Questo rapporto esprime la velocità media nell'intervallo di tempo [l ; l + ~tl in funzione di ~t. Saremmo tentati di assumere come velocità istantanea il valore di questo rapporto per ~t = O, ma tale
!apporto perde significato per ~t = O. Possiamo però osservare che, per ~t -# 0, si può operare una
semplificazione
Vm =
~t(lO
+ 4,9~t)
---+
A"
vm
=
lO + 4,9~t
(~t
-# O)
?ossiamo perciò affermare che, quanto più è piccolo ~t, tanto più la velocità media si avvicina al valore
di lO mls. Tale osservazione intuitiva è confermata, a livello intuitivo, dal grafico di FIGURA 1, cne rappresenta la velocità media Vm in funLiione di ~t.
La curva rappresentata
in FIGURA 1 è la retta di equazione
!jm = lO + 4,9~t, privata del punto (O; lO), perché per ottene:re questa equazione abbiamo dovuto operare una semplificazio!le lecita solo per ~t -# O.
10
La situazione che si presenta con le considerazioni fatte fin qui
è paradossale: sappiamo che quanto più ~t si avvicina allo zero,
tanto più vm si avvicina a lO, senza però poter mai assumere taI
I
le valore: siamo perciò tentati di dire che la velocità istantanea è
di lO mls, ma non siamo in grado di dare un significato rigoroso
I
I
i
I
a tale affermazione.
I
O
flt
I
È evidente che il nostro bagaglio teorico non ci consente di suI
i
FIGURA 1
)
perare questa difficoltà. Si rende perciò necessaria l'introduzione di un nuovo concetto: quello di limite.
Quando avremo definito rigorosamente tale concetto, potremo affermare che, al tendere di ~t a zero,
la misura in mls della velocità media tende al valore limite lO; scriveremo
l
l
lim
6.t -; O
Vm =
!::
:s:
::!
c
m
rr-
m
."
c:
Z
N
O
Z
lO
Si potrà allora definire rigorosamente il concetto di velocità istantanea all'istante t, dicendo che essa è
il limite a cui tende il valore della velocità media in un intervallo di tempo [t ; t + ~tl, al tendere di ~t a
zero.
Il Limite
finito di f(x) per x che tende a un valore
finito
Il Definizione
Consideriamo la funzione y
= f(x)
2
=
2x
- X -
x-l
l il cui insieme di esistenza è IR- {l}. Ci proponia-
mo di esaminare il comportamento della funzione Ccioè i valori di y), quando si scelgono valori di x
prossimi a l, cioè prossimi al valore in cui la funzione non è definita.
Costruiamo perciò la seguente tabella, calcolando i valori dif(x) corrispondenti a valori di x che si
avvicinano sempre più a l per difetto (per esempio 0,9; 0,99; 0,999; ...) o per eccesso (per esempio
l,l; 1,01; 1,001; ...).
x
0,9
0,99
0,999
1,001
1,01
1,1
f(x)
2,8
2,98
2,998
3,002
3,02
3,2
121
_
_
Come si vede, quanto più x si approssima al valore l, tanto piùf(x) si avvicina al valore 3. Si usa dire
che, «per x tendente a l,j(x) ha per limite 3», o anche, che <1(x) tende a 3 per x tendente a 1», e si
scrive
limf(x) = 3
x-.l
Che cosa significano esattamente tali locuzioni?
Se rappresentiamo sulla retta reale cFIGURA 2) i punti corrispondenti af(x) e il punto 3, osservando
le precedenti tabelle, vediamo che, all'approssimarsi di x a l, diminuisce la distanza tra tali punti e il
punto 3.
i
2,8
ROORA2
3,2
3
f(x)
~~-------------------------------------------------
Questa distanza, com'è noto, misura If(x) - 31e in effetti diminuisce all'approssimarsi dix a l, come si
desume dalla seguente tabella.
x
cc
ii
If(x) -
O
...
31
0,9
0,99
0,999
1,001
1,01
1,1
0,2
0,02
0,002
0,002
0,02
0,2
III
Tuttavia tale proprietà non corrisponde pienamente
Consideriamo, per esempio, la funzione
g(x)
al concetto che vogliamo esprimere.
= _x2 + 2x + 1
e facciamo tendere x a l.
x
0,9
0,99
0,999
1,001
1,01
l,l
g(x)
1,99
1,9999
1,999999
1,999999
1,9999
1,99
1,01
1,0001
1,000001
1,000001
1,0001
1,01
Ig(x) -
31
.
Come si vede, anche in questo caso Ig(x) - 31 diminuisce all'approssimarsi di x a l, ma l'affermazione
che g(x) tende a 3 al tendere di x a l contrasta con la nostra intuizione: l'esame della seconda riga
dell'ultima tabella fa intuire che il limite di g(x) sia 2.
Vi è una sostanziale differenza tra i valori di If(x) - 31 e quelli di Ig(x) - 31: mentre i primi, cioè le
«distanze» dei valori dif(x) da 3, possono essere resi più piccoli di qualunque numero positivo prefissato Cacondizione di scegliere valori di x abbastanza prossimi a 1), i secondi, ossia le «distanze» dei
valori di g(x) da 3, sono tutti maggiori di l.
In altre parole la «distanza» dif(x) da 3, considerando valori di x sufficientemente prossimi a l, può
essere resa «piccola a piacere», mentre lo stesso non si può dire per là «distanza» tra g(x) e 3.
Per esempio, la «distanza» dif(x) da 3 è minore di 0,01, se risulta:
2x2 -x -l
1 x-l
_31< 0,01
2x2 -
---+
1
X -
x-l
l - 3x
+ 31
Se escludiamo il valore x = l, per cui la funzione non è definita,
tale disequazione si può semplificare e diviene
---+
12(x - 1)1 < 0,01 ---+
- 0,01 < 2x - 2 < 0,01
---+
2 - 0,01 < 2x < 2 + 0,01 ---+ 1,99 < 2x < 2,01
---+
0,995 < x < 1,005
122
< 0,01
2(X - 1)21< 0,01
1 x-l
SAI CIÀCHE ...
> O si
If(x)1 < k ~
Per k
---+
ha
- k < f(x) < k
parole si ha If(x) - 31 < 0,01 per tutti i valori di x dell'intervallo (0,995; 1,005), che è un in-orno di l, con l'unica eccezione del valore x = l. Analogamente risulta If(x) - 31 < 0,0001 nell'interalro (0,99995; 1,00005), che è ancora un intorno di l, sempre per x -# l ecc.
Diamo perciò la seguente definizione.
ln altre
DEFINIZIONE
LIMITE FINITO PER x CHE TENDE A UN VALORE FINITO
Sia Y = f(x) una fW1zione definita in un intorno completo I del punto c, escluso al più il punto
c. Si dice che, per x tendente a c, la funzione y = f(x) ha per limite C e si scrive
limf(x)
=
X-+C
C
se, comunque si scelga un numero positivo E carbitrariamente piccolo), si può determinare in
corrispondenza a esso un intorno completo di c, contenuto in I, tale che, per ogni x di tale intorno Cescluso al più x = c), si abbia
If(x) - CI <
I
f'
!::
E
C
m
• Ai fini della definizione di limite il comportamento dif(x)
nel punto c non ha
importanza: f (c) può essere uguale a C o a
qualsiasi altro numero reale, ma il valore di
f(c) può anche non essere defirlito; per questo in FIGURA 3 il corrispondente punto del
grafico di y = f(x) è rappresentato da un
tondino vuoto .
• La disuguaglianza If(x) - CI <
E
m
."
c:
Z
N
La definizione ci permette di verificare se,
per x tendente a c, un dato numero reale f!
è il limite di f(x).
Non siamo però ancora in grado di determinare il limite f!.
che compare nella definizione equivale
C-
Ciò significa che il valore dif(x)
rr-
E
<f(x)
-E
<f(x)
- C<
E,
O
Z
ossia
< C+E
dev'essere interno all'intervallo (C -
E ;
C + E).
Per comprendere la definizione ora data consideriamo la FIGURA 3. Scegliendo un numero E > Orisulta
determinato l'intervallo (C - E ; C + f), rappresentato in rosso sull'asse y. Tracciamo due rette parallele
all'asse x passanti per gli estrerni di questo inr--tervallo; la condizione C - f <f(x) < C + f è
soddisfatta da quei valorLdi x corrispondenti a
Y
punti del grafico della funzione che si trovano
all'interno della striscia di piano compresa tra
queste due rette. Come si vede ciò avviene
per i punti interni dell'arco AB del grafico di
----C+EI
BI11
f(x), con l'eventuale esclusione del punto di
ascissa c. Le proiezioni diA e B sull'asse x sono
f
A
due puntiA' e B', estremi di un intervallo V dell'asse x, evidenziato in verde; questo intervallo è
un intorno dico Se ora prendiamo un qualsiasi
valore x -# c in questo intorno vediamo, seguendo le frecce verdi, che il valore di f(x) corrix
/'
AO x c BO
spondente cade nell'intervallo (C - f ; C + f).
/
V(c)
Naturalmente l'intorno di c dipende dalla scelta
di f > O;in generale più piccolo è f, più piccolo
FIGURA 3
sarà l'intorno di c corrispondente.
.J
Y=f(;
o
_n_ff~X~1
o
o
~
123
_
_
IN PRATICA
Per verificare
che
< f(x) < l + é
/im f(x) = f! si scrive
f! -
é
•
si potrà supporre
che sia x
•
si potrà supporre
che il numero
Si potrà ricordare,
la relazione
x~c
e la si risolve rispetto all'incognita
i=
li < é
o quella
a essa equivalente
x. Ne,lla risoluzione:
C;
E
>
O sia minore di un qualsiasi prefissato
se occorre, che la relazione f! -
Se l'insieme delle soluzioni
/im f(x) = J!.
