liUiei
PROFESSORE
BIAETCHI
DELLA
REGIA
UNIVERSITÀ
DI
PISA
a
LEZIONI
SULLA
il LIM e
E
EQUAZIONI
rr m
DD
D
i
DELLE
SECONDO
ALGEBRICHE
PISA
SPOERRI
ENRICO
Libraio
-
1900
Editore
GALOIS
5 \ cì,^
Pisa, Tip. Succ.
FF.
(j)
Nistri.
PREFAZIONE
pubblicazione del presente
Colla
che
di
ripetuta esperienza d'insegnamento
una
voluto
dargli, ho
italiane
libro
un
tutte
Galois
Il lettore
di
si
se
scopo,
giudicherà
condotte
mezzi
con
le
alla
prepari
portanti
im-
lettura
interamente
tale
all'immor-
ed
efficacia.
nella
cerchi
presente
raggiunto
il mio
degli argomenti
scelta
e
di essi:
ciascuno
a
se
semplificate, altre
risultano
quali richiedeva
la
delle
in possesso
appena
più
natura
consuete
d'algebra complementare.
nozioni
Le
giovani
a
fra
una
Sarà
la
più elementari,
libro, destinato
del
Università
delle
fecondità
non
metodi.
dimostrazioni
consigliato
principii dovuti
loro
opportuna
ha
trovansi
ove
materia
di
li
data, nella trattazione,
alcune
che
si troverà
nella
risultati,o
giusta l'estensione
la
tutta
di
e
i
conseguenze,
già esperto
novità
opera
le loro
studio
allo
più complete,
e
mi
giovani studenti
matematica
dimostrata
e
ai
li avvii
che
maggiori
opere
svolti,in
offrire
dell'odierna
teorie
delle
lezioni,nella forma
di
corso
che
opere
le
presenti lezioni, sono
le
Jordan
ho
maggiormente
Tratte
—
des
substitidìons
et
posto
seguenti
cles
.
contributo, nel
a
équations
digere
re-
:
algébriques. (Paris,
G.
Villars, 1870).
Netto.
Snhstitutionentheons
—
und
iJire
.
(Leipzig, Teubner,
Kleix
.
.
vom
Weber
—
.
ilber das
Vorlesungen
—
filnften
Lehrbuch
der
Grade.
Anwendungen
auf
die
Algebra.
1882).
Ikosaeder
und
die
Auflosung
(Leipzig, Texibner,
Algebra.
(Braunschweig,
der
Gleichungen
1881).
Vieweg,
1895).
IV
Cito
ancora,
BuRNSiDE
of
Theory
—
vivamente
raccomaDdariie
per
groups
of
onler.
finite
lo
(Cambridge,
studio:
University
Press,
1897).
Questo
finiti, che
fino
giunge
tardi
troppo
Avverto
fine
in
mi
storiche,
libro
ottimo
che
largamente
il
l'ecenti
poterne
che
per
lettore,
luglio
più
nelle
teoria
mia
per
ritenuto
sono
sparse
Pisa,
ai
contiene
lo
risultati;
trarre
opere
di
sopra
da
gruppi
sciuto
cono-
me
profitto.
dall'
dispensato
desideroso
fu
ma
l'opera
del-
didattico
puramente
scopo
dei
completa
obbligo
le
conoscere
di
fonti,
ricordate.
1899.
L.
Bianchi.
citazioni
troverà
PARTE
Teoria
dei
PRIMA
groppi
di
sostituzioni
Capitolo
Sostituzioui
loro
e
circolari.
di
Gruppi
§.1.
transitivi
simili
ed
Limite
—
Gruppo
—
del
superiore
terno.
aldi
grado
imprimitivi.
Consideriamo
un
—
con
corollarii.
e
intransitivi.
permutabili.
e
—
fondamentale
—
Gruppi
—
qualunque
numero
n
di
che
oggetti,
presentiamo
rap-
lettere
n
/Y»
•*'l
/Y»
//»
•*'2
"
5
/y»
'*'3
•
•
•
•*'rt
•
•
con
indichiamo
degli
—
—
—
Sostituzioni
sostituzione.
una
Sostituzioui
dispari.
e
Teorema
sostituzioni.
transitività.
Se
di
—
pari
—
Gruppi
Pei'iodo
composizione.
Sostituzioni
I.
i
ancora
dicesi
Il
degli
permutazione
una
2,
1,
in
3...W,
altro
il
ordine,
succedersi
nell'ordine
oggetti
n
numeri
delle
numero
stessi.
oggetti
distinte
permutazioni
è
dato,
è
come
dal
noto,
fattoriale
K{n)
l,
=
2
3..
.n.
.
Chiamasi
permutazione
seconda
se
ad
linea
prima
una
sostitiimone
orizzontale
partiamo
dalla
V
un'altra.
orizzontale
colla
operazione
Si
la
rappresenta
la
permutazione
la
permutazione
superiore
permutazione
/y
t*']^
rin
tA^Q
^
rv*
«^3
•
•
•
**'l4
si
quale
sostituzione
da
a
cui
cui
si
da
passa
una
scrivendo
si
parte,
arriva.
Così
in
in
una
p.
e.,
4
Capìtolo
alla
^ecl arriviamo
col simbolo
/
tiCi
i
\
subito
quando
a
così p.
e.
che
f
la
tt'O
\
'
/
J
I
'^n
/
si
riguardano
identiche
come
medesimo
un
oggetto
;
tA^i il/2 t^'3 '^4
l
'
\
'^'ò *^'4
n^
^2
rappresentare
/y*
/y^
^4
*^1 *^3
/y»
sostituzione,possiamo prendere
una
qualunque permutazione fissa,
p.
una
e.
permutazione principale
o^
/v»
indichiamo
Se
quindi
/y
*A-'2 tA.'3?
I
•
•
/y
xA/ li
m
•
•
con
V
Wl
da
•
'
tX.
le
'
sostituzioni
permutazione iniziale
come
•
\
tjCi^i
oggetti sostituiscono
t/.'3nA^Y •^4
che, nel
segue
•
sostituzioni
(
Ne
•
•
^
'^'3
le due
\/y»/y»/y»/y'/
\
i-"/| tA/o
•
/y
^2
due
identiche
sono
/yi
^i
degli n
ciascuno
JCì^OCa^
//•
\
Diciamo
§.1
—
permutazione
la sostituzione
scriveremo
r.
y
^2
'
5
y
^3
(«) permutazionidistinte,altrettante
;r
indicarsi
^^
l'y
/
queste la prima, che
la sostituzione
con
y
^7T
(n)
le sostituzioni
saranno
distinte
coi simboli:
'"M
Fra
•
identica
/y
\yj
lascia
V identità.
o
\
\
\y
ogni lettera al proprio posto, dicesi
Spesso rappresenteremo
le sostituzioni
semplici lettere
S
T
,
e
l'identità
particolare
in
S, T
Se
sono
sostituzione
terza
ordine
determinato
ad
mediante
esempio
due
U
col simbolo
1.
qualunque sostituzioni,possiamo considerare
che
p.
dalla
la S, ciò che
e,
nasce
eseguendo S, T successivamente
prima S, poi T. Per
ottenere
permutazione principale
-i
condurrà
alla
nuova
ed
una
in
la U
basterà
operare
su
un
tire
par-
questa
permutazione lo; indi, ope-
rando
permutazione
sulla
permutazione
'L, la
U
sostituzione
Questa
sostituzioni
prodottodi queste
imnendo
alterando
F ordine
la sostituzione
due
Quando
fra loro
Stabilito
il
e
si scrive
U
=
delle
due
anche
il
Così
p.
e.
fissare
necessario
E
scrittura
della
significato
al
componenti, cangia
sostituzioni
ST
in generale
si pone
se
soddisfano
S, T
od
simbolicamente
eseguitaprima.
composta.
S, T
ST,
alla condizione
TS,
=
permutabili.
significatodel prodotto
fissato anche
Si, Sj, S3.
nuova
una
da
delle
composta
ST
si dicono
data
sarà
riguardo
sostituzioni
T, si otterrà
=
sostituzione
fondamentale
la convenzione
perchè,
la
sinistra
a
U
dicesi
U
COMPOSIZIONE
sostituzione
la sostituzione
e
-3
LORO
E
SOSTITUZIONI
il significato
del
S,„. Intendiamo
..
di
due
resta
sostituzioni,
prodotto di più
per
sostituzione
ralmente
natu-
successive
composta
tuzioni
sosti-
U,
che
scriviamo
U
(1)
Si.S,.S3...S„,,
=
.
quella
che
composta
(1)
componendo
nasce
Si So
sta
con
prima Si
S3, questa alla
dunque
sua
propriamente
U
=
per
volta
già
un
si è
prodotto
di
più
avvertito, invertire
con
S4
e
la
così
sostituzione
via. La
inola
for-
l'altra
s,
S,) S3))
((Si
.
.
In
S., indi
con
sostituzioni
due
0
è lecito
in
più fattori,cioè
non
non
generale, come
vale
la
legge
6
CAPITOLO
dei
commutativa
legge, che
vale
prodottidi
pei prodotti di
inalterata
il
al
dimostrare
la
insieme
proprietàbasterà
l'asserita
fattori vale
S,, S,+i
loro
elementare
legge
Verifichiamo
che
che
identiche,osservando
effetto.
in fine la 83
Xk
in
in
(2) porta
Xi. e
,r,
la sostituzione
in Xm-
Il
sostituzioni A, B
medesimo
(2) porta
identiche
sono
i risultati che
anche
in
si ottengono
ordine, sono
dalla
membri
due
forraola
porti x,
sicché
hanno
Xi
in Xk
il
la 82
,
la sostituzione
desimo
me-
porti
sinistra
a
,
in Xm
Xk
e
ciò anche
per
in x^i.
che
sostituzione
terza
una
identici,cioè
effetto
in
sono
qualunque
componendo
A
di tre
prodotto
preliminari,osservando
C è
e
nel
espressa
la Si
Xi
queste considerazioni
Terminiamo
che
prodotto 8283 porta
destra
a
provare
lettera
in Xm
porti xi
alterare
senza
prodotto eseguito. Per
infatti che
Supponiamo
dotto
pro-
il loro
dei
una
sopra
nel
81(82.83).
=
sostituzioni
le
arbitrio
S+j,,potremo,
.
.
associativa
(S,. 80.83
(2)
importante
prodotti, quella associativa, sussiste
.
prodotto, sostituire
un'altra
quantità. Ma
sostituzioni ; cioè, fissate ad
successive
più sostituzioni
§§.1,2
—
ordinarie
ordinarli
gli
per
I.
se
due
qualunque,
sia A, sia B
C, nel
con
da
B
=
tanto
segue
AC
=
CA
=
BC,
quanto
Viceversa
la
da
qualunque
una
CB.
di
queste
seconde
eguaglianze
segue
prima.
§.2.
—
Quando
tutte
le
sostituzioni
m,
Oi
sono
ugualifra
dicesi
della
la
loro
potenza
e
ad
w'*"""
è
legge associativa,
,
O2
•
•
di
8
sostituzione
si indica
e
chiaro
che
due
S, moltiplicatefra loro, danno
è la
somma
degli esponenti
delle
col
8^'
8'"
.
=
un
prodotto
8, il prodotto stesso
simbolo
potenze di
potenza
una
una
8'", A
medesima
di 8
potenze componenti
si ha
(3)
di
^m
•
medesima
una
componenti
8'"+^'
,
causa
stituzione
so-
il cui esponente
; in simboli
PERIODO
segue
sono
sempre
La
fra loro
sia intero
anche
considerare
si ottiene
cioè
quella
di
considerare
potenze di S
insieme
S~"
di S
ciò la
0
fare
intero
un
n
-
formola
la
in
poi
non
ad
più
'"-"
di
Conveniamo
S
con
nente
espo-
moltiplicando per
che
converremo
sia
alla
si avrà
caso
della
potenza
sensi
due
1
,
la serie
nulli) positivi
invece
(3)
basterà
S*^ il significato
in tutti i casi.
=
,o
interi (non
alla validità
assegna
o
,
o
diverse
,
o
ascendente, da
si vede
subito
delle
che
potenze
di S
:
....
é finito
ma
sostituzioni,
nuove
la potenza
1.
=
sostituzioni
precedenti.Ora
cioè
0, nel qual
=
restrizione
poiché
ripetuta sarà l'identità,
segue,
S~^;
=
esponenti
per
S'".
=
,o
esempio
incontreremo
le
S'
sussisterà
,o
delle
numero
(4)
S',
(S-')".
=
che
(3)
o
il
identità.
potenza
come
la serie infinita nei
ora
(4)
Poiché
inversa
qualunque negativo,definiremo
siam+i?
non
convenzione
Consideriamo
nullo.
o
S-' ;
=
varrà
(3)
toglierequest'ultima
e così
dell'identità;
sostituzione
sua
S, alla
con
S
w"'" di
potenza
come
negativi,purché
l'ulteriore
la
negativo
cioè
S'". S^
Per
S
convenzioni,
opportune
intero
nente
l'espo-
spostate da S nei posti che prima
S' di
S-»
Dopo
ad
le lettere
inversa
questa
allora,essendo
S
sostituzione
significatoquando
un
esponente
con
S'
ed
medesima
una
conviene, con
luogo, per composizione
1, scriviamo
-
soltanto
positivo.Ma
e
considerando
dà
potenze di
ora
per
che, riportando
occupavano,
due
7
SOSTITUZIONE
UNA
permutabili.
S"* ha
notazione
m
Ciò
particolareche
in
onde
DI
un
=
;r
(n), se
certo
corriamo
per-
punto
in
si
sariamente
ripeteranno neces-
la
prima
sostituzione
da
S~''^
S'^
=
1
.
Il
2nù piccoloesponente [3(intero)
positivo,pél qiialerisulta S^
dicesi il periodo
(o
V
ordine) della
sostituzione
S.
=
1,
CAPITOLO
I.
[3 è il periodo eli S, le (3potenze
Se
...Si^-1
1,S,S^
(5)
tutte
sono
fra loro
(5). E
delle
numero
ogni altra potenza S'" è uguale ad
distinte,ma
invero,
se
m
intero
g
il minimo
indica
r
resto
una
positivo (mod [j)del
(positivoo negativo),si avrà
m
con
§.2
—
(3-f- r
g
=
quindi
e
S"'
.
Deduciamo
quindi il
Perchè
potente S"',S'"' di S
due
S'(S.^f.
S'''^ S''=
=
S'-.
=
teorema:
ni
die gli esponenti m,
sufficiente
fra loro eguali è necessario
siano
e
congrui rispettoed periodo [B;in
siano
simboli
m
sia
Si
ni
può
facilmente
ora
positivo che
Indicando
vi
§. 3.
essa
nella
per
[3 si
con
notazione
che
si
risolvere
8=^ di S.
potrà dare
dunque
saranno
primi
S"'
necessario
e
sufficiente
con
a
questo il minimo
Sarà
in guisa
[i'
[Jss
s
il massimo
0
(mod
trovano
Una
dei
e
divisore
comun
(3se
ancora
S
serie 1, 2, 3,
la congruenza
a
di
è
v.,
fi,avremo
primo
con
P;
periodo [3 quanti numeri
a
fi- 1 cioè, nella ordinaria
...
S dicesi circolare
ordinarsi
l'ultima
soddisfare
da
intero
numeri, precisamente 'f(p).
sostituzione
sposta possono
seguente
nelle
valore
fi);
di
potenze
il periodo
questione di determinare
la
a.
ciò tante
della teoria
—
sarà
1
=
particolareil periodo di S'^ sarà
In
e
.
multiplo del periodo [5.
di ogni potenza
l'i'
e
(mod p)
particolareperchè si abbia
In
che
ni
ss
nella
in
o
ciclica quando
le lettere
guisa che la S porti ciascuna
prima. Così
/X-i X,
X,
p.
x.^\
\ OCy OC2 Ob^ OL^ /
e.
la sostituzione
lettera
SOSTITUZIONI
ciclicamente
opera
ed
permutazione
Se
fra
una
su
n
così la S
sulla
delle
lettera
nella successione
che
la S
sulle
che
si scrive
e
la
brevemente
più
Così
data
la
sostituzione
ciclicamente, potremo
opera
cominciare
periodo
ad
di
la
sostituzione
una
Dimostriamo
n.
permutazione
che
ora
ciclica
:
sostituzioni
lettere diverse.
una
qualunque
e
così
Xii
Xì2
ripetuta sarà
lettere
via. Nella
medesima
xi,-
la S
che
supponiamo
successione
la ^^i
saranno
xik
=
S
di lettere
poiché
se
le lettere
le due
puro
precedenti
.
(6) contenga
produca
e
Xi-i
certamente
la successione
quali adunque
delle
identiche,identiche
sono
porta nella
Poniamo
definita,appena
può decomporsi nel prodotto di più
in Xi2, la Xi^ in x,-^
prima
Il
eguale
(6)
la
S
quale
lettere.
sue
sostituzione
infatti x,\
porti ^(1
ciclica è
diversi,facendo
modi
w
cicliche,operanti su
Sia
/VI
*^'Z
circolarmente,
opera
è evidentemente
Qualunque
/yi
*^4
sostituzione
lettere
in
qualunque
lettere
/VI
*^3
si scriverà
le
sono
n
/VI
•^1
parentesi questa permutazione.
precedente
scrivere
da
cui
su
racchiudendo
ciclica
permutazione
sulla
ciò ciclica. Una
è per
9
CIRCOLARI
lo stesso
le sole
r
lettere
effetto che
la sostituzione
ciclica
KJi
Se
non
vi
sono
circolare
proceda
su
{Xii Xi-i
=
altre lettere
'?
vyg
—
.
.ri,)
.
spostate da S, la S è senz'altro
Ci. Altrimenti
questa nel medesimo
.
.
si
costruendo
modo
\Xki OCk^
un'altra
prenda
•
•
•
OCki^j
•
lettera
il ciclo
la
x':i
e
stituzione
so-
si
corrispondente
10
CAPITOLO
Così
I.
§§.3, 4
—
continuando, decomporremo appunto
S
nel
prodotto di più
stituzioni
so-
cicliche:
(7)
e
S
•
si noti
che
ciascuna
(7) di
quella che
modo
queste sostituzioni
lettere
su
C, C,
-
diverse,
di calcolare
due
?
S
in
il periodo di S,
di
componenti
due
a
S, operando
permutabili. La
prodotto di sostituzioni
utile. Intanto
più spesso
torna
'
.
.
circolari
sono
sostituzione
una
C
.
possiamo
circolari è
subito
dedurne
efifettivamente le
costruirne
senza
sizione
decompo-
il
cessive
suc-
potenze, col teorema:
Il
periodo p dì
(o periodi)dei
ordini
infatti
E
sostituzione S
una
cidi
,
della
causa
.
.
(Ci C,
=
poiché i singolicicli
D'altronde,
.
.
C,)P
.
,3è
degli
1
,
C?
=
scrivere
1
.
si dovrà
differenti,
avere
paratamente
se-
C,^=\...G^=\.
,
multiplo dei singoliperiodi dei cicli.
certamente
[i il minimo
se
.
lettere
su
1
=r
che
.
operano
Ci?
segue
C, in cui S si decompone.
permutabilitàdei cicli,potremo
.
Ne
.
=
Ci^ C^P
e,
multiplo comune
si ha
se
S^
a
Ci C2
è il minimo
multiplo
questi periodi,si ha
di
comune
inversamente
S?
ciò che
dimostra
§. 4.
E
facile
di
un'altra
una
la
Dicesi
—
si
può
rimarrà
Si arriva
che:
una
procedere nel medesimo
risultato
si compone
\X\ X2 ^3
...
ciclica
infatti da
prima al posto che deve
da
r
passare
cominciare, eseguendo
al medesimo
d' ordine
sostituzione
su
due
Qualunque sostituzione può scindersi
più trasposisioni.Per
lettera della
di che
proposizione.
trasposisìoneuna
vedere
ora
1,
=
osservando
di r-\
oCfj
—
una
nella
seconda, dopo
ogni sostituzione
che
trasposizioni
; così
•
portare
sulle rimanenti
modo
xp^i•X^ì)KP^i"^'i)
nel prodotto
permutazione ad
trasposizione,dal
occupare
lettere.
•
•
p.
\Xi 'X/f)
.
e.
lettere.
lare
circo-
PARI
SOSTITUZIONI
circolari.
nel
È
si
che
è sempre
che
S,
S T
S
non
a
destra
(o T S)
o
sinistra,per
a
aumenterà
cui S
zioni
trasposisi
guisca,
ese-
si decompone
S
in
in S
valutiamo
che
lettera, di quelle lettere
dimostrare
Se
che:
T,
trasposizione
una
di
dimostrarlo, scindiamo
dal
cominciamo
sposta, e
su
periodo 2,
modo
qualunque
sola
una
il
prodotto
avvertiamo
espressamente
di
abbia
in
trasposizioni
dispari.Per
quelli composti
cicli anche
come
nel
in
ma,
delle
numero
sempre
o
circolari,ove
sostituzioni
in
pari
il
S
generale
trasposizionidiverse.
a
comune
diversi;
in
non
stituzioni
so-
sostituzione
una
opereranno
non
sostituzione
una
in modi
può eseguire
dimostriamo
cioè
di
decomponendo
che
lettera
qualche
necessariamente
si è visto, in
come
la sostituzione
che
meno
decomposizione
La
osservarsi
da
lettere diverse; anzi, a
vi sarà
decompone,
queste
tiasposizioni,
di
prodotto
si
sostituzione
ogni
D'altronde
11
DISPARI
E
il
tiplica
mol-
si
dei cicli
numero
diminuirà, rispettoa quellodi S, precisamente
o
di im' unità.
ad
T appartengono
in S. Nel
lettera
primo
di C
appartenga
\j
T
secondo
•
.
.
potremo
è
cicli diversi C, C
supporre
che
la
prima
t^r
*^r-|-l
•
•
*^ìn)
•
permutabile
gli altri
Xr_\) [X,-Xfj^i
.
\pO\00^
—
tutti
con
ciclo C
avendosi
cicli di S, ed
.
ne
.
X„ì),
vengono
^).
sostituiti 2
supporre
'?
poiché T
1
all'unico
in ST
\j
e
t^i'
•
tutti
\Xi X-i.
che
caso
a
sposizione
tra-
•
permutabile con
risulta appunto
Nel
•
o
della
\pCi OGr)
U i
ne
ciclo C
lettere
dunque
sia
1*^1 «"t/ 2
•
le due
evidentemente
T;
a
X
Essendo
medesimo
un
potremo
caso
che
casi secondo
ciò due
Distinguiamo per
•
•
•
*jOyj
gli altri
cicli di S, oltre C,
C,
mentre
si ha
C C T
*) Si
osservi
ciò avviene
peraltro
per
r
=
(x'i
Xi.
=
che
2,
uuo
o
per
di
..
X, y, ìji...
questi
r^m.
cicli
può
ijs)
,
constare
dì
una
sola
tera;
let-
12
CAPITOLO
cicli C, C
i due
di S
si
I.
riuniti in ST
sono
in
solo, ciò che
un
dimostra
lemma.
il nostro
Ora
essendo
\Aj\
le
§.4
—
clic la S,
lettere, supponiamo
computando
come
1X^2
m
parte decomposta nel prodotto di
S
^ìt
•
sola
una
lettera
e
sia
cicli,
d'altra
trasposizioni:
m
Ti Ta
=
in cicli,presenti Jc
decomposta
i cicli di
anche
sopra
•
•
.
.
T^
.
avremo
1,„ ìm—l
O
e
poiché
r identità
di un'unità,
ne
il
1
^^
cicli (del 1."
n
volta
trasposizioneogni
una
di
consta
1» Il
...
dei
numero
ordine) e moltiplicandoper
cicli aumenta
diminuisce
o
deduciamo
]c -\-m
^
(mod 2),
n
cioè
m
S in
Decomponendo
altro
un
(mod 2).
-\-h
^n
di ni
prodotto
sarà dunque
trasposizioni,
necessariamente
ni
si
come
?pari
risultati danno
di
dispari,secondo
e
(mod
m
2),
asserito.
era
Questi
^
trasposizioni.È
dispari,secondo
luogo
chiaro
che
si compongono
che
che
vi è
un
delle sostituzioni
alla classifìcazione
di
un
prodotto di più
un
pari
numero
o
pari
numero
o
sostituzioni
dispari di
è
in
dispari
pari
sostituzioni
o
spari
di-
componenti.
Abbiamo
osservato
equivale al prodotto
che
sopra
di
r
trasposizioni.Se
1
—
di k cicli contenenti
sarà
"Z
sarà
pari
o
pari
=
lettera.
-
per
.
.
.
.
dispari secondo
^^(n,
dispari e
indifferente
o
ciclica
d' ordine
la sostituzione
S si
r
pone
com-
rispettivamente
«1, Wo,
lettere, essa
sostituzione
una
1)
=
Ui,
+
ìli
7?i
che
il
-}-...+
numero
ih
l'applicazionedi questo
comprendere
o
no
—
Jv
criterio sarà
fra i cicli
quelli di
una
temente
evidensola
14
CAPITOLO
I.
§§.5, 6
—
infatti si Iia
E
S' s
trasformata dì
2.* La
Si ha
invero,
.
.
queste prime nozioni
Stabilite
all'importantee fondamentale
di
gruppo
si osservi
anche
contiene
si ha
ove
le potenze
tutte
composizione, secondo
in
si compongano
una
od
natura
terza
che
possiamo
spazio
anzi forma
qui infinito,
1) Per
sistema
denotare
va\
tale
=
un'estensione
applicabilein tutti quei
continua, di
o
legge di
una
AB
alle altre
insieme
leggi elementari
più in generale le trasformazioni
o
sostituzioni sopra
indicate
sistema
; la
di
di sostituzioni
denominazione
proviene
da
Galois.
projettive,
oggetti,p.
degli oggettiinvece di
continuità
una
coniugato di sostituzioni
adottata, di gruppo
stituzioni,
so-
determinata
punti dello spazio; soltanto il numero
è
dalla teoria delle
nelle matematiche
è
S,
l'identità.
siano, purché esista
riguardare come
ancora
sostituzione
sua
esempì di operazionidi questa specie,citiamo
1. Come
dello
un
quale due operazioni qualsiasiA, B della serie
la
valga la legge associativa
i movimenti
stema
si-
^).In particolare
stesso
discontinua
infinita,
esse
C
alla fine del n.«
ogni
perciò anche
e
maggiori. Esso
finita
serie
una
ad
dapprima appunto
nato
operazioni,di qualunque
e
insieme
gruppo,
importanza sempre
una
casi
un
lettere dicesi
n
al sistema
nuovamente
acquistatosuccessivamente
ha
ed
che
di gruppo,
Il concetto
di sostituzioni. Un
od anche
qualsiasi (differenti
sostituzioni
appartiene
eguali) nel sistema
ne
di griqìpo
concetto
prodotto di due
il
se
S.) T.
.
sulle sostituzioni,arriviamo
qualunque di sostituzioni sopra
numero
un
.
T-' S'" T.
=
—
.
che
(T-'S T)"'
§. G.
T"-^ (S^S,
(T-'S„,T)
=
.
osservi
particolaresi
legge associativa
della
(T-^SiT) (T-^S^ T)
In
.
trasformatrice.
la sostituzione
causa
a
S') s
mate,
prodotto è eguale al prodotto delle trasfor-
un
la medesima
restando
s-^ (S
=
essere
e.
sui
finito
oggetti.I gruppi generali
Cauchy
adoperava
più breve,
ed
ora
il termine
salmente
univer-
DI
GRUPPI
di
operazionipossono
in
sono
finito od
formano
secondi
dei
continuità, contenendo
Arrestandoci
nel
ai
quello
a
nel
in
un
generale
caso
ordine
di
un
subito
Il
contenute.
esso
formando
tutte
periodo
di S, le
che
soli
studio
con
finiti di
teremo
trat-
si riduce
lettere,come
sopra
soltanto
svolgeremo conserveranno
di
la loro
operazioni.
il
medesima
una
nei
infinita,
parleremo quindi
di sostituzioni
di
le operazioni
primi
questi
il loro
più semplice esempio
le potenze
di
di sostituzioni
gruppi
gruppo
Nei
suscettibili di variare
operazioni (che
gruppo
di
zioni
opera-
gruppi infiniti
arbitrari.
le teorie che
di sostituzioni,
ma
Dicesi
finiti di
i
le loro
quanto
per
sono
gruppo
prossimamente (§. 15). Noi
dimostreremo
validità
del
di
che
continui.
gruppi
e
presente corso),diciamo
essenzialmente
gruppi
secondo
infiniti,
o
parametri
gruppi
15
SOTTOGRUPPI
serie discreta
una
operazionistesse
le
LORO
infinito. Ulteriormente
discontinui
gruppi
del gruppo
E
finiti
essere
numero
in
si dividono
SOSTITUZIONI
delle
numero
di
un
si ottiene
gruppo
sostituzione
zioni
sostitu-
S;
se
totalità delle
tt
(3 è
il
sostituzioni
p
1, s, s\..sH
formano
appunto
un
Un
tale gruppo
Un
altro
gruppo
dicesi
un
ciclico.
l'abbiamo
lettere ; questo
n
;3.
gruppo
di gruppo
esempio
sopra
d'ordine
gruppo
dicesi
nella
il gruppo
totale
su
stituzioni
(n) so-
lettere
n
o
simmetrico.
Ancora
consideriamo
evidentemente
tutte
un
gruppo
le sostituzioni
;
pari
su
n
questo dicesi il gruppo
lettere. Esse
alterno
o
mano
for-
gruppo
semisimmetrico.
Il
suo
ordine
è
uguale
;:
—
si rileva
come
da
subito
una
cangiano
Dicesi
medesima
gruppo
dispari e
tutte
a
=
3
4
.
che
parte per
.
.
w
,
moltiplicando tutte
sostituzione
una
tutte
ancora
5
.
.
le
:r
le
stituzioni
(w) so-
t:
dispari,
p.
(n) sostituzioni,
ma
e.
le
una
pari
viceversa.
sottogruppodi
appartengano
(3il
in
{n)
dall'osservare
trasposizione,si ottengono
si
a
un
G.
G
gruppo
Così
se
S
è
ogni
una
gruppo
Y le cui sostituzioni
sostituzione
ciclico
^p=[l,s,s^...s^^J
di
G
a
periodo
16
è
CAPITOLO
del
§.
7.
Sia
—
G„,
Medesimamente
un
sottogruppo, secondo
Indichiamo
In
ricorrere.
gruppo
sotto-
un
dine
sottogruppo d'or-
suo
del gruppo,
rispettoa quelle
alla
particolarestabiliremo
quale in
così il teorema
:
divisore
un
sempre
e
dcW
ordine
del
m
con
a)
Yi
di V
le sostituzioni
sia f.,
e
1, 72,
=
destra,
per
t., e
formiamo
h)
le
G.
come
Esse
inoltre
delle
ciò che è assurdo
h) fossero
moltiplicandoa
se
^j. Se poi
ì
a
non
conformemente
almeno
le
esistesse
al teorema
2
nna
n
^). Se
parte,
p.
e.
a
•
•
Y»' ^25
e.
si
dalle
e
tutte
certamente
precedenti. E
fatti
in-
avesse
delle
delle
6) eguagliasseuna
a) p.
e.
