Dinamica dei sistemi di punti
Sistema di punti materiali:


Forze interne: forze dovute a particelle che fanno parte del
sistema di punti materiali
Forze esterne: forze dovute a particelle che non fanno parte del
sistema di punti materiali
 in
 est
F i   F j ,i
n
j i

dpi

dt
L. Newton
n 
 est

in
F i   F j ,i  mi ai
j i
i=1,2..n
1
Centro di massa
Si definisce centro di massa di un sistema di punti il punto
geometrico la cui posizione è individuata, nel sistema di riferimento
considerato, dal raggio vettore:
n

z
n
m
r

i i

M  mi
i 1
r
=
CM
P1
i 1
M

r1
rCM
r2
n
m x
P2
x CM =
r2
i 1
n
P3
y CM =
i
i 1
n
i
M
m y
y
r3
i
i
M
m z
x
z CM =
i i
i 1
M
2
Centro di massa
Si trovi il centro di massa di un sistema costituito da tre punti
materiali m1: 2 kg nell’origine, m2 = 4 kg sull’asse y in y = 3 m e
m3= 6 kg sull’asse x in x = 4m
m2
m1
m3
3
Ancora sul Centro di Massa
La posizione del centro di massa non dipende dal sistema di
riferimento, mentre le sue coordinate invece variano a seconda del
sistema.

 mi ri
n

 =
rCM
i 1
M

 mi (ri  OO)
n

i 1
M

 mi ri
n

i 1
M

 OO  rCM  OO
4
Velocità del centro di massa

Se i vari punti materiali si muovono, anche il centro di massa si
muoverà con velocità:

n
 
 n
dri
mi
  mi ri 


n


dr
d  i 1
dt
i 1
  1 d 
v CM  CM 
m
r




i i


dt
dt
M
M
dt
M
 i 1
 



perchè la derivata si può
per definizione


distribuir
somma
 e perchè me sulla
i è costante
perchè

m
v
 i i
n
i 1
M

P
 T
M
1
è costante
M
La quantità di moto totale del sistema
coincide con quella del CM!!


Mv CM  PT
5
Dinamica dei sistemi non isolati
a CM
dv CM

dt
per defin izion e
n
 n

dvi
m
v
m
i
i i 
n

dt

1 d 
d i1
i 1

m i vi  

 
 
M
M dt  i1
M
dt



perchè la deriv ata si p uò
distribuire sulla so mma


e perchè m è costan te


1
è co stan te
perchè
M

n
m a
i
i
i1
M
i
n
 interne  n  esterne n
 interne
  esterne


   Fi
MaCM   mi ai    Fi
  F j ,i
 Fj ,i

i 1
i 
j i
i 1 j  i
 i 1
 esterne

MaCM  R
Teorema del moto del CM: il CM si muove come un punto
materiale in cui sia concentrata tutta la massa del sistema e a
cui sia applicata la risultante delle forze esterne.
6
Quantità di moto del centro di massa
 esterne
R



dv CM d ( Mv CM ) dPT
M


dt
dt
dt
La risultante delle forze esterne è pari alla derivata
rispetto al tempo della quantità di moto totale del
sistema.
 int
F  0
7
Dinamica dei sistemi isolati
Se il sistema è isolato ossia non si sono forze
esterne che agiscono…


Mv CM  PT  cost
 est
R  0

v CM cost
nel sistema inerziale
…la quantità di moto TOTALE del sistema rimane costante
in modulo, direzione e verso. La quantità di moto delle
singole particelle agenti sul sistema possono variare.
Nel sistema CM la quantità di moto totale è nulla.
*
*
Mv CM  P T  0
8
Esempio
Supponiamo che durante l’esplosione le forze
siano solo interne: la forza peso sia trascurabile
Px  cost  0 
m1v1  m 2 v 2  0
x1
x2
m1
 m2
0
t
t
v CMx  0
Il CM cade verticalmente
x1
v1 
t
x2
v2 
t
m1x1  m2 x 2
x CM
x1m1  x 2 m 2
0
0
M
9
Momento angolare
Per un sistema di particelle il momento L rispetto
al polo O (in un sistema di riferimento inerziale):


 dl1
 dl2
1 
e 2 
dt
dt


L   li
N
i 1
 
  d (l1  l2 )
1   2 
dt
z
F1
P1
F2
r1
P2
r2
r2
x
 




 1   2  r1  ( F1  F12 )  r2  ( F2  F21 )



   
 
 1   2  r1  F1  r2  F2  (r1  r2 )  F12


10
Momento delle forze interne…

F2,1

r2
O
2

r1
1

F1, 2
 
 
 1   2  r1  F1, 2  r2  F2,1 

 
 (r1  r2 )  F2,1  0

 
(r1  r2 ) // F2,1
 int
 int
11
Momento angolare e torcente
 N
  EXT
dL
  i  
dt i 1
Il momento torcente totale dovuto alle forze esterne che agiscono
sul sistema di particelle è uguale alla variazione temporale del
momento angolare del sistema stesso, entrambi calcolati rispetto al
medesimo polo fisso nel sistema di riferimento inerziale scelto per
studiare il moto (o rispetto al CM).
12
Se
Conservazione del momento angolare
 N
  EXT
dL
  i  
dt i 1


d
L
 EXT
 0  L costante

0
dt
 Se il sistema è isolato il momento angolare tot. del sistema si
conserva rispetto a qualunque polo.
 Se il momento delle forze esterne è nullo rispetto ad un
determinato polo (anche in presenza di forze esterne) il momento
angolare si conserva se calcolato rispetto a quel polo.
Il momento angolare di ogni singola particella invece può
variare, a causa delle forze interne.
13
Esempio
Sia 0 il polo
m1  m2
 EXT


 0  LT  cost
i i
f
f
L1  L 2  L 1  L 2
mr1 1  mr1 1  mr2 2  mr2 2 
2
2
2
2
2
r1
2  2 1
r2
14
Momento angolare rispetto ad un polo mobile
z
F1
P1
r1
F2
O’
’


dL  EXT 

 v O  Mv CM
dt
P2
r2
r2
x


v O  Mv CM  0

O ' fisso v O  0

v CM  0


O ' coincide con CM v O  v CM


v O // v CM
15
Teorema di Koning per il momento angolare
 *


L  L  MrCM  vCM
M. Angolare del CM
M. Angolare nel sist. inerziale
M. Angolare rispetto al CM
Dim



* 
* 
L   ri  mi v i  (ri  rCM )  mi (v i  v CM ) 
i
i
*
*
*


*


  ri  mi v i   ri  mi v CM   rCM  mi v i   rCM  mi v CM
i
i
0
i
i
0
16
Teorema di Koning per l’energia cinetica
EK  E
*
K
1 2
 Mv CM
2
2
* *
1
1
EK   mi v i   mi (v i  v CM ) 
2 i
2 i
* 2 1
*
* *
1
2
  mi (v i )   mi (v CM )   mi v i  v CM
2 i
2 i
i
0
17
Teorema delle forze vive
   ext
  int 
dLi  Fi  dri  F i  dr  F i  dr
 int
 int


L   ( F ij  drj  F ji  dri ) 
int
ij
Ltot  Lext  Lint
Ltot  EK
 int


  F ij  (drj  dri )  0
ij
EK  U  Lint
Lext  U
Se le forze esterne sono
conservative
18