If(x) -
della disequazione
é
< f(x) < f! + é
contiene
equivale a
un intorno
numero positivo.
{i~;~~~~:.
di c si potrà
affermare
che è
x~c
ESEMPI
IlVerificare
2
che si ha /im 2x
x~l
-
x-
x-l
= 3.
Incominciamo a osservare che la funzione di cui si deve verificare il limite è definita per x i= l, e quindi è
definita anche in tutti i punti di qualsiasi intorno completo di 1, con la sola eccezione del punto x = 1.
Occorre mostrare che, comunque si scelga é > O, la disuguaglianza
~
cc
O
I
I
~
1 2x 2
X -
-
31 <é
l -
x-l
è verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di 1, eccetto al più per x = 1.
Trattiamo perciò questa disuguaglianza come una disequazione nell'incognita x, al fine di determinare
i valori di x, diversi da l, per cui è soddisfatta. Abbiamo
2X2 -x-l
1
1
- 3(x-l)
x-l
<é
---->
2(X2
- 2x+
1
Come abbiamo più volte detto, possiamo supporre x
12(x-l)l<é
----> 2 - é < 2x < 2
Poiché l'intervallo
(l
-
~ ; 1+
~)
---->
+ é ---->
1)
x-l
i=
1
<é
12(X-l)21
---->
<é
x-l
1 e quindi, dopo aver semplificato,
avremo
-é<2x-2<é---->
1-
~ < x < l
+ ~
con x
i=
l
costituisce un intorno completo di l, possiamo affermare che il
limite è verificato.
Cerchiamo ora di interpretare
si può così riscrivere
f(x)
graficamente
=
il procedimento
2x2 -x-l
x-l
----> f(x) = (2x+
e la funzione non è definita per x = 1, mentre per x
sua equazione si può semplificare; si ha quindi
f'
_ { 2x + 1
(x) non definita
seguito. L'espressione della funzione data
i=
1 la
per x i= l
per x = l
Il grafico di equazione y = f(x) sarà perciò costituito dalla
retta di equazione y = 2x + 1 con l'esclusione del suo punto
di ascissa x = l (FIGURA 4J
Segniamo ora, sull'asse y, il punto di ordinata 3 e i punti di
ordinata rispettivamente 3 - é e 3 + é. Da questi ultimi due
punti tracciamo due rette parallele all'asse x, che incontrano
il grafico di f(x), rispettivamente, nei punti A e B.
La condizione 3 - é < f(x) < 3 + é è soddisfatta da quei valori di x corrispondenti a punti del grafico della funzione che si
trovano all'interno della striscia di piano compresa tra queste
due rette.
124
l)(x-l)
x-l
y
---3
f(x) I " 113
- - 3-
4
E
Ciò avviene per i punti interni al segmento AB (con esclusione del punto di ascissa l)
punti A e B si trovano risolvendo i sistemi
Y=3-E
{ Y = 2x
E
2
x=l--
----->
+l
{Y=3+E
Y = 2x
x
Dunque, se si prende sull'asse delle ascisse un punto la cui ascissa
1e 3
~ e l
+E
+ ~ , si
(l - ~;l + ~)
Poiché l'intervallo
(diversa da l) è compresa tra
valore di Y = f(x) è certamente
trova che il corrispondente
E
2
x=l+-
----->
+l
Le ascisse dei
compreso
tra 3 -
E
costituisce un intorno di 1, si può dire che il limite pro-
posto risulta verificato.
Si osservi che l'ampiezza dell'intervallo così costruito dipende da E in particolare la sua ampiezza
diminuisce al decrescere di E, come puoi verificare graficamente rifacendo la FIGURA 2 e considerando
un diverso valore di E, minore di quello usato precedentemente. Tuttavia tale intorno esiste sempre,
qualunque
sia il valore di
El Verificare
che si ha /im(4
x~2
E
_x2)
=
::!
O
c
m
rr-
La funzione Y = 4 - X2 è definita in qualsiasi intorno di 2.
Occorre verificare che, comunque si scelga E > O, arbitrariamente
14-x2-OI<E
m
piccolo, la disuguaglianza
2
I<E
2
-E<4-x
----->
----->
<E
----->
."
c:
14-x21<E
Z
N
sia soddisfatta da lutti gli x appartenenti a un opportuno intorno di 2.
Trattiamo dunquè questa disuguaglianza come una disequazione nell'incognita
nell'insieme delle soluzioni risulta contenuto un intorno di 2, il limite è verificato.
14-x
!::
:s:
>O
2
{4-X <E
4 - X2 >
O
Z
x
e risolviamola
Si ha
2
{x >4-E
X2 < 4
----->
-é
se
+E
Osserviamo che, essendo E> O, il numero 4 + E è sicuramente positivo. Inoltre si ha 4 - E> O per
E < 4; essendo E arbitrariamente piccolo, si può supporre che sia E < 4 e quindi anche 4 - E risulta
positivo.
x2>4-E
{ 2
x <4+E
----->
{x<-~vx>~
-J4+E<X<J4+E
Rappresentiamo l'insieme 51 delle soluzioni della prima disequazione e l'insieme 52 di quelle della seconda nel seguente schema (FIGURA 5); poiché è 4 - E < 4 < 4 + E, si ha
e
~<2<~
< -2 <-~
-J4+E
2
-/4 51
52 .................
FIGURA
I
I
0- ....
~
....J
I
0
E
I
I
1
o ..................
5
'._--
Come si vede, la disequazione
è verificata per
-J4+c<x<
-~v~
<x<
J4+E
e quindi l'insieme 5 delle soluzioni è
5= (-J4+E;
-~)u(~;J4+E)
Tale insieme contiene l'intervallo (~;
J4 +E) che, essendo ~
= 2. Possiamo perCiò affermare che il limite è verificato.
<
2
< J4 + E, è
un intorno di
x
125
_
If(x) - f!1 < é per verificare il limite 11mf(x)
Si osservi che, risolvendo la disequazione
= f!, nell'e-
X~C
sempio '- si era trovato un intorno di c, mentre in questo caso si è trovato l'insieme S che non
è un intorno di c, ma che contiene un intorno di c; per poter affermare che il limite è verificato
è sufficiente che nell'insieme delle soluzioni sia contenuto un intorno di c
B Verificare
che non esiste 11m f(x) = cos 7f .
X
X~O
La funzione f(x) = cos.!!.... è definita per x =F O
x
Dopo aver osservato che - 1 ::; f(x) ::; l, vogliamo determinare
risulta f(x)
= 1
oppure f(x)
que intorno del punto x
=O
= - l.
cc
vi sono infiniti punti di ascissa x
= cos 2k7f = 1
e
f( 2k 1)+ 1
2k
ii
o
=
x
ex
= ± 1,
7f1
= cos
2k+
ai quali
si trova che in qualun-
= ...., l ,
[k E 1') per i quali si
= cos [(2k
+ 1 )7f] = -
1
1
In prossimità dell'origine il grafico di f(x) compie dunque infinite oscillazioni
nite volte sia il valore - 1 sia il valore 1.
Concludiamo che il limite di f(x) per x ---+ O non esiste.
...
III
•
7f1
= cos
*
Dopo aver risolto le equazioni cos.!!....
ha
f( 2k1 )
i valori di x in corrispondenza
[FIGURA
6) e assume infi-
y = 1
y =
(05.2:..
x
x
y =-1
FIGURA
Il Data
6
la funzione di Dirichlet f(x) = { ~
reale c,11m f(x)
X~~C
per x razionale
..
dimostrare
per x Irrazionale
che, qualunque
sia il numero
non esiste.
Supponiamo, per assurdo, che tale limite esista e che, quindi, sia 11m f(x) = t Fissato ad arbitrio
O, dev'essere, in un opportuno intorno di c
X~C
é>
Ifex) - f!1 <
126
é
un
In tale intorno cadono certamente sia numeri razionali, per cui f(x)
f(x) = 1. Quindi in tale intorno dovrà essere contemporaneamente
Il - f!1 < é
{ IO - €I < é
{l -
->
-é
=
O, sia numeri irrazionali, per cui
é < f! < 1+ é
<R <é
È facile rendersi conto che tale sistema non può essere verificato per qualunque
esempio,
é =
1-; si ottengono
le relazioni incompatibili
di f(x) non può esistere, per x
Ti lasciamo
identicaf(x)
--+
il compito, come esercizio,
= x ha per limite c
=
k è una funzione
f!
< ~ e-
> O si prenda, per
1- < < 1- Dunque il limite
f!
c, qualunque sia c.
di dimostrare
I
Inoltre, se f(x)
stante k
1- <
é
che, se
x tende a un numero c, allora la funzione
!-i~x = c I
costante,
allora
qualunque
sia c, il suo linlite
è la stessa
co-
C
m
rr-
m
IZimk
X-l-C
=
."
k I
c:
Z
N
O
Il Limite sinistro e limite
Consideriamo
y
la funzione
quelle del precedente
= are
paragrafo
tan~
Z
destro
x
il cui dominio
è IR - {O} e costruiamo
allo scopo di esaminarne
il comportamento
una tabella
in prossimità
simile a
del punto
x= O.
x
-0,1
f(x)
-1,4711...
-0,01
-1,5607
-0,001
0,001
0,01
0,1
-1,5697 ..
1,5697 ..
