.
Diamo la seguente:
Definizione di disuguaglianza, disuguaglianza vera e disuguaglianza falsa. Due espressioni numeriche separate da un simbolo di disuguaglianza formano una disuguaglianza. Se il risultato delle 2 espressioni concorda con il simbolo di disuguaglianza, la disuguaglianza si dice vera,
altrimenti è falsa. Chiariamo con degli esempi:
1.
+3 < +6
2.
−3 · 5 + 1 < (20 − 7) · (−1)
3.
5 · 5 ≥ 21
4.
+5 > +5
5.
+5 ≥ +5
Passiamo quindi a verificare le disuguaglianze:
1. è ovviamente vera in quanto il primo termine è minore del secondo in accordo col simbolo di
disuguaglianza
19
Alessandro Bocconi
20
2. Primo termine: −3 · 5 + 1 = −15 + 1 = −14
Secondo termine: (20 − 7) · (−1) = 13 · (−1) = −13
Pertanto il primo termine è minore del secondo in accordo col simbolo di disuguaglianza e
quindi la disuguaglianza è vera.
3. Primo termine: 5 · 5 = 25
Secondo termine: 21
Pertanto il primo termine è maggiore del secondo in accordo col simbolo di disuguaglianza e
quindi la disuguaglianza è vera.
4. Primo termine: +5
Secondo termine: +5
Pertanto il primo termine è uguale al secondo in contraddizione col simbolo di disuguaglianza
e quindi la disuguaglianza è falsa.
5. Primo termine: +5
Secondo termine: +5
Anche in questo caso il primo termine è uguale al secondo ma non è in contraddizione col
simbolo di disuguaglianza in quanto il simbolo prevede il maggiore o l’uguale e quindi la
disuguaglianza è vera.
Osservazione. Gli ultimi 2 esempi evidenziano la differenza fra il simbolo “>” e il simbolo “≥”
(e analogamente la differenza fra il simbolo “<” e il simbolo “≤”):
• se una disuguaglianza ha il simbolo “>”, tale disuguaglianza è vera se e soltanto se il primo
termine è maggiore del secondo
• se una disuguaglianza ha il simbolo “≥” è vera sia se il primo termine è maggiore del secondo,
sia se il primo termine è uguale al secondo.
È corretto quindi affermare che:
• se una disuguaglianza col simbolo “>” è vera, sarà vera anche la disuguaglianza che si ottiene
sostituendo al “>” il “≥”;
• al contrario, cioè sostituire il simbolo “≥” al “>” in una disuguaglianza vera, non necessariamente porta ad una disuguaglianza vera, come evidenziato dagli ultimi 2 esempi:
infatti
5 ≥ 5 è vera
sostituendo “>” al “≥”, si ottiene
5>5
che invece è falsa
Prima di continuare la trattazione precisiamo che con l’espressione “cambiare il senso della
disuguaglianza” si intende:
• se la disuguaglianza ha il simbolo >, si sostituisce col simbolo <;
Alessandro Bocconi
21
• se la disuguaglianza ha il simbolo <, si sostituisce col simbolo >;
• se la disuguaglianza ha il simbolo ≥, si sostituisce col simbolo ≤;
• se la disuguaglianza ha il simbolo ≤, si sostituisce col simbolo ≥;
Anche per le disuguaglianze, come per le uguaglianze, risultano fondamentali le proprietà invariantive:
Proprietà invariantiva delle disuguaglianze.
• Prima proprietà invariantiva: addizionando o sottraendo una stessa quantità ad entrambi i
termini di una disuguaglianza si ottiene una nuova disuguaglianza che, se la precedente è vera
è anch’essa vera, mentre se la precedente è falsa è anch’essa falsa.
• Seconda proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo per una stessa quantità maggiore di zero,
entrambi i termini di una disuguaglianza si ottiene una nuova disuguaglianza che, se la
precedente è vera è anch’essa vera, mentre se la precedente è falsa è anch’essa falsa.
• Terza proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo per una stessa quantità minore di zero
entrambi i termini di una disuguaglianza, e cambiando il senso della disuguaglianza, si ottiene una nuova disuguaglianza che, se la precedente è vera è anch’essa vera, mentre se la
precedente è falsa è anch’essa falsa.
Osserviamo che la proprietà sull’addizione/sottrazione ricalca quella delle uguaglianze, mentre abbiamo 2 proprietà sulla moltiplicazione/divisione: infatti nelle disuguaglianze bisogna dividere il
caso in cui la quantità a moltiplicare o dividere sia positiva oppure negativa. Per questo motivo le
proprietà invariantive delle disuguaglianze sono 3 rispetto alle 2 delle uguaglianze.
Esempi
. 10 < 14 è una disuguaglianza vera. Applichiamo la prima proprietà invariantiva addizionando
ad entrambi i termini il numero +2, la disuguaglianza diventa:
10+2 < 14+2
→
12 < 14
che è anch’essa vera.
. 5 > 21 è falsa. Applichiamo la seconda proprietà invariantiva moltiplicando entrambi i termini
per il numero positivo +3, la disuguaglianza diventa:
5 · 3 > 21 · 3
→
15 > 63
che è anch’essa falsa.
. −5 < 2 è vera. Applichiamo la terza proprietà invariantiva moltiplicando entrambi i termini
per il numero negativo −4 e cambiando il senso della disuguaglianza, la disuguaglianza diventa:
−5 · (-4) > 2 · (-4)
→
20 > −8
che è anch’essa vera.
Alessandro Bocconi
22
3
5
Figura 2.1:
2.2
Gli intervalli
Già nel precedente capitolo abbiamo parlato dell’insieme dei numeri reali R e abbiamo rimandato,
per un approfondimento, al paragrafo 3.17 di Appunti di Matematica parte prima. In tale paragrafo
è evidenziato come i numeri reali possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i punti di
una retta (corrispondenza biunivoca significa che ad ogni numero reale corrisponde uno e un solo
punto sulla retta e, ad ogni punto sulla retta corrisponde uno e un solo numero reale). Possiamo
quindi rappresentare l’insieme dei reali con una retta orientata (dove la freccia indica il verso in cui
i numeri crescono) che chiameremo nello stesso modo in cui chiamiamo i numeri reali: la retta R.
Un intervallo (che ancora non abbiamo definito) può essere limitato o illimitato.
2.2.1
Intervalli Limitati
Consideriamo adesso sulla retta R i punti 3 e 5. Il segmento che comincia nel punto 3 e finisce nel
punto 5 si dice intervallo limitato di estremo inferiore (o sinistro) 3 e estremo superiore (o destro)
5 (figura 2.1).
Possiamo quindi dare la seguente:
Definizione di intervallo limitato. Un intervallo limitato è un segmento di lunghezza finita
appartenente alla retta R.
Per indicare un intervallo limitato si usano i suoi estremi. È necessario però specificare se gli estremi
dell’intervallo (o anche uno solo dei 2) appartiene o meno all’intervallo stesso. Convenzionalmente
si usa una parentesi quadra se l’estremo appartiene all’intervallo, e una parentesi tonda se l’estremo
non ci appartiene. Con tale convenzione, tornando all’esempio precedente, risulta che se scriviamo:
• [3; 5] intendiamo che entrambi gli estremi appartengono all’intervallo.
• (3; 5) intendiamo che entrambi gli estremi non appartengono all’intervallo.
• (3; 5] intendiamo che l’estremo inferiore (sinistro) in questo caso 3 non appartiene all’intervallo
mentre l’estremo superiore (destro) in questo caso (5) ci appartiene.
• [3; 5) intendiamo che l’estremo inferiore (sinistro) in questo caso 3 appartiene all’intervallo
mentre l’estremo superiore (destro) in questo caso (5) non ci appartiene.
Alessandro Bocconi
23
Generalizzando il concetto ad un intervallo limitato di estremo inferiore (destro) a e estremo
superiore (sinistro) b diamo le seguenti:
Definizione di intervallo limitato chiuso. Un intervallo limitato si dice chiuso se entrambi gli
estremi appartengono all’intervallo (si indica con [a; b]).
Definizione di intervallo limitato aperto. Un intervallo limitato si dice aperto se entrambi gli
estremi non appartengono all’intervallo (si indica con (a; b)).
Definizione di intervallo limitato aperto a sinistra. Un intervallo limitato si dice aperto a
sinistra se l’estremo superiore appartiene all’intervallo mentre l’estremo inferiore non ci appartiene
(si indica con (a; b]).
Definizione di intervallo limitato aperto a destra. Un intervallo limitato si dice aperto a
destra se l’estremo inferiore appartiene all’intervallo mentre l’estremo superiore non ci appartiene
(si indica con [a; b)).
In figura 2.2 sono evidenziati questi 4 casi tenendo presente che, nelle rappresentazioni grafiche, se
un estremo appartiene ad un intervallo si evidenzia con un pallino pieno, altrimenti con uno vuoto.
