Estrazione
Casuale
palline
Urna con 3 palline rosse R1, R2, R3 e 2 azzurre A1, A2
si estrae una pallina , la si rimette nell’urna, si estrae una seconda pallina
Spazio campioni S = [R1, R2, R3, A1, A2]
Eventi = 25
1^ estratta, reinserita
2^ estratta: registrate secondo ordine estrazione
Cfr.prossima
P(nessuna azzurra)=9/25
[R1, R2, R3, A1, A2]
P(solo 1 pallina azzurra)= 12/25
P(con due palline azzurre)=4/25
Eventi = 25
R1
R2
R3
A1
A2
S= [R, V, A]
Urna con palline : 2 rosse, 2 verdi, 2 azzurre
Probabilità uscita prima pallina P1, seconda pallina P2
P1r(2/6 = 1/3
P1v(2/6 = 1/3)
Prima pallina estratta
P1a(2/6 = 1/3)
Seconda pallina estratta
P2r(1/5)
P2a(2/5)
P2v(2/5)
P2r(2(5)
P2a(2/5)
P2v(1/5)
P2r(2/5)
P2a(1/5)
P2v(2/5)
r1
Urna con 3 palline rosse e due azzurre
r2
r3
a1 a2
Si estrae una prima pallina, non si reinserisce;
si estrae una seconda pallina dalle 4 rimanenti
Numero campioni 5*4 = 20
Prima pallina
Seconda pallina
P(nessuna azzurra)=6
P(una azzurra) = 12
P(con 2 azzurre) = 2
Determinare alcune probabilità
Un’urna contiene 4 palline numerate da 1 a 4:
1-2 azzurre, 3-4 rosse
3
2
vengono estratte insieme due palline
numero oggetti ?n
Probabilità che escano due rosse ? Pr
probabilità che escano due con lo stesso colore ? Ps
probabilità che escano due con colore diverso ? Pd
1
n=6
2
1
1
3
Pr = 1/6
3
4
2
3
1
4
3
2
4
2
4
Ps =2/6 = 1/3
1
3
Pd = 4/6 = 2/3
1
1
3
4
2
2
3
4
4
4
Un’urna contiene 4 palline numerate da 1 a 4:
1-2 azzurre, 3-4 rosse
3
4
2
1
vengono estratte insieme due palline
numero oggetti ?n
Probabilità che escano due colori diversi con una pari e una dispari ? Pdpd
probabilità che escano due con lo stesso colore ,pari? Psp
probabilità che escano due con colore diverso ,pari o dispari? Pdppdd
n=6
1
2
1
3
Pdpd = 2/6 = 1/3
1
2
4
3
4
Psp = 0 /6 = 0
3
2
3
1
2
4
Pdppdd = 2/6 = 1/3
2
4
1
3
4
Contenitore con 10 palline( non visibili): 5 rosse e 5 azzurre
Probabilità di estrarre come prima pallina una rossa ? Una azzurra ?
PR = nRosse / nTotale
5 / 10 = ½ = 0.5
PA= nAzzurre/nTotale
5 / 10 = ½ = 0.5
Probabilità X = eventi favorevole a X / eventi totali possibili (X + Y)
Eventi favorevoli a X (rossa= = 5
eventi favorevoli a Y (azzurra=5)
eventi totali = 10
Contenitore con 10 palline( non visibili): 2 rosse e 8 azzurre
PR = nRosse / nTotale
2 / 10 = 1/5 = 0.2
PA= nAzzurre/nTotale
8 / 10 = 4/5 = 0.8
Probabilità di estrarre come prima pallina una rossa ? Una azzurra ?
Contenitore con 10 palline( non visibili): 2 rosse e 8 azzurre
PR = nRosse / nTotale
2 / 10 = 1/5 = 0.2
PA= nAzzurre/nTotale
8 / 10 = 4/5 = 0.8
Probabilità di estrarre come prima pallina una rossa ? Una azzurra ?
Contenitore 1 : 3 rosse, 4 azzurre
Contenitore 2 : 5 rosse, 2 azzurre
Palline non visibili: da quale contenitore estrarre una pallina per
avere la più grande probabilità che sia rossa ?
PR= 3/7 = 0.43
PA = 4/7 = 0.57
PR= 5/7 = 0.71
PA= 2/7 = 0.29
Si osserva evidentemente che conviene estrarre da C2
Contenitore 1 : 3 rosse, 4 azzurre
Contenitore 2 : 5 rosse, 6 azzurre
Palline non visibili: da quale contenitore estrarre una pallina per
avere la più grande probabilità che sia rossa ?