'ij,
=
avremmo
,
destra,
r, è in V, ciò che
V
Y./?
=^
una
y."^
sinistra per
la sostituzione
di
t^^^(§.1) risulterebbe
per
h
1) Se
'
eguali, p.
Y.-^2
contiene
fuori
G
medesima
una
fra loro
diverse
Y'
gruppo
da
di
sostituzioni
m
,
tutte
moltiplicando a destra
Ma
Y„
.
prodotti di sostituzioni di G, appartengono
sono
due
se
.
di V
t'i Y? t-z
l'hh-,
Yi
queste,
Y3.
sostituzione
"nfi
moltiplichiamo tutte le sostituzioni
G
è
G.
gruppo
a
alterno
legge fondamentale,
certa
del sottogruppo V
n
F,,un
ni,
le sostituzioni
una
sempre
fondamentale
Vordine
il gruppo
d'ordine
gruppo
distribuire
seguito dovremo
§.7
—
totale.
gruppo
Possiamo
n.
del
di G.
sottogruppo
un
I.
ir' 7/
=
sostituzioni
fatta
all'ipotesi
distinte
ììi
=
n.
sopra
(() Ij) e,
T coinciderebbe
sostituzione
enunciato,
sostituzioni
prodotto di due
come
è contrario
tale
.
se
con
^i. Dunque
non
G
del
e
ne
si
con-
avrebbe,
tiene
altre,il
come
è asserito
ordine
suo
nel
di G, che
è dato
sia uè
e)
delle e)
non
a)
una
a) h) e)
,
Y2
h).Le
una
0
dunque
sono
•
,
.
nel
costruito
medesimo
certo
un
esauriscono
e
sostituzioni
di G
il
numero
3
=
f^
formiamo
b), e
le
n
q
di queste orizzontali
fondamentale, che
serie
esauriscono
esse
il
a) h) e)
come
...
orizzontale
nuova
dalle
e
ogniqualvolta,dopo
,
contenente
precedenti.Ma
è finito, sarà
pure
queste
poiché
finito il numero
quindi
n
q
^^
Inoltre
,
vediamo,
ed
è questo
G
un
risultato
potranno distribuirsi,
V, nel quadro
Yi 5 Y2 ) Ys
Yl
•
•
•
'3?
Y3 h
Y2 fqjY3
Yl ^"Ii
orizzontali
di
n
non
•
sono
formano
•
'
tq
sostituzioni
prima orizzontale
quelledi un'altra orizzontale
Yn
^2)Y2 f-2^
"(3f 2
V"^/ \ Yl ^3) Y2
della
se
che
le sostituzioni del gruppo
tutte
rispettoal sottogruppo
q
ciò,
e) eguagliare
nelle
contenute
che
.
una
di G
avremo
il teorema.
di G
fra loro
m
dimostra
sostituzione
una
di orizzontali
diverse
ed
.
è chiaro
modo,
sostituzioni
delle
m
contenente
in
tuzione
sosti-
nuova
al teorema,
numero
tutte
Y- ^3
per
G, si potrà costruire
n
ciò che
sia ^3 una
di n,
quello sopra esposto si vede
a
distinte
tutte
.
sostituzioni
3w
G, si avrà, conformemente
Continuando
non
^3
eguali,uè può
essere
possono
m
avere
quindimultiplo
w""2w,
serie a) uè
ragionamento affatto analogo
Con
è
ed
2n
=
invece
nella
^3
Ti
gruppo
m
di G
sostituzioni
due
da
Se
teorema.
non
17
FONDAMENTALE
TEOREMA
•
.
Y"
•
Y" ^3
•
.
'2
.
'(,1tq
,
ciascuna.
Si osservi
quelle del
che le
sottogruppo
più,in generale,gruppo
T;
stituzioni
soma
fra loro.
ììl
Il
G
quoziente q
^^er Vordine
gruppo
G.
n
=
cJw si ottiene dividendo
—
Vordine
,
del sottogruppo \\ dicesi V indice
del
m
del gruppo
sottogruppoV nel
18
CAPITOLO
Spesso scriveremo
Abbiamo
t^
il
Si
destra.
può
con
q
sostituzioni
sinistra,ottenendo
il
Yb Ys) Y3
(A*) \
^3 Yl
T3
,
.
•
•
,
•
"^2Y3
,
^3 Y2
•
^3 Y3
,
G
divisore di
Il
tt
di
un
di
definizione
dimostrazione
comuni
spostano determinate
E
fra
a
le sostituzioni
risulta
xì^xì^.
.
S
sopra
di
un
importanti
lettere è sempre
n
G
gruppo
poi
seguono
un
è
divisore
un
le
guenti
proposizionise-
:
gruppi G,
due
gì
,
T
g.,
un
(in G
due
sono
=
.
.
G'
formano
si
conservano
ìin
sottogruppo
sostituzioni
prodotto
gig^
G, che
sono
Tg,
,
g,T
=
di G
Tg,
un
quelle
sottogruppo
^1,^2 di G
non
sposta queste lettere.
permutabili
fuori di G), formano
sostituzioni
solo
xi,-, si ottiene
.
due
se
gruppo
0
G
gruppo
che
il
di
giT
un
lettere Xii, Xi^
nemmeno
,xir,
sostituzione
invero, se
di
dall' osservare
Quelle sostituzioni
medesima
corollarii
G, G'.
non
3."
di gruppo
stessa
Se
spostano
)
seguono
di sostitimoni
sostituzione
una
sostituzioni
a
Ciò
dimostrato
gruppo
2/
di G.
1^7Y»
del gruppo.
d'immediata
che
•
(n),
perìodo
dell'ordine
comune
•
•
^3 Y»
enunciare:
basta
1.*' L'ordine
r
.
(r,T2r,T3r,...r,r).
=
fondamentale
teorema
l." Le
.
anche
scriveremo
Dalla
^2 V«
.
.
•
!
2.°
T(y
.
Y"
Yl '^yYa ; "^7Ys
"^fj
*
che
quadro
un
quadro
l "2 Yl, ^2 Y2
Dal
moltiplicatrici
formare
evidentemente
1, t2,
=
nuovo
/
che
così:
moltiplicatrici
Ti
a
quadro (A)
il
le sostituzioni
quadro (A),ponendo
.
analogo
§.7
—
più compendiosamente
formato
l,f2,ti. .tq a
=
I.
un
con
una
sottogruppo.
permutabilicon
T,
da
19
ALTERNO
GRUPPO
segue
§.
nel
8.
totale. Ora
gruppo
Nel
r
Ti
le
sostituzioni.
sue
fuori
(A)
di r,
di due
il teorema:
lettere
è contenuto
Indicando
Y
•
T
con
(w)
tu
.
d'indice
2
altro sottogruppo
alcun
alterno.
--
•
,
distribuire
possiamo
non
gruppo
Y2
,
sottogruppo
un
dimostrare
d' ordine
sottogruppo
un
"i
sopra
è
lettere
n
infuori del
aW
(Vlnclice 2
su
importa
totale G
grappo
Sia
alterno
Il gruppo
—
siano
e
(n)
TC
le
{n)
-
di G
sostituzione
qualunque
una
tutte
totale
del gruppo
sostituzioni
nel
quadro
orizzontali:
7i,Y2,.--.Tji^(,^)
•2'
G
YiT,Y2T,...T^^(,,)T
La
T^
sostituzione
alla seconda
fra queste
è certo
orizzontale
risulterebbe
quindi
tutte
T
=
rr\
le potenze
.,
pari
TiS
X
.
,
in r, onde
T, fuori di V. Ma,
come
per
che
segue
cui
|3è
dovrà
Se
un
le potenze
p
è il
.
le sostituzioni
sarà
dimostrato
quindi
gruppo
circolari
le sostituzioni
su
di sostituzioni
tre
lettere,esso
intanto
a
circolari
se
su
proviamo
sopra
n
coincide
T^
di T, la
periodo
contenere
tutte
T^
Dunque
esponenti dispari di
con
pari. Dunque
tutte
sia in F.
e
.
necessariamente
quindi
enunciato
se
non
di T
'T'4
±
sono
T
l'ipotesiche
contro
y,
può appartenere
non
fosse
poiché,se
T2
ne
(«),ma
;:
1
=
T
periodo impari,
F supposto
sussiste
lettere contiene
col gruppo
colare
parti-
l'altro :
tutte
cdterno
in
Il teorema
lettere.
che
in T,
è certo
il sottogruppo
tre
sono,
o
le sostituzioni
col gruppo
totale.
Ora
osserviamo
sostituzione
che
circolare
su
qualunqueprodotto di
tre
lettere,o
un
due
o è
trasposizioni
prodotto
di due
tali
una
sostitu-
20
CAPITOLO
che
zioni, secondo
le due
Essendo
comune.
h,
a,
I.
d
e,
quattro lettere
{a h) (e d)
ciascuno
comporsi
infatti
prodotti
con
sostituzione
lettere, onde
tre
su
.
nenti
conte-
pari può
risulta
evidente
enunciato.
il teorema
superiore può
Il teorema
seguente
Se
{a h e)
.
si compone
pari
circolari
sostituzioni
con
lettera
una
diverse, si ha
così qualunque
trasposizioni,
due
hanno
non
o
(a h e)
=
{hc d)
=
ogni sostituzione
siccome
!)
hanno
trasposizioni
{a h) {a e)
E
§§.8,
—
facilmente
generalizzarsinella proposizione
:
di sostituzioni
gruppo
un
circolari
fra
r
sopra
le
lettere contiene
n
sopra
lettere (r ""
n
le sostituzioni
tutte
col grìippo
coincide
2), esso
totale.
Per
r
2, essendovi
=
altra sostituzione
ogni
Infine
che
nel gruppo
il
(§.4). Per
di
caso
sostituzione
ogni
d'ordine
r
"" 3,
Rispetto
—
la distinzione
Un
G
gruppo
v^^l *^3 "^2 ^4
"
~
ai
gruppi
dei
sopra
qualche
il gruppo
basta
gruppo
con
due
sono
porterà
S~'
sostituzioni
lettere
.ri
S' di G
n
porterà
lettere.
se
che
.r,
G
nel
una
Indicheremo
'
V
•
tuzioni
sosti-
due
con
comporre
1
^2 ^3 '^A
•
•
t^i"/
•
lettere
su
classi secondo
•
•
ha
portanza
im-
grande
i criterii
seguenti.
t^ìi
Per
che
in
Xi
e.
Xi
le altre. E
in G
porterà
il gruppo
In
caso
.^i
e
può
,
infatti
se
in
x-
e
posto
opdi
essere
sostituzione
una
sarà
intransitivo
x-.
della transitività
fissa,p.
allora
S' che
porta
accertarsi
in tutte
gruppo
con
•
lettera
gruppo,
un
•
gruppo
in x',, onde
sia
precedente, osservando
lettere ad arbitrio x,, x^ fra le n, esiste
due
seconda
una
strato.
dimo-
sopra
/Vi
ri^
intransitivo.
del
^1')
in due
arbitrarie,esisterà
in Xj ed
Supponiamo
delle
sostituzione
esaminare
stato
lettere
n
quando, prese
dicesi
può
si
di sostituzioni
gruppi
/in
sempre
al
già
è certamente
dall'identità
•
•
•
tX/j tX/2
dicesi transitivo
è
riporta subito
si vede
come
vi
trasposizioni,
3 il teorema
-
ciclica di 3.° ordine
[JX.
i OC^ ^'^}
§. 0.
r
3 si
"
r
le
tutte
un
tata,
porx,-,
S
Xk
che
la sostituzione
transitivo.
sia
«i
una
qualunque
22
CAPITOLO
sostituzione
di
una
un
gruppo
di
d'ordine
I.
I^f^),
per
di
una
Tt(t)
Tz(r)t:{s)
.
Ritorniamo
ai
di transitività.
§§. 9,
—
r,T(s),
per
che
.
.
G
gruppo
arbitrio
delle
l'ordine
qualchesostituzione che porta le prime
Come
è
volte
m
transitivo
fisse in
lettere
transitivo, lo è
parliamo di
lo sia
non
e
G;,(„)
gruppi
nel
è
totale
differiscono
che
come
per
evidente
coincide
§.
del
un
è
nel gruppo
terno
alvolte
precisamenten-2
sostituzioni:
alla definizione,
lettere,ne
n-\
riguardarlo come
n
gruppo
-
n
volte
1
resta
1 volte
-
alterno.
gruppo
transitivo
su
una
fettamente
per-
transitivo.
n
lettere
totale.
Dimostriamo
—
mente,
general-
transitivo, intendiamo
appartiene a^
siccome, fissate
che
resto
col gruppo
10.
volte
ni
volte; ma
totale,potrebbe riguardarsi,stando
determinata, converrà
È
.
lettere, fra le due
n
trasposizione,una
una
volte transitivo ; ma
n
.
è
gruppo
m
se
al gruppo
Quanto
.
il gruppo
del gruppo
multipla li abbiamo
Il primo
G^,,,,.
permutazione qualsiasidelle
una
un
volte
m
gruppo
transitività
a
gruppo
transitivo,poiché
un
se
1, m-2
m-
qui che
volte.
1
4
m
di
Esempì
più forte ragione
nel gruppo
nelle seconde.
sostituzioni
Naturalmente
grado
fissato
e
n,
sempre
anche
portarsi con
possono
arbitrarie.
m
a
quando
che
se
fra le
lettere ordinatamente
m
semplice transitività,si vedrà
la
per
ciascuno, esiste
del
volte transitivo
m
lettere ciascuno
m
avremo
sottogruppo.
come
lettere dicesi
lettere in
m
G
conterrà
IVioecc.,
a seconda
distinguerli
n
sopra
quando, scelti due sistemi arhìtrarii di
ad
di
una
,
gruppi transitivi per
Un
10
fondamentale
il seguente teorema
sui
gruppi
transitivi.
L'ordine
N
di
mi
N
=
Z;
.
dove
ad
k
è l'ordine
arbitrio.
di
G,
gruppo
n
m
volte transitivo
{n-l)
.
.
.
{n
-
m
+
su
1)
n
dato da
e
lettere,
,
quel sottogruppo di G che lascia ferme
m
lettere fissate
TEOREMI
tX/j i//2 •
e
lettere
m
•
*^ni
•
sia
r
(yiy2
=
t3
•
.
lascia ferma
che
di G
quel sottogruppo
V2?
Ti H
•
•
f2
72
)
•
ì
con
/yi
medesimo
trovansi
hanno
quadro in
nel
prima
x^.x^.
ed
lettere
m
trovansi
g, g
il
G
è
in cui le
lettere
m
delle
n
q
Dimostriamo
In
0
col gruppo
che sposti
ad
m
G
Taltro
m
m
Siccome
numero
del
dei
q
si ha
(n
.
m
che,
se
g, g
ferme
come
quadro. Ciò posto, sicsistemi
-
m
di
posti diversi,
delle
numero
zioni
disposi-
appunto
1)
+
e.
d. d.
teorema:
o
meno
ogni sostituzione
che
si osservi
diverse.
Y- !/
=
non
"
operi sopra
2.
m
di
sostituzione
sposta
sia S,
lettere
col gruppo
alterno
(eccetto
l'identità)
lettere.
m
identica
Ora
coincida
non
puh esistere alcuna
lettere soltanto
supponiamo naturalmente
di G
.
in orizzontali
o
esse
onde
y
cioè
.
che
effetto,la ^'^^^ lascia
volte transitivo,che
totale,non
diversi,secondo
alla seconda
orizzontale
m,
n{n-l)
=
«^/H
portarsi,eguaglia il
possono
ora
gruppo
un
medesima
lettere
'ik*7 j
orizzontale
una
transitivo, il
volte
m
•
medesimo
ciò
è per
nella
•
quanto
e
"J
e
•
/y«
•
medesima
una
.x,n
.
•
"ikt2
posti, o in sistemi
è evidente
cosa
sopra
queste
di
sistema
•
in G.
/yi
tA^i 1/-2
nel
.
portano le lettere
sostituzioni di G
Due
F
di
Tindice
q
:
Tt
•
*(l
Yl *ri
ì V2
indicato
lettere. Distribuiam
di queste
ciascuna
(Vi
i
avendo
ta)
.
rispettoal sottogruppo V nel solito quadro
le sostituzioni di G
La
23
TRANSITITI
GRUPPI
esempio, le prime
ad
Prendiamo,
SUI
se
è
al massimo
due
lettere
almeno,
possibile,una
e
indichiamo
tuzione
sosticon
24
T
CAPITOLO
di G
sostituzione
una
T"^ S T, che
è
in cicli,dovremo
G, contenendo
sostituzioni circolari di
(§.8). Fra i cicli di S
ve
la
altrimenti
effettivi;
S, cioè
il gruppo
dapprima almeno
sia
ne
cicli
simili ad
ordine, sarebbe
dato
un
due
almeno
le sostituzioni
tutte
arbitrarie,
ad S, trovasi in G. Se
simile
avere
m
multipla.Anche
transitività
della
causa
a
11
lettere in altre
m
qualunque sostituzione
una
S
decomponiamo
§§. 10,
—
porti queste
esiste certamente
ne
come
che
I.
alterno
tale
to-
o
"
d' ordine
uno
le
tutte
3
sia
e
(pCiXi 3/3
\u\
Prendiamo
1 /y»
/y
/v»
li//2 "^'3 *^
Xr)'
.
ad
?^
2
•
•
•
S
che
contenga il ciclo
1
*^VÌ
quanto si è visto,quindi
la S' sarà in G, per
gli altri cicli di S. Anche
e
.
S' simile
sostituzione
una
.
anche
O
in fine che
Supponiamo
in
3.*^ ordine, onde
è ciclica del
che
almeno,
di due
numero
S
Prendasi
si avrà
in G
§.
11.
un
del 2." ordine
e
quindi
"
m
.
(aia-s)
(«2 cu) («5«e)
=
.
S S'
=
4, quindi
"
m
la U
I
—
insieme
fissare
totale.
4 ; sia
•
.
•
anche
U'
la sostituzione
anche
cui certamente
.
U'
=
limite
il lemma
=
(«1«4)(«2«3)-
=
"
5, vi sarà
ad
U
f/5)
(r/i
(«2«3)
(«i^4 a^),ciò che
teoremi
alle
n
simile
U'
onde
o
la sostituzione simile
Ma, essendo
in G
alterno
il gruppo
sarebbe
(«1«2)(«3ai) («5«e)
u
e
G
tutti i cicli di S siano
per
=
S'
e
\p^\X'2 X^)
O
nuove
sui
almeno
una
,
ci riconduce
al
ora
precedente.
al
stabiliremo,
superiore pel grado di transitività di
seguente:
caso
gruppi transitivi,dimostrati
proposizioni,che
5.^ lettera %
un
§.
dente,
prece-
servono
gruppo.
a
mettiamo
Pre-
SUPERIORE
LIMITE
Se
ordini
simile
G
gruppo
un
n
n,
ad
V
esiste in
non
dei
degliordini
n
due
contiene
m
V
sottogruppiV,
dei
alcuna
(ì'identità esclusa)
sostitu.zione di V, sarà
una
prodotto n.
e
(Tordhic
25
TRANSITIVITÀ
DI
GRADO
DEL
Vordine
sostituzione
del gruppo
m
tivi
rispet-
midtiplodel
sottogruppi.
Siano
i
(Ti
=
72
?"
i-(
sottogruppie
\i
?
formiamo
•
)
Y»
•
I
7-25 735
l5
le
(^
,
'^
•
?
/III
A
i due
'('3
)
n
••
\
i U-)
•
sostituzioni
n
1,2,3...
=
di G
«
*''^M^-=l,2,3...n'
Queste
sono
fra loro
distinte
tutte
7« 7
perchè,
7y 7 X
i
se
fosse
'
avremmo
cioè
sostituzione
una
di F
ipotesi,per
per
la sostituzione
7;
—
teorema
le
n
n
et)esauriscono
le
è verificato. In
in
a), e
caso
si costruisca
^
7
?:
n
n' sostituzioni
di
una
la
A-
7
—
/,
1, 2,
di G
=
3
...
';j(n'i
,
seguirebbe
le due
sostituzioni
'
—1
7y
7-
tanto,
sol-
risulterebbe
si ha
)n
sostituzione
una
g
diverse
sono
i(9i'k
però
luogo
•
infatti da
e
ha
=
ed
nn
di
G,
il
oltre
l, 2, 3...n
=
di G
ciò che
serie
nuova
^i
T,
identica, onde
opposto, sia
( A:=
Queste
,
le sostituzioni
tutte
.,
1
—
7y. ik
=
eguaglierebbe
"\i
Se
'
'
—1
7y 7«
,
7 1 7
'
—
k
1
«
.
fra
loro
e
dalle
a). E
26
r
CAPITOLO
ridentità
V,
l'altra di
F,
di
una
poi
Y,
=
e
7*
,
ambedue
Dunque
sono
V'x
=
•
e), p.
(3)eguagliasseuna
una
Y.-9
ne
simili fra loro.
sarebbero
V«
Se
§.11
—
quindi
si ha
e
I.
ik
si
e.
avesse
Yy il
=
dedurremmo
la g
Così
in
sarebbe
a)
procedendo
l'ipotesi.
contro
clie le sostituzioni
(§. 7), vediamo
di orizzontali contenenti
numero
n
in
si distribuiscono
di G
un
certo
ciascuna, ciò che
sostituzioni
n
fondamentale
del teorema
nella dimostrazione
come
mostra
di-
il teorema.
possiamo
Ciò premesso,
L'ordine
coincida
N
di
cdterno
col gruppo
G
gruppo
un
dimostrare
ora
proposizioneseguente:
volte transitivo
ni
totale,e
o
la
n
del
divisore
un
su
lettere,che
non
numero
-4'%=0^^+l)(w
+ 2)...^^
71
Per
dimostrarla, formiamo
ad arbitrio fra le
esiste,pel
teorema
sono
dell'altro,
7r
n.
cioè
{in),
divide
—
^-^
71
D'altronde, se
§. 10,
ricordiamo
n
e
alcuna
quindi
e.
V^
(,„)
sopra
in ciascuno
I\(„.),
nel gruppo
superiore segue
^
G
gruppi
I due
contenuti
ambedue
totale
il gruppo
alla fine del
lettere ; dal lemma
dotto N
{m)
sostituzione
totale d'ordine
che
::
{n) è
sate
fis-
lettere
m
dei
qualinon
simile ad
tu
una
{n)sulle
divisibile
pel
pro-
d. d.
\ni)
(§. 10)
{n-l)
che
(w
-
N
deve
m
+
1)
essere
,
n
multiplodi
GRUPPI
IMPRIMITIVI
n
ossia
"
M
Indicando
-—
con
Iil massimo
-r-
.
2
possiamo quindi enunciare
Un
alterno
o
in
contenuto
—
2
il risultato
totale,non
col ep'uppo
intero
j
di sostituzioni sopra
gruppo
27
PRIMITIVI
E
seguente:
lettere,che
n
pia di j
L
essere
può
coincida
non
[
-
—
col gruppo
volte transitivo.
j
-
n
A
limite
questo
superiore
del
Y
erado
di
transitività
di
un
^
se
gruppo
potrebbero sostituire altri molto
ne
teoremi.
già
rilevare
a
Ma
noi
ci limiteremo
il gruppo
come
più piccolicoU'uso
al risultato
alterno
totale
e
teriori
di ul-
conseguito,che
si
serve
distinguano,pel loro
grado più alto di transitività,da tutti gli altri gruppi.
§.
12.
Per
—
gruppi di sostituzioni
i
la classificazione
anche
ad
ora
Un
transitivo
il gruppo,
egual
lettera
Se
è
di
lettere
dicesi
le lettere
che
nel
di
dalle
p.
di tre
appunto
Notiamo
cioè
in
due
subito
maniere.
in tutte
le lettere
della
potenze
diamo
an-
di
G
lascino
o
portino
quelle di
un
poraneamente
contemun
altro
sistemi,il gruppo
ciclico
su
6
circolare
\*^I^2 *^'3*^4 ^b *^6/ )
ciascuno
3
t^2
*^4
«^6
1
d' imprimitività.
che
un
può
gruppo
la divisione
Così, nel
/y
sistemi
cui
ciascuno
transitivo
sostituzione
in sistemi
caso
in
essere
sopra
/y*
d' imprimitività.
/y»
/y»
più modi
imprimitivo,
d' imprimitività possa
citato,anche
lettere
formano
o
in tali
rispetto al gruppo
e.,
lettere
sistemi
può darsi che
diverse
sistema
un
tAy^ t/.'34^5
sono
le sostituzioni
proprio sistema,
impossibile scindere
formato
sistemi
importante
lettere,
su
n
in sistemi, contenenti
modo
O
i due
imprimitivoquando le
scindersi
sistema
un
primitiro.Così
dicesi
G
lettere,per
tutte
sistema.
è
gruppi imprìnùtlvi e primitivi,di cui ci
possono
di
numero
ciascuna
lettere
occupare.
gruppo
opera
in
sopra
/yi
/vi
i tre
farsi
sistemi
di
28
CAPITOLO
Un
di
dotato
gruppo
I.
§§. 12,
—
transitività
multipla
poiché potendosi portare,
arbitrarie
lettere
è
può
non
sostituzioni
con
impossibile. Dunque
ogni
:
primitivo
im-
essere
due
gruppo,
in sistemi
volte
più
gruppo
mai
del
arbitrarie, la divisione
due
in altre
13
d' imprimitivi
transitivo
è
ptrimitivo.
Così
chiaro
è
pure
che:
ogni
di lettere è necessariamente
primo
Sia
G
fisso ciascun
r,
sottogruppo
che
sostituzioni
d' imprimitivitàformano
sistema
di G
le sostituzioni
anche
del resto
può
un
sopra
numero
primitivo.
imprimitivo. Quelle
gruppo
un
transitivo
gruppo
di G
che
evidentemente
ridursi
in G
alla identità.
rispetto a quelle di
l' nel
lasciano
solito
un
Se distribuiamo
quadro
r
G
vediamo
subito
che
orizzontale.
medesima
ad
sistemi
altrettanti
G
eguale
q
all'indice
divisore
un
§. 13.
del
—
gruppo
Se
tt
di essi
su
qAìV
in G.
allora
Considerando
d' imprimitivi
soltanto
che
quindi questi
C...,
Se
un
gruppo
è il
r
di sostituzioni
numero
dei
H, d'ordine
sistemi, sarà
quindi
(r).
Vi
è
si
può
un
caso
importante
concludere
la
in cui dalla
specie delle
come
imprimitività,
sua
sostituzioni
insegna
il
seguente:
teorema
ovvero
produrrà
ed
sui sistemi
(lettere)
elementi
A, B,
il gruppo
producono
allora
permutazione
appartengono
una
di G
sostituzioni
due
la medesima
come
( r ^3
=
un
gruppo
coincide
Il gruppo
transitivo
esso
trasposizione,
una
totale.
col gruppo
transitivo
contiene
G
sulle
X\
lettere
n
Xo
,
,
X^
.
.
.
Xfi
è
imprim^itivo,
30
CAPITOLO
essendo
di
A].
A],
di
D'altronde
porterebbe in
di G
con
jc^.
Il
A]
e
il sistema
è chiaro
con
contiene
egual
un
di
alle lettere
le
le
G
il gruppo
opera
di T
trasposizioni
quindi precisamente
certo
un
come
proseguendo,
numero
di sistemi
s
C...
B
,
,
tutte
costituiscono
lettere
nuove
in
lettere
n
sole
e
Applicando
specie.Dunque
A, B, C
sistemi
giunte,
con-
qualunque di G,
della medesima
sui
impriraitivamente
sono
esse.
sostituzione
una
sistema
un
che
quelle lettere
(qualsiasi)di
una
questi sistemi
di
congiunta
di lettere
numero
contenendo
uno
fuori
sono
inversa
di lettere. Così
numero
trasposizionidi G, ad
per
sostituzione
congiunta per
e
è formato
,
sistema
B]
di
B] potrà essere
la
A]
di
BJ
A
ciascun
fuori di
altrimenti
sistema
nuovo
lettere
,
fuori
lettera
una
egual
un
le altre
tutte
Xii
distribuiremo
che
contenenti
anche
§.14
—
nessun' altra lettera
trasposizionidi G
per
la
fuori
xii
II.
il che
.
.
.
mostra
di-
,
il teorema.
Dal
Se
così dimostrato
teorema
un
gruppo
transitivo
risulta il corollario:
un
sopra
totale.
coincide col gruppo
trasposizione,
una
Capitolo
Isomorfismo
primo di lettere contiene
numero
II.
Teoi-ema
Composizione dei gruppi.
g-ruppi.
Hiilder.
di
Teorema
di
I
principale
composizione.
Sylow.
Gruppi semplici degli ordini da 1 a 100.
dei
—
due
—
—
Jordan,
di
—
Serie
—
teoremi
di
—
§. 14.
Le
—
nel presente
riferiscono
proprietà dei gruppi, delle quali ci andiamo
capitolo,hanno
alla teoria
Stabiliamo
Siano
in
grande importanza
una
una
ne
quelle che si
come
luogo il
primo
à' isomorfismo dei
concetto
G, T due gruppi di sostituzioni (operazioni)del medesimo
supponiamo
che
occupare
generale dei gruppi di operazioni.
G
=
(gì,92,
g-i---
r
=
(Ti
Y3
,
e
ad
si possa
72
,
.
.
gruppi.
ordine
Un)
.
Ym)
stabilire fra le sostituzioni
dei
due
corrispondenza biunivoca, tale cioè clie ad ogni sostituzione
corrisponda
una
m:
perfettamente determinata
in Y
ed
gruppi
di G
inversamente,
ISOMORFISMO
essenziale
colla condizione
di G
I due
Y
in
corrisponda
il
che:
al
31
GRUPPI
prodotto di due qualunque sostituzioni
prodotto delle due
si diranno
gruppi
DEI
allora
sostituzioni
in
isomorfi,ovvero
corrispondenti.
corrispondenza di
isomorfismo.
fissare le idee,
Per
supponiamo che ad
indice in V. E
la Y, col medesimo
prodotto l.gi
onde
Y
l- Per
=
legge fondamentale
la
corrisponderà il prodotto
Due
che
y-Tm
è
in G, al
1
a
dunque
=y.-,
•
•
di y-
eguale esponente
corrispondentigi,'{i hanno
di g,
9i^
1
7.?
1
=
e
quello
(ì'
egual
sempre
di Y', siccome
,
anche
sarà
=
,
ragione (ì'è multiplo di (3,
per la medesima
i3è multiplo di jì';
onde
quindi [5 fi'.
