ESERCIZIO 1
In un anno accademico, il numero degli iscritti in corso all’Università in tutta Italia è quello riportato nella tabella seguente
Facoltà
Studenti in corso (in migliaia)
Scientifiche
146
Mediche
100
Ingegneria
193
Economiche – Giuridiche – Sociali
520
Letterarie
239
1. Calcolare il rapporto di concentrazione della distribuzione
2. Disegnare il diagramma di Lorenz del numero di studenti
1
SOLUZIONE
1. Il rapporto di concentrazione può essere calcolato utilizzando i) l’indice di Gini oppure come ii) rapporto tra la
differenza media semplice e il doppio della media aritmetica
i) Per calcolare il rapporto di concentrazione attraverso l’indice di Gini facciamo riferimento alla formula
n 1
R  1
Q
i 1
n 1
i
F
i 1
i
La precedente tabella, dunque, va completata aggiungendo le colonne con i valori di Qi e Fi. I risultati dei calcoli,
effettuati dopo aver ordinato i dati in senso non decrescente, sono riportati nella tabella successiva.
i
xi
fi
qi
Fi (= fi/n)
Qi (= qi/T)
1
100
1
100
0.2
0.083
2
146
2
246
0.4
0.210
3
193
3
439
0.6
0.360
4
239
4
678
0.8
0.560
5
520
5
1198
1
1
Totale
1198
2
Dai dati della tabella precedente si può quindi calcolare l’indice di concentrazione di Gini
n 1
R  1
Q
i 1
n 1
i
F
 1
0.083  0.210  0.360  0.560
1.213
 1
 0.39
0.2  0.4  0.6  0.8
2
i
i 1
ii) Per calcolare il rapporto di concentrazione come rapporto tra la differenza semplice media e il doppio della media
aritmetica, bisogna innanzitutto calcolare i due valori richiesti.
La media aritmetica è presto calcolata
n

3
x
i 1
n
ii

100  146  193  239  520
 239.6
5
Per il calcolo della differenza media semplice occorre, invece, ricreare la matrice delle differenze. I risultati delle
differenze, considerati in modulo, sono riportati di seguito
|xi-xj|
100
146
193
239
520
100
0
46
93
139
420
146
46
0
47
93
374
193
93
47
0
46
327
239
139
93
46
0
281
520
420
374
327
281
0
Poiché la matrice è simmetrica rispetto alla diagonale principale, il calcolo del numeratore della differenza media semplice
può essere velocizzato moltiplicando per 2 la somma dei valori al di sopra della diagonale (quelli evidenziati in celeste).
Ne consegue che

4
n
n
i 1
j

xi  x j
n(n  1)

246  93  139  420  47  93  374  46  327  281 3732

 186,6
54
20
Poiché 2μ=479,2
Allora
R
 186,6

 0.39
2 479,2
Naturalmente, il valore di R calcolato con i due metodi è uguale!
Commento: esiste una moderata concentrazione nella distribuzione degli studenti tra le facoltà universitarie (si ricorda
che R assume sempre valori compresi tra 0 e 1, dove 0 = equidistribuzione e 1 = massima concentrazione).
5
2. Per disegnare la curva di Lorenz occorre riportare su un diagramma cartesiano i valori di Fi e Qi. Ogni punto sul
diagramma individua una coppia di valori. In base ai dati della distribuzione si ottiene il grafico seguente
6
ESERCIZIO 2
Il capitale (in milioni di euro) di una società è suddiviso tra i soci nel modo riportato in tabella
Socio
Capitale
1
3
2
1
3
0,5
4
10
5
5
1. Determinare la variabilità del capitale mediante la differenza media semplice
2. Determinare il rapporto di concentrazione del capitale
3. Rappresentare graficamente la concentrazione del capitale mediante la spezzata di Lorenz
7
SOLUZIONE
1. Per determinare la variabilità del capitale mediante la differenza media semplice occorre innanzitutto ricreare la matrice
delle differenze.
|xi-xj|
0,5
1
3
5
10
0,5
0
0,5
2,5
4,5
9,5
1
0,5
0
2
4
9
3
2,5
2
0
2
7
5
4,5
4
2
0
5
10
9,5
9
7
5
0
Essendo la matrice simmetrica, si considererà solo la parte superiore alla diagonale principale, per cui

8
n
n
i 1
j

xi  x j
n(n  1)

20,5  2,5  4,5  9,5  2  4  9  2  7  5 92

 4,6
54
20
2. Avendo già determinato al punto precedente la differenza media semplice, è sufficiente calcolare la media aritmetica e
ricavare il valore dell’indice di concentrazione come rapporto tra la differenza media semplice e il doppio della media
aritmetica.
Nel caso in esame
n

x
i 1
n
ii

0,5  1  3  5  10
 3,9
5
Per cui
R

4,6

 0.59
2 2  3,9
Commento: C’è una concentrazione abbastanza forte del capitale.
9
3. Per disegnare la curva di Lorenz occorre calcolare i valori di Qi e Fi, dopo aver ordinato i dati in senso non decrescente.
I risultati sono riportati nella tabella successiva
i
xi
fi
qi
Fi (= fi/n)
Qi (= qi/T)
1
0,5
1
0,5
0.2
0,0256
2
1
2
1,5
0.4
0.0769
3
3
3
4,5
0.6
0.2307
4
5
4
9,5
0.8
0.4871
5
10
5
19,5
1
1
Totale
19,5
La curva di Lorenz, allora, è quella riportata nel grafico seguente
10