PR= 3/7 = 0.43
PA = 4/7 = 0.57
PR= 5/11 = 0.45
PA= 6/11 = 0.55
Si osserva che, anche se con piccola differenza, conviene estrarre da C2
In un contenitore, opaco, ci sono 10 monete:
sette da 100 lire, due da 50 lire , una da 20 lire
È sempre certa la estrazione di una moneta
è decrescente la probabilità di estrarre una
determinata moneta P100 > P 50 > P20
manca la possibilità che venga estratta una
moneta diversa da 100, 50, 20
PC = 10/10 = 1 massima probabilità
P100 = 7/10 = 0.7
P50 = 2/10 = 0.2
P20 =
Px
= 0/10 = 0
Una urna contiene 3000 sferette, rosse e azzurre: come determinare in
modo approssimato il numero di sferette rosse e azzurre ?
Si estraggono , una alla volta 120 sferette e si rimettono ogni volta
nell’urna: risultano 85 rosse e 35 azzurre:la frequenza calcolata
fornisce
Fr = 85 /120 = 17/24
Fa = 35/120 = 7/24
Legge empirica del caso
17 rosse / 24 sferette = xRosse / 3000 sferette : x = 17 * 3000 / 24 =2125
7 azzurre / 24 sferette = xAzzurre / 3000 sferette : x= 7 *3000 / 24 = 875
O per differenza : azzurre = totale – rosse = 3000 – 2125 = 875
Probabilità oggettiva di uscita uguale per ogni colore
pR = 14 / 56 = 0.25
pV = 14 / 56 = 0.25
pA = 14 / 56 = 0.25
pM = 14 / 56 = 0.25
pR = pV = pA = pM = 0.25
S= 56
14 R 14 V 14 M 14 A
S=4
1R1V1A1M
Probabilità di uscita di colore specifico su richiesta , rapida: da quale urna
sembra più facile ottenere il risultato ? S 56 o S 4 ?
Urna contenente 25 palline verdi, 5 rosse, 30 blu: S =60
Estrazione una pallina :calcola probabilità uscita rossa, verde, blu
E1 = rossa (5) p(E1) = 5 / 60 = 1 /12
E2 = verde ( 25) p(E2) = 25 / 60 = 5 / 12
E3 = blu (30) p(E3) = 30 / 60 = 1 / 2
Urna con 15 palline R, 7 V, 8 B : S = 30
S = 30
Estrazione una pallina: calcolare probabilità che sia rossa, verde, blu
E1 = uscita rossa p(E1)= 15 / 30 = 1/2
E2 = uscita verde p(E2)= 7 / 30 = 7/30
E3 = uscita blu p(E3)= 8 / 30 = 4/15
Una moneta lanciata 3 volte : esiti possibili per ogni lancio (T,C)
Esiti possibili con tre lanci (8)
TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CCT, CTC, CCC
Calcola probabilità di uscita di solo 2 teste
E1 = uscita solo di 2 teste (TTC, TCT, CTT) = 3
E1 = Dn,k =n^k = 2^3 =8
P(E1)= 3 / 8
Disposizioni
con ripetizione
TTC,TCT,CTT
Urna con 15 palline Verdi, 7 rosse, 8 blu : S = 30
Estrazione di una pallina
calcolare probabilità uscita verde o blu,rossa o blu
E1 = esce verde o blu (15,8)
p(verde) = 15/30
P(blu) = 8 /30
p(V U B) = p(V) + p(B) = 15/30 + 8/30 = 23 / 30
E2 = esce rossa o blu (7,8)
P(rossa) = 7 / 30
P(blu) = 8 / 30
p(R U B) = p(R) + p(B) = 7/30 + 8/30 =1 / 2
p.282 rosa
Urna con x palline B, 2 palline nere, 3 palline rosse
Estrazione contemporanea di 2 palline
p1 : 2 nere
p2 : nessuna bianca
p3 : 2 colore diverso
S=x+5
N = Cs,2 = (x+5)(x+5-1)/2 = (x+5)(x+4)/2
estrazioni possibili di 2 palline= combinazioni s oggetti classe 2
p1 = 1 / N = 1 / (x+5)(x+4)/2 = 2 /(x+5)(x+4)
C5,2 = 5*4/2 = 10
p2 = 10/N = 20/ (x+5)(x+4)
Urna con palline : 16 Blu, 9 Rosse ,5 Verdi : S = 30
Estrazione contemporanea di due palline
Calcolare la probabilità di uscita, due blu, due verdi, rossa e blu
E1 = due palline blu
E2 = due palline verdi
E3 = palline rossa e blu
Eventi possibili con la estrazione contemporanea di 2 palline :