Alessandro Bocconi
24
Esempio 1
a
b
Intervallo chiuso
Esempio 2
a
b
Intervallo aperto
Esempio 3
a
b
Intervallo aperto a sinistra
Esempio 4
a
b
Intervallo aperto a destra
Figura 2.2:
Un’altra rappresentazione degli intervalli, molto usata quando parliamo di soluzioni di disequazioni,
è la rappresentazione insiemistica che sfrutta i simboli di disuguaglianza:
• {x ∈ R|a ≤ x ≤ b} rappresenta l’intervallo chiuso [a; b].
• {x ∈ R|a < x < b} rappresenta l’intervallo aperto (a; b).
• {x ∈ R|a < x ≤ b} rappresenta l’intervallo aperto a sinistra (a; b].
• {x ∈ R|a ≤ x < b} rappresenta l’intervallo aperto a destra [a; b)
Per capirla torniamo all’esempio dell’intervallo di estremi 3 e 5. Un punto (tralasciamo per il
momento gli estremi) per appartenere a tale intervallo deve essere maggiore di 3 e allo stesso tempo
minore di 5. Infatti se prendiamo 6 è maggiore di 3 ma non appartiene all’intervallo perché maggiore
anche di 5, mentre 1 è minore di 5 ma non appartiene all’intervallo perché minore anche di 3.
Detto questo prendiamo ad esempio {x ∈ R|a < x < b} e cerchiamo di capirne il significato. Questa
rappresentazione va letta cosı̀: fra tutti gli x appartenenti alla retta R, l’intervallo è costituito da
quei valori x che sono sia maggiori di a sia minori di b. L’espressione a < x < b non deve stupire,
perchè la prima disuguaglianza (a < x) significa, se letta da destra a sinistra, che x deve essere
maggiore di a, mentre la seconda (x < b) significa che x deve essere minore di b. Mettere le 2
disuguaglianze nella stessa espressione significa che devono essere entrambe vere. In questo caso gli
estremi non sono compresi perchè x deve essere maggiore di a (e quindi non può essere uguale). Lo
stesso per l’altro estremo. Se vogliamo comprendere anche gli estremi dobbiamo mettere il simbolo
≤ al posto di < che comprende il caso che x può anche essere uguale ad a e/o a b.
Alessandro Bocconi
25
Esempio 1
a
Intervallo chiuso illimitato superiormente; si indica [a;+oo)
Esempio 2
a
Intervallo aperto illimitato superiormente; si indica (a;+oo)
Esempio 3
a
Intervallo chiuso illimitato inferiormente; si indica (-oo;a]
Esempio 4
a
Intervallo aperto illimitato inferiormente; si indica (-oo;a)
Figura 2.3:
2.2.2
Intervalli illimitati
Definizione di intervallo illimitato. Un intervallo illimitato è una semiretta (quindi di lunghezza
infinita) appartenente alla retta R.
Un esempio di intervallo illimitato è un intervallo che ha 3 come estremo inferiore (sinistro) e
non ha estremo superiore perché appunto è illimitato. In questo caso si dice che l’intervallo
è illimitato superiormente e si indica con [3; +∞) (si legge “più infinito”) se 3 appartiene
all’intervallo; mentre si indica con (3; +∞) se 3 non appartiene all’intervallo. Analogamente un
intervallo illimitato potrebbe avere solo l’estremo superiore (destro) e supponiamo che sia anche in
questo caso 3. In questo caso si dice che l’intervallo è illimitato inferiormente e si indica con
(−∞; 3] se 3 appartiene all’intervallo, mentre si indica con (+∞; 3) se 3 non appartiene all’intervallo.
Osservazione importante. Un insieme illimitato ha quindi 2 soli casi: o è chiuso se l’unico estremo finito appartiene all’intervallo, o è aperto se l’unico estremo finito non appartiene all’intervallo.
Accanto al simbolo +∞ o −∞ non ci deve mai essere la parentesi quadra perchè +∞ non è un
valore come gli altri e non può appartenere all’intervallo.
La figura 2.3 rappresenta graficamente i possibili intervalli illimitati, usando a come unico estremo
finito.
La notazione insiemistica risulta più semplice che per gli intervalli limitati. Infatti se consideriamo
l’intervallo [a; +∞) è costituito dagli x che sono maggiori o uguali di a (non avendo l’intervallo
estremo superiore x non deve essere minore di niente). Quindi risulta che:
[a; +∞) = {x ∈ R|x ≥ a}
Alessandro Bocconi
26
Conseguentemente gli altri intervalli si rappresentano:
• (a; +∞) = {x ∈ R|x > a}
• (+∞; a] = {x ∈ R|x ≤ a}
• (+∞; a) = {x ∈ R|x < a}
Osservazione. Anche tutta la retta R può essere considerata un intervallo (ovviamente illimitato),
cosı̀ come l’insieme vuoto può essere considerato un intervallo di lunghezza zero. Dal momento che
spesso abbiamo bisogno di distinguere fra questi 2 intervalli e tutti gli altri visti precedentemente
diamo la seguente:
Definizione di intervalli propri e impropri. La retta R e l’insieme vuoto sono considerati
intervalli impropri. Tutti gli altri sono intervalli propri.
2.3
Le disequazioni
Se in una disuguaglianza sono presenti delle lettere si dice che siamo di fronte ad una disequazione.
Abbiamo quindi la seguente:
Definizione di disequazione. Una disequazione è una disuguaglianza contenente una o più
lettere.
In questo capitolo considereremo disequazioni contenenti una sola lettera.
In una disequazione lo scopo è quello di trovare l’insieme dei valori (e si tratta quasi sempre di un
intervallo) che sostituiti alla lettera trasformano la disequazione in una disuguaglianza vera. Come
per le equazioni, la lettera presente in una disequazione si chiama incognita e, convenzionalmente,
si usa la lettera x.
Possiamo quindi dare la seguente:
Definizione di soluzione di una disequazione. La soluzione di una disequazione è l’insieme costituito da quei valori che sostituiti all’incognita trasformano la disequazione in una disuguaglianza
vera.
Per risolvere una disequazione abbiamo bisogno di 3 principi di equivalenza delle disequazioni, che
sono una diretta conseguenza delle proprietà invariantive delle disuguaglianze. Prima di enunciarli
abbiamo bisogno della seguente:
Definizione di disequazioni equivalenti. Due disequazioni si dicono equivalenti se hanno lo
stesso insieme di soluzioni.
Alessandro Bocconi
27
Principi di equivalenza delle disequazioni.
• Primo principio di equivalenza: addizionando o sottraendo una stessa quantità ad entrambi
i termini di una disequazione si ottiene una disequazione equivalente.
• Secondo principio di equivalenza: moltiplicando o dividendo per una stessa quantità maggiore di zero,
entrambi i termini di una disequazione si ottiene una disequazione equivalente.
• Terzo principio di equivalenza: moltiplicando o dividendo per una stessa quantità minore di zero
entrambi i termini di una disequazione, e cambiando il senso della disequazione, si ottiene una
disequazione equivalente.
Anche nel caso delle disequazioni quindi, la strategia di risoluzione è quella di trasformare la
disequazione, tramite i principi di equivalenza, in altre disequazioni equivalenti all’originale ma
più semplici: una volta risolta la disequazione più semplice avremo risolto anche la disequazione
assegnata in quanto hanno lo stesso insieme di soluzioni.
2.4
Disequazioni di primo grado numeriche intere
Ci occuperemo in questo paragrafo di risolvere disequazioni di primo grado, numeriche e intere.
Alla fine del precedente paragrafo abbiamo descritto la strategia di risoluzione di una disequazione. Adesso vediamo come trasformare una disequazione in una più semplice usando i principi di
equivalenza:
Conseguenze dei principi di equivalenza.
1. Spostando un monomio dal primo termine di una disequazione al secondo o viceversa, cambiandogli il segno, si ottiene una disequazione equivalente (conseguenza del primo principio
di equivalenza). Chiariamo col seguente esempio:
3x − 5 < 2x
e sommiamo ad entrambi i termini 5. Per quanto affermato dal primo principio di equivalenza
quello che otterremo è un’equazione equivalente alla precedente:
3x − 5+5 < 2x+5 →
3x < 2x + 5
e quindi si osserva che il monomio −5 è stato spostato al secondo termine col segno cambiato
(infatti è diventato +5).
2. Se l’equazione contiene delle frazioni possiamo trasformarla in un’equazione equivalente a
coefficienti interi (conseguenza del secondo principio di equivalenza). Chiariamo col seguente
esempio:
2
6
1
x− ≥ x+2
3
5
10
Determiniamo il minimo comune multiplo fra i denominatori e portiamo sia il primo che il
secondo termine ad un’unica frazione. Essendo 30 il m.c.m. fra i denominatori, otteniamo:
20x − 36
3x + 60
≥
30
30
Alessandro Bocconi
28
A questo punto possiamo usare il secondo principio di equivalenza moltiplicando il primo e il
secondo termine dell’equazione per il m.c.m. positivo, cioè 30:
630 ·
20x − 36
3x + 60
≥ 630 ·
630
630
→
20x − 36 ≥ 3x + 60
Abbiamo quindi trasformato la disequazione iniziale con le frazioni, in una equazione equivalente senza denominatori.