È immediatamente
=
egualea Gì
ordine
di
gruppi
Essendo
sola in F,
medesima
altro
corrisponde in F
ma
che
la
non
fra i
una
medesimo
sostituzione
in F
soddisfatta
gruppi si può estendere
gruppi,
corrispondenza
sostituzione
sempre
del
siano
G, F due
ad
sottogruppo Fi di
un
non
ma
sia
più del medesimo
non
di G
ne
la
caso
G
è in
che
più biunivoca
legge fondamentale
corrispondenza d'isomorfismo
speciale sopra
l'isomorfismo
considerato
si dirà
oloedrico.
che
al
ordine,
corrisponda sempre
corrispondano diverse
ne
anche
ordine.
in G,
che
al
corrisponda in F il prodotto delle corrispondenti. Diremo
il gruppo
nel
che
ancora
supponiamo
due g
il teorema:
.
d'isomorfismo
nozione
La
caso
evidente
ogni sottogruppo Gì di G
Ad
per
,
Y^
jB è il periodo
se
•
.,?
sostituzioni
infatti
periodo. E
0'*
di
di jji corrisponderanno le potenze
risulta:
All' identità in G
:
corrisponde
y
sponda
corri-
d'isomorfismo, al prodotto ^,^i
,
,
.,.2
r/,di G
particolarealle potenze
in
y.Yì)
g"^ 0?
onde
se
corrisponde in F il prodotto
(ji
=
che
facile vedere
corrispondereV identità in F. Infatti
deve
sostituzione
una
meriedrico
G, F abbiano
con
cioè
ad
una
una
supponendo
prodotto di
allora che
F,
mentre
il medesimo
dine
or-
32
CAPITOLO
Anche
T isomorfismo
se
all'identità
in G
periodo di
y
è meriedrico
corrispondentig,
divisore del
un
e
§.14
—
si concluderà,
corrisponde T identità
sostituzioni
due
II.
si
?;
F. Ma
in
ogni
che
sopra,
riguardo ai periodi di
potrà soltanto
g. In
perìodo dì
come
concludere
però
caso
che
il
y~^ g^ g~^
a
=
.
corrisponderà 7^ 7~^ 7~^
=
.
Come
esempii d'isomorfismo
Consideriamo
ad
attorno
oloedrico
un
fisso nello
asse
2
ampiezza eguale
un
multiplo di
un
a
di rotazioni
gruppo
spazio tutte le rotazioni
di
71
(n intero
—
d'ordine
dalle
ciclico generato
col gruppo
meriedrico,citiamo i seguenti.
0
che
n,
qualunque) ;
è oloedricamente
potenze della sostituzione
mano
for-
esse
isomorfo
ciclica d'ordine
n
luogo sia S
In secondo
U
ed
m^pq
sostituzione
una
sostituzione
una
G
di periodo composto
(operazione)
periodo
a
I due
p.
gruppi ciclici
(l, S, S^...S"'-')
=
^=:(l,u,u^...uo
posti in corrispondenzad'isomorfismo
saranno
ad
positivo di
resto
d' isomorfismo
meriedrico
in r
al
il
un
sottogruppo
prodotto
sottogruppo
1, ^2,
=
1.1
::lnel
=
-
03
trovarsi
naturalmente
quali deve
formano
l'
con
e
all'identità
in V
rispondenza
cor-
spondano
corri-
sostituzioni
n
Oj
fra le
(mod p).
n
generali,supponiamo che G sia in
Riprendendo le considerazioni
le
rispondere
cor-
ogni potenza S" di S quella potenza U'' di U che ha per
esponente il minimo
G
meriedrico, facendo
di G,
.
.
.
a„
,
l'identità. Queste
poiché al prodotto
1. Distribuiamo
ora
0, o;
sostituzioni
in G
le sostituzioni
0
corrisponde
di G
rispetto
quadro
'2
y,t.
G
essendo
q
l'indice
di 2l in
G.
=
Si
vede
subito
che
a
due
sostituzioni
GRUPPI
identiche
diverse
o
GENERALI
di G
g, g
diverse, secondo
0
orizzontali
diverse
G
gruppo
le
è in
del
DI
corrispondono
che
Abbiamo
quadro ^).
isomorfismomeriedrico
Questo
numero
volte
n
.
medesima
o
il risultato:
in T
alla identità
e
tiche
iden-
Se
a
il
dono
corrispon-
quello
di
0„
.
G
il
Fi;
ogni altra
ad
È
di meriedria.
grado
sostituzione in
chiaro
che
Gì
il cui
sottogruppo
un
ha
perciò Gì
e
e
G.
in
Ti di F corrisponde in G
sottogruppo
è
diverse
dicesi
n
.
sottogruppodi
un
corrisponderanno n
ne
alla
dunque
T
con
sostituzioni
sostituzioni
n
G, queste formano
r
F
in
g' appartengono
g,
Oj O2
in
33
OPERAZIONI
il medesimo
ad
ogni
ordine
,
indice
in G
come
Fi in F.
§.
15.
vedere
lo studio
come
soddisfatte
sono
a
Stabilito
—
1.° Esista
A,
B
serie
A
poi B; questa
della
Senza
2°
però
la
se
ne
valere
una
di
deduca
=
in
AB
=
di
avere
AC,
ora
Al ki
y 7-1
=
g,
1
e
si riconduca
quale
da due
seguenti:
operazioni
determinata, eseguendo prima
si indichi
dei
AB.
fattori,valga
elementare,
caso
con
da
A(BC).
g' corrispondono
però g'g-^
=
gruppo
Aj
da
sia A^, le
V)
i) Se
§.G,
operazioni,di qualunque
la
dall'altra
o
,
moltiplichiamo tutte
fissa di esse,
una
nel
=
un
Al
per
di
generale la legge permutativa
a)
le
serie
al
BA
=
CA,
riamente
necessa-
segua
C.
Supponiamo
Se
lettere.
terza
una
(AB)C
B
sopra
composizione per
legge associativa,espressa,
3.° Dall'identità
ricordate
operazione (prodotto delle due)
terza
gruppi, possiamo
qualivalgano le leggifondamentali
le
per
legge
una
già
di sostituzioni
siano, ma
dei
gruppi generalifinitidi operazioni,quando
di considerare
Supponiamo
esse
dei
d'isomorfismo
leggi fondamentali
le
quello dei gruppi
natura
il concetto
a,
,
,
=
.
•
Adì
g.
operazioni
parte, p.
e.
a
destra,
operazioni
medesima
a.
di tali
•
medesima
una
m
.
A-iAi,...Am
alla
g'
;
finito G
Ai
7, al
prodotto g' g~^ corrisponde
34
CAPITOLO
fra le Aj A2
tutte
sono
la 3.*
per
onde
,
ipotesi formano
vi
non
in
sono
S, sulle
A, A,- A2 A,-
/
,
dalla
.
.
.
.
.
.
inoltre,
;
b) due operazioni identiche,
Ai, Aj
permutazione a)
lettere A, ; si avrà
m
gruppo
le a). Riguardando
altro ordine
si passa
oggetti(lettere),
sostituzione
una
§.15
—
che per
A^
.
proprietàsupposta,
altrettanti
con
.
h) riproducono in
le
come
.
II.
.
.
A,„
.
alla
b)
precisamente
Am A,-
_
-A-i
\
Si
che,
subito
vede
operazioniA, A;
alle
,
Am
si ha
Ai A/, Ay
sarà
=
,
sostituzioni
le
S,-,Sa- sono
se
e
A2
,
anche
corrispondenti
S, S^
,
=
Le
Sy
m
.
sostituzioni
Oi
che
tutte
sono
r
gruppo
di
fra loro
m
O2
,
distinte,a
sostituzioni
sulle
isomorfismo
è in
che
Dunque
oloedrico
sostituzioni sopra
m
altra
qualunque
di
Am
5
ed
è
semplicemente
operazionisi può
ni
un
transitivo.
F
gruppo
spondenza
in corri-
porre
semplicemente transitivo
lettere.
ni
indicarsi
da
operazione
identità,così
la
di G
anche
in G
unità, che
come
vi è
composta
l'operazionestessa. Così
dà
pure,
tamente
cercon
date
operazioniqualunque
Al
ne
è sempre
una
terza
In
=
Se
di A,- e
oloedricamente
è
si indicherà
consideriamo
due
e,
=
con
di
Ar^
fra loro le
gruppi
sono
da
kk
quale
.
unitaria
Ai, la kj si dirà
ecc.
prescindendo
dal
soltanto
operazioni in
riguardarsicome
la
per
operazioniG,
operazioninei singoligruppi, abbiamo
si compongono
A^,
Foperazione
gruppi
isomorfi
,
determinata
particolarese Afc Ai
l'inversa
Ai
,
A,-A;
ed
.
G
con
finitoG
un'operazione Ai,
ve
•
.
in F vi è certamente
Siccome
due
un
lettere
ni
d'isomorfismooloedrico
di
proprietà,formano
:
qualunque gruppo
A
,
della 3.*
causa
Ao
Al
Oto
...
,
G
e
astrattamente
G' del medesimo
ordine
significato
specialedelle
riguardo
in
G', è
al modo
chiaro
identici. Così
come
che i due
adunque
dal
di vista
punto
sostituire
§.
e
T
un
16.
sostituzione
una
trasformate
formano
di sostituzioni
Sia G
—
un
delle g
per
mezzo
della
(§. 5)
un
di G
trasformato
due
identici. Può
sostanza
G,
con
gruppi G, Gì
nuovo
si dice
che
si scrive
e
che il gruppo
la sostituzione
T
particolarese
singolesostituzioni
qualunque
una
il
alle
in
lettere,sono
Gì coincida
assolutamente
cioè
in
colle
dicesi
T-^ G T.
=
accadere
sostituzioni
m
Gì; questo
gruppo
di T
T-^GT
allora
lettere. Le
cangiata denominazione
,
m:
T
mezzo
per
G,
I
d'ordine
sulle medesime
qualunque
operazionipossiamo
lettere.
sopra
di sostituzioni
gruppo
evidentemente
gruppo
finito di
astratto,ad ogni gruppo
gruppo
35
INVARIANTI
SOTTOGRUPPI
G;
=
T
è
permutahile col
appartiene
di G.
sostituzione
a
Quando
G,
gt di
G.
gruppo
G
ed
anche
T
sia
permutabile
se
T
è
Ciò
viene
av-
permutabile
G, presa
con
avremo
T-'giT
=
g,,
cioè
giT
Sia
G
un
qualunque
gruppo
T
e
sostituzione
di G, il gruppo
T,
è
se
ancora
^
è
un
con
r
sottogruppo di G,
permutabile
Noi
Y.
con
od
Quando
adotteremo
eccezionale
la
prima
perfettamente analogo,
da
Lie
in
T
con
una
trasformato
g-'rg
=
che in
tutte le sostituzioni
è invariante
sottogruppo. Trasformando
suo
un
Tg,.
=
particolarecoinciderà
avvenga
del gruppo
con
f stesso,
die il sottogruppoT sia permutabile
G, si dice che il sottogruppo
G.
denominazione
nella
teoria
che
dei
viene
gruppi
usata, in
continui
senso
di trasformazio
36
CAPITOLO
Come
totale. Così
in
pure,
§§. 16, 17
—
di sottogruppo
esempio
nel gruppo
II
invariante
un
altro
meriedrico
in isomorfismo
con
un
il gruppo
di sostituzioni
alterno
due
a
due
a
è invariante.
è il seguente. Sia G
importante
molto
esempio
G
gruppo
permutabili,qualunque sottogruppo
Un
citiamo
F,
gruppo
un
all'identità in F
gruppo
dendo
corrispon-
il sottogruppo
2
// sottogruppo S
in G.
in G,
sostituzione
Un
sottogruppo F
quando
F
In
ogni
G
gruppo
invarianti, cioè
G
stesso
"• 1, il gruppo
Da
può
esser
che
oloedrico.
§.
posto
17.
Le
—
fondamentale
esporre
le
teorie
rispettoad
che
F
suo
un
un
del
gruppo
ne
così
che
in G.
e
Diciamo
.7=1.
alterno
gruppo
un
simo
mas-
A
tenente
con-
variante
in-
totale.
nel gruppo
due
G
che
sottogruppi
possieda
non
semplice; in
griippo
è
invariante
caso
dine
d'or-
composto.
che
risulta
§. precedente
derivano, conviene
sono
che
G
non
d' isomorfismo
d'importanza
ci tratteniamo
complementare
gruppo
di
di
alquanto
gruppo
G
d'ordine
n,
un
F.
sottogruppo
d'ordine
semplice
gruppo
composizione dei gruppi.Ma, prima
della
detto
un
F in altra relazione
gruppo
e
m
F
un
suo
due
equivalenti(a sinistra)
scriviamo
sussista
1
lunque
qua-
l'indice di F in G
se
sottogruppo puro
un
9'^9
quando
una
sottogruppo F
un
sottogruppo
supponiamo dapprima qualunque (invariante 0 no), e
di F
a
G
che
Un
stabilite nel
lo studio
per
sulla formazione
Sia
nozioni
7~\
la
stretto,almeno
dicesi
ammetta
altro
un
F
è
g
dicesi invariante
massimo
senso
T identità.
si è visto
con
G
gruppo
pel gruppo
e.
p.
invariante
si dirà
quanto sopra
un
invariante
e
contrario, quando cioè G
infatti,se
E
altro sottogruppo invariante
esistono, nel
altro sottogruppo
alcun
G.
in
di questo. Si osservi
accade
come
di
alcun
sarà certamente
primo,
numero
0„)
•
g'^^'^ig
corrisponde in
a
invariante
più ampio
e
.
,
invariante
esiste in G
non
in G
un
sarà
(^1-2
=
un'eguaglianza della
9'
=
,
forma
'i9'
sia q l'indice
sostituzioni g,
g'rispetto
38
II.
CAPITOLO
essendo
iih.
permutazione degli indici 1, 2,
.iq una
.
a) delle q_ lettere g^g^.
mediante
g. Ora,
alle due
se
(od orizzontali del quadro) costituisce
classi
G
dato
gruppo
sóla in
mutazione
per-
al
corrispondono
(J
prodotto
risponderà
cor-
g g
delle sostituzioni h sulle q
prodotto hlì. Quindi; L'insieme
il
che
li,H, è evidente
d) le sostituzioni
sui simboli
g. Dalla
.
alla moltiplicatrice
corrispondente
moltiplicatrici
g,
sostituzioni
.
.
permutazione "*)
alla
.gg si passa
.
diciamo
h, che
sostituzione
una
§.17
—
H, col quale il
gruppo
un
isomorfo,ad ogni sostituzione in G corrispondendoneuna
e
H.
G, rispettoal sottogruppo F,
È naturale
complementare(a destra)del
H si dirà il gruppo
Questo gruppo
si scriverà
e
L'isomorfismodel
la domanda:
ora
di
col simbolo
gruppo
quoziente
col gruppo
G
gruppo
n
complementareH
=
decidere
Per
g
di G,
la
è oloedrico
meriedrico?
o
questione,bisogna ricercare
zione
qualche sostitu-
vi è
se
per
di i da
tutti i valori
1
a
Si
in H.
identica, cui corrisponda l'identica
non
in tal caso,
avere
-^
dovrà
g
cioè
essendo
sostituzione
una
v
Ora, trasformando
di Y.
di G, si ottengono
al massimo
i q
Y
con
tutte le
stituzioni
so-
sottogruppitrasformati
r, gv'Yg2, gs'Yg^,...g-'Ygq,
che
del
possono
resto
dimostra
che
allora
tutti i
La
ed
tutti od in parte coincidere.
alla sostituzione
allora
soltanto
sottogruppi trasformati
risposta alla domanda
sostituzioni del
sottogruppo^
G.
L'isomorfismo
X
non
si ridurrà
corrisponderànel gruppo
g
=
-^
al loro sottogruppo S
comune
sarà
o
corrispondono in G
a
Y
e
a
tutti i suoi
dunque meriedrico
si ridurrà
all'identità.
od
periore
suplementare
com-
appartenga
superiore è adunque la seguente
complementare H
che
considerazione
l'identità,quando
di Y, cioè
tità nel gruppo
in
g
La
tutte
:
a
comune.
All' iden-
e
sóle le
sformati
sottogruppitracondo
oloedrico, se-
COMPOSIZIONE
Quest'ultimo
Si
osservi
il
UN
39
GRUPPO
necessariamente,
G
se
particolare più importante
caso
G ; allora
in
invariante
avviene
caso
DI
T
X
coincide
è
precisamente eguale
con
è
un
in cui T
stesso
è
sottogruppo
Fordine
e
semplice.
gruppo
del
gruppo
C
H
complementare
vede
in
r
che
adunque
costruire
un
T
Se
:
è
all'indice
sottogruppo invariante
im
H
complementare
H, il gruppo
isomorfismo meriedrico,
alV identità
di G, si
-^r
cól
,
in
può
G.
Si
sempre
G
quale
è
corrispondendoil sottogruppo
H
in
=
di T
in G.
plementare
al
si vede, possono
in
(all'identità
che
H'; però questi due
anche
H, H'
18.
i due
fondamento
A)
ordini
Alla
m,
m'
permutabile
abbia
e
con
a
G
due
tutte
composizione
teoremi.
gruppi
Il
nel
permutahili
tutte
loro per
fra
quelle di G', si
T
stesso
un
di
un
G)
particolare
a
mentari
gruppi comple-
e
gruppo
di essi
che
F, sottogruppo
poniamo
a
si enuncia:
lettere,dei rispettivi
ciascuno
il loro
di essi sia
sottogruppocomune
le
moltiplicazionetutte
otterranno
gruppo
sarà
Vi T2
di
S in
equivalenti
stituzioni
so-
soltanto
un
H, contenente
!
•
5
comune
G, G'
sottogruppo invariante
Siano
le sostituzioni
oloedrico
ni
distinte,cìie formeranno
sottogruppiinvarianti,e
caso
i due
sopra
senso
le sostittizioni delValtro
m
sostituzioni
primo
di sostituzioni
[j.. Combinando
con
facilmente
coincidono.
della
di loro
gruppo
sottogruppo
inversamente,
e
com-
un
come
sostituzioni
due
siccome
sinistra
seguenti
fra
Vordine
di
in G,
ricerca
G, G
Siano
gruppi,
considerati, identici. Nel
assolutamente
—
al gruppo
considerare
il medesimo
corrispondendo
invariante
sono
anche
potremmo
^
insieme
porsi in corrispondenza d'isomorfismo
sempre
ciascuno
sia F
lo
destra
§.
=
quindi, astrattamente
sono
poi
H
sinistra
a
che
generale,osserviamo
caso
destra
a
complementare
r
-p-
gruppo
Ritornando
e
=
YjJL
di
G, G', e
posto
come
di H.
40
CAPITOLO
si
(con n, ri interi),
due
nei
di G, G'
le sostituzioni
distribuiscano
siano
g,
G=(F,
r^,
F
rispettoa
G'=(r,
Yg',, T^,,...Ig'n).
Yg,,...Tgn)
,
sostituzioni
g' due
Tuna
qualunque,
di G
l'altra di G'.
sostituzione
ig^)
si
scrivere
può
nei
due
modi
Ì39)
le
poiché,per
ciò
per
99'
parole: Due
sostituzioni V
di
meno
a
perniutahiìl
formiamo
Ora
V
=
tutti i
V altra
7,
sono
formalmente in
Ma, per
viamo
valutare
a
G
che
a
in
G,
G' ed
è
di G'
del loro
sono
sempre
sottogruppocomune
fra
loro
^).
possibiliprodotti
9^
che
sì
g'g~^g'~^è
99;
?
G
sostituzione
una
l'altra
si ha
di
una
e
appartiene
Dunque
y,.
in G'
g~^ è
gg
9-'
•
9Ì9'9~'iì-').
scritta
1)
in
{99)-'
ipotesifatte, la
y, diciamo
una
{g9r')
=
=
.
la sostituzione
che
vediamo
9)-'
io'
.
seguenti
{y9){^9r'
e
§. 18
—
quadri
Ora
La
II.
,
di mm'.
numero
effettivo di questi prodottidiversi,esser-
il numero
che, avendosi
9
=
T. 9ry.^ 9
lkgr^
=
,
sarà
99'
e
poiché,per
la
'!kg^
lk=^(i9a
a
,
scrivere
99
*) Si
•
1),
9
potremo
'(i9a
=
che
nella
1)
r indice
cioè:
gg'
noti
si
=
può
g'g
'U 9 a
=
anche
•
'ik
?
9'{i
porre
'
la -(moltiplicatricea
giandone
destra, can-
|
COMPOSIZIONE
Si ottengono
DI
tutti i
già dunque
UN
41
GEUPPO
prodotti distinti
nella
gg
espressione
facendo
?
=
a.=
1, 2, 3
...
1, 2, 3
...
P=l,2,
[X
n
w'.
3...
ììl lìh
Ora
queste
\i n
distinte,poiché
n'
sostituzioni
=
2)
effettivamente
tutte
sono
da
V' (/a
yp
'("Oa
=
g'b
seguirebbe
onde
queste due
in r
distinti gg
poi subito
però
e
in
sono
che
Indicando
6
=
a
=
un
i
a,
di
numero
?.
=
dati
e
sì
G
che
intanto
Dunque
2). Dalla
dalla
H, il cui ordine
gruppo
a
è
rebbero
G', sa-
a
i
prodotti
risulta
1)
adunque
•
.
con
sostituzione
/r' Gh=
e
eguali,appartenendo
[3,indi
essi formano
qualunque
una
sostituzioni
di H,
si ha
g^' Gyg
g'^'
inoltre
g~' G ^'
=
G
=
similmente
/i-i G' h
per
cui
G, G'
sono
il loro
A)
composizione
sottogruppiinvarianti
sottogruppo
comune
T.
di H
Così
e
tutte
tale sarà
le
parti
pure
temente
eviden-
della
sizione
propo-
dimostrate.
sono
Passiamo
G',
=
ora
dei
al secondo
gruppi,
che
teorema
fondamentale
si enuncia
:
per
la teoria
della
42
CAPITOLO
Se
B)
?m
V
gruppo
II.
possiede due
diversi
G, G' ^),il loro sottogruppocomune
in G' ed
G
§.18
—
sottogruppiinvarianti
è invariante
2
di G' in
ha, rispetto
a G, V indice
massimo
massimi
cìic
sì in G
G', V
V e, rispettoa
indice
di
r.
in
poiché G, G'
Intanto
potremo applicare il
G, G', X
di
fra loro
sono
teorema
permutabili,nel
stesso
e
se
m',
m,
del teorema
senso
i
[i sono
A),
dini
orrispettivi
prodotti
i
99'
in
saranno
G, G'
nente
distinti
di
numero
formeranno
e
sottogruppi invarianti
come
di
r,
si ha
-;
=
conte-
in F
stesso
esso
zione
sostitu-
qualunque
una
y~^(gg)'( {^r^g'i){'C^9'i) è
che
H
gruppo
contenuto
e
sottogruppo invariante,perchè, essendo
come
un
nuovamente
un
dotto
pro-
g^.
ipotesifatta
Dair
che H
coincide
G, G'
che
F, cioè
con
:
invarianti
siano
che
massimi
ogni sostituzione
in V segue
y di T è
quindi
prodottogg' ^).
un
ììt lYl
F
Dunque
è
d'ordine
^?^
però F indice di G
e
=
in F è dato
da
—
,
F indice
come
di X
G',
in
similmente
e
gli indici di ^i in G
o
di G' in
m
r
sono
=
Per
che
dimostrare
S,
è invariante
che
in G
ed
X,
contenente
Per
in F
la
1), essendo
le
p.
e.
B)
A),
teorema
solo
resta
da
provare
è invariante
che è invariante
3 le sostituzioni
con
parte delle
o
simo
mas-
massimo
in G.
sottogruppo (puro) di G, invariante
un
indichiamo
e
pel
stesso
in G'. Dimostriamo
possibile,A
è
Sia, se
il teorema
completamente
in G
e
di A.
si ha
g,
'^^9' ^i9'^"
=
i) Per
invarianti
meri
chiarire
come
un
si consideri
massimi,
primi diversi,si prenda
il gruppo
ciclico
rispettivamente
2) Si osservi
G,
l'altro
come
r
da
delle
S^'
che
potenze
sottogruppo.
di
S,
massimo
indi
S
a
H
=
in
r
vale
Essendo
periodo
]), q,
e
p.q.r
massimi
anche
F, purché
sottogruppi
r
tre
niv
si consideri
sottogruppi G,G' generati
i due
invarianti
saranno
la conclusione
G' è invariante
seguente.
sostituzione
diversi
due
contenere
possa
l' esempio
una
S» che
,
F
gruppo
se
in
uno
naturalmente
F
d' indici
soltanto
non
dei
p,
q.
togruppi
sot-
contenga
SERIE
indicando
sostituzione
una
a,
^'' '^9
A
Dunque
è
in F
di
visore
dunque
,
in
di
numero
che
sarebbe
in
§.
di
G,
G3
un
=
—
è
dovrà
un
serie
Gì
gruppo,
*) Si
G.
G' lo sia in
r
massimo
poi
che
(e_non
in
.
.
dal gruppo
di-
un
i
che
prodotti
G'
contenente
e
sia invariante
G2
G
con
invariante
simo
mas-
^).
massimo
di Gì, medesimamente
così
e
.
Gp^_i
,
via,finché
si arrivi
dato
G)
1,
che
ciascun
precedente, dicesi
nel
Diciamo
formare
si possono
vede
sottogruppo
massimo
massimo
gruppo
indichiamo
è
gruppi
cominciare
serie sia invariante
A
gruppo
sarà
osservando
F, quindi A
con
un
G, Gì, G2, G3
3)
del
G'
colle g, sarà
U
ove
che
che G'
l'ipotesi
.
gruppo,
di
A,
di
vediamo
un
sottogruppo invariante
un
(a
2,
ancora
coincidere
sottogruppo invariante
così formata
anche
A) stesso,
teorema
Per
g
A
dunque
Sia G
indi Gj
evidentemente
come
,
poiché
in F,
"h
—
5'.
=
permutabile
formerebbero
Z;))ì,
prodotto
alla identità. La
Se
G', A
a
~^^
un
F,
19.
comune
invariante
é nuovamente
A è
5
li \i. V ordine
con
applichiamo il
ed
—
il sottogTuppo
^t
=
le g
tutte
poiché
e
o
segue
stesso.
indichiamo
Se
le
tutte
onde
iìi'^
a, (j)§
permutabile con
permutabilecon
invariante
2,
di
=
43
COMPOSIZIONE
DI
subito
in molti
modi
che
in
una
gruppo
serie di composizione
generale, per
serie diverse
della
di
un
dato
composizione.
con
per
concludere
contenga
che
G).
S
è invariante
massimo
in
G
basta
che
44
IL
CAPITOLO
i successivi
ordini
dei
della
gruppi
gli indici
sono
composizione del
di ciascun
del
riconosciuto
dalla
struttura
T
dimostrando
In
di
importante
diverse serie di
due
""
Siccome
pei primi
e
m
i) Per
d'ordine
m
ordini
sussisterà
così
2,3,
=
come
Per
m^4
Se
di composizione,
sono
^) il
teorema
in
generale
ciclico
gruppo
altri
per tutti i
vero
fattori
gruppi
pei gruppi d'ordine
si verifica
primo
m
per
i
gruppo
i medesimi.
anche
generale.
ha
mente
unica-
dipendono
medesimo
un
vero
in
non
composizione.
speciale serie
che sia
sarà
2, 3, 4
=
un
e
m
composizione G,
di
m
è necessariamente
m
(operazione)a periodo
serie
che
fattoridi
teorema:
ammettendo
dimostrando
d'ordine
qualunque,
da
generato
sottogruppi che
m.
tamente,
immedia-
un
gruppo
sostituzione
una
l' identità
e
però
l'unica
1.
può
il gru.ppo
ciclico
essere
0
no.
è ciclico,si ha
G4
l'unico
si ha
(oltrel'identità)è
sottogruppo
un'unica
ancora
Se
G4
il
2
periodo
e
è
non
S^=l
(1,S,SSS»)
=
r
e
dalla
non
composisione di
il teorema
fattori di
numeri
questi
composizione,prescindendo dall' ordine,
Dimostreremo
e
e
i
,
dei suoi
prodotto
gruppo
.e^
.
in effetto che
del
precedente,diconsi
si ha
616203.
=
è il
gruppo
ha
Jordan
3), i quozienti interi
nel
gruppo
Evidentemente
gruppo.
m
cioè l'ordine
serie
nii
m
che
§.19
—
di
serie
ciclico, le
sue
(i, S2)
=
composizione.
operazioni non
tre
identiche
Sj
,
s^,
Sg
sono
a
si ha
*'l^2
=
^2 ^1
=
^3
»
^1 ^3
^3 ^1
^^
"^^
^2
5
'^2^3 ^^
^3 ^''2
^
^1
'
Allora
G4
i tre
ammette
divel-si
sottogruppi
Gj
quindi
tre
sono
(§.15)
diverse
serie
sempre
2,
(1) Sj, «2, S3)
=
invarianti
(l,.vi),G2
=
di
=
G3
(l,.s-2),
composizione,
2. Il grixppo
V^
nelle
isomorfo
=
(1,.S3),
quali però
a
G^
di
i fattori
sostituzioni
è il gruppo
r4
=
(1, {ah){Cd), {ac)(bel),(ad) (he))
.
di
zione
composi-
su
4
lettere
46
CAPITOLO
in G
e
è pur
chiaro che
Se
II.
§. 20
—
viceversa; se Ti è invariante
Fi è invariante
se
in F, Gì sarà
massimo
invariante
in G
in F, tale sarà pure
ed
Gì in G.
dunque
F,Fi,F,...l
è
serie
una
di
composizione di F
G, G
i
sono
G.
Supponiamo
F
Due
questi formeranno
sia in isomorfismo
(oi02
=
di G
sottogruppo (invariante)
S
rispettoa
nel
del
che
vediamo
ad
che
.
.
massimo
contenente
del
posizione
com-
isomorfihanno
meriedrico
di
corrispondeall'identità
§. 14
distribuendo
e
i
grado
consta
quadro e,
premesso,
se
F. Riprendend
le sostituzioni
in F
di
in G.
se
necessariamente
Gì fosse invariante
Fi
indichiamo
e
corrisponderà in G
Di
Gì in G, poiché
in F, tale sarà anche
Gì
in
se
variante
Fi è in-
sottogruppo Gì
di orizzontali
di
un
in
spondente
G, il sottogruppo corri-
certo
invariante
sarebbe
un
più
numero
in F.
con
F, Fi, F2...I
una
n
=
sottogruppo Fi invariante
un
Fi di F conterrebbe
Ciò
serie di
a»)
.
sottogruppo Gì d'eguale indice,invariante
di G
una
quadro
G
un
.
