3
3.1
LIMITI
Operazioni in R ∪ {±∞}
x∈R
x + (+∞) = +∞
x + (−∞) = −∞
x∈R
x
=0
+∞
x
=0
−∞
x>0
x · (+∞) = +∞
x · (−∞) = −∞
x<0
x · (+∞) = −∞
x · (−∞) = +∞
x>0
x
= +∞
0+
x
= −∞
0−
x<0
x
= −∞
0+
x
= +∞
0−
(+∞) + (+∞) = +∞
(−∞) + (−∞) = −∞
(+∞) · (+∞) = +∞
(+∞) · (−∞) = −∞
Non è possibile dare una definizione nei seguenti casi:
(−∞) + (+∞);
0 · (±∞);
±∞
;
±∞
0
.
0
28
3.2
DEFINIZIONE DI LIMITE
Definizione 3.1 Siano c ∈ (a, b) e f : (a , b) \ {c} −→ R.
1. Si dice che il limite di f (x) per x che tende a c è uguale ad ℓ ∈ R e si scrive
lim f (x) = ℓ ∈ R
x→c
se ∀ε > 0
∃δ > 0 tale che
|f (x) − ℓ| < ε
∀x ∈ (c − δ, c + δ) \ {c}.
2. Si dice che il limite di f (x) per x che tende a c è uguale a +∞ e si scrive
lim f (x) = +∞
x→c
se ∀M > 0
∃δ > 0 tale che
∀x ∈ (c − δ, c + δ) \ {c}.
f (x) > M
3. Si dice che il limite di f (x) per x che tende a c è uguale a −∞ e si scrive
lim f (x) = −∞
x→c
se ∀M > 0
∃δ > 0 tale che
f (x) < −M
∀x ∈ (c − δ, c + δ) \ {c}.
Esempio 3.2 Sia
f (x) =
1
,
x2
∀x ∈ R \ {0}.
Verifichiamo che
lim f (x) = +∞.
x→0
Per calcolare il limite sostituiamo 0 alla x. Allora otteniamo:
lim
x→0
1
1
1
= 2 = + = +∞.
x2
0
0
Fissato un qualsiasi M > 0 possiamo prendere δ =
√1
M
e otteniamo: f (x) > M
y
y=
1
x2
x
29
∀x ∈ − √1M , √1M .
Esempio 3.3 Sia
f (x) =
1
,
x
∀x ∈ R \ {0}.
Abbiamo lim+ f (x) = +∞ e lim− f (x) = −∞.
x→0
x→0
y
y=
1
x
x
Definizione 3.4 Limite destro Sia f : (a , b) \ {c} −→ R. Si dice che il limite di f (x) per x che tende ac
da destra è uguale a +∞ e si scrive
lim f (x) = +∞
x→c+
se ∀M > 0
∃δ > 0 tale che
∀x ∈ (c, c + δ) \ {c}.
f (x) > M
Analoghe definizioni valgono per il limite sinistro e per i casi in cui il valore del limite è finito oppure è
−∞.
Definizione 3.5 . Sia f : (a , b) \ {c} −→ R.
1. Sia f : (a , +∞) \ {c} −→ R. Si dice che il limite di f (x) per x che tende a +∞ è uguale ad ℓ ∈ R e
si scrive
lim f (x) = ℓ
x→+∞
se ∀ε > 0
∃M > 0 tale che
|f (x) − ℓ| < ε
∀x > M.
2. Sia f : (−∞ , b) \ {c} −→ R. Si dice che il limite di f (x) per x che tende a −∞ è uguale ad ℓ ∈ R e
si scrive
lim f (x) = ℓ
x→−∞
se ∀ε > 0
∃M > 0 tale che
|f (x) − ℓ| < ε
∀x < −M.
Esempio 3.6 Sia
f (x) =
1
,
x
∀x ∈ R \ {0}.
30
Abbiamo
lim f (x) =
x→+∞
1
=0 e
+∞
lim f (x) =
x→−∞
1
= 0.
−∞
Definizione 3.7 .
1. Sia f : (a , +∞) \ {c} −→ R. Si dice che il limite di f (x) per x che tende a +∞è uguale a +∞ (−∞)
e si scrive
lim f (x) = +∞(−∞)
x→+∞
se ∀M > 0
∃N > 0 tale che
f (x) > M
(f (x) < −M )
∀x > N.
2. Sia f : (−∞ , b) \ {c} −→ R. Si dice che il limite di f (x) per x che tende a −∞è uguale a +∞ (−∞)
e si scrive
lim f (x) = +∞
x→−∞
se ∀M > 0
(−∞)
∃N > 0 tale che
f (x) > M
Esempio 3.8 Sia f (x) = 1 − x2 ,
(f (x) < −M )
∀x < −N.
∀ x ∈ R.
y
Allora lim f (x) = 1 − ∞ = −∞
x→+∞
y = 1 − x2
e
lim f (x) = 1 − (−∞)2 = 1 − ∞ = −∞.
x
x→−∞
Teorema 3.9 (Unicità del limite) Se una funzione ammette limite in un punto, il limite è unico.