3. Cambiando il segno di tutti i monomi presenti nella disequazione, e cambiando il senso della disequazione, si ottiene una disequazione equivalente (conseguenza del terzo principio di
equivalenza). Chiariamo col seguente esempio:
−3x + 4 < −6
Usiamo il terzo principio di equivalenza moltiplicando il primo e il secondo termine per −1 e
cambiando il senso della disequazione:
(−1) · (−3x + 4) > (−1) · (−6)
→
3x − 4 > +6
A questo punto possiamo dare il seguente:
Metodo per la risoluzione delle disequazioni.
• Si eliminano le parentesi dall’equazione: se le espressioni al primo termine e/o al secondo termine contengono delle parentesi si eliminano seguendo le consuete regole del calcolo
algebrico.
• Si eliminano i denominatori: se la disequazione contiene delle frazioni si trasforma in una
equivalente a coefficienti interi agendo come illustrato nella seconda conseguenza dei principi
delle disequazioni.
• Si trasportano i monomi contenenti l’incognita nel primo termine della disequazione e i monomi che non la contengono al secondo termine agendo come detto nella prima conseguenza
dei principi delle disequazioni.
• Se il coefficiente dell’incognita è negativo si cambia il segno a tutti i monomi della disequazione
e si cambia il senso della disequazione, agendo come detto nella terza conseguenza dei principi
delle disequazioni.
Al termine di questi 4 punti abbiamo trasformato la disequazione originale in una equivalente del
tipo:
ax > b oppure ax ≥ b oppure ax < b oppure ax ≤ b
dove a è un numero positivo (lasciamo al prossimo paragrafo il caso in cui sia zero) e b un numero
qualunque. A questo punto si applica il secondo principio delle disequazioni dividendo entrambi
i termini per il numero a ottenendo (facciamo l’esempio col simbolo di disuguaglianza “>”, ma
ovviamente sarebbe lo stesso se avessimo un altro simbolo di disuguaglianza):
ax > b
→
6a
b
x>
6a
a
→
x>
b
a
e quindi l’insieme delle soluzioni è l’intervallo: S = {x ∈ R|x > ab }.
Alessandro Bocconi
29
Esempi (Il lettore attento si accorgerà che sono le stesse equazioni del capitolo precedente, trasformate in disequazioni)
.
Risolvere la disequazione: 3(x + 25 ) −
7
10
≤ 27 x −
3
2
Al primo termine compare una parentesi, eliminiamola effettuando il prodotto:
3x +
6
5
−
7
10
≤ 72 x −
3
2
Dal momento che ci sono delle frazioni si portano entrambi i termini a denominatore comune,
determinando il m.c.m. fra tutti i denominatori che è 20:
60x+24−14
20
≤
70x−30
20
Eliminiamo i denominatori:
60x+24−14
620
≤
70x−30
620
La disequazione è diventata
60x + 24 − 14 ≤ 70x − 30
→
60x + 10 ≤ 70x − 30
A questo punto spostiamo, cambiandogli di segno, i monomi contenenti la x al primo termine e
quelli che non la contengono al secondo:
60x − 70x ≤ −30 − 10
→
−10x ≤ −40
Dal momento che il coefficiente di x è negativo possiamo cambiare il segno a tutti i monomi della
disequazione, cambiando il senso della disequazione:
10x ≥ 40
Il coefficiente di x è 10. Dividiamo quindi entrambi i termini per 10:
610
610 x
≥
6404
6101
→
x≥
4
1
→
x≥4
Quindi la soluzione è S = {x ∈ R|x ≥ 4}.
.
Risolvere la disequazione
12x − 3(2x + 5) − 4 < −3x − 10 + 4(2 − 2x)
Eliminiamo le parentesi:
12x − 6x − 15 − 4 < −3x − 10 + 8 − 8x
6x − 19 < −11x − 2
A questo punto spostiamo, cambiandogli di segno, i monomi contenenti la x al primo termine e
quelli che non la contengono al secondo:
6x + 11x < −2 + 19
→
17x < 17
Il coefficiente di x è 17. Dividiamo quindi entrambi i termini per il numero positivo 17:
6171
x
6171
<
6171
6171
→
x<1
Quindi la soluzione è S = {x ∈ R|x < 1}.
.
Risolvere la disequazione 13 x −
2
3
≥ −x −
5
6
Portiamo entrambi i termini allo stesso denominatore; essendo il m.c.m. fra i denominatori 6 risulta:
2x−4
6
≥
−6x−5
6
Eliminiamo il comune denominatore:
2x−4
66
≥
−6x−5
66
→
2x + 6x ≥ −5 + 4
2x − 4 ≥ −6x − 5
→
8x ≥ −1
Alessandro Bocconi
30
Il coefficiente di x è 8. Dividiamo quindi entrambi i termini per 8:
6 81
x
6 81
≥ − 18
→
x ≥ − 18
Quindi la soluzione è S = {x ∈ R|x ≥ − 18 }.
.
Risolvere la disequazione −4x + 3 < 5(−2x + 35 )
Eliminiamo le parentesi
−4x + 3 < −10x + 3
−4x + 10x < +3 − 3
→
6x < 0
Il coefficiente di x è 6. Dividiamo quindi entrambi i termini per 6:
66
66x
<
0
6
→
x<0
Quindi la soluzione è S = {x ∈ R|x < 0}.
.
Risolvere la disequazione:
(x + 1)2 + 5x > x(x + 4) + 19
Eliminiamo le parentesi:
x2 + 2x + 1 + 5x > x2 + 4x + 19
→
x2 + 7x + 1 > x2 + 4x + 19
osserviamo che ci sono due monomi con l’incognita di grado 2. Spostiamo i monomi con la x al
primo termine e quelli senza al secondo termine (ovviamente cambiando il segno):
6x2 +7x −x
6 2 −4x > +19 − 1
i monomi di grado 2 si sono annullati a vicenda pertanto possiamo finire di risolvere l’equazione:
3x > 18
→
63
63x
>
6186
63
→
x>6
e quindi la soluzione è S = {x ∈ R|x > 6}.
2.5
Disequazioni determinate, disequazioni indeterminate e disequazioni impossibili
Le disequazioni affrontate nel paragrafo precedente hanno tutte come insieme delle soluzioni un
intervallo proprio di R (vedi fine del paragrafo 2.2). Diamo allora la seguente:
Definizione di disequazione determinata. Una disequazione di primo grado si dice determinata
se il suo insieme delle soluzioni è un intervallo proprio di R.
Adesso vedremo che non tutte le disequazioni sono determinate:
Definizione di disequazione impossibile. Una disequazione è impossibile quando non esiste
nessun valore che, sostituito all’incognita, trasforma la disequazione in una disuguaglianza vera. In
questo caso l’insieme delle soluzioni è l’insieme vuoto e si indica con S = ∅.
Definizione di disequazione indeterminata. Una disequazione è indeterminata quando qualunque valore sostituito all’incognita, trasforma la disequazione in una disuguaglianza vera. In
questo caso l’insieme delle soluzioni è l’insieme di tutti i possibili valori che può assumere x, cioè
l’intervallo improprio costituito da tutta la retta R, e si indica con S = {x ∈ R}.
Alessandro Bocconi
31
Per capire se una disequazione è indeterminata o impossibile vale la seguente regola:
Regola per determinare se una disequazione è indeterminata o impossibile. Se risolvendo
una disequazione scompaiono i monomi contenenti l’incognita (perché si sono annullati fra loro), la
disequazione, ormai priva di lettere, si trasforma in una disuguaglianza:
• se tale disuguaglianza è vera la disequazione è indeterminata
• se tale disuguaglianza è falsa la disequazione è impossibile.
Verifichiamo quanto detto con i seguenti:
Esempi
.
Risolvere la disequazione 2x − 12 > 2(5 + x)
2x − 12 > 10 + 2x
→
2x − 2x > 10 + 12
→
0 > 22
Osserviamo che l’incognita è scomparsa e la disequazione si è trasformata in una disuguaglianza.
Dal momento che tale disuguaglianza è falsa la disequazione è impossibile e la soluzione è l’insieme
vuoto S = ∅ (potremmo quindi provare a sostituire nella disequazione di partenza qualunque valore
a x, ma non otterremmo mai una disuguaglianza vera).
.
Risolvere la disequazione 2 + 4x − 10 < 4(x − 1)
2 + 4x − 10 < 4x − 4
→
4x − 8 < 4x − 4
→
4x − 4x < −4 + 8
→
0<4
Osserviamo che l’incognita è scomparsa e la disequazione si è trasformata in una disuguaglianza.
