Corso di Analisi Matematica
Limiti di funzioni
Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale
A.A. 2013/2014
Università di Bari
ICD (Bari)
Analisi Matematica
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1
Definizione di limite
2
Il calcolo dei limiti
3
Limiti notevoli
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Limiti di funzioni
L’operazione di limite si può estendere dalle successioni alle funzioni.
Serve a studiare il comportamento di una funzione quando la variabile
indipendente si avvicina ad un valore fissato oppure diventa molto
grande o molto piccola.
Consideriamo, come caso tipico, un intervallo I, un punto c ∈ I e una
funzione f a valori reali definita in I o al più in I \ {c}.
I può essere
I
I
limitato o illimitato;
chiuso o aperto.
c può essere
I
interno ad I oppure uno dei suoi estremi (eventualmente +∞ o −∞).
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Definizione di limite
Definizione
Sia f come sopra. Si dice che il limite per x tendente a c di f (x) è l e si
scrive
lim f (x) = l
x→c
se per ogni successione {xn } tale che xn ∈ I \ {c} e tale che lim xn = c
n→+∞
si ha
lim f (xn ) = l.
n→+∞
Se l = 0 f si dice infinitesima per x → c.
Se l = ±∞ f si dice infinita per x → c.
Se esiste limx→c f (x) = l, esso è unico.
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Nella scrittura
lim f (x) = l
x→c
può accadere che
l ∈ R (limite finito);
l = ±∞ (limite infinito);
c ∈ R (limite al finito);
c = ±∞ (limite all’infinito);
Allora abbiamo da esaminare quattro situazioni:
1
limite finito all’infinito;
2
limite infinito all’infinito;
3
limite infinito al finito;
4
limite finito al finito.
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Limite finito all’infinito
Esempio:
lim ex = 0.
x→−∞
Interpretazione geometrica:
Definizione
Si dice che f ha un asintoto orizzontale di equazione y = l (l ∈ R)
per x → +∞ se
lim f (x) = l.
x→+∞
Si dice che f ha un asintoto orizzontale di equazione y = l (l ∈ R)
per x → −∞ se
lim f (x) = l.
x→−∞
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Limite infinito all’infinito
Esempio:
lim log1/2 x = −∞.
x→+∞
In questo caso può accadere che esista una retta obliqua a cui il grafico di
f si avvicina quando x diventa sempre più grande (o più piccolo).
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Asintoto obliquo
Definizione
Si dice che f ha un asintoto obliquo di equazione y = mx + q
(m 6= 0, q ∈ R) per x → +∞ se
lim (f (x) − (mx + q)) = 0.
x→+∞
Si dice che f ha un asintoto obliquo di equazione y = mx + q
(m 6= 0, q ∈ R) per x → −∞ se
lim (f (x) − (mx + q)) = 0.
x→−∞
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Un criterio operativo per calcolare l’asintoto obliquo.
Proposizione
La funzione f (x) ammette asintoto obliquo per x → +∞ se e solo se
1
esiste finito
lim
x→+∞
2
f (x)
= m 6= 0,
x
esiste finito
lim (f (x) − mx) = q.
x→+∞
In tal caso l’asintoto è y = mx + q.
Analogo criterio vale per x → −∞.
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Limite infinito al finito
Esempio:
lim
x→0
1
= +∞.
x2
Talvolta il comportamento di una funzione è diverso se x si avvicina a
c ∈ R da destra (x > c) invece che da sinistra (x < c).
Esempio: f (x) = x1 .
Per descrivere questo tipo di situazione si introducono i concetti di limite
destro e limite sinistro.
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Limite destro
Definizione
Siano c ∈ R, l ∈ R∗ , f : I \ {c} → R.
