Forza gravitazionale
Terra
Pianeti interni
Marte
Mercurio
Venere
Plutone
Urano
Nettuno
Giove
Saturno
Sistema solare
Il moto dei pianeti descritto dalle 3 leggi di Keplero
Di qui Newton ricavò la legge di gravitazione universale: 1a forza fondamentale
1a Legge di Keplero
i pianeti si muovono su orbite piane ed ellittiche,
aventi il sole in uno dei fuochi
a
nel caso più generale, l’orbita è una conica
(ellisse, iperbole o parabola)
2a Legge di Keplero
la velocità areolare è costante
dA
= cost
dt
Il raggio che congiunge il sole al pianeta
spazza aree uguali in tempi uguali.
5,0
Legge di Keplero
Il quadrato del tempo di rivoluzione
è proporzionale al cubo
del semiasse maggiore
T 2 ∝ a3
y = 1,4999x + 2,5626
4,5
4,0
log(T(d))
3a
5,5
3,5
3,0
log T = 1.5 log a + k
2,5
2,0
se Msole >> Mpianeta
1,5
-0,5
0
0,5
log(a (AU))
1
1,5
2
Legge di Gravitazione Universale
m1 m 2
F =G
r2
G = 6.6742.10-11 m3/(kg s2)
♦ Agisce fra due masse qualsiasi (è universale)
♦ Forza sempre attrattiva
♦ Interazione fra 2 corpi + principio di sovrapposizione.
♦ Rigorosamente vera per corpi puntiformi ma vale anche
per corpi sferici se si considera la distanza dal centro (o fra i centri).
r
m1m2
F12 = −G 2 r̂12
r
forza che m1 esercita su m2
dove r12 va da m1 a m2.
M
m
m
manubrio sospeso, girevole
M
La costante G è “piccola”.
Misurata in laboratorio da Cavendish (1798)
con una bilancia a torsione
Gravitazione
La forza peso è forza di attrazione gravitazionale da parte della Terra.
Se ne deducono alcune proprietà come la dipendenza di g dall’altezza.
Nota g e la legge di gravitazione universale si può ricavare la massa terrestre.
mg
mT
m
R
mT m
mg = G 2
⇒
R
gR 2
mT =
= 5.97 ⋅ 10 24 kg
G
essendo R = 6373 km il raggio medio terrestre
variazione di g con l’altezza:
h=32km per riduzione dell’1%
GmT
GmT
g (h ) =
=
(R + h )2 R 2
2
 R 
 R 

 = g (0 )

R
+
h
R
+
h




2
Orbite circolari.
Es. pianeta in orbita circolare intorno al sole.
v
mP
r
v2
m m
mP
= m Pω 2 r = G P 2 S
r
r
 4π 2  3
2
3a legge di Keplero
 r
⇒ T = 
 Gm S 
trovata la costante
di proporzionalità
Nota G e i parametri dell’orbita terrestre,
o di altri pianeti, si ricava la massa del sole
mS = 1.99 ⋅1030 kg
Per un satellite in orbita intorno alla terra, a distanza r dal centro:
T
2
 4π 2
= 
 Gm T
 3
 r

