Meccanica 7
28 marzo 2011
Corpi estesi. Forze interne al sistema
Centro di massa e suo significato dinamico
1° eq. cardinale. Conservazione della quantita` di moto
Sistemi continui. Densita` di materia
Massa inerziale definita indipendentemente dal peso
Momento angolare e di forza. Cambio di polo
Coppia di forze
Momento delle forze interne
Sistema di forze parallele. Centro di forza
Sistemi di punti
• Finora abbiamo considerato sistemi formati
da un solo punto materiale
• Ora considereremo sistemi formati da più
punti materiali
• Accanto alle forze che si esercitano tra il
sistema e l’ambiente, dette forze esterne
(rispetto al sistema) abbiamo ora forze che si
esercitano tra punti appartenenti al sistema,
dette pertanto forze interne
2
Forze interne ed esterne
• Per ogni punto i del sistema diciamo Fi la
forza totale agente sul punto
• Questa puo` essere pensata come somma di
due termini, uno dovuto alle forze interne al
sistema e uno dovuto a quelle esterne
 I E
Fi  Fi  Fi
• Sia le forze interne che esterne possono
essere conservative o dissipative
3
Risultante delle forze interne
• Abbiamo un primo importante teorema: la risultante
di tutte le forze interne di un sistema e` nulla
I
 Fi  0
i
• Questo e` conseguenza del 3o principio della
dinamica: ad una forza f ijI agente sul punto i e 
dovuta al punto j, corrisponde la forza coniugata f jiI
uguale e opposta alla precedente
• La risultante della coppia e` zero e quindi la somma
delle risultanti e` pure zero
I
 Fi 
i 1,... n


i 1,... n j  i
I
 I
 I
 I
f ij   f1 j   f 2 j  ...   f nj 
j 1
 
j 2
j n


 I  I
 I
 I  I
 I
 I  I

I
 f12  f13  ...  f1n  f 21  f 23  ...  f 2 n  ...  f n1  f n 2  ...  f n ( n 1)
4

Grandezze meccaniche del
sistema
• Per ogni punto Pi del sistema possiamo definire le
grandezze meccaniche QM, momento angolare,
energia cinetica
• Possiamo ora definire le corrispondenti grandezza
meccaniche del sistema come somma delle
grandezze dei punti componenti
– Massa: M   mi



i
P   pi   mi vi
– QM:




i
i
L   Li   ri  mi vi
– Momento angolare:
i
i
– Energia cinetica: K   K i   1 mi vi2
i
i 2
5
Centro di massa
Media dei raggi
vettori pesata
sulle masse dei
punti
• E` un punto ideale dello spazio la cui
i mi ri
posizione e` definita da 
rCM 
m
i
i
• Attenzione che questa e` un’uguaglianza
vettoriale
• Cio` significa che le coordinate del CM (p.e.
in un sistema cartesiano) sono
m x

m
i i
xCM
i
i
i
m y

m
i
yCM
i
i
i
i
m z

m
i i
zCM
i
i
i
6
Velocita` del CM
• Calcoliamo la velocita`
del CM


vCM
dri
mi


dr
dt
 CM  i

dt
 mi
i

 mi vi

P
i

 mi M
Media delle
velocita` pesata
sulle masse dei
punti
i
• Ne deriva l’importante teorema: la QM
di un sistema e` uguale alla QM del CM,
considerato come un punto materiale di
massa M e velocita` vCM


P  MvCM
7
Accelerazione del CM
• Calcoliamo l’accelerazione
del CM


aCM
dvi
mi


dv
dt
 CM  i

dt
 mi

 mi ai
i
M
Media delle
accelerazioni
pesata sulle
masse dei punti
i
• Ricordiamo la 2a legge della dinamica
per il punto generico i
  I E
mi ai  Fi  Fi  Fi
• e introduciamola nell’equazione
precedente
8
Moto del CM


• Troviamo
i
i
• L’ultima uguaglianza deriva dal fatto che la
risultante delle forze interne e` nulla
• D’altra parte
I E
I E E