.
sia
e
le considerazioni
G
1
.
gruppi oloedricamente
invece che G
ora
2
il
G2
fattoridi composizione.
medesimi
con
Dunque:
1 ,
in G,
gruppi
corrispondenti
di
e
serie di
composizione di F,
G, Gì
indichiamo
i
e
,
con
G2
S
,
.
.
sottogruppiin
corrispondenti
.
G
e
completiamo quest'ultima
TEOREMA
serie
con
serie
una
di
DI
HOLDER
di
composizione
47
X,
avremo
serie
una
di composizione
di G:
G, Gì Gg
,
Concludiamo
G
è in
§.21.
Un
da
arrecato
quellidi
—
,
2"
2àii Z(2
,
isomorfismomeriedrico
il sottogruppo I
a
.
1
•
•
•
•
dunque:
Se il gruppo
associando
.
,
in
V
tutti
^),come
e
all'identità in T
fattoridi composizione di
essenziale
al teorema
brevemente
ora
G
risponde
cor-
risultano
I.
quellidi
complemento
HOlder
i
G,
F
con
di Jordan
è stato
esponiamo.
Sia
3)
una
G, Gì, Gg, G3...I
serie
di
composizione
del
G
TT
G,
gruppo
massimo
al
eguale
della
gruppo
dicasi
serie
fattore
pei
di
G2
Hi è
di
si
medesimo
Ora
i
') Mathem.
2) Si
ha
HòLDER
ricordi
Bd.
che
e
G
In
semplice ^) d'ordine
gruppo
di G
nella
serie
3); analogamente
.
i
.
.
.
di
nella
gruppi fattoriali
due diverse serie di
soltanto
non
non
serie
il teorema
gruppi fattoriali,
composidone
sono
corrispondenti
gruppifattoriali
stessi
gli ordini
fanno
che
dei
i
del
desimi.
me-
toriali,
gruppi fat-
permutarsi
fra loro
34.
è isomorfo
un
:
che
gruppi fattoriali
in G. Se Hi ammettesse
invariante
dei
osservato
Annalen,
.
la nozione
così
gli ordini
gruppo
ma
enunciare
può
.
Hi, H2, H3
composizione 3). Introdotta
di Jordan
pure
Holder
con
un
riante
Gì inva-
gruppi
H2, H3
Chiameremo
plementari
gruppi com-
H3--^...
composizione
successivi
i
rispetto al successivo. Essendo
in G, il gruppo
primo
si considerino
Gì
„
Hi--^, H^-^,
di ciascun
e
con
Hi
all' identità
,
in
Hi corrispondendo Gì
sottogruppo invariante,il corrispondentein G sarebbe
conterrebbe
G^
.
48
al
CAPITOLO
cangiare della
di
serie
IL
§.21
—
composizione, cioè
:
Se si considerano
i
gruppi
fattoriali
H'iH',...H'j,
composizionedi
diverse serie di
di due
isomorfo ad
è oloedricamente
Per
dimostrare
fondamentale
B*)
Se
B)
§.
gruppo
un
G, G', il
F
18
gruppi
completarlo
e
cui sottogruppo
r, G,
come
2
•
.
gruppi
H
riprendere il teorema
segue:
sottogruppiinvarianti
I,
sia
comune
dei
H'.
basta
diversi
possiede due
ciascuno
gruppo,
di Holder
terema
questo
del
dei
uno
un
nelle due
serie di
simi
mas-
zione
composi-
•
r,G',2--.
saranno
come
identici
pure
E
gli altri
se
infatti,
di
e,
isomorfi)i
(oloedricamente
,
grujjpifattoriali
due
02
sono
0
.
.
.
G, G' rispettoa
poiché ogni
distribuendo
Oi
due
sostituzione
2ì si avrà
di F
le sostituzione
di F
T=={G,Gg'„
Y
=
le sostituzioni di
è
un
S, distribuendo
(§. 18):
prodotto
rispettoa
G
0
a
G^^,...G g'nd
{G',G'g„G'g^,...Ggn)
G' si avrà
le
stituzioni
so-
TEOREMA
Così
le
sia di r
sostituzioni
n
formeranno
sistema
un
lo sarà anche
ri
-pT
ij
,
'
Dimostrato
di
HoLDER,
di Jordan
invariante
modo
un
osserviamo
G,
esisterà sempre
i suoi
gruppi G,^
In
una
Però
serie
di
sarà
Si costruisca
fismo
si
i
primi
il gruppo
composizione
termini
da
G
a
.
G
sottogruppo
un
G
composizione di
che
di G
G^
contenente
contenente
G^
ancora
,
serie
che
si
pletare
potrà com-
G, H, I, K,
in H
di H.
I
avverrà, in generale, che
nel
precedente, ma
.
G.
.
anche
^
-=^
cosi
H,
corrispondendo
,
Hg,
.
.
:
col
Gv
in
quale G,
G,
e
di
è in
isomor-
sia
.1
gruppi corrispondentiG, G^ Gg
serie
in
1
.
,
della
non
un
serie
complementare
Gv
zione
composi-
Gy
.
.
potrebbe procedere
meriedrico, all'identità
serie di
serie di
G,^ è
composizionedi G,
una
H, Hi
una
La
invariante
formare
.
^) Evidentemente
il teorema
composizionedi G^ ^).
bensì
(5)
Se
di Gì
stesso.
composizionedi
anche
possiamo
(jr
il teorema
dedotto
una
massimo
massimo
serie di
una
serie di
intermedio
gruppo
F
.
G^
a
di
serie di
una
sottogruppoinvariante
principiodi
abbiamo
che:
sottogruppoinvariante
un
due
stesso dicasi di -7^,-,-^.
evidentemente
di formazione
G,
una
§.19
al
come
,
con
deduce
ne
al modo
dato
gruppo
di
isomorfi;lo
G, Gì G2
il
inversamente,e però i
gì
B) §. 18.
Ritornando
fra
un
B*), se
così via finché si arriva
sarà
equivalente a
-j
teorema
Sia infatti Gì
e
G' ed
è
g^
rispettoa 1,
r"
nello stesso
—
per
indi G2
prodotto g,
rispettoa
oloedricamente
sono
il teorema
dal
§.22.
conterrà
il
se
di G
]?"
-;t—
completo di rappresentantisia
G'. Inoltre
rispettoa
rispettoa S,
gruppi
4^
HOLDER
DI
composizione
Gv
.
.
formano
.
domandata.
4
50
CAPITOLO
in G,
invariante
inserire
ma
da
come
inserendo
gruppi
fra due
che
gruppo,
fra
inseriti i
un'ordinaria
formarsi
serie di
una
Ora
sussiste
della serie
gruppi consecutivi
due
composizionedel primo
il teorema:
principale(5),p.
H, I, sono
e.
gruppi
H
Per
,
il secondo.
contenga
formare la
da
,I,Ii,l2...Ij,,K...
consecutivi
Hj
serie
di G.
principale(5) possa
serie
G, H, Hi,H2...H,
(6)
per
principaledi composizione
K.
contenente
e
composizione
di
Se
I, K,
gruppi interniedii,p.
in G
serie
ed
precedente
e.
fra due
una
del
sottogruppo
di I invariante
(5) dicesi
una
§.22
—
sia
gruppo
si possa
non
tale serie
chiaro
serie
ciascun
sottogruppo
un
Una
È
che
costituita
così
I.
I
dimostrarlo
di
tutti
sono
.
.
Hy
.
composizione (6),i fattoridi composizione
fra
basterà,pel
composizione
Ha
di
serie ordinaria
fino a
,
eguali.
loro
di Jordan, dedurre
teorema
(6), nella
come
quale
la detta
da
(5) una
circostanza
si
verifichi.
Ora
osserviamo
trasformiamo
di
Hi
gruppi
essendo
che,
Hi
quali tutti
come
saranno,
di G.
Inoltre
i
all'infuori di
comune
con
una
sostituzione
in H
Prendiamo
comune
(8)
0
e
due
;
H'i H"i H"'i
,
.
,
.
non
in
se
.
G,
certo
un
se
mero
nu-
,
da
stesso
quelle di I, poiché, trasformati
di
G, essi
però
dei
A,
comune
coincide
fanno
non
tutte
che
e
le sostituzioni
sostituzione
simultaneamente
fra
loro
e
I, è invariante
in G
e
permutarsi
contiene
in H
I.
con
gruppi (7) p.
potremo cominciare
che
massimi
alcun' altra
avranno
e.
Hi, H'i
la serie di
H, Hi,H,....I,
con
(9)
in
non
otterremo
Hi, sottogruppiinvarianti
gruppi (7)
quindi il loro sottogruppo
contenuto
,
I è trasformato
I, perchè
conterranno
G,
di
ma
distinti
(7)
i
le sostituzioni
tutte
con
in H
Hi invariante
H,H'i,H,...I,
e
sia H2
il loro
composizione
da H
gruppo
sottoa
I
con
SERIE-
e
PRINCIPALE
fondamentale
il teorema
B) §.
composizione nelle (8) (9) sono
I il teorema
con
fra i
sarebbe
e
dei
comune
é sempre
vera
che
massimo
coincide
non
I, prendiamo
con
contenga H2
non
sia
e
,
I, che
é il massimo
gruppo
H,- nella serie (8) così
H"i
sottogruppo
Per ciò basterà
gruppi, è
r
ai
comune
ai due
stituita
co-
precedente H,-_ie il fattore di composizione
nel
anche
vera
far vedere
perr+1.
Ora
che, supposta
essendo
Hr
il
gruppi
Hi H'i
anche
a
ciascun
il medesimo.
per
sottogruppo
od
Hg coincidesse
se
H'i H"i 0, ciò che è lo stesso di H2
si arriva
dimostrare
è invariante
cosa
primi fattori di
gruppi (7).
Dobbiamo
la
Hj
H"i che
gruppo
di Hj
finché
che i due
eguali fra loro, talché
terzo
comune
così continuiamo
dimostra
18
51
COMPOSIZIONE
già verificato. Se
gruppi (7) un
H3 il sottogruppo
DI
.
Hi''-^'
Hi'^-')
.
.
gruppi
H„_l,H/'-^
ed
H,+i il
gruppo
comune
a
HiH'i...Hi"'^-''HiW,
ai due
ovvero
gruppi
H/-\
H,.
,
indichiamo
poi
con
K,- il sottogruppo
Hi H'i
.
.
comune
a
H/'^-''
Hi'-'
.
,
a
ovvero
H,._i.Hi"'.
Sarà K,- un
cioè
H/'''contenesse
coinciderebbe
r+1
sottogruppo
con
H,_i
i^uro
e
le
ipotesi fatte,nelle
con
Hr_i
anche
,
due
,
se
H,+i
serie
di
termini
H
ciascun
gruppo
fattore
di
anche
che, se coincidesse
,
quindi, a piìiforte ragione,Hr
H,-. Allora, per
H
comune
di Hr_i
a
per
Hi H2
Hi H2
è sottogruppo
composizione sempre
Hr, K,-, il
la serie
teorema
.
.
.
.
.
.
H,_i H,Hr_i Kr
invariante
lo stesso.
massimo
nel
Ma, essendo
B) §. 18 dimostra
H, Hi, H2
.
.
.
H,
,
Hr+i il sottogruppo
che la
prolungata fino ad H,+i
H,+i;
precedente,con
proprietà sussiste
52
CAPITOLO
che
facilmente
nel
§.
'
Hi
fine osserviamo
precedente, ne
che,
'•"
H2
in
se
fattori
I
serie
una
1
.
.
.
Quando è dato
—
quella di
farsi è
si vedrà
esaminarne
la
delle
una
gruppo,
un
il gruppo
questione per
totale di
;:
{n) sostituzioni sopra
Abbiamo
già
Eccettuato
che
osservato
il
caso
invariante
Si supponga
n
sue
4,
=
alterno.
lettere, se
n
di
sostituzione
e
S
un
non
totale
contiene,
Gr:(,.)
ora
r7r(„);
dimostriamo:
esiste nel gruppo
non
Essendo
contiene
simili,e però (§.8)
di lettere
alterno
T sottogruppo invariante
in cicli,
constare
una
lettere ;
ha il
gebrica
la risolubilità al-
concernono
il gruppo
all'infuori del gruppo
col gruppo
sulle
le
n
una
equazioni.
sottogruppo invariante, il gruppo
coincida
qui
parte, quale importanza fondamentale
poi, nella seconda
delle
più importantiricerche
composizione.Risolviamo
problema così risoluto per le questioniche
di r
in
l'ordine,i medesimi
presentano, salvo
si
B) §. 18, che
teorema
principali.
§. 23.
tutte
tutti
sono
principaledi composizione
applicando il solito
segue,
diverse
principali
serie
tale
i
pnncìpaìi di composizione gliindici di ciascun gruppo
fattori
si chiamano
da
dimostrato, provando che
teorema
G, H, I
due
Holder,
isomorfi.
oloedricamente
nel
di
al teorema
di composizione)
ma
eguali,
(fattori
ordini
hanno
soltanto
In
condotto
fattoriali intermedii
gruppi
non
riprendessimo poi le
Se
teorema.
ci hanno
21
completare il
potremmo
§§.22, 23
—
completamente il
ciò clie dimostra
considerazioni
I.
nessuna
F
totale alcun
=
altro
togruppo
sot-
alterno.
nel gruppo
totale
permutabile
sostituzione
una
sostituzione
identica,che
con
7
di F
F
e
G^.;»)
non
qualunque
conterrà
stituzione
so-
anche
posta
potrà, decom-
scegliamo fra le sostituzioni
solo ciclo. Ora
sposti il minor
sia, decomposta in cicli:
S
come
iah...) (ed...) (ef...),...
numero
sibile
pos-
54
CAPITOLO
due
ammette
4." ordine.
del
§. 24.
la
(1
=
Resta
—
il
il griqìpo
cioè il gruppo
e
,
totale Gu
alterno
V12 ed il
)
,
ricerchiamo
che
ora
caso
il
rispettivamente
n
4, il gruppo
=
la
.
composizione del
Poiché
gruppo
terno;
al-
sostituzione
disparit
nel
ìn
in Y,
si avrà
Hi
anch'
invariante
esso
Trasformando
i due
nuovo
=
ed
sottogruppo
un
alterno.
in
non
siano
alterno
gruppo
ma
un
semplice.
sia composto,
alterno
d'ordine
è invariante
H
alterno è
totale, il gruppo
gruppo
massimo
invariante
di
4
=
{ah)(ed) (ac) (bd) (ad) (bc)
,
Supposto che il gruppo
sarà
w
questione è risoluta dall'importante teorema:
Eccettuato
che
caso
sottogruppo
un
ordine
4."
H4
effettivamente
Nel
Dunque:
invarianti
sottogruppi
sóli
sottogruppodel
§§.23, 24
—
coir identità,formano
Queste, insieme
invariante
II.
G, trasformando
H
con
una
gruppo
r' H ^
massimo
gruppi H, Hi
in F
^~^ F t.
=
sostituzione
una
con
qualsiasig
G, i gruppi
g~'Rg, g-^n.g
H
saranno
e
Hi stessi
Indichiamo
se
g
è
pari, ed invece
}ilil sottogruppo
con
B) §. 18, sarà invariante
Ora
si osservi
in
G, poiché
è
sottogruppo
che
comune
S
sarebbe
ad
comune
in F
ed
avrà
invariante
di
g~'Eg,
Hi, H
g~'Eig,
un
non
se
"7 è
impari.
rema
H, Hf, questo, pel teo-
ordine
solo
in
F
ma
anche
SEMPLICITÀ
cioè
di
H,
Hi
Pel
DEL
.
W"4
PER
§. precedente,
al
teorema
ALTERNO
sarà
55
1 ; si
=
(j.
dunque
cioè
avrà
(10)
3.é.ò
L'
a
GRUPPO
ipotesiche
concludere
stando
ad
il gruppo
che
;r
—
alterno
(n)
m\
=
sia
non
dovrebbe
semplice ci porterebbe dunque
essere
quadrato perfetto,ciò che,
un
frequenza dei
sulla
teorema
un
...n
numeri
primi ^),è
tato
risul-
un
assurdo.
Ma,
ricorrere
senza
seguente. Certamente
modo
nel
strazione
questo teorema, si potrà proseguirela dimo-
a
n
il gruppo
5, 6,
=
semplice,i
alterno è
.
.
primi valori
i
per
di
n
"
4
.
numeri
I-x(5)60,-^7c(6)
360...
=
quadrati. Basterà
essendo
non
G
"
w
per
se
lo è per
sulle
transitivo
di H
la
e
Ora
lettere
il
che
provare
il teorema
H
sottogruppo
lettere;poiché,se
n
è
supposto è
prendiamo
una
vero
mente
certa-
sostituzione h
in cicli
decomponiamo
due
dunque
n-1.
h=
prese
=
{ah
qualunque
contiene
volte transitivo,
.
.
.) {ed ...)...
[3il
a,
gruppo
alterno
una
sostituzione
certamente
\
,
T,
che
è n-2^
i
ab.
.
.
che porta le lettere a6 in a(3;quindiin H, che è invariante in
F, avremo
la sostituzione
^1
che
porta
a
*) Il
teorema
Se
è
r
?• e
2
r
[3,onde
cui
—
H
qui
intero, fra
L'assurdo
fra
in
proviene
e
r
(«P. ••)•••
=
è transitivo.
si allude
2r
allora
2 entrerebbe
7"'/»Y
=
—
da
solo
2
è il
evvi
ciò
alla
seguente
almeno
che,
preso
un
:
prim,o.
numero
r=h——-
prima potenza
,
in
'^
'
À
.
un
numero
primo
56
CAPITOLO
Ciò posto, prendiamo
II.
lettera
una
alterno sulle
è il gruppo
w
lasciano
x^^
fissa Xi\
il
p.
•
in \\ si riduce, per
il teorema
secondo
perciò,
e
Xi
e
sideriamo
con-
primo
"^M
•
•
tità.
ipotesi,all'iden-
H, clie è transitivo,lia soltanto la sostituzione
Dunque
Allora
"^3
)
invariante
Hi essendo
il secondo
che
e.
n
lettere
1
-
*^2
lascia ferma
arbitrio fra le
ad
sottogruppi Fi, Hi di F, H
i
e
§§.24, 25
—
§.10,
al
il suo
identica
ordine
h
m
che
=
n.
(10) diventa
la
4
3
5
.
.
.
.
w
.
w^
=
cioè
3.4.
5
.
Come
finale della
risultato
totale per
m
4 ha
"
e
della
e
n
w,
=
w
primi fra loro.
1 sono
-
che
ricerca, abbiamo
nostra
serie di
un' unica
alterno
totale,del gruppo
l)
—
assurdo, perchè
evidentemente
risultato
..(w
il gruppo
composizione che consta del gruppo
identità,coi fattori di composizione
2,y7c(w).
Lo
tre
stesso
vale
evidentemente
gruppi nella serie di composizione
G24,Tia,H4
Con
di
n
per
dei
uno
tre
composizione che
§.25
Uno
—
gruppi è il
del
ha
di
Sijìow,di
aveva
dell'ordine
del
gruppo.
In
dell'ordine
del
gruppo,
non
quando questo
ciò accade
divisore
caso
w
4
=
i
primi
necessariamente
sono
{ac){hd) {ad)
,
2.° ordine
{he))
.
di H4
completiamo la serie
della
teoria
i fattori 2, 3, 2, 2.
cui ci andiamo
fatto
di ogni sottogruppo
ma
2,o. Pel
più importanti teoremi
quale Caucht
L'ordine
,
,
sottogruppi di
dei
teorema
(1 {ah){ed)
=
=
come
generale però, preso
sempre
esistono
certamente, secondo
è la potenza di
un
ad
alcuni casi
conoscere
è sempre,
ora
generale dei
occupare,
particolari.
sappiamo,
ad
arbitrio
un
divisore
un
divisore
sottogruppidell'ordine
il primo teorema
numero
rema
teo-
primo.
rispondente;
cor-
di Sylow,
IL
la potenza p'^ di
un
Se
DI
V ordine
numero
57
STLOW
di
m
un
esiste in G
primo
p,
che
ogni
G
gruppo
è divisibile
qualchesottogruppo
p'- ^).
d'ordine
già dimostrato
Ammetteremo
ammetta
jp'""^
per
allora
TEOREMA
cioè il teorema:
Sussiste
per
PRIMO
esisterà
in G
esiste
gruppo
^*~^
d'ordine
sottogruppi
qualche sottogruppo
ne
l'identità,
certamente
il cui
gruppo
d'ordine
e
ordine
sia divisibile
che
proveremo
p'^ Siccome
in
.
seguirà
G
che
ammette
ogni
gruppi
sotto-
varii ordini
dei
p,'p\p''...f
.
Consideriamo
quelle sostituzioni
altra sostituzione
di
G,
fra le
Oi
che
il sottogruppo
si dirà
Ora
nel
diciamo
due
affini
1
=
che
cioè
sarà
.
.
a„
.
evidentemente
=
in G
sottogruppo S,
un
di G.
che
g
ogni
l'identità ; siano
almeno
sostituzioni a, h in
di b per
affiniad
sostituzioni
O3
ptcrmutabilicon
sono
un
G
gruppo
trasforma
a
quando
esiste
in b:
g-'ag,
anche
trasformata
a
,
commutativo
b
con
Go
,
sostituzione
qualche
gruppo
cìie
quali avremo
formano
queste sostituzioni. Esse
di G
terza
una
c
=
della
mezzo
g~^
Si
g-^ag,
e
subito
loro ; in simboli
affinifra
sono
vede
che
due
.
da
g^' b g,
=
segue
a
Ne
segue
che
=
ggT'bg, g''
b {g,g-')
(g,g~')-'
-=
,
le
possiamo ripartire
sostituzioni
affini,ponendo nella medesima
affini ad
una
nel
affini,
ad
sostituzione
senso
che
si formerà
ogni
100).
dirnosti-azione
data
da
ogni
nel
testo
quella
classe
di G
sostituzione
è
tutte
di
0
sarà
in classi di
quelle
sono
sostituzioni
affine ad
del gruppo
Frobenius
che
stituzioni
so-
si estrae, ad
completodi
sistema
un
altra sostituzione
sola fra queste. Ciascuna
una
*) La
Bd.
stessa, indi fra loro. Se
una
classe
di G
bitrio,
arnon
una
commutativo
s Journal
(Creile'
e
58
CAPITOLO
forma
per
sé
sola
del
classe;
una
oi
sistema
ciò
ma
§. 25
—
avviene
non
alcun' altra
per
stituzione
so-
Ciò posto sia
gruppo.
(A)
un
II.
completo
,
02
.
.
.
o„
^1 5^2
,
di sostituzioni
•
.
?
g^
affinidi G
non
indichiamo
e
tivamente
rispet-
con
il
sostituzioni nelle
delle
numero
evidentemente
avremo
(11)
m
Valutiamo
quanto
(?2+
.
•
numeri
con
»?,;
sottogruppo commutativo
È
m.
che
.
q, ciascuno
ad
come
si avrà
puro
allora
dei
quali, per
esempio
la
Qì in
sima
mede-
sé
stituzione
so-
sottogruppo G, il cui
un
Gì contiene
è contenuto
facile provare
gv
in G
questo gruppo
1 ed
+
trasformano
che
di G
.
1. Prendasi
"
permutabilicon g^) formano
indichiamo
"
+
precisoi
Quelle sostituzioni
(che sono
Mi
gì
è detto, è certamente
sopra
ordine
^-
w
=
in modo
ora
(ji.
cioè
di
classi
rispettive
evidentemente
il
sottogruppo in G,
precisamente
m
mi
Se
infatti le sostituzioni
distribuiamo
di G, nel
del gruppo
G
rispettoa quelle
quadro
G,
G, 1^2
Gt ^3
G
=
G,
vediamo
subito
sostituzione
zioni diverse
se
se
che
due
sostituzioni
si trovano
nella
appartengono
a
t
„.
trasformano
di G
medesima
gì nella medesima
orizzontale
differenti orizzontali.
e
invece
Dunque
in sosti-
il numero
g,/yyy
delle sostituzioni
Dopo
(12)
ciò la
affini a gi
(11) si
m
eguagliail numero
scrive
=
ni-
—
-\
h.-.H
delle
cioè
orizzontali,
—
.
PRIMO
IL
e
da
questa relazione
possiamo
che
vedere
ciò faremo
d'ordine p^- conduce
TEOREMA
V
ad
risultato
Distinguiamo due casi,secondo
è divisibile,o
l.°
è in 2Ì
i
qualche sostituzione
che
alcun
contenga
l'ordine
n
Sylow.
Per
sottogruppo
del
sottogruppo
dal
dimostrare
Indicando
p.
mutativo
com-
2^.
cominciamo
periodo
a
di
assurdo.
Allora
p.
il teorema
non
divisibile per
non
divisibile per
n
caso:
G
59
STLOW
dedurre
ora
ipotesi che
un
DI
che vi
con
periodidi
rispettivi
"3i, (32, O3
si costruiscano
i
seguentipiP2P3
•
•
Oi^ o«2
(13)
p, p.
.
a„
P,.prodotti:
completi
di resti
rispetto
ai
duli
mo-
e.
prodotti (13)
si trova
.
a;^3...o:f«,
sistemi
gli esponentia^ percorrendo
I
.
.
«1
=0,
a^
=
l,2...,3i-l
P2-I
0,1,2...
a„=
0, l,2...p,.-l.
tutte
e
danno
ripetuta in (13) il
sole le
medesimo
n
sostituzioni
numero
a;
ma
ciascuna
t
q di volte, quante
volte
Si
avrà
cioè riesce
come
si vede
subito
permutabilitàdue
la
per
due
a
delle
o.
quindi
pi P2
e, siccome
n
sarà
p,:,
è divisibile
pel
divisibile per
.
.
numero
p.
La
.
pn=gW
primo
p,
sostituzione
una
di
almeno
delle
p,
niamo
po-
S
h
sarà
quindi precisamente
il gruppo
periodo p,
a
ciclico d'ordine
^
=
come
si voleva.
p
(l,o,o^,...o^-0
Consideriamo
lora
al-
60
CAPITOLO
che
è
che
sarà
sottogruppo invariante
IL
in G
§. 25
—
costruiamo
e
il gruppo
complementare
Wl
grado
d' ordine
Ora
l'ordine
tesi,in
in G
H
di H
—
almeno
G
in isomorfismo
sarà
da
essendo
d'ordine
considerarsi
(12),uno
divisibile
meriedrico
^«-^ avremo,
per
sottogruppo d'ordine p'^~^e
un
sottogruppo
un
Resta
la
; il gruppo
—
di
H.
con
p
=
almeno
il 2."
dei
ipotesi.
,
caso:
numeri
n
deve
non
—
divisibile per
non
ipo-
questo corrisponderà
a
la nostra
contro
p^
per
Allora,per
p.
il fattore
contenere
p.
^
Mi
In tal
stesso
esso
cV ordine
nii
"^
il corrispondenteordine
caso
è divisibile
Nella
onde
ancora
pel
,
per
bile
divisi-
sottogruppo
cui
ordine
.
G, contenere
potrà nemmeno
esisterà
ottenuto
Avremmo
p«
alcun
contiene
non
sottogruppo(puro)G,, il
un
p^
di G, è evidentemente
m
G
Se
risultato sopra
divisibile per
mi
almeno
ipotesinon
nostra
d'ordine p'-^
Dunque:
.
G
p'J-, esiste in
m
m'i di
p'^-
per
"
mt
dunque
.
un
un
serie
una
sottogruppo
divisore puro
infinita decrescente
di divisori
m'i, m"i
Mi,
di
tutti divisibili per
w
Dal
di Sylow
teorema
teoremi
seguenti
1.** Se p"^-è la
si
può formare
^r^
ciò che
,
è assurdo.
,
così
.
.
dimostrato
come
seguono
corollarii i tre
di Cauchy:
più
un
alta potenza del
gruppo
d'ordine
primo
numero
p'J-su
p
che
lettere. Tale
n
divide
tu
{n) ^),
contiene
gruppo
sottogruppidegliordini
pa~i
2.° Se
gruppo
di
un
noto
n
sia
che
questo
compreso
pa~2
è
gruppo
qualche sostituzione
1) È
quando
V ordine
^
.
.p
.
divisibile
pel
numero
p,
esiste nel
periodo p.
a
esponente
fra ir
.
e
p'
a
+^
è dato
da
(Dirichlet,
Teoria
dei
numeri).
62
CAPITOLO
vediamo
subito
che
in
di
G, appartenenti
Hi nel medesimo
g dei
alla
due
e
gruppo
ciò il numero
diversi. Per
gruppi
§.26
—
sostituzioni
due
orizzontale,trasformano
diversa
II,
medesima
di orizzontale
sottogruppitrasformati
k
di Hi
è
eguale
(14)
H^
al
numero
(jj'
Hi
=
H3
,
orizzontali,cioè
Hi
^3-^
=
^3
il secondo
H,
...
g
=
g,-'Hi
=
g^
di Sylow
teorema
si ha
e
—
.
precisamente
:
Se
m
9,
enunciamo
Ciò premesso,
così
delle
r
la
i^'J-è
di
G,
gruppo
un
alta
più
del
potenza
tutti i
G.
di
Il
dell'altro per
sostituzioni
in
del massimo
sottogruppo di G,
loro
che
p
p'J-in G
sottogruppid'ordine
Vuno
G
primo
numero
numero
contenente
q
divide
trasformati
sono
eguaglia Vindice
dei detti
uno
l'ordine
sottogruppi
sottogruppo invariante, e si ha
come
Per
dimostrare
sostituzione
suna
F, che
sia in Hi
non
.
cominciamo
teorema
questo
di
(modp)
l
^
q
dall' osservare
2)uòavere
,
per
che
ìies-
periodo una
po-
r
infatti il gruppo
di p. E
tenza
sibile per
complementare
d'ordine
^^
divi-
5, non
=
Hi
può
non
p,
sostituzione
alcuna
contenere
di
divisi-
periodo
r
p. Ora
bile per
è in isomorfismo
F
d'ordine ^^'^con
meriedrico
-rj-
all'i,
Hi
F
dentità
in
in
corrispondendo Hi
-^^
F,
sostituzione
una
se
e
fuori
y di F
Hi
r
di Hi
avesse
per
periodo
potenza di
una
la
p,
corrispondente m
^
\
l'identitcà ed
sarebbe
p.
(§. 14). Ora
del
gruppi
avrebbe
per
la definizione
introduciamo
ordine
medesimo
trasformi
H
K
e
gruppi H, H' affinirispettoa
che
K
allora
gruppi
la h~^ trasformerà
affini ad
premesso,
esiste
se
H, H' due
qualsiasi,diciamo
in K
qualche
di
potenza
una
seguente: Essendo
gruppo
un
stessa
essa
i
due
sostituzione
k
in H':
R'
ed
periodo
non
-^
un
terzo
prendiamo
i q
=
k-'Rìc
H' in H.
inversamente
rispetto a
K
sono
gruppi
Hi, H2, H3.
