Esercitazione 1
19 Aprile 2012
Probabilità e Variabili Casuali
Definizione 1
• Due eventi A e B sono mutuamente esclusivi ,o
incompatibili,o disgiunti se non possono verificarsi
contemporaneamente .
Esempio 1
Si effettua il lancio di un dado
Spazio Campione :
S = {1,2,3,4,5,6}
Evento A : “Si verifica un numero pari ” ;
A={2,4,6}
Evento B : “Si verifica un numero dispari ” ; B={1,3,5}
A U B =S (Evento Certo)
A ∩ B= Ø (Evento Impossibile)
Teorema 1
• Il numero di disposizione con ripetizione di n
oggetti presi k alla volta è dato da :
(r )
n,k
D
n
k
Esempio 2
Si consideri lo spazio degli eventi : {a,b,c,d} .
Il numero di disposizioni con ripetizione degli n=4 oggetti
presi 2 alla volta è
n  4  16
k
2
Esempio 2
(a,a) (b,a) (c,a) (d,a)
(a,b) (b,b) (c,b) (d,b)
(a,c) (b,c) (c,c) (d,c)
(a,d) (b,d) (c,d) (d,d)
Disposizioni semplici (senza ripetizione )
Dn ,k  n(n  1)( n  2).....( n  k  1) 
(n  k )( n  k  1)...1
 n(n  1)( n  2).....( n  k  1)

(n  k )( n  k  1)...1
n!

(n  k )!
Per l’esempio precedente n=4 , k=2
Il numero di disposizioni senza ripetizioni è:
D4, 2
4!
 4 * 3   12
2!
Disposizioni senza ripetizione
(#,#) (b,a) (c,a) (d,a)
(a,b) (#,#) (c,b) (d,b)
(a,c) (b,c) (#,#) (d,c)
(a,d) (b,d) (c,d) (#,#)
Permutazioni
• Le permutazioni di n oggetti sono le
disposizioni semplici (senza ripetizione)di
n oggetti presi n alla volta (k=n).
Il numero di permutazioni di n oggetti è quindi n!.
Esempio : E={a,b,c}
Il numero di possibili permutazioni sarà quindi
3!=3*2*1=6
Per esteso: (a,b,c);(a,c,b);(c,b,a);(c,a,b);(b,c,a);
(b,a,c).
Combinazioni con ripetizione
• Consideriamo le disposizioni con ripetizione
di n=4 presi k=2 alla volta.
• Lo spazio degli eventi è E={a,b,c,d}
Disposizioni con ripetizione
Combinazioni con ripetizione
Non interessa l’ordine!
(a,a) (b,a) (c,a) (d,a)
(a,b) (b,b) (c,b) (d,b)
(a,c) (b,c) (c,c) (d,c)
(a,d) (b,d) (c,d) (d,d)
(a,a) (#,#) (#,#) (#,#)
(a,b) (b,b) (#,#) (#,#)
(a,c) (b,c) (c,c) (#,#)
(a,d) (b,d) (c,d) (d,d)
Combinazioni con ripetizione
• Quando l'ordine non è importante ma è possibile avere componenti
ripetute si parla di combinazioni con ripetizione. Il numero di
combinazioni con ripetizione di n oggetti di classe k è uguale a
quello delle combinazioni senza ripetizione di n+k-1 oggetti di classe
k ed è quindi uguale a:
C
(r )
n,k
 n  k  1  n  k  1
(n  k  1)!
(n  k  1)!
  
 
 

k
  n  1  k!(n  k  1  k )! k!(n  1)!
E={a,b,c,d} ; n=4 ; k=2
 4  2  1  5 
5!
    
C  
 10
2
  2  2!(5  2)!
oppure
(r )
4, 2
C
(r )
4, 2
 4  2  1  5 
5!
    
 
 10
 4  1   3  3!(5  3)!
Combinazioni senza ripetizione
• Si chiama combinazione semplice una presentazione di
elementi di un insieme nella quale non ha importanza
l'ordine dei componenti e non si può ripetere lo stesso
elemento più volte.
Cn , k
n!
Dn,k (n  k )!
n
n!



  
Pk
k!
k!(n  k )!  k 
Esempio :
E={a,b,c,d} ;n=4;k=2
C4 , 2
 4
4!
   
