LIMITI DI UNA FUNZIONE
• PRIMI CONCETTI
• ESEMPI INTRODUTTIVI
• DEFINIZIONI
PRIMI CONCETTI
Il limite di una funzione è un concetto matematico che consente di studiare
l’andamento di una funzione nel suo dominio o in particolari punti non
necessariamente appartenenti ad esso.
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ESEMPI INTRODUTTIVI
ESEMPIO 1
x 1
f ( x) 
x
Assegnando alla x i valori 1,
2, 3, 4, 5, … osserviamo che
i corrispondenti valori della
funzione tendono al numero
1 senza mai oltrepassarlo
x
1
2
3
f(x)
0
0,5
0,66
4
5
...
0,75 0.8 ...
Osservazione 1
Possiamo dire intuitivamente
che la funzione, per valori
della x ≥ 1 , ha un LIMITE
che non può oltrepassare
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ESEMPIO 2
1
f ( x) 
x 1
Assegnando alla x valori
prossimi a 1, la funzione
tende ad assumere valori
sempre più grandi
x
f(x)
1,2 1,1 1,08 1,06 1,04 1,01 ...
5 10
12,5 16,6 25 100
...
Osservazione 2
Il valore x=1 non fa parte del
dominio della funzione
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ESEMPI INTRODUTTIVI
4+ε
ESEMPIO 3
f ( x)  x
ε
2
4
Assegnando alla x valori
prossimi a c=2, la funzione
tende ad assumere valori
prossimi a 4
ε
4-ε
Cosa
abbiamo
ottenuto?
2
x
f(x)
... 1,8
1,9
... 3,24 3,61
2
2,1
2,2 ...
4
4.41 4,84 ...
Osservazione 3
Comunque si scelga il numero positivo ε,
l’intorno di 4 ( 4 –ε, 4 +ε) “determina”
sempre un intorno H del punto c=2
Un intorno H
del punto 2
Possiamo affermare che:
lim x 2  4
x 2
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lim f(x)  
•COSA VUOL DIRE (in generale) LA SCRITTURA :
x c
?
Vuol dire che, comunque fisso un intorno  di l , esiste in corrispondenza
ad esso un intorno H di c, tale che, comunque scelgo x in H (con xc),
f(x) appartiene a

(In sostanza se “ci muoviamo” in un intorno di c, f(x) “si muove” in un intorno di l)
•Perché esistono tante definizioni di limite?
c ed l , nella definizione generica non vengono specificati ma nella pratica,
possono essere valori finiti o infiniti.
Specificando i loro valori si ottengono 4 possibilità
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1)limite finito in un punto :
lim f ( x)  
x c
2)limite infinito in un punto : lim f ( x)  
x c
3)limite finito in un punto all’infinito :
lim f ( x )  
x 
4)limite infinito in un punto all’infinito :
lim f ( x)  
x 
Questo spiega le diverse definizioni: dovendo parlare di INTORNI di
punti al finito o all’infinito, è diversa la simbologia, e di conseguenza la
terminologia, per indicarli.
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DEFINIZIONI
Definizione 1 (limite finito in un punto)
Sia f una funzione definita in D e c un punto di accumulazione per D.
Si dice che la funzione f, per x tendente a c, ha per LIMITE il
numero l, e si scrive
lim f ( x)  
x c
quando, comunque si scelga un numero positivo ε, si può determinare in
corrispondenza ad esso, un intorno completo H di c tale che, per tutti i
valori della x appartenenti ad H, escluso eventualmente c, risulti
soddisfatta la disequazione:
|f(x)- l |< ε
cioè le disequazioni:
l – ε < f(x) < l + ε
l +ε
l
f(x)
l -ε
Notazione
lim f ( x )
x c
si legge: “limite per x che tende a c di f(x)”
x
c
H
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Definizione 2 (limite infinito in un punto)
Sia f una funzione definita in D e c un punto di accumulazione per D.
Si dice che la funzione f, per x tendente a c, ha per LIMITE
l’infinto, e si scrive
lim f ( x)  
x c
quando, comunque si scelga un numero positivo E, si può determinare un
intorno completo H di c tale che, per tutti i valori della x appartenenti
ad H, escluso eventualmente c, risulti soddisfatta la disequazione:
|f(x)| > E
cioè le disequazioni:
f(x) < -E f(x) > E
In particolare, se vale:
f(x)
E
c
f(x) > E
allora
f(x) < -E allora
lim f ( x)  
x c
lim f ( x)  
x
-E
H
x c
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Definizione 3 (limite finito in un punto all’infinito)
Sia f una funzione definita in D illimitato.
Si dice che la funzione f, per x tendente all’infinito, ha per LIMITE
l, e si scrive
lim f ( x )  
x 
quando, comunque si scelga un numero positivo ε, è sempre possibile
determinare un numero K>0 tale che, per tutti i valori della x tali che
\x\> K ( ovvero x < -K o x > K )
risulti soddisfatta la disequazione:
|f(x)- l |< ε
l +ε
cioè le disequazioni:
f(x)
l – ε < f(x) < l + ε
l
Se la dis. è verificata da:
x > K allora
x < -K allora
lim f ( x)  
-K
l -ε
K
x
x  
lim f ( x)  
x  
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Definizione 4 (limite infinito in un punto all’infinito)
Sia f una funzione definita in D illimitato.
Si dice che la funzione f, per x tendente a , ha per LIMITE
l’infinto, e si scrive
lim f ( x)  
x 
quando, comunque si scelga E > 0, si può determinare K > 0 tale che, per
tutti i valori della x tali che
\x\>K
risulti soddisfatta la disequazione:
|f(x)| > E
f(x)
E
cioè le disequazioni:
f(x) < -E f(x) > E
-K
K
x
-E
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Definizione 4 (limite infinito in un punto all’infinito)
Nelle condizioni della precedente definizione, possiamo considerare i
seguenti casi particolari:
se per ogni
risulta
allora
x>K
f(x) > E
lim f ( x)  
x>K
f(x) < - E
grafico
x  
lim f ( x)  
x  
x<-K
f(x) > E
x < -K
f(x) < -E
lim f ( x)  
x  
lim f ( x)  
x  
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