Meccanica 8
31 marzo 2011
Teorema del momento angolare. 2° eq. Cardinale
Conservazione del momento angolare
Sistema del centro di massa. Teoremi di Koenig
Lavoro, energia cinetica, potenziale e meccanica per un corpo esteso
Energia propria e interna
Teorema del momento angolare
• Abbiamo visto nel caso di un solo punto
materiale, che, se il polo e` fisso e il sistema
di riferimento e` inerziale, il teorema del
momento angolare e`

dLO 
O
dt
2
Teorema del momento angolare
• Generalizziamo questo teorema al caso di un
sistema di piu` particelle e polo fisso

 
• Deriviamo rispetto al tempo LO   ri  pi
i
• Otteniamo


 

 dpi
dLO d
dri
  ri  pi    mi vi   ri 

dt
dt i
dt
i dt
i


 

  vi  mi vi   ri  Fi  0   O
i
• Cioè di nuovo
i

dLO 
O
dt
3
Teorema del momento angolare
• Generalizziamo ora al caso di un sistema di piu`
particelle e di un polo mobile
• Deriviamo rispetto al tempo l’equazione che lega il
MA calcolato rispetto ad un polo fisso O e un polo

  
mobile Q
LQ  LO  rQ  P
• Otteniamo






dLQ dLO d 
 drQ
 dP


rQ  P   O 
 P  rQ 

dt
dt dt
dt
dt




 

 

  O  vQ  P  rQ  F   O  rQ  F  vQ  P




4
Teorema del momento angolare
• Ricordando che l’espressione tra parentesi è
il momento rispetto al polo mobile Q,

otteniamo
dLQ   
dt
  Q  vQ  P
• Espressione che differisce per la presenza
del secondo termine da quella trovata per il
polo fisso
• Ovviamente si ritrova quella equazione se
anche Q è fisso: in tal caso il secondo
termine è nullo
5
Teorema del momento angolare
• Esistono però altri casi in cui le equazioni per
il polo mobile e per il polo fisso sono uguali
• Il caso più importante è quello in cui il polo
coincide con il CM del sistema, in tal caso


dLCM 
  CM  vCM  P
dt
• E poiché vCM e P sono proporzionali, segue

dLCM 
  CM
dt
6
Teorema del momento angolare
• Un altro caso e` quando il polo coincide con il
punto di contatto C tra una ruota che si
muove (slittando o rotolando) e una superficie
di appoggio

dLC   
  C  vC  P
dt
• Poiché vC e P sono paralleli, segue

dLC 
C
dt
P
C
vC
7
Teorema del momento angolare
• Abbiamo dimostrato il notevole teorema: la
derivata del momento angolare è uguale al
momento delle forze (esterne) se come polo
usiamo
– un punto fisso in un sistema inerziale
– oppure il CM del sistema (indipendentemente
dal fatto che questo sia fisso o sia mobile e
qualunque sia il suo moto) dLCM  
dt
CM
8
Seconda equazione della
dinamica dei sistemi
• Se il polo e` fisso o e` il CM
dLQ
dt

  QE
• Questa e` la seconda equazione della
dinamica dei sistemi
• O seconda equazione cardinale della
meccanica
9
Conservazione
di
L

E
dLO 
O O
dt
• Se vale l’equazione
• e se il momento delle forze esterne e` nullo,
allora il momento angolare
si conserva

E
O  0
dLO
0
dt

LO  const.
• Facciamo due osservazioni:
– La conservazione puo` valere anche solo in
alcune direzioni (quelle in cui la componente di 
e` nulla)
– A seconda della situazione fisica,  puo` annullarsi
qualunque sia il polo, oppure solo per poli scelti
opportunamente
10
Sistema di riferimento del CM
• Ha origine nel CM
• Gli assi sono sempre paralleli agli assi di un
sistema inerziale
• In generale non e` inerziale
pi
• La posizione di un punto nel
*  
ri  ri  rCM
SCM e`
• Derivando questa relazione
troviamo la velocita` di un
*  
v
punto nel SCM i  vi  vCM
CM
r
i
*
Ai
ri
O
rCM
11
Sistema di riferimento del CM
• La posizione e la velocita` del CM nel SCM
sono, ovviamente,
*


rCM  rCM  rCM  0
*


vCM  vCM  vCM  0
• Ricordando la definizione di CM, valida in
ogni SdR, abbiamo anche
*
*
m
r