.
.
Hj
anche
È
manifesto
affini fra
che
due
loro. Ciò
SECONDO
IL
e
distribuiamoli in classi di gruppi
È
altro
di alcun
di
si
Hi,
Hi formerà
che
chiaro
avesse
risulterebbe
solo
di essi p.
uno
ciò
classe ; ma
una
Hi
e.
.
avverrà
non
qualunque sostituzione
infatti se, per
h
e.
p.
Ji~ H2 h
ne
63
SYLOW
ad
affinirispetto
sé
per
seguenti. E
dei
DI
TEOREMA
la
per
H2
==
,
(14)
h-'
gj'Hi
g^ h
gì' Hi
=
^2
,
cioè
(g,hgìyEdg2hgv')
e
quindi la g2hgj\
ed, avendo
valere
che
di
numero
un
H, (i "
H'i
Sia
medesimo.
1)
gruppi
e
h di Hi
Hi
Ciò
stesso.
g^ sarebbe
e
dovrebbe
quindi in Fi
il sottogruppo
H
è
appunto
q
dei
una
quanti
ciò
,
gruppi H,- sarà dunque
e
della
tutti
.
.
con
.
solo da dimostrare
G
air infuori
che
d'ordine
H,- in
se
a
"
0.
ora
Il
quest'indice
totale
numero
forma
che
intanto
dimostra
la
gruenza
con-
altro sottogruppo d'ordine
nessun
p'^
mette
am-
di
.
.
.
H5.
piiìin generale: Qualunque sottogruppo
dimostreremo
eguale a
classe.
(modi").
Hi, H2,
Anzi
sua
precisamente
sono
H'i in Hi;
esponente
il
positivi,
g^l
Resta
di
Prendiamo
p.
rispettoal sottogruppo H'i
di Hi
nell'indice
sono
(Hi)esclusa)
trasformano
nella classe di H, vi
che
di
gruppi della
i
sono
le sostituzioni
unità
potenza
una
di Hi le cui sostituzioni
potenza p^ di p
esponentia, h,
ad
eguale
col solito processo,
gruppi quante
classi (laprima
delle dette
cerchiamo
Distribuendo
vediamo,
dei
ad
di p,
potenza
che in ciascuna
vediamo
invero
con
periodo una
F
apparterrebbea
è.
Ora
tanti
H, in sé medesimo,
trasformando
qualunque sostituzione
per
non
vi è
per
E,
=
potenza di
una
p,
è necessariamente
contenuto
K
di
in
G,
uno
sottogruppiprecedenti.
Sia infatti K
gruppi Ri
un
sottogruppo di G d' ordine
in classi di
a
gruppi affinirispetto
p^ "p^
.
Ripartiamo i
K. Manifestamente
q
essendo
64
CAPITOLO
di K
l'ordine
ve
gruppo,
ha
solo
un
sarà
di p
è
§. 27.
Per
—
p'',essendo
di ordine
gruppo
di
numero
potenza di
essere
fattore
di
di
un
(§.21), talché
p^, essendo
Anzi
fattore di
ogni
una
l'ordine
notevole
composizione
di
nel
1, ?*"
1,
commutativo.
necessariamente
gruppo
si
secondo
mero
nu-
un
un
in
una
e
"
Di
può
teorema
*) V.§.81.
da p stesso.
anche
corrispondente
un
possiede
servito
ci hanno
a
dine
d'or-
gruppo
composto.
gruppo
dall'identità.
diverso
zione
composi-
un
sempre
Riprendendo
dimostrare
il
(12) ivi stabilita,
relazione
la forma
-\-p°'-\ p''-\-p*^-]?
.
.
qui
n
segue
p,
essendo
che
.
.
appunto
non
ciò che
può
l'ordine
essere
dimostra
J^=
del
gruppo
sotto-
1, ma
sarà
il teorema.
quali alla semplice ispezionedell'ordine
senz' altro concludere
di Sylow
fattoriale
tale gruppo
un
particolarela
potenza di
altri casi nei
diverso
p
è sempre
1
in
ed
.
""
§.25
1
.
r
al
n
mente
è necessaria-
necessariamente
è
del gruppo
e
attuale
caso
=
sono
gruppi
quindi
fattore di
nessun
gruppo
(§.25)
e
p'''
Vi
di
p,
equivale all'altra: Ogni
che
più
di Sylow,
questa assumerà
un
primo,
numero
p
di
asserzione
la nostra
che
"
eguali a
primo
numero
un
semplice,cioè
gruppo
dimostreremo
teorema
di
potenza
una
infatti le considerazioni
a
di
alla potenza
tale gruppo
un
stabilire che
basterà
p,
1
con
esempio
tutti
sono
composizione di
sottogruppo commutativo
primo
tutti i suoi
r.
Siccome
può
applicazioni
le
fattoridi composizionedi
1
primo,
p
Così
stesso.
quando
eguale
infatti il teorema:
Sussiste
primo.
nente
conte-
potenza
una
gruppo
un
primi.Un
d' ordine
gruppi
nei
risolubili r abbiamo
k é
trattando
conosceremo
numeri
composizionesono
Ma
di Sylow.
teorema
,
fattori di
Un
secondo
che
classe
una
si è visto,in Hi
dicesi risolubile
gruppi ^)
dei
teoria
almeno
solo
un
di p.
potenza
una
poiché il periododi
e
del
ragione
una
consti di
non
che ogni sostituzione
significa
.
quanto sopra
la dimostrazione
a
essere
Ciò
Hi
e.
stesso
se
k contenuta, per
completata
della
Hi in
eguale
dunque
sia p.
gruppo,
trasforma
h di K
dovrà
(niodp), vi
poiché q^l
27
ogni classe,che
numero
un
ancora
§§.26,
—
2^, in
potenza ài
una
ne
IL
discende
che
il gruppo
subito
di
è risolubile. Così
il corollario:
Un
gruppo
un
dal
G
di ordine
essendo
m=pq,
risolubile. Nel
gruppo
'^
ora
caso
G
q.ln
p
p
sottogruppi deve
essere
(massimo) in
G
si ha
e
primi
limiteremo
la serie di
un
niamo
Suppo-
di
Sylow,
di
questi
H
Dunque
è invariante
composizione
1
occorrendo
sono
di
ricorrervi
nel
dovuti
a
seguito,ci
:
il cui ordine
gruppo
stabiliti
quelli ora
alcun
contiene
non
fattorequadrato
è
risolubile.
gruppo
2."
di
genere
qui, non
enunciarli
ad
Ogni
1."
del
noi
^), ma
stabilito.
teorema
di q.
mw
composizioneq, p.
teoremi
Ulteriori
Frobenius
di
sopra
divisore
e
G, H,
coi fattori
stato
egualiè
soltanto,perchè il numero
uno
(mod p)
1
^
già
allora, pel secondo
ma
p,
ciò è
q
=
esisterà
sottogruppo H d'ordine
un
lìrimi differentiod
numeri
p,q
65
RISOLUBILI
GRUPPI
p'"q, essendo
di ordine
Ogtiigruppo
p, q numeri
primi, e
un
gruppo
risolubile.
§. 28.
dei
numeri
interi che
di
numero
non
esiste
se
che
o
HoLDER
Cole
e
semplici da
1
hanno
a
primi, i quali sono
hanno
ed
660
la ricerca
esaurita
gruppi semplici soltanto
dei
5
gli
a
ordini
gruppi
decidere, dato
sono
m,
bassi. E
più
così
dei gruppi
degli ordini possibili
che, fatta
trovato
ordini
sempre
servano
semplice d'ordine
gruppo
particolariper
di
ordini
stesso, come
generali che
sono
fattori di composizione
figurarecome
lo
qualche
no
fatte delle ricerche
state
mai
torna
di criterii
mancanza
m,
negli esempii del §.precedente, vi
possono
0, ciò
gruppi
semplici.In
un
si è visto
Come
—
dai
astrazione
numeri
possibilidi gruppi semplici,esistono
ordini
seguenti
60, 168, 360, 504, 660
ed
ogni
60,
e
volta
modidari.
ci
360
gli altri
vi è
sono
già
di ordini
due
^01
solo
un
II,
noti
pag.
129.
come
168, 660
ci contenteremo
^) Sitzungsberichteder
T.
tipo corrispondente.Di
Berliner
gruppi
alterni
incontreremo
qui, per
Akademie,
dare
Mai
questi i
su
5
o
fra breve
due
6
su
come
di
dini
or-
lettere
gruppi
un' idea di queste ricerche,
1893.
—
V. anche
Weber,
gebra,
Al-
66
che
di riscontrare
possibiledi
A
dal
d'ordine
m
onde
m
w,
un
dovrà
d'ordine
di /.;che
divisore
un
Sia
divisibile per
/.;non
vi è
100
solo
un
G„,
seguenti,che
primo
sarà
semplice
gruppo
G
Poiché
p.
che divide
p
è
semplice, il
certamente
"
1
e
(mod pi).Se prendiamo questi
1
^
un
numero
p'^-in G
sia
ordine
60.
=
più alta potenza del
sottogruppi H
essere
m
Sylow.
di
teorema
sia p'J-la
q dei
numero
cioè
e
"C
m
poniamo le considerazioni
della ricerca
hp'J-con
§. 28
—
composti
semplice
gruppo
secondo
e
=
numeri
per
fondamentx)
derivano
q
IL
CAPITOLO
sottogruppi
Hi
e
li trasformiamo
^
di
i
H
.
Hj
.
contemporaneamente
gruppi stessi
con
medesima
una
sostituzione
in altro ordine, cioè
=
^' ^'
r^~'
^~' ^'^'
Hi
Hj
\
Il
complesso delle sostituzioni
transitivo
Hi H2
sopra
in isomorfismo
essere
.
.
.
H^
7
e
forma,
con
le sostituzioni
produrrà
saranno
tutte
dispari,le pari formerebbero
?
•
menti
questi q ele-
su
.
.
.
^~'?^'^
Hy
subito
si vede,
oloedrico,perchè G
un
è
gruppo
G
ve
fossero
ne
deve
semplice.
identici. Si noti
sono
pari perchè, se
in F
un
T il gruppo
questo gruppo
necessariamente
di F
'
come
considerati, i gruppi G, F
Astrattamente
delle
si
sostituzione
una
•
che
.
,
G, i gruppi trasformati
saranno
F
H2
,
sottogruppo invariante
di
più
anche
dice
d'in-
2.
Si scrivano
per
essere
come
restano
di
tutti i numeri
delle
una
ordini
i numeri
di
due
composti "
forme
p''
0
100, tralasciando
p q,
non
gruppi semplici.Lasciando
possono
da
quelliche,
mente
figurarecerta-
parte l'ordine 60,
seguenti
12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 50, 52, 54, 56, 63, 66, 68,
70, 72, 75, 76, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 98, 99, 100.
Di
questi,fatta eccezione
dai
numeri
30, 56, 90,
che
richiedono
qualche maggiore osservazione,si riconosce
subito che
i
GRUPPI
rimanenti
non
affatto
esistesse
quarto ordine
gruppo
di sostituzioni
ancora,
se
essere
su
5
lettere,ciò che
che
riconoscere
non
2
=
isomorfi
perchè 40,
5, 56
.
80
7
=
.
nel
2^ 90
dell'ordine
fuori
X
4
6
2X10
ciò che
2.*^ Un
80=16.5
8,
alterno
divisori
5
=
16
pari
su
5
di 60.
3'
2
.
.
conterrebbe
30
primo
=
24
=
20
non
possono
Avremmo
sostituzioni
„
avere
alcuna
dunque in G30
periodo
a
5
3,
„
essendo
l'impossibilità,
semplice G5G dell'ordine
gruppo
8.5,
=
Così
„
dell'identità.
già in evidenza
pone
40
un
3.'^
gruppi diversi d'ordine
comune
con
gruppi semplici degli ordini
„
sostituzione
tre sottogruppi
isomorfo
gruppo
sono
non
10
due
conterrebbe
Se
sottogruppi del 5.*^ ordine
6
Ora
3.21
=
seguenti:
semplice G30
gruppo
12
gruppi di sostituzioni
con
esistere
possono
3
.
le osservazioni
1.° Un
esempio
soltanto, ciò che è assurdo.
quindi contenuti
è assurdo
30
ad
zioni
considera-
sottogruppi rispettivamente degli ordini
5
quindi oloedricamente
facciamo
gruppi semplici con
gruppi semplici degli ordini
contenere
67
oloedricamente
lettere
3
sopra
esistessero
sarebbe
e
lettere;essi sarebbero
Per
di
100
semplice di questo ordine, esso
gruppo
del
ed
ordini
essere
possono
"
W
analoghe alle seguenti. Prendasi
un
dovrebbero
d'ordine
SEMPLICI
24
+
20 "
30.
conterrebbe
56
sottogruppi del 7.*^ ordine
8
7
8.
„
„
quindi
X
6
che
aggiunte alle
esaurirebbero
3.° Un
gruppo
5.° ordine
d'ordine
già
e
90
si
su
8
8
sostituzioni
48
=
sostituzioni
le 48
+
8
semplice
=
56
un
periodo
come
90
un
7
,
sottogruppo dell' 8." ordine,
solo
sostituzioni
dell'ordine
potrebbe pensare
6
di
a
del
gruppo.
conterrebbe
gruppo
lettere
Hi Hj H3 H4 H5 He
.
6
sottogruppidel
semplice Ugo transitivo
68
II.
CAPITOLO
ferma
lasciano
formerebbero
lettera
una
G15 cVordine
sottogruppo
un
di Tgo che
sostituzioni
Le
§§.28, 29
—
90
Fgo contiene
D'altronde
dovendo
ferme
le altre due.
sostituzioni
§.29.
Per
d'ordine
per
del
gruppo
l'unico
"
m
alterno
gruppo
Un
5.° ordine
quindi un
ne
esistere che per
possono
come
effettivamente,
sussiste
sempliced'ordine
ed
sopra
è
6
che
provare
m
plici
sem-
60.
=
l'esempio
lo dimostra
vogliamo
è
questo
il teorema:
60
60
e
oloedricamente
isomorfo col gruppo
precisamente
isomorfo
sostituzioni
lettere,con
essendo
contiene
oloedricamente
quindi
alterno
sottogruppo del gruppo
di F in G
L'indice
non
semplice d'ordine
gruppo
transitivo
delle
lettere.
5
su
lascerebbe
e
§.precedente,di gruppi
nel
lettere. Ora
5
su
visto
100
tipo esistente, cioè
Ogni
del
alterno
che,
2
il che è assurdo.
quest'ordineesistono
Ma
periodo
il sottogruppo G15 conterrebbe
quanto abbiamo
composto
a
lettere
cicli di due
due
conseguenza
periodo 2,
a
—
In
sostituzione
qualche
certo
pari, conterrebbe
essere
..
=10.
—
d'ordine
6, il gruppo
=
—-—-
G
un
con
pari. Il
tutte
6
sottogruppi
Teo
gruppo
gruppo
Teo è
sulle 6 lettere.
360
complementare
60
è
in cui si
ripartisconole
è il gruppo
Al
60.
Le
sostituzioni
sulle 6
alterno
sottogruppo
ordine
isomorfo
oloedricamente
gruppo
un
F
sostituzioni
teorema.
sulle rimanenti
5
.
di H'
e
lasciano
però
lettere
classi
H
.g^.
corrispondein
le sostituzioni di F,
alterno
.
sulle 6
rispettoa F (§.17) ; dunque
di G
lettere g^
di G
G
a
il gruppo
H
un
ferma
H' è
sottogruppo H' di egual
la classe ^1, cui
precisamente
gì, g^, g4, g-o, 9^,
ciò
che
tengono
appar-
il gruppo
dimostra
il
70
Pel
un
secondo
è invariante
Abeliano
gruppo
di Sylow,
teorema
§. 30
—
pel fatto che ogni sottogruppo di
e
nel gruppo,
d'ordine
^^
^^^
2)'i''-
Fi d'ordine
i
III.
CAPITOLO
esisterà
p^^e
»
in G
solo sottogruppo
un
così via. Formiamo
tutti
7, di F,.
Queste
prodotti
possibili
(1)
di
9
sostituzione
una
Fi per
Y2 di
una
Ir
•
•
.
sostituzioni
evidentemente
tutte
sono
Vi di
Ti Y2
=
F2
.
.
di g;
.
ma
,
per
una
si trova
nessuna
ripetuta
perchè da
7i Y2
•
•
•
7'-
Yi Y2
—
•
•
•
"(y
seguirebbe
la sostituzione
Ora
potenza di
ha
Y,.=
e
y',-
si trovano
similmente
date
scrivere
anche
della
onde
2^'i^
pb- •p''f^^
forma
y'i
=
le
tutte
Yi
•
'('2Y2
Ogni
Ne
•
•
•
si ha
risulta che
Per
sono
sopra,
YrY'r^
dalla
=
l
cioè
formola
•
-
•
P^7'sostituzioni
Fi F2
=
.
.
.
di G ;
e
(1)
possiamo
F,
il teorema:
gruppo
Aheliano, cV ordine
composto di potenze di diversi numeri
primi, si decompone nel prodottodi sottogruppiAheliani
sono
periodouna
simbolicamente
G
enunciare
ha per
"
=
,
m=x)'t^2^P
(2)
ed
,
quella a sinistra,per la proprietàosservata
j^r mentre
periodo
un
destra, appartenendoa F,
a
potenze di
il medesimo
numeri
teorema
rispettivamentedivisori
primi.
di
Sylow,
delle
se
potenze
ry, ,
parziali,i cui
dini
or-
71
ABELIANI
GRUPPI
degli ordini
G' prodotto di questi sottogruppi
il gruppo
consideriamo
Allora,se
:
parziali
G'
è chiaro
che
è
che
divisore
un
Un
dell'ordine
non
v\ r'o
.
rv
.
,
di G
sottogruppo
qualunque di
.
di ordine
Dunque:
m.
possiede sottogruppi di tutti gli ordini, divisori
del gruppo.
pei gruppi Abeliani
fondamentale
che
un
Aheliano
gruppo
Così
G'
sarà
=
viene, in
(§. 7); è questa,
Osserviamo
dei
già si è osservato,
come
sussiste, in generale, per
teorema
proprietà
una
gli altri gruppi.
particolareche il gruppo
in
modo, invertito il
certo
Abeliano
G
togruppi
possederà sot-
rispettiviordini:
Pr,
onde
risulta il teorema:
Ogni
§. 31.
dei
Ma
Aheliano
gruppo
Abbiamo
—
un
e
tali
al §. precedente,le proprietàfondamenstabilite,
dei
teoremi
della
teoria
questi teoremi, nel
stabilire direttamente
generale.
caso
gruppi Abeliani, giovandoci delle semplici leggi che
questi gruppi. Cominciamo
Se si decompone V ordine
due
dei
gruppi Abeliani, servendoci
possiamo anche
risolubile.
gruppo
fattorim^
.
m-i
m
di
gruppo
un
primi fra loro,esistono
A
B
direttamente
dal dimostrare
=
=
(a, «2
(èih.
Aheliano
in G
•
.
.
«'"i)
.
.
.
h,n,)
due
ticolare
parnano
gover-
il teorema
:
G nel prodotto di
sottogruppi
72
CAPITOLO
dei
ordini
rispettivi
mi,
III.
tali che si ha
Wj,
G
cioè i
§.31
—
A.B,
=
prodotti
tutte le sostituzioni
danno
Per
(i
=
{k
=?•
di
1, 2,
.
l, 2,
.
le sostituzioni
proprietàosservata
il cui ordine
di G
al
Similmente
il
il cui
.
complesso B
il
prodotto di
nii
=
una
Intanto
per
sarà
ma
e
subito che
interi r,
r
si dimostrerà
ma
ogni sostituzione
infatti,
poiché nh
i. E
loro, potrà risolversi in numeri
prima
=
-{-nii
s
s
,
mg
sono
"/ di G
'?
g'"2
=
l'equazione
1
=
.
g"*i\
Ora, essendo
si vede
appunto
che
g"'2 è
'
una
Ora
questi «i
nz
a,
=
prodottiai hk
sono
tti hk
segue
e
a
g
.
==
*
è
5f"'i
hk
una
h ;
avremo
cioè
.
differenti fra loro, poiché da
ttjhh
Uz
è
primi fra
si avrà
g
nh
sottogruppo di G, il cui ordine
un
vediamo
una
della
;«2
.
a
,
causa
sottogruppo A di G,
un
ni
a
quelle sostituzioni
di
nii
;
Wi
formano
provvisoriamente con
G, il cui periodo divide
dimostreremo
.
.
periodo divide
6l"2
di
sola volta.
una
§.precedente,esse
indichiamo
nii
.
con
ai, a^, a^
tutte
.
G, ciascuna
dimostrarlo, indichiamo
mi
..
BASE
Ma
è
Wi
primo
in A
si avrebbe
anche
con
DI
perchè, se
m^
appartenente
a
B; similmente
n^
rii =
m^
Wi
,
perviene alla
medesima
W2
=
dal
teorema
trarre
da
Nel
—
se
indipendenti
(3)
può
nh,
onde
quindi
e
segue
d. d.
ora
dimostrato,è chiaro
§.precedente
nel
G
Abeliano
gruppo
fra loro
e.
con
m^
comune,
come
Abeliano
abbiamo
G
dedotto
nuovamente
ivi osservate.
9i,92,
le diremo
primo
di
questa decomposizionepossiamo
le conseguenze
tutte
§.32.
e
divisore
primo
decomposizione (2) del gruppo
prodotto di gruppi parziali,che
Sylow,
è
teorema
nel
di
loro divisore
un
periodo p
a
73
ABELIANO
fosse
p
sostituzione
una
Applicando ripetutamente il
si
GRUPPO
UN
-
prendiamo
r
sostituzioni
--gr;
sostituzione composta di queste
nessuna
9i''9.''---9/'-,
salvo quando si abbia
l'identità,
essere
cioè Si, Si,
.
.
siano
.Sr
separatamente
rispettivamente multiplidei periodi
delle sostituzioni
9x92...
Se
gì, 92,
.
.
-g,-
agli esponenti 5i
,
Sj
fra loro
sono
.
.
.
s,- si
9y
indipendenti,le sostituzioni (3),quando
faccia
rispettivamentepercorrere
un
sistema
completo di resti rispettoai moduli
daranno
evidentemente
un
sottogruppo H
n
Questo gruppo
H
piPi
=
si indicherà
.
.
.
di G,
p,
precisamente di ordine
.
anche, ponendo in evidenza
generatrici,col simbolo
ll
=
[gi,g2,...gr].
tuzioni
le sosti-
74
CAPITOLO
Ci
proponiamo
A
è
divisore
un
di G
sostituzione
a
entri in n^
ad
w'i w'2 non
del
seguenti:
massimo
almeno
n'ip"^-ni
=
periodo
divisibili per
e
p
fattore
un
n2P^
=
inoltre
e
ni
riodo
pe-
un'altra
g
divida, se
non
%
in «i;
,
periodi w'i,pi primi
rispettivi
i
primo
p
di
è possibile,
che
Wo
poniamo
,
a
"
fra loro
e
prodotto ha il periodo riipi "
loro
r
gruppo.
potenza maggiore che
una
,
hanno
di G
conseguenza
Ui
essendo
fra loro indipendenti;
generatrici
periodo n.^. Supponiamo che
vi sia per
e
si
di ni.
sostituzione
una
ni
del
Abeliano
gruppo
periodo delle sostituzioni di G, ogni altro
è il massimo
ni
Sia g
base
una
ogni
per
oggetto premettiamo le osservazioni
tale
a) Se
che
di sostituzioni
si dirà
tale sistema
un
§. 32
—
di dimostrare
ora
sistema
può scegliereun
III.
ni
sostituzioni
p. Le
quindi (§.39) la
ciò
che
stituzione
so-
contraddice
,
ipotesi.
Consideriamo
di
che
di g,
bisogna elevare
si costruisce
se
H
sottogruppo qualsiasi
sostituzione
una
cui
a
un
g
il gruppo
di G.
rispettoad H, il minimo
complementare F
Abeliano, il periodo relativo di
gruppo
è altro che
Ne
il
le
=
-jj-
infatti se
e) Due
che è
,
sostituzione
una
esso
di
stesso
G
non
in
F.
proprietà seguenti:
h) Il periodo relativo è
E
esponente positivo
periodo effettivo della corrispondente sostituzione
subito
risultano
lativo
periodo re-
perchè g'^-appartenga ad H. Si vede subito
±1
un
Diremo
sempre
un
divisore
[5è il periodo assoluto,a.gi
=
sostituzioni di G
l
del
periodo assoluto.
corrispondein F l'identità.
il medesimo
equivalentirispettoad H hanno
periodo relativo.
Ciò
è evidente,
medesima
d) Se
altro
perchè
a
due
tali sostituzioni
di
G
corrisponde la
in F.
n
è il massimo
periodo
relativo è
periodo relativo di
un
divisore
di
una
sostituzione
ogni
n.
il teorema
Questa proprietà risulta subito dall' applicare
complementare F,
di G,
a) al gruppo
BASE
§. 33.
effettiva di
in G
sostituzione
una
75
ABELIANO
GRUPPO
Abeliano
del gruppo
base
una
UN
queste osservazioni,procediamo alla costruzione
Premesse
—
DI
periodo
del massimo
gì
nel modo
iii
seguente. Prendiamo
costruiamo
e
il sottogruppo
ciclico
Il
periodo relativo di ogni sostituzione di G sarà sempre,
abbiamo
di
(a) e) §. 32),
aversi
possa
sarà
divisore.
Uo
periodo assoluto
g.y
g
,
Dimostriamo
112,
ciò che
di
Sia Wj il massimo
.
escludere
senza
tii,
tale scopo
talché
Uo
almeno
sostituzione
una
lo stesso, che vi ha in G
torna
//i. A
indipendente da
periodo relativo
a
divisore
un
esiste in G
che
0
di n^
quale (§.32) ogni altro periodo relativo
del
e
Wi
=
divisore
un
questi periodi relativi che sarà
che
a
visto sopra
per quanto
prendiamo
una
"/2
stituzione
so-
zione
sostitu-
una
si avrà
,
g"2
g,h
=
,
onde
g'
L'esponente l\
allora
sostituiamo
quindi essere
deve
—
sl
g
"^.=
g,
=
1.
multiplodi
Uy
cioè
intero.
—
Se
,
a
F)
equivalente (rispetto
la, sostituzione
[/ -!Ji
vediamo
che
g2 avrà
Mediante
le due
appunto
per
periodo assoluto
n^,
come
si voleva.
generatriciindipendenti r/j g^ costruiamo
sostituzioni
,
il
sottogruppo
H
=
[r/i^2]
,
d'ordine
da ^1
perciò con
ad
,
(72,
«3
H. Questo
di
Potremo
Uini.
G, elevata
dividerà
relativo
n-^
%
a
sostituzione
g-^
dente
indipen-
periodo relativo delle sostituzioni di G rispetto
^^:^è
numero
una
perfettamente analogo. Indichiamo
procedendo in modo
il massimo
relativo
in G
trovare
ora
n^,
mi
divisore
trovasi
( d) §. 32). Se
rispettoad H,
di no,
già in F;
^
è
una
avremo
g"^
=
gì"'^2*2
.
zione
perchè qualunque sostituinoltre
ogni altro periodo
sostituzione
di G
a
periodo
76
CAPITOLO
i numeri
ed
Jc^ ki
che g"2
servare
(^»3)«3è
=
che gì, gì
§§.33,
—
divisibili per
sono
,
III.
%
periodo assoluto
il
relativo
Le
è
Ws
=
di gz sarà
sottogruppo di G
un
Per
1,
^i"i
=
dando
ricor-
e
k\
hi
"^.^2
"»
poiché ga"^
1
=
,
ed
il
periodo
suo
ogni
d'ordine
n
il gruppo
ni.n2.ns.
=
evidentemente
Aheliano
gruppo
indipendenti ed
dunque
[gi,g2,g3]
=
Così continuando, stabiliamo
A)
dall' os-
.
K
è
%
sostituzioni gi,g.2,93Sono
tre
di gì, mentre
subito
Poniamo
indipendenti.
sono
93=9-91
e
si rileva
come
,
potenza
una
34
G
il teorema
d'ordine
si
m
può
seguente
trovare
:
base
una
[9i,92,93---9y]
dotata
delle
proprietàseguenti: 1."
I
ni, Ui,
periodi
.
.
nr
.
delle rispettive
sostituzioni generatrici
sono
od
egualia questo, ed
sostituzione
del gruppo
è
m
ni %
=
è il massimo
generatricegì
2.* Ciascun
.Ur.
.
.
divisori ciascuno
periodo
rispettoal sottogruppo[gi,g2,
G
.
.
del
periodo ni
relativo
di
una
delle sostituzioni
gj^i]generato
.
precedente
dalle sostituzioni
precedenti.
§. 34.
di
del
con
la forma
alcuna
medesimo
un
diversi
Mi
anche
siano
per
un
di
una
primi
un'altra
le
base
p.
e.
fra loro, forma
è costituita
rispettiviperiodinh
,
w-s
=
S
Abeliano
base
una
dalle
S'"2
Sa
due
=
alla base
data
che si possono
periodo composto
a
,
.
abbiamo
Non
applicazioni.
il gruppo
per
sostituzione
ma
imponendo
costruire
S'"!
,
basi
e
generatrici
ciclico generato
m
=
mi
la sola sostituzione
sostituzioni
stenza
l'esi-
dimostrata
diversi di sostituzioni
numeri
con
Si
coi
Abeliano,
gruppo
condizione, è facile vedere
gruppo
abbiamo
soltanto
non
più appropriataper
periodi.Così
dalle potenze
mi,
§. precedente
base
una
gruppo
alla base
di
Nel
—
1%,
S,
ove
come
indipendenti
78
CAPITOLO
quindi
elevando
III.
§.
—
34
questa eguaglianza all'esponente ni coll'osservare che
si avrà
Viceversa
ogni
sostituzione
è evidentemente
numero
anche
evidentemente
sono
da
dato
le sostituzioni
tutte
di questa forma
della
g
può
anche
X
~
illoro
e
^r
però
il loro
D' altra
parte
e
g
-^
X
•
•
porsi
fra le sostituzioni g yì h pure
; dunque
la forma
sotto
la
è il medesimo
numero
^2M,
Ma
•
•
una
forma
sostituzioni
ogni sostituzione
X
—
è
'pi— iw,-
g'f"ed, essendo g'iindipendenteda
g'i,g'2,". g'i-i,
si ha necessariamente
A
poiché
e
ni
del
causa
Condizione
e)
oloedricamente
necessaria
del
primo
L'
Uy,
Uo,
.
il nome
a
d. d.
di
questi
:
Ahéliani
siano
eguali invarianti.
facilità. Siano
tutta
con
.n,-
.
e.
w,
=
inerente
importante significato
abbiano
isomorfi
oloedricamente
gruppo
ai numeri
n'i
si avrà
perchè due gruppi
sufficiente
e
che
si dimostra
Abeliani
è invertibile
seguente
teorema
isomorfie
Il teorema
gruppi
Abeliano.
divide
ìi'ì
(periodo dì g',)
che
conclude
ne
B), daremo
teorema
risulta dal
numeri
1. Se
=
la considerazione
del gruppo
invarianti
f/'f'
siano
e
infatti
ìii, ÌI2,
.