1,5607 ..
1,4711 ...
In questo caso quando X' si approssima a OJ(x) sembra approssimarsi
a due valori diversi, a seconda
che sia x < O o x > O. In casi come questi, secondo la definizione formulata nel precedente
paragrafo,
non esiste il limite. Si possono però applicare le seguenti definizioni.
DEFINIZIONE
LIMITE SINISTRO
una funzione definita in un intorno sinistro I del pW1tO c. Si dice che la funzione
a c dalla sinistra, cioè per difetto, ha per l.imite sinistro il numero C se, comunque si scelga W1numero positivo f, arbitrariamente
piccolo, è possibile determinare
in corrispondenza
di esso un intorno sinistro di c, contenuto in I, per tutti i punti del quale si abbia
Sia y
= f(x)
f(x) per x tendente
If(x) -
i scriverà
allora
lim
X-l'C-
f(x) = C e si legge:
«il limite di.f(x) per x che tende a c per difetto
Co dalla sinistra) è uguale a C».
In modo del tutto
destro.
CI < f
analogo
si definisce
il limite
Nelle definizioni di limite destro e sinistro
non è necessario escludere il punto x = c
perché ogni intorno sinistro o destro di c è
un intervallo aperto di cui c è un estremo, e
quindi c non ne è un elemento.
127
_
_
DEFINIZIONE
LIMITE DESTRO
Sia Y =f(x) una funzione definita in un intorno destro I del pW1to c. Si dice che la funzione f(x) per x tendente a c dalla destra, cioè per eccesso, ha per limite destro il numero
C se, comunque si scelga un numero positivo f, arbitrariamente
piccolo, è possibile determinare in corrispondenza di esso un intorno destro di c, contenuto in I, per tutti i punti del
quale si abbia
If(x) Si scrive allora lim f(x)
,
x--;')c+
stra) e uguale a o>.
Osserviamo che:
•
si ha lirn f(x)
X-----loC-
=
CI <
C e si legge «il limite dif(x)
= x~c.J,..
lirn f(x) =
f
per x che tende a c per eccesso Codalla de-
=
C se e solo se è limf(x)
X--TC
C;
• viceversa, se uno dei due limiti sinistro o destro non esiste, oppure se esistono entrambi finiti ma
sono diversi, allora non esiste il limite dif(x) per x ----t C.
IN PRATICA
cc
Per verificare che 11m f(x)
ii
o
LLI
= fi.,
x--+c-
si risolve rispetto a x la disequazione If(x) - f!1 < IO, o, in forma equivalen-
te, f! - IO < f(x) < f! + IO Nel risolvere questa disequazione si potrà supporre x < c e che IO > O sia rninore
di un qualsiasI prefissato numero positivo
Se l'insieme delle soluzioni della disequazione contiene un intorno sinistro di c si potrà affermare che è
11m f(x) = f!.
...
x--+c-
Ti lasciamo il compito di formulare le analoghe osservazioni riguardo al limite destro.
ESEMPI
La funzione y
=
Vx è definita per x 2':
O e quindi ha senso parlare solo di limite destro per
x
--->
O
Si verifica subito che
11m
X-J.o+
Vx = O
Infatti, fissato IO > O, si ha
IJX - 01 < IO
----;
Vx < IO
X
----;
< 102
da cui, tenendo conto che deve essere x 2': O, si ha
O
:s: x
<
2
10
Dunque l'insieme delle soluzioni è [O; c:2) e contiene l'inlervallo (O; c:2),
che è un intorno destro di O.
EJ Verificare che si ha
11m are tan~
x~o-
x
= _
11
2
Fissato un arbitrario numero reale IO > O risolviamo rispetto a x la disequazione
[f(x) - f!1 <
c:
----;
larc tan+ + ; I < c:
supponendo sia x < O
Cominciamo con l'osservare che il codominio della funzione arcotangente è l'intervallo ( - ;
quindi per qualsiasi x
=1=
O si ha
arcton~
128
x
>_..21:...
2
arctan~+..21:... > O
x
2
; ;)
e
PertanLo l'argomento
è positivo e possiamo per-
del valore assoluto che compare nella disequazione
ciò eliminare il simbolo di valore assoluto
1
11
arctan-+-o-<E
x
2
Ricordando
poi che la funzione arcotangente
Entrambi i membri dell'ultima
risulta - ;
+
è crescente, avremo
disequazione sono negativi
< E < ;,
te, potendo supporre O
1
11
arctan-<~-+E
x
2
--->
<~ ;
infatti è
+E< O
x <O
[FIGURA
Possiamo quindi eseguire il seguente passaggio
x>
Ricordando che
x <O
E)
J...
< O e d'altra
x
7) e quindi
tan (- ;
-1-
par-
E) < O
Se a e b sono due numeri reali concordi [ossia entrambi positivi o entrambi
negativi), si ha
si ha allora
<x < O
l
e quindi
E.
1
tan( - ; +
< ton ( ~ ; + E).
r-
:s:
::!
J...>J...
a<b
a
tan( - ; + E)
c
m
b
rr-
m
."
c:
TI:
2'
_.2I. +
2
ti
0<
8
E
Z
O
1l
~'
.l
2
< lL ~ _lL < _lL +
2
2
2
E
x
L'insieme delle soluzioni è un intorno sinistro di O e pertanto
f(x) =
are tan J... è
x
esercizio
in
il compito
di verificare
•
_.2I.
2
FIGURA 8
come
O
Z
~""an+
<O
FIGURA 7
Ti lasciamo
N
y
il limite è verificato.
che è
lim arctanJ...
x
x~o+
= -2/1;
il grafico
di
FIGURA 8.
Possiamo concludere che il limite di f(x) = orctanJ... per x
x
---+
O non esiste infatti esistono finiti sia il
limite sinistro sia il limite destro ma sono diversi.
Limite per difetto e limite per eccesso
In alcuni casi, si può precisare
sef(x)
lim
x-.c
tende a C per difetto o peT eccesso: si scriverà, rispettivamente
f(x-)
=
g-
l:imf(x)
=
e+
X----+C
TIsignificato di tali espressioni è quello che suggerisce l'intuizione: diremo chef(x) tende a C per difetto quando, oltre a tutte le condizioni viste nelle definizioni precedenti, si abbia anchef(x) ::; C in un
opportuno intorno eli c; diremo invece
limf(x) =
chef(x) tende a C per eccesso quando,
oltre alle condizioni citate, si abbia anf!f!+
f!
chef(x) 2: C in un opportuno intorno
c
di c.
Considerando anche che x può tendere a c, a c- o a c+, si hanno complessivamente nove casi che riassumiamo
nella. tabella a lato.
x---+
c-
lim f(x) = f!
x~c
lim f(x) ~ f!
X-+C-
c+
lim f(x) = f!
x-+c+
lim f(x) = f!-
X~C
lim f(x) =
x-c
e-
lim f(x) = f!x-+c+
lim f(x)
X~C
f!+
=
lim f(x) =
X--+C-
e+
lim f(x) = f!+
x-+c+
129
_
_
Ti lasciamo il compito, come esercizio, di formulare le relative definizioni.
Per verificare che l/m f(x) = f!- si risolve rispetto a x il sistema
x~c
If(x) - t'I <
{ f(x) :; t'
é
o, in forma equivalente,
f! -
é
< f(x) :;
f!
Per verificare che l/m f(x) = f!+ si risolve invece il sistema
x-c
If(x) - f!1 <
{ f(x) ;:::f!
é
o, in forma equivalente,
f! :; f(x)
< f! + é
In entrambi i casi si potrà supporre che x f.= c e che é > O sia minore di un qualsiasi prefissato numero
positivo.
Se l'insieme delle soluzioni contiene un intorno completo di c si potrà affermare che il limite è verificato.
Se invece si deve verificare il limiLe (per difeLto o per eccesso) per x ---> c o per x ---> c+ è sufficiente che
l'insieme delle soluzioni contenga un intorno sinistro o destro di c.
cc
ii
O
Verificare che
...
LI!
+ 2)
lim (x2
x-o
Fissato un
é
>O
f! :; f(x)
risolviamo la disequazione
< f! + é
----+
= 2+
O:;
----+
<
X2
é
2:;
X 2
----+
-
+2 < 2+é
VE < x
Poiché la soluzione è un intorno completo
rificato (FIGURA 9)
E1 Data
la funzione f(x) = 2x
di
+ M, definita
x
<
O,
----+
VE
2+
il limite è ve-
f.= O,
per x
E-----~\_+___+___,.,L
2 -----
dimo-
strare che
X-{i
--lE
lim f(x) = - I -
e
x---,Q-
lim f(x)
x.--;.o+
=
1+
x
FIGURA 9
Osserviamo che
2xf(x) = { 2x+
x <O
l
per
1
per x> O
e quindi basta verificare che
lim (2x - 1) = - l x-----o-
e
l/m (2x
X--'lO-'
+ 1)
=
:V
1+
Verifichiamo, per esempio, il primo dei due limiti; fissato
é> O, basterà poter trovare un intorno sinistro di x = O,
per tutti gli x del quale è verificata la relazione
- l --:
é
<
2x - 1 :; - 1
-1
----+
é
-2
<x < O
Il risultato è proprio un intorno sinistro di O. Analogamente si
verifica il secondo limite. In FIGURA 10 vi è il grafico di f(x).