Se l’orbita è geostazionaria:
T=24h => r = 35800 km
Ancora sulle orbite in un campo gravitazionale.
Traiettorie di un proiettile lanciato “orizzontalmente” da un’altezza di 1000km.
r0 = R + h v0 =
GM
= 7350m / s
r0
è la velocità per cui l’orbita risulta circolare
v > 2v0
iperbole
v = 0,5v0
v = 2v0
parabola
v = 0,8v0
v0
v = 1,2v0
La forza gravitazionale è conservativa
F1
r
r1
integrando da r1 a r2
r
r2
F2
r
m1m2
F = −G 2 uˆ R
r
r r
r
ˆ
dW = F ⋅ d s = F u R ⋅ d s ⇒
m1 m 2
dW = − G
dr
2
r
1 1
W = Gm 1 m 2  − 
 r2 r1 
non dipende dal tragitto
m1 m 2
E P = −G
r
dove si è assunto che EP=0 per
r ≈∞
Forza gravitazionale. Conservazione dell’energia
Un oggetto è lanciato verso l’alto, dalla superficie terrestre,
con velocità v0. Calcolare l’altezza massima raggiunta
(trascurando la resistenza dell’aria)
In approssimazione di g costante si aveva:
Ma g varia con l’altezza.
m 2
v02
v0 = mgh ⇒ h =
2
g
∆h/h (%)
V0 (m/s)
h (g cost) (km)
h esatto (km)
Usando l’espressione esatta:
1000
50,97
51,38
0,8
m 2 GMm
GMm
v0 −
=−
2
R
R+h
2000
203.9
210,6
3,2
5000
1274
1593
20,0
8000
3262
6682
51,2
per
h→∞
Velocità di fuga
Mm m 2 
+ v 
2GM
⇒
v
=
R
2 
R
EF = EPF + EKF = 0 
EI = −G
Velocità minima affinché si un corpo
si allontani indefinitamente
per la Terra vF= 11180 m/s = 40250km/h
Appendice 1.
Si è visto che l’energia potenziale gravitazionale è:
avevamo visto in precedenza l’espressione
m1m 2
E P = −G
r
E P = mgy
come possono essere compatibili?
E P = −G
r
y
O
R
Mm
Mm
= −G
r
R+ y
espandendo al primo ordine in y:
Mm
M
E P = −G
+ G 2 my
R
R
costante, si
può trascurare
g
Appendice II.
Campo gravitazionale.
Dato un corpo “puntiforme” di massa m, si definisce campo gravitazionale,
nella posizione di m, la forza gravitazionale agente su m divisa per la massa m.
r
r FG
g=
m
Nota: il campo gravitazionale è l’accelerazione di gravità
r
FG1
m1
m
r
FG 2
secondo la Relatività generale
il campo gravitazionale è dovuto
alla curvatura dello spazio-tempo
prodotta dalle masse m1 e m2
r
FG
Ad ogni modo, è una proprietà dello
spazio modificato dalla presenza delle
masse “sorgenti”
m2
Appendice II
flusso del campo gravitazionale attraverso una superficie (infinitesima)
r
g
dS
r r
dΦ = gdS cos θ = g ⋅ n dS
θ
r
n
Attenzione: il flusso ha un segno
il flusso attraverso una superficie finita S è
r r
Φ = ∫ gdS cos θ = ∫ g ⋅ n dS
S
S
Si cerca il flusso entrante attraverso una superficie chiusa del campo gravitazionale
generato da una massa “puntiforme” interna
dS cos θ
dΦ = gdS cos θ = GM
r2
r
dS
n
angolo solido sotteso da dS
dΩ
Appendice II
dS cos θ
Φ = GM ∫
= GM ∫ dΩ
2
r
S
S
ovvero
Φ = 4π GM
Analogamente si dimostra che il flusso entrante del
campo gravitazionale generato da una massa puntiforme
esterna è nullo.
r
dS2
n
Applicando il teorema di sovrapposizione si ottiene
Φ = 4π GM INT
è il Teorema di Gauss
per il campo gravitazionale
è la massa totale all’interno
della superficie chiusa.
Appendice II. Applicazioni
campo gravitazionale generato da una distribuzione
di massa sferica, ad una distanza r > R
R
r
Prendiamo una superficie sferica concentrica di raggio r.
Per simmetria, il campo g è costante in modulo e
ovunque ortogonale alla superficie
r r
Φ = ∫ g ⋅ n dS = g (r )S = 4πr 2 g (r )
S
Ma per il Teorema di Gauss:
Gauss
uguagliando si ottiene:
Φ = 4π GM INT = 4π GM
M
g (r ) = G 2
r
il campo gravitazionale è uguale a
quello generato da una massa M
puntiforme, posta nel centro.