Capitolo 5
Limiti di successioni
5.1
Successioni
Quando l’insieme di definizione di una funzione coincide con l’insieme N costituito dagli
infiniti numeri naturali 1, 2, 3, . . . (talvolta si considera anche lo zero), si ha una legge che ad
ogni numero naturale fa corrispondere un determinato numero reale; in questo caso, invece
di usare la notazione y = f (x), si usa la notazione {an } per indicare il valore assunto dalla
funzione in corrispondenza del generico numero naturale. Si utilizza la lettera n per indicare
la variabile, ponendola come indice nel simbolo che indica il corrispondente valore assunto
dalla funzione. E invece di parlare di una funzione definita nell’insieme N dei numeri naturali,
si parla di una successione di numeri reali, indicandola con
a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . .
oppure {an }n∈N ,
oppure {an }.
(5.1)
Con ciò si intende esprimere che esiste una legge che a ciascuno dei numeri naturali
1, 2, 3, . . . , n, . . . fa corrispondere un determinato numero reale i cui valori si designano
rispettivamente con a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . ..
Per definire una successione occorre dare la legge predetta, il che di solito si ottiene con
una formula che esprime il valore del termine generico nella forma an = f (n).
5.2
Definizione di limite
Sia data una successione {an } e sia l un numero reale. Si dice che la successione {an } è
convergente al limite l e si scrive
lim an = l
(5.2)
n→∞
quando, comunque si fissi un numero positivo ε, esiste in corrispondenza ad esso un ν ∈ N
tale che, per ogni n ∈ N che sia maggiore di ν, risulti
l − ε < an < l + ε
(5.3)
|an − l| < ε
(5.4)
o, ciò che è lo stesso:
Si dice che la successione {an } è divergente a +∞ (ovvero che diverge o tende a +∞) e
si scrive
lim an = +∞
(5.5)
n→∞
33
Capitolo 5. Limiti di successioni
quando, comunque si fissi un numero reale k > 0, esiste in corrispondenza ad esso un ν ∈ N
tale che, per ogni n ∈ N che sia maggiore di ν, risulti
an > k .
Analogamente dice che la successione {an } è divergente a −∞ (ovvero che diverge o tende
a −∞) e si scrive
lim an = −∞
(5.6)
n→∞
quando, comunque si fissi un numero reale k > 0, esiste in corrispondenza ad esso un ν ∈ N
tale che, per ogni n ∈ N che sia maggiore di ν, risulti
an < −k .
Le successioni convergenti o divergenti si chiamano complessivamente successioni regolari;
si chiamano anche successioni che ammettono un limite determinato (finito nel caso delle
successioni convergenti; infinito in quello delle successioni divergenti). Le successioni che
non ammettono limite si chiamano successioni indeterminate.
Esponiamo nel seguito alcuni risultati che conseguono immediatamente dalla definizione
di limite.
5.2.I (Permanenza del segno) Se la successione {an } è regolare ed ha un limite diverso
da zero, allora, per n abbastanza grande, i suoi termini an hanno lo stesso segno del limite.
5.2.II Se una successione {an } è convergente, l’insieme costituito dai numeri an è limitato.
Data una successione {an } e fissata una qualsiasi successione crescente p1 < p2 < p3 < . . .
di numeri naturali, possiamo considerare la successione {bn } i cui termini sono cosı̀ definiti:
b1 = ap1 , b2 = ap2 , b3 = ap3 , . . . , bn = apn , . . . ;
essa si chiama una successione parziale (o subordinata) della successione data {an } e si ha
in proposito il seguente risultato:
5.2.III Se la successione {an } è regolare, ogni sua successione parziale {bn } è pure regolare
ed ha lo stesso limite della prima.
Passando a considerare simultaneamente più successioni, si hanno i seguenti risultati.
5.2.IV Date due successioni {an } e {bn }, supponiamo che da un certo indice in poi sia
an < bn oppure an 6 bn . Allora, se le due successioni sono entrambe regolari, si ha
lim an 6 lim bn .
n→∞
n→∞
34
5.2. Definizione di limite
Se si suppone bn = b (costante) si deduce immediatamente il seguente risultato.
5.2.V Data la successione {an }, supponiamo che da un certo indice in poi sia an < b
oppure an 6 b. Allora, se la successione è regolare, si ha
lim an 6 b .
n→∞
Analogamente con le disuguaglianze opposte.
Si ha poi il seguente risultato.
