Probabilità
1
•obiettivi
•dare all’alunno, a partire dalla valutazione qualitativa del grado di
incertezza di un evento aleatorio, la consapevolezza che anche l’ambito
del fortuito può essere analizzato razionalmente;
• far valutare quantitativamente la probabilità di un evento secondo
la definizione classica di probabilità come rapporto;
• far acquisire la capacità di operare con semplici proposizioni di
calcolo e risolvere problemi con eventi aleatori composti;
•- studiare, con strumenti probabilistici alcuni problemi delle scienze
sperimentali (ereditarietà, fattore Rh);
2
obiettivi
• avviare la comprensione della legge (debole) dei grandi numeri,
facendo vedere in uno schema di prove ripetute, che eventi casuali, al
crescere del numero delle prove, seguono una “ crescente regolarità”
• recuperare, nell’ambito della probabilità, altri concetti
matematici: frazioni, percentuali, funzioni, disequazioni, calcolo
letterale, logica.
3
Contenuti
Probabilità di eventi semplici
Probabilità di eventi composti
Applicazione della Probabilità alla genetica
4
Metodo
Si è scelto di non presentare definizioni, assiomi e
teoremi, ma di far ricavare le proprietà della probabilità
attraverso situazioni problematiche e con un lavoro su
schede.
La presentazione propone varie situazioni legate a giochi
di fortuna (sacchetti di biglie colorate, carte, dadi, monete):
5
metodo
si chiederà di congetturare il risultato, di indovinare l’esito delle prove
aleatorie
e poi si passerà al tentativo di spiegazione, mediante il ragionamento
volto a chiarire perché certe cose accadono “più facilmente” di altre
Si è preferito occuparci di probabilità in giochi di fortuna invece che in
situazioni più legate alla vita reale, le situazioni reali sono troppo
complesse
6
metodo
Non si inizia parlando di eventi certi, impossibili, probabili, come
in alcuni libri di testo
Neppure considerando le frequenze di un evento su di un certo
numero di prove
ma il metodo seguito è quello di far scoprire
dagli alunni le proprietà della probabilità a
partire da esempi opportuni.
7
Probabilità di eventi semplici
Si cerca di far comprendere che nel caso che gli eventi elementari
siano un numero finito N e tutti ugualmente possibili:
ogni evento elementare ha probabilità 1/N
se un evento A è costituito da m eventi elementari la
sua probabilità è m/N
8
Proprietà della probabilità:
•P(AB)= P(A)+P(B) se AB=
•Se due eventi A, B sono incompatibili, la probabilità
dell’evento unione è la somma della loro probabilità.
•P(AB)= P(A)+P(B)- P(AB)
•Se due eventi A, B sono compatibili, la probabilità
dell’evento unione è la somma della loro probabilità
meno la probabilità della loro intersezione.
•P()=0
•Probabilità dell’evento impossibile.
•
9
Probabilità dell’evento certo
P()=1
Probabilità dell’evento certo.
P(CA)=1- P(A)
La probabilità dell’evento A e quello dell’evento
contrario (non A) danno somma 1.
Dove A, B indicano eventi,  indica l’evento certo, 
l’evento impossibile e CA l’evento contrario di A.
10
URNE
Considera il seguente gioco: ci sono due urne contenenti delle palline
perfettamente uguali tra loro, ma colorate diversamente, alcune
bianche, altre nere.
Nella 1°urna ci sono una pallina bianca e una nera, nella 2°urna una
bianca e nove nere.
Prima urna
Seconda urna
11
Vinci un premio
Per vincere un premio devi estrarre una pallina bianca da
una delle due urne.
Osserva che nessuna pallina è avvantaggiata nell’estrazione.
1) In quale urna ti conviene pescare?
2) E se le urne fossero così composte?
In quale pescheresti?
Prima urna
Seconda urna
12
Scheda 1.
Per rispondere alla prima domanda notiamo che con nessuna
delle due urne la vincita è sicura, con nessuna è impossibile, è
tuttavia ovvio scegliere la prima urna, perché entrambe le urne
contengono 1 pallina bianca, ma la seconda contiene molte più
nere della prima
Per rispondere alla seconda domanda notiamo che l’uscita
della biglia vincente non è sicura, è chiaramente incerta, ma è
più facile estrarre la bianca dalla seconda urna:
cominciamo a dire che sebbene incerta in entrambi i casi,
l’estrazione della bianca è più probabile dalla seconda urna
che dalla prima.
Non si è ancora introdotta una nozione quantitativa di
13
probabilità.
Scheda tre
Ti sarai accorto che nella seconda situazione della scheda
precedente è indifferente scegliere la prima urna o la seconda:infatti,
pur essendo diverso il numero delle palline nelle due urne, in
entrambi i casi per ogni pallina bianca ce ne sono due nere, cioè per
ogni possibilità di vincere due di perdere:
Considera, ora, la seguente situazione
1B
2N
2B
5N
1°urna
2°urna
1)In quale urna pescheresti?
Scegli e completa una di queste risposte:
a) Pesco nella prima perché.........
b) Pesco nella seconda perché.........
14
Scheda 3
Nelle risposte alle domande della prima scheda l’intuizione
suggerisce le corrette risposte, mentre nella scheda tre il
confronto non è così immediato
• è richiesto il confronto tra due rapporti,
•non è più così intuitivo
• nella scheda tre deve essere calcolato il rapporto
15
misura
Si giunge all’idea di misurare o meglio di esprimere
quantitativamente la probabilità dell’estrazione mediante un
rapporto tra le palline bianche e il totale delle biglie.
Si ha così un valore numerico che ci consentirà di paragonare
facilmente la probabilità di eventi diversi non immediatamente
confrontabili tra loro
16
Definizione di probabilità di un
evento
Il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e quello dei casi
possibili;
si richiede
il numero dei casi possibili sia finito
gli eventi elementari siano tutti ugualmente possibili
17
definizione
Il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e quello dei casi
possibili è la “misura” della possibilità che si verifichi un certo
evento.
