Teoria dei Sistemi Dinamici
01GTG - 02GTG
Esame del 29/01/2008
Cognome e Nome
Numero di Matricola
Esercizio 1 – Sistema meccanico (33 punti)
Si consideri il sistema meccanico planare schematizzato nella Fig. 1, composto da una slitta A
di massa m che trasla di moto verticale ed è ancorata alla base da una molla elastica lineare di
coefficiente k. L’attrito sulle guide della slitta è modellato dal coefficiente β. La massa A regge
un braccio B1 di lunghezza h e massa trascurabile, che porta all’estremità un giunto di rotazione
G a cui è collegato un secondo braccio B2 di lunghezza h e di massa trascurabile, che porta alla
sua estremità una massa puntiforme M . Questo braccio è libero di ruotare nel piano verticale.
Utilizzando le coordinate generalizzate qi (t) indicate sul disegno, ricavare le equazioni di Lagrange.
Esercizio 2 – Sistema elettrico (33 punti)
È data la rete elettrica rappresentata in Fig. 2
Scrivere le equazioni di Lagrange utilizzando l’approccio in carica e le correnti di maglia
indicate sul disegno. Utilizzare altre correnti comporta una penalizzazione di 10 punti.
Esercizio 3 – Dinamica (33 punti)
Il sistema elettro-meccanico planare schematizzato in Fig. 3, è composto da una massa m che si
può muovere su tutto il piano verticale. Un cavo rigido e inestensibile, ma flessibile, collega la
massa m, attraverso una carrucola di rinvio, alla superficie superiore di un condensatore piano,
che è libera di muoversi solo verticalmente, sotto l’influenza combinata della gravità, della forza
trasmessa dal cavo (dovuta al moto della massa m) e dell’attrazione elettrostatica tra le superfici
del condensatore. La superficie superiore del condensatore ha massa M .
La lunghezza del cavo è tarata in modo che in ogni istante r = x(t); inoltre non vi sono fenomeni
elastici e tutto l’attrito (carrucola + slitta del condensatore) è modellabile dal coefficiente β.
Dato un generatore ideale di tensione E(t) che alimenta il condensatore di capacità
C(x) =
C0
x(t) + `
dove C0 e ` sono costanti note, ricavare le equazioni di Lagrange.
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Figura 1: Il sistema meccanico planare (Esercizio 1).
Figura 2: la rete elettrica (Esercizio 2).
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Figura 3: Il sistema elettro-meccanico (Esercizio 3).
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