5.2.VI Date le tre successioni {an }, {bn }, {cn }, supponiamo che da un certo indice in poi
sia an 6 cn 6 bn . Allora, se le due successioni an , bn sono regolari ed hanno il medesimo
limite, anche la cn è regolare con quello stesso limite.
Il prossimo risultato riguarda una importante categoria di successioni regolari, le successioni monotone. In analogia a quanto visto per le funzioni, si dirà che la successione {an }
è non decrescente [non crescente] quando, comunque si prendano due indici m < n, si ha
sempre am 6 an [am > an ].
5.2.VII Ogni successione monotona {an } è regolare (convergente o divergente). Se essa è
crescente o non decrescente, il suo limite è finito o +∞ e coincide con l’estremo superiore
dell’insieme dei valori assunti dai termini an . Se la successione è decrescente o non crescente,
il suo limite è finito o −∞ e coincide con l’estremo inferiore dell’insieme dei valori assunti
dai termini an .
Una immediata applicazione di questo risultato consente di definire il numero e, la
costante di Nepero.
Consideriamo la successione descritta dalla formula
1 n
an = 1 +
n
(5.7)
e dimostriamo che essa è convergente. Faremo cioè vedere che:
1. la successione (5.7) è crescente;
2. l’insieme dei numeri an è limitato superiormente.
Per provare che an cresce al crescere di n, osserviamo che, per la formula del binomio
(A.12), si ha
n k
n
X
X
n
1
n(n − 1) . . . (n − k + 1) 1
=
an =
k
n
k!
nk
=
k=0
n
X
k=0
1 n n−1 n−2
n−k+1
· ·
·
· ... ·
k! n
n
n
n
k=0
35
Capitolo 5. Limiti di successioni
vale a dire
n
X
1
1
2
k−1
an =
1−
1−
... 1 −
;
k!
n
n
n
(5.8)
k=0
il termine an viene quindi espresso come somma di n + 1 addendi positivi. Consideriamo ora
il termine successivo an+1 per il quale si può scrivere
an+1
n+1
X
1
2
k−1
1
1−
1−
... 1 −
;
=
k!
n+1
n+1
n+1
(5.9)
k=0
ed è somma di n + 2 addendi positivi. Poiché
1−
1
1
>1− ,
n+1
n
1−
2
2
<1− ,
n+1
n
...,
si vede che ciascuno degli n + 1 termini della somma (5.8) è minore del corrispondente
termine della somma (5.9); inoltre in quest’ultima vi è un termine (positivo) in più. Dunque
è sicuramente an < an+1 e questo prova che la successione (5.7) è crescente. Ne deriva, fra
l’altro, che, essendo a1 = 2 si ha sempre
an > 2.
(5.10)
Dimostriamo ora che i numeri an formano un insieme limitato superiormente e precisamente dimostriamo che si ha sempre
an < 3.
(5.11)
Infatti dalla (5.8) segue evidentemente
an <
n
X
1
1
1
1
=1+1+
+
+ ...
k!
1·2 1·2·3
1 · 2 · ...n
k=0
ma si ha 1 · 2 · 3 > 1 · 2 · 2 = 2 2 , 1 · 2 · 3 · 4 > 1 · 2 · 2 · 2 = 2 3 , . . ., cosicché a maggior ragione
sarà
1
1
1
1
1
1
1
an < 2 + + 2 + . . . + n−1 = 2 +
1 + + 2 + . . . + n−2 ,
2 2
2
2
2 2
2
vale a dire, esprimendo opportunamente il termine in parentesi,
n−1
1
n−1
1−
1
1
2
=3−
an < 2 +
<3
1
2
2
1−
2
e con ciò è provata la (5.11). La (5.7) è dunque convergente e, per le (5.10) e (5.11), si ha:
2 6 lim an < 3.
n→∞
36
5.3. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate
Tale limite si indica con la lettera e e si chiama costante di Nepero. Si ha dunque per
definizione
1 n
.
e = lim 1 +
n
n→∞
Si può dimostrare che e è un numero irrazionale; con 15 cifre decimali esatte si ha:
e = 2, 718281828459045 . . . .
Si possono considerare i logaritmi in base e; essi prendono il nome di logaritmi naturali,
e si suole indicarli semplicemente con log x in luogo di loge x. Vedremo che, da un punto di
vista teorico, essi sono i più opportuni.