La probabilità viene introdotta come misura definita in un insieme.
I sottoinsiemi di questo vengono detti eventi;
gli elementi dell’insieme vengono detti eventi elementari.
La definizione nasce in un ambiente teorico, anche se legato ad
oggetti concreti (urne, palline). Non è sembrato opportuno ricorrere
a situazioni sperimentali, anche se in molti testi di scuola media
inferiore questo è un punto di partenza per lo studio della
probabilità.
18
Problemi didattici
può succedere, che rispondendo alle domande di queste prime
schede,
gli alunni possano essere indotti a considerare il rapporto
tra le palline bianche e quelle nere, invece di costruire un
rapporto tra le palline bianche (o nere) e il totale delle palline.
Si può, attraverso una discussione in classe con gli alunni,
fare presente che per convenzione la frazione, che si utilizza per
misurare la probabilità, ha come denominatore il totale delle
palline dell’urna, e che la frazione così costruita è più
opportuna perché in questo modo si evita di poter avere lo zero
a denominatore o frazioni improprie. (Se, nell’introduzione della
probabilità, dovesse apparire poco opportuno far sorgere questo
problema, esso può essere evitato presentando altri esempi.)
19
Esempio
ci sono due insiemi di buste :
nel primo insieme ci sono 8 buste di cui 5 contenenti un
premio,
nel secondo insieme ci sono 10 buste di cui 7 contenenti
un premio.
Se dovessi pescare a caso una busta per trovare un premio
in quale pescheresti?
(Oppure presentando esempi riguardanti la probabilità nel
lancio di un dado.)
20
Scheda sei
Oggi un insegnante della tua classe vuole affidarsi al caso per
interrogare un ragazzo.
Pesca da un sacchetto della tombola contenente solo i numeri
corrispondenti sul registro di classe agli alunni presenti.
1) Qual è la probabilità che tu sia interrogato?
2) Qual è la probabilità che venga interrogato un ragazzo il cui
cognome inizia con la lettera....? E con la lettera...?
3) E’ più facile che sia interrogato un maschio o una femmina?
4) Supponi che in una delle prossime lezioni l’insegnante usi
ancora lo stesso modo di interrogare.
Se quel giorno sei presente a scuola la probabilità che tu sia
interrogato sarà ancora uguale a quella di oggi o potrà cambiare?
Giustifica la tua risposta.
21
Scheda 6
si vuole far scoprire P()=0.
La domanda 4 si propone di far osservare che la probabilità di uno
stesso evento può cambiare se si modifica l’esperimento.
Con questa scheda e con gli esercizi si vuole arrivare a far comprendere
che la probabilità di un evento è un numero tale che 0p1, e si cerca
di chiarire il significato della parola “evento”.
22
Esercizi
1) Supponi di avere un mazzo di carte da 40 . Calcola la probabilità
di estrarre:
a) il fante di cuori
b) un fante
c) una figura
2) Un tuo compagno risolvendo un esercizio ha ottenuto come
probabilità di un evento il numero 4/3.
Ti sembra un risultato possibile?
3) In un’urna ci sono 5 palline nere. Quante palline bianche devi
aggiungere perché la probabilità di estrarre una pallina bianca sia
2/7? E perché sia 2/3?
23
Scheda 8
la situazione viene rappresentata con un grafo ad albero,
dove alla fine di ciascun ramo è scritto l’evento considerato
lungo ogni ramo si deve leggere la probabilità dell’evento
corrispondente.
La somma di tutti i numeri scritti lungo i rami deve essere
uguale a uno.
Per la probabilità dell’unione di eventi viene presentata prima per
eventi disgiunti, poi per eventi qualunque.
24
Grafo ad albero
In un urna ci sono 4 palline bianche, 3 rosse,
2 nere e 1 verde. Come puoi facilmente verificare la probabilità di
estrarre una palina bianca è 2/5.Rappresentiamo la situazione con il
seguente schema che si chiama”grafo ad albero:
Completa
il
grafo
mettendo al posto dei
puntini le probabilità .
2/5 ….
Bianca
Rossa
….
Nera
….
Verde
25
Lancio di un dado
Un dado ha tre facce rosse, due blu e una bianca.
Lanciando il dado qual è la probabilità di ottenere blu?
Rappresenta la situazione con un grafo ad albero.
26
scheda 9
fa scoprire “la regola della somma “ nel caso di
eventi disgiunti.
27
Scheda nove
A una lotteria si vendono 150 biglietti.
Gianni ne ha comperati 10 e suo fratello Luigi 15. Nessun altro nella
loro famiglia ha acquistato biglietti.
1) Qual è la probabilità che Gianni vinca un premio? P(G)=
2) Qual è la probabilità che lo vinca Luigi?
P(L)=
3) Qual è la probabilità che arrivi il primo premio nella loro
famiglia?(Scrivi il calcolo)
P(F)=
4) Verifica la seguente uguaglianza, utilizzando i risultati ottenuti
rispondendo alle domande precedenti:
P(G)+P(L)=P(F)
28
Scheda dieci
In un sacchetto ci sono 3 caramelle alla ciliegia, 4 all’arancia, 5
al miele.
1) Qual è la probabilità di estrarre:
a) Una caramella alla ciliegia;
b) Una caramella alla arancia;
c) Una caramella alla frutta ( alla ciliegia o all’arancia)?
2) Rappresenta la situazione completando il seguente grafo ad
albero:
Osserva che la somma delle
probabilità dei primi due rami è
....
...