130
x
FIGURA 10
)
Il Limite
Il Limite
finito di f(x) per x che tende all'infinito
finito di f(x) per x che tende a
+00
Consideriamo la funzione
f(x)
=
vfx2+T
x
che è definita per tutti i valori di x -# O, e quindi è definita anche in un intorno di +00. Esaminiamo,
mediante la seguente tabella, il variare dei valori dif(x) in corrispondenza di valori di x positivi sempre più grandi.
x
5
10
50
100
500
1000
f(x)
1,0198039
1,004987
1,000199
1,000049
1,000002
1,0000005
!::
:s:
::!
c
m
Osservando la tabella e il grafico di FIGURA 11 si intuisce che, quanto più sono grandi i valori positivi di x
tanto più il valore dif(x) si avvicina a 1.
y
Si usa dire che «per x tendente a più infinito,j(x) ha per li2
y
=
-vx
+
1
mite 1» o anche che 4(x) tende a l per x tendente a più inx
finito».
Ciò significa che la «distanza» traf(x) e l diviene sempre più
piccola e il valore di If (x) - 11 può essere reso piccolo a piaceY = 1
re, ossia minore di qualsiasi numero positivo arbitrariamente
piccolo. Ma ora ciò non avviene in un intorno di un valore finito
Xl
di x: in questo caso il valore di If(x) - 11 può essere reso piccolo quanto si vuole a condizione di considerare valori di x abbastanza grandi, ossia a condizione di considerare valori di x ap\ FIGURA 11
\ I
)
partenenti a un opportuno intorno di +00.
rr-
m
."
c:
Z
N
(5
Z
I
I
~-----------~~--
DEFINIZIONE
LIMITE FINITO PER x CHE TENDE A
+x
Si dice che per x tendente a +00 la funzionef(x), definita in un intorno I di +00, ha per limite C
e si scrive
lim f(x) = C
x~+oo
l
se, comunque sia fissato un numero positivo E, arbitrariamente piccolo, si può determinare in
corrispondenza di esso un intorno di +00, contenuto in I, tale che, per ogni x di tale intorno, si
abbia
If(x) - CI <
Come già detto la disequazione If(x) - CI <
lim f(x) = C se, in corrispondenza di qualsiasi
f
f
f
I
J
equivale a C - f <f(x) < C + f. Perciò si ha
> O, è possibile determinare un intorno V di +00
.1:-'+00
-:ale che, per tutti gli x di tale intorno, il valore dif(x) appartenga all'intervallo (C - f; C + E).
Per comprendere la definizione guardiamo la FIGUR.A 12. Scegliendo un numero f > O risulta determi!lato l'intervallo (C - f ; C + f), rappresentato in rosso sull'asse y. Tracciamo due rette parallele all'asse
x passanti per gli estremi di questo intervallo; la condizione C - f <f(x) < C + f è soddisfatta da quei
-alori di x corrispondenti a punti del grafico della funzione che si trovano all'interno della striscia di
piano compresa tra queste due rette. Come si vede ciò avviene per i punti del grafico dif(x) che si
:rovano a destra del punto A di ascissa a. Se ora prendiamo un qualsiasi valore x dell'intervallo
a ; +00), che è un intorno di +00 Cevidenziato in verde), troviamo, seguendo le frecce verdi, che
131
_
_
l''
il valore di f(x-)
corrispondente
+00 dipende dalla scelta
I-
di
appartiene
all'intervallo (C-
f ;
C+ f). Naturalmente
tale intorno di
> O.
f
I
I
I
FIGURA
a
12
x
x
----------------/
"-----
Per verificare che
te, f! CC
é
f(x)
lim
X---lo+OO
= f! si risolve rispetto
If(x) - f!1 < é o, in forma equivalen-
a x la disequazione
+ é.
< f(x) < f!
Nel risolvere questa disequazione
ii
x
si potrà supporre che
O
~
sia maggiore di un qualsiasi numero prefissato;
si potrà supporre che il numero
Se l'insieme
lim f(x)
delle soluzioni
é
>O
sia minore di un qualsiasi prefissato numero positivo.
della disequazione
contiene
un intorno
di +00 si potrà affermare
che è
= f.
x-, +00
ESEMPI
IlVerificare
che
lim
~
x~+oo
La funzione f(x)
= ~
- 1
-.
x
è definita per x f= O e quindi anche in ogni punto di (O; +(0), che è un
x
intorno di -1-00.
Occorre mostrare che, comunque si scelga un
If(x) - f!1 <
é
é
----+
>
0, la disuguaglianza
I~
- 1I<é
è verificata in un intorno di +00.
Trattiamo questa disuguaglianza come una disequazione
che nella risoluzione potremo supporre x > o.
I~
Risulta,
1-
é
<
X
> V)(2 =
x> O, ~
per
~.
x
+
-ll<é
1 . Resta pertanto
----+
Ixl = x
x e risolviamola,
nell'incognita
1-é<~
osservando
<l-1-é
e quindi
>
~
da risolvere la disequazione
x
1 e, a maggior
-
~<l+é
X
Entrambi i membri di questa sono positivi e
quindi possiamo elevarli al quadrato
x2
+ 1 < (1
-I-é)2
Se
----+
o
e I] sono numeri positivi, si ha
X2
----+
0<
j -I- ~
X
----+
<j +
X 2
2é -I- é2
> __ 1
2é
132
+ é2
----+
e anche
b
~
2
0
< b2
ragione,
Anche in questo caso entrambi i membri sono positivi e quindi possiamo prenderne le radici quadrate;
tenendo anche presente che
x > O si
ottiene
x > __ 1
V2é+é2
I vfx2+T
X
La disuguaglianza
11 < IOè dunque
tale intervallo è un intorno di +00,
B Verificare
che
soddisfatta
nell'intervallo
(~
210
possiamo affermare
+ 102
; +(0)
Poiché
che il limite è verificato.
(FIGURA 13)
aX =
lim
X--.-x
O)
.p.
ìI
Risolviamo la disequazione
lax - 01 < IO
laxi
---->
y
< IO
m
rr-
X
OX
< IO
---->
>
X
m
."
o<a<
c:
Z
1 --7 lim ax = O
N
x ----)+00
(5
Z
109010
L'insieme delle soluzioni è dunque l'intervallo (109010; +(0),
che è un intorno di +00; il
limite è così verificato.
Limite finito di f(x)
:s:
:3
c
y = ax
Essendo a > O per qualunque valore di x,
il simbolo di valore assoluto è superfluo; ricordando che se O < a < 1 la funzione
esponenziale f(x) = oX è decrescente, si ha
r-
x
FIGURA 13
per x che tende a
-00
Consideriamo ancora la funzione
y
f(x)
2
=Jx
x
+l
y=
ed esaminiamo, questa volta, il variare dei va,Ii di f(x) in corrispondenza
di valori di x
negativi sempre più grandi in valore assoluto
-Ji(2:i:1
x
x
"FIGURA 14).
y =-1
FIGURA 14
I
I
x
-5
-10
-50
-100
-500
-1000
f(x)
-1,0198039
-1,00Lf987
-1,000199
-1,000049
-1,000002
-1,0000005
ome possiamo osservare, in questo caso, quanto più sono grandi in valore assoluto i valori negativi di
, tanto più il valore dif(x) si avvicina a -l.
Si dice che «per x tendente a meno infinito,J(x) ha per limite -1» o anche che «f(x) tende a -l
per X' tendente a meno infinito», e si potrebbero ripetere, con le opportune modifiche, le considerazioni svolte nel paragrafo precedente.
133
_
_
DEFINIZIONE
LIMITE FINITO PER x CHE TENDE A
Si dice che per x tendente a
e si scrive
-00
la funzionef(x)
-C>(;
, definita in un intorno I di
lim f(x)
=
X---'-(X)
-00,
ha per limite C
C
se, comunque si scelga un numero positivo E, arbitrariamente piccolo, si può determinare in
corrispondenza di esso un intorno di -00, contenuto in I, tale che, per ogni x di tale intorno,
si abbia
If(x) - CI < E
IN PRATICA
Per verificare che
f(x) = Il si risolve rispetto a x la disequazione If(x) - f!1
lim
X--oo
< E o,
in forma equivalente,
Il - E < f(x) < f! + E Come nei casi precedenti si potrà supporre che E > O sia minore di un qualsiasi prefissato numero positivo; inoltre si potrà supporre che x sia minore di un qualsiasi numero prefissato
Se l'insieme delle soluzioni della disequazione contiene un intorno di -C>(; si potrà affermare che il limite è
cc
ii
o
~
ESEMPI
.-
Verificare che
lim
X~-oo
JX2+T
x
Occorre mostrare che, comunque si scelga un
If(x) - f!1
<E
----7
I
> O,
E
JX2+T
x
+1I
<E
= -l
la disuguaglianza
----7
JX2+T
< -l
x
-l-E<
è verificata in un intorno di -00.
Poiché è x ---> -00 potremo supporre che sia x < O. In tale
ipotesi risulta
JX2+T> ,fX2 = -x > O
+E
SAI CIÀCHE ...
x <O
e quindi
----7
=
,fX2 =
Ixl =-x
JX2+T > 1
-x
D'altra parte, essendo E> O, è -1
ta da qualunque valore di x
<O
<-
!1
x
la disuguaglianza
JX2+T < - 1 + E è soddisfatx
da risolvere la disequazione
1 +E
x
> JX2+T
-x
relazione sono positivi e quindi possiamo elevarli al quadrato
2
(1+E)2>x
+ E; quindi
Resta pertanto
-l-E<JX2+T
Entrambi i membri di quest'ultima
l
----7
j+2E+E2>j+~
----7
X
x2>-2
1
2
E+E
Anche in questo caso entrambi i membri sono positivi e quindi possiamo prenderne le radici quadrate;
tenendo presente che x < O si ottiene
----7
JX2+T -
x<-
1
V2E+E2
11 < E è dunque soddisfatta nell'intervallo (-00; - ~).
