GRAVITAZIONE
UNIVERSALE
Gravitazione Universale
•  Newton scoprì la legge della gravitazione
universale attorno alla metà del '600. Si
dice che egli fosse rifugiato in campagna
durante una epidemia di peste e che un
giorno, dalla caduta di una mela, egli
intuisse l'universalità della forza di
gravità.
L'ipotesi copernicana "costringeva" gli scienziati a
chiedersi perché i corpi ruotassero attorno al sole, in
quanto la filosofia di Aristotele non era più sufficiente
a soddisfare questi interrogativi.
Se la mela cade, per il principio d'inerzia (già scoperto
da Galileo), una forza deve agire su di essa, se no essa
dovrebbe permanere nel suo stato di quiete.
Anche la luna, per ruotare attorno alla terra, deve
risentire dell'azione di una forza (centripeta) che le fa
compiere un moto circolare (non rettilineo uniforme).
Newton intuì che la forza che fa cadere la mela
è la stessa che fa ruotare la luna attorno alla
terra !
Newton scoprì che la forza gravitazionale è una forza
universale, che agisce qui sulla terra e fuori da essa, in
ogni luogo dell'universo.
La formula della gravitazione universale di Newton
afferma essenzialmente che la forza gravitazionale
fra due corpi è direttamente proporzionale alle
masse dei due corpi ed inversamente proporzionale
al quadrato della distanza fra essi.
La teoria della gravitazione universale di Newton
rappresenta il primo grande esempio di unificazione
delle leggi fisiche della storia :
tutti i fenomeni gravitazionali presenti
nell'universo vengono spiegati con una
semplice formula !!!
Formulazione matematica della forza
di gravità.
•  Consideriamo due corpi materiali, che per
semplicità considereremo sferici ed omogenei, di
massa
e
, posti ad una distanza d fra i loro
centri (che coincidono, data la simmetria sferica, con
i loro centri di massa o baricentri, punti in cui si
può considerare concentrata tutta la massa dei
corpi) :
La formula matematica che descrivere la forza di
gravità che si instaura fra due corpi è :
dove F è la forza di gravità e G è la cosiddetta
costante di gravitazione universale.
Come abbiamo già affermato, questa forza è
direttamente proporzionale alle masse dei corpi ed
inversamente proporzionale al quadrato della
distanza fra essi.
Costante di gravitazione universale.
La costante di gravitazione universale G vale, nel
sistema di misura internazionale (S.I.) circa,
e si misura in
(ovvero newton per metro quadro
fratto chilogrammo quadro).
Questa unità di misura si ottiene dalla formula
ricavando G:
Una delle misure terrestri "classiche" di essa è stata
eseguita da Cavendish (1798) usando una bilancia a
torsione.
BILANCIA A TORSIONE
Ad un filo di acciaio e' appesa una
sbarra alle cui estremità sono
collegate due sfere di massa m. Al
filo e' saldato uno specchio
illuminato da un proiettore. La luce
riflessa dallo specchio giunge su una
scala graduata. Due ulteriori sfere di
massa M sono all'inizio tenute
lontane dalla sfere più piccole.
Spostiamo ora le sfere più grandi
vicino alle sferette. La forza di
gravita' farà in modo da influenzare
l'oscillazione della sbarra spostando
il centro delle oscillazioni
Conoscendo la forza F, le masse
delle due sfere e la loro distanza r si
può calcolare G
ESEMPIO
Consideriamo un corpo di 70 kg e chiediamoci con
quale forza gravitazionale (il suo peso) esso è
attratto dalla terra.
Sia m la massa del corpo (pari a 70 kg ) e sia M la
massa della terra (pari a circa
kg ).
Sia R il raggio terrestre (circa
m ).
Applicando la formula di Newton si ha allora :
Come possiamo verificare l'esattezza di questo
risultato ? Noi sappiamo che ogni corpo, qui sulla
superficie terrestre, cade con la stessa accelerazione
che è indipendente dalla massa del corpo
(consideriamo l'attrito con l'aria trascurabile). Questa
accelerazione, detta accelerazione di gravita, è
denominata con g e vale circa 9,81 m/s²
Per la seconda legge della dinamica si ha :
F=m·g
Il problema dell’azione a distanza
La legge di gravitazione implica la
presenza di almeno due masse che si
attirano vicendevolmente, senza toccarsi
anche se si trovano a notevole distanza.