Dal momento che tale disuguaglianza è vera la disequazione è indeterminata e l’insieme soluzione
è S = {x ∈ R}.
Osservazione importante. Come abbiamo fatto per le equazioni, bisogna sempre ricordarsi che
una disequazione è indeterminata o impossibile soltanto se, durante la sua risoluzione, scompare
l’incognita.
2.6
Problemi risolubili tramite disequazioni di primo grado
Come per le equazioni una frequente applicazione delle disequazioni di primo grado è nella risoluzione di problemi. Consideriamo il seguente esempio:
Esempio
La compagnia telefonica A propone un abbonamento mensile di 12 euro e fa pagare ciascuna telefonata, indipendentemente dalla sua lunghezza, 10 centesimi; mentre la compagnia B non richiede
nessun abbonamento ma fa pagare ciascuna telefonata 30 centesimi. Quale compagnia conviene di
più?
È ovvio che la risposta dipende dal numero di telefonate mensili che vengono fatte. Quindi chiamiamo con x il numero di telefonate al mese. Osserviamo che nel problema ci sono 2 unità di misura
Alessandro Bocconi
32
diverse (euro e centesimi); portiamo tutto a centesimi e quindi l’abbonamento di 12 euro diventa di
1200 centesimi. La compagnia B è più conveniente se il prodotto fra il numero di chiamate al mese
(x), per il costo di ciascuna chiamata (30 centesimi per la compagnia B) è minore del prodotto fra
il numero di chiamate al mese (x), per il costo di ciascuna chiamata (10 centesimi per la compagnia
A) più l’abbonamento mensile (1200 centesimi). In formula:
30x < 10x + 1200
Risolviamo questa semplice disequazione:
30x < 10x+1200
→
30x−10x < 1200
→
20x < 1200
→
60
620
1200
6
x<
620
620 1
→
x < 60
Quindi la compagnia B risulta più conveniente se vengono effettuate meno di 60 chiamate al mese
(circa 2 al giorno).
Come per le equazioni anche per questi problemi le soluzioni sono sottoposte a vincoli, anche se,
per le disequazioni, consideriamo solo i vincoli di range (in questo caso solo che x ≥ 0 in quanto
non è possibile effettuare un numero negativo di telefonate).
Osservazione. Il motivo per cui non consideriamo il vincolo di interezza si può ben spiegare
utilizzando lo stesso esempio precedente cambiando soltanto il dato del costo di ciascuna chiamata
della compagnia B in 28 centesimi anziché 30. Quindi x rimane il numero di chiamate e, ovviamente,
il numero di chiamate deve essere un numero intero. Impostiamo la disequazione e risolviamola:
28x < 10x+1200
→
28x−10x < 1200
→
18x < 1200
→
200
618
1200
6
x<
618
618 3
→
x<
200
3
Ora 200
3 non è un numero intero (infatti corrisponde al numero periodico 66, 6). Ma questo non
vuol dire che la soluzione non è accettabile, perchè la soluzione è rappresentata da tutti i numeri
interi minori di 66, 6, cioè 66, 65, 64 . . . eccetera. Non consideriamo quindi i vincoli di interezza,
perché, anche se la soluzione è delimitata da un numero non intero, è ugualmente accettabile.
Le fasi di risoluzione di un problema sono quindi:
1. Individuazione dell’incognita (cioè quale grandezza chiamare con la x).
2. Individuazione dei vincoli di range a cui deve sottostare l’incognita.
3. Creazione della disequazione risolutiva.
4. Risoluzione di tale disequazione
5. Verifica se la soluzione è accettabile.
Esempi
. Quando Franco nacque suo padre Francesco aveva 22 anni. Una vecchia leggenda dice che un
uomo è considerato giovane fino a che la sua età è maggiore del triplo di quella del figlio. Secondo
la leggenda fino a che età del figlio Franco, Francesco può considerarsi ancora giovane?
1. Indichiamo con x gli anni del figlio (Franco). Quindi, dal momento che Francesco ha 22 anni
in più, l’età di Francesco è x + 22.
Alessandro Bocconi
33
2. Vincoli: deve risultare che x deve essere maggiore di 0 (Franco non può avere un numero di
anni negativo)
3. Francesco è giovane fino a che la sua età (x + 22) è maggiore dell’età del figlio moltiplicata 3
(quindi 3x):
x + 22 > 3x
4. Risolviamola:
x+22 > 3x
→
x−3x > −22
→
−2x > −22
→
2x < 22
→
62
622 11
x=
62
62 1
→
5. La soluzione soddisfa il vincolo.
Quindi Francesco è giovane fino a che Franco non raggiunge 11 anni.
. Roberta nei primi due compiti di storia ha preso 4 e 5 (voti espressi in decimi). Quanto deve
prendere al terzo e ultimo compito per avere almeno la media del 6?
1. Indichiamo con x il voto che deve prendere al terzo compito.
2. Vincoli: dal momento che i voti vanno da 1 a 10 deve risultare che x deve essere maggiore o
uguale a 1 e minore o uguale a 10.
3. la media su 3 voti si ottiene sommando i 3 voti e dividendo per 3. Dal momento che tale
media deve essere almeno 6 (e quindi maggiore o uguale a 6) la disequazione è:
4+5+x
≥6
3
4. Risolviamola:
4+5+x
≥6
3
→
4+5+x
18
≥
63
63
→
4+5+x ≥ 18
→
x ≥ 18−4−5
→
x≥9
5. La soluzione soddisfa il vincolo e quindi Roberta per avere la media del 6 deve prendere
almeno 9.
2.7
Domande
Paragrafo 2.1
1. Definisci le disuguaglianze, le disuguaglianze false, le disuguaglianze vere.
2. Che differenza c’è fra il simbolo “<” e il simbolo “≤”?
3. Cosa significa cambiare il senso di una disuguaglianza?
4. Cosa dicono le 3 proprietà invariantive delle disuguaglianze?
Paragrafo 2.2
5. Come è definito un intervallo limitato?
x < 11
Alessandro Bocconi
34
6. Che parentesi si usa per indicare che un estremo appartiene all’intervallo? E che parentesi si
usa se invece non ci appartiene?
7. Definisci un intervallo chiuso
8. Definisci un intervallo aperto
9. Definisci un intervallo aperto a destra
10. Definisci un intervallo aperto a sinistra
11. Con la rappresentazione insiemistica come si rappresenta l’intervallo [a; b]?
12. Con la rappresentazione insiemistica come si rappresenta l’intervallo (a; b)?
13. Con la rappresentazione insiemistica come si rappresenta l’intervallo (a; b]?
14. Con la rappresentazione insiemistica come si rappresenta l’intervallo [a; b)?
15. Definisci un intervallo illimitato
16. Fai un esempio di intervallo chiuso illimitato superiormente
17. Fai un esempio di intervallo aperto illimitato superiormente
18. Fai un esempio di intervallo chiuso illimitato inferiormente
19. Fai un esempio di intervallo aperto illimitato inferiormente
20. Perché è sbagliata la notazione [3; +∞]?
21. Con la rappresentazione insiemistica come si rappresenta l’intervallo [a; +∞)?
22. Con la rappresentazione insiemistica come si rappresenta l’intervallo (a; +∞)?
23. Con la rappresentazione insiemistica come si rappresenta l’intervallo (−∞; a]?
24. Con la rappresentazione insiemistica come si rappresenta l’intervallo (−∞; a)?
25. Quali sono i 2 unici intervalli impropri?
Paragrafo 2.3
26. Definisci una disequazione
27. Quando 2 disequazioni sono equivalenti?
28. Illustra i 3 principi di equivalenza
Paragrafo 2.4
29. Mostra con un esempio che spostare un monomio dal primo termine al secondo termine di
una disequazione cambiandogli il segno è una conseguenza del primo principio di equivalenza.
30. Mostra con un esempio che eliminare i denominatori di una disequazione è una conseguenza
del secondo principio di equivalenza.
31. Mostra con un esempio che cambiare il segno a tutti i monomi di una disequazione cambiando
il senso della disequazione stessa è una conseguenza del terzo principio di equivalenza.
Paragrafo 2.5
32. Quando una disequazione è determinata?
33. Quando una disequazione è indeterminata?
Alessandro Bocconi
35
34. Quando una disequazione è impossibile?
35. Come capiamo che una disequazione è indeterminata oppure impossibile?
Paragrafo 2.6
36. Perchè nei problemi da risolvere con le disequazioni non viene considerato il vincolo di
interezza?
2.8
Esercizi e problemi
Paragrafo 2.1
1. Determina se sono vere o false le seguenti disuguaglianze:
23 − 1 ≥ 4 + 24 : 4;
3 · 2 − 1 < 5 + 1;
5−2≤
1
3
+
10
3
−
2
3
Verifica le seguenti disuguaglianze:
20 : 4 · 8 : 10 : 2 · 5 : 1 ≥ (4 + 2 · 5) : (0 + 7) + (1 + 3 · 2) + 1
2.
