PROBABILITÀ
Corsi Abilitanti Speciali
Classe 59A
III semestre - 3
ESERCIZI!
ESERCIZIO 1
Siano date due urne contenenti palline
colorate: la prima contiene due palline
bianche e tre nere, mentre la seconda tre
bianche e quattro nere. Una pallina a caso
viene presa dalla prima urna e messa nella
seconda e solo in seguito viene estratta
una pallina dalla seconda urna e se ne
osserva il colore. Qual è la probabilità che
sia nera?
ESERCIZIO 2
Si lancia una moneta due volte.
Calcolare la probabilità che:
a) Escano due teste
b) Esca almeno una croce
c) Non escano croci
d) Esca una testa e una croce
e) Esca prima una testa e poi una croce
ESERCIZIO 3
Sia dato un mazzo di 40 carte.
Calcolare la probabilità di estrarre un
asso alla seconda estrazione ( senza
reimbussolamento).
Calcolare ora la probabilità di estrarre un
asso alla terza estrazione, poi alla quarta
……. ecc
ESERCIZIO 4
In un sacchetto ci sono 5 palline, 3 rosse
e 2 blu.
Paolo vince 4 euro se esce una pallina
rossa, Giovanni 5 euro se esce blu.
Il gioco è equo?
In caso negativo, quanto dovrebbe vincere
Giovanni perché il gioco sia equo?
ESERCIZIO 5
In una classe di 30 alunni, tutti sportivi,
20 praticano il calcio e 15 la pallavolo.
Quanti alunni praticano entrambi gli sport?
Qual è la probabilità, scegliendo un alunno,
che pratichi il calcio?
Qual è la probabilità che pratichi il calcio,
sapendo che gioca a pallavolo?
Pallavolo
Calcio
12
3
17
n.alunni = 28
P(calcio) = 15/28
P(calcio\pallavolo) = 3/20 = p(CP)/p(P)
Cosa comporta il possedere
un’informazione in più?
Siano dati due eventi A e B in uno
spazio di probabilità e sia p(B) >0.
Si dice probabilità di A supposto che si
verifichi B (o prob. di A condizionata a
B):
p( A  B)
p( A \ B) 
p( B)
ESERCIZIO 6
Una famiglia ha due figli.
Qual è la probabilità che siano entrambe
femmine?
Qual è la probabilità che siano entrambe
femmine sapendo che una è femmina?
Qual è la probabilità, sapendo che la
prima è femmina, che il figlio successivo
sia femmina?
{FF; FM; MF; MM}
1/2
Spazio eventi
elementari
1/2
F
F
1/2
M
1/2
1/2
M
F
P1 =1/4
P2= 1/3
P3= 1/2
Grafo ad albero
1/2
M
ESERCIZIO 7
In una popolazione il 40% delle persone
fuma. Il 25% dei fumatori è affetto da
una malattia respiratoria cronica, così
come il 7% dei non fumatori.
Determinare la probabilità che una
persona scelta a caso sia affetta dalla
malattia.
ESERCIZIO 8
In un gruppo di 100 neonati 51 sono
maschi, 68 hanno gli occhi chiari e 38
hanno entrambe le caratteristiche.
Determinare la probabilità che:
a) Un neonato sia maschio se ha gli occhi
chiari
b) Un neonato abbia gli occhi chiari se è
maschio
ESERCIZIO 9
Un’urna contiene 10 palline, di cui 6 bianche
e 4 rosse.
Qual è la probabilità di estrarre una pallina
rossa?
Estraggo una pallina e la metto in tasca
senza guardarla. Ne estraggo una
seconda e vedo che è rossa.
Qual è la probabilità che la pallina che ho in
tasca sia rossa?
EVENTI INDIPENDENTI
Due eventi A e B si dicono
indipendenti se il verificarsi di uno
non modifica la probabilità che si
verifichi l’altro.
p(AB) = p(A) p(B)
ESERCIZIO 10
In una popolazione nordica un bambino ha la
probabilità di nascere con i capelli biondi
è del 60%, mentre quella di raggiungere
una statura inferiore a 170 cm è del 35%.
Le due caratteristiche non sono correlate.
Qual è la probabilità per un bambino di quel
Paese di avere i capelli biondi e una
statura inferiore a 170 cm?