MaCM   mi ai   Fi  Fi  F  F  F

MaCM




 dP
dv
dp
d
  mi ai   mi i   i   pi 
dt
dt dt i
dt
i
i
i
9
Prima equazione della
dinamica dei sistemi
• Abbiamo ottenuto l’importante
teorema:


dP  E
MaCM 
F
dt
• Il CM si muove come un punto materiale in
cui sia concentrata tutta la massa del sistema
e a cui sia applicata la risultante delle forze
esterne
• Prima equazione della dinamica dei sistemi
• O prima equazione cardinale della dinamica
10
Proprieta` del CM
• Come risulta dalle definizioni di
posizione, velocita` e accelerazione del
CM, questo punto ci da` informazioni
sulle proprieta` medie del sistema ma
nulla ci dice sul moto dei singoli punti
11
Distribuzione continua di massa
• Come sappiamo la materia è suddivisibile in unità
discrete, gli atomi e le molecole
• Nel volume occupato da un corpo macroscopico,
c’è un numero estremamente grande di tali
costituenti elementari
• Si può allora ritenere con buona approssimazione
che entro questi corpi la massa sia distribuita con
continuità
• Questa assunzione permette di applicare i metodi
del calcolo differenziale e integrale
• Introduciamo a tale scopo una nuova grandezza
12
Densità di massa
omogenea
• Massa distribuita in un
volume
– Densità spaziale
• Massa distribuita su di
una superficie
– Densità superficiale
• Massa distribuita lungo
una linea
– Densità lineare
• Dimensioni della densità
   ML
3
   ML
2

M

V
M

A
M

l
1 
  ML
generale
dM

dV
dM

dA
dM

dl
13
Distribuzione continua di massa
• Viceversa si può trovare
la massa:
– in un volume V
M   dV
V
– su di una superficie S
M
 dA
S
M
– lungo una linea L

 dl
L
14
Centro di massa in un corpo
continuo

rCM 

 mi ri
• Riprendiamo la definizione di CM
i mi
• Per un corpo con distribuzione continua
di materia bastera` sostituire le
sommatorie con integrali e le masse
elementari con masse infinitesime

rCM 

 r dm
corpo
 dm

1
M
i

r
 dm
corpo
corpo
15
Centro di massa in un corpo
continuo
• Ove abbiamo indicato con M la massa totale
del corpo M   dm
corpo
• Le masse infinitesime sono contenute in
volumi infinitesimi dm  dV
• Se la densita` e` uniforme, gli integrali si
riducono a integrali puramente geometrici

rCM 

r
 dm
corpo
 dm
corpo


r
 dV
corpo
 dV
corpo

r
 dV


corpo

 dV
corpo


r
 dV
corpo
 dV

1 
r dV

V corpo
corpo
16
CM di sottoinsiemi e CM globale
• Cerchiamo il CM di un
corpo non connesso
1
2
1

 1 


rCM   mi ri    mk rk   m j rj 
j
M i
M k

• La prima sommatoria si riferisce al corpo 1 (di massa
M1), la seconda al corpo 2 (di massa M2)
1  M1

 M2
  M1  1
  M2  1






rCM  
k mk rk  j m j rj    k mk rk    j m j rj 
M  M1
M2
 M  M1
 M  M2

17
CM di sottoinsiemi e CM globale
• La prima parentesi contiene il CM del corpo 1 e la
seconda quella del corpo 2


M r  M 2 rCM 2

rCM  1 CM 1
M
• Quindi il CM globale e` il CM dei due sottoinsiemi
18
CM di due corpi puntiformi
1
r2
• Siano M e m le masse
• Prendiamo come origine la posizione di uno dei due
corpi (l’1 p.e.) allora r1=0
2


Mr1  mr2
m 

rCM 

r2
M m
M m
• Quindi il CM giace sulla congiungente dei due punti e
la sua distanza da essi e` inversamente
proporzionale alle loro masse
19
CM di due corpi puntiformi
  
• Detto r  r2  r1
i vettori posizione dei due corpi rispetto al CM
si possono scrivere
m 
M 


r1  
r
r2 
r
M m
M m
1
r1
CM
r2
2
20
Corpi con alta simmetria
• Se un corpo e` simmetrico rispetto ad
un punto, un asse o un piano, il CM
giace nel punto, sull’asse o sul piano,
rispettivamente
• Se esistono piu` assi o piani di
simmetria, il CM si trova nella loro
intersezione
21
Conservazione della QM
• Se il sistema e` isolato, o le forze esterne
E
hanno risultante nulla, e quindi F  0 , la QM


si conserva dP
dt
0
P  const.
• In tal caso il CM si muove di moto rettilineo

P
uniforme
vCM 
M
• Attenzione: la QM dei singoli punti puo`
cambiare nel tempo, e` la loro somma che
rimane costante
22
Conservazione solo in alcune
direzioni