3. (10 − 2 · 3) · (13 − 5 · 2) : (0 + 3 · 2) ≤ 2 · 6 + 50 + 30 − (2 + 8 · 5) + 5 · (7 − 1 · 4) − (3 + 3 · 2 · 2) · 4 − 7
4. (14+4·5−4) : 10+10 : (5+5)+2·(7−3·2)−3 < 36 : 6 : (1+5)+39−5·4·(8−7)·(7·6−5·8)+3
Paragrafi 2.4 e 2.5
Risolvi le seguenti disequazioni
5. 2(x + 2) − 3(3 − x) > 10
[S = {x ∈ R|x > 3}]
6. 4x − 4(x + 2) ≤ −2x − 5(x + 3)
7. 10 − 7x < 2(x + 5)
8.
6x+3
2
9. 2 +
7x+2
7
≥
3x+5
2
+
[S = {x ∈ R|x > 0}]
28x+17
14
− 12x <
[S = {x ∈ R|x ≤ −1}]
[S = {x ∈ R}]
3x+2
3
[S = {x ∈ R|x > 13 }]
[S = {x ∈ R|x < − 12 }]
10. (2x + 1)2 − 10x > 4x(x + 3) + 10
[S = {x ∈ R|x ≥ 12 }]
11. −[2x + 10(6x + 1) − 41] + 4x ≤ 6(1 + 2x) − 10
12.
4x+1
4
13. x −
−
1
3
6x+2
3
+
x+2
6
<
5−12x
12
> 4(x − 1) +
[S = {x ∈ R}]
7
6
[S = {x ∈ R|x < 1}]
14. 2x(3x − 2) − (x + 1)(x − 1) ≥ 5x(x − 1)
[S = {x ∈ R|x ≥ −1}]
15. 2(x + 7) − 3x + 4[1 + 2(2x − 1)] ≤ 10(2x + 1) − 5x
16.
1
5x
+
5
4
2
< − 27
20 − 3 x
[S = {x ∈ R|x < −3}]
17. 8x − (−2x − 5) + x ≥ −x + 23
18.
1
5
+ 22 x +
1
2
≤
7
10
+ 5x − x
1 2
6x
> −1 +
21.
1
2
1−2x
3
≤
x(x+3)
6
[S = {x ∈ R|x ≥ 32 }]
[S = {x ∈ R}]
19. 2000x + 10000 < 4000(1 + 2x)
20.
[S = {x ∈ R}]
[S = {x ∈ R|x > 1}]
[S = {x ∈ R|x < 2}]
[S = {x ∈ R|x ≥ − 14 }]
Alessandro Bocconi
36
22. x + 8 + 3x2 + 2(x − 4) ≥ 3(x2 + x)
[S = {x ∈ R}]
[S = {x ∈ R|x > 56 }]
23. 2(2x + 2) − 2x > 4 + 3(2 − x)
24. (x + 2)(x − 3) − 2(1 − 3x) < (x − 1)(x + 1) + 3
25. 2x + [2 − 3(x − 1) + x] ≤ 4(x + 1) + 1
26. 2[ 2x−1
2 +
27.
3x+8
6
−
2x+1
4 ]
7x+4
3
>
x+1
2
−
x
2
+
1
2
[S = {x ∈ R|x ≥ 0}]
[S = {x ∈ R|x > 12 }]
[S = {x ∈ R|x > 0}]
<0
28. −5(1 + x) + 2(x − 3) − 2 ≥ −1 + x + 2(1 − x)
29.
1
8
30.
1 2x+1
6( 2
− 15(4 − x2 ) + x − 2(x − 1) − 2x ≥ 92 x − 1
−
2x−1
3
+ x ≤ − x3 + 56 ( 2x+1
2 +
2x−1
3 )
[S = {x ∈ R}]
[S = ∅]
32. 3(2x − 5)2 ≥ (4x − 1)2 − 5x(2x + 10) − 2(x − 37)
2x−1
10
+9+
x
60
<
3x+1
3
−
2
15 (3x
− 1)
[S = {x ∈ R}]
[S = {x ∈ R|x > 22}]
34. 2 + 3(x − 1) − (2x + 1) > −4x + 12 − 3(x + 2)
35. 5(2x + 3) + 10(3x + 1) > 3(6 − 3x)
[S = {x ∈ R|x ≤ −7}]
[S = ∅]
31. 3 + [−(1 − x) − 5(1 − 2x)] < x + 5(2x − 3)
33.
[S = {x ∈ R|x < 2}]
[S = {x ∈ R|x > 1}]
[S = {x ∈ R|x > − 17 }]
Paragrafo 2.6
Risolvi i seguenti problemi evidenziando il vincolo di range e verificando se la soluzione è
accettabile
36. Un rettangolo ha un lato di 6 cm. Quanto deve essere l’altro lato affinchè l’area sia maggiore
o uguale a 42 cm2 ?
37. Per ottenere una borsa di studio Francesco deve avere almeno la media del 7 in tutte le
materie. Ai primi 3 compiti di matematica ha preso 6, 5 e 6 (voti espressi in decimi). Quanto
deve prendere nel quarto e ultimo compito per ottenere la borsa?
38. Un venditore di penne acquista le penne ad un euro l’una e le rivende a 3 euro l’una. Ogni
mese ha delle spese fisse di 250 euro. Mensilmente quante penne deve vendere per non essere
in perdita?
39. Un montacarichi può portare un peso massimo di 750kg. Devono essere trasportati dei radiatori in ghisa del peso di 120 kg l’uno. Considerando che l’addetto del montacarichi (che deve
viaggiare con i radiatori) pesa 70kg quanti radiatori al massimo possono essere trasportati in
ciascun viaggio?
40. Mario ha comprato per 45 euro una tessera che gli permette di andare tutto l’anno al cinema
spendendo 5 euro anzichè 8. Quante volte deve andare al cinema in un anno perchè la tessera
gli sia convenuta?
41. Martina vuole organizzare una festa e affitta una stanza di capienza massima 120 persone.
Ogni persona invitata direttamente da lei può portare con sé altri 3 amici. Quante persone
può invitare direttamente Martina per essere sicura di non superare le 120 persone totali?
42. In una gara di tiro al piattello ogni giocatore ha a disposizione 100 lanci per superare il
punteggio minimo di 210. Se il tiratore centra il piattello totalizza 3 punti altrimenti 0.
Dopo 60 lanci ha realizzato 87 punti. Quanti centri deve fare nei restanti tiri per superare il
punteggio minimo?
Alessandro Bocconi
37
43. In un girone eliminatorio di 4 squadre, passano le prime 2. In caso di parità si qualifica la
squadra con differenza reti migliore. I risultati delle prime 2 giornate sono stati: Italia-Polonia
0-0; Camerun-Perù 3-1; Italia-Perù 1-2; Polonia-Camerun 2-2. L’ultima partita dell’Italia è
contro il Camerun. Se vince l’Italia le 2 squadre vanno a pari punteggio, ma con quanti gol
di scarto deve vincere per superare in classifica il Camerun?
44. una compagnia telefonica fa spendere 20 centesimi per ogni telefonata e 15 centesimi per ogni
sms. La mamma paga a Tommaso 10 euro al mese di ricarica telefonica. Dal momento che
Tommaso ogni mese effettua sempre 35 telefonate, quanti sms può inviare al mese per restare
sotto i 10 euro?
45. Per preparare una torta i grammi di zucchero devono essere un terzo dei grammi di farina.
Quanti grammi di farina ci vogliono per preparare più di un chilo di torta?
Capitolo 3
I sistemi di primo grado
3.1
Le equazioni con due incognite
Consideriamo adesso la seguente equazione:
2x + y = 5
Rispetto alle equazioni del primo capitolo ci accorgiamo subito che sono presenti 2 incognite. In
modo analogo a come abbiamo definito la soluzione di un’equazione ad una sola inconita, diamo la:
Definizione di soluzione di un’equazione con 2 incognite. Risolvere un’equazione con 2
incognite, significa trovare una coppia di valori che, sostituiti alle incognite, trasformino l’equazione
in una uguaglianza vera.
Osservazione. Una soluzione è quindi costituita da una coppia di valori: è sbagliato pensare che,
dal momento che abbiamo trovato 2 valori, siamo di fronte a 2 soluzioni.
Torniamo quindi all’equazione da cui siamo partiti e proviamo a trovare una soluzione: con un
po’ di intuizione vediamo che la coppia (2; 1) è soluzione dell’equazione. Infatti sostituendo ad x
il valore 2 e ad y il valore 1 (convenzionalmente il primo valore è sempre la x e il secondo la y)
otteniamo:
primo termine: 2 · 2 + 1 = 4 + 1 = 5
secondo termine: 5
quindi sostituendo la coppia (2; 1) alle incognite l’equazione diventa un’uguaglianza vera e quindi
(2; 1) rappresenta una soluzione dell’equazione. Sarà l’unica? Proviamo la coppia (1; 3):
primo termine: 2 · 1 + 3 = 2 + 3 = 5
secondo termine: 5
e quindi anche (1; 3) è soluzione. Proviamo ( 21 ; 4):
primo termine: 6 2 ·6 21 + 4 = 1 + 4 = 5
secondo termine: 5
e quindi anche ( 12 ; 4) è soluzione. Proviamo (−3; 11):
38
Alessandro Bocconi
39
primo termine: 2 · (−3) + 11 = −6 + 11 = 5
secondo termine: 5
e quindi anche (−3; 11) è soluzione.