.....
uguale al numero ottenuto
rispondendo alla domanda1 c
C
A
M
29
Somma la probabilità di tutti i
rami del grafo
a) Quale numero ottieni?
b) Questo numero di quale evento rappresenta la probabilità?
c) Potevi prevedere il risultato ripensando alla definizione di
probabilità? Perché?
30
scheda 10
si arriva al concetto di eventi incompatibili e si vuole anche
far riflettere sull’uso di “o” nel senso latino “vel” e
dell’unione fra insiemi.
Se indichiamo con C, l’evento “uscita di una caramella
alla ciliegia”, con A, l’evento “uscita di una caramella alla
arancia”,
calcolare l’evento “uscita di una caramella alla frutta”,
cioè alla ciliegia o alla arancia,
la probabilità è P( CA)=P(C)+P(A)=7/12
Con il gruppo di domande al punto 3 si vuole far scoprire
che la probabilità dell’evento certo è 1 (cioè P()=1).
31
Riflettere su eventi compatibili
o non
si possono richiamare, con opportune domande e presentando
esempi, le operazioni di unione e di intersezione tra insiemi e
riprendere in considerazione i connettivi logici “o” e “e”.
32
Scheda undici
Considera il lancio di un dado e completa le seguenti tabelle
Evento
Uscita di un
n°<3
Uscita di un
n°>4
Uscita di un
n°<3 o >4
Elenco
dei casi
favorevoli
Uscita del n°1
Uscita del n°2
Numero
dei casi favorevoli
2
Probabilità
Verifica che:
P3 = P1+P2
P1=2/6=1/3
P2 =
P3 =
33
Verifica che
Evento
P6 P4 +P5
Elenco
dei casi
favorevoli
Uscita di un
Uscita del n°2
numero primo Uscita del n°3
Uscita del n°5
Uscita di un
n°>3
Uscita di un
numero primo
o >3
Numero
dei casi favorevoli
3
Probabilità
P4=3/6=1/2
Sai spiegare
perché,
in
questo caso,
non si possono
sommare P4 e
P5 ?
P5 =
P6=
34
Scheda 11
Si formula la regola della probabilità dell’unione di eventi
sia nel caso in cui siano disgiunti, sia nel caso più generale.
A: uscita di un numero <3
B: uscita di un numero >4
AB: uscita di un numero <3 o >4
Gli eventi elementari di B sono: uscita del 5, uscita del 6,
quindi:
P(B)=2/6=1/3
35
P(AB)
Gli eventi elementari di AB sono: uscita del
numero 1, uscita del 2, uscita del 5, uscita del 6,
quindi si ha:
P(AB)= 4/6=2/3=1/3+1/3
36
P6P4+P5
A: uscita di un numero primo
B: uscita di un numero >3
AB: uscita di un numero primo o >3
Gli eventi elementari di A sono: uscita del 2, uscita del 3,
uscita del 5, quindi si ha:
P(A)= 3/6=1/2
37
P(B)
Gli eventi elementari di B sono: uscita del 4, uscita del 5, uscita del 6,
quindi si ha:
P(B)= 3/6=1/2
Gli eventi elementari di uscita AB sono: uscita del 2, uscita del 3,
uscita del 5, uscita del 4, uscita del 6, quindi si ha:
P(AB)=5/61/2+1/2
l’evento “ uscita del numero 5” compare sia nei casi di A che nei casi
di B
i casi AB non possono essere la somma dei rispettivi casi,
l’evento “uscita del numero 5” va contato solo una volta.
38
Queste considerazioni hanno
validità generale:
se A e B sono due eventi che si “intersecano” per uno o più
eventi elementari, cioè sono eventi compatibili, nel conteggio
dei casi di AB occorre fare attenzione a contare una volta
sola gli eventi in comune.
Eventi elementari di AB= eventi elementari di A + eventi
elementari di B  eventi elementari AB.
In termini di Probabilità
P(AB)= P(A)+ P(B) - P(AB).
39
Scheda dodici
Riprendi la situazione della scheda 9 in cui abbiamo trovato P(F) cioè
la probabilità dell’evento”vincita della famiglia 1/60.
Calcola ora la probabilità che il premio non arrivi in quella famiglia
cioè la probabilità dell’evento contrario.
Osserva che questo risultato si può ottenere calcolando la differenza
1-P(F)
1) In un’urna ci sono 20 palline, alcune sono bianche, altre rosse e 4
nere.
La probabilità di estrarre una pallina bianca è 0,35.
a) Rappresenta la situazione con un grafo scrivendo accanto ad ogni
ramo la probabilità di ciascun evento
b) Calcola la probabilità di estrarre una pallina bianca o nera. 40
Scheda 12
Si giunge al concetto della probabilità dell’evento complementare.
Se si prendono in considerazione due eventi che sono “uno il
contrario dell’altro” cioè due eventi che sono uno complementare
dell’altro,
le loro probabilità hanno somma 1.
41
Probabilità dell’evento
complementare
Se indichiamo con A un evento e con CA il suo
complementare si scrive allora:
P(A)+P(CA)=1
da cui
P(CA)= 1 - P(A)
42
Esercizi
1) Supponi di avere un mazzo di carte da 40. Calcola la
probabilità di estrarre:
a) una carta di fiori;
b) una figura;
c) una carta di fiori o una figura;
d) una carta di fiori o di cuori.
2) E’ stato accertato che in una confezione di 1.500 viti, 4 sono
difettose. Qual é la probabilità che prendendone una a caso
questa non sia difettosa?
43
Esercizi
3) Si decide di giocare a Tombola (90 numeri in un sacchetto).
Calcola la probabilità che alla prima estrazione venga estratto:
a) il n°12; b) un n°dispari; c ) un n° primo o un n° pari; e) un
n°multiplo contemporaneamente di 2 e di 7
3) Hai a disposizione due urne: nella prima sono contenute 12 palline
bianche e 8 nere, nella seconda 15 palline bianche. Quante
palline nere devi aggiungere come minimo nella seconda urna
perché sia più probabile estrarre una pallina nera dalla seconda
urna piuttosto che dalla prima?