M
r
 ii
CM  0
i
*
*
m
v

M
v
 ii
CM  0
i
• La seconda equazione stabilisce che la QM
totale del sistema e`
nulla se misurata nel
*
*
SCM
P  MvCM  0
12
Teoremi di Koenig
• 1o teorema: fornisce una relazione tra il
valore del momento angolare in un sistema
inerziale e nel sistema del CM
• 2o teorema: fornisce una relazione tra il
valore dell’energia cinetica in un sistema
inerziale e nel sistema del CM
13
1o teorema di Koenig
• Confrontiamo il MA calcolato
– nel SCM con polo nel CM
– nel SdR inerziale con polo nell’origine O
pi
CM
r
i
*
Ai
ri
O
*
*
*
 
 
LCM    ri  mi vi   ri  rCM  mi vi  vCM  
i
rCM
i








  ri  mi vi   rCM  mi vi   ri  mi vCM   rCM  mi vCM 
i
i
i
i


 
 


 LO   rCM   mi vi    mi ri   vCM  rCM  MvCM
i
 i

14
1o teorema di Koenig
• Il 2o e 4o termine sono uguali e opposti; il 3o
termine e` il MA del CM nel SdR inerziale
*








LCM   LO   MrCM  vCM  LO   rCM  MvCM  LO   LO CM
• La relazione puo` essere letta anche


*
LO   LO CM  LCM 
• Il MA di un corpo in un SdR inerziale e` uguale
al MA del sistema rispetto al CM, calcolato nel
SCM piu` il MA del CM nel sistema inerziale
15
2o teorema di Koenig
• Calcoliamo ora l’energia cinetica
2
 
1  *2
1
*
K   mi vi   mi vi  vCM  
i 2
i 2
 
1 2
1 2
  mi vi   mi vi  vCM   mi vCM

i 2
i
i 2
 
1

2
 K    mi vi   vCM    mi vCM 
2 i
 i




1 2
1 2
 K  MvCM  vCM  MvCM  K  MvCM
2
2
16
2o teorema di Koenig
• il 2o termine e` l’energia cinetica del CM nel
SdR inerziale
K *  K  K CM
• La relazione puo` essere letta anche
K  K CM  K *
• L’energia cinetica di un corpo in un SdR
inerziale e` uguale all’ EC del sistema
calcolata nel SCM, piu` l’EC del CM nel
sistema inerziale
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Lavoro
• Calcoliamo il lavoro relativo allo spostamento
di un sistema di punti materiali
• Per una particella
il lavoro
infinitesimo e`




 E 
I
dWi  Fi  dri  Fi  dri  Fi  dri  dWi I  dWi E
• Il lavoro finito si trova integrando il lavoro
infinitesimo tra stato iniziale e finale (che
possono essere diversi per ogni particella)
Bi
Bi
Bi
Ai
Ai
Ai
Wi   dWi   dWi I   dWi E  Wi I  Wi E
18
Lavoro
• Per il sistema il lavoro si trova sommando su
tutte le particelle
W  Wi  Wi I  Wi E  W I  W E
i
i
i
• A differenza del caso della risultante dei
momenti di forza agenti sul sistema, ora le
forze interne danno un contributo non nullo
19
Lavoro
• Raggruppando infatti le forze interne a coppie
di forze coniugate secondo il 3o principio, il
lavoro interno
e` esprimibile
come