gruppi di 2 palline che si possono formare con 30 palline
prese 2 per volta, con la condizione che ogni gruppo sia diverso
dagli altri per almeno 1 pallina
combinazioni con n oggetti e classe 2 : Cn,k = C30,2
C30,2 = 30*29/2 = 435
E1 = numero combinazioni con n=16 classe 2 : C16,2 = 16*15/2 = 120
E2 = numero combinazioni con n=5 classe 2 : C5,2 = 5*4/2 = 10
E3 = 16 B associandosi a 9 R possono formare 16*9 = 144 coppie RB
p(E1) = 120 / 435 = 8/29
p(E2) = 10 / 435 = 2 / 87
p(E3) = 144 / 435 = 48 / 145
Vedi diapositive seguenti
per descrizione mediante
immagini
Urna con palline : 16 Blu, 9 Rosse ,5 Verdi : S = 30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
1
2
3
4
5
6
7
2
1
1
2
2
Con stesso numero:escludere
1
2
2
1
Solo ordine
diverso:duplicati
prendere solo
una coppia
Immaginare di numerare le palline da 1 a 16
Associare ogni numero a tutti gli altri numeri (16*16 = 256) associazioni
escludere associazioni che usano gli stessi numeri ,cambiando solo ordine
escludere coppie con numeri uguali associati (16)
coppie valide con almeno un numero diverso tra loro = 256 – 136 = 120
Coppie totali 16*16 = 256
256 – 136 = 120 valide
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 1…16(15)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 2….16(14)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 3…16(13)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 4…16(12)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 5…16(11)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 6…16(10)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 7…16(9)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 8…16(8)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 9…16(7)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 10…16(6)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >>11…16(5)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 12…16(4)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 13…16(3)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 14…16(2)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 15…16(1)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 16..16(0)
Escludere coppie
tra stesso numero= 16
Escludere coppie 1
con stessi numeri 2
duplicate
3
4
Contare coppie
5
valide
15
6
14
7
13
8
12
9
11
10
10
11
9
12
8
13
7
14
6
15
5
16
4
136
3
2
1
120
1-1
1-2
1-3
1-4
1-5
1-6
1-7
1-8
1-9
1-10
1-11
1-12
1-13
1-14
1-15
1-16
11-10
11-11
11-12
11-13
11-14
11-15
11-16
2-1
2-2
2-3
2-4
2-5
2-6
2-7
2-8
2-9
2-10
2-11
2-12
2-13
2-14
2-15
2-16
12-11
12-12
12-13
12-14
12-15
12-16
3-1
3-2
3-3
3-4
3-5
3-6
3-7
3-8
3-9
3-10
3-11
3-12
3-13
3-14
3-15
3-16
13-12
13-13
13-14
13-15
13-16
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
4-6
4-7
4-8
4-9
4-10
4-11
4-12
4-13
4-14
4-15
4-16
5-1
5-2
5-3
5-4
5-5
5-6
5-7
5-8
5-9
5-10
5-11
5-12
5-13
5-14
5-15
5-16
6-1
6-2
6-3
6-4
6-5
6-6
6-7
6-8
6-9
6-10
6-11
6-12
6-13
6-14
6-15
6-16
7-1
7-2
7-3
7-4
7-5
7-6
7-7
7-8
7-9
7-10
7-11
7-12
7-13
7-14
7-15
7-16
8-1
8-2
8-3
8-4
8-5
8-6
8-7
8-8
8-9
8-10
8-11
8-12
8-13
8-14
8-15
8-16
9-8
9-9
9-10
9-11
9-12
9-13
9-14
9-15
9-16
10-9
10-10
10-11
10-12
10-13
10-14
10-15
10-16
136 -16 = 120 valide
14-13 15-14
16-15
14-14 15-15
16-16
14-15 15-16
14-16
16+15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 =136