.
G,
.'nr
F
due
rianti
gli inva-
e
[gi,g2,'--gr]
la base
Indicando
corrispondente.
di
due
r,
si vede
subito
con
che,
a
Yi , Y2
una
•
•
•
le
'["?
zioni
sostitucorrispondenti
dell'isomorfismo
causa
gruppi,
[TiY2
è
,
base
del
secondo
gruppo
.
.
•
Yr]
coi medesimi
invarianti.
oloedrico
dei
INVARIANTI
DI
['il72
,
far
basta
Riesce
risponde
tti 0^2
mediante
sopra
••
(«1612
=
.
.
.
+
n^
bib^
a»i \
•
le sostituzioni
gì
alla
aflfermativamente
subito
di sostituzioni
gruppo
r
numeri
gruppo
Aheliano
questione
costruendo
un
bilire
sta-
gruppi.
arbitrio
ad
per
che
?
invarianti
per
Dati
precedente,esiste
del
sia divisore
indice
fra i due
oloedrico
la domanda:
naturale
molto
ora
di cui ciascuno
Si
,
la y col medesimo
g
rispettivebasi
Y']
•
•
corrispondenza d'isomorfismo
una
li abbia
ciascuna
corrispondere a
•
,
le
hanno
eguali invarianti,ed
Viceversa, se G, T hanno
79
ABELIANO
GRUPPO
UN
+
M2
.
.
.
.
0)125
.
+
.
•
lettere
n,-
'i'2
•
•
un
•
•
'"»?
•
generatrici
a»l)
,
92
{hh-"
—
'bn^
Or
,
(?i^2
=
.
.
.
In,).
Il gruppo
^
appunto gli invarianti
avrà
§. 35.
risolubili sopra
transitivi
andiamo
Sia
ad
ora
G
gruppo
(4)
una
di
ipotesi,numeri
primo
ad
un
,
.
di
p
G
della
G,ì_i
.
è
quella
dei
gruppi
lettere,della quale
ci
in
di
composizione essendo, per
primo luogo
transitivi
serie
1
,
fattori
V identità,sono
gruppo
essendo
sulle p
non
G, intransitivo
e
è Gj
Supponiamo
l.
=
che
tutti i
gruppi
lettere.
transitivo,basterà
G,_i supposto transitivo,succede
gruppo
un
mostrare
G,-egualmente
gruppo
al contrario
G,_i
sitivo,
tran-
sia
ai a2
dei sistemi
.
primi. Dimostriamo
transitivo,se
uno
gruppi
sia
composizione, i
della serie, tranne
che
e
,
serie
di
primo
numero
un
G, Gì G2
sua
Il
importante
occupare.
tale
un
richiesti.
classe
Un'altra
—
[9i,92,'--9"]
=
di transitività
in
.
.
.
a"^x.
cui si scindono
le p
lettere
rispetto
80
CAPITOLO
alle sostituzioni
fra le p
di G,
(§.9). Se
transitività
medesima
di transitività contengono
avremo
sarà
precisamente
sostituzione
una
Dimostriamo
in tutti
ma
alla
l'ordine
e,
pel
Ora
se
U
è
ciò U~^ T U
per
invariante anche
Per
che
trovare
il
di
—
potenze di
Il
come
ciclico
gruppo
alcun
ciò d'avere
.p, contiene
.
.
p
G, contenendo
altro
statato
con-
in G,_i
ciclico F
i
avremo
soltanto
F
come
sottogruppo d' ordine
p.
si ha
T
con
stesso.
Dunque
T
è
=
i
ricercare
gruppi sulle
sottogruppo invariante
come
e
in
esso
ed
un
mero
nu-
^; lettere
; basterà
in tutti i suoi
gruppi richiesti.
più ampio gruppo
nel
.
G.
=
coincide
e
per
precedenteG«_2,
d. d.
e.
r
è contenuto
3
Sylow,
più ampio di tali gruppi
sottogruppi transitivi
§. 36.
un
p
che tale sarà anche
qualunque di Gr'
in G,
contengono il gruppo
dunque
solo nel
di l .2
di elementi, dobbiamo
p
,
primo,
numero
un
dunque tutti i gruppi transitivi risolubili sopra
trovare
primo
in G,_i
vendo
do-
G„_i
d'altra parte il
e
dunque
non
dimostriamo
e
ammette
trovasi
videndo
\). di-
G,- si riduce
dunque delle
sarà
e
la
asserito.
p
essere
Supponiamo
U-" G, U
e
di
vale
Dunque
caso
era
divisibile per
stesso.
teorema
sostituzione
una
si
.
sottogruppo invariante,non
«i^ ?
•
sostituisce
penultimo gruppo
consterà
divisore
un
•
{h S, S^...SO•
in G»
di G, è
prima potenza
il
lettere
=
gli altri ed in G
•
»
tutti i sistemi
che
primo
come
V sarà invariante
che r è invariante
Siccome
T
=
che
ora
Nel
composizione, deve
ciclica S sulle p
G„_,
che
Esso
«2
il sistema
\". di lettere.
p.
ordine
=p.
,
siccome
e,
hi, si vede
con
numero
[i.:=
im
fattore di
ordine,come
p. lettere
è transitivo
transitivo,ha
essere
onde
cii
queste considerazioni
da
«i
che
concludiamo
ne
U
sostituzione
una
le lettere che U
almeno
ovvero
esso
G,_i
qualunque
,
egual
un
1
[x =
nel secondo
all'identità,
Segue
G,
=
invertendo
considerazione
p,
U
un'altra
G, unisce transitivamente
appartiene hi ha
cui
transitivo
unirà transitivamente
poiché U~^ G,
queste. Ma
36
hi indichiamo
con
il gruppo
come
U~^ G, U
così il gruppo
suo
§§.35,
—
lettere, esisterà nel gruppo
che porta ai in hi e,
a
III.
quale il gruppo
ciclico
(i,s, s^...Sp-o
sottogruppo invariante
dicesi il gruppo
mefaciclico. Si
tratta dì trovare
determinarne
le sostituzioni
tutte
Indichiamo
l'ordine.
anche
essendo
Ogni sostituzione
U
\Xi)Xi X2
—
del
potenza S'',talché
e
però
•
nella
modi
Xp
.
si
considereremo
prenda
Xm
x,-
=
,
dentement
evi-
porre
:
i).
S
trasformare
deve
in
S'-.
=
divisibile per 7), S'' é simile
non
corrispondentisostituzioni U.
esistono
scriversi in p
che
gì'indici
Qualunque sia l'esponente r, purché
S
p, talché
si abbia
u-^su
ad
particolare
con
raetaciclico
gruppo
in
(mod jp).Potremo
m
•
e
)
convenientemente
O
sua
J(/p 1
•
positivo di
resto
distribuendo
una
•
lettere
qualunque colla convenzione
m
il minimo
r
•
questo gruppo
presirispettoal modulo
indici
indici interi
di
le p
3/Q 0C\ iA/2
distinguendolecon
81
METACICLICO
GRUPPO
diversi
S'*
D'altronde
soltanto,quindi per ogni valore
dato
può
ad
r
serie
l,2,3...p
abbiamo
che, se
2) sostituzioni
una
delle
fra loro
U
sostituzioni
l
—
differenti. Del
richieste
resto
U, le altre
è
p-
si vede
l
subito
sono
SU,S'U,...S''-^U.
Ne
concludiamo
Il gruppo
metaciclico
Se scriviamo
con
a^o, come
intanto:
S''in
è dell'ordine
S, é chiaro
Ui
lasceranno
ferma
Xq
e
che
1).
modo, facendo cominciare
determinato
un
p{p-
\q p-l
sostituzioni
corrispondenti
del
metaciclico
gruppo
ripartirannonel quadro:
s^
s
,
,
U2
,SU2
,
U3
,SU3
Up_x
,
b
ciclo
l,U,,U3...U,_i
=
le sostituzioni
1
il suo
,
U^_i
s^-^
...
S-U2
S^U3
b
...S^-^U2
,
yjp—i
...S"-^U3
.
.
.
b*^
Llp_i
.
G^ (p_i)
si
82
CAPITOLO
Fra
queste soltanto
però formano,
che
quelle della prima verticale lasciano ferma
p~Ì.È
sottogruppo d'ordine
un
(^_i),
ciclica sulle p-l
/VI
infatti
indichiamo
che
U^
con
facile
dalle potenze
dere
ve-
di
/vi
/yt
•
•
*^p
•
1
•
radice
una
g
ìCq e
lettere
*^1 *^2
Se
§. 36
—
questo sottogruppo è ciclico,cioè è formato
sostituzione
una
G^
entro
III.
primitiva(mod p), quella sostituzione
trasforma
o
(OuqX\ X^
—
Xp
...
\)
in
8^
\Xq X,jX-lg
=
.
avrà
l'espressione
/y*
/v*
/y
/y
tA/Q U/|
e,
X(p_^y)
.
.
decomposta
cicli,darà
in
T
Ne
concludiamo
:
{XlXy
Tutto
ry*
/y*
tA/2
•
•
t^p
•
1
ciclo
il solo
=
nr*
/Y*
Xgi
.
.
.
XgV-'ì).
metaciclico
il gruppo
colle due sostituzioni
si genera
elementari
O
le
sue
—
'
\Xo Xy X-l
Xp
...
ili l) sostituzioni
p
1^ ,
(a
\Xl
—
date
sono
-
X
Xg Xg^
dalla
.
..«
basta vedere
la T^
li
l'effetto di T^
.
Ora, siccome
e
si ha
,
segue
.
quale sua potenza la S viene trasformata
moltiplicaper g'^
T~"
Ne
in
{X^ Xy...
T
Xj,_y)
la formola
T-«
=
la T
r
=
S^
quindi
(Xo%«
=
dalla U
X^g'^
sP /
.
=
dove
piE-|3^« (modi?);
T"
s
moltiplicagliindici per g,
.
.
X^,^y^ga)
generale
s^
^f |
2
—
(f5=0, \,2...p—\
Per vedere
V
forinola
0, 1, 2
=
^
Xg
...
s^i
,
=
S^".
GRUPPO
si ha
dunque
S? Y'Pi
e
il gruppo
metaciclico
è
§. 37
L'effetto di
—
metaciclico
gruppo
(«
Ip=0,
(p-l) sostituzioni
2...P-2
1
2...P—1
,
.
sostituzione
una
è di portare
indice
ogni
v
nell'indice
(mod p).
4- P5'"
V
poniamo
g^
il
,
anclie dalle /j
dato
0,1,
=
v'^^»
Se
S^i
T
=
^g^y- (mod p)
—
quindi
T«S?
del
83
METACICLICO
primo
escluso lo
numero
percorrerà
a
il secondo
ed
zero,
dunque rappresentare
(5)
il gruppo
ciclico r^
Come
già
visto
sistema
il gruppo
^
l'effettivo
§. 35,
al
periodo
che,
se
di
completo.
metaciclico
Possiamo
colla formola
soltanto
p;
alle sostituzioni
con
le sostituzioni
di
le
altre
direttamente
U
è la sostituzione
a?
V
+ (a + 1) ò
a^
V
+ {a'+
hanno
a
\.
=
Fp, fra
un
riodo
pe-
questo risultato
sostituzione
altra
ogni
(mod p)
1, ^2,.. .p—l\
periodo
un
di resti
,
Confermiamo
p-l.
ciclico osservando
completo
intero
un
L
(6=0,
dunque
,
di
,
corrisponderàevidentemente
abbiamo
divisore
6
=
sistema
un
analiticamente
hanno
quelle di Gj,(^,_i,
troviamo
h
+ 6(mod^)
=av
V
(3^«
=a,
(5),le
del gruppo
sue
meta-
potenze
cessive
suc-
sono
U==)v'
=
U')
v'
=
U') v'
=
Perchè
risulti U'' =
tale condizione
a»-
-
1
=
è anche
(a
-
1
a'
V
occorre
+
(a'-'+
a'-' +
che
dunque
sufficiente
1) (a*-^+ a'-"^+
1)6
+
a
.
.
+
(mod p));
^
1
0
(mod p)
da
perchè
.
...«+1)6
sia cC
a
+
1) ^
e
,
ma
84
CAPITOLO
essendo
^
a
(mod p)
1
Dunque
hanno
Osserviamo
i,Jc
che
:
due
sono
porta gliindici 0,
è
prima
sono
Gr^(,,_i
gruppo
brevità
di
è
seconda
(5) sono
Servendosi
pari
è
a
in cui
il
sostituzione
a
tali che,
a-z,
che
.
.ar
sostituzioni
qualunque
l'ordine, rispettoal modulo
p.
serie
(6) corrisponderà così
sostituzione
E
della
una
di queste sostituzioni
d' ordine
r.
infatti,
se
sostituzione
È
a,
facile vedere
è
un
A
formerà
nelle
1
sentazione
rappre-
togruppo
sot-
un
sostituzioni
sottogruppi.Per
nome
di
sostituzioni
soli i
tiplicator
moldi
un
moltiplicatori
composta
ciascun
numeri
,
(6)debbono
riproducano,
numeri
r
evidentemente
(mod p)
prodotto
moltiplicatoreai
sugli
avrà
è il
di essi ai, si
moltiplicatorequalunque
a,ò ^
T'^
quadratico
delle
(5) il
che questo gruppo
corrispondente,si
S^
semimetaciclico.
componenti,gii r
uno
di
.
salvo
complesso
e
sostituzione
una
moltiplicatiper
.
nella
1)
-
dico
metaci-
pari formano
tutti i suoi
supponiamo
e
di
moltiplicatore
delle
moltiplicatori
altre. Nella
dicesi il gruppo
al coefl"ciente
linguaggio diamo
gruppo
è residuo
a
residuo. Le
metacidico, è facile determinare
{p
fra le sostituzioni
dell'espressioneanalitica (5)
tti,
Poiché
del
dispari le
e
non
2, che
fatti,
in-
doppio grado
suo
generatriciS, T
pari quelle
d'indice
si vede, l'ordine ^j
compatibilecol
a
cui
(6)
liano
1
^
(mod p)
si presentinotutti
sottogruppo Gì di G^„,_i)
essere
a
transitivo. E
doppiamente
disparie quindi
pari quelle con
della
dei
(mod p)
a^\
con
la sostituzione
i
-
sostituzioni
pari,la
invariante
—
qualunque,
(A; i)V +
(mod p), impari quelle in
§. 38.
metacidico
è il minimo
due
analitica
del
metacidico
gruppo
Come
i,h rispettivamente.
1 in
transitività. Delle
di
.
,
indici
metacidico
gruppo
la
(mod ;;)
1^0
appartienea (mod p) quellecon
cui
Il grappo
v'^
del
(5) del
sostituzioni
+
«
periodo p.
per
se
+
...
perìodo V esponente r
per
hanno
Le
:
§§.37, 38
—
anche
segue
,
a'~^ +
a'-' +
III.
un
è
in
un
(6)e
(6)
gruppo
gruppo
della
e
il
Abeciclico.
S è il periodo
86
CAPITOLO
Essendo
ciclico
61
" ^
-
r^; quindi
ni.
§. 38
—
di V
(mod p), le potenze
0
ogni moltiplicatorea,
per
danno
in Gì il gruppo
in Gì tutte
contenute
sono
le sostituzioni
|"
v'^a.v-f"
Ne
che,
segue
se
1.
—
si
a
moltiplicatore
dato
un
per
0, l,2...iJ
=
sostituzione,per ogni altro moltiplicatoresi avrà
Se
sostituzione.
ed
all'esponenter,
tutto
lasciano
di questa
lettera
sostituzioni
specie
v'^
sistema
un
x''
congruenza
(mod 2^)e
Anche
qui per
che
vediamo
Ma
quanto che
i
gruppi
Siccome,
è
un
suo
determinato
ogni
dal
tenga
appar-
ogni
riranno
esau-
tale
gruppo
sotto-
ordine
e
delle p
r
suo
soltanto
sono
ove
pr,
:
r
r
radici
(6)
:
seguenti sottogruppi:
1, generati dalle potenze
di p-
h percorre
tutti
1
d' ordine
solo
Ogni sottogruppocV ordine
sottogruppoinvariante.
Ciò
si vede
p
p r, che
di trovare
primo
un
in
possibilisottogruppi.Fra
numero
esiste
(§.30),
più completo
ancora
partitial §. 34,
dì p-1,
(mod p).
divisori dell'ordine
gli ordini
tutti i
un
completo
per i gruppi Abeliani
sottogruppi (8)
sopra
sistema
un
x'' ^
attuale, è
caso
cui siamo
le
a,
dunque
della congruenza
i
e
r.
effettivamente
divisore
i
divisore
sottogruppi di
da
,
(mod p)
metaciclico,come
risolubili
che
(mod p)
di resti
periodo
a
le radici
interessanti
transitivi
6
r
il risultato,nel
p r, vediamo
ed
lettera
contrario,Gì consterà
caso
+
V
d' ordine
il gruppo
problema,
per
ai
dell'ordine
conosciamo
questi i più
il
ai
esistono
gruppo.
Nel
contiene
sostituzione
h) sottogruppi(8)
di resti
medesima
(mod 2?).Concludiamo
metaciclico
una
che
(mod p)
una
completo
l
^
a) sottogruppiciclici
di
sola
una
forma
della
Il gruppo
-(-^
V
perfettamente
è
lascia ferma.
che
percorrendo "
del
a
ferma
tutte
(8)
della
egualmente
(G) uno
moltiplicatori
sola
una
le r potenze di questa sostituzione
corrispondente,
il sottogruppo G. È chiaro che le sostituzioni di un
la sostituzione
dalla
in Gì
è
v'^
sottogruppo
fra i
scegliamo dunque
ha
p
di
cioè tutti
elementi.
sottogruppo
r
del gruppo
del resto
ci risolvono
anche
dine
dell'orclico
metaci-
subito
GRUPPO
dalla forma
nei suoi
delle
(8)
fattori
LINEARE
sostituzioni
87
TOTALE
sottogruppo. Se
del
scindiamo
p-1
primi
Pl,P2,..-Pr
diversi od
la serie
eguali,avremo
di
composizione
l'i
Ne
i suoi
risulta il teorema:
i
Un'altra
—
invece
che
interessante
sostituzioni
lineari
ancora
grandissima
ellittiche
delle
e
esempii
ancora
p
un
di
«y
contraddistinte
metaciclico
serie
una
rando,
conside-
hanno
tuzioni
sosti-
portanza
un'im-
delle
qui, nel
la
principale.
(5) sugli indici,delle
ci offriranno
p.
offre
si ottiene
gruppi
trasformazione
consideriamo
primo,
nf*
/y*
"^0
)
0,
00,
funzioni
mentare,
ele-
campo
^
•*'l
J
?X'2 5
p
+
l lettere
ne*
.
.
^p—l
•
1, 2,...
1,
2)-
la formola
(««"ii,),
"=f7T^')
(I)
^) Ricordiamo
si intende
quel
esiste ed è unico
s' intenderà
elementari
di
numero
dai p -{- \ indici
(«)
e
il
e
gruppi semplici.
numero
•^ao '
di p-1
Questi gruppi, che
della
equazioni modulari,
notevoli
Essendo
lineari intere
teoria
nella
di
risolubile;
gruppo
il gruppo
classe
frazionarie.
ma
un
composizione è
serie di
sua
fattoriprimi
anche
gruppi Abeliani, così
che ogni
particolarità
§. 39
i
sono
è
metacicUco
Il gruppo
fattoridi composldone
Come
ì'i Pi
queste
per
sulle
che
j-
"
teoria
intero
numero
se
nella
^0
che
numeri
soddisfa
(modp). Quando
il valore
xi
congruenze,
proprietàci
x
dei
serviamo
.
Queste
obbediscono
col
simbolo
frazionario
la congruenza
sia "=0
(rnodp),ma
frazioni, come
alle
ripetutamente
bx
nel
testo.
leggi
da
-
(mod p)
(mod p), che
naturalmente
si rileva
medesime
a
~
-
a^O,
considerazioni
delle
ordinarie;
88
CAPITOLO
dove
a,
|3,
y,
o
numeri
sono
ad
dà
allora, come
i numeri
subito
p, y,
a,
rispettoal
nella
o
modulo
p.
intero
1 indici
^
identiche
r
^
0
siano
A
[3Y della (I) si cangia nella (I*) in r^ A
5
a
=
0
è
-
residuo
non
residuo,se
cioè, col simbolo
y^ A
e
se
A è
residuo, cioè f
non
j
r'^A
essendo
La
q
un
totalità delle sostituzioni
facendo
ad
percorrere
e
rimane
[3,
y, 5
duo
quindi resi-
del carattere
)
=
—
+ ^
di A. Se A
potremo rendere
fare
1, potremo
-
g
i coefficienti a,
(mod p)
,
fisso.
residuo
non
^
=
zioni
sostitu-
(mod p)
1
=
—
seconda
a
Legendre, f
di
due
quelli dell'altra. Il determinante
a
quadratico(mod p)
soltanto
,
quando
dell'una
che
scrivendola
(mod p). Viceversa
soltanto
proporzionali(mod p)
assoluto,ma
alterata
^ (mod p)
—
allora
(a),perchè la (I)trasporta
in modo
rimane
(I) non
,
in indici diversi. Si noti
presi non
qualunque, purché sia
(I) sono
(mod p)
0
sui j9 +
(I)sono
La
V
r
qualunque, tali però che sia
pY ^
—
§. 39
—
si vede, indici diversi
(I )
con
interi
effettiva sostituzione
una
III.
a,
(I) è quindi identica
|3,
y, 5 tutti i numeri
a
quella che si
che
soddisfano
tiene
ot-
alla
congruenza
(9)
0
a
S
pY
—
^
(mod p)
1
,
all'altra
(9*)
aS
Due
sostituzioni
soltanto
(3Y
=
—
che soddisfino
(I),
quando i nuovi
valori
(modi?).
g
alla
a,
saranno
(9) o alla (9*),
fi',
-{,o
di a,
(3,
y,
S soddisfino
± 3
(mod x").
congruenze
a'
=
±
a
p'
—
,
+
|3 y'
=
,
± Y.
o' =
tiche
idenle
DEL
ORDINE
(I) formano
le sostituzioni
Tutte
un
av4-p
ne
LINEARE
GRUPPO
89
TOTALE
si ha:
poiché, se
gruppo
a'v'+
„
segue
"-(•(? +
a,
che
si vede
medesima
sostituzioni
due
(I) con
la sostituzione
simbolicamente
Indicando
(I)si
^'"'"'^'-
(-/?+«?«)
5'•,)•'
+
a
P
in
compongono
sostituzione
una
della
la formola
specie secondo
/oc,p\ /a',P'\
x' + V
/a
iì'P «' +
ò
,
p'
^
si vede
onde
prodotto dei
che:
basta
delle sostituzioni
totale. Si tratta
in
dare
e
s^
dal valore
poi 7^0
lo stesso
il gruppo
V ordine, per
il che
opposte in segno, hanno
non
e., se
(mod 2^)
0
-
totale
vale
1)
a
qualunque valore, escluso
risulta individuato
a
soluzioni
(mod p), si può
P
e
di
(p- l)
p^ (p
numero
dirà
5
fissati a, § è fissato anche
Il
(a) si
di valutarne
distinte,e
[iqualunque valore,ad
a
p
Se
indici
(I) sui p+ì
che, nella (9) p.
7
(mod 2))e
componenti.
(9) (9*).
si osservi
possiamo
composta è egualeal
della sostittmone
primo luogo
quante soluzioni
contare
le congruenze
Ora
delle
determinanti
Il gruppo
lineare
il determinante
p,
dare
onde
sostituzioni
delle
sì ad
la
con
soluzioni
(mod p)
7^0
con
(9)
7^0
della
a
che
della
a
dunque
§ valori
(mod p).
(9) è dunque
(9*).
la
^
0,
(9) ha
.
ha:
(i"-l)-f/(i'-l)=i'(i'-l)(i"
evidentemente
5;
quello di
a
+ 1)
arbitrarli
90
CAPITOLO
Ma
poiché due
abbiamo
soluzioni
III.
lineare
totale
sostituzione
(I),
(I) contiene
(/
V
sostituzioni. Lo
per ciò
indicheremo
che
soddisfano
alla
G^(p2
Questo gruppo
il gruppo
Osserviamo
-\- \
lineare
che:
ora
In questo
Cr^(/.2_
i,.
le
stituzioni
so-
2.
definitodalla formola
,
specialeod
il gruppo
(modi)),
anche
lineare
i, k, l
se
infatti,
lettere. E
gruppo
evidentemente
formano
(9)
congruenza
^^^, ao-Pv^l
v' =
(III)
sì dirà
d
_
1)
-
con
d'indice
sottogruppo invariante
sidle p
la medesima
danno
opposte
il risultato:
Il gruppo
un
§§.39, 40
—
il gruppo
totale è
tre
sono
^).
modulare
triplamentetransitivo
qualunque diversi,
indici
la sostituzione
l
i
—
V
,
h
—
'
l
h
—
trasporta rispettivamentegli indici
metaciclico, anche
col
§. 40.
Per
—
(I) del
che
Se
^
rimangono
è
i diversi
0, 1. Come
il minimo
ordine
periodiche
lineare,cominciamo
fissi per
il gruppo
compatibile
X
offrire le
possono
dal ricercare
sostituzione
una
tale indice, dovremo
un
qo,
transitività.
determinare
gruppo
i
—
i,l; / in
lineare, ha
il gruppo
grado triplo di
suo
V
se
vi
sono
stituzioni
so-
dici
in-
(I).
avere
^
,
.
(mod p)
-]-0
'( X
cioè
'lx^
Escludendo
del
4
per
gruppo
-
momento
a) X
—
il
(3:^
caso
(mod 2^)-
0
y
^
0, che
dà
metaciclico,la precedente congruenza,
le note
zioni
sostitu-
moltiplicataper
Y? diventa
\2'ix+ o-a\'^J)
(10)
1)Quest'ultima
per
un
-\-(ò
le funzioni
denominazione
ellittiche.
proviene
(mod p)
dalla
teoria
,
delle
equazioni
modulari
SOSTITUZIONI
G^,(p2
DI
E
i,
_
91
PERIODI
LORO
si è posto
ove
(11)
D
Ed
(ò-a)' + 4,3Y
=
distinguiamo
ora
a) Sia D
lascia ferma
sostituzione
dicesi
—
casi:
tre
(mod ^)).Allora
0
^
4A.
(a + §)'
=
(10) ha
la
lettera,spostando
una
sola radice
una
però
e
le altre. La
tutte
la
tuzione
sosti-
xmrabolica.
D
h) Sia D^O
La
(10) ha
due
lettere
Sia
e)
(mod p)
allora
due
spostando
D ^
0
e
residuo
D
distinte
radici
le rimanenti
ha
(10) non
la sostituzione,che
e
dicesi
p-l,
j
+1.
=
—
lascia ferme
ellittica,
J
P
La
p, ossia f
(mod p), cioè
residuo
non
quadratico ^\
allora radici
la sostituzione,che sposta tutte le 2" +
e
1
lettere, dicesi iperholica.
Nel
ciclico
se
caso
^
D
]
—
=
-\-l. La
secondo, onde
Determiniamo
in
Gy,(^2
Sostituzioni
Xi
,
T~^ S T
lascia ferma
sarà
ed
x^
evidentemente
in G
Le
S
e
sostituzioni
b*) Sostituzioni
T
una
sostituzione
T~^ST
hanno
G^
(^,2
_
^^
S
che
sostituzioni
T
S^
che
(mod p)
0, nel qual
ellittica
caso,
generale.
caso
specie
nel
affini
di
gruppo
specie.
S
in discorso
portiXi
in x^
lascia
e
la
stituzione
so-
parabolica che
sostituzione
una
+
".
il
periodo
ne
concludiamo:
periodo p.
lasci fermi
portix,
,
x^
la forma
\/'
E^a'j
-
2
^
delle tre diverse
sostituzione
la
V
hanno
parabolicìie
di
due
il medesimo
ellittiche.La
a
a
meta-
la forma
quindi
=
poiché
se
rientra nel
alla medesima
v'
E
periodo
evidentemente
avrà
0
^
y
sostituzione
una
se
al gruppo
parabolica nel primo
che
paraboliche.Se
prendiamo
indice
secondo
il
osservando
1,
(I) appartiene
altro indice
il caso
successivamente
(§.25) appartengono
ferma
è
che
la
nessun
un
sostituzione
__
a*)
e
oo
invece
vediamo
ora
sostituzioni
(mod p)
0
^
(mod p),
0
^
y
fisso V indice
lascia
e
cioè
nel
escluso
caso
(mod p)
i due
indici Xi
in Xq, x^;
,
Xk
e
sia
la T~' S T avrà
92
CAPITOLO
III.
ed
avrà
Le
sostituzioni eUlttiche hanno
per
periodo quel divisore
di ^
lettere
1
in
e
noi
il teorema:
Le
sostituzioni
la S
Decomponendo
l'ordine
è
r
=
2. Ma
r
Dunque
:
terrà
decomponga in cicli,con-
di lettere,onde
Ci C2 C3
=
seguirà subito
periodo divisore di
un
ferme
Si
(iperbolica)
r
.
.
1.
+
p
.
dell'ordine
minore
allora la S contiene
sostituzione
a.
iperbolicain cicli si abbia
l'identità,lascierebbe
essere
appartiene
iperbolica sposta tutte
si
ove
hanno
iperholiche
Ci fosse
di
r
che,
numero
S
Se
sostituzione
dimostriamo
ogni ciclo il medesimo
cui
1
-
41
periodo divisore di p-ì.
un
Una
e*) Sostitusioni iperholiche.
le ^ +
§§.40,
—
di Cj la
s
lettere,ciò che è impossibile se
non
è ajffinead
una
ciclo di 2.° ordine
un
S'',senza
che contiene
il ciclo
ed
(0 00); questa Si, avendo
espressioneanalitica
v'^
è
a
periodo 2, quindi anche
e.
la
(mod p)
—
S,
e
,
tutti i cicli di S
sono
di 2."
dine
or-
d. d.
§.41.
—
Si è
già
visto
nel
come
quale sottogruppo invariante
v'
(III)
=
"^^1
,
Y
Si noti
che
il gruppo
y
lineare
gruppo
d'indice
totale
2, il gruppo
sia
modulare
nuto,
conte-
(III):
(mod p).
ad-[i^(=l
-j- 0
modulare
è
doppiamente transitivo. E
infatti la
sostituzione
,_ìcv-\-{kl-l)
^
~
v-\-l
di
questo gruppo
porta gli indici
00, 0
in
k,Jc-l~\ che
sono
due
indici
qualunque.