Una massa m, avvicinandosi a un'altra
massa M, sembra sentire in qualche
modo la sua presenza e interagisce con
essa; ma come, se l'interazione avviene
quando le due masse sono ancora molto
lontane e non si toccano? Già Newton si
era posto questi interrogativi e poiché la
forza gravitazionale agiva anche tra
pianeti lontanissimi, non riuscendo a
capire come ciò avvenisse ( Hypotheses
non fingo) aveva ugualmente ipotizzato
"una interazione a distanza istantanea"
tra i due corpi.
Una simile interazione era piuttosto
strana e per spiegarla gli scienziati in un
primo tempo pensarono che un mezzo
elastico, detto etere, riempisse tutto
l'universo. L’etere era invisibile e
impalpabile in quanto nessuno lo aveva
mai visto e aveva la funzione di
intermediario tra i due corpi: la massa m,
agiva sull'etere; questo a sua volta
trasmetteva l'azione alla massa M2 e
viceversa. Nacque cosi la teoria
dell'etere, che durò oltre duecento anni,
fino all'inizio del XX secolo.
Tuttavia, nel 1800, Faraday cominciò a
pensare all'idea di un campo, cioè di una
regione dello spazio perturbata dalla
presenza di qualcosa come la massa, la
carica elettrica o altro e la sua idea fu poi
definitivamente confermata da Maxwell
alla fine del secolo e da Einstein all'inizio
del 1900. Si dimostrò, infatti, che un
effetto fisico, ad esempio la luce, può
propagarsi nel vuoto, senza la presenza
dell'etere, ma con velocità finita e questa
affermazione sta alla base della teoria
della relatività ristretta che Einstein
formulò nel 1905.
Nasce così, per spiegare l'azione a distanza
delle forze, il concetto di campo.
Il caso più comune è quello del campo
gravitazionale, ma il concetto di campo
ha carattere generale e lo troveremo
ogni volta che parleremo di forze che
agiscono a distanza, per esempio nel
caso delle forze elettriche o delle forze
magnetiche. Per definire un campo,
possiamo dire che: o un campo è la
perturbazione generata da una massa o
da una carica elettrica qualsiasi nello
spazio circostante, che provoca forze
gravitazionali o elettriche su eventuali
altre masse o altre cariche presenti in
quella regione di spazio.
IL VETTORE DEL CAMPO
Secondo la legge di gravitazione di
Newton, il modulo della forza
gravitazionale esercitata su una massa M2
da una massa M1, situata a una distanza r
dalla prima è
Invece di scrivere una legge della forza
per il caso di una particolare massa M2,
dividiamo entrambi i membri
dell'equazione per M2:
Il secondo membro di questa espressione
dipende ora solo dalla distanza di M2 da
M1, e non dalla massa di M2.
Il secondo membro è una descrizione del campo
gravitazionale a questa distanza dovuto alla
massa-sorgente e resterà immutato qualunque sia
la massa M2 collocata in questa posizione.
La nuova grandezza sarà denotata con g:
dove la massa-sorgente M1 è ora indicata con M. Le
dimensioni di g sono quelle di una forza divisa per una
massa, ossia di un'accelerazione.
Poiché la forza gravitazionale Fgrav è un vettore, la
grandezza g è anch'essa un vettore. La descrizione
completa del campo gravitazionale (modulo e
orientazione) dovuto alla massa-sorgente M in un
punto qualsiasi P è data da g, il vettore campo
gravitazionale
LINEE DI FORZA
Supponiamo di cominciare a disegnare una carta del
campo della forza gravitazionale intorno a una certa
massa-sorgente M, misurando la forza agente su una
piccola massa di prova.
P
g
M
I risultati di tali misurazioni possono
essere rappresentati per mezzo di una serie
di frecce. La lunghezza di ciascuna freccia
è proporzionale alla forza gravitazionale
all'estremo della freccia (cioè, all'estremo
opposto alla punta) e l'orientazione della
forza è data dall'orientazione della freccia.
LAVORO DELLA FORZA
GRAVITAZIONALE
Per sollevare una palla da bowling da terra e riporla su uno scaffale,
bisogna fare del lavoro. Una volta sullo scaffale la palla da bowling
ha energia cinetica zero (essendo ferma), proprio come quando era a
terra. Ciononostante il lavoro fatto nel sollevare la palla non è andato
perso. Se si permette alla palla di cadere dallo scaffale, la gravità
compie su di essa la stessa quantità di lavoro che avevamo fatto per
sollevarla. In definitiva, il lavoro che abbiamo fatto, viene “restituito”
sotto forma di energia cinetica. Perciò diciamo che quando la palla
viene sollevata in una nuova posizione c’è un aumento di energia
potenziale U, e che questa energia potenziale può essere restituita
sotto altra forma quando la palla cade.