La sensazione che le coppie di valori che sono soluzioni dell’equazione siano infinite è avvalorata
dal seguente:
Teorema. Un’equazione con due incognite ha infinite soluzioni.
Osservazione. Il fatto che un’equazione con 2 incognite abbia infinite soluzioni non significa che
qualunque coppia di valori sia soluzione dell’equazione. Verifichiamo quanto detto con la solita
equazione prendendo ad esempio i valori (2; 3):
primo termine: 2 · 2 + 3 = 4 + 3 = 7
secondo termine: 5
e quindi (2; 3) non è soluzione.
In un linguaggio non del tutto appropriato potremmo dire che, sebbene le soluzioni di un’equazione
con 2 incognite siano infinite, sono molte di più le coppie che non sono soluzione dell’equazione.
Metodo per determinare le soluzioni di un’equazione in 2 incognite. Un buon metodo
per ricavarsi le soluzione di un’equazione in 2 incognite è quello di “esplicitarsi” un’incognita in
funzione dell’altra, cioè, usando i principi di equivalenza, lasciare solo un’incognita al primo termine
e il resto al secondo termine. Chiariamo usando sempre lo stesso esempio:
2x + y = 5
→
y = −2x + 5
a questo punto possiamo dare ad x dei valori qualunque e calcolarsi il relativo valore di y. Per
esempio se ad x diamo il valore 1 e lo sostituiamo nell’equazione otteniamo
y = −2 · 1 + 5
→
y = −2 + 5
→
y=3
Quindi la coppia (1; 3) è soluzione dell’equazione.
3.2
I sistemi di primo grado
Supponiamo adesso di avere 2 equazioni entrambe con 2 incognite. Per quanto visto nel precedente
paragrafo tutte e 2 le equazioni hanno infinite soluzioni. Ci chiediamo se fra le infinite coppie
che risolvono la prima equazione e le infinite coppie che risolvono la seconda equazione ce ne sia
almeno una che risolve entrambe le equazioni. Porsi questa domanda vuol dire provare a risolvere
un sistema di due equazioni con 2 incognite.
Definizione di soluzione di un sistema di 2 equazioni con 2 incognite. La soluzione di un
sistema di due equazioni in due incognite è costituita da quelle coppie di valori che, sostituite alle
incognite, rendono entrambe le equazioni uguaglianze vere.
Alessandro Bocconi
40
Osservazione. Esistono sistemi di 3 equazioni con 3 incognite: in tal caso la definizione di soluzione
è identica alla precedente basta sostituire a “coppie di valori. . . ” delle “terne di valori che sostituiti
alle incognite rendono le 3 equazioni uguaglianze vere”. Allo stesso modo potremmo continuare
con sistemi di 4 equazioni con 4 incognite o di 5 equazioni con 5 incognite eccetera eccetera.
Osservazione 2. Esistono sistemi in cui il numero di equazioni è diverso dal numero delle incognite.
Tali sistemi non rientrano nella nostra trattazione.
Notazione. Il simbolo che ci permette di capire che siamo di fronte ad un sistema è un’unica
parentesi graffa che precede tutte le equazioni.
Definizione di grado di un sistema. Il grado di un sistema è dato dal prodotto dei gradi delle
singole equazioni che lo compongono.
Dal momento che in questo capitolo ci occuperemo soltanto di sistemi di primo grado, significa che
tutte le equazioni che compongono tali sistemi sono di primo grado.
Torniamo adesso all’esempio del paragrafo precedente:
2x + y = 5
di questa equazione abbiamo trovato qualcuna delle infinite coppie che sono soluzione (erano (2; 1),
(1; 3), ( 12 ; 4), (−3; 11)). Consideriamo adesso l’equazione:
10x − y = 1
e verifichiamo se le coppie soluzioni della precedente sono anche soluzioni di questa. Proviamo
(2; 1):
primo termine: 10 · 2 − 1 = 20 − 1 = 19
secondo termine: 1
Quindi (2; 1) non è soluzione dell’ultima equazione. Proviamo (1; 3):
primo termine: 10 · 1 − 3 = 10 − 3 = 7
secondo termine: 1
Quindi (1; 3) non è soluzione dell’ultima equazione. Proviamo ( 12 ; 4):
primo termine: 610 5 · 6 21 − 4 = 5 − 4 = 1
secondo termine: 1
Quindi ( 12 ; 4) è soluzione dell’ultima equazione.
Possiamo affermare quindi che la coppia ( 21 ; 4) essendo soluzione di entrambe le equazioni risolve il
sistema:
2x + y = 5
10x − y = 1
Alessandro Bocconi
41
Osservazione. Si potrebbe obiettare che il metodo che abbiamo usato per trovare la soluzione del
sistema non è certo ottimale, soprattutto per il fatto che, se al terzo tentativo non avessimo trovato
la soluzione avremmo dovuto continuare indefinitamente con i tentativi. Per risolvere correttamente
un sistema si useranno i metodi illustrati nei prossimi paragrafi.
3.3
Sistemi in forma normale
Definizione di sistema in forma normale. Un sistema si dice in forma normale se in entrambe
le equazioni le incognite compaiono una sola volta e sono ai primi termini delle equazioni, mentre
i termini noti sono ai secondi termini delle equazioni.
Esempi
.
Il sistema alla fine del precedente paragrafo è in forma normale.
.
Il seguente sistema:
7x + y − 3x + 2 = 5
10x = 1 + 4y
non è in forma normale perché nella prima equazione compare 2 volte la x e c’è un termine noto
al primo termine (+2). Inoltre la seconda equazione ha la y al secondo termine. Un sistema come
questo si può comunque facilmente ridurre a forma normale usando i noti principi di equivalenza
delle equazioni:
7x + y − 3x + 2 = 5
10x = 1 + 4y
→
4x + y = 5 − 2
10x − 4y = 1
→
4x + y = 3
10x − 4y = 1
Per questo nel seguito della trattazione useremo quasi sempre esempi con sistemi in forma normale.
3.4
Risoluzione di un sistema: il metodo della sostituzione
Illustriamo il metodo della sostituzione per passi tramite un esempio:
.
Risolvere il sistema:
2x + 3y = 13
5x − y = 7
1. Scegliamo una qualunque delle due equazioni e all’interno della quale scegliamo una delle due
incognite da esplicitarsi (cioè lasciare al primo termine solo un’incognita con coefficiente 1):
Scegliamo ad esempio di esplicitarsi y dalla seconda equazione:
Alessandro Bocconi
2x + 3y = 13
5x − y = 7
42
→
2x + 3y = 13
−y = −5x + 7
→
2x + 3y = 13
y = 5x − 7
2. Sostituiamo nell’altra equazione, all’incognita esplicitata, l’espressione che abbiamo ricavato. Quindi, in questo esempio, nella prima equazione sostituiamo alla y l’espressione 5x − 7.
Sappiamo che tale sostituzione è corretta perché la seconda equazione ci dice che in questo
sistema y e 5x − 7 sono fra loro uguali:
2x + 3(5x − 7) = 13
y = 5x − 7
Questa sostituzione ha l’enorme vantaggio di aver trasformato la prima equazione in un’equazione con una sola incognita
3. Si risolve l’equazione con un’incognita:
(
2x + 3(5x − 7) = 13
y = 5x − 7
2
= 634
6171
y = 5x − 7
617
617 x
→
→
2x + 15x − 21 = 13
y = 5x − 7
→
17x = 13 + 21
y = 5x − 7
x=2
y = 5x − 7
4. A questo punto il valore di un’incognita è stato trovato. Per determinare il valore dell’altra si
sostituisce tale valore nell’altra equazione. Nel nostro caso sostituiamo ad x il valore 2 nella
seconda equazione:
x=2
y =5·2−7
→
x=2
y = 10 − 7
→
x=2
y=3
La soluzione finale si scrive quindi:
S = {x, y ∈ R|x = 2, y = 3}
Osserviamo che scegliere di esplicitarsi y dalla seconda equazione è una della possibilità che abbiamo. Verifichiamo che anche una scelta diversa avrebbe portato allo stesso risultato:
1. Scegliamo di esplicitarsi x dalla prima equazione:
2x + 3y = 13
5x − y = 7
→
2x = −3y + 13
5x − y = 7
(
→
62
62x
= −3y+13
2
5x − y = 7
Alessandro Bocconi
43
2. Sostituiamo nella seconda equazione ad x l’espressione
−3y+13
.
2
x = −3y+13
2
5 −3y+13
−
y
=7
2
3. Si risolve l’equazione con un’incognita:
(
x = −3y+13
2
5 −3y+13
−
y
=7
2
→
x = −3y+13
2
−15y + 65 − 2y = 14
−3y+13
2
617
6513
y
=
617
6171
x=
x = −3y+13
2
−15y+65
−
y
=7
2
→
→
x=
(
→
x = −3y+13
2
−17y = 14 − 65
−3y+13
2
−15y+65−2y
14
=
62
62
x=
→
x = −3y+13
2
17y = 51
−3y+13
2
y=3
4. Sostituiamo ad y il valore 3 nella prima equazione:
x=
−3·3+13
2
y=3
(
→
2
x = 66 241
y=3
→
x=2
y=3
Il risultato è quindi lo stesso che abbiamo ottenuto prima.
Osservazione. È immediato osservare che il secondo procedimento è risultato più lungo e laborioso del primo, e questo è dovuto al fatto che nel secondo caso, esplicitandosi la x, è comparso
il denominatore. Per questo motivo se è possibile, è sempre consigliabile esplicitarsi un’incognita
che compare con coefficiente 1 o −1 (come accade alla y nella seconda equazione di questo esempio). Ovviamente se nessuna incognita compare con coefficiente 1 o −1 non possiamo evitare i
denominatori.
Esempi
Risolvere il sistema:
3x + 4y − 5 = 0
−x − 3y = −5
Per l’osservazione appena fatta scegliamo di esplicitarsi la x dalla seconda equazione:
3x + 4y − 5 = 0
−x = +3y − 5
→
3x + 4y − 5 = 0
x = −3y + 5
Sostituiamo ad x nella prima equazione l’espressione −3y + 5:
Alessandro Bocconi
44
3(−3y + 5) + 4y − 5 = 0
x = −3y + 5
e risolviamo la prima equazione:
(
−9y + 15 + 4y − 5 = 0
x = −3y + 5
2
= 6610
51
x = −3y + 5
65
65y
→
→
−5y = −10
x = −3y + 5
→
5y = 10
x = −3y + 5
y=2
x = −3y + 5
Sostituiamo nella seconda equazione ad y il valore 2:
y=2
x = −3 · 2 + 5
→
y=2
x = −6 + 5
→
y=2
x = −1
La soluzione finale risulta quindi:
S = {x, y ∈ R|x = −1, y = 2}
.
Risolvere il sistema:
3x + y = 7
9x − 2y = −9
Scegliamo di esplicitarsi y dalla prima equazione:
y = −3x + 7
9x − 2y = −9
Sostituiamo ad y nella seconda equazione l’espressione −3x + 7:
y = −3x + 7
9x − 2(−3x + 7) = −9
e risolviamo la seconda equazione:
y = −3x + 7
9x + 6x − 14 = −9
(
→
y = −3x + 7
615
6 51
615 x = 6153
→
y = −3x + 7
x = 31
Alessandro Bocconi
45
Sostituiamo nella prima equazione ad x il valore 13 :
y = − 6 3 1 · 6 311 x + 7
x = 13
→
y = −1 + 7
x = 13
→
y=6
x = 31
La soluzione finale risulta quindi:
1
S = {x, y ∈ R|x = , y = 6}
3
3.5
Sistemi determinati, indeterminati e impossibili
Tutti i sistemi visti nei precedenti paragrafi hanno un’unica soluzione. Tali sistemi si dicono
determinati. Esistono però sistemi che non hanno nessuna soluzione (sistemi impossibili) e
sistemi che ne hanno infinite (sistemi indeterminati).
Nella risoluzione di un sistema ci accorgiamo se è indeterminato o impossibile se accade che durante
la risoluzione scompare l’incognita e una delle due equazioni si trasforma in un’uguaglianza. Se
tale uguaglianza è falsa il sistema è impossibile mentre se tale uguaglianza è vera il sistema è
indeterminato.
Osservazione 1. Il lettore faccia caso che per i sistemi impossibili e indeterminati valgono le stesse
regole delle equazioni impossibili e indeterminate e delle disequazioni impossibili e indeterminate.
Osservazione 2. Il fatto che un sistema sia indeterminato non vuol dire che qualunque coppia di
valori è soluzione del sistema. Quando una delle 2 equazioni si trasforma in una uguaglianza vera
le soluzioni del sistema sono date dalle coppie che risolvono l’altra equazione.
Chiariamo quanto detto tramite esempi.
Esempi
.
Risolvere il sistema
3x − y = 4
−6x + 2y = 3
Scegliamo di esplicitarsi y dalla prima equazione:
−y = −3x + 4
−6x + 2y = 3
→
y = 3x − 4
−6x + 2y = 3
Sostituiamo ad y nella seconda equazione l’espressione 3x − 4:
Alessandro Bocconi
y = 3x − 4
−6x + 2(3x − 4) = 3
46
→
y = 3x − 4
−6x
6
+ 66x −8 = 3
→
y = 3x − 4
−8 = 3
Nella seconda equazione è scomparsa l’incognita ed è diventata un’uguaglianza falsa. Pertanto il
sistema non ha soluzioni ed è quindi impossibile e si scrive S = ∅.
.
Risolvere il sistema
x − 2y = 1
3x − 6y = 3
Scegliamo di esplicitarsi x dalla prima equazione:
x = 2y + 1
3x − 6y = 3
Sostituiamo ad x nella seconda equazione l’espressione 2y + 1:
x = 2y + 1
3(2y + 1) − 6y = 3
→
x = 2y + 1
66y +3− 66y= 3
→
x = 2y + 1
3=3
Nella seconda equazione è scomparsa l’incognita ed è diventata un’uguaglianza vera. Quindi il
sistema è indeterminato e ha come soluzione le infinite coppie che risolvono la prima equazione.
Pertanto scriviamo S = {x, y ∈ R|x = 2y + 1}.
3.6
Il metodo del confronto
Affrontiamo adesso il metodo del confronto, mentre non considereremo in questa trattazione il
metodo di riduzione e il metodo di Cramer, rimandando ad altri testi il lettore interessato.
È ovvio che la soluzione del sistema non dipende dal metodo utilizzato e quindi troviamo la stessa
soluzione qualunque metodo usiamo. È altresı̀ vero però che, a seconda del sistema, un metodo
può essere più conveniente di un altro, ed è solo l’esperienza e l’intuizione che ci suggerisce di volta
in volta qual’è il metodo più indicato.
Il metodo del confronto consiste nell’esplicitarsi la stessa incognita in entrambe le equazioni (supponiamo ad esempio la y). In questo modo in tutte e 2 l’equazioni al primo termine abbiamo la
sola y e al secondo un’espressione che contiene solo la x. Dal momento che entrambe le espressioni
contenenti la x sono uguali a y, devono essere anche uguali fra loro. Allora uguagliando le due
espressioni con la x otteniamo un’equazione nella sola incognita x che risolviamo. Una volta nota
la x, tramite una delle altre 2 equazioni ricaviamo la y. Chiariamo con un esempio:
Esempio
.
Risolvere il sistema:
3x + y = 7
5x − 2y = 8
Alessandro Bocconi
47
Scegliamo di esplicitarsi y sia nella prima che nella seconda equazione:
y = −3x + 7
−2y = −5x + 8
→
(
y = −3x + 7
2y = 5x − 8
→
y = −3x + 7
62
5x−8
62y =
2
Dal momento che le due espressioni contenenti la x sono entambe uguali a y devono essere anche
uguali fra loro. Scriviamo quindi nel sistema, al posto di una qualunque delle 2 equazioni, l’uguaglianza fra tali espressioni:
y = −3x + 7
−3x + 7 = 5x−8
2
e risolviamo la seconda equazione nella sola incognita x:
y = −3x + 7
−6x+14
= 5x−8
62
62
y = −3x + 7
−11x = −22
→
(
→
y = −3x + 7
−6x + 14 = 5x − 8
y = −3x + 7
611
6222
611 x = 6111
→
→
y = −3x + 7
−6x − 5x = −14 − 8
y = −3x + 7
x=2
Sostituiamo nella prima equazione ad x il valore 2:
y = −3 · 2 + 7
x=2
→
y=1
x=2
La soluzione finale risulta quindi:
S = {x, y ∈ R|x = 2, y = 1}
3.7
Problemi risolubili tramite sistemi di primo grado
Molti problemi che abbiamo affrontato nel primo capitolo e abbiamo risolto utilizzando le equazioni
di primo grado possono essere risolti mediante l’utilizzo dei sistemi. Prendiamo l’esempio già visto
nel paragrafo 1.5:
Esempio
. L’autostrada Firenze Pistoia è lunga 30 km. Lungo il percorso c’è Prato. La distanza da Firenze
a Prato è un quarto della distanza fra Prato e Pistoia. Quanti chilometri ci sono fra Prato e Pistoia?
Quanti fra Firenze e Prato?
Alessandro Bocconi
48
Dal momento che ci viene richiesta sia la distanza fra Prato e Pistoia sia quella fra Firenze e Prato,
poniamo:
x = distanza in chilometri fra Prato Pistoia
y = distanza in chilometri fra Firenze Prato
I vincoli (vedi sempre paragrafo 1.5) sono:
• x e y non devono necessariamente essere interi (i chilometri sono frazionabili)
• deve risultare 0 ≤ x ≤ 30;
0 ≤ y ≤ 30
Utilizziamo i dati del problema: innanzitutto la distanza da Firenze a Prato (che abbiamo indicato
con y) è uguale a un quarto della distanza fra Prato e Pistoia (che abbiamo indicato con x). Quindi:
1
y= x
4
inoltre sommando le 2 distanze si ottiene la distanza totale, cioè 30 km, quindi:
x + y = 30
Otteniamo allora il sistema:
y = 14 x
x + y = 30
Che risolto porta alla soluzione:
x = 24
y=6
che ovviamente la stessa di quella trovata al paragrafo 1.5.
. In un negozio di sport ci sono 21 scatole di palline da tennis. Alcune scatole contengono 3
palline e alcune scatole ne contengono 4. In tutto ci sono 69 palline da tennis. Quante sono le
scatole da 3 palline? Quante sono le scatole da 4 palline?
Indichiamo con x il numero di scatole contenenti 3 palline e con y il numero di scatole contenenti
4 palline.
I vincoli (vedi sempre paragrafo 1.5) sono:
• x e y interi.
• deve risultare 0 ≤ x ≤ 21;
0 ≤ y ≤ 21
Utilizziamo i dati del problema: in tutto le scatole sono 21, quindi se sommiamo il numero di
scatole da 3 palline (che abbiamo indicato con x) col numero di scatole da 4 palline (che abbiamo
indicato con y) otteniamo 21:
x + y = 21
Inoltre, dato che in ciascuna delle x scatole sono contenute 3 palline avremo che il numero di palline
contenute nelle scatole da 3 è 3x e, dato che in ciascuna delle y scatole sono contenute 4 palline
avremo che il numero di palline contenute nelle scatole da 4 è 4y. Ma in totale le palline sono 69
quindi:
3x + 4y = 69
Otteniamo allora il sistema:
x + y = 21
3x + 4y = 69
Alessandro Bocconi
49
Risolviamolo:
x = −y + 21
3x + 4y = 69
x = −y + 21
y = 69 − 63
→
→
x = −y + 21
3(−y + 21) + 4y = 69
x = −6 + 21
y=6
→
→
x = −y + 21
−3y + 63 + 4y = 69
x = 15
y=6
Quindi ci sono 15 scatole da 3 palline e 6 scatole da 4.
3.8
Domande
Paragrafo 3.1
1. Definisci la soluzione di un’equazione in 2 incognite
2. Quante soluzioni ha un’equazione con 2 incognite?
3. Mostra con un esempio che non è vero che qualunque coppia di valori è soluzione di un’equazione in 2 incognite.
Paragrafo 3.2
4. Definisci la soluzione di un sistema di 2 equazioni in 2 incognite
5. Definisci la soluzione di un sistema di 3 equazioni in 3 incognite
6. Definisci il grado di un sistema
Paragrafo 3.3
7. Quando un sistema è in forma normale?
Paragrafo 3.5
8. Quando un sistema è impossibile?
9. Quando un sistema è indeterminato?
10. In un sistema indeterminato qualunque coppia di valori è una soluzione?
11. In un sistema indeterminato quali sono le infinite coppie di valori che lo risolvono?
3.9
Esercizi e problemi
Paragrafo 3.1
Delle seguenti equazioni determinare 5 coppie di valori che le risolvono e 5 coppie di valori che non
le risolvono.
Alessandro Bocconi
50
1. x − 2y = 3
2. 2x + 3y = 4
3.
1
2x
+y =2
4. 2x = 3y + 4
Paragrafo 3.3
Porta in forma normale i seguenti sistemi:
3x + 2y − 3 = −y + 21
2x + 23 = −4y + 21
5.
x + 3y = 2y + 3
y−x=6
Paragrafi 3.4; 3.5; 3.6
Risolvi i seguenti sistemi:
5x + 3y = 18
6.
S = {x, y ∈ R|x = 3; y = 1}
x − 2y = 1
7.
8.
9.
10.
11.
12.
S = {x, y ∈ R|x = −1; y = 0}
4x − 2y = −3
−2x + y = −2
S=∅
2x + y = −10
3x − y = 5
S = {x, y ∈ R|x = −1; y = −8}
5x + y = −14
2x − y = 0
S = {x, y ∈ R|x = −2; y = −4}
20x − y = 5x − 15
2x + y + 3 = 1
1
3x
x + 10y = 3
−2x − 20y = −6
14.
15.
− 4y = −1
x − 5y = 21
x + 3y = 9
−2x + 2y = −2
6x + 2y = 3
12x − 2y = 3
15x − 3y = 6
−10x + 2y = −4
16.
17.
S = {x, y ∈ R|x = 3; y = 2}
15x − y = −15
2x + y = −2
13.
18.
2x + y = 8
−x + y = −1
−3x + y = −1
4x−y
x
6 + 4 =1
S = {x, y ∈ R|x = −1; y = 0}
S = {x, y ∈ R|x = 3; y = 12 }
S = {x, y ∈ R|x = 13; y = −1}
S = {x, y ∈ R|x = 3; y = 2}
S = {x, y ∈ R|x = 31 ; y = 12 }
S = {x, y ∈ R|y = 5x − 2}
S = {x, y ∈ R|x = 2; y = 5}
Alessandro Bocconi
2x + y = 4
10x − 3y = −4
4x + y = 11
−2x − 21 y = −2
S = {∅}
15x + 29y = −1
x + 3y = 1
S = {x, y ∈ R|x = −2; y = 1}
19.
20.
21.
22.
23.
5x − 2y = 4
x + 3y = −6
x − 2y + 5 = −5
2x − y = 10
7x + 3y = 1
21x − y = 3
8x − 2y = −6
−4x + y = 3
24.
25.
26.
27.
28.
51
x + y = −15
2x + 2y = −30
x − 8y = 18
−2x − 17y = −3
x−y =0
x + y = −6
S = {x, y ∈ R|x = 21 ; y = 3}
S = {x, y ∈ R|x = 0; y = −2}
S = {x, y ∈ R|x = 10; y = 10}
S = {x, y ∈ R|x = 17 ; y = 0}
S = {x, y ∈ R|y = 4x + 3}
S = {x, y ∈ R|y = −x − 15}
S = {x, y ∈ R|x = 10; y = −1}
S = {x, y ∈ R|x = −3; y = −3}
Paragrafo 3.7
Risolvi i seguenti problemi evidenziando i vincoli e verificando se la soluzione è accettabile
29. Mario ha comprato ieri 3 barattoli di marmellata e un pacco di biscotti spendendo 11 euro.
Oggi ha comprato un barattolo di marmellata e 2 pacchi di biscotti spendendo 5 euro. Quanto
costa un barattolo di marmellata? Quanto un pacco di biscotti?
30. Ogni volta che va in vacanza in Umbria Francesca va alcune volte a Perugia e alcune volte
ad Assisi. Quando va a Perugia compra sempre 4 souvenirs e 3 cartoline, mentre quando va
a Assisi compra 1 souvenir e 3 cartoline. Alla fine dell’ultimo viaggio ha 13 souvenirs e 21
cartoline. Quante volte è andata ad Assisi? Quante volte è andata a Perugia?
31. Una macchina a doppia alimentazione (benzina e gpl) fa il pieno mettendo 20 litri di benzina
e 30 litri di gpl spendendo 50 euro. Allo stesso benzinaio arriva un’altra macchina a doppia
alimentazione che mette 10 litri di benzina e 18 di gpl spendendo 27 euro. Quanto costa un
litro di benzina? Quanto costa un litro di gpl?
32. La scuola elementare Rodari ha tutte le classi composte dallo stesso numero di bambini.
Anche la scuola La Pira ha tutte le classi composte dallo stesso numero di bambini (che
non è detto sia lo stesso numero di bambini di una classe della Rodari). Ad una iniziativa
partecipano 3 classi della Rodari e 2 della La Pira: in tutto i bambini sono 110. Ad un’altra
iniziativa ci sono 1 classe della Rodari e 4 della La Pira: in questo caso i bambini sono 120.
Da quanti bambini è formata una classe della Rodari? Da quanti bambini è formata una
classe della La Pira?
Alessandro Bocconi
52
33. Ad una gita scolastica della prima A partecipano la metà delle ragazze e tutti i ragazzi: in
tutto sono 17. Il giorno dopo, al compito in classe di matematica ci sono tutte le ragazze e
solo la metà dei ragazzi: in tutto sono 16. Quante sono le femmine della prima A? Quanti
sono i maschi della prima A?