Per
gruppo
prepararci a dimostrare,
modulare, appena
gruppo
modulare
|)
"
faremo
nel
3, è semplice,è utile
si puh generare
Vo,1/
come
mediante
prossimo §.,che
osservare
il
che V infero
le due sostituzioni elementari
V-1,0
94
e
CAPITOLO
le
componenti
destra
a
III.
in
sono
§.41
—
T, quindi
f
anche
)• Simil_
mente
sostituzione
una
qualunque (III) con
|3e^
(mod p)
0
è data
da
e:!-.)
e
siccome
'a, 0
/l
\
0\
/a, 0
,
_
0
a,
e
le due
Siano
sostituzioni
ora
^
a
destra
a
p^
0
,
1
vi è anche
F,
(mod ìj).Siccome
0
[3\
/a
m\
in
sono
,
,
/a
,
(3+
«2. a
S +
w*
~
0
y
1
determinare
basta
dalla
«e
m
avere
per
Così
il nostro
Delle
è
)
=
+
\
vede
prima, che
che,
vf
è
se
è
,
(mod^), quindi
(3^0
con
F.
di
)
=
che p^l,
1, cioè secondo
facilmente
che
S, T
ciò è evidente.
(mod 4),
1
la
prima
iperbolica secondo
ovvero
ellittica,
-
modulare
gruppo
che
p^3
ovvero
J
P
periodo p,
^" ^
(mod j?)
0
del
S, T generatrici
inoltre
a
Y
è dimostrato.
(
1, ovvero
J
(mod 4), Si
+ P^
seconda
la
e
,
congruenza
a
sostituzioni
due
,
sostituzione
una
teorema
parabolica
P
la
destra
a
Vy
S/
\y
,
è
essa
Per
pari. Per
ambedue
sono
basta
la seconda
ellittica
e
si
servare
os-
decompone
in
2
cicli di 2
cicli di 2
lettere ;
invece
il gruppo
3
j9 ^
e consta
(mod 4), è iperbolica
modulare
lettere. Il gruppo
pari,laddove
dispari,come
se
contiene
lineare totale
la
'9,
0
0,
1
ne
adunque
contiene
tutte
anche
di
stituzioni
so-
delle
SEJIFLICITÀ
essendo
g
gruppo
lineare
GRUPPO
totale
Vo,
ora
dimostrare
a
generatrici del
le tre
seguenti
Vo,
0/
v-i,
1/
Andiamo
sostituzioni
quindi prendere
potremo
95
MODULARE
Come
primitiva(mod p).
radice
§.42.
DEL
1
l'importanteteorema:
p(p^—X)
Il
semplice,
appena
Per
allora
2^
"
i?
altro che
in F
che
vale
non
il gruppo
Supponiamo
^-^
di
alterno
esista
doppiamente transitivo,sarà
-
sostìtimoni
lettere è
p^\
sopra
un
H
perchè
su
4
il gruppo
modulare
elementi.
sottogruppo invariante
almeno
-è
non
volta
una
H.
Essendo
transitivo ;
F
giacché da
di F
sostituzione
una
—
3.
il teorema
3
=
F
modulare
gruppo
h
{XiXk. ..)...
=
,
trasformata
con
conveniente
una
sostituzione
di
F,
si
può
ottenere
una
sostituzione
nuova
n
di H
che
dovrà
trasportila
dunque
{x^xi...)
=
...
lettera x^ in un'altra
qualunque
divisibile per^; + l. Ciò premesso,
essere
Xi
.
L'ordine
dimostriamo
di H
cessivamente
suc-
:
H
1.*')
Sia
h
può
non
sostituzione
una
con
una
sostituzioni
contenere
di F
y
parabolica di
che
porti xi
paraboliche.
H
che
lasci ferma
in x^, otterremo
parabolica
Ih
che
lascierà
ferma
x^
ed
avrà
=
Y~^h
quindi
la forma
^i=(^'
j)(P^O
Tutte
saranno
le potenze
in H.
di Ih
e
in
Y
(mod^;).
particolare
in H
Xt;
mandola
trasfor-
la sostituzione
96
CAPITOLO
Ora
invariante
H, essendo
contiene
anche
(
Contenendo
in F,
le trasformate
'
V
J con
y
/l
§. 42
—
contiene
se
S
Y
Y
—
,
contiene
qualunque, H
/"
Y\
sostituzione
una
T, S cioè
di
mezzo
per
,3^
Y
III.
1
anche
0
!" (-,
'(o,
,
=
1
indi
'1, 1\
/
1
0\
/l,
1/
vo, ly
/
1\
0,
1
T
v-1
1/
0,
Dunque H, contenendo
e.
0.
le sostituzioni elementari
S, T, coincide
con
F
d. d.
2.°)H
Se
H
avrà
ed
non
può contenere sostituzioni ellittiche.
contiene
sostituzione
una
doppia transitività di F,
della
In
H
una
ellittica
affine che
si troverà
che
è
lascerà
anche
\0
per
conterrà
ne
quindi la forma
a
e
v-i,
a^'
or'
,
ciò anche
parabolica.
Dunque
H
coincide
—
a
,
con
F.
J
fermi
anche,
a
causa
gliindici 0, oo
SEMPLICITÀ
3.°) Resta
si
H
essendo
divisibile
a
periodo
(iperbolica)
questa avrà
e,
è
se
quindi
e
sostituzioni
con
in F. L'ordine
invariante
2, esiste in H
per
una
affine contenente
una
boliche
iper-
tutte
di
sostituzione
il ciclo
(0 co);
la forma
dunque
h
perchè
2
vedersi
1 indi
2^ +
per
97
MODULARE
sottogruppo H
un
comporre
GRUPPO
da
soltanto
dunque
può
DEL
iperbolica,dovrà
essere
-4
P
quindi
e
la
intanto
H
altresì
avremmo
però
quale
è ellittica
è
Dunque
P^
(mod 4). In
p ^3
^1
se
p^^
1
(mod p),
1
è l'identità.
non
(mod i^)e
h
onde
coincide
\
Insieme
a
'a,
T
p\-^
'y, ùV
purché
in H
avremo
/
v-1,
1
-
g
sua
trasformata
oj [^'(,òj v-(f
+
Prendiamo
7=0=1
pY
^
,
0
+
—
sarà
(mod 4)
con
/-(av
/a,
3
=
,
3\
sia
a
^
necessariamente
qualunque
1\
0,
ciò,essendo
per
1
(mod 2^)-
pS)
a^ +
p^
s^), aY+?§y
'
98
CAPITOLO
cioè
a^ +
indi
2p^-l,
2a^l,
III.
§. 42
—
2~^
p^
=
sarà
e
0, 2-'^
-2,
sicché,per
quanto
si è visto,
sopra
2
onde
necessariamente
Si osservi
che
vale
pei
±
^
semplice modulare
=
(§. 29), gli altri
si ha
e
^
ed.
3
=
d.
i
sono
11
rispettiviordini
660.
168
,
isomorfo
col gruppo
alterno
tipi di gruppi semplici già
queste ricerche
Terminiamo
sul gruppo
modulare
lettere
5
su
citati al
§. 28.
col dimostrare
il
seguente, che è importante nella teoria delle equazionimodulari
teorema
Il
nel
due
inferiore
6, 7,
è dei
è oloedricamente
primo
,
valori
60,
Il
avremo
(mod p)
1
il segno
P
il gruppo
0
più ampio
quale il
è il gruppo
Sia
U
di sostituzioni sui p-{-l indici oo,0, 1, 2,...^-l,
gruppo
gruppo
modulare
lineare
Gp {p^-i)
Y sia contenuto
sottogruppo invariante,
come
.
sui ^ +
sostituzione
una
:
indici che
1
trasformi
T
in
desimo
me-
se
:
U-' r u
r
=
.
la U
Combinando
lascia fermo
che
conveniente
una
con
l'indice
oo,
e
sarà
di F
sostituzioni
da
che
una
sostituzione
valente
equi-
ancora
ur'rUi
Le
y, si avrà
r.
=
fisso l'indice
lasciano
qo
sono
quindi
Ui in altrettali sostituzioni,cioè Uj trasformerà
sformate
tra-
il gruppo
semi-metaciclico
v'^
in
se
medesimo
e
a
V
quindi
+
6
(mod
(
p)
la sostituzione
—
\pj
S
=
(
)
=
'
4- 1
j in
una
sua
potenza.
SOSTITUZIONI
la Ui
Dunque
in conseguenza
Per
sarà
nel
SOPRA
G^,(/;2
lineare
è chiaro
ragioni
che
Capitolo
finiti di sostituzioni
Gruppi
lineari
come
gruppi
§. 43.
Una
interessante
nella
si trova
gruppi
di sostituzioni
d. d.
in alcun
variabile.
lineare
stesso
non
più ampio.
gruppo
Loro
—
applicazione della
determinazione
lineari sopra
apparterrà
rappresentazione
poliedri regolari,
dei
geometrica
—
U
ed
IV.
una
sopra
(§.36)
il gruppo
sottogruppo invariante
come
e.
^^
_
99
VARIABILE
UNA
raetaciclico
gruppo
al gruppo
le medesime
è contenuto
LINEARI
di
tutti i
teoria
dei
gruppi possibilifiniti
variabile,che formerà
una
generale
l'oggettodel
sente
pre-
capitolo.
Consideriamo
variabile
una
che
tutti i valori reali
assume
i coefficienti a,
(3,
y,
5
a
affinchè
necessaria
condizione
costanti
sono
o
il determinante
però che
la
-
qualunque complesse, colla
della sostituzione
py
la sostituzione
(
(1)con
'
/a
,
.
due
leggi
czò
\Y
lineari
—
^(
=
0,
si vede
,
f3'\
,
6/
h
successivamente
ese-
,
(Cf.§.39):
Va 7
+
'r-
,
P 7 +o
operazioni che
(1) sono
al
/
Vy
,
,'^y
infiniti di
finiti od
fosse
3/
,
oJ
terza
enunciate
fondamentali
*) Se
nella
compongono
sostituzioni
gruppi
,
'
Vy
Le
/a
sostituzioni
Vy
guite, si
,3\
zione
sostitu-
)
\Y, 5/
che
dizione
con-
sia zero,
non
(1) rappresenti un'effettiva
simbolicamente
^).Indicando
subito
plessi
com-
e
le sostituzioni lineari
e
dove
^,
§. 15,
queste
il 2.« membro
che
soddisfano
permettono
operazioni. Tanto
della
"^
(1) sarebbe
di
a
tutte
le
considerare
si deduce
subito
indipendente
da
z.
100
CAPITOLO
IV.
legge (a) di composizione,ovvero
dalla
Ci
ben
di costruire
proponiamo
lineari
(1). Come
in
noto
elementi
di
valori,i
6
forma
una
valori
tutti i
l—z,
,
variabile
quattro
per
di
uno
s
questi
1
,
'
'
\-s
lineari formano
sostituzioni
z-l
JS
—
z
dall' osservare
Cominciamo
specie.Detto
1."
quello,
sono
1
6
di
citiamo
gruppi
rapporto anarmonico
6 valori del
geometrica
zioni
sostitu-
gruppi finitidi
possibili
effettivo di tali
esempio
geometria, dei
z
queste
delle
significato
dal
priori
a
^).
operazionistesse
e
§. 43
—
che
se
'
z-\
z
evidentemente
nella
(1) si cangia
^).
gruppo
un
la
linearmente
in
z
h
^
az
„
fa ,ì)\
^
"^
e
e
colla medesima
sostituzione
Z'
d
+
z
\c
la variabile
d.
,
legata linearmente
Z' dalla
a
bV'^
'a
,
d/
e
,
Se consideriamo
insieme
un
sostituzione
8\
fa
,
\y
,
0/
\c
,
che
riguardiamo
sarà
problema
quindi quellodi
finiti di sostituzioni
*) Una
gli
elementi
per
n
(1) che
formino
G,
gruppo
trasformato
d
,
al medesimo
determinare
un
tutti i
tipo
di G.
Il nostro
di gruppi
tipipossibili
(1) può riguardarsi
la sostituzione
numero
permuta
infinito,anzi
un'ordinaria
come
fra
formano
loro
la
invece
doppia
tanto
; sol-
sostituzione
di
in
esser
infinità
dei
mero
nu-
valori
z.
2) Nella
drale
in
sono
di
che
a
,
lineari.
sostituzione
finito
complessi
appartenente
come
\c
il gruppo
avremo
d/
\c
h
/a
,
di sostituzioni
la variabile
linearmente
cangiando
z' in
trasformata
z\
=
e
sarà Z
dj
,
successiva
=
3.
classificazione
(§. 45) questo apparirà
come
gruppo
die-
102
CAPITOLO
cioè ^i (^)
delle
Ciascuna
^.
=
distinti,onde
il
IV.
m
N
del
Sia
ora
^
fc
=
polo
un
comune
a
i^i(-0) 'h (^)
(4)
v
sostituzioni, talché
subito
Segue
G; poiché
Ma
dimostriamo
ora
le
v
li
a
è
comune,
Cangiando
di che
(4*)
(k), Jc
cj;,
=
punto
di
G,
fisso.
l'identità
presa,
com-
(4) formano
sottogruppo
un
(k)
tj;,
=
(4)
le
(4)
può
z, si
(^)
(}"2
^
volte
qualunque
una
(4), che
hanno
un
una
v.
trasportare il polo Z;in
intanto
£, ^
=
,
sostitusioni
v
^
co
=
,
la forma
assumeranno
=
v
periodo
a
teorema:
ciclico,cioè è formato dalle potente di
gruppo
(i
+
Ci
di
esse,
3
2
=
,
,
.
.
.
v).
ottenersi
deve
l'identità
e
si ha
s,v
i
1
=
,
moltiplicatori
Si
delle sostituzioni
sono
per
tuzioni
le sosti-
'h (^)
•
dalle
formato
linearmente
(^)
,|,i
Ripetendo
G
un
sostituzione
conveniente
cioè
sono
lo hanno
sostituzioni
l'importante
di
Il sottogruppo Y
però
quante
anche
segue
dopo
sarà
da
h
polo
G
di
sia:
ciò che
da
•
•
,
queste
volte
tante
sostituzioni
v
poli
siano
e
di
ogni polo
dtie
,
l'identità, che
esclusa
gruppo,
1)
-
ha
sostituzioni
delle
poli
(m
2
=
si conti
naturalmente
quando
dei
N
totale
numero
sostituzioni rimanenti
1
-
§. 44
—
(4*)sono
tutti diversi
dell' unità.
rendere
delle
risulterà
nulla.
,
e
p.
S2
,
£3
tutti radici
fra loro, saranno
primitivav'""
una
1
=
.
.
.
e,^
v'"' dell'unità
le potenze
Intanto, cangiando
e.
Infatti da
C2
=
0;
dico
^
allora
di
in
e, se
una
^
che
+
proviamo
medesima
che
radice
costante, possiamo
ogni
altra
e
p.
e.
C3
GKUPPI
DI
103
LINEARI
SOSTITUZIONI
deduciamo
^2 (^3i^))=S2
e,
la
componendo
coli'inversa
prima
+S2C3
^
=3
della
in F
seconda, avremmo
la
stituzione
so-
(£2 1) C3
-\-
2
z
=
£2 S3
che
finito
periodo
avrebbe
non
{z)
"]^i
le
sima
s
=
e
Risulta
Tutte
ciò che
V
di
Stabiliamo
sarà
polo
I due
ed
di
del
h
delle
,
.
.
.
,
mede-
una
hanno
solo il primo
non
comune.
G,
di
Se
poliequivalenti.
^ è
polo e ^^una
un
un
polo e precisamente
k'='\i{l-)
anche
sarà
sottogruppo I' trasformato
del
i
ripartirei
di F
dell'ordine
d' ordine
che
2
E
v.
in
-
v,
nella
infatti in G
ciclico F, che
G
equivalenti rispettoal
(m
terzo
un
sono
pure
equivalenti
1) poli in classi,ponendo
-
G
gruppo
nella
poli equivalenti.
polo
un
allora
poli equivalentiad
potremo
sottogruppo
Se
di
vediamo
l'identità,
di
a
ìì si diranno
due
classe
sostituzioni
,
4'-
che
fra loro, onde
poli tutti
ciò le sostituzioni
il teorema.
alle sostituzioni
poli k,
Essendo
v)
2
1
del sottogruppo ciclico F
la nozione,
comune
medesima
Dopo
discussione:
nostra
il secondo
ora
è chiaro
oltre
dalla
più
sostituzione
mezzo
per
0.
=
fra loro, quindi potenze di
dimostra
le sostituzioni
qualunque
Cg
,
anche
polo, ma
=
diverse
tutte
saranno
e
(j
ziz
=
onde
fosse
non
semplice forma
la
(4) prenderanno
se
supponiamo dunque
classe
vi
lasciano
posti
che
diversi
i
cioè
comune
di h
sono
v
fermo
(h
a
vi
v
-
1 sostituzioni
sono
Vi, V2, ...V,,
G,
precisamente
—
sostituzioni soltanto,quelle
^,
onde
h è portato dalle
compreso).
in
poli si ripartiscano
rispettive
moltiplicità
di
r
classi
con
poli
104
CAPITOLO
nella
classe
dei
IV.
§§.44, 45
—
poli di moltiplicitàv,- avremo
precisamente
(vt 1)
-
—
V;
poli.Dovremo
quindi
avere
2
(vé-l)
2m
=
—
2,
—
^^i
.=1
ovvero
Sfl--)
(A)
È
questa l'equazione fondamentale
servirà
risolvere
a
§. 45.
Per
—
il
d'analisi
che
il
il
le
tutte
trovare
numero
possibilisoluzioni
membro
sarebbe
"
2
"
della
(A) sarebbe
"
sarebbe
della
caso
r
=
e
2. La
(A)
,
v^
2
=
divisori di
I) m
2.^
dunque
è "
r
=
3. La
Vi
=
Vz
(A)
m.,
=
*) Klein.
—
Ikosaeder.
damentale
dell'equazionefon-
3. E
invero
essere
r
"
almeno
viamo
osser-
fosse
se
il secondo,
1, mentre
=
Dunque
3
.
diventa
+
l
=
si ha
=
A,
m
V2
necessariamente
Va
=
m.
della
(A):
m.
diventa
111
Vi
2.
r
prima soluzione
una
qualunque,
caso
può
ovvero
Vi
Si ha
ci
sendo
es-
4, perchè il 1.°
ciascuno
"
—
,
Vi
vj
"
allora di 4 termini
±
essendo
supererà
non
il 2.° membro
r
1."
1
1. Nemmeno
(A), constando
mentre
che
seguente ^).In primo luogo
sarà
r
primo membro
w"2,
indeterminata
problema proposto.
(A) procederemo nel modo
r=l
2-^.
=
2
Va
V3
m
avremo
mente
necessaria-
CLASSIFICAZIONE
almeno
Uno
numeri
dei tre
il 1.° membro
DEI
vj,
GRUPPI
deve
vg
vj,
(B) sarebbe
"
+
+
della
105
FINITI
essere
menti
2, perchè altri-
-
Facciamo
1.
dunque
Vi
=
2 e
rimarrà
^^^
^
Se
altro dei numeri
un
II) m
2 n;
=
Siano
se
soluzione
seconda
una
Vj
in fine vg "
fosse Vj "
2
,
V2
=
2, p.
=
3
=
e
2
Vg
"= 2 ; allora
i-
le
m
(IV)
m
=
(V)
m
=
poi
che
sono
sostituzioni
=
vg
6
";
12 ; Vi
24;
v^
60;
v^
tutte le
trovate
ciascuna
a
vg
=
e
—
si ottiene
due
(C) sarebbe
sarà
"
3,
=
perchè
Poniamo
-—
.
A
+
'
m
facendo
e
successivamente
3, 4, 5,
=
soluzioni
nuove
(III)
Così
dei
uno
6
V3
troviamo
2, resta
=
rimarrà
V3
certamente
V2
della
=
cui sarà
e.
(n qualunque).
w
=
l
per
•
m
(A)
,
v^
T
3 il 1.^ membro
3, vg "
dunque che sia
Vj
,
è
v
della
2
=
^
"^
di
esse
lineari. Questi
2
=
,
2
==
,
2
=
Vo
3
=
v^
=
v.,
=
Vg
==
3
,
Vg
=
4
,
Vg
==
5
,
3
3
,
.
soluzioni della (A).Dimostreremo
possibili
ed
corrispondeuno
gruppi, per
una
un
sol
tipo di gruppi di
ragione che
fra
breve
si
vedrà, portano i seguenti nomi:
I) grupiìiciclici (0 della piramide regolare).
Tìi["o
Tipo II) gruppi diedrali (0 della doppia piramide).
Tipo III) gruppo
del tetraedro.
Tipo IV) gruppo
delVottaedro
Tipo V)
§,46.
—
gruppo
dell'isocaedro
Possiamo
gruppi dei primi due
subito
tipi.
(0
(0
del
del
cubo).
dodecaedro).
procedere alla effettiva
costruzione
dei
106
IV.
CAPITOLO
In
un
(§. 44)
esiste
primo tipo d'ordine
G,, del
gruppo
S
sostituzione
una
§. 46
—
periodo
a
n,
n
avendosi
Vi
Vj
=
n,
G,i è il gruppo
il gruppo
e
=
ciclico
yjfn
Alla
essendo
normale
s
la
variabile,si può dare
(§.44)
radice
una
).
S, cangiando linearmente
sostituzione
la forma
(1, b, o,...b
^=
dell'unità.
primitivan"'"-
tipo I) si può rappresentare analiticamente
Dunque:
Un
del
gruppo
così:
"
e
Consideriamo
un
ora
m
2n
,
A
causa
di V3
=
tipo I), cui potremo
Sia
ora
T
una
Vi
V2
=
possiede
esso
n
.
G,„ del tipo II)
gruppo
=
e
=
la forma
dare
2
=
,
G
=
w
=
sottogruppo r„ d'ordine
un
normale
di Gg», fuori
sostituzione
Vg
con
(F, T
F)
(F, F
T)
n
del
a).
di
F; avendosi
anche
come
G
sarà
S T
necessariamente
=
=
T S'' per
T-i S T
Se
supponiamo
che
sia
di T, dovremo
'[ez-j-d
onde
risulta
valore
S'-.
=
-\- d
'[r
analitica
l'espressione
conveniente
un
avere
Y
^
identicamente
-|-ó
'
di r, cioè
CICLICI
GEUPPI
[5
ovvero
0. L' ultimo
=^
la forma
S
come
e
y
=
T
e
avrà
dare
a
m
s
Iz un
a
z,
ciò che
2
si
n
può
/;=
e.
sotto
porre
=z'
z
2
z
del
gruppo
sostituzioni
n
un
G
gruppo
sottogruppociclico
od
al secondo
Possiamo
di G.
per
r r
di S, potremo
gruppo
normale
forma
i
0, 1,2
=
formano
...M-1
inversamente,
gruppi dei
dei
è chiaro, un
come
tipi rimanenti
tre
di sostituzioni lineari sopra
F
è utile che
mostriam
di-
seguente:
G
invariante, il gruppo
una
stesso
variabile contiene
appartiene
al
un
primo
tipo.
supporre
A
sia F
che
F
questo gruppo
z
sostituzione
Ogni
^
=^
h)
il teorema
ora
Se
la
s
tipo II).
la costruzione
Per
tipoI).
,
^
Queste
del
dunque: Un
1. Così
-
\n
s
^' =
altera la forma
non
fisso qualunque p.
cVordine
1))
cioè
ciclico,
gruppo
un
la forma
valore
tipo 11)
del
T avrebbe
moltiplicativa
dunque
mutando
perchè allora
è da escludersi
caso
conseguentemente (§.44) Gj,,sarebbe
La
107
DIEDRALI
E
quanto sopra
di
G,
il
più ampio sottogruppo
la forma
daremo
=-i'
si è visto, Funa
normale
a)
z.
trasformare
dovendo
ciclico invariante
F in
l'altra delle
o
se
due
medesimo, avrà,
forme
k
,
,
z
=az
z
=?
-
.
,
z
Se
vi fossero
sostituzioni
di G
in G
T,
T'
sono
due
della
più ampio
di G
sostituzioni
T) ^'
=
1.*
forma, oltre quelle di F, le
moltiplicativaformerebbero
di questa forma
ciclico invariante
se
sostituzioni
di
F
fuori
T')^'
-
z
contro
di F:
=
-
z
un
gruppo
sotto-
D'altronde
l'ipotesi.
108
CAPITOLO
la T T' ha
la forma
IV.
§§.46, 47
—
moltiplicativa
A;'
,
z
z
=^
K
ed
quindi in F. Dunque
è
le sostituzioni
tutte
G
di
si ordinano
nel
quadro
'
G
e
appartienequindi
§. 47.
w
al secondo
12
=
perchè allora G12
subito
quindi al tipo I)
0
tipo.
2
=
un
V2
,
del 12.° ordine
gruppo
3
=
V3
,
il numero
sarà
di Sylow,
del teorema
causa
a
Vi
TS«-^
TS^...
T, TS,
,
In questo gruppo
...
,
del tetraedro. Per
Gruppo
—
S"-^
S'
S
1,
^
conterrebbe
3
=
dei
1
4. Il
0
del
tipo III) abbiamo
.
sottogruppidel
primo
T^ invariante
un
e
caso
3." ordine,
si esclude
apparterrebbe
dunque in G12 quattro sottogruppi
II).Avremo
Hi H2 H3 H4
del
che, trasformati
3.° ordine
luogo ad
un
isomorfo.
Ora
gruppo
T
sui
transitivo
T isomorfismo
tutte
con
può
non
4
le sostituzioni
elementi
H
col
di G12 darannno
quale G12 sarà
meriedrico, perchè
essere
se
w
è
12
il
grado
di meriedria, deve
essere
l^
Nel
primo
sarebbe
ciclico del
Dunque
n=l
le tre
0
l
n=
il sottogruppo "L di G
caso
e
3
=
(ordine di F) multiplo di 4, onde
—
F
ed
3." ordine
sostituzioni
cui
invariante
alterno
è il gruppo
.
corrispondeF indentità in F
in
G, ciò che è impossibile.
sui quattro elementi
H. Se prendiamo
di T
(Hi H2 H3)
(Hi H4) (H2 H3)
(Hi H2) (H3 H4)
colle
quali tutto
F
si genera,
basterà
,
costruire in G12 le tre corrispon-
110
CAPITOLO
IV.
§§. 47,
—
48
cui
da
a} +
Ne
(3
+
=
il valore
s
1
a
a
Y
0
=
.
^
i' à
=
S
avrà
,
^+
delle quattro forme
una
1
-%_1
'
T, T',T", dà le altre
tre
-%
'
che il gruppo
concludiamo
ne
.^-f-l
^
1
—
r
z
s
1
—
±
,
l
+
^r
'S'+l
in effetto che
subito
Si riscontra
^
queste
12
gruppo
G
G12 le contiene
la forma
g
:
,
,
normale:
i
—
±
?.—
*
—
con
z
:
A-
sostituzioni
.
i
formano
il
domandato.
gruppo
§.48.
Gruppo deìV ottaedro. Un
—
sostituzioni
e
quindi
del
servendosi
=
±1
,
'
'
i
-\- i
s
.
±S,±—
=
•
+
cercato
del tetraedro
pel gruppo
così ottenuto
1
£
e)
1
^—
?
?
%+l
'
i^ a
+
=
dunque
1
—
0
,
combinata
qualunque di queste quattro sostituzioni,
una
Abbiamo
Y
,
.
'^"=^1
tutte.
,
3. La
o
.^+1
E siccome
fi0 +
0
0
=
le forinole
seguono
avendo
,
=
ò^
+
[5^
0
=
+ p7
0
a
7'
un
certo
tipo contiene
sottogruppi del
3.° ordine
subito nuovamente
si riscontra
di Sylow,
teorema
di
numero
del 4.°
24
che,
essere
4; siano
Hi H2 H3 H4
Per trasformazione
questi sottogruppi.
Anche
S
T
gruppo
un
ancora
il
Invero
è oloedrico.
grado
corrisponde all'identità in F, dovendo
che
di G
H, col quale G
sui quattro elementi
qui l'isomorfismo
in G
le sostituzioni
con
n
si ottiene
è
isomorfo.
del sottogruppo
essere
un
divisore
di
6, potrebbe offrire i casi
n
I casi
ciclico. Ma
ti
=
3
=
Q"
1*
=
3
n
=
2
immediatamente
2 sono
1.
n=
,
,
,
esclusi,giacchéS sarebbe
,
può
nemmeno
sottogruppo del
in G. Ne
n
=
essere
3.» ordine
concludiamo
r24 sui quattro elementi
che G
H;
w
=
invariante
6, perchè S conterrebbe
quindi
solo in
non
è oloedricamente
isomorfo
contiene
un
esso
dunque
S,
un
ma
col gruppo
solo
anche
totale
sottogruppo G12, cor-
dell'ottaedro
GRUPPO
alterno
rispondente al gruppo
determinare
alla forma
U
essendo
tipo III) ^) e
del
normale
e) del §.precedente.
completamente le sostituzioni di G basterà
fuori del sottogruppo tetraedrale.
una
che
è necessariamente
ridotto
potremo quindi già supporre
Per
che
111
permutabile
Scegliamo la seguente
(Hi H, H, H3)
-
T
con
,
(Hi H4) (H2 H3) avrà
^
^' =
struirne
co-
la forma
0
plicativa
molti-
az
le
0
l'altra ^'
=
Questa seconda
-
-
sarebbe
allora
periodo 2,
a
però
è
mentre
subito
resta
periodo
a
esclusa
Si ha
4.
perchè U
dunque
per
dall'altra
binata
com-
la U
^' =
Il segno
è indifferente
T.
con
Dunque
i^
+
.
perchè l'una sostituzione
la forma
per
normale
nasce
dei
gruppi del IV." tipo
abbiamo
£
d)
Queste
§. 49
Per
che:
un
ciclico
gruppo
Geo (lei V." tipo è
contenere
(§.46); ma
il
un
caso
=
in
diedrale
l'unico
né
con
è
Se
•
?/i
=
r,rtè
che
(Cf.anche
diedrale
possa
dovrebbe
le osservazioni
può
non
n,
che
tale
un
sarebbe
in Geo
contenere
al
ordine
essere
pure
un
Geo,
una
sostituzione
principio del seguente
gruppo
a
§)
e
un
riante
invanon
è
poiché è questo
12
m=
escludiamo
stesso
esso
di
meno
nem-
contiene
gruppo
dunque
di
contenere
non
sottogruppo invariante
un
mostrare
di-
sottogruppo invariante
sottogruppo invariante
un
Dunque si avrebbe
fosse
infatti
dal
semplice.
gruppo
che
4, sarà dunque necessariamente
divisore di 60
diedrale.