44
Probabilità eventi casuali
composti
Eventi casuali sono composti da due o più eventi elementari
che possono verificarsi contemporaneamente.
due eventi A e B si dicono indipendenti se
P(AB)=P(A)P(B)
P(AB)
P(A/B)=_______=P(A)
P(B)
45
Lancio di due dadi
Consideriamo il lancio di due dadi, le cui facce sono numerate,
da 1 a 6 e chiediamoci quanti sono i casi possibili?
Utilizzando delle coppie ordinate, in cui il primo n°si riferisce
all’esito del primo dado e il secondo n° si riferisce all’esito del
secondo si possono elencare tutti i casi possibili (come nella
tabella seguente a doppia entrata)
46
Casi possibili
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
2°dado
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
1°dado
47
Somme
gli esiti possibili nel gioco sono 36:
la simmetria della situazione ci suggerisce che si tratta
di eventi con la stessa possibilità di verificarsi, quindi
ciascuno di essi ha la probabilità di 1/36.
Supponiamo di sommare , ad ogni lancio, i punteggi dei
due dadi;
utilizziamo una tabella a doppia entrata;
in ogni casella scriviamo la somma dei punteggi
rispettivi:
48
Tabella
7
8
9
10
11
12
6
7
8
9
10
11
5
6
7
8
9
10
4
5
6
7
8
9
3
4
5
6
7
8
2
3
4
5
6
7
2° dado
1° dado
49
Commento
E’ chiaro che gli esiti non sono equiprobabili
Dalla tabella si nota la simmetria tra eventi ”equidistanti “dalla
diagonale disegnata:
P(2) =P(12)=1/36
P(3) =P(11) =2/36=1/18
Infine P(7) )=6/36=1/6
50
Scheda sedici
prima estrazione
In un’urna ci sono 5 palline rosse e 3 nere. Si estrae a caso una pallina e poi,
senza rimetterla dentro, se ne estrae una seconda.
Rappresentiamo con un grafo la prima estrazione
.....
R
.......
N
51
Seconda estrazione
Nella seconda estrazione bisogna distinguere due casi, a
seconda che nella prima sia uscita una pallina rossa o nera, in
quanto nell’urna c’è una pallina in meno.
Possiamo proseguire il grafo nel seguente modo:
5/8
R
4/7
3/8
N
3/7
R
N
RR
RN
1) Completa il grafo
...
R
NR
...
N
NN
2)Calcola la probabilità di RN;NR;NN.
3) Calcola la probabilità che sia estratta almeno una pallina rossa
52
scheda 16.
Prima estrazione
Utilizzando il grafo ad albero si vede che per la prima
estrazione si hanno due possibilità
uscita di una pallina rossa con probabilità 5/8
uscita di una pallina nera con probabilità 3/8.
53
Seconda estrazione
Alla seconda estrazione occorre distinguere due casi
perché la situazione è diversa in relazione al fatto che si sia
pescata una pallina rossa o nera (nella prima estrazione).
I quattro eventi elementari possibili sono: RR, RN, NR, NN.
54
Se si vuole calcolare la probabilità
dell’evento elementare RR
si può ragionare così:
se la prima pallina estratta è rossa con probabilità 5/8, cioè
nei 5/8 dei casi, e si pesca una seconda pallina rossa con
probabilità 4/7, quindi avere due palline rosse significa
averle pescate in 4/7 dei 5/8 dei casi ,con probabilità:
4
5
— — 
7
8
Si utilizza il concetto di frazione di frazione, che si traduce
nella moltiplicazione delle due frazioni.
Si procede analogamente anche per calcolare la probabilità
degli altri eventi elementari P(RN),P(NR),P(N,N)
55
Reimbussolamento ?
Nell’esempio appena visto si parla di estrazione “senza
reimbussolamento” perché la pallina una volta estratta non
viene messa nell’urna.
Si può pensare di rimettere la pallina estratta nell’urna e in
questo caso l’estrazione si dice “con reimbussolamento”.
56
La soluzione di un problema
viene eseguita utilizzando un grafo ad albero a diversi piani,
le probabilità di ciascun evento sono scritte accanto a ciascun ramo
del grafo:
si insiste particolarmente sul significato di ogni cammino sul grafo in
termini di eventi,
così che nelle varie situazioni, i ragazzi si rendono conto quale
percorso o quali percorsi devono considerare per calcolare la
probabilità di un evento richiesto.
Con una rappresentazione precisa e completa si pensa che si possa
meglio evidenziare che la probabilità che si ottiene alla fine di ogni
percorso è il prodotto della probabilità degli eventi di ogni ramo.
57
La strategia di soluzione
La strategia di soluzione che si è individuata, che si può
dire di moltiplicazione “lungo i rami”, è molto efficace
perché consente di affrontare situazioni anche abbastanza
complicate
è chiaro che il momento più importante della soluzione di
un problema diventa la schematizzazione della situazione
con un corretto grafo ad albero e questo non è sempre così
immediato.
.
58
Esercizi
• Sto giocando a tombola :nella mia cartella manca solo il numero
75 e i numeri ancora da estrarre sono 24. Con che probabilità
faccio tombola entro le prossime due estrazioni?
• Nel gioco della tombola qual è la probabilità che il primo
numero estratto sia 15 e il secondo 43?
59
Esercizi
1) a) Come nel gioco del lotto da un’urna contenente 90 palline
numerate da 1 a 90 se ne estraggono cinque senza reimbussolamento.
Qual è la probabilità che i cinque numeri estratti siano tutti dispari?
b) Calcola ora la probabilità di ottenere 5 teste in 5 lanci successivi di
una moneta
c) Senza svolgere i calcoli avresti potuto prevedere quale dei due
eventi è più probabile?
