LIMITI DI UNA FUNZIONE
• PRIMI CONCETTI
• ESEMPI INTRODUTTIVI
• DEFINIZIONI
Prerequisiti :
- funzioni
- intorni
PRIMI CONCETTI
Il limite di una funzione è un concetto matematico che consente di studiare
l’andamento di una funzione nel suo dominio o in particolari punti non
necessariamente appartenenti ad esso.
LIMITI DI FUNZIONI 1/8
ESEMPI INTRODUTTIVI
ESEMPIO 2/3
ESEMPIO 1/3
x 1
f ( x) 
x
f ( x) 
Assegnando alla x i valori 1,
2, 3, 4, 5, … osserviamo che
i corrispondenti valori della
funzione tendono al numero
1 senza mai oltrepassarlo
x
1
2
3
f(x)
0
0,5
0,66
4
5
1
x 1
Assegnando alla x valori
prossimi a 1, la funzione
tende ad assumere valori
sempre più grandi
x
...
f(x)
0,75 0.8 ...
1,2 1,1 1,08 1,06 1,04 1,01 ...
5 10
12,5 16,6 25 100
?
?
Osservazione 1
Possiamo dire intuitivamente che la
funzione, per valori della x ≥ 1 , ha un
LIMITE che non può oltrepassare
...
Osservazione 2
Il valore x=1 non fa parte del dominio
della funzione
LIMITI DI FUNZIONI 2/8
ESEMPI INTRODUTTIVI
ESEMPIO 3/3
f ( x)  x
4+ε
ε
2
4
ε
Assegnando alla x valori
prossimi a c=2, la funzione
tende ad assumere valori
prossimi a 4
4-ε
Cosa
abbiamo
ottenuto?
2
x
f(x)
... 1,8
1,9
... 3,24 3,61
2
2,1
2,2 ...
4
4.41 4,84 ...
Un intorno H
del punto 2
?
Possiamo affermare che:
Osservazione 3
Comunque si scelga il numero
positivo ε, l’intorno di 4 ] 4 –ε, 4 +ε[
“determina” sempre un intorno H del
punto c=2
lim x 2  4
x 2
LIMITI DI FUNZIONI 3/8
DEFINIZIONI
Definizione 1 (limite finito in un punto finito)
Sia f una funzione definita in D e c un punto di accumulazione per D.
Si dice che la funzione f, per x tendente a c, ha per LIMITE il
numero l, e si scrive
lim f ( x)  
x c
quando, comunque si scelga un numero positivo ε, si può determinare un
intorno completo H di c tale che, per tutti i valori della x appartenenti
ad HD, escluso eventualmente c, risulti soddisfatta la disequazione:
|f(x)- l|< ε
cioè le disequazioni:
l – ε < f(x) < l + ε
l +ε
l
f(x)
l -ε
Notazione
lim f ( x )
x c
si legge: “limite per x che tende a c di f(x)”
x
c
H
LIMITI DI FUNZIONI 4/8
Definizione 2 (limite infinito in un punto finito)
Sia f una funzione definita in D e c un punto di accumulazione per D.
Si dice che la funzione f, per x tendente a c, ha per LIMITE
l’infinto, e si scrive
lim f ( x)  
x c
quando, comunque si scelga un numero positivo M, si può determinare un
intorno completo H di c tale che, per tutti i valori della x appartenenti
ad HD, escluso eventualmente c, risulti soddisfatta la disequazione:
|f(x)| > M
cioè le disequazioni:
f(x) < -M f(x) > M
In particolare, se vale:
f(x)
M
c
f(x) > M
allora
f(x) < -M allora
lim f ( x)  
x c
lim f ( x)  
x
-M
H
x c
LIMITI DI FUNZIONI 5/8
Definizione 3 (limite finito in un punto all’infinito)
Sia f una funzione definita in D illimitato.
Si dice che la funzione f, per x tendente all’infinito, ha per LIMITE
l, e si scrive
lim f ( x )  
x 
quando, comunque si scelga un numero positivo ε, è sempre possibile
determinare un numero N>0 tale che, per tutti i valori della x tali che
\x\>N ( ovvero x < -N o x > N )
risulti soddisfatta la disequazione:
|f(x)- l|< ε
l +ε
cioè le disequazioni:
f(x)
l – ε < f(x) < l + ε
l
Se la dis. è verificata da:
x>N
allora
x < -N allora
lim f ( x)  
-N
l -ε
N
x
x  
lim f ( x)  
x  
LIMITI DI FUNZIONI 6/8
Definizione 4 (limite infinito in un punto all’infinito)
Sia f una funzione definita in D illimitato.
Si dice che la funzione f, per x tendente a , ha per LIMITE
l’infinto, e si scrive
lim f ( x)  
x 
quando, comunque si scelga M > 0, si può determinare N > 0 tale che,
per tutti i valori della x tali che
\x\>N
risulti soddisfatta la disequazione:
|f(x)| > M
f(x)
M
cioè le disequazioni:
f(x) < -M f(x) > M
-N
N
x
-M
LIMITI DI FUNZIONI 7/8
Definizione 5 (limite infinito in un punto all’infinito)
Nelle condizioni della precedente definizione, possiamo considerare i
seguenti casi particolari:
se per ogni
risulta
allora
grafico
x>N
f(x) > M
lim f ( x)  
x>N
f(x) < - M
x  
lim f ( x)  
x  
x<-N
f(x) > M
x < -N
f(x) < -N
lim f ( x)  
x  
lim f ( x)  
x  
LIMITI DI FUNZIONI 8/8