ESERCIZIO 11
Estraggo una pallina da un’urna che ne
contiene 10 B, 15 R, 25 N, poi, dopo
averla rimessa nell’urna, ne estraggo
un’altra.
Qual è la probabilità di estrarre due palline
rosse?
E se l’estrazione fosse senza
reimbussolamento?
ESERCIZIO 11
Estraggo una pallina da un’urna che ne
contiene 10 B, 15 R, 25 N, poi, dopo
averla rimessa nell’urna, ne estraggo
un’altra.
Qual è la probabilità di estrarre due palline
rosse?
E se l’estrazione fosse senza
reimbussolamento?
L’APPROCCIO
ASSIOMATICO
L’ambiente
ESPERIMENTO - processo qualunque di cui non
possiamo conoscere il risultato, ma del quale ci
sono noti gli esiti possibili, che chiamiamo casi
elementari.
 : spazio dei casi elementari (insieme che ha come
elementi i casi elementari).
• Ogni sottoinsieme di  è detto evento.
• Ogni caso elementare è anche un evento
•  è l’evento impossibile
•  è l’evento certo
Il linguaggio
È QUELLO DELLA TEORIA DEGLI INSIEMI
Dati due eventi A e B, si indicherà:
• con AB l’evento corrispondente al verificarsi di A
o di B ( cioè se si verifica almeno uno dei due eventi)
• con AB l’evento corrispondente al verificarsi di A
e di B ( cioè se si verificano entrambi gli eventi)
• con Ac l’evento corrispondente al non verificarsi di
A ( evento contrario ad A)
• con A - B l’evento corrispondente al verificarsi di A
e al non verificarsi di B (A - B = ABc)
Il linguaggio
EVENTI INCOMPATIBILI - la loro
intersezione è l’insieme vuoto (non possono
verificarsi contemporaneamente)
EVENTI INDIPENDENTI- il verificarsi di
uno non modifica la probabilità del verificarsi
dell’altro
N.B. Due eventi indipendenti possono essere
compatibili
Due eventi incompatibili sono sempre dipendenti
L’approccio assiomatico
 può essere anche un insieme costituito da
infiniti elementi
Tutti gli eventi sono sottoinsiemi di  , ma
non è necessario che tutti i sottoinsiemi dello
spazio dei casi elementari siano eventi.
L’approccio
assiomatico
Ad ogni esperimento è possibile associare una coppia
(; F ), dove
-  è l’insieme dei casi elementari ( casi possibili)
- F è una famiglia (-algebra) di sottoinsiemi di  che
contiene tutti gli eventi a cui siamo interessati.
Es. Nel lancio di un dado, F può essere costituita
dagli eventi:“esce un numero pari” e “ esce un
numero dispari”
L’approccio assiomatico
Def. : Misura di probabilità su (; F ) è una funzione da R
nell’intervallo [0;1], che soddisfa le seguenti proprietà
a) p( ) = 1
b) Se A e B sono elementi disgiunti di F, allora p(AB) = p(A)
+ p(B)
c) se A1, A2, .....,An, ........ è una collezione di elementi disgiunti
di F,
  
p  Ai    p( Ai )
allora  i 1  i 1
proprietà di additività infinita
La terna (; F; p ) è detto spazio di probabilità.
L’approccio assiomatico
La probabilità costituisce un caso particolare di
misura in (; F ) ed è espressa da un numero
reale appartenente all’intervallo [0;1] .
Una misura è una funzione : F[0;+) tale
che ()=0 , e valga la proprietà di additività.
Esercizio – Dimostrare le seguenti proprietà:
a)
p() = 0;
b)
p(Ac) = 1 – p(A)
corollario: p()=1-p()=1-1=0
L’approccio assiomatico
N.B. Gli eventi che non possono accadere
hanno probabilità 0, ma non vale il viceversa;
cioè non è vero che un evento con probabilità 0
non può accadere.
Esercizio – Dimostrare:
p(AB) = p(A) + p(B) – p(AB)
L’approccio assiomatico
Se  è un insieme finito di cardinalità n, F è
l’insieme delle parti di  e
C ( A)
p(A) = n
 A  F,
si ritrova la definizione classica di probabilità.