Coppie non duplicate 136 – 16 identiche = 120
1
2
3
4
5
1
1 2 3 4 5 >> 1 ….5 (4)
1 2 3 4 5 >> 2 …5 (3)
1 2 3 4 5 >> 3…..5 (2)
1-1
1-2
1-3
1-4
1-5
2-1
2-2
2-3
2-4
2-5
3-1
3-2
3-3
3-4
3-5
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
5-1
5-2
5-3
5-4
5-5
1 2 3 4 5 >> 1 …5 (1)
1 2 3 4 5 >> 1…5 ( 0)
Doppiette valide = 10
Escludere doppiette con stessi numeri o diverse solo per ordine
Numerare palline blu da 1 a 16 e palline rosse da 1 a 9
Ogni pallina blu può formare associazione con ogni pallina rossa
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
5
2
5
3
5
4
5
16
5
6
6
6
6
6
7
7
7
7
7
8
8
8
8
8
9
9
9
9
9
(16 B) * (9 R) = 144 BR
5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15
488/52
Urna contenente 8 cubetti uguali numerati da 1 a 8
1
8
Estrazione contemporanea di due cubetti
6
4
E1 = somma 2 numeri risulta pari
7 3
2
5
E2 = somma 2 numeri risulta dispari
Calcolare p(E1), p(E2)
Eventi possibili Cn,k = C 8,2 = 8*7/2 = 28
E1 = 12 p(E1) = 12 / 28 = 3 / 7
E2 = 16 p(E2) = 16 /28 = 4 / 7
1-2
1-3
1-4
1-5
1-6
1-7
1-8
2-3
2-4
2-5
2-6
2-7
2-8
3-4
3-5
3-6
3-7
3-8
4-5
4-6
4-7
4-8
5-6
5-7
5-8
6-7
6-8
7-8
488/53
Urna contenente 6 palline rosse e 4 blu
Estrazione contemporanea di 2 palline
E1 = uscita 2 rosse
E2 = uscita 2 blu
E3 = uscita rossa, blu
S = 10
Calcolare probabilità p(E1), p(E2) , p(E3)
Eventi possibili, Cn,k = C 10,2 = 10*9 / 2 = 45
E1 = Cn,k = C6,2 = 6*5/1 15
E2 = Cn,k = C4,2 = 4*3/2 = 6
E3 = 6*4 = 24
p(E1)= 15/45 = 3/15
p(E2) = 6 / 45 = 2/15
p(E3) = 24/45 = 8 /15
R1-B1
R1-B2
R1-B3
R1-B4
R2-B1
R2-B2
R2-B3
R2-B4
R4-B1
R4-B2
R4-B3
R4-B4
R5-B1
R5-B2
R5-B3
R5-B4
R3-B1
R3-B2
R3-B3
R3-B4
R6-B1
R6-B2
R6-B3
R6-B4
Cfr. diapositiva seguente
10*10 = 100 …C10,2 = 10*9/2 = 45
rosa53
36 coppie 6*6
C6,2 = 6*5/2 = 15 coppie diverse
6 da ignorare (stessi numeri)
15 da ignorare(duplicati) cambia solo ordinamento
r1
r2
r3
r1
r1r1
r1r2
r1r3
r2
r2r1
r2r2
r2r3
r3
r3r1
r3r2
r3r3
r4
r4r1
r4r2
r4r3
r5
r5r1
r5r2
r5r3
r6
r6r1
r6r2
r6r3
r4
r5
r6
r1r4
r1r5
r1r6
r2r4
r2r5
r2r6
r3r4
r3r5
r3r6
r4r4
r4r5
r4r6
r5r4
r5r5
r5r6
r6r4
r6r5
r6r6
6 * 4 = 24 coppie tra loro diverse
R1
R2
R3
R4
R5
R6
B1
B2
B3
B4
R1B1
R2B1
R3B1
R4B1
R5B1
R6B1
R1B2
R2B2
R3B2
R4B2
R5B2
R6B2
R1B3
R2B3
R3B3
R4B3
R5B3
R6B3
R1B4
R2B4
R3B4
R4B4
R5B4
R6B4
C4,2 =4*3/2 = 6
B1
B2
B3
B4
B1
B1B1 B2B1 B3B1 B4B1
B2
B1B2 B2B2 B3B2 B4B2
B3
B1B3 B2B3 B3B3 B4B3
B4
B1B4 B2B4 B3B4 B4B4
4*4 = 16 coppie : 4 da ignorare ( stessi numeri)
6 coppie da ignorare (duplicati), cambia solo ordinamento
Eventi indipendenti : due eventi sono indipendenti se la probabilità
di ciascuno non dipende dal verificarsi o meno dell’altro
Si estrae prima pallina, si rimette nell’urna, si estrae seconda pallina
R1 = prima pallina estratta:rossa
V2 = seconda pallina estratta :verde
pE = probabilità che la prima pallina sia rossa, seconda verde
pR1 = 3 / 5
pV2 = 2 /5
E = R1 ∩ V2
S = 5 palline :
3 rosse e 2 verdi
pE = p( R1 ∩ V2) = pR1*pV2
3/5 * 2/5 = 6 /25
P ( A ∩ B ) = pA * pB
Due eventi sono indipendenti solo se vale la relazione precedente
Esempio di estrazione senza rimettere nell’urna
osservare come variano le probabilità di estrazione per oggetti
rossi e verdi in funzione del verificarsi della uscita di un oggetto