dP  E
F
dt
• La legge
• E` una legge vettoriale, per cui puo`
accadere che la risultante delle forze
esterne, pur non essendo nulla, abbia
una o due componenti nulle
• In tal caso la QM si conserva nelle
direzioni corrispondenti
dPk
E
 Fk  0
dt
Pk  const.
23
Massa inerziale
• La conservazione della QM permette di
definire la massa dinamicamente, senza
riferimento al peso
• Consideriamo un sistema costituito da due
corpi fermi e da una molla compressa di
massa trascurabile che li collega
• Lasciando espandere la molla, la QM del
sistema non varia, poiche’ l’unica forza in
gioco, quella della molla, e` interna al sistema
24
Massa inerziale
• Quando la molla ha finito di espandersi


m1v1  m2v2  0
• Passando ai moduli
v1
m2  m1
v2
• Cioe` e` possibile misurare la massa di un
corpo qualunque, rispetto ad un corpo
campione, attraverso misure di velocita`
25
Massa inerziale
• Analizzando l’urto tra due corpi, Newton
arrivo` alla conclusione che nell’urto tra due
corpi isolati, la variazione di velocita` di uno
e` in rapporto costante con la variazione
dell’altro
26
Velocita` iniziali Velocita` finali
Massa inerziale
• Newton estese poi la conclusione ad altri tipi
di interazione, ad esempio quella elastica
(dovuta ad una molla di massa trascurabile)
27
Massa inerziale
• In ogni interazione tra due punti materiali
isolati, il rapporto delle rispettive variazioni di
velocita` ha sempre lo stesso valore e non
dipende dal tipo di interazione
v1
  k12
v2
• k12 dipende solo dalla coppia di punti
• (Poiche’ le variazioni di velocita` hanno segno
opposto, il segno negativo serve per rendere
k12 positiva)
28
Massa inerziale
• Se si assegna arbitrariamente una massa m1
ad uno dei due punti, la massa m2 dell’altro
puo` quindi essere definita con riferimento al
m2
k

primo
12
m1
• Sostituendo nella relazione precedente
abbiamo un modo operativo di misura della
massa inerziale
m2
v
 1
m1
v 2
29
Momento angolare
• Supponiamo di essere in un sistema inerziale
• Il momento angolare totale di un sistema di
punti {Ai} rispetto al polo fisso O e`

 
LO   ri  pi
i
• Vogliamo trovare come cambia il momento
angolare se lo calcoliamo rispetto ad un altro
polo Q
pi
Ai
O
ri
30
Momento angolare
• In generale non e`
necessario che il polo Q sia
fisso, potendo questo
muoversi di moto arbitrario
pi
Ai ri’
Q
ri
O
• L’espressione del
momento angolare

' 
L

r
rispetto a Q e` Q  i  pi
i
• La relazione tra le distanze di Ai dai due
  
poli e`
ri '  ri  rQ
• Ove rQ(t) e` la distanza (orientata e
dipendente dal tempo) tra i poli
rQ
Notare che la
QM e` sempre
quella relativa
al sistema
inerziale
31
Momento angolare
• Il calcolo del momento da`

 
 

LQ   ri '  pi   ri  rQ  pi 
i
i
 
 
 

  ri  pi   rQ  pi  LO  rQ   pi 
i
i
 

 LO  rQ t  P
i
• Il momento dipende dunque dal polo scelto, a
meno che la QM non sia nulla
32
Momento delle forze
• Il momento risultante di tutte le forze agenti
sul sistema di punti {Ai} rispetto al polo fisso
O e`

 
 O   ri  Fi
i
• Similmente a quanto fatto per il momento
angolare, vogliamo trovare come cambia il
momento delle forze se lo calcoliamo rispetto
al polo (che puo` essere mobile) Q
33
Momento delle forze
• L’espressione del momento delle
forze


'
 Q   ri  Fi
rispetto a Q e`
i

• Il calcolo da` 
' 
 
 Q   ri  Fi   ri  rQ  Fi 
i
i

 
   
  ri  Fi   rQ  Fi   O  rQ   Fi 
i
i

 
  O  rQ t  F
i
• Ove F e` la risultante delle forze: a meno che
questa non sia nulla, il momento dipende dal
polo
34
Coppia di forze
• Un caso particolare importante e` quello
di due forze uguali e opposte (non
agenti sulla stessa retta)
• In tal caso la risultante e` nulla e il
momento e` indipendente dal polo
F
scelto
2
       