2) Due ragazzi giocano a “pari o dispari” con le dita di una mano( nel
gioco è escluso lo zero)
Conviene puntare sul “pari” o sul “dispari”?
3) In un sacchetto ci sono 7 penne biro uguali di cui 3 sono scariche.
a) Se prendo a caso una penna qual è la probabilità che scriva? E quale
che non scriva?
b) Se la prima che scelgo è scarica qual è la probabilità che la seconda
60
scriva?
Esercizi
In un gioco di fortuna un concorrente deve scegliere una casella
da un tabellone di 12 caselle così composto:
1 casella copre il primo premio di un viaggio a Venezia, 4 caselle
coprono il premio di un televisore, 7 caselle non coprono
nessun premio.
1) Con una sola possibilità di scelta calcola la probabilità:
a) di vincere un viaggio a Venezia
b) di vincere un premio
2) Con due possibilità di scelta calcola la probabilità
a) di non vincere
b) di vincere sia il viaggio a Venezia sia il televisore
c) di vincere almeno il viaggio a Venezia
61
Esercizi
Due amici, Alfredo e Bruno, insieme ad altri 8 ragazzi decidono di
giocare a “guardia e ladri”e per decidere chi sarà ”guardia”e
chi sarà “ladro”si affidano alla sorte. Sapendo che ci devono
essere 3 “guardie” e 7 “ladri”qual è la probabilità che:
a) Alfredo sia una “guardia”
b) Alfredo e Bruno siano entrambi “guardie”
c) Alfredo e Bruno giochino insieme, cioè siano entrambi
“guardie” o entrambi “ladri”
d) Almeno uno, tra Alfredo e Bruno, sia una “guardia”
62
Esercizi
a) Sparando ad un bersaglio ho probabilità 20% di colpirlo. Se
sparo due volte qual è la probabilità di colpirlo almeno una volta?
Indichiamo con:
C= colpito; nC= non colpito;
P(“colpire almeno una volta”)=P(“colpire entrambe le volte” o “colpire
la prima volta e non la seconda” o “colpire la seconda e non la
prima”=P(CC)+P(CnC)+P(nCC) = 0,20,2+0,20,8+0,80,2=0,36
63
Osservazioni
1)Osserviamo che l’evento” colpire almeno una volta” è
complementare di “non colpire né la prima né la seconda volta”,
quindi la sua probabilità si può più rapidamente trovare come
segue:
P(colpire almeno una volta)=1-P(nCnC)=1-0,64=0,36
2) Un’altra osservazione che si può fare è la seguente:
nell’evento “Aver ottenuto successo al primo sparo” è
compreso il risultato che si vuole ottenere con “avere successo
in entrambe le volte ”oppure “ colpire la prima volta e non la
seconda”.
64
Osservazioni
nell’evento “Aver ottenuto successo al primo sparo” è compreso il
risultato che si vuole ottenere con “avere successo in entrambe le
volte ”oppure “ colpire la prima volta e non la seconda”.
Si può quindi limitare a disegnare solo una parte del grafo.
P(colpire almeno una volta)=P(C)+P(nCC)=0,2+0,2 0,8=0,36
65
Osservazioni
3)Un’altra osservazione che si può fare è che, in questo esercizio e
in altri in cui viene data la frequenza di un evento,
non è più applicabile la definizione di probabilità data come
rapporto tra il numero dei casi favorevoli e quello dei casi
possibili,
ma la probabilità di tali eventi può essere valutata piuttosto in
una visione soggettivista oppure frequentista.
Per i ragazzi potrebbe sorgere dunque il problema di una
generalizzazione della definizione di probabilità: allora si può far
notare che per probabilità si intende una qualunque funzione che
soddisfi le proprietà che si sono viste all’inizio.
66
Al ristorante
a) In un ristorante la probabilità che un cuoco
bruci l’arrosto è 0,02,
la probabilità che dimentichi di salare la pasta è 0,1
e quella che sali troppo è anch’essa 0,1.
Qual è la probabilità che il pranzo preparato dal cuoco riesca
bene
( supponendo che non possa fare altri errori)?
67
Schematizzazione
La schematizzazione di tale problema può risultare più difficile
in quanto mentre per l’arrosto ci sono solo due possibilità, cioè che
bruci (B) oppure che riesca (R),
per l’acqua della pasta ci sono tre possibilità
e cioè che sia giusta (G), non salata (NS), e troppo salata (TS).
La probabilità che l’acqua non sia salata è 0,1 e che sia troppo salata
è 0,1, quindi che sia giusta è 0,8.
Si può schematizzare la situazione con un grafo in cui sono disegnati
solo i rami che interessano.
68
Un giudice
c) Un giudice consegna a un condannato 2 palline bianche e 2 nere che
egli dovrà collocare in due urne scegliendo tra queste quattro
possibilità:
1) una bianca da sola e tutte le altre nell’altra urna;
2) una nera da sola e tutte le altre nell’altra urna;
3) le due bianche in un’urna e le due nere nell’altra;
4) una bianca e una nera in ciascun urna.
Il giudice sceglierà poi a caso una delle urne ed estrarrà da essa una
pallina. Se questa risulterà bianca il condannato sarà graziato.
Qual è la disposizione più favorevole per ottenere la grazia?
1/2
1°urna
1/2
2° urna
69
Generalizzare 1
Se le palline sono 50 bianche e 50 nere le disposizioni sono
molte di più.
Qual è la più favorevole per ottenere la grazia?
Risolvendo il problema, si vede che la strategia più
conveniente è:
mettere una biglia bianca in un’urna e tutte le nere con le
rimanenti bianche nell’altra.
70
Generalizzare 2
Questo problema può essere stimolante in quanto non è un problema di
routine da incasellare in una regola e può essere considerato un problema “di
strategia”. In casi di questo tipo davanti a una situazione problematica di
incertezza si cerca un comportamento che almeno ottimizzi la probabilità di
successo.