rosso o verde per ogni diversa estrazione
Uscite secondo maggiore probabilità fino al raggiungimento della parità
Eventi interdipendenti
Esempio di estrazione senza rimettere nell’urna
osservare come variano le probabilità di estrazione per oggetti
rossi e verdi in funzione del verificarsi della uscita di un oggetto
rosso o verde per ogni diversa estrazione
Uscite con comportamento più casuale, non proprio secondo la maggiore
probabilità
Eventi interdipendenti
Esempio di estrazione con reinserimento nell’urna
osservare come rimangono costanti le probabilità di estrazione per
oggetti rossi e verdi dopo ogni estrazione
Cambierebbe la probabilità se non venisse reinserito l’oggetto estratto
Eventi indipendenti
Eventi dipendenti : due eventi sono dipendenti se la probabilità
di uno dipende dal verificarsi o meno dell’altro
Si estrae prima pallina, non rimette nell’urna, si estrae seconda
pallina
R1 = prima pallina estratta:rossa
V2 = seconda pallina estratta :verde
pE = probabilità che la prima pallina sia rossa, seconda verde
pR1 = 3 / 5
pV2 = 2 /4 = 1/2
pV2 = 2 /5
E = R1 ∩ V2
S = 5 palline :
3 rosse e 2 verdi
La probabilità che esca pallina verde aumenta da 2/5 a ½
per effetto del verificarsi dell’uscita della rossa: cambia S (da 5 a 4)
Probabilità condizionata
E : uscita come seconda pallina V
pD = 2/9 = 0.22
1 uscita
2 uscita
1 uscita
pD = 1/9 = 0.11
U con S = 10 :8 R 2 V
S=9 : R=7 V=2
C = esce rossa pC = 4/10 = 0.8
Situazione iniziale
D = esce verde pD = 2/10 = 0.2
Se esce prima rossa, esce come seconda una verde con p=0.22 > 0.20
Se esce prima verde, esce come seconda una verde con p=0.11 < 0.20
Probabilità evento D ,uscita verde come seconda, risente del verificarsi
dell’uscita della prima pallina:cambia sempre la sua probabilità
Si estrae prima pallina e poi si reimmette
eventi E1 , E2 indipendenti : S = costante
Eventi indipendenti
E1 = prima pallina rossa: pE1 =15/25=3/5
E2 = seconda pallina verde:pE2 =10/25=2/5
E = (R ∩ V) :prima rossa, seconda verde : 6/25
S = 5 :R 3, V 2
(3/5)*(2/5)= 6/25
Probabilità di intersezione p(R ∩ V) = pR * PV
Si estrae prima pallina e non si reimmette
eventi R1 , V2 dipendenti :S variabile
R1 = prima pallina rossa: pR1 =12/20=3/5
V2 = seconda pallina verde: 10/20=1/2
p(V2 | R1) = 10/20 = 1/2
E = (R ∩ V) :prima R, seconda V : 6/20=3/10
S = 4 :R 2, V 2
(3/5)*(1/2)=3/10
p(R1 ∩ V2) = pR1 * p(V2|R1)
La probabilità (composta) della intersezione di due eventi correlati è uguale
al prodotto della probabilità di un evento per la probabilità dell’altro evento
correlato (condizionato ) al primo
Probabilità composta:segue
Urna con 10 oggetti , tre deteriorati :S = 10
E estrazione casuale di 2 oggetti
trovare probabilità che siano entrambi normali
pA = 7/10 i :se vero condiziona risultato : pB = (B|A) = 6/9 = 2/3
p(B ∩ A)=pA*p(B|A)=(7/10)*(2/3)=14/30 =7/15
Esempio di estrazione senza rimettere nell’urna
osservare come variano le probabilità di estrazione per oggetti
rossi e verdi in funzione del verificarsi della uscita di un oggetto
rosso o verde per ogni diversa estrazione
Uscite secondo maggiore probabilità fino al raggiungimento della parità
Esempio di estrazione senza rimettere nell’urna
osservare come variano le probabilità di estrazione per oggetti