5.3
Operazioni sui limiti. Forme indeterminate
Date due successioni {an }, {bn }, restano ovviamente definite le quattro successioni {an +bn },
{an − bn }, {an bn }, {an /bn } (quest’ultima se si ha sempre bn 6= 0), che si chiamano rispettivamente successione somma, differenza, prodotto, quoziente delle due successioni date. Cosı̀
pure, data una successione {an } di numeri tutti diversi da zero, si può considerare la successione {1/an }, detta successione reciproca della data; se tutti gli an sono positivi, si può
considerare la successione {log an }.
Valgono i seguenti risultati.
5.3.I Se le due successioni {an }, {bn } sono convergenti rispettivamente ai limiti l, l0 , anche
le due successioni {an + bn }, {an − bn }, sono convergenti, la prima al limite l + l0 , la seconda
al limite l − l0 .
5.3.II Se le due successioni {an }, {bn } sono convergenti rispettivamente ai limiti l, l0 , anche
la successione prodotto {an bn } è convergente, ed il suo limite vale l l0 .
5.3.III Sia {an } convergente al limite l; se è an 6= 0 per ogni n e l 6= 0, allora la successione
reciproca {1/an } è convergente al limite 1/l.
5.3.IV Le successioni {an }, {bn } siano convergenti rispettivamente ai limiti l, l0 ; sia inoltre
bn 6= 0 per ogni n e l0 6= 0. Allora la successione quoziente {an /bn } è convergente al limite
l/l0 .
5.3.V Sia {an } convergente al limite l. Se i suoi termini sono tutti positivi e se l > 0,
allora la successione {log an } è convergente al limite log l.
5.3.VI Sia {an } convergente al limite l. Allora la successione {e an } è convergente ed il
suo limite vale e l .
37
Capitolo 5. Limiti di successioni
Questi risultati si riferiscono a successioni convergenti. Risultati simili si hanno quando
si prendono in considerazione una o due successioni divergenti. Li elenchiamo qui di seguito.
lim an = l, lim bn = +∞ ⇒ lim (an + bn ) = +∞ ,
n→∞
n→∞
n→∞
lim an = l, lim bn = −∞ ⇒ lim (an + bn ) = −∞ ,
n→∞
n→∞
n→∞
lim an = +∞, lim bn = +∞ ⇒ lim (an + bn ) = +∞ ,
n→∞
n→∞
n→∞
lim an = −∞, lim bn = −∞ ⇒ lim (an + bn ) = −∞ .
n→∞
n→∞
n→∞
Non è considerato qui il caso in cui
lim bn = −∞ ;
lim an = +∞,
n→∞
n→∞
In tal caso, infatti, nulla si può dire in generale circa
lim (an + bn ) ,
n→∞
che potrebbe anche non esistere. Si suole esprimere questo fatto dicendo che ∞ − ∞ è una
forma indeterminata.
Un secondo gruppo di risultati è il seguente.
(
lim an = l, l 6= 0, lim bn = +∞ ⇒ lim an bn =
n→∞
n→∞
−∞ (l < 0) ,
n→∞
(
lim an = l, l 6= 0, lim bn = −∞ ⇒ lim an bn =
n→∞
n→∞
n→∞
+∞ (l > 0) ,
−∞ (l > 0) ,
+∞ (l < 0) ,
lim an = +∞, lim bn = +∞ ⇒ lim an bn = +∞ ,
n→∞
n→∞
n→∞
lim an = +∞, lim bn = −∞ ⇒ lim an bn = −∞ ,
n→∞
n→∞
n→∞
lim an = −∞, lim bn = −∞ ⇒ lim an bn = +∞ .
n→∞
n→∞
n→∞
In questo gruppo di teoremi non sono presi in esame i casi
lim bn = ±∞ ;
lim an = 0,
n→∞
n→∞
in tali casi, infatti, nulla si può dire in generale circa
lim an bn ,
n→∞
che potrebbe anche non esistere. Si suole dire che 0 · ∞ è una forma indeterminata.
38
5.3. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate
Si hanno ancora i seguenti risultati.
an
= 0,
bn
(
+∞ (l > 0) ,
an
=
lim an = +∞, lim bn = l, bn 6= 0, l 6= 0 ⇒ lim
n→∞
n→∞
n→∞ bn
−∞ (l < 0) ,
(
−∞ (l > 0) ,
an
lim an = −∞, lim bn = l, bn 6= 0, l 6= 0 ⇒ lim
=
n→∞
n→∞
n→∞ bn
+∞ (l < 0) ,
a lim an = l 6= 0, oppure lim an = ±∞, lim bn = 0, bn 6= 0 ⇒ lim n = +∞ .