X
2E + E2
ché tale intervallo è un intorno di -00, possiamo affermare che il limite è verificato.
La disuguaglianza
134
I
Poi-
El VeriFicare che
Ia>
(FIGURA 15)
1
~
X
lim
a
X--'X
=
O
I
y, y = ax
Risolviamo la disequazione
la
x -
01 < E
<E
jaXI
----7
Anche in questo caso il simbolo di valore assoluto è superfluo; ricordando che se a > 1
la funzione esponenziale è crescente, si ha
aX < E
a > 1 --+ lim ax
x ....
=O
-00
X < logaE
----7
L'insieme
delle soluzioni
è l'intervallo
(-00 ; logaE),
che è un intorno di -00; il limite è così verificato.
x
FIGURA 15
!::
:s:
III Limite finito
di f(x) per x che tende a
::!
00
c
m
rr-
Consideriamo la funzione
f(x)
=
m
."
x +l
x
c:
Z
Come si osserva dal grafico di FIGURA 16 e come
si potrebbe verificare applicando le rispettive
definizioni, si ha
lim
x-.+oo
x +l
x-
= l
e
lim
x-'-oo
x +l
x-
y=
N
x + 1-
-x--
O
Z
1--
y = 1
-_
I
x
=
l
In casi come questi, ossia se di una funzionef(x)
esistono finiti sia il limite per x ----+ +00 sia il limi-
te per x ----+ -00, ed entrambi sono uguali a C, si
usa dire che «per x tendente all'infinito, j(x)
ha per limite C» o anche che <1(x) tende a C
per x tendente all'infinito»; osserva che in que-
Ricorda che il simbolo 00 non può essere
trattato
come un numero. In particolare,
mentre per esempio +5 e 5 indicano lo stesso numero, i simboli +00 e 00 hanno significaLi diversi.
ste locuzioni si parla dell'i1?jinito senza speciJ~arne il segno. Si scrive anche lim j(x) = t
x-)
(X)
Pertanto si ha
Per verificare che una fW1zionef(x) ha per limite C quando x ----+ 00 invece di verificare entrambi i limiti per x ----+ +00 e x ----+ -00, si può anche applicare la seguente definizione che, come si potrebbe
dimostrare, è verificata se e solo se risulta lim j(x) = lim f(x) = t
x~+oo
DEFINIZIONE
X--T~OO
LIMITE FINITO PER x CHE TENDE A x
Sia y = f(x) una hmzione definita in un intorno I di infinito. Si dice che per x tendente all'infinito la fW1zione Y = f(x) ha per limite C e si scrive
limj(x)
=C
X----t(X)
se, comLmque si scelga W1numero positivo E, arbitrariamente piccolo, si può determinare in corrispondenza di esso Wl intorno di infinito, contenuto in I, tale che, per ogni x di tale intorno, si
abbia
If(x) - CI < E
135
_
_
ESEMPI
Il Verificare
che si ha l/m ~
x-----+oo
La funzione f(x) = ~
= 1.
x
è definita per x
X
#O
Occorre mostrare che, comunque si scelga
11
If(x) -
l':
< l':
(FIGURA
> O,
X-l
---
I
11
x
L'insieme delle soluzioni è dunque
perciò affermare
El Verificare
-
cc
Fissato
ii
o
III
l':
che
> O,
1
-<l':
---->
<l':
la disuguaglianza
I x ~ 1 - 11
---->
è verificata per tutti i valori di x di un opportuno
Si ha, per x # O
(-00;
-
< l':
intorno di infinito.
IX I >1
----;
Ixl
16)
+) +;
u(
---->
l
x<--
l':
l':
+00 )
V x>-
1
l':
che è un intorno di infinito; possiamo
che il limite è verificato.
llim
X-H)O
...L
x =O
risolviamo,
I·
per
x#O
...
L'insieme delle soluzioni è un intorno di infinito e quindi il limite è verificato.
Analogamente si verifica che
I
El Verificare
Dobbiamo
I/m.li.
X-ex;
x
=
con k
O
#OI
se è l/m e-x = O.
x~oo
risolvere la disequazione
le-x
Essendo e-x> O per qualsiasi x, si ha
Perciò l'ultima disequazione diviene
e-x
< l':
01 < l':
le-XI = e-x
----;
-
-x
<
----;
logl':
le-XI
< l':
---->
x>
-Iogl':.
L'insieme delle soluzioni è quindi (-Iogl':; +(0), che non è un intorno di infinito; il limite proposto non
è perciò verificato. Si osservi che l'insieme ottenuto è però un intorno di +00. Possiamo perciò affermare che
\..
l/m
e-x = O.
J
X-----++OO
LIMITI DELLE FUNZIONI PERIODICHE
Come è intuitivamente evidente, il limite della funzione sen x, per x ----> 00, non esiste.
Infatti, in qualunque intorno dell'infinito, senx compie infinite oscillazioni, assumendo tutti i valori dell'intervallo [-1 ; 1] infinite volte. Pertanto, qualunque sia il numero reale f!, la disuguaglianza Isen x - 1:1 < E.
se O < E < 1, non può essere verificata in un intorno dell'infinito.
FIGURA 11
----_/
136
Te ne puoi rendere conto osservando la FIGURA 11 la disuguaglianza Isen x-I!I < f, equivalente a
f < senx < l + f, è soddisfatta per qualunque valore di x appartenente a un intorno dell'infinito, se
i corrispondenti punti della curva di equazione y = sen xsi trovano tutti all'interno della striscia di piano
delimitata dalle rette di equazioni y = l! - f e y = l! + f È evidente che se è O < f < 1, ciò non è possibile
Queste considerazioni si possono estendere anche ai limiti di sen x per x ---+ ±oo, e valgono per tutte le
funzioni periodiche: le funzioni periodiche non ammettono limite per x tendente all'infinito.
l! -
Limite per difetto e limite per eccesso
In alcuni casi si può precisare se, per x
criveremo allora, rispettivamente
----+
lim f(x)
+00, la funzionef(x)
=
r
lim f(x)
x--++oo
X----J.+OO
Diremo che f(x)
per x
tende a Cper difetto o per eccesso.
= C+
+00 tende a C per difetto quando, oltre a essere
----+
lim f(x)
x--++oo
=
C, si ha
f(x)
::;Cin un opportuno intorno di +00. Diremo invece chef(x) per x ----+ +00 tende a Cper eccesso
quando, oltre a essere lim f(x) = C, si haf(x) 2 C in un opportuno intorno di +00.
x-.+oo
_-\nalogamente si possono definire i limiti per difetto e per eccesso nei casi in cui sia x
I nove casi che si possono presentare sono riassunti nella seguente tabella.
Iimf(x)
+00
X---+
11m f(x)
= l!
11m f(x)
=
11m f(x)
=l
X-+oo
-00
X--oo
00
x~oo
l!
I!-
11m f(x)
=
I!-
11m f(x)
x~co
Ti lasciamo il compito, come esercizio, di formulare
00.
m
."
c:
Z
N
l+
=
X--oo
----+
O
Z
11m f(x)
X-+oo
-00 o x
m
rr-
=
I!-
l
----+
C
=
11m f(x)
= l+
11m f(x)
=
X-+oo
X_-oo
f-
Ilm
x~oo
f+
= I!+
f(x)
le relative definizioni.
IN PRATICA
Per verificare che 11m f(x)
X-+oo
= I!-
If(x) {
li < f
f(x) <::: l!
Per verificare che 11m f(x)
x~c
si risolve rispetto a x il sistema
= l+
o, in forma equivalente,
l! -
E
< f(x)
<::: l!
si risolve invece il sistema
If(x) -I!I
{ f(x) 2: l!
<E
o, in forma equivalente,
l! <::: f(x)
<l +E
Se l'insieme delle soluzioni contiene un intorno completo di +00 si potrà affermare che il limite è verificato.
Se è x ---+ -00 o x ---+ 00 si procede nello stesso modo ma, ovviamente, l'insieme delle soluzioni dovrà contenere rispettivamente, un intorno di -00 o di 00.
ESEMPI
Il Formulare la definizione di x~oo
11m
f(x) = I!+
Sia f(x) una funzione definita in un intorno I di infinito. Si dice che per x
per eccesso e si scrive
---+ 00
la funzione f(x) tende a l!
11m f(x) = I!+
x~oo
137
_
_
se, comunque sia fissato un numero é > O, arbitl-ariamente piccolo, ?i può determinare in corrispondenza a esso un intorno di 00, contenulo in I, tale che, per ogni x di tale intorno, si abbia
I!::; f(x) < l! + é
B Verificare
che
x!!.0.oo
x:
1
=
1-
Risolviamo le disequazioni
l! -
é
< f(x) ::; l!
-->
Si ha
l-é<.K±l<lx
Poiché
x
--->
-00
-->
-
!-é<!+..l..<! x-
possiamo supporre che sia
basta risolvere la disequazione
x <
-é < ..l.. in cui
x
-é <..l..
x
L'insieme delle soluzioni è dunque l'intervallo
-é<..l..<O
x-
-->
O; è quindi certamente
entrambi
-->
vero che
..l..::; O e
x
perciò ci
i membri sono negativi
x < _..l..
(-00 ; - +),
é
che è un intorno di
-00.
Il limite proposto
è così verificato.
Per esercizio puoi verificare che si ha
Il grafico della funzione è in
FIGURA
lim
X--J>+OO
.K±l
X
= 1+
16.