r 
r
I 

I
I
I
W  Wi    Fi  dri     f ij  dri 
Fi
iF
iF
i riI
i

riF
i riI j  i

r jF
Ii
I  
 I 
    f ij  dri   f ji  drj  

i j i r
r


rijI



r 
r 
r 
 I 


I
I
    f ij  dri   f ij  drj     f ij  drij  0

i j i r
r

 i j i r
iI
jI
iF
jF
iI
jI
rijF
Fj
ijF
ijI
Ij
20
Lavoro
• Ove si e` introdotta la nuova variabile rij
• In generale il prodotto scalare che compare
nell’integrando non e` nullo, ne’ sono nulli gli
integrali o la loro somma
• Il lavoro delle forze interne dipende in ultima
analisi dal cambiamento delle distanze mutue

drij tra le particelle che formano il corpo
21
Lavoro per un corpo rigido
• In assenza di tali cambiamenti i lavori
elementari sarebbero nulli, e altrettanto nulli
sarebbero i lavori integrali e la somma dei
lavori relativi alle diverse particelle
• Questo e` il caso, particolarmente importante,
di un corpo rigido: W I  0
nessun cambiamento delle
distanze mutue tra le particelle
che formano il corpo
22
Energia cinetica
• Studiando il lavoro infinitesimo relativo a una
particella singola, avevamo trovato
 
l’equazione
1 2
dWi  Fi  dri  mi vi dvi  d  mi vi   dK i
2

• Integrando tra stato iniziale e finale
Bi
Bi
Ai
Ai
Wi   dWi   dK i  K i Bi   K i  Ai   K i
• e sommando su tutte le particelle
W  Wi   Ki   Ki  K
i
i
i
23
Energia cinetica
• Ovvero: il lavoro complessivo delle forze che
agiscono su un sistema e` uguale alla
variazione di energia cinetica del sistema tra
stato iniziale e finale
Teorema dell’energia
W  K
cinetica per corpo esteso
• Inoltre il lavoro e` scomponibile nel lavoro
delle forze esterne e interne, in generale
entrambi diversi da zero
W  W I W E
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Energia potenziale
• Se le forze sono tutte conservative, il lavoro
e` esprimibile in termini di energia potenziale
dU i  dWi
• Integrando tra stato iniziale e finale U i  Wi
• E sommando su tutte le particelle
 U  W  W
i
i
i
i
• Definendo l’energia potenziale totale U   U i
i
• troviamo
U  W
25
Conservazione dell’energia
meccanica
• Il discorso si puo` ripetere separatamente per forze interne e
esterne
I
I
E
E
W  U
W  U
W  W I  W E  U I  U E  U
• Ricordando il teorema dell’energia cinetica,
otteniamo
K  U
• Abbiamo cosi’ ritrovato il teorema di
conservazione dell’energia meccanica E per
un corpo esteso
K  U   E  0
26
Forze non conservative
• Se sono presenti forze non conservative,
possiamo estendere il ragionamento fatto per
una singola particella
W  Wnc  Wc
• Ottenendo
W  K
Wc  U
K  W  Wnc  Wc  Wnc  U
K  U   E  Wnc
• Cioe` la variazione di energia meccanica e`
uguale al lavoro delle forze non conservative
27
Energia propria
• Energia meccanica: E  K  U
• Separando i contributi delle forze interne ed
I
E
E

K

U

U
esterne
• E non rappresenta una caratteristica del solo
sistema, perche’ contiene anche le interazioni
con l’ambiente
• Per tener conto di questo, si definisce
l’energia propria
I
Ep  K U
28
Energia interna
• Tenuto conto che l’energia cinetica dipende
dal SdR, l’energia propria si puo` scrivere
1 2
1 2
I
E p  K  MvCM  U  U  MvCM
2
2
*
• Avendo definito l’energia interna U  K *  U I
• L’energia interna e` l’energia propria nel SdR
del CM, ove assume il valore minimo
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