rossi e verdi in funzione del verificarsi della uscita di un oggetto
rosso o verde per ogni diversa estrazione
Uscite con comportamento più casuale, non proprio secondo la maggiore
probabilità
Esempio di estrazione con reinserimento nell’urna
osservare come rimangono costanti le probabilità di estrazione per
oggetti rossi e verdi dopo ogni estrazione
Cambierebbe la probabilità se non venisse reinserito l’oggetto estratto
5
Eventi indipendenti
6
Urna 1 con 20 palline , 5 rosse
urna 2 con 30 palline , 6 rosse
Si estrae una pallina da U1 e poi una da U2
E1 = esce R da U1 con pE1 = 5/20
E2 = esce R da U2 con pE2 = 6/30
U1
20
U2
30
30 rosse su 600 palline
E = escono due palline R , da U1 e da U2 con pE = 5*6 / 600 = 1/20
L’uscita di R da U2 non dipende dall’uscita di R da U1
E = E1 ∩ E2 con p(E) = p(E1 ∩ E2) = (5/20)*(6/30) =1/20= pE1*pE2
La probabilità dell’evento E risulta uguale al prodotto delle probabilità
degli eventi E1 e E2 :
quindi i due eventi E1 e E2 sono indipendenti
Cfr.seguente per immagini
1
2
3
1
4
2
3
4
5
5
6
Ogni pallina rossa di U1 (1,2,3,4,5) può essere associata ad ogni
pallina rossa di U2 (1,2,3,4,5,6)
L’evento uscita pallina rossa = 5*6 = 30
i casi possibili sono dati dalla associazione di ogni pallina di U1 (20)
con ogni pallina di U2 (30) = 20*30= 600
La probabilità dell’evento E (2 rosse) p(e) = 30/600 = 1 / 20
Eventi indipendenti, non correlati
Urna U con 5 palline rosse e 3 verdi
E1 = esce pallina rossa con p(E1) = 5/8
E2 = esce pallina rossa con p(E2)= 5/8
E : estrazione 2 palline rosse con due estrazioni successive e
con reinserimento in U della prima pallina estratta
E1 e E2 indipendenti
P(E) = p(E1 ∩ E2) = (5/8)*(5/8) = 25/64
E2
U 5/8
U4/7
U 5/8
Eventi indipendenti, non correlati
Urna U 30 palline (S) : 10 palline verdi e 20 palline rosse
Estrazione in sequenza di 3 palline,
con reinserimento nell’urna delle palline estratte
E : E1 rossa, E2 rossa, E3 verde
E1 = 20/30 con p(E1) = 2/3
E2 = 20/30 con p(E2) = 2/3
E3 = 10/30 con p(E3) = 1/3
E1,E2,E3 indipendenti perché rimane costante S
P(E) = p(E1 ∩ E2 ∩ E3 ) = (2/3)*(2/3)*(1/3) = 4/27
U con S = 30
Eventi indipendenti, non correlati
U con 20 (S) palline : 5 rosse e 15 verdi
Unica estrazione
E1 = con una estrazione,esce pallina rossa con p(E1) = 5/20 = 1/4
E1 evento indipendente
Due estrazioni successive con reinserimento
E1 = prima pallina estratta , rossa o verde: reinserita
E2 = la seconda pallina è rossa
p(E2) = 5/20 = ¼ (non cambia S , indipendente)
E1 e E2 eventi non correlati, indipendenti
Eventi dipendenti, correlati
U con 20 (S) palline : 5 rosse e 15 verdi
Due estrazioni successive senza reinserimento
5/20
4/ 19
E1 = prima pallina rossa 5/20
E2 = seconda pallina rossa 4/19 con p(E2) = 4/19 < 1/4
P(E2) ridotta per il verificarsi di E1 precedente :E2 e E1 correlati : p(E2 /E1)
E2 correlato negativamente a E1, perché risulta sfavorito 4/19 < 1/4
E1 = prima pallina verde
E2 = seconda pallina rossa 5/19 con p(E2) = 5/19 > 1/4
P(E2) aumentata per il verificarsi di E1 precedente
E2 e E1 correlati p(E2/E1)
E2 correlato positivamente a E1, perché risulta favorito 5/19 > 1/4
5/19
Probabilità condizionata
E : uscita come seconda pallina V
pD = 2/9 = 0.22
1 uscita
2 uscita
1 uscita
pD = 1/9 = 0.11
U con S = 10 :8 R 2 V
S=9 : R=7 V=2
C = esce rossa pC = 4/10 = 0.8
Situazione iniziale
D = esce verde pD = 2/10 = 0.2
Se esce prima rossa, esce come seconda una verde con p=0.22 > 0.20
Se esce prima verde, esce come seconda una verde con p=0.11 < 0.20
Probabilità evento D ,uscita verde come seconda, risente del verificarsi
dell’uscita della prima pallina:cambia sempre la sua probabilità
Probabilità condizionata:segue
Se C evento condizionante e D evento condizionato da C
avremo notazione : pD = p(D|C)
probabilità che si verifichi evento D condizionato da C
C e D risultano interdipendenti, correlati
se pD viene ridotta: correlazione negativa
se pD viene aumentata : correlazione positiva
Probabilità composta :
la probabilità della intersezione di due eventi è uguale al prodotto
della probabilità di uno di essi per la probabilità dell’altro
condizionata al primo
P (A ∩ B) = pA * p(B | A)
P (B ∩ A) = pB * p(A | B)
Si estrae prima pallina e poi si reimmette
eventi E1 , E2 indipendenti : S = costante
Eventi indipendenti
E1 = prima pallina rossa: pE1 =15/25=3/5
E2 = seconda pallina verde:pE2 =10/25=2/5
E = (R ∩ V) :prima rossa, seconda verde : 6/25
S = 5 :R 3, V 2
(3/5)*(2/5)= 6/25
Probabilità di intersezione p(R ∩ V) = pR * PV
Si estrae prima pallina e non si reimmette
eventi R1 , V2 dipendenti :S variabile
R1 = prima pallina rossa: pR1 =12/20=3/5
V2 = seconda pallina verde: 10/20=1/2
p(V2 | R1) = 10/20 = 1/2
E = (R ∩ V) :prima R, seconda V : 6/20=3/10
S = 4 :R 2, V 2
(3/5)*(1/2)=3/10
p(R1 ∩ V2) = pR1 * p(V2|R1)
La probabilità (composta) della intersezione di due eventi correlati è uguale
al prodotto della probabilità di un evento per la probabilità dell’altro evento
correlato (condizionato ) al primo
Probabilità composta:segue
Urna con 10 oggetti , tre deteriorati :S = 10
E estrazione casuale di 2 oggetti
trovare probabilità che siano entrambi normali
pA = 7/10 i :se vero condiziona risultato : pB = (B|A) = 6/9 = 2/3
p(B ∩ A)=pA*p(B|A)=(7/10)*(2/3)=14/30 =7/15
Esempio di estrazione senza rimettere nell’urna
osservare come variano le probabilità di estrazione per oggetti
rossi e verdi in funzione del verificarsi della uscita di un oggetto
rosso o verde per ogni diversa estrazione
Uscite secondo maggiore probabilità fino al raggiungimento della parità
Esempio di estrazione senza rimettere nell’urna
osservare come variano le probabilità di estrazione per oggetti
rossi e verdi in funzione del verificarsi della uscita di un oggetto
rosso o verde per ogni diversa estrazione
Uscite con comportamento più casuale, non proprio secondo la maggiore
probabilità
Esempio di estrazione con reinserimento nell’urna
osservare come rimangono costanti le probabilità di estrazione per
oggetti rossi e verdi dopo ogni estrazione
Cambierebbe la probabilità se non venisse reinserito l’oggetto estratto
5
Eventi indipendenti
6
Urna 1 con 20 palline , 5 rosse
urna 2 con 30 palline , 6 rosse
Si estrae una pallina da U1 e poi una da U2
E1 = esce R da U1 con pE1 = 5/20
E2 = esce R da U2 con pE2 = 6/30
U1
20
U2
30
30 rosse su 600 palline
E = escono due palline R , da U1 e da U2 con pE = 5*6 / 600 = 1/20
L’uscita di R da U2 non dipende dall’uscita di R da U1
E = E1 ∩ E2 con p(E) = p(E1 ∩ E2) = (5/20)*(6/30) =1/20= pE1*pE2