Si possono, se è il caso, calcolare la probabilità dell’evento favorevole al
variare di n.
Si ottiene per n=3, cioè 3 palline bianche e altrettante palline nere,
la situazione più favorevole è salvezza con:
Probabilità = ½ +1/5 =7/10
Per n=4 è: Salvezza con
Probabilità= ½+3/14=10/14=5/7
71
Generalizzare 3
Nel caso generale (n qualsiasi) questa strategia conduce alla probabilità
di avere salva la vita:
½+1/2(n-1)/)(2n-1)=1/2 (3n-2)/(2n-1)
Se si vogliono riportare i calcoli su una tabella si vede che al crescere di
n, la probabilità p tende al limite ¾=0,75
72
tabella
N
P
N
P
1
0,5
6
0,727
2
0,66...
7
0,731
3
0,7
8
0,733
4
0,714
9
0,735
5
0,722
10
0,737
73
tabella
N
P
50
0,747
100
0,748
1000
0,749
74
Quadrato
Si consideri il quadrato di lato 1
Qual è la probabilità che scegliendo un punto a caso,
questo sia nella zona colorata ?
75
Considerazioni
Fin a questo momento ci si è di solito ( non nel caso dello sparo
o del cuoco) riferiti alla definizione di probabilità come
rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi
possibili, la quale richiede che il numero di casi possibili sia
finito e che gli eventi elementari siano tutti ugualmente
possibili. In questo esempio
gli eventi possibili sono
rappresentati da tutti i punti del quadrato; quelli favorevoli da
tutti i punti della zona colorata:
si tratta in entrambi i casi di un numero infinito di punti
e venendo a mancare la prima richiesta non è più possibile
utilizzare la stessa definizione.
76
Definizione
Si può rimediare ricorrendo in questo caso ad un rapporto tra aree,
quella della zona “favorevole” e quella della zona “possibile”.
L’area del quarto di cerchio=/4
L’area del quadrato è 1
La probabilità richiesta=/4/1 cioè /4
Inoltre in questo esempio si fa osservare che mentre sino ad ora la
probabilità di un evento era un numero dell’insieme dei numeri
razionali, nell’esempio presentato si ottiene /4, un numero
irrazionale.
77
Definizione generale
Questo esempio permette di dedurre che in generale
la probabilità di un evento è un numero reale
compreso fra zero e uno.
78
Applicazione della Probabilità
alla Genetica
79
Scheda 20
Ogni carattere ereditario è determinato da una coppia di geni
trasmessi da ciascun genitore.
Nei casi più comuni ciascun gene può presentarsi in due forme
diverse che si indicano con una stessa lettera maiuscola e minuscola,
ad esempio, A, a.
Per esempio prendiamo il carattere”colore degli occhi” e indichiamo
con “A” il gene responsabile del colore scuro e con “a” il gene
responsabile del colore chiaro.
Ciascun genitore trasmette un gene con probabilità 1/2.
Essendo frequente il fenomeno per cui il gene recessivo “a” non
manifesti il proprio carattere in presenza di “A”,coloro che possiedono
i due geni AA e Aa hanno occhi scuri,
quelli con la coppia aa hanno occhi chiari.
80
Tabelle
Completa le due tabelle e indica i caratteri che
possono avere i figli
Aa
Aa
A
aa
A
a
a
Aa
aa
a
Aa
aa
Aa
a
A
a
AA
A
aa
a
a
A
81
Grafo ad albero
½
1/2
A
½
padre
a
1/2
½
a
a
Aa
Aa
a
aa
1/2
madre
a
aa
Il grafo si riferisce al primo esempio della scheda precedente: la
trasmissione “colore degli occhi”può essere rappresentata anche
così. Gli eventi elementari possibili sono: Aa, Aa, aa, aa,
la probabilità per ciascun evento elementare di 1/21/2=1/4
probabilità 1/2 che un figlio abbia occhi scuri
82
probabilità 1/2 occhi chiari.
Domanda
Riferendoti al terzo esempio della scheda precedente ( genitori : Aa,
Aa), in una famiglia di 4 figli, 3 saranno sicuramente con occhi scuri
e 1 con occhi chiari?
L’ultima domanda della scheda ha l’obbiettivo di far riflettere
ancora sul fatto, che il verificarsi di ciascun evento è incerto, ma è
possibile misurarne l’incertezza.
83
Scheda 22
In una popolazione si conosce la frequenza del gene A che è
dell’80% e del gene a, che è del 20%.
Gli individui AA, Aa, aa si presentano in percentuali diverse,
che possono essere rappresentate con il seguente grafo:
0.8
O,8
A
A
0,2
a
0,2
1°gene
a
0,8
0,2
A
2° gene
a
AA
Aa
Aa
aa
Quali sono le percentuali dei tre diversi tipi nella popolazione?
84
Percentuali dei tre diversi tipi
.
gli eventi elementari possibili sono: AA, Aa, Aa, aa
probabilità di ciascuno degli eventi elementari:
P(AA)=P(A)P(A)=0,80,8=0,64=64%
P(Aa) =P(aA)= 0,20,8=0,16 =16%
P(aa)= 0,20,2=0,04=4%.
85
Rappresentazione in tabella
La situazione presentata con il grafo può essere illustrata anche
nel seguente modo:
0,8
0,2
0,2
Aa
aa 0,2
AA
0,8
Aa
0,8
0,8
0,2
Che cosa rappresentano le aree delle quattro regioni in cui è
suddiviso il quadrato?