') Se
non
Geo
un
G^,» del tipo II),se
2. E
solo sottogruppo ciclico d'ordine
richiesto.
tipo,cominciamo
come
è facile vedere
gruppo
n
0, 1, 2, 3).
=
in effetto il gruppo
gruppi dell' ultimo
certamente
invariante
momento
un
i
gruppo
può
non
come
per
costruire
Un
*'t^7(s
^'T^T'
sostituzioni formano
24
—
Esso
^^2
=
.
ciclico
tetrae-
perìodo 6, ciò
che
112
CAPITOLO
G12; d'altronde
drale
che
sarà
può
caso
darsi. Possiamo
T-
yj
§. 49
—
questo contiene
invariante
ancora
IV.
Geo. Basterà
dare
L
j
^
S le
S
se
è
sostituzione
una
sostituzioni
tre
di
singolarmente invariate
periodo
a
esiste
r4 diverse
0
^'
L
—
permutabile colle
avendo
il
a
periodo
dette
tre
Di
qui
essendo
;
2
5
fra loro
zione
sostitu-
una
darsi
perchè
non
la S sarebbe
Dunque
ciò che
di Te
sostituzioni
resteranno
0
secondo
può
non
tre lettere.
su
S
5, avrebbe
ma
ma
allora
dal teorema
e
dall'identità,queste
con
subito
si vede
,
periodo
quinta dell'unità
periodo 5, trasformando
a
si scambieranno
impossibile,poiché essendo
essere
z
Quest'ultima circostanza
5.
sostituzione
una
di Geo
tale
se
di r4 la forma
z
Ora
ricercare
dunque
1^4
diedrale
sottogruppo
alle sostituzioni
^'
^
—
in
solo
un
§.29
al
la
^' =
con
espressione s
con
=zs
risulta che il gruppo
isomorfo
semplice,è oloedricamente
col
e
s
—
piiìpermutabile coll'altra
è
non
permutabile
z
s
=?
non
radice
—
.
Geo da costruirsi,
gruppo
alterno
su
5
lettere
h,
a,
Basterà
d,
e.
quindi costruire le sostituztoni
alle sostituzioni
delle
e,
^^
{ah
T
-^
(" e) {d e)
U
-"
Guo corrispondenti
e)
d
(6 e) {d e)
già a
di
,
alterno
S
e
U
T
,
seguenti del gruppo
qualile prime due bastano
*) Pongasi
S
,
tutto il gruppo
generare
alterno
^).
infatti
A
(a ò
=
e
d
e)
B
("e) {de), C
=
,
(6 e) {ed);
=
si ha
Il gruppo
una
del
generato da A,B
3.^ B A
e
il gruppo
contiene
del
dunque
il
suo
ordine
è
multiplo
sostituzione
é.** ordine
1, B, C,
onde
una
di 4
X
5
X
B
^
C,
^
però
=
60.
del 5.° ordine
A,
Alla
ciclica del
sostituzione
S
ordine
5."
potremo
dare
la
forma
(§.44):
normale
S)
ora
per
z
con
z
=
=
£
e~^
=
,
lettere
delle
la denominazione
cangiando eventualmente
abbia
113
dell'icosaedro
GRUPPO
a,
b, e, d,
e.
Si
U
essendo
U-' S U
dovremo
cioè S U
S\
=
S\
U
=
l'identità
avere
asz+[i
+
^
+
d
z
^a
^
'
+ S
7£^
'( z
indi
aY
e
poiché, a
la U
avrà
5
=
0
^y^^O,
essere
0
=
aS
0,
=
dell'ultima,deve
causa
a
e
P5
0,
=
avremo
0
=
la forma
z'
=
—
z
Cangiando
in X z, ciò che
z
S, possiamo fare Jc=
altera la
non
U)^'
=
—
-.
z
infine per
Si abbia
la T
az^-b
T^
Essendo
,
^
\c(a+a)
,
J
+
rZ =
da
T U
=^
U
T
ne
,
,
cr+bc
a
Inoltre
1
=
=
0
.
abbiamo
e
z-Vd
az-\-b
b
z-a
d z-Q
'
risulta
-
1, cioè
114
CAPITOLO
IV.
§. 49
—
onde
a
Avremo
"
f? =
-I-e
,
che
meno
perchè
T
sia
non
a
d
=
=
¥ ^- (V-
=
.
0, h=
=
allora
coinciderebbe
facciamo
uso
h
a
—
e
r^
U.
è da
caso
si ha
Dunque
'^
=
,
questo
ma
-e;
con
T) .?
Ora
e"
^
dunque
f?
a
a"
0
per
escludersi
T
.
delF identità
U
S' T
=
S' T
S"'T
,
scriviamo
che
U
e
S' T
--
8=^T
S%
ricaviamo
ne
a
da
T
—
{^ a' +'.'!/)
s^{\-z^)
hs_
ah
cui
cioè
h'~
A
identità
della
causa
£^+t=^ +
possiamo
£^ +
Possiamo
in
-
s,
dunque
porre
si alterano
non
prendere
«
Combinando
tipo V),
+
1
^3\2
'
=0,
-
s,
mentre
Z;
=
+
(s^ e^)e siccome, cangiando
-
cangia
in T
il segno
di h, possiamo
senz'altro
S, T, U
0
e^
=
S, U,
T) £
del
=
scrivere
.2
z
•
l+£^
e
{B'-^^)z-{^'-t)
le loro
potenze,
dell'icosaedro, si può dare
r,s
=
ne
concludiamo
la forma
0, 1,2, 3,4.
che ai
normale
gruppi
SFERA
È
facile verificare
in effetto
§.50.
ad
un
direttamente
Le
—
ricerche
ed
uno
ricevuto
di
gruppi
conviene
sfera complessa, ciò
di assi cartesiani
i
piano i'f]
sul
poi,col
indi
centro
si fa nel
variabile
la
nell'origine,
i
tal modo
del
così
sulla sfera
al
sostituiamo
raggio
sfera
=
interni
piano
della
un
al cerchio
si
poli
della
Supponiamo
muova
sopra
e
:
Gauss,
x-\-iy. Descriviamo
equazione
per
C) della
($,'(],
sfera
equatorialevengono
sull'emisfero
tati
proiet-
superiore,mentre
le
complessa
sfera
e
potremo,
punto
un
senza
corrispondente valore
biguità,
am-
di
z.
abbreviare, la sfera complessa; i
per
di
col
s
posizioni di
P.
polo
proiezione ^
:=
co
ed
il
polo
posto
op-
0.
=
/
il centro
saranno
di
raccolgono, in proiezione,nel
variabile
punto
sistema
un
proiezione o polo
corrispondere hiunivocamente
ai valori
Gauss,
complessa
modo
1, che avrà
=
di
(0,0,1).
=
rappresentativasi dirà,
due
piano
della variabile
g
hanno
tazione
rappresen-
seguente. Preso
fisso di
inferiore,quelli esterni
nominare
^
punti
che
nome
stabilire la indicata
modo
lineari.
proiezionestereografica
polare,ogni punto
col centro
e
all'infinito del
punti
Faremo
si
ragione
complessa
sfera di
così detta
M
con
sull'emisfero
suoi
dà
(A)
rappresentazione geometrica
distesi i valori
son
che
della
valori
è allineato
La
che
prima
di sostituzioni
gruppi
notevolissima
una
P
i
di
come
d'analisi indeterminata
in quel punto M'^
y) del piano equatorialeh-f\
Per
formano
dimostrato
ortogonali 0|, Oy], OC, distribuiamo,al
riportiamo,colla
M^(x,
che
tipo
j^oliedri
regolari.Per
dei
sulla quale
superficie
la
£,
solo
un
ci hanno
fondamentale
collegaai poliedriregolarie
geometrica
come
sostituzioni
60
queste
§§. precedenti
ricevere
Questi gruppi possono
li
dei
deirequazione
§. 44 corrisponda
che
che
gruppo.
soluzione
ogni
Il5
COMPLESSA
nostro
ora
che
la sfera
se
stessa
; così
primo oggetto
complessa, girando
ogni punto
sarà
di
s
andrà
dimostrare
intorno
in
una
al centro,
nuova
il teorema
zione
posimentale
fonda-
116
IV.
CAPITOLO
della
movimento
Ogni
rappresentato da
sfera complessa
sostituzione
una
,
forma
Volendo
dimostrare
attorno
attorno
che
supponiamo
=
T^
fisso
^
=
e
qo
Tj^attorno
rotazione
ad
del resto
una
mezzi
ciamo
affatto elementari,fac-
sono
operazioni suscettibili
eseguiti,equivalgono
diciamo
può comporsi
Qualunque
tre successive rotazioni
con
Oi, O'q,OC.
che
polo
qualunque punto
rotazioni
E
qo.
^=
Zo
z^
l'una
della sfera
può
alFasse
0^,
attorno
infatti basterà
nel
piano
trasportiil polo
^
con
una
meridiano
0-^ si trasporterànel polo
U
che:
qo
=
Ciò
in ^o
posto,
le due
e
agli assi 0^, O'/jriconducano
T., attorno
,
indi
^C,
ce.
z=
tazione
ro-
z^in
composto
.
lascerà
con
successive
due
lineari hanno
composto. Ora
il movimento
Il movimento
00
'{-d
medesima
se
attorno
rotazioni
successive
z
0^ portare dapprima
a
rotazione
una
e
movimenti, successivamente
all'asse 0-/],
nel
l'altra attorno
-\-h
medesima
se
osserviamo
trasportato con
essere
z
prossimo §.
ai tre assi coordinati
dimostrarlo
Per
con
sferain
della
in
movimento
unico
un
mente
analitica-
seguenti.
due
composizione giacché
movimento
^
sfera
è
medesima
se
lineare
a
teorema
questo
della
I movimenti
ad
nel
considerazioni
delle
uso
di
si vedrà
speciale,come
51
in
sostituzioni
complessa.Queste
sulla variàbile
§§. 50,
—
per
ciò anche
all'asse
il
polo opposto
OC. Avremo
z
sarà
0, onde
=
una
dunque
cioè
U-=T.
ciò che
dimostra
§. 51.
—
qualunque
risultati
Per
della
T-'T7\
^vi ^^
il teorema.
trovare
sfera
la
rappresentazione analitica
complessa
precedenti,risolvere
assi coordinati.
-C
Cominciamo
la
per
in
se
medesima
questione
ciò dal
stereografica
polare, cioè
le
per
di
movimento
un
basterà, in ordine
le rotazioni
trovare
le
formole
che
attorno
formole
legano
ai
agli
di
sentazione
rappre-
le
coordi-
118
CAPITOLO
Qui
IV,
§.51
—
avremo
r/
Csena
-/jcosa-
=
C' ='/isena+
Ccosa,
indi
i+ i
,
cos
(?(]
a
1 -Tj sen7.
ossìa per
le
7.)
sen
'
Ccos7.
-
(C*)
^
,
+
2^0
Sopprimendo
^0 +
cos
(^
7.
i sen
l +
+
-
(^
7.
i
^0)
-
sen
^0)
-
cos
-
a
(^-^o 1)
a
(^^0 1)
-
-
il fattore
/
(
2
al numeratore
a
e/.
.
^
comune
C
-
cos
i sen
—
-
-
troviamo
denominatore,
e
7.
7.
.
cos
.
+
^sen
-
^.
^
/=—
(P)
^
-
a
7.
% sen
3.°
una
rotazione
cT ampiezza
I
^
n
C'
C
cos
a
C
sen
a
=
('([
=
da
cos
--
all'asse
attorno
a
'^i
=
+
^
-
^ sen
-
Oq.
7.
+ ^ cos
a
,
cui
C
sen
+
7
,
1
Sostituendo
C
-
/
2
a
numeratore
cos
7
+
+
a
i
sen
e
^0 +
-
cos
denominatore,
-
avremo
a
7.
^
-
-
sen
—
^
(7)
^.
^'=—
7
sen-
a
'^•
et
(sen
cos
ìtj
il fattore
(6*) e sopprimendo
i valori
^
comune
cos
^
7.
-3'+
cos
"
Avremo
qui
Ora, pel
enunciò
analitica
di
al
da
§. 50,
tale
un
A^
determinante
indicando
ossia
-B,
a
da
data,
si
come
B
+
i coefficienti A, D
1
=
ponendosi
com-
la rappresentazione
più si osservi che in ciascuna delle sostituzioni elementari
Di
sé
lineare
sostituzione
una
,_
a
clie anche
generale sarà
movimento
in
analiticamente
rappresentate
è chiaro
(-,'),
(a), (fi),
lineari
sostituzioni
tre
rotazioni
successive
tre
con
sfera
della
§. 50, ogni movimento
al
teorema
119
CAYLET
DI
FORMOLA
coniugati
sono
(7)
(7.),
([3),
C
mentre
è
niugato
co-
Ao, Bq le quantità coniugate di A, B
con
si ha
^~ ^
+
£=.
e
in
della
Qualunque movimento
da
si compongono
forma
stessa,
sfera complessa in
della
lineare
sostituzione
una
della
lineare
sostituzione
una
BBo=l,
+
lineari di questa forma
sostituzioni
poiché due
AAo
,
se
ne
mente
nuova-
conclude:
medesima
se
e
sentato
rappre-
forma
^^''^^
'
AAo + BBo=l.
-Bo^+Ao
(I)così stabilita è la formola di Cayley.
La
formola
In
ogni movimento
formola
(I),vi
alle radici
della
in
equazione di
2.°
grado
Bo/+(A-Ao).~-hB
Ora
vede
se
una
cangiando
ben
Taltra
i in
i, e siccome, per le (6*),per
nei
valori
restano
è che
non
equazione é
di questa
5, -/j,C si mutano
tale movimento
0.
=
radice
-
una
opposti -6,
fissi due
rappresentato dalla
medesima,
se
quellicorrispondenti
rimangono fissi,
punti che
due
sono
sfera
della
s
è
,
-?/], -C
attorno
ad
un
si
questo cangiamento
si vede
che
in
ogni
vimento
opposti e il mo-
punti diametralmente
rotazione
come
diametro, proprietà
nota.
È
facile anche
si
comunque
sempre
un
fissi,come
vedere
che
inversamente
prendano le costanti A, B
1),rappresenta
(con A Ao+BBo=
tale sostituzione
tale movimento.
Per
si é visto, due
punti diametralmente
una
(I) di Cayley,
la formola
S
infatti restano
opposti che
con
un
20
CAPITOLO
effettivo movimento,
sia T, possono
Si
T~^ S T
=
essendo
rappresentato
lascia
fissi i
potremo
§. 52.
che
movimento,
un
Insieme
—
specie. Per
specie
che
e'
=
e
abbiamo
le
per
=
^o
=
la
per
onde,
0
(a)
il
osserviamo
se
medesima
colla
caso
essi debbono
l'inversa
sia puramente
(I*) è
della
dì
soddisfare
^0
movimento
di
specie, dato
dalla
specie.Fra
questi
periodo
2.
Per
da
data
Bo
-
Ao
+
=
—
Bo
,
immaginario,
=
Bo
quando sia
ovvero
±l.
=
restano
l'equazione
+ Ao
a
si abbia
0, B
=
1."
quelli
quali punti della sfera
cercando
^
movimento
un
di 2."
speciale attenzione
(I) solo quando
B
di
più generale movimento
A
1.°
si dirà
la formola
B
quando B
siderare
con-
nando
rispetto al piano k C- Combi-
simmetria
una
avremo
che
una
asserito.
questo il più generale movimento
(P) meritano
coincide
che
Si sarà
rappresenta, per le (6*),un
B^o
Nel
B
con
quali le figurecorrispondenti sono
A^n
cioè
la
e
trasformata
TSiT-^
=
come
^'
precisamente
(I) di Cayley,
movimenti
e
^
(I)
(I),
rappresentazione analitica di questi movimenti
la
trovare
ci rappresenta
trovarli
la forma
tale trasformazione
una
che la formola
con
formola
sostituzione
quelle trasformazioni della sfera in
a
eguali;
inversamente
2."
ha
sostituzione
una
l'eguaglianzadiretta delle figure sferiche giova talora
conservano
si osservi
da
quindi
quelle trasformazioni
2."'
A
porre
all'asse OC,
attorno
ancora
52
volta
sua
a
ed
poli 0, co
S
sarà
§§.51,
—
trasportarsinei poli (0,co). La
AAo=l,
rotazione
IV,
5"
—
A ^0
+ Bo
=
0
,
fissi,vediamo
MOVIMENTI
2/
DI
121
SPECIE
cioè, ponendo
A
o„ «2, h reali
con
«i+a2+^^
e
"
osservando
che,
—
È
la sostituzione
bene
fissi i
00;
ma
B
0,
=
In
ogni
della
punto
fìsso
rimanesse
poli 0,
punti
=
diametralmente
che:
opposto
0
=
,
sfera.
In
Dunque:
ogni
mento
movi-
forma
è che
non
Ao
=
nel
nessun
riflessione
i
" C
del circolo massimo
nel piano
circolo.
su
riflessione
questo
una
(7).
Bo
+l;
=
corrispondente
osservare
Infatti,se
0
=
-
caso
A
cangia ogni punto
della
della
2
sfera tutti
all'altro
+
•/]
«1
centro
questo movimento
Passiamo
allora
6+
periodo
rimangono fissimila
una
«2
piano pel
di 2.^ fipeciea
Perciò
^ (^ ^o)
(6*),diventa
le
un
«2(^-1
^o)+
-
—
di
ib
=
,
1, all'altra
=
(^^'o 1)
(7)
equazione
B
l «2
+
«1
=
sfera rimane
un
si dirà l'inversione.
essa
di 2.^
movimento
punto, lo
un
vi sarebbe
e
opposto;
speciedie
sia
non
fisso.
accadrebbe
stesso
affine che
movimento
quest'ultimo movimento
è
del
metralment
dia-
lascerebbe
rappresentato
da
A
-^0
ed
§.53
se
ciò
è per
Se
—
medesima
camente
formola
riflessione
una
un
certo
formano
un
di rotazioni
numero
gruppo,
formeranno
della
pure
sfera
un
complessa
gruppo
(oloedri-
isomorfo) le sostituzioni lineari che li rappresentano secondo
(I)di
Cayley.
Un
tale
gruppo,
quando
consti
di
un
in
numer®
la
fi-
122
dovrà
operazioni,
nito di
di
gruppi
necessariamente
di ciascuno
rotazioni
rappresentazionegeometrica
Consideriamo
complessa.
Con
poliedroa
se
medesimo
al
un
danno
il dodecaedro,
subito
le faccio
sono
i
in due
12,
i
gruppi
24
sole
e
considerarne
al medesimo
gruppi
di rotazioni
i solidi
seguenti:
l.*'
una
che
s=
co
della
2."
una
base
sia
tano
ripor-
l'icosaedro
e
di
gruppi
zioni
rota-
saedro
ed all'ico-
verificheremo,
ora
facilmente
II).Si
e
n
e col
equatoriale,
i
trovare
perciò
considerino
qualunque
numero
un
come
poiché
poliedro iscritto
un
tre
anche
possiamo
nel circolo
inscritta
di
rali,
faccelate-
vertice nel
polo
sfera.
riunendo
doppia piramide regolareottenuta
primo
alla
precedentepiramide
rispettoal piano equatoriale.
la simmetrica
Il
tazioni
ro-
si riconosce
come
quindi
corrispondentiai tipi I)
piramide regolarecon
la cui
quindi
soltanto
il cubo
o
vertici di
rotazioni;questi sono,
tipi III),IV), V). Ma
dei
è
queste
quelle
tre
gruppo,
piani tangenti nei
60
e
diversi.
modi
che
è evidente
tutte
sono
spigolo
uno
corrispondentirispettivamente al tetraedro, all'ottaedro
con
la
il
sovrapporre
(l'identità
compresa)
distinte
poliedro polare. Avremo
del
così
^).
luogo
che
osservando
possiamo
cioè l'ottaedro
dell'altro,
poliedripolaril'uno
due
di
circoscritto alla sfera
spigoloqualunque
perchè
stesso
se
stabiliremo
e
o
al centro
cinque poliedriregolari basta
Dei
inscritto
degli spigoli ed
numero
gruppo,
poliedro in
il
altro
un
del
doppio
formano
0
sovra
la esistenza
precisamente possiamo portare
e
cinque tipi
^).
attorno
di queste rotazioni
N
numero
cinque tipi
cercata
rotazione
una
dei
uno
direttamente
ora
dei
in
rientrare
poligono regolare
un
fisso del poliedro
eguale
§.53
—
precedenti§§. Dimostreremo
studiati nei
Il
i\.
CAPITOLO
solido
si sovrappone
a
medesimo
se
per
un
(ciclico)
gruppo
2n:
di rotazioni,che
ha
generatrice S d'amplitudine
rotazione
una
=
at-
—
n
all'asse
torno
polare.
*) Potremmo
dei
cinque tipi poiché
appunto
facce
supposte
N
m
di
—
dalle
anche
le loro sostituzioni, ridotte
(I) di
la forma
2) L'ordine
il risultato
dedurre
forme
normali
date
gruppi
1, acquistano
determinante^
a
ai
Cayley.
questo
latere
o
si
gruppo
da
N
piiò
dei vertici
v
=
fm
=
V
anche
con
n
^2s
valutare
angoli
.
dal
solidi
n
numero
—
f delle
lateri ; si avrà
«RUPPI
solido, oltre che
Il secondo
in
se
dalle
stesso
assi che
dal centro
delle
comune
I
due
dalle
precedenti rotazioni, è ricondotto
d'ampiezza
rotazioni
n
(ribaltamenti)attorno
-
=
ai vertici ed ai
vanno
123
ROTAZIONI
DI
punti medii
dei lati della
agli
base
piramidi.
gTuppi corrispondentiappartengono
appunto,
chiaro, ai
è
come
tipi I) II).
§. 54.
Esaminiamo
—
ora
regolari si realizzano
dei
già nell'enumerazione
gruppi di rotazioni
nei
come
geometricamente
le
tutte
tre
circostanze
tipi di gruppi abbiamo
vari
dei
liedri
po-
che
analiticamente
riconosciuto.
II
rotazioni
figurano3
medii
in
6
tetraedrale
gruppo
delle
costole
punti che
a
Vi
a
periodo
2
figurano appunto
poi
come
queste rotazioni
vertici ed i 4
v?
=
3, V3
si dividono
a
periodo
3 attorno
facce
denti
corrisponalle quattro
opposte
i
e
poli equivalenti,cioè: i
è
tetraedrale
gruppo
qui evidente
reso
fatto
dal
permutati fra loro
Si
gruppo.
del
può anche
in
col gruppo
alterno
che i quattro vertici
modi
12
diversi
0,
00,
modulare
gruppo
Scrivendo
rotazioni
4
a
per
per
disteso
periodo
3
p
=
=
'^+''
'^
+ 2'
v+1
(012)
,
abbiamo:
(sostituzioniparaboliche)
2
V
V
'^'
2
sostituzioni
'
2v +
l'
v+1
(021) ,(col2),(x21),(02a)),
rotazioni
il gruppo
(§.41)
o
le 12
1,
quattro
(0 le quattro
dalle
analiticamente
rappresentare
su
quattro vertici,distinti cogli indici
come
poli di
3.
=
facce) vengono
del
2.°
opposti,corrispondentemente ai valori
punti diametralmente
L'isomorfismo
elementi
poli di
classi di
in due
ordine
i
delle
quali
la sfera
congiungenti incontrano
tre
congiungenti i vertici coi punti medii
le
congiungenti i punti
alle tre
rotazioni
8
fra
rotazioni
12
=
attorno
opposte; queste
2. Abbiamo
=
di 2X6
consta
V
'
+
1
2v
(Oco2)
sui
124
CAPITOLO
rotazioni
IV.
§§. 54,
—
55
iierlodo2 (sostituzioni
iperboliche)
a
=
1 +
Iz^
_L
'
^
~V
'
'
l+v
-1
v
+
v
(0oo)(12) ,(0 1)(2r^),(0 2)(lco).
tre, che
Queste ultime
nel centro, formano
concorrenti
Passiamo
facce
di
periodo 4
periodo
a
0
rotazioni
8
opposte,
6 rotazioni
costole
dal
di
gruppo
l'immagine geometrica
totale
col gruppo
alle
9 +
del
il sottogruppo
G4 ^)
in 24
rotazioni
dell' isomorfismo
poi
facce che
vi
quattro vertici
24
determinano
rotazioni
tetraedri
sulle quattro
di 12, formano
§. 55.
consta
1.° 24
diagonali,sono
il sottogruppo
di 60
rotazioni
ha
rotazioni
a
A
periodo
pari
5
lineare
del
cubo
si
totale
sulle tre
vertici
cubo;
nel
sono
i rimanenti
tetraedro
lasciano
fermo
secondo
che,
golare.
re-
ciascuno
tuzioni
sosti-
come
in
numero
tetraedrale.
facce
e
30
ripartiscononel
attorno
e
dispari.Le prime,
0
vertici, 20
che
così
ottaedrale
gruppo
secondo
un
fra loro
invariante
12
all'identità,
opposti,questi quattro
li scambiano
L'icosaedro
—
vertice
ottaedrale
gruppo
delle
diversi. Abbiamo
col gruppo
medesimamente
del
ovvero
modi
regolare inscritto
tetraedro
un
nali,
diago-
quattro diagonali vengono
ovvero
un
vertici
i tre
alle quattro
attorno
(mod3).
^
^
considerando
concorrono
vertici altresì di
Le
che
centri
congiungenti i
del
(oloedrico)
Yv+§
Osserviamo
3
al cubo,
e.
p.
rotazioni, insieme
Le
gruppo.
v'^^^
gruppo
ortogonali
congiungenti i punti medii
8 + G
quattro elementi,
su
alle tre
periodo
attorno
2
rotazioni
le 24
permutate
due
assi
Riferendoci
cubo.
0
2 attorno
a
paralleleopposte. Queste
esauriscono
dei
tre
a
all'identità
insieme
dell'ottaedro
al gruppo
9 rotazioni
delle
attorno
in G12.
invariante
avremo
ribaltamenti
sono
alle
6
spigoli.Il
modo
suo
seguente:
congiungentii
vertici
opposti (diametri dell'icosaedro).
2.°
20
delle facce
rotazioni
a
periodo
3
attorno
alle
10
congiungentii
paralleleopposte.
^) ViERERGRUPPE,
secondo
le denominazioni
di
Klein.
centri
126
e
CAPITOLO
IV.
l'altra
la T
v'^
(0 ce)(14) ovvero
che
Si
S, T
facile vedere
è anche
ciascuno, in guisa che
spigolidi
regolare
a
base
ad
del
icosaedrale
gruppo
sulla
ogni sistema
consti
però
e
come
col gruppo
figuranel modo
5
di due
seguente.
sistemi, di
ortogonali,gli
terne
pentagonale che si forma
ad
ogni lato (spigolo)del pentagono
basta
spigoli
G
quelli dell'altra,Per
parallelia
degli spigoliin sistemi
questa distribuzione
(§. 41)
dell' icosaedro,
ripartirsiin
possono
essendo
terna
una
modulare
il gruppo
tutto
risulta direttamente
spigoli dell'icosaedro
30
(5)
geometricamente.
elementi
5
su
si genera
poi che l'isomorfismo
osservi
alterno
I
rotazioni
due
mod
generatricidel gruppo
le sostituzioni
sono
colle
§.55
—
ottenere
la
osservare
piramide
saedro;
ogni angolo solido dell'icobase
appartiene, nel
desimo
me-
sistema, lo spigolo laterale opposto. Distinguendo i cinque sistemi
colle lettere
A, B, C, D, E
viene
ogni spigolo la lettera del sistema
attribuita,nella fig.1.% ad
appartiene. Vediamo
allora
che
le rotazioni
icosaedrale
producono sui cinque sistemi
elementari
del
e
però le
del
gruppo
rotazioni
60
Invece
dei
degli spigoli di
regolare. Le
rotazioni
formano
di 4
dell'ottaedro.
del
teorema
A, B, C, D, E
le sostituzioni
alterno
S
-^
(A B C D E)
T
-^
(B C) (D E)
producono sui cinque sistemi
cinque sistemi
cinque ottaedri
diedrale
S, T del gruppo
le 60
sostituzioni
alterno.
gruppo
medii
elementari
cui
un
Il gruppo
4.° ordine
di Sylow.
spigolipossiamo considerare
menti
ele-
come
regolari inscritti nell' icosaedro, poiché i sei punti
sistema
un
icosaedrale
tetraedrale
entro
(Vierergruppe) i cui
icosaedrale
che
sono
i vertici di
appunto
sono
del gruppo
gruppo
rotazioni
di
contiene
fra loro
che
il
ottaedro
un
fermo
lasciano
quale abbiamo
tre
assi
quindi
come
affini,
le
sono
5
di
un
un
gruppo
diagonali
questi
risulta
taedro
ot-
anche
gruppi
sotto-
dal
ORIENTAZIONE
§. 56.
Dalle
—
§.51
di
Pei
della
Catley,
diano
piramide regolare
in
Pei
^
0,
=
piramide
in
z
del
Il gruppo
in
cerchio
le
dei
tre
vertici
coincidenza
inscrivendo
49).
-
la
situando
equatoriale e
inoltre
base
il
quindi
vertici della
i due
vertice
un
essendo
f?)§.
situare
basta
tipo
tetraedro
gruppi (§§.46
(I)
.
ed
x
normale
coincidere
due
.z=
la formola
co
=
contenuto
della
base
come
sottogruppo
basterà
occuparsi
48
questo gruppo
quello delFottaedro,
la forma
onde
secondo
0,
=
^
ai poliedri
che le rotazioni
secondo
dei
normali
tale
cerchio
nel
in
ovvero
del
gruppi
ottiene
possibiledare
complessa
lineari
alle forme
luogo
sarà
la sfera
entro
127
REGOLARI
risulta che
in sostituzioni
ciclici si
gruppi
vertice
far
orientazione
tradotte
gruppo,
POLIEDRI
ricerche
nostre
regolari tale
del loro
DEI
per
diagonali
dell'ottaedro
in
saranno
^
0,
=
^
coi
z
=
%.
riante)
(inva-
niamo
quest'ultimo. Otte-
semplicemente
assi
tre
gli
e
co
=
di
in
doppia
col
coordinati,
altri quattro
sul
equatoriale in
^
Allora
le sostituzioni
z
±1,
=
=¥?
z
le rotazioni
sono
z
±,i.
=
al diametro
attorno
Ooo, le sostituzioni
z
corrispondonoai
ribaltamenti
2
e
le rimanenti
torno
Per
alle
sono
rotazioni
congiungenti
r icosaedro
opposti siano
di
^
nel
,
di due
in
situiamolo
alle loro bisettrici
;r
—
i centri
positivo o negativo,
senso
facce
at-
paralleleopposte.
primo luogo
in
guisa
che
vