Lezione 14
Flusso di un vettore attraverso una superficie
Si definisce flusso elementare di un vettore v attraverso una superficie infinitesima (elemento di
superficie) di area dA lo scalare
r
r r
dΦ = v ⋅ nˆ dA ≡ v ⋅ dA = vdA cosθ
dove n e’ il versore normale esterno all’ elemento di superficie.
Il flusso del vettore attraverso una superficie finita e’ dato dall’integrale di superficie
r r
Φ v = ∫ dΦ = ∫ v ⋅dA
r r
Φ v = ∫ v ⋅ dA
Se la superficie e’ chiusa, il flusso si indica come
Legge di Gauss
La Legge di Gauss afferma che il flusso del vettore campo elettrico E attraverso una ideale superficie
chiusa, detta superficie gaussiana, e’ proporzionale alla carica netta racchiusa all’interno della superficie
r r qint
Φ E = ∫ E ⋅ dA =
ε0
Legge di Gauss
La carica netta interna e’ la somma algebrica di tutte le cariche racchiuse dalla superficie.
Se tale carica e’ positiva, tale sara’ pure il flusso, che sara’ detto flusso uscente. Se la carica
netta e’ negativa, il flusso sara’ detto entrante. Se la carica interna e’ nulla tale sara’ pure il flusso.
Il campo E e’ quello generato da tutte le cariche presenti, sia interne che esterne alla superficie
gaussiana.
La legge di Gauss mette in relazione i campi elettrici in tutti i punti di una superficie gaussiana con
la carica racchiusa dalla superficie. Essa e’ equivalente alla legge di Coulomb, ma a differenza
di quest’ultima permette di sfruttare le simmetrie del problema. Con una opportuna scelta
della superficie gaussiana, si puo’ trovare in modo semplice il campo elettrico dovuto a una distribuzione
di cariche. Essa puo’ essere di qualsiasi forma, ma ovviamente a seconda della simmetria sara’ utile
sceglierla cilindrica, sferica…
Equivalenza tra legge di Gauss e legge di Coulomb
La Legge di Gauss e la legge di Coulomb sono
matematicamente equivalenti.
Come esempio prendiamo una carica puntiforme q
racchiusa da una superficie gaussiana sferica. Se
calcoliamo il flusso del campo elettrico generato da questa
carica usando la legge di Coulomb, otteniamo la legge
Gauss. Viceversa, se usiamo la legge di Gauss, tenendo
conto della simmetria sferica, otteniamo come campo
elettrico per la carica puntiforme quello previsto dalla legge
di Coulomb.
Coulomb ⇒ Gauss
Gauss ⇒ Coulomb
Conduttore carico isolato
In condizioni statiche, il campo elettrico E all’interno di un conduttore e’ nullo.
Se esso non fosse nullo, le cariche sarebbero soggette a una forza e si
metterebbero in moto, ovvero non sarebbero piu’ statiche.
Supponiamo di avere un conduttore isolato come quello indicato in figura.
Poiche’ il campo e’ nullo, se si sceglie una superficie gaussiana vicino alla
superficie interna ma contenuta nel conduttore e si calcola il flusso, questo deve
essere nullo, essendo nullo E sulla superficie gaussiana. Dalla legge di Gauss
si deduce che la carica interna deve essere nulla. Per cui essa deve
necessariamente distribuirsi su un sottile strato superficiale vicino alla superficie
esterna.
Se il conduttore e’ cavo, considerando ancora una superficie gaussiana come
quella mostrata in figura, si deduce ancora che la carica interna e’ nulla, ovvero
e’ nulla la carica sulla superficie della cavita’. Questo porta ad affermare che:
Una carica fornita a un conduttore isolato si dispone totalmente sulla superficie
esterna del conduttore. Nessuna carica puo’ trovarsi entro il corpo conduttore.
Il campo elettrico statico alla superficie di un conduttore carico isolato deve
essere normale alla superficie, altrimenti le cariche superficiali si metterebbero
in moto.
Il modulo del campo all’esterno di un conduttore isolato e appena al di fuori
della superficie si puo’ trovare scegliendo una superficie gaussiana come quella
in figura. Se σ=q/A e’ la densita’ di carica superficiale sul conduttore, dal
teorema di Gauss avremo
Legge di Gauss: simmetria cilindrica
Legge di Gauss: simmetria piana
Campo tra due lastre piane conduttrici .
Se abbiamo una lastra conduttrice estesa con una carica in
eccesso, sappiamo che la carica si distribuisce sulle superfice
esterna. Se la densita’ di carica superficiale e’ σ1 il campo sara’
diretto fuori la lamina se la carica e’ positiva e verso la lamina se la
carica e’ negativa, con modulo pari a E=σ1 /ε0.
Se ora avviciniamo le lastre per avere due conduttori affacciati, essendo in presenza di conduttori, la carica
in eccesso di un conduttore attrae (le cariche sui due conduttori sono discordi) la carica in eccesso dell’altro,
col risultato che le cariche si distribuiscono con densita’ superficiale doppia sulle due superfici interne.
La nuova densita’ di carica sulle superfici interne sara’ ora 2 σ1.
Per cui il campo elettrico tra le due lastre sara’:
Immediatamente fuori dalle lastre affacciate, essendo la densita’ di carica nulla sulle superfici esterne,
il campo elettrico sara’ nullo.
Legge di Gauss: simmetria sferica I
Guscio sferico uniformemente carico.
Con la superficie gaussiana sferica S2
q
ε
1
q
4πε r
(r ≥ R)
E=
⇒
Φ = E 4πr =
Con la superficie gaussiana sferica S1
Φ = E 4πr = 0 ⇒
E = 0 (r < R)
Questo risultato, noto come “Teorema del guscio sferico” si dice a parole:
Un guscio sferico carico uniformemente attrae o respinge una particella fuori dal guscio
come se tutta la carica del guscio fosse concentrata nel centro del guscio.
Un guscio sferico carico uniformemente non esercita nessuna forza elettrostatica su una
particella carica posta al suo interno.
Legge di Gauss: simmetria sferica II
Sfera uniformemente carica.
Con una superficie gaussiana sferica di raggio r<R, avremo che, detta q’ la carica racchiusa:
1
q'
4πε r
(r < R)
E=
r
R
E=
1
qr
4πε R
4
πR
3
⇒ q' = q
(r < R)
q
4
πr
3
=
q'
ρ=
D’altra parte, siccome la densita’ di carica (ρ=q/V) e’ costante, detta q la carica totale della
sfera, deve essere:
Per r>R, usando una superficie gaussiana sferica con r>R si ottiene ancora che il campo e’
lo stesso di una carica puntiforme di carica q concentrata nell’origine.
Verifiche
Quanto vale il flusso di E attraverso la superficie
cilindrica chiusa? Il raggio del cilindro vale R.
La figura mostra tre cubi gaussiani immersi in un
campo elettrico. Le frecce indicano il verso e
valore del flusso attaverso le sei facce. Quale
cubo racchiude
a)
Carica netta positiva
b)
Carica netta negativa
c)
Carica nulla
Verifiche
La figura mostra pezzetti di plastica carichi e una
moneta elettricamente neutra. E’ anche
raffigurata la sezione trasversale di una
superficie gaussiana. Quale e’ il flusso del
campo elettrico attraverso la superficie se
q1=q4=3.1nC
q3=-3.1nC
q2=q5=-5.9nC
(ε=8.85X10^-12)
)
(ε
R (-670Nm^2/C)
Verifiche
Due lamine isolanti parallele hanno densita’ di carica
superficiale σ+ e σ−. Quale è il campo nelle tre regioni?
σ
2ε
σ + −σ −
2ε
σ +σ −
E = E+ + E− = +
2ε
σ −σ −
E = E+ − E− = +
2ε
E = − E + + E− = −
E=
R