• Asintoti orizzontali
• Se si ha lim f(x) = C,i punti del grafico dif(x),
x-.+oo
al crescere di x, tendono ad avvicinarsi sem-
pre di più alla retta di equazione y = f. Infatti la distanza di tali punti da questa retta, che è
If(x) - CI, può essere resa piccola a piacere pur di prendere x suilicientemente grande. Si dice
allora che la retta y = C è un asintoto orizzontale destro del grafico di.f(x) cFIGURA 18).
• Analogamente, se è lim f(x) = C,la re tx .....
-oo
ta y = C costituisce un asintoto orizzontale sinistro del grafico di f(x) cFIGU.
RA 19).
Infine, se è lim f(x)
X--->
=
C,
00
la retta
y
=
Cè
un asintoto orizzontale, sia desLro sia sinistro: in tal caso si parla semplicemente di
asintoto orizzontale cFIGURA 20).
• Si usa dire, sia pur impropriamente, che
l'asintoto orizzontale è «tangente all'infirlito» della curva grafico della funzione.
y
__
1
\
y
y = f(x)
asintoto
orizzontale
destro
-- y = f
----\-j-~--If(~)-.:::~I-~-------
°
FIGURA
x
18
aSintoto
orizzontale
Sinistro
~'
m
y = f(x)
•
01
01
FIGURA
138
19
Y~
,
-----.
Y = f
"-
X
-----!---------------
asintoto
orizzontale
FIGURA 20
)
OS5ERVAZIO~1
Il grafico di una funzione può anche avere due
asintoti orizzontali distinti, come in FIGURA 21.
•
.
zlone y =
x+sen(x2)
x
,
d lO, .
y = f(x)
l!
y = E2
~:.s!,,~
x
asintoto
orizzontale
sinistro
orizzontale
FIGURA 21
--+
y
~"""
C\ ~
A A
VVV\<T\.TV
----
x .../..0
r '
e 'lnlta per
che interseca il suo asintoto
y = l in infiniti punti
y
asintoto
orizzontale
L'asintoto e la curva grafico della funzione
possono non avere punti d'intersezione oppure intersecarsi in un numero finito o infinito dì punti.
In FIGURA 22 puoi vedere il grafico della fun-
y =
x + sen (x2)
--x----''---'C
V1\"
V
m
rrm
A A 00000000"0
V\.TVvvvvvvvvov~
x'
O
FIGURA 22
-
."
c:
Z
N
----
O
Z
Limite infinito di f(x)
valore finito
El Limite +00
per x che tende a un
per x che tende a un valore finito
Consideriamo la funzionef(x)
l
= __
Il cui dominio è IR - {l}.
~.
-lt
(x
Ci proponiamo
di esarninarne il comportamento
in prossimità del punto
x = l in cui non è definita.
x
0,9
0,99
0,999
f(x)
100
10000
1000000
1,001
1000000
Come si intuisce dalla tabella e dal grafico di FI·
quanto più x si approssima a l, tanto
più i valori dif(x) diventano grandi. Si usa dire
che, per x tendente a l, f(x) ha per limite
+00. Per poter dire chef(x) tende a più infinito
non è però sufficiente che i valori dif(x) aumentino all'approssimarsi di x a l, ma occorre che
f(x) diventi più grande di qualsiasi numero prefissato, per quanto grande esso possa essere. Per
esempio i valori dif(.x) sono maggiori di 100se è
1,01
l,l
10000
100
y
GURA 23,
_1_ > 100
(x-l)2
---+
(x _ 1)2
< _1_
1
Y = (x - 1)2
x
FIGURA 23
---+
100
---+
l
- ---
lO
< x - l < ---l
lO
---+
O9
'
< x.< 1.1
,
139
_
_
L'intervallo (0,9; l)) è quindi un intorno di l, in tutti i pWìti del quale ccon l'esclusione dj x = l)
il valore dif(x)
è maggiore di 100. Analogamente puoi verificare che, sempre escludendo il punto
x = l, si haf(x) > lO 000 nell'intervallo (0,99; 1,01), f(x) > 1000000 nell'intervallo (0,999; 1,001)
ecc.
DEFINIZIONE
LIMITE
+x
PER x CHE TENDE A UN VALORE FINITO
Sia f(x) una funzione definita in un intorno completo I del punto c, con esclusione al più
del punto c stesso. Si dice che per x tendente a c la funzione f(x) ha per limite +00, e si
scrive
limf(x)
X---4C
=
+00
se, comw1que sia fissato Wì munero positivo M, arbitrariamente grande, si può determinare in
corrispondenza di esso un intorno completo di c, contenuto in I, tale che, per ogni x eli tale
intorno, escluso al più x = c, si abbia
f(x) > M
Per comprendere la definizione consideriamo la FIGURA 24. Se le condizioni della definizione sono
soddisfatte, scegliendo un numero positivo M risulta determinato l'intervallo (M; +(0), rappresentato in rosso sull'asse y. Tracciamo una retta
parallela all'asse x passante per l'estremo di
questo intervallo, di ordinata M; la condizione
y
f(x) > M è soddisfatta da quei valori di x corf(x)
rispondenti a punti del grafico della funzione
che si trovano all'interno del semipiano colora--------M~~
to che ha per origine la retta y = M, ossia per
qÙei punti del grafico y = f(x) che si trovano
al di sopra di questa retta. Tali valori di x sono
quelli internj all'intervallo (a; b) evidenziato in
verde sull'asse x Ccon l'eventuale esclusione
del punto di ascissa c); questo intervallo è un
y = f(x)
intorno V di c CV (c) ç I (c)). Se ora prendiamo
un qualsiasi valore x -# c in questo intorno vediamo, seguendo le frecce verdi, che il valore
x
di f(x) corrispondente rislùta maggiore di N/.
Naturalmente l'intorno di c dipende dalla scelta
V(c)
eli M; in generale maggiore è M e più piccolo saFIGURA 24
rà !'intorno di c corrispondente.
I
Per verificare che lim f(x) =
x~c
l'incognita
x.
+00 si scrive
la disuguaglianza f(x)
>M
J
--------
e la si risolve come disequazione
rìel-
Nel risolvere questa disequazione:
si potrà supporre che sia x
=f. C;
si potrà supporre che il numero M sia maggiore di un qualsiasi prefissato numero positivo
Se l'insieme
lim f(x)
x~c
140
=
delle soluzioni
+00
della disequazione
contiene
un intorno
di c si potrà
affermare
che è
ESEMPIO
Verificare che lim
x~l(x-l)
1
2 = +00
Risolviamo la disequazione
_l_>M
(x - 1)2
Poiché x ---+ 1 possiamo supporre che sia x =1= 1, inoltre potremo supporre che sia M
bri della disequazione sono positivi; prendendonei
reciproci si ha
(x - 1)2
<-1
---->
-
M
--
1
-1M
< -- 1
< x-l
L'insieme delle soluzioni è dunque l'intervallo
-1M
(1 -
---->
; 1+
~
1 - -- 1
~),
-1M
>
O Entrambi i mem-
1
< x < 1 +--
-1M
che è un intorno di 1 Il limite pro-
posto è così verificato.
m
!::
:s:
:3
Limite
-00
c
per x che tende a un valore finito
m
rr-
m
Consideriamo la funzione
."
c:
f(x)
definita
;
per
x
=
_
Z
l
N
O·
Z
-# ; + 2k7i
ed
esaminiamone
il comportamento
in
prossimità
del
punto
1,570796 ... in cui non è definita.
=
x
1,4
f(x)
-68,72 ...
-399,19
Dalla tabella e dal grafico di
.
-48212783,07
-3 153895,94 ...
FIGURA 25,
...
si osserva
Y
che, quanto più x si approssima a ;, la funzio-
1,6
-23610,80 ...
-2345,23 ...
I
1
l
n
2
x
nef(x)
assume valori negativi sempre più grandi in valore assoluto. Si usa dire che, per x tendente a ; ,j(x) ha per limite
1,58
1,571
1,570
1,5
-00.
Y = sen x - 1
FIGURA 25
DEFINIZIONE
LIMITE
-oc;
PER x CHE TENDE A UN VALORE FINITO
Siaf(x) una funzione definita in un intorno completo I del punto c, con esclusione al più del
punto c stesso. Si dice che per x tendente a c la funzionej(x) ha per limite -00, e si scrive
limf(x)
=
-00
X->C
se, comunque sia fissato un numero positivo M, arbitrariamente grande, si può determinare in
corrispondenza di esso un intorno completo di c, contenuto in I, tale che, per ogni x di tale
intorno, escluso al più x = c, si abbia
f(x)'<
-M
141
-.II
_
Per verificare che lim f(x) =
x-c
-00
si può procedere come descritto
che, in questo caso, si partirà dalla disequazione
f(x)
nel
PARAGRAFO 9,
con l'unica difFerenza
< -M
ESEMPIO
Verificare che
lim In (x
x--> -2
La funzione f(x) = In (x
+ 2)2 è
---+
= -00
definita per ogni valore di x
In (x
Poiché x
+ 2)2
=J. -2.
Risolviamo la disequazione
+ 2)2 < -M
-2 possiamo supporre che sia x =J. -2; inoltre potremo SuppolTe che sia M>
In(x+2)2<-M
----t
/VI
(x+2)2<e-/VI
----t
-e-T<x+2<e-T
/VI
L'insieme delle soluzioni è l'intervallo
cc
ii
che è un intorno di -2. Il limite propo-
sto è così verificato.
o
...