 O  r1  F1  r2  F2  r1  F1  r2  F1 
 

 
 r1  r2  F1  r12  F1
r12

F1
r2
r1
O
35
Coppia di forze
• Il momento risultante e` un vettore
perpendicolare al piano individuato dalle
forze e dal vettore r
F
• Il modulo e`

r b
12
2

 
 O  r12 F1 sin   F1b
O
12
F1

• Ove b e` il braccio della coppia, ovvero
la distanza tra le rette d’azione delle
due forze
36
Momento delle forze
• Approfondiamo l’argomento considerando il
momento delle forze interne e il momento
delle forze esterne, per un polo generico,
fisso o in moto
 
 I
  E I E
 O   ri  Fi   ri  Fi   ri  Fi   O   O

i
i
i
• Dimostriamo ora un importante risultato
valido per il momento delle forze interne
37
Momento delle forze interne
• Gli addendi della sommatoria
 I
 O   ri  Fi
I
i
• si possono raggruppare in coppie coniugate
secondo il 3o principio della dinamica
• Il momento relativo a una qualunque di tali
I  I


coppie e`  ij  ri  f ij  rj  f ji
fij
e poiche’ le due forze sono uguali
ed opposte ij  ri  rj  fijI
ri
fji
rj
O
38
Momento delle forze interne
• La differenza dei raggi vettori ha la direzione
della congiungente i due punti e poiche’ anche
le forze di interazione hanno questa direzione,
Altrimenti il
ne segue

 ij  0
momento
non sarebbe
nullo
• Il momento totale delle forze interne risulta
quindi nullo perche’ e` somma di termini tutti
fij
nulli
I 1

O 


2
i
j i
ij
0
ri-rj
ri
fji
rj
O
39
Momento delle forze
• Visto in altro modo, abbiamo l’importante
risultato che, per un polo arbitrario, il
momento delle forze e` uguale al solo
momento delle forze esterne

E
O O
• Questo deriva da due proprieta` della 3a
legge della dinamica:
– Le forze di interazione sono uguali ed opposte
– Le forze hanno la stessa retta d’azione
40
Sistema di forze parallele
• Sia u il versore che individua la
direzione delle forze
• La risultante delle forze risulta parallela


a u F   Fi   Fiu    Fi u  Fu
i
i
 i

• Il momento risultante delle forze rispetto
ad un polo O
 



    
 O   ri  Fi   ri  Fi u    ri Fi  u     ri Fi   u
 i

i
i
i

41
Sistema di forze parallele

• Introduciamo il centro delle forze parallele rC 
• Si dimostra facilmente che la posizione del
centro non dipende dal polo scelto
• Per il momento di forza otteniamo dunque

 ri Fi
i
F
i
i

 
 
  
 O   ri Fi  u  rC F  u  rC  Fu   rC  F

i
• Questo significa che un sistema di forze
parallele e` equivalente alla forza risultante F
applicata nel centro di forza
42
CM e peso
• Consideriamo un corpo (p.e. continuo) sottoposto alla
forza peso: la risultante di tutte le forze peso agenti

su ciascun elemento del corpo e` P  gdm  Mg

corpo
• Il centro delle forze peso e` detto centro di gravita` e



coincide con il CM
 ri Pi  ri mi g  ri mi

rCG 
i
P
i
i

i
m g
i
i

i
m

 rCM
i
i
• La forza risultante (il peso) e` applicata a tale punto
43
CM e peso
• Rispetto ad un polo fisso, il momento
risultante e`



 

 
 
   
   r  dP   r  gdm    r dm   g  MrCM  g  rCM  Mg  rCM  P
corpo
corpo
 corpo 

• ovvero e` uguale al momento della
risultante rispetto allo stesso polo
44
Sistema di forze qualsiasi
• Un sistema di forze non parallele,
applicate in punti diversi, non puo`
essere rappresentato, in generale, dalla
sola risultante delle forze F
• C’e` bisogno di introdurre anche il
vettore risultante dei momenti di forza 
• Detto in altro modo i vettori F e  sono
indipendenti fra loro
45
Sistema di forze qualsiasi
• Vale il seguente risultato, che non
dimostreremo
• Scelto un polo, un sistema di forze (applicate
in punti diversi) e` equivalente ad una forza
(uguale alla risultante delle forze) la cui retta
d’azione passi per il polo e ad una coppia di
momento uguale al risultante dei momenti
rispetto al polo
46