6
 2  2!(4  2)!
Combinazioni senza ripetizione
per n=4 ,k=2
E={a,b,c,d}
(#,#) (#,#) (#,#) (#,#)
(a,b) (#,#) (#,#) (#,#)
(a,c) (b,c) (#,#) (#,#)
(a,d) (b,d) (c,d) (#,#)
Esercizio 1
• Un’urna contiene 2 biglie bianche e 5 nere. Estraiamo una prima
biglia: se è nera la rimettiamo dentro con altre due dello stesso
colore, se è bianca non rimettiamo niente. Estraendo la
seconda biglia, qual è la probabilità che sia nera?
• Il problema può risolversi in diversi modi; un modo intuitivo consiste
nel considerare il così detto “albero degli eventi”:
Esercizio 1
• Per cui, seguendo i rami dell’albero di nostro
interesse, si ha:
Pr(2° palla è nera )=5/6*2/7+7/9*5/7=0.79
• Alternativamente può usarsi la regola di Bayes:
Pr(N2)=Pr(N2/N1)*P(N1)+Pr(N2/B1)*P(B1)=
=5/6*2/7+7/9*5/7=0.79
Esercizio 2
• In una scatola A vi sono 16 pezzi difettosi e 4
buoni, in una scatola B vi sono 5 buoni e 8
difettosi. Supponiamo di lanciare un dado. Se esce 1 o 2
prendo un pezzo da A; se non escono 1 o 2 (cioè escono
3 o 4 o 5 o 6) prendo un pezzo da B. Qual è la probabilità
di estrarre un pezzo difettoso?
Esercizio 3
Esercizio 4
Esercizio 5
• Un dado viene lanciato 2 volte. Sia A l’evento “al primo lancio esce
un numero minore o uguale a 2” e con B l’evento “al secondo lancio
esce un numero uguale o superiore a 5”. Calcolare la probabilità
dell’evento unione di A e B.
• Risposta. L’esercizio richiede che si calcoli la probabilità P(A U B) .
Al fine del calcolo occorre stabilire se gli eventi A e B sono tra loro
incompatibili ovvero se A∩B=Ø . Per fare ciò scriviamo da quali
elementi sono composti i due eventi A e B.
A  (11
, ),(1,2),(1,3),(1,4),(15
, ),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
B  (1,5),( 2,5),( 3,5),( 4,5),(5,5),( 6,5),(1,6),( 2,6),( 3,6),( 4,6),(5,6),( 6,6)
A questo punto è possibile osservare che l’evento intersezione A∩B
A  B  (1,5), (2,5), (1,6), (2,6)
ovvero dagli elementi comuni sia ad A che a B. Così per il principio delle probabilità
totali si ha che:
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B) 
12 12 4


.
36 36 36
Esercizio 6
• Una persona ha due figli, di cui il maggiore è femmina. Nell’ipotesi
che la determinazione del sesso dei due figli equivalga a due eventi
indipendenti, calcolare la probabilità che anche il secondo figlio sia
di sesso femminile.
• Come si modifica il risultato precedente se si ipotizza invece che la
probabilità di avere due figli di sesso femminile sia pari a 1/3?
Risposta. In questo caso si tratta di calcolare una probabilità
condizionata utilizzando il principio delle probabilità composte. Se
indichiamo con MF l’evento “il figlio maggiore è femmina”, con SF
l’evento “il secondo figlio è femmina” e con EF l’evento “entrambi i
figli sono femmine” occorre calcolare
11
P( SF  MF ) P( EF ) P( SF ) P( MF ) 2 2 1
P( SF | MF ) 




1
P( MF )
P( MF )
P( MF )
2
2
Si noti che al numeratore la probabilità dell’intersezione viene scritta come prodotto
delle probabilità dei due eventi a causa dell’indipendenza di questi.
Esercizio 6
• Nel caso in cui la probabilità di avere due figli entrambi femmine sia
di 1/3 si ottiene:
1
P( SF  MF ) P( EF ) 3 2
P( SF | MF ) 

 
P( MF )
P( MF ) 1 3
2
Esercizio 7
•
Una scatola contiene 6 palline numerate da 1 a 6. Da questa scatola le
palline vengono estratte senza reimmissione. Calcolare la probabilità che la
pallina contrassegnata con il numero 1 venga estratta entro i primi tre
tentativi.
Risposta. In questo caso non reimmetendo la pallina estratta di volta in volta
nell’urna gli eventi non sono tra loro indipendenti, occorre così far uso delle
probabilità condizionate.
Se indichiamo con T1, T2, T3 rispettivamente la prima la seconda e la terza
estrazione della pallina contrassegnata con il numero 1 e con
T1c , T 2 c , T 3c
rispettivamente gli eventi:
“la pallina contrassegnata con 1 non e’ uscita alla prima estrazione”,
“la pallina contrassegnata con 1 non e’ uscita alla seconda estrazione”,
“la pallina contrassegnata con 1 non e’ uscita alla terza estrazione”
dobbiamo calcolare la seguente probabilità
P(T 1)  P(T 1c ) P(T 2 | T 1c )  P(T 1c ) P(T 2c | T 1c ) P(T 3 | T 2c ) 
1 5 1 5 4 1 1
 *  * * 
6 5 6 6 5 4 2
Esercizio 8
• Si considerino 3 urne, numerate da 1 a 3; ogni urna contiene 5
palline. La generica urna i contiene i palline bianche e (5-i) palline
nere, con i=1,2,3 (cioè, ad esempio, l’urna numero 2 contiene 2
palline bianche e 5-2=3 palline nere). Si estrae a caso un’urna, e da
questa una pallina. Calcolare la probabilità che la pallina estratta sia
bianca. (26/5/98)
• Risposta. Indichiamo con B l’evento “estrazione di una pallina
bianca” e con U1, U2, e U3 rispettivamente l’urna 1 la 2 e la 3. Allora
per calcolare la probabilità di estratte una pallina bianca bisogna
tenere conto del fatto che questa può essere stata estratta da una di
queste urne che a loro volta hanno una loro probabilità di essere
estratte (le urne sono equiprobabili).Allora
P( B)  P(U 1) P( B|U 1)  P(U 2) P( B|U 2)  P(U 3) P( B|U 3) 
1 1 1 2 1 3 2
*  *  * 
3 5 3 5 3 5 5
Si noti che questa espressione non è altro che il denominatore del teorema di Bayes.
Esercizio 10
Esercizio 10
Esercizio 11
Esercizio 11
(6)
Esercizio 11
Esercizio 11