Si dice che il limite destro di f (x) per x tendente a c è l e si scrive
lim f (x) = l
x→c+
se per ogni successione {xn } tale che xn ∈ I \ {c}, xn > c definitivamente
e tale che lim xn = c si ha
n→+∞
lim f (xn ) = l.
n→+∞
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Limite sinistro
Definizione
Siano c ∈ R, l ∈ R∗ , f : I \ {c} → R.
Si dice che il limite sinistro di f (x) per x tendente a c è l e si scrive
lim f (x) = l
x→c−
se per ogni successione {xn } tale che xn ∈ I \ {c}, xn < c definitivamente
e tale che lim xn = c si ha
n→+∞
lim f (xn ) = l.
n→+∞
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Relazione tra limite, limite destro, limite sinistro
Teorema
Sono equivalenti:
esiste
lim f (x) = l;
x→c
esistono
lim f (x) = l = lim f (x).
x→c−
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x→c+
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Asintoti verticali
Interpretazione geometrica del limite infinito al finito:
Definizione
Si dice che f ha un asintoto verticale di equazione x = c se
lim f (x) = −∞
o
lim f (x) = −∞
o
x→c+
lim f (x) = +∞
x→c+
oppure se
x→c−
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lim f (x) = +∞.
x→c−
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Limite finito al finito
Esempi:
1
Si ha
lim sen x = 0.
x→0
Si noti che sen 0 = 0.
2
Sia
(
f (x) =
1 se x 6= 0,
0 se x = 0.
Si ha
lim f (x) = 1.
x→0
Si noti che f (0) 6= 1.
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Funzioni continue
Definizione
Sia f : I → R, I ⊂ R intervallo. Sia c ∈ I. Si dice che f è continua in c
se esiste
lim f (x) = f (c).
x→c
Si dice che f è continua in I se è continua in ciascun punto di I. Una
funzione non continua in un un punto c si dice discontinua in c.
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Discontinuità
Definizione
Sia f : I → R, I ⊂ R intervallo. Sia c ∈ I. Si dice che f ha una
discontinuità a salto in c se esistono
lim f (x) = l1 ∈ R
lim f (x) = l2 ∈ R
x→c−
x→c+
l1 6= l2 .
In tal caso il salto di f in c è dato da l2 − l1 .
Si dice che f è continua da destra in c se esiste
lim f (x) = f (c).
x→c+
Si dice che f è continua da sinistra in c se esiste
lim f (x) = f (c).
x→c−
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Non esistenza del limite
Il limite di una funzione può anche non esistere.
Non esiste
lim sen x.
x→+∞
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Definizione topologica di limite
Una definizione (equivalente) di limite di funzione, indipendente dal
concetto di successione.
Definizione
Un intorno di x0 ∈ R è un intervallo aperto che contiene x0 , spesso
del tipo (x0 − δ, x0 + δ), con δ > 0 (centrato quindi in x0 ).
Un intorno di +∞ è ogni intervallo del tipo (a, +∞), a ∈ R;
Un intorno di −∞ è ogni intervallo del tipo (−∞, b), b ∈ R.
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Definizione topologica di limite
Definizione
Si dice che una funzione f (x) verifica una certa proprietà definitivamente
per x → c se esiste un intorno U di c tale che la proprietà vale per ogni
x ∈ U , x 6= c.
Definizione
Sia c ∈ R∗ e sia f definita almeno definitivamente per x → c. Sia l ∈ R∗ .
Si dice che il limite di f (x) per x che tende ad c è l e si scrive
lim f (x) = l
x→c
oppure
f (x) → l per x → c
se per ogni intorno Ul di l, esiste un intorno Vc di c, tale che
f (x) ∈ Ul
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∀x ∈ Vc , x 6= c.
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Teoremi sui limiti di funzioni
Derivano immediatamente dai corrispondenti teoremi sulle successioni.
Teorema (del confronto)
Se
1
per x → c, f (x) → l e g(x) → l
2
definitivamente per x → c f (x) ≤ h(x) ≤ g(x)
allora anche h(x) → l per x → c.
