Progetto lauree scientifiche
Unità 4
numeri complessi e poligoni
regolari
A cura di Maurizio Dini e Paola Gario
Dipartimento di Matematica
“F. Enriques”
Università degli Studi di Milano
L’equazione zn = 1
Quante soluzioni ha l’equazione z4 = 1?
Cerchiamo i numeri complessi
in R ne ha 2 ma in C
ne ha addirittura 4!
a =  (cos  + i sen )
tali che a4 = 1
sono Gauss, il Principe
della matematica!
Quattro???
ma chi crede di
essere costui?
Le soluzioni dell’equazione z4 = 1
a4 = 1 , in forma trigonometrica, si scrive
4 (cos 4 + i sen 4) = 1(cos 0 + i sen 0)
...stessi modulo
due numeri
e quindi:
e argomento!
complessi sono
uguali se hanno...  = 1 e 4 = 0 + 2k
cioè
 = 1 e  = (k/2)
Facendo variare k , si otterranno
coppie ( , ) che daranno
le soluzioni dell’equazione
le soluzioni dell’equazione z4 = 1
Inseriamo i dati ottenuti in una tabella
k

 = (k/2)
Uk(a,b)
0
1
0
U0(1,0)
1
1
/2
U1(0,i)
2
1

U2(-1,0)
3
1
3/2
U3(0,-i)
4
1
0 + 2
U4(1,0)
5
1
/2 + 2
U5(0,i)
...
...
...
...
iY
U1 U5
U2
U4 U0
O
X
U3
Le 5 soluzioni dell’equazione z5 = 1
iY
In questo caso abbiamo
una sola soluzione
reale!
a1
a2
72
O
a0
X
a3
a4
Le radici n-esime dell’unità
ovvero
le n soluzioni dell’equazione zn = 1
ovvero
Questo l’ho
fatto io!
le n radici del polinomio zn - 1
si trovano sulla circonferenza
unitaria e la dividono in
Bingo!
n archi uguali.
Dunque sono i vertici di un
n-gono regolare inscritto nella
circonferenza unitaria.
radici dell’unità e poligoni regolari
OK Gauss, le tue radici dell’unità
sono i vertici di un poligono regolare.
Ma il MIO PROBLEMA è:
costruire i vertici con R&C !!!!
Il MIO metodo
può funzionare
a meraviglia!
Utilizziamo il metodo delle
“radici dell’unità”
per costruire con R&C
il pentagono regolare
radici dell’unità e costruzioni con R&C
Per costruire con R&C il punto sulla circonferenza unitaria
che rappresenta il numero complesso a = cos
 = a+ i sen 
costruiremo il punto H, sua proiezione sull’asse reale,
ovvero il segmento OH, essendo OH = cos .
iY
Vi sarà utile
ricordare che:
a = (1, )
a + a = 2cos
a + a = ( 2cos ,0)

O

H
X
a = (1,  )
Figura
Radici quinte dell’unità e costruzione
del pentagono regolare
In questo caso, è n= 5 e
iY
2
OH = cos
5
a1
a2
O
72
H
a3
a4
a0
X
Si vuole costruire il punto
sulla circonferenza unitaria
che corrisponde alla radice
2
2
a1 = cos
+ i sin
5
5
A tale scopo costruiamo il punto H,
sua proiezione sull’asse reale, cioè costruiamo il segmento:
2
OH = cos
5
L’equazione z5 = 1 della divisione del cerchio
a0 = 1 è l’unica soluzione reale
dell’equazione z5 - 1 = 0 che,
dunque, si scompone in:
iY
a1
a2
72
O
a0
z 5  1 = ( z  1) ( z 4 + z 3 + z 2 + z + 1) = 0
X
a3
a4
Ora tocca a voi!
a1 è un’altra soluzione che
soddisfa la condizione:
4
3
2
a
+
a
+
a
( 1 1 1 + a1 + 1) = 0
Inoltre sappiamo che:
2
a1 + a1 = 2cos
5
dal numero alla costruzione
Per concludere, si tratterà di costruire il punto
H tale che:
Avete ottenuto
il numero che dà il
vertice U1 del pentagono:
2 1 + 5
cos
=
5
4
2 1 + 5
OH = cos
=
5
4
Se avessi fatto
i compiti questo numero
l’avrei già costruito!
... la parola a Gauss
TEOREMA del Principe della Matematica
(“Disquisitiones Arithmetices” del 1801)
Sia p un numero primo diverso da 2.
Il p-gono regolare è costruibile con R&C se
e solo se p è un numero (primo) della forma:
22k + 1
Invece il ph -gono regolare (h > 1), può essere
costruito con R&C, se e solo se:
p=2
numeri primi e poligoni regolari
I numeri primi della forma 22k + 1 si chiamano
“primi di Fermat”
220 + 1= 3
5
221 + 1= 5
Infatti 22 + 1
non è primo perché
è divisibile per 641….
222 + 1= 17
sono primi
Li ho inventati io!
Credevo che fossero tutti
primi ma Eulero...
mi ha smentito!
Altri primi di Fermat non ne
sono stati trovati ... per ora ...
223 + 1= 257
la questione non è del tutto risolta!
Quali sono i poligoni regolari, in particolare i
poligoni con un numero primo di lati, che si
possono costruire con R&C?
Bel Principe della matematica
dei miei stivali! Volevo una risposta
conclusiva alla domanda...!
... e Gauss ti ha risposto
tirando in ballo
i miei primi 22k + 1
di cui si sa ben poco!
... provate voi
a fare di meglio!
una lunga storia non ancora conclusa
Euclide (circa 300 a. C.)
Cartesio (1596-1650)
Fermat (1601-1665)
Eulero (1707-1783)
Gauss (1777-1855)
nel 1990 usando 1000 computer, F9 = 229 + 1
è stato completamente fattorizzato