Dimostrazione. Dimostriamo il teorema nel caso di una funzione f : (a , b) \ {c} −→ R che ammette limite
in c ∈ (a , b) e supponiamo che esistano ℓ1 , ℓ2 ∈ R tali che
lim f (x) = ℓ1
x→c
e
lim f (x) = ℓ2
x→c
con ℓ1 6= ℓ2 .
Dalla definizione di limite si ha che per ogni ε > 0 esistono δ1 , δ2 > 0 tali che
|f (x) − ℓ1 | < ε
∀x ∈ (c − δ1 , c + δ1 ) \ {c}
e
|f (x) − ℓ2 | < ε
∀x ∈ (c − δ2 , c + δ2 ){c}.
31
Sia δ = min{δ1 , δ2 }. Applicando la disuguaglianza triangolare otteniamo
|ℓ2 − ℓ1 | ≤ |f (x) − ℓ1 | + |f (x) − ℓ2 | < 2ε
∀x ∈ (c − δ, c + δ){c}.
⊔
⊓
Essendo ε piccolo a piacere, deve essere ℓ2 = ℓ1 .
3.3
ASINTOTI
Definizione 3.10 Sia −∞ ≤ a < b ≤ +∞ e sia f : (a , b) \ {c} −→ R. Si dice che la funzione f ha un
asintoto orizzontale di equazione
y=ℓ
se lim f (x) = ℓ oppure lim f (x) = ℓ.
x→+∞
x→−∞
Esempio 3.11 La funzione f (x) =
Infatti lim f (x) =
x→±∞
1
+ 1,
1 + x2
1
+ 1 = 0 + 1 = 1.
1 + ∞2
∀ x ∈ R, ha un asintoto orizzontale di equazione y = 1.
y
y=
1
1+x2
y=1
+1
x
Definizione 3.12 Sia c ∈ R e sia f : (a , b)\{c} −→ R. Si dice che la funzione f ha un asintoto verticale
di equazione
x=c
se lim f (x) = +∞ oppure lim f (x) = −∞ oppure lim f (x) = +∞ oppure lim f (x) = −∞.
x→c+
x→c+
x→c−
32
x→c−
Esempio 3.13 La funzione
f (x) =
1
,
x+1
∀x ∈ R \ {0}
ha un asintoto verticale di equazione x = −1 e un asintoto orizzontale di equazione y = 0.
lim f (x) = +∞,
x→−1+
Infatti
lim f (x) = −∞. lim f (x) = 0,
x→±∞
x→−1−
y
x = −1
y=
1
x+1
x
Definizione 3.14 Sia −∞ ≤ a < b ≤ +∞ e sia f : (a , b) \ {c} −→ R. Si dice che la funzione f ha un
asintoto obliquo per x che tende a +∞ di equazione
y = mx + q
se
lim
x→+∞
f (x)
= m ∈ R \ {0}
x
e
lim f (x) − mx = q ∈ R.
x→+∞
Si ha una definizione analoga per l’asintoto obliquo per x che tende a −∞.
y=
Infatti
m = limx→±∞
f (x)
x
= limx→±∞
1
x2
e
1
x
1
x
+x
x
+1=1
q = limx→+∞ f (x) − mx = limx→+∞
y=x
y
Esempio 3.15 La funzione
1
f (x) = + x, ∀x ∈ R \ {0}
x
ha un asintoto obliquo di equazione y = x.
+ x − x = 0.
33
3.4
ALGEBRA DEI LIMITI
Definizione 3.16 Le seguenti espressioni sono dette forme indeterminate:
+∞ − ∞;
0 · (±∞);
±∞
;
±∞
0
;
0
1±∞ ;
00 ;
(+∞)0 .
Teorema 3.17 (Algebra dei limiti) Siano f, g : (a, b) −→ R, e β, γ ∈ R∗ . Supponiamo che limx→a+ f (x) =
β e limx→a+ g(x) = γ. Valgono le seguenti implicazioni:
(i) se β + γ non è una forma indeterminata, allora
lim f (x) + g(x) = β + γ;
x→a+
(ii) se β γ non è una forma indeterminata, allora
lim f (x) g(x) = β γ;
x→a+
(iii) se γ 6= 0 e β/γ non è una forma indeterminata, allora
lim
x→a+
f (x)
β
= ;
g(x)
γ
(iv) se β γ non è una forma indeterminata, allora
g(x)
= βγ .
lim f (x)
x→a+
Dimostrazione. Ricordiamo che
lim ϕ(x) = ℓ ∈ R ⇐⇒ lim+ |ϕ(x) − ℓ| = 0,
x→a+
x→a
per ogni funzione ϕ : (a, b) −→ R.
Se β, γ ∈ R le affermazioni (i), (ii), (iii) seguono dalla definizione di limite e dalle seguenti disuguaglianze
|f (x) + g(x) − (β + γ)| ≤ |f (x) − β| + |g(x) − γ|;
|f (x) g(x) − βγ| = |(f (x) − β)g(x) + β(g(x) − γ)|
≤ |f (x) − β| |g(x)| + |β| |g(x) − γ|;
34
f (x) β −
g(x)
γ
f (x) − β γ + β(γ − g(x)) = g(x) γ
|f (x) − β| |γ|) + |β| |g(x) − γ|
.
g(x) γ
≤
I casi in cui β e γ non sono entrambi finiti si trattano in maniera analoga.