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞ bn
lim an = l, lim bn = ±∞, bn 6= 0 ⇒ lim
n→∞
n→∞
n→∞
In questo gruppo non sono presi in esame i casi
lim an = ±∞, lim bn = ±∞ ,
n→∞
lim an = 0,
n→∞
n→∞
lim bn = 0 ;
n→∞
poiché in tali casi nulla si può dire in generale sul
a
lim n ,
n→∞ bn
che potrebbe anche non esistere. Si suole dire che ∞/∞ e 0/0 sono forme indeterminate.
Si hanno poi i seguenti risultati.
an > 0, lim an = 0 ⇒ lim log an = −∞ ,
n→∞
n→∞
an > 0, lim an = +∞ ⇒ lim log an = +∞ ,
n→∞
n→∞
lim an = +∞, ⇒ lim e an = +∞ ,
n→∞
n→∞
lim an = −∞, ⇒ lim e an = 0 .
n→∞
n→∞
Da quanto precede si vede che, adottando opportune convenzioni di scrittura, è possibile
riassumere tutti i risultati elencati dicendo che: il limite di una somma o di un prodotto,
o di un quoziente è uguale rispettivamente alla somma, o al prodotto o al quoziente dei
limiti, a meno che non si presenti una delle forme indeterminate ∞ − ∞, 0 · ∞, ∞/∞, 0/0
(giacché allora non è possibile dare alcun risultato generale e la questione va esaminata caso
per caso); inoltre il limite di un logaritmo (o di un esponenziale) è uguale al logaritmo (o
all’esponenziale) del limite.
Da questi risultati se ne possono trarre altri, come ad esempio il seguente:
5.3.VII Se an > 0 e lim an = l > 0, allora, qualunque sia il numero reale α, si ha
lim anα = l α .
n→∞
n→∞
39
Capitolo 5. Limiti di successioni
5.4
Criterio di convergenza di Cauchy
Il criterio di convergenza di Cauchy permette di riconoscere se una data successione {an } sia
o non sia convergente. Esso si enuncia come segue:
5.4.I Condizione necessaria e sufficiente affinché una data successione {an } sia convergente
è che, comunque si fissi un numero positivo ε, esista in corrispondenza ad esso un indice νε
tale che, presi ad arbitrio due indici m, n entrambi maggiori di νε , risulti
|am − an | < ε.
5.5
(5.12)
Infinitesimi ed infiniti
Si dice che la successione {an } è un infinitesimo quando si ha lim an = 0 per n → ∞; si dice
che è un infinito quando si ha lim |an | = +∞ per n → ∞.
Quindi, dire che {an } è un infinitesimo significa che, dato ad arbitrio ε > 0, si ha |an | < ε
per n abbastanza grande; dire che an è un infinito significa che, dato ad arbitrio k > 0, si ha
|an | > k per n abbastanza grande.
Supposto che sia sempre an 6= 0, per cui è possibile considerare la successione reciproca
{1/an }, si ha:
5.5.I Se {an } è un infinitesimo allora {1/an } è un infinito. Se {an } è un infinito allora
{1/an } è un infinitesimo.
Vediamo ora cosa accade con il prodotto di due infinitesimi o di due infiniti.
5.5.II Se {an }, {bn } sono infinitesimi [infiniti], anche la successione prodotto {an bn } è un
infinitesimo [un infinito].
Invece il prodotto di un infinitesimo per un infinito dà luogo alla forma indeterminata
0 · ∞ e nulla si può dire in generale sul limite di esso.
5.5.III Se la successione {an } è un infinitesimo e la successione {bn } è limitata, allora il
prodotto {an bn } è un infinitesimo.
5.5.IV Se la successione {an } è un infinito e i termini della successione {bn } sono tali che
esiste una costante positiva h in modo da aversi |bn | > h da un certo indice in poi, allora il
prodotto {an bn } è un infinito.
Circa il quoziente di due infinitesimi o di due infiniti, nulla si può dire in generale perché
ci si imbatte nelle forme indeterminate 0/0, ∞/∞. Vanno però introdotte alcune locuzioni.
40
5.5. Infinitesimi ed infiniti
Dati due infinitesimi {an }, {bn } e supposto che sia sempre bn 6= 0 in modo da poter
considerare il quoziente {an /bn }, può darsi che esista il lim |an /bn | per n → ∞; possono
aversi le tre seguenti situazioni:
a lim n = 0,
(5.13)
n→∞ bn
a (5.14)
lim n = l > 0,
n→∞ bn
a lim n = +∞.
(5.15)
n→∞ bn
Nel caso (5.13) si dice che {an } è un infinitesimo di ordine superiore a {bn }; nel caso
(5.14) si dice che {an } e {bn } sono infinitesimi dello stesso ordine; nel caso (5.13) si dice che
{an } è un infinitesimo di ordine inferiore a {bn }.
Analogamente, se {an }, {bn } sono infiniti, può darsi che esista il lim |an /bn | per n → ∞;
possono aversi le tre seguenti situazioni:
a (5.16)
lim n = +∞,
n→∞ bn
a lim n = l > 0,
n→∞ bn
a lim n = 0.
n→∞ bn
(5.17)
(5.18)
Nel caso (5.16) si dice che {an } è un infinito di ordine superiore a {bn }; nel caso (5.17) si
dice che {an } e {bn } sono infiniti dello stesso ordine; nel caso (5.18) si dice che {an } è un
infinito di ordine inferiore a {bn }.
Per esprimere che {an } è un infinitesimo di ordine superiore a {bn }, si suole scrivere:
an = o (bn )
(n → ∞).
(5.19)
È inutile introdurre una notazione apposita per gli infiniti; per esprimere che {an } è un
infinito di ordine superiore a {bn }, si può scrivere:
1
1
=o
(n → ∞).
(5.20)
an
bn
Diamo un’altra locuzione di largo uso. Se {cn } è un infinitesimo [infinito], lo è anche
evidentemente {|cn | α } ove α è un qualunque numero reale positivo. Dato un altro infinitesimo
[infinito] {an }, può accadere che si riesca a trovare un α > 0 in modo che {an } e {|cn | α } siano
41
Capitolo 5. Limiti di successioni
infinitesimi [infiniti] dello stesso ordine; si dice allora che {an } è un infinitesimo [infinito] di
ordine α rispetto all’infinitesimo [infinito] principale {cn }. Questo significa che:
lim
n→∞
|an |
= l > 0.
|cn | α
(5.21)
Di regola si assume come infinitesimo principale cn = 1/n e come infinito principale
cn = n. Allora, dire che {an } è un infinitesimo di ordine α significa che
lim
n→∞
|an |
= lim n α |an | = l > 0;
(1/n) α n→∞
dire che {an } è un infinito di ordine α significa che
lim
n→∞
|an |
= l > 0.
nα
Aggiungiamo un’osservazione che ha notevole importanza pratica. Si debba studiare
il limite del rapporto tra due infinitesimi {an }, {bn }. Supponiamo che sia an = an0 + an00 ,
bn = bn0 + bn00 con {an00 } infinitesimo di ordine superiore rispetto a {an0 } e {bn00 } infinitesimo di
ordine superiore rispetto a {bn0 }. Si può allora scrivere
a0 + an00
an0 1 + an00 /an0
an
= n0
=
bn
bn + bn00
bn0 1 + bn00 /bn0
e poiché l’ultima frazione ha limite (1 + 0)/(1 + 0) = 1, si deduce che lo studio dei limiti
an /bn e an0 /bn0 sono equivalenti. In altre parole nello studio del limite di an /bn basta tener
conto sia a numeratore che a denominatore dei termini che hanno ordine di infinitesimo più
basso.
Analogamente nel caso che {an }, {bn } siano infiniti, si vede immediatamente che in tal
caso basta tener conto sia a numeratore che a denominatore dei termini che hanno ordine di
infinito più alto.
Accanto al simbolo o (o piccolo) introdotto con la (5.19), sono largamente usati altri due
simboli: O (o grande), ∼ (uguaglianza asintotica), i cui significati sono i seguenti.
Date due successioni {an }, {bn }, scrivendo:
an = O (bn )
(n → ∞)
(5.22)
si intende esprimere che bn 6= 0 e che il rapporto an /bn descrive un insieme limitato: esiste
cioè una costante K > 0 tale da aversi
an < K, ∀ n.
b n
42
5.5. Infinitesimi ed infiniti
Con la scrittura
an ∼ (bn )
(n → ∞)
che si legge an è asintotica a bn per n → ∞, si intende esprimere che bn 6= 0 e che
lim
n→∞
an
= 1.
bn
È ovvio che si può anche scrivere an = bn [1 + o(1)].
43
(5.23)