La probabilità dell’evento E risulta uguale al prodotto delle probabilità
degli eventi E1 e E2 :
quindi i due eventi E1 e E2 sono indipendenti
Cfr.seguente per immagini
1
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3
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Ogni pallina rossa di U1 (1,2,3,4,5) può essere associata ad ogni
pallina rossa di U2 (1,2,3,4,5,6)
L’evento uscita pallina rossa = 5*6 = 30
i casi possibili sono dati dalla associazione di ogni pallina di U1 (20)
con ogni pallina di U2 (30) = 20*30= 600
La probabilità dell’evento E (2 rosse) p(e) = 30/600 = 1 / 20
Eventi indipendenti, non correlati
Urna U con 5 palline rosse e 3 verdi
E1 = esce pallina rossa con p(E1) = 5/8
E2 = esce pallina rossa con p(E2)= 5/8
E : estrazione 2 palline rosse con due estrazioni successive e
con reinserimento in U della prima pallina estratta
E1 e E2 indipendenti
P(E) = p(E1 ∩ E2) = (5/8)*(5/8) = 25/64
E2
U 5/8
U4/7
U 5/8
Eventi indipendenti, non correlati
Urna U 30 palline (S) : 10 palline verdi e 20 palline rosse
Estrazione in sequenza di 3 palline,
con reinserimento nell’urna delle palline estratte
E : E1 rossa, E2 rossa, E3 verde
E1 = 20/30 con p(E1) = 2/3
E2 = 20/30 con p(E2) = 2/3
E3 = 10/30 con p(E3) = 1/3
E1,E2,E3 indipendenti perché rimane costante S
P(E) = p(E1 ∩ E2 ∩ E3 ) = (2/3)*(2/3)*(1/3) = 4/27
U con S = 30
Eventi indipendenti, non correlati
U con 20 (S) palline : 5 rosse e 15 verdi
Unica estrazione
E1 = con una estrazione,esce pallina rossa con p(E1) = 5/20 = 1/4
E1 evento indipendente
Due estrazioni successive con reinserimento
E1 = prima pallina estratta , rossa o verde: reinserita
E2 = la seconda pallina è rossa
p(E2) = 5/20 = ¼ (non cambia S , indipendente)
E1 e E2 eventi non correlati, indipendenti
Eventi dipendenti, correlati
U con 20 (S) palline : 5 rosse e 15 verdi
Due estrazioni successive senza reinserimento
5/20
4/ 19
E1 = prima pallina rossa 5/20
E2 = seconda pallina rossa 4/19 con p(E2) = 4/19 < 1/4
P(E2) ridotta per il verificarsi di E1 precedente :E2 e E1 correlati : p(E2 /E1)
E2 correlato negativamente a E1, perché risulta sfavorito 4/19 < 1/4
E1 = prima pallina verde
E2 = seconda pallina rossa 5/19 con p(E2) = 5/19 > 1/4
P(E2) aumentata per il verificarsi di E1 precedente
E2 e E1 correlati p(E2/E1)
E2 correlato positivamente a E1, perché risulta favorito 5/19 > 1/4
5/19
Lancio di una moneta tre volte :
spazio campionario S = Sm * Sm * Sm
=(TTT,TTC,TCT,TCC,CTT,CTC,CCT,CCC): 8 campioni
evento A : uscita consecutiva di 2 teste
A = (TTT,TTC,CTT)
evento B : uscita croce (3 lancio)
B =(TTC,TCC,CTC,CCC)
Evento C :uscita consecutiva di 2 teste e uscita croce al 3 lancio
C = A U B (unione eventi): (TTT,TTC,CTT,TCC,CCC,CTC)
Una urna contiene 3000 sferette, rosse e azzurre: come determinare in
modo approssimato il numero di sferette rosse e azzurre ?
Si estraggono , una alla volta 120 sferette e si rimettono ogni volta
nell’urna: risultano 85 rosse e 35 azzurre:la frequenza calcolata
fornisce
Fr = 85 /120 = 17/24
Fa = 35/120 = 7/24
Legge empirica del caso
17 rosse / 24 sferette = xRosse / 3000 sferette : x = 17 * 3000 / 24 =2125
7 azzurre / 24 sferette = xAzzurre / 3000 sferette : x= 7 *3000 / 24 = 875
O per differenza : azzurre = totale – rosse = 3000 – 2125 = 875