Poiché l’energia potenziale acquistata è il lavoro
svolto per sollevare l’oggetto, si presenta un
primo problema e cioè quello di stabilire se il
calcolo del lavoro svolto da una forza su un
oggetto è indipendente dal cammino scelto.
Studiamo questo problema calcolando il lavoro per
portare un oggetto di massa m dalla posizione A alla
posizione B seguendo due o più cammini diversi.
Lungo il cammino 1 il lavoro è uguale alla forza (mg) diretta
verticalmente moltiplicata( prodotto scalare) per lo spostamento
obliquo AB. Il modulo di un prodotto scalare si calcola facendo
il prodotto dei due moduli per il coseno dell’angolo compreso.
Dunque avremo L=mg AB cos(90°+a)=-mg(ABsena)=
Lungo il cammino 2 avremo che il lavoro è dato dalla
somma tra il lavoro per andare da A a C e quello per andare
da C a B. Ma il lavoro per andare da A a C è nullo essendo
forza e spostamento perpendicolari e dunque avremo
L= mgBCcos180°=-mgh.
Quindi il risultato non dipende dal cammino
scelto. Si può dimostrare che qualunque sia il
cammino il lavoro per andare dalla posizione
A alla posizione B dipende solo da posizione
iniziale e finale. Si dice allora che le forze in
gioco (la forza gravitazionale) sono
conservative.
Vediamo come si calcola l’energia potenziale
gravitazionale acquistata da un oggetto che viene
alzato di una quota h.
Essendo la forza (gravitazionale) e lo spostamento
paralleli, il prodotto scalare si trasforma in un
prodotto algebrico.
-ΔU=mgh
Dalla legge di gravitazione possiamo capire che
la formula Lg=mgΔh, che esprime il lavoro della
gravità, è valida solo per valori piccoli di Δh.
Infatti, man mano che ci si allontana o avvicina
alla Terra (o ad un altro corpo celeste), il valore
di g è inversamente proporzionale al quadrato
della distanza dal suo centro.
Lg = m ⋅ g ⋅ ( r2 − r1 )
Δh = r2 − r1
g = GM / r 2 = GM / r1r2
"1 1 %
Lg = GMm ( r2 − r1 ) / r1r2 = GMm $ − '
# r1 r2 &
dove r1 è la distanza iniziale dal centro della Terra e r2 quella finale.
Poiché il lavoro della gravità è l’opposto della
variazione di energia potenziale , abbiamo che
dove ΔU è il cambiamento di energia potenziale
che il corpo subisce passando dalla distanza r1 a
quella r2 dal centro della Terra.
Se supponiamo di spostare una massa da una
posizione iniziale all’“infinito” (r2 distanza
infinita), il secondo termine del secondo membro di
questa relazione diverrà zero per cui, chiamando r
la distanza del nostro corpo dal centro della Terra,
avremo
Mm
U =G
r
Infatti l’energia potenziale gravitazionale di una
massa m a distanza r da M rappresenta il lavoro
compiuto dalla forza gravitazionale quando m si
sposta dal punto iniziale all’infinito qualunque sia il
percorso.
ENERGIA POTENZIALE
GRAVITAZIONALE
Abbiamo trovato che l'energia potenziale
gravitazionale di una massa di prova m
situata a una distanza r da una massasorgente M è
Mm
U =G
r
IL POTENZIALE GRAVITAZIONALE
Come nel caso del vettore forza gravitazionale e del
vettore campo gravitazionale, se si divide l'energia
potenziale gravitazionale per m si ottiene una
grandezza che è caratteristica della massa-sorgente
M e non dipende dalla massa di prova. Questa
grandezza è chiamata potenziale gravitazionale ed è
denotata con il simbolo V:
U
M
V=
m
=G
energia potenziale per unità di massa.
r
MASSA INERZIALE E MASSA
GRAVITAZIONALE
Esistono quindi due tipi di massa :
la massa inerziale, quella che compare nella
formula del II principio della dinamica :
e la massa gravitazionale, quella che compare
nella formula della legge di gravitazione :
.
La massa inerziale indica la "resistenza" che un
corpo oppone alla variazione del suo stato di moto.
La massa gravitazionale indica la "capacità"
che hanno i corpi di attirarsi gravitazionalmente.
Grazie ad esperimenti sofisticati, si verifica che
massa inerziale e massa gravitazionale
coincidono (con grande precisione), e questo fatto
non è ovvio tanto da rappresentare una nuova
legge di natura che Einstein chiamò principio di
equivalenza. L'equivalenza fra i due tipi di massa
costituisce la base logica su cui si fonda la teoria
della relatività generale.