+ e- ~),
(-2 - e- ~ ; -2
----t
/VI
-2-e-T<x<-2+e-T
----t
O
/VI
III
Il Limite infinito
per x che tende a un valore finito
Consideriamo la funzione
l
f(x) = x + l
definita per x
-#
-l.
x
-l,I
-1,01
-1,001
-0,999
-0,99
-0,9
f(x)
-10
-100
-1000
1000
100
10
Vediamo che, all'approssimarsi dix a -l, i valori della funzione diventano sempre più grandi in
valore assoluto, ma sono negativi per x < -l e
positivi se x > -l cFIGURA 26). Non possiamo
perciò affermare né chef(x) tende a più infinito
né che tende a meno infinito, ma è evidente che
il valore assoluto dif(x) tende a +00. In casi come questo si usa dire chef(x) tende a infinito,
senza specificare il segno.
:\ y
I
I
I
I
I
I
I
I
1
Y="X+1
"':1
x
FIGURA 26
DEFINIZIONE
LIMITE
'X
PER x CHE TENDE A UN VALORE FINITO
Sia Y = f(x) una funzione definita in un intorno completo I del punto c, con esclusione al più
del punto c. Si dice che per x tendente a c la funzione Y = f(x) ha per limite infinito e si scrive
limf(x)
X----+C
142
=
00
se, comunque sia fissato un numero positivo M, arbitrariamente
grande, si può determinare
in
corrispondenza
di esso un intorno completo di c, contenuto in I, tale che, per ogni x di tale
intorno, escluso al più x = c, si abbia
If(x)
IJ(x) I > M equivale a.
Osserva che la condizione
y
f(x) < -M
=
Perciò, se limf(x)
X----1-C
I>M
V
f(x) >M
co, in corrispondenza
di un
-------
qualunque M > O è possibile determinare
1m intorno V ç I del punto c tale che, per ogni x eli tale intorno, con l'esclusione al più eli x = c, i corrispondenti punti del grafico cli y =f(x) giacciano all'esterno della striscia delimitata dalle rette
di equazioni y = -M e y = M cFIGURA 27).
M
A
y = f(x)
C
m
rr-
c
a:
m
Ib
x
."
c:
Z
N
Per verificare che lim f(x)
x~c
=
CXJ
O
Z
si può proce-
dere come al solilo, partendo dalla disequazione If(x)1 > M
-- - -- - -M Q--4i-.1+
f(x)
FIGURA 27
f--
ESEMrlO
Verificare che
La funzione f(x)
=~
x
è definita per ogni valore di x f= O Risolviamo la disequazione
I+I>M
Poiché s.ipuò supporre che sia M > O e x f= O, i due membri della disequazione sono positivi; prendiamone i reciproci
1
_)
__ l_<x<_l_
x
I l<7IIl
L'insieme delle soluzioni è l'intervallo (-
M
~
; ~),
M
che è un intorno di O Il limite proposto è perciò ve-
rificato.
Procedendo
anche che
in modo analogo potrai verificare
I k f= O
Se k
----+
lim.li..
x-o
x
=
CXJ
I
= O la funzione f(x) =.li.. si riduce, per
x
x f= O, alla costante O, e pertanto il suo limite per x -> O è O
143
_
m
Limite sinistro e limite destro
Se le disuguaglianze che figurano nelle definizioni precedenti, anziché essere soddisfatte in un intorno
completo di c, sono soddisfatte in un intorno sinistro di c o in un intorno destro di c, si dice che, per x
tendente a c da sinistra ex --7 c~) ovvero per x tendente a c da destra ex --7 c+),j(x)
tende a infinito
Coppure a +00 o a -00). I nove casi che si possono presentare sono riassunti nella seguente tabella.
lim f(x) =
-00
+00
c
c-
x--+
lim f(x)
=
/im f(x)
=
+00
/im f(x)
=
+00
x~c
x--+c-
c+
X-tC+
cc
+00
00
lim f(x)
=
/im f(x)
=
-00
=
-00
x~c
x-c-
/im f(x)
X-tC+
/im f(x)
-00
x-c
/im f(x)
X---J.c-
/im f(x)
X--+C+
=
00
=
00
=
00
Ti lasciamo il compito, come esercizio, di formulare le relative definizioni.
ii
ESEMPI
O
...
III
Il Formulare
la definizione di lim
X----+C+
f(x) =
-00.
Sia f(x) una funzione definita in un intorno destro I del punto
funzione f(x) ha per limite -00, e si scrive
=
/im f(x)
X--+C+
c
Si dice che per x tendente
a c+ la
-00
se, comunque sia fissato un numero positivo M, arbitrariamente grande, si può determinare in corrispondenza a esso un intorno destro di c, contenuto in /, tale che, per ogni x di tale intorno si abbia
f(x) <-M
B Verificare
che
Io >
1
--->
lim
x-o+
logax =
-00
I
Dobbiamo applicare la definizione formulata nell'esempio D. Scriviamo quindi la disuguaglianza
f(x) < -M e risolviamola come una disequazione nell'incognita x; potremo supporre che sia M> O
e, poiché x --40+, che sia x > O
/ogax
< -M
--->
logax
<
logao-M
y
Poiché il logaritmo di base o > 1 é una funzione crescente, la disuguaglianza tra i logaritmi equivale a una disuguaglianza, dello
stesso verso, tra i loro argomenti positivi
logax
<
logao
--->
-M
--->
{x
x
o<a<
y=I09ax(a>1)
< O-M
>O
x
O<X<O-M
L'intervallo (O; 0- M), insieme delle soluzioni, è un intorno destro di O; il limite proposto è perciò verificato.
Verifica, per esercizio, che si ha anche
Y = I09ax (O < a < 1)
a>
(FIGURA 28)
O <o < l
44
1 --+ lim I09aX = +(1)
x--.o+
----;
/1m /ogax =
x~o+
FIGURA 28
+00
'~
1 --+ lim I09aX =
x--.o+
-co
Asintoti verticali
Se per x ---+ c la funzionef(x) ha per limite infinito, si dice che la retta di equazione x = c è un
asintoto verticale del grafico dif(x) CFIGURA29). Se il limite è infinito solo per x ---+ c- o solo
per x ---+ c+, si dice che la retta x = c è un asintoto verticale, rispettivamente, sinistro o destro.
L/
Y
L/
YT
,
T
,
,,
,
X
'': asintoto
Y
Y
X
'': asintoto
''- ': asintoto
, verticale
,
x
I
''-asintoto
, verticale
, sinistro
, verticale
,
_x
, verticale
, destro
FIGURA 29
I SECNI DELL'INFINITO
Abbiamo
lim
x~o-
già visto che è lim
X~O
J....
= -00
x
J....
= 00;
x
J....
= +00
x
e lim
x~o+
C
si potrebbe
precisare che, come si può facilmente
necessariamente il suo limite sinistro sia -00 e il suo limite destro sia
la seguente funzione, definita per x t= O
J....
Si ha lim f(x)
X~O
=
00.
Infatti è If(x)1
If(x)1 > M
=
--->
=
{
se
x è
-->
+00
c una funzione tende a
m
rr-
allora
infatti
."
c:
Z
N
O
Z
razionale
x
- +-
se x è irrazionale
x
>M
L'insieme delle soluzioni della disequazione
00,
o viceversa. Consideriamo
_11_1 e, comunque si scelga M> O, si ha,~per x
~
è
m
Ma non si deve pensare che, se per x
f(x)
verificare,
--->
Ixl < ~
--->
-
~
If(x)1 > M è perciò l'intervallo
t=
O
<x < ~
(-
~
; ~),
che è un in-
torno di O
Se ora consideriamo il limite di f(x) per x --> 0+ vediamo che, come si può facilmente verificare, è
lim f(x) = 00; ma in ogni intorno destro di O vi sono sia numeri razionali per cui f(x) è positiva, sia numeri
x--+o+
irrazionali per cui f(x) è negativa Perciò il limite di f(x) per x --> 0+ non è né +00 né
anche lim f(x) = 00, ma il limite per x --> O- di f(x) non è né +00 né -00.
-00.
Analogamente
è
x-----+o-
Il Limite
III Limite
infinito di f(x) per x che tende all'infinito
+00
di una funzione per x che tende a
+00
Consideriamo la funzione
che è definita per qualsiasi valore di x.
x
l
10
f(x)
l
1000
100
1000000
1000
1000000000
145
_
Come si intuisce dalla tabella e dal grafico di
si nota che, al crescere di x, il valore
dif(x)
cresce indefinitamente, in modo da assumere valori più grandi di qualsiasi numero
reale prefissato, per quanto grande possa essere. Si dice che, per x tendente a più infinito, f(x) tende a più infinito e si scrive
y = x3
FIGURA 30
lim f(x)
=
X->+OO
+00
x
FIGURA 30
DEFINIZIONE
LIMITE
+:x:
PER x CHE TENDE A
+:x:
Siaf(x) una funzione definita in un intorno I di +00. Si dice che per x tendente a +00 la funzionef(x)
ha per limite +00, e si scrive
lim f(x)
x-.+oo
cc
+00
se, comunque sia fissato un numero positivo M, arbitrariamente grande, si può determinare in
corrispondenza a esso un intorno di +00, contenuto in I, tale che, per ogni x di tale intorno, si
abbia
f(x) >M
ii
O
...
