PROBABILITÀ
Corsi Abilitanti Speciali
Classe 59A
III semestre - 2
DEFINIZIONE FREQUENTISTA
SI ASSUME COME VALORE
DELLA PROBABILITÀ LA
FREQUENZA RELATIVA, QUANDO
IL NUMERO DELLE PROVE È
SUFFICIENTEMENTE ELEVATO.
DEFINIZIONE FREQUENTISTA
Aumentando il numero delle prove la
frequenza di un risultato oscilla attorno
a un valore verso il quale tende a
stabilizzarsi. Se è possibile conoscere la
probabilità a priori di tale risultato si
osserva che le frequenze ottenute sono
approssimazioni della probabilità
calcolata a priori.
Si tratta di un fatto sperimentale!
LEGGE EMPIRICA DEL CASO
DEFINIZIONE FREQUENTISTA
È UNA CONCEZIONE
“ A POSTERIORI”
Affonda le sue radici nelle
osservazioni sperimentali di certe
regolarità in una grande quantità di
risultati.
LIMITI DI APPLICABILITÀ
DEFINIZIONE FREQUENTISTA
Fermat, Pascal e Huygens non si occupano
apertamente del concetto di frequenza.
Lo fa invece Jacob Bernoulli, che nella
prima parte dell’Ars conjectandi ragiona
con mentalità statistica.La Statistica si
sta infatti sviluppando, muovendo i suoi
primi passi.
La concezione frequentistica trova però la
sua sistemazione rigorosa solo nel XIX
secolo.
DEFINIZIONE SOGGETTIVISTA
LA PROBABILITÀ DI UN EVENTO
A
RAPPRESENTA IL GRADO DI
FIDUCIA CHE UN INDIVIDUO
COERENTE ATTRIBUISCE,
SECONDO LE SUE INFORMAZIONI,
ALL'AVVERARSI DI
A.
DEFINIZIONE SOGGETTIVISTA
Se vogliamo essere più operativi
possiamo dire che la probabilità di
un evento A per un individuo è il
prezzo che egli stima equo
attribuire a un importo unitario
esigibile, se A si verifica.
Questa concezione è interpretabile
in termini di scommessa.
Lancio una moneta. Se esce TESTA vinco
io, altrimenti vince Dario. Decido con il
mio avversario che la vincita deve essere
1€. Quanto sono disposto a mettere sul
banco?
Siccome ritengo che entrambi abbiamo la
stessa possibilità di vincere, sarò
disposto a puntare 0,50 €
Lancio due dadi. Vinco 1€ se la somma dei
due numeri usciti è 3, mentre il mio
avversario vince se la somma è 7. Se non
si ottiene nessuno dei due numeri si ripete
il lancio.Quanto sono disposto a puntare?
p(uscita n.3) = 1/18
p(uscita n.7) = 1/6
La mia probabilità di vincere è 1/3 di
quella dell’avversario.
Sono disposto a
puntare ….
0,25 euro!
L’APPROCCIO
ASSIOMATICO
L’ambiente
ESPERIMENTO - processo qualunque di cui non
possiamo conoscere il risultato, ma del quale ci
sono noti gli esiti possibili, che chiamiamo casi
elementari.
 : spazio dei casi elementari (insieme che ha come
elementi i casi elementari).
• Ogni sottoinsieme di  è detto evento.
• Ogni caso elementare è anche un evento
•  è l’evento impossibile
•  è l’evento certo
Il linguaggio
È QUELLO DELLA TEORIA DEGLI INSIEMI
Dati due eventi A e B, si indicherà:
• con AB l’evento corrispondente al verificarsi di A
o di B ( cioè se si verifica almeno uno dei due eventi)
• con AB l’evento corrispondente al verificarsi di A
e di B ( cioè se si verificano entrambi gli eventi)
• con Ac l’evento corrispondente al non verificarsi di
A ( evento contrario ad A)
• con A - B l’evento corrispondente al verificarsi di A
e al non verificarsi di B (A - B = ABc)
Il linguaggio
EVENTI INCOMPATIBILI - la loro
intersezione è l’insieme vuoto (non possono
verificarsi contemporaneamente)
EVENTI INDIPENDENTI- il verificarsi di
uno non modifica la probabilità del verificarsi
dell’altro
N.B. Due eventi indipendenti possono essere
compatibili
Due eventi incompatibili sono sempre dipendenti
L’approccio assiomatico
 può essere anche un insieme costituito da
infiniti elementi
Tutti gli eventi sono sottoinsiemi di  , ma
non è necessario che tutti i sottoinsiemi dello
spazio dei casi elementari siano eventi.
L’approccio
assiomatico
Ad ogni esperimento è possibile associare una coppia
(; F ), dove
-  è l’insieme dei casi elementari ( casi possibili)
- F è una famiglia (-algebra) di sottoinsiemi di  che
contiene tutti gli eventi a cui siamo interessati.
Es. Nel lancio di un dado, F può essere costituita
dagli eventi:“esce un numero pari” e “ esce un
numero dispari”
L’approccio assiomatico
Def. : Misura di probabilità su (; F ) è una funzione da R
nell’intervallo [0;1], che soddisfa le seguenti proprietà
a) p( ) = 1
b) Se A e B sono elementi disgiunti di F, allora p(AB) = p(A)
+ p(B)
c) se A1, A2, .....,An, ........ è una collezione di elementi disgiunti
di F,
  
p  Ai    p( Ai )
allora  i 1  i 1
proprietà di additività infinita
La terna (; F; p ) è detto spazio di probabilità.
L’approccio assiomatico
La probabilità costituisce un caso particolare di
misura in (; F ) ed è espressa da un numero
reale appartenente all’intervallo [0;1] .
Una misura è una funzione : F[0;+) tale
che ()=0 , e valga la proprietà di additività.
Esercizio – Dimostrare le seguenti proprietà:
a)
p() = 0;
b)
p(Ac) = 1 – p(A)
corollario: p()=1-p()=1-1=0
L’approccio assiomatico
N.B. Gli eventi che non possono accadere
hanno probabilità 0, ma non vale il viceversa;
cioè non è vero che un evento con probabilità 0
non può accadere.
Esercizio – Dimostrare:
p(AB) = p(A) + p(B) – p(AB)
L’approccio assiomatico
Se  è un insieme finito di cardinalità n, F è
l’insieme delle parti di  e
C ( A)
p(A) = n
 A  F,
si ritrova la definizione classica di probabilità.