Corollario
Se per x → c g(x) → 0 e |h(x)| ≤ g(x) definitivamente per x → c
allora anche h(x) → 0 per x → c .
Se per x → c f (x) → 0 e g(x) è limitata definitivamente per x → c
allora f (x)g(x) → 0 per x → c .
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Teorema (permanenza del segno)
Se per x → c f (x) → l > 0 allora f (x) > 0 definitivamente per
x → c.
Se per x → c f (x) → l e f (x) ≥ 0 definitivamente per x → c allora
l ≥ 0.
Teorema (permanenza del segno per funzioni continue)
Se f è continua in c e f (c) > 0 allora f (x) > 0 definitivamente per x → c.
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Algebra dei limiti, caso dei limiti finiti
Teorema
Se
lim f (x) = l1 ∈ R
x→c
lim g(x) = l2 ∈ R.
x→c
Allora
per ogni K ∈ R,
lim Kf (x) = Kl1 ;
x→c
lim (f (x) + g(x)) = l1 + l2 ;
x→c
lim (f (x) · g(x)) = l1 · l2 ;
x→c
se l2 6= 0 e g(x) 6= 0 definitivamente per x → c,
f (x)
l1
= ;
x→c g(x)
l2
lim
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Casi in cui i limiti sono +∞ o −∞
Valgono le stesse regole viste per le successioni.
a + ∞ = +∞
a − ∞ = −∞
+∞ + ∞ = +∞
−∞ − ∞ = −∞
a · ∞ = ∞, (a 6= 0)
a
= ∞, (a 6= 0)
0
a
=0
∞
Il segno di ∞ va determinato con la usuale regola dei segni.
Forme di indecisione:
+∞ − ∞
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0·∞
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∞
∞
0
.
0
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Algebra delle funzioni continue
Teorema
La somma, la differenza, il prodotto e il rapporto di funzioni continue
sono funzioni continue (se ben definite) in ogni punto del loro
dominio.
Le funzioni elementari sono continue in ogni punto del loro dominio.
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Limiti delle funzioni elementari
Funzioni potenza
lim xα = xα0
(
x→x0
lim xα =
x→0+
(
lim xα =
x→+∞
ICD (Bari)
∀α ∈ R, x0 ∈ (0, +∞)
0
se α > 0
+∞ se α < 0
+∞ se α > 0
0
se α < 0
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Limiti delle funzioni elementari
Funzione esponenziale.
lim ax = ax0 ∀x0 ∈ R, a ∈ (0, +∞)
(
+∞ se 0 < a < 1
lim ax =
x→−∞
0
se a > 1
(
0
se 0 < a < 1
lim ax =
x→+∞
+∞ se a > 1.
x→x0
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Limiti delle funzioni elementari
Funzione logaritmo.
lim loga x = loga x0
(
+∞
lim loga x =
x→0
−∞
(
−∞
lim loga x =
x→+∞
+∞
x→x0
ICD (Bari)
∀x0 ∈ (0, +∞), a ∈ (0, +∞), a 6= 1
se 0 < a < 1
se a > 1
se 0 < a < 1
se a > 1
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Limiti delle funzioni elementari
Funzioni trigonometriche.
lim sen x = sen x0
∀x0 ∈ R
lim cos x = cos x0
∀x0 ∈ R
x→x0
x→x0
lim tg x = tg x0
x→x0
∀x0 ∈ R, x0 6=
π
+ kπ, k ∈ Z
2
Si può provare che non esiste il limite all’infinito di ogni funzione
periodica (non costante). Quindi, in particolare non esistono
lim sen x
x→±∞
lim cos x
x→±∞
lim tg x.
x→±∞
Inoltre
lim tg x = −∞
x→− π2 +
lim tg x = +∞.
x→ π2 −
Dalla periodicità si ricavano gli altri valori.