III
•
=
Se le condizioni della definizione ora formulata sono soddisfatte, scegliendo un numero positivo M risulta determinato l'intervallo (M; +00), rappresentato in rosso sull'asse y CFIGURA 31). Tracciamo una
retta parallela all'asse x passante per l'estremo di questo intervallo, di ordinata M; la condizione
f(x) > M è soddisfatta da quei valori di x corrispondenti a punti del grafico della funzione che si trovano all'interno del semipiano, colorato in arancio, che ha per origine la retta y = M, ossia per
y
quei punti del grafico y = f(x) che si trovano al
di sopra di questa retta. Tali valori di ,x; sono
quelli interni all'intervallo (a; +00) evidenziato
f(x) I
in verde sull'asse x; questo intervallo è un intorMI-------- ---- A:V-~
no di +00. Se ora prendiamo un qualsiasi x in
I
questo intorno vediamo, seguendo le frecce verdi, che il valore di f(x) corrispondente risulta
/~f(X}
maggiore di M.
Naturalmente l'intorno di +00 dipende dalla
V(+oo)
a
x
x
scelta dj M; in generale, maggiore è M, maggiore sarà anche l'estremo a dell'intorno di
FIGURA 31
+00.
I
7:
i
I
I
Per verificare che
nell'incognita
=
+00
si scrive la disuguaglianza
f(x) > M e la si risolve come disequazione
x. Nel risolvere questa disequazione
x
•
si potrà supporre che
•
si potrà supporre che il numero M sia maggiore di un qualsiasi prefissato numero positivo.
Se l'insieme
lim f(x)
x~+oo
146
/im f(x)
X-++co
=
sia maggiore di un qualsiasi prefissato numero reale;
delle soluzioni della disequazione
+00
contiene
un intorno
di
+00
si potrà affermare
che è
ESEMPI
IlVerificare
che
I xli.'r-oo(2ft)
=
+00 I
y
y =
Occorre verificare che, fissato M> O, grande a piacere, la disuguaglianza 2...jX> M è
verificata in un intorno di +00.
Infatti
M
2ft>
(~2
L'intervallo
---->
M2
x >~
; +00)'
x
che è un intorno
I
di +00, è l'insieme delle soluzioni della disequazione 2ft>
M e quindi il limite è verificato [FIGURA 32).
El Verificare
che
-----------~-----------
M-----
u
2-Yx
I a > 1 ----> xli.'r-oo a
X
+00
=
I
\.
----.-.J
FIGURA 32
r-
:s:
::!
I
Occorre verificare che, fissato un numero M > 0, arbitrariamente grande, la disuguaglianza aX
verificata in un intorno di +00
Per a > 1 la funzione esponenziale di base a è crescente e quindi risulta
aX
>M
x
---->
>M è
C
m
rr-
m
."
c:
Z
N
(5
> logaM
Z
L'intervallo (logaM; +00), insieme delle soluzioni, è un intorno di
grafico della funzione f(x) = aX è in FIGURA 33.
+00,
e perciò il limite è verificato.
Il
y
o<a<
1 --+Iimax=
a> 1 --+ lim aX= +co
+co
x~-oo
x~+oo
x
FIGURA 33
El Verificare
che I a>
1
----> x-----"+oo
lim
logax =
+00 I .
La funzione f(x) = logax è definita per x> O,
ossia in un intorno di +00 Procediamo come
nell'esempio 0, risolvendo la disequazione
o < a < 1 --+ lim
X~+CO
logax > M.
Per a > 1 la funzione logaritmica di base a è
crescente e quindi risulta
logax>
M
---->
---->
logax>
X>
logaaM
I09aX = -co
y = I09aX (a > 1)
---->
x
aM
L'intervallo (aM; +00), insieme delle soluzioni, è un intorno di +00, e perciò il limite
è verificato [FIGURA 34).
y = 109ax (O < a < 1)
I
I
a > 1 --+ lim I09aX
x------»+co
= +co
I~---------------------------------FIGURA 34
147
_
_
III Altri
casi di limite infinito per x che tende all'infinito
La definizione che abbiamo formulato nel PARAGRAFO 13 può essere opportunamente modificata per
considerare i casi in cui x tende, oltre che a +00, anche a -00 o 00, e i casi in cui f(x) tende a
+00, -00 o 00. Si possono presentare
nove casi, riassunti nella seguente tabella.
Iimf(x)
-00
+00
+00
x--;
-00
00
lim f(x) =-00
lim f(xl = +00
lim f(x) = 00
X_+oo
X-+oo
X-+oo
lim f(x) = 00
lim f(x) = -00
lim f(xl = +00
X--oo
X-----+-oo
lim f(x) = +00
00
=
X--+-oo
lim f(xl = -00
lim f(xl = 00
x~co
x~co
x~co
Ti lasciamo il compito, per esercizio, di formulare le relative definizioni.
cc
ii
ESEMPI
~
IlVerificare
O
che
3
I x-x
lim x
= 00
I
La funzione f(x) = x3 è definita per qualsiasi x E IRe quindi anche in ogni intorno di infinito. Dobbiamo
verificare che, qualunque sia il numero M > O, arbitrariamente grande, la disuguaglianza If(x)1 > M è
verificata in un intorno di infinito. Si ha
Ix 31 > M
---+
L'insieme delle soluzioni è (-00;
verificato.
El Verificare
X 3
<
-M
v
X 3
> M
---+
x
<-
ifM v
x >
ifM
-ifM) u (ifM; +00), che è un intorno di infinito; il limite è perciò
che
lim
X~-oo
X
a
= +00
l
La funzione f(x) = aX è definita per ogni x E IR e quindi anche in ogni intorno di -00.
Occorre verificare che, fissato un numero M> O, arbitrariamente grande, la disuguaglianza aX > M è
verificata in un intorno di -00.
Per O < a < l la funzione esponenziale di base a è decrescente e quindi risulta
aX
L'intervallo
(FIGURA
(-00;
>
M
---+
x
< logaM
logaM) , insieme delle soluzioni, è un intorno di -00 e perciò il limite è verificato
33)
Il Verificare
che
lim
x-+oc
logax = -00
l
La funzione f(x) = logax è definita per x> O, ossia in un intorno di +00. Risolviamo la disequazione
logax < -M, essendo M, come al solito, un numero positivo arbitrariamente grande
Per O < a < 1 la funzione logaritmica di base a è decrescente e quindi risulta
logax<-M
L'intervallo
(FIGURA
148
34)
(a-M;
---+
logax<logaa-M
---+
x>a-M
+00), insieme delle soluzioni, è un intorno di +00, e perciò il limite è verificato
I SEGNI DELL'INFINITO
Nel caso dell'esempio C, come puoi facilmente verificare, si ha lim x3 = +00 e lim x3 = -00. Ma non si
deve pensare che, se per x ---+ 00 una funzione tende a 00, allora necessariamente i suoi limiti per x ---+ +00 e
x ---+ -00 siano +00 e -00 o viceversa. Consideriamo infatti la seguente funzione, definita per x t= O
X---4+OO
X---4-00
...
se x ~ razionale
-x se x e Irrazionale
Si ha lim f(x) = 00, e come si può facilmente verificare, è lim f(x) = 00; ma in ogni intorno di +00 vi
sono sia numeri razionali per cui f(x) è positiva, sia numeri irrazionali per cui f(x) è negativa Perciò il limite di f(x) per x ---+ +00 non è né +00 né -00. Anal?gamente è anche lim f(x) = 00, ma il limite per
x ---+ -00 di f(x) non è né +00 né -00.
X~-co
f(x)
=
{x
X---4(X)
X--++oo
DEFINIZIONE GENERALIZZATA DI LIMITE
!::
Le definizioni di limite per x ---+ c o per x ---+ ±oo che abbiamo dato in precedenza, presuppongono che la
funzione sia definita in un intorno di c (escluso al più cl o in un intorno di ±oo. Queste definizioni si potrebbero però estendere al caso in cui c o ±oo sono punti di a'ccumulazione per il dominio della funzione.
In particolare la definizione di limite di una funzione per x ---+ +00 si può estendere al caso in cui ogni intorno di +00 contenga infiniti punti in cui la funzione è definita. Ciò accade, ad esempio, se il dominio di
una funzione è l'insieme rJ dei numeri naturali, ossia se la funzione è una successione.
s:
3
c
m
rrm
."
c:
Z
N
(5
Z
Il Limiti
m
delle successioni
Successioni convergenti
Una successione
e divergenti
numerica
è una funzione il cui dominio è l'insieme N dei numeri naturali. Poiché ogni intorno di +00 contiene
infiniti numeri naturali, +00 è un punto di accumulazione per N e quindi, in base alla definizione generalizzata di limite, possiamo considerare il limite di una successione per n
+00 .
----7
• Se
Se
Se
Se
lim
an = C si dice che la successione
lim
an = +00 si dice che la successione
è positivamente
divergente.
lim an = -00 si dice che la successione
è negativamente
divergente.
n--j.+oo
n----;.+oo
è convergente.
n----..+oo
lim
n---++oo
an = 00 si dice che la successione
Se non esiste il limite della successione
è divergente.
per n
----7
+00 si dice che la successione
è indeterminata.
ef(x) è una funzione il cui dominio contiene l'insieme N dei numeri naturali, possiamo associare a
essa la successione an = f (n), ossia la successione i cui elementi sono i valori che f (x) assume per
x = O, x = l ecc.
TIseguente teorema, intuitivamente
evidente, permette in molti casi di ricondurre il limite di una successione a quello di una funzione.
TEOREMA
Siaf(x) una funzione il cui dominio contiene N; se esiste il limite dif(x)
anche la successione an = f (n) ammette limite e si ha
lim
n-----t+oo
per x
----7
+00, allora
an = lim f(x)
X--Jo+OO
149
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