Esempio 3.18 (Forma indeterminata: +∞ − ∞)
Abbiamo
lim x2 + x = +∞.
x→−∞
Infatti, per x → +∞,
1
1
−→ +∞ 1 +
= +∞ (1 + 0) = +∞
x2 + x = x2 1 +
x
−∞
Esempio 3.19 (Forma indeterminata: +∞ − ∞)
Abbiamo
p
1
x2 + x − x = .
x→+∞
2
lim
Infatti, per x → +∞,
p
x2 + x − x
=
=
=
x2 + x − x2
√
x2 + x + x
x
q
x 1 + x1 + x
x
q
x
1+
1
x
+1
−→
1
.
2
Esempio 3.20 (Forma indeterminata: +∞ − ∞)
Abbiamo
lim
x→+∞
p
x4 + x3 − x2 = +∞.
Infatti, per x → +∞,
p
x4 + x3 − x2
=
=
x4 + x3 − x4
√
x4 + x3 + x2
x3
−→ +∞.
q
x2
1 + x1 + 1
35
⊔
⊓
Esempio 3.21 (Forma indeterminata: +∞ − ∞)
Abbiamo
lim
x→+∞
p
x2 + 1 − x = 0.
Infatti, per x → +∞,
p
x2 + 1 − x
x2 + 1 − x2
√
x2 + 1 + x
1
q
−→ 0.
x
1 + x1 + 1
=
=
Esempio 3.22 Forma indeterminata:
•
lim
x→+∞
±∞
.
±∞
x
= 1. Infatti, per x → +∞,
x+1
1
x
x
=
=
1
x+1
x 1+ x
1+
•
lim √
x→+∞
lim
x→+∞
1
= 1.
1+0
x
= +∞. Infatti, per x → +∞,
x+1
x
x
√
= √ q
x+1
‘ x 1+
•
→
1
x
1
x
√
x
= q
1+
1
x
+∞
→√
= +∞
1+0
x
= 0. Infatti, per x → +∞,
(x + 1)2
x
1
1
1
x
= 2
=
= 0.
=
→
1
1
2
2
2
2
(x + 1)
+∞(1 + 0)
+∞
x (1 + x )
x(1 + x )
3.5
CONFRONTO TRA INFINITI
Il risultato del seguente teorema segue dal Teorema di de l’Hôpital (Teorema 5.23) che enunceremo nella
Sezione 5.
Teorema 3.23 Siano a > 0, a 6= 1 e β, γ > 0. Allora
xβ
=0
x→+∞ ax
lim
e
(loga x)γ
=0
x→+∞
xβ
lim
• Come conseguenza immediata del Teorema 3.23 abbiamo:
36
⊲
⊲
⊲
(loga x)γ
= 0,
∀a, b > 1 ∀γ ∈ R.
x→+∞
bx
(loga x)γ
x
(loga x)γ
= lim
· lim x = 0 · 0 = 0
Infatti: lim
x
x→+∞
x→+∞ b
x→+∞
b
x
lim
ax
= +∞,
∀a > 1 ∀β ∈ R.
x→+∞ xβ
x
a
1
1
Infatti: lim β = lim xβ = + = +∞.
x→+∞ x
x→+∞
0
ax
lim
xβ
= +∞,
∀a > 1 ∀β > 0, ∀γ ∈ R.
x→+∞ (loga x)γ
1
1
xβ
= lim (log x)γ = + = +∞.
Infatti: lim
a
x→+∞
x→+∞ (loga x)γ
0
β
lim
x
x
⊲
b
= +∞,
∀a, b > 1 ∀γ ∈ R.
(loga x)γ
bx
1
1
Infatti: lim
= lim
= + = +∞
bx
x→+∞ (loga x)γ
x→+∞
0
(log x)γ
lim
x→+∞
a
Esempio 3.24 Abbiamo
100
x + (log2 x)
⊲ lim
x→+∞
3x + 1
= lim
x 1+
(log2 x)100
x
x
= lim x ·
x→+∞ 3
3x 1 + 3−x
log
x
4x 1 + 41/2
x
4x + log1/2 x
⊲ lim
= lim 2x ·
= lim
3
x→+∞
x→+∞
x→+∞
2x + x3
2x 1 + 2xx
⊲
x→+∞
lim x 2x = lim −t 2−t == lim
x→−∞
t→+∞
t→+∞
t
= 0.
2t
1
3− x
⊲ lim 10 = lim t10 3−t = 0
t→+∞
x→0+ x
⊲ lim+ x ln x = lim
x→0
t→+∞
ln t
1 1
ln = − lim
=0
t→+∞ t
t
t
37
1 + (log2xx)
lim
x→+∞
1 + 3−x
lim
x→+∞
1+
1
log1/2 x
4x
3
+ 2xx
100
= 0 · 1 = 0.
= +∞ · 1 = +∞.