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Limiti delle funzioni elementari
Funzioni trigonometriche inverse.
lim arcsen x = arcsen x0
∀x0 ∈ [−1, 1]
lim arccos x = arccos x0
∀x0 ∈ [−1, 1]
x→x0
x→x0
lim arctg x = arctg x0
x→x0
lim arctg x = −
x→−∞
lim arctg x =
x→+∞
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∀x0 ∈ R
π
2
π
2
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Cambio di variabile nel limite
Teorema
Siano x0 , t0 , l ∈ R∗ , siano f e g due funzioni tali per cui è ben definita la
funzione composta f ◦ g almeno definitivamente per x → x0 e inoltre
risulti che
esiste lim g(x) = t0 ;
x→x0
esiste lim f (t) = l;
t→t0
g(x) 6= t0 definitivamente per x → x0 .
Allora esiste anche
lim f (g(x)) = lim f (t) = l.
x→x0
t→t0
La terza ipotesi non è necessaria se f è continua in t0 o (ovviamente) se
t0 = ±∞.
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Continuità della funzione composta
Teorema
Siano g una funzione definita almeno in un intorno di x0 e f una funzione
definita almeno in un intorno di t0 = g(x0 ). Se
g è continua in x0 ;
f è continua in t0 ,
allora anche la funzione composta f ◦ g è definita almeno in un intorno di
x0 ed è continua in x0 .
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Limiti di polinomi
Dato un polinomio di grado n,
Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a0
si può scrivere
an−1 an−2
a0
Pn (x) = an x 1 +
+
+ ··· +
an x
an x2
an xn
n
da cui
lim Pn (x) = lim an xn .
x→±∞
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x→±∞
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Limiti di rapporti tra polinomi
Dati due polinomi
Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a0
Qm (x) = bm xm + bm−1 xm−1 + · · · + b0
(con an , bm 6= 0) il limite del loro rapporto è dato da
Pn (x)
=
x→±∞ Qm (x)


se n < m;
 0
=
an /bm
se n = m;

 +∞ o − ∞ se n > m.
lim
an xn
x→±∞ bm xm
lim
Nel terzo caso, il segno è determinato dal segno del rapporto an /bm ,
dal tipo di limite e dal fatto che n − m sia pari o dispari.
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Limiti notevoli
Si ha
lim
x→0
sen x
= 1.
x
Si deduce che
1 − cos x
x2
tg x
lim
x→0 x
arcsen x
lim
x→0
x
arctg x
lim
x→0
x
lim
x→0
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=
1
2
= 1
= 1
= 1.
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Prolungamento per continuità di una funzione
Sia
(
f (x) =
sen x
x
1
se x 6= 0,
se x = 0.
La funzione f risulta continua in x = 0.
Se una funzione f non è definita in x0 ma esiste finito
lim f (x) = l
x→x0
f può essere prolungata per continuità in x0 , ponendo f (x0 ) = l.
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Limiti notevoli
Si prova che
lim
x→±∞
1
1+
x
x
= e.
Si deduce che
ex − 1
x→0
x
log(1 + x)
lim
x→0
x
(1 + x)α − 1
lim
x→0
x
lim
= 1
= 1
= α per ogni α ∈ R.
Più in generale si ha
ax − 1
x→0
x
loga (1 + x)
lim
x→0
x
lim
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= log a = 1/ loga e
= loga e = 1/ log a.
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Gerarchia degli infiniti
Teorema
Si considerino le funzioni
(loga x)α
xβ
bx
con α, β > 0, a, b > 1. Per x → +∞ ognuna è un infinito di ordine
inferiore rispetto alla funzione alla propria destra.
Esplicitamente:
(loga x)α
=0
x→+∞
xβ
lim
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xβ
= 0.
x→+∞ bx
lim
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Gerarchia degli infiniti
Inoltre, ponendo 1/x = y, nel primo limite si ha
lim y β (− loga y)α = 0.
y→0+
Per α = 1
lim y β loga y = 0.
y→0+
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