86
Riflessioni
Le frequenze dei geni si possono interpretare come misure di aree di
opportune regioni, si ha un quadrato di lato 0,8+0,2 suddiviso in cinque
parti:
ciascuna superficie rappresenta ciascun evento elementare possibile:
q la frequenza del gene A
p quella del gene “a”
AA=q2
Aa=2pq
(q+p)2= q2 + 2pq + p2=1
aa=p2
(q+p)2=1
87
Scheda 23
L’assenza del fattore Rh nel sangue è dovuta ad un gene recessivo a,
la cui frequenza, nella nostra popolazione, è circa del 40%.
Gli individui con i due geni recessivi aa si dicono Rh-, gli altri Rh+.
1) Calcola la percentuale degli individui Rh+e Rh- aiutandoti con un
grafo.
2) Supponiamo che in una particolare popolazione la percentuale
degli individui Rh-(aa) sia del 9%.
Calcola la frequenza del gene recessivo a utilizzando il seguente
disegno:
0,09
aa
3) Aiutandoti con il quadrato
calcola la frequenza del gene A e le
percentuali degli individui AA e Aa
88
Riflessioni
la frequenza degli individui (aa) è del 9%.
quale è la frequenza del gene “a” (recessivo) ?
Se 0,09 è area di un quadrato,0,09 è la misura del suo
lato e corrisponde alla frequenza del gene “a”.
la frequenza di A=1-a
89
Esercizi
1) Alcuni individui non sentono l’amaro di una sostanza
chimica che si chiama feniltiocarbammide. Questo è dovuto
ad un gene recessivo la cui frequenza, nelle nostra
popolazione, è 0,6.
Calcola la percentuale di individui che hanno questo carattere e
di individui che ne sono portatori.
2) Un particolare modo di arrotolare la lingua è dovuto a un
gene recessivo a. Sapendo che in una popolazione gli
individui che non hanno questa caratteristica sono il 49%,
calcola, per quella popolazione, la frequenza del gene a, del
gene A e degli individui Aa, AA.
90
Scheda 24
Nella scheda 23 hai trovato che gli individui Rh+ sono l’84% della
nostra popolazione e gli individui AA sono il 36%.
1) Tra gli Rh+ qual è la percentuale degli individui AA?
Il risultato ottenuto è la probabilità che scegliendo a caso un
individuo, tra gli Rh+ della nostra popolazione, questi risulti
AA.
2) Trova la probabilità che scegliendo a caso un individuo tra gli
Rh+ questo risulti Aa.
91
Padre Rh+ madre RhConsideriamo il caso che da un padre Rh+ e da una madre
Rh- nasca un figlio. Dato che il gene trasmesso dalla madre,
che è Rh- , è sicuramente a, la situazione del figlio è
determinata solo dal gene del padre, ed è diversa a seconda
che il padre sia AA oppure Aa.
Il padre è AA
il padre è Aa
Trasmette
trasmette
trasmette
A
A
a
Calcola la probabilità che il figlio sia Rh+ completando
il grafo
92
Esercizi
3) L’albinismo è dovuto a un gene recessivo a. Sapendo che in
una popolazione gli individui albini sono 1 su 10.000, calcola,
per quella popolazione, la frequenza del gene a e degli individui
portatori di albinismo.
4) Consideriamo il caso che da un padre albino e da una madre
non albina nasca un figlio. Utilizzando i risultati dell’esercizio 3
e procedendo come suggerito dalla scheda precedente, calcola
la probabilità che il figlio sia albino
93
Esercizi
5) In una popolazione la frequenza del gene recessivo a è del 30%. Calcola:
a)
b)
c)
d)
la frequenza del gene dominante A
la percentuale degli omozigoti AA
la percentuale degli omozigoti aa
la percentuale degli eterozigoti Aa
6) Un gene recessivo a responsabile di una malattia ha, in una determinata
popolazione, la frequenza del 30%.
Calcola aiutandoti con un grafo, la percentuale degli individui sani e quella degli
individui malati.
Supponiamo che in un’altra popolazione la percentuale degli individui malati, e
quindi omozigoti per il carattere aa, sia del 4%. Calcola :
a) la frequenza del gene recessivo a
b) la frequenza del gene dominante A
c) la percentuale degli omozigoti AA
94
d) la percentuale degli eterozigoti.
Esercizi
7)L’anemia mediterranea è una malattia ereditaria portata da un gene
recessivo a, che non si manifesta quando il gene recessivo a è
accompagnato dal gene dominante A ( si parla in questo caso di portatore
sano).
a) Nella popolazione di un paese, costituita da 5.000 persone, il 4% è
ammalato: quante sono le persone ammalate?
Da due genitoridi tipo (A;A),(A;a) può nascere un figlio ammalato? Perché?
Con quale probabilità può nascere un portatore sano?
b) Scrivi le varie combinazioni genetiche derivate da due genitori (A;a), e
calcola la probabilità che nasca:
• Un figlio ammalato
• Un figlio portatore sano
• Un figlio sano
95
Esercizi
8) Considera le famiglie che hanno due figli, dì se è più
probabile che i due figli siano entrambi femmine, oppure che
siano di sessi diversi.
9) Immagina che in una certa popolazione, la probabilità di
avere un figlio maschio sia più piccola di quella di avere una
figlia femmina, e cioè che esse siano 0,40 per il maschio e 0,60
per la femmina.
Calcola ora, con questi dati, la probabilità che una famiglia con
due figli li abbia di sesso diverso.
a) Pensa di far variare la probabilità di avere un figlio maschio,
e disegna un grafico riportando sull’asse x alcuni valori di
questa probabilità, e sull’asse y i corrispondenti valori della
probabilità di avere due figli di sesso diverso.
96
Commento
b) Prova a scoprire per quale valore di x si ottiene il massimo
valore di y, e rifletti sul valore trovato.
E’ questa la situazione che si verifica in natura?
c) Osserva, che per un dato valore di x, il corrispondente valore di
y è uguale al doppio dell’area di un rettangolo di lati x e (1-x).
In base alle considerazioni che hai svolto prima, sai dire quale, fra i
rettangoli che hanno un perimetro fissato ha area massima?
97
Legge dei grandi numeri
Bibliografia
•Angela Pesci- Maria Reggiani- L’insegnamento della
matematica e delle scienze integrate.-Statistica e Probabilità .
Collana di formazione professionale n°4. Pag.85-90
• Nucleo di Ricerca didattica di Pavia. Schede di Calcolo
delle Probabilità per la scuola media inferiore
98
Prove ripetute
Se ripetiamo il lancio di una moneta equilibrata molte volte, ad
esempio,10.000 volte, quante volte ci aspettiamo di avere testa?
L’intuizione ci suggerisce di aspettarci che la frequenza relativa
dell’evento considerato (cioè il rapporto tra il numero di uscita
testa e il numero dei lanci) si avvicini alla probabilità, cioè un
mezzo.
E’ corretto attendersi questo? E’ corretto attendersi che la
frequenza, dopo un numero elevato di prove sia esattamente un
mezzo? Cosa significa dire che la frequenza “si avvicina” ad un
mezzo?
99
Scheda 26
Un amico ti propone di lanciare 100 volte una moneta e di
scommettere su uno dei due seguenti eventi:
A: Escono 50 Teste e 50 Croci
B: Il numero di Teste è diverso dal numero di Croci.
Su quale scommetteresti?
Questa domanda è stata posta per avviare il lavoro che segue:
arriveremo ad enunciare uno dei risultati fondamentali del
calcolo della probabilità, noto col nome “legge
numeri”.
dei grandi
100
Scheda 27
1) Disegna il grafo relativo a 2 lanci di una moneta e calcola la
probabilità di ottenere:
a) nessuna Testa
b) una volta Testa
c) due volte Testa
2) In ciascuna casella scrivi, in forma decimale, le probabilità
calcolate in precedenza:
Nessuna
Testa
1 Testa
2 Testa
101
Scheda 28
1) Considera ora 3 lanci di una moneta e traccia il grafico
relativo.
2) Calcola la probabilità che esca
a) TTT
b)TCT
c) 2 volte T
3) Come hai fatto precedentemente scrivi la probabilità in
forma decimale
0T
1T
2T
3T
102
Scheda 29
In quattro lanci... Traccia il grafo relativo e otterrai nel
completamento delle caselle:
0,0625 0,25
0T
1T
0,375
2T
0,25
3T
0,0625
4T
1) Per calcolare la probabilità di ottenere 4 T quanti percorsi del
grafo hai considerato?
2) Sai spiegare perché le probabilità scritte nelle diverse caselle
aumentano dagli estremi verso il centro?
103
Grafico
P(1/3fr(T)2/3)
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
1
2
3
4
5
6
n° lanci
104
Se n diventa più grande
Lancio di 50 e di 100 monete
n=50
0,007673
0,984653
0,007673
(da 0 a 16T) (da 17 a 33T) (da 34 a 50T)
N=100
0,000437
0,999126
(da 0 a 33T) (da 34a 66T)
0,000437
(da 67a 100T)
P(fr(T)<1/3) P(1/3fr(T)2/3) P(fr(T>2/3)
Quando n diventa “molto grande”, cosa ti aspetti che
succeda della probabilità che la frequenza dell’uscita di
Testa sia compresa tra 1/3 e 2/3? E della probabilità che
escano ugual numero di T e di C?
105
Lanciando molte volte una moneta......
Gli eventi centrali sono quelli in cui la frequenza dell’uscita di
testa è “abbastanza vicina” alla probabilità un mezzo, perciò
possiamo (per il caso particolare del lancio di una moneta),formulare
la cosiddetta “legge debole dei grandi numeri” :
Lanciando molte volte una moneta diventa sempre più grande e si
avvicina a 1 la probabilità che la frequenza dell’uscita di Testa
differisca dalla sua probabilità ½ meno di un qualunque numero
positivo scelto da noi (nei nostri esempi 1/6,1/12......)
106
Commento
Osservando le caselle attraversate dall’asse di simmetria
della tabella dobbiamo notare che la probabilità che la
1)
a)
b)
c)
d)
frequenza dell’uscita di Testa sia esattamente ½ diventa
sempre più piccola, anzi, per n molto grande si avvicina
a zero
Se lanci 10.000 volte una moneta e devi scommettere su
uno dei seguenti risultati, quale sceglieresti?
5.000 T e 5.000 C
4825 T e 5175 C
un numero di T compreso tra 4.500 e 5.500
un numero di T compreso tra 4.250 e 5.750
107
Scheda 38
Abbiamo enunciato la “legge dei grandi numeri” a proposito
dell’uscita di Testa nel lancio ripetuto di una moneta.
La stessa legge vale in una qualsiasi altra situazione di prove
ripetute.
Considerando ad esempio il lancio di un dado la legge dei grandi
numeri ci dice che in un gran numero di lanci sarà molto
probabile che la frequenza dell’uscita di un numero prefissato (ad
esempio il 2) sia “vicina” a 1/6.
Anche qui possiamo osservare che sarà assai poco probabile che la
frequenza dell’uscita del 2 sia esattamente 1/6.
108
Esercizi
1) Un urna contiene 5 palline, 4 bianche e 1 nera.
Supponi di estrarre 5.000 volte una pallina ( rimettendola ogni volta
nell’urna):
Quale dei seguenti risultatiti sembra più probabile?
• La pallina nera esce 1.000 volte
• La pallina nera esce un numero di volte compreso tra 950 e 1.050
• La pallina nera esce un numero di volte compreso tra 800 e 1.200
2) Supponi di lanciare un dado molte volte (1.000, 10.000 o anche di
più) che cosa puoi dire della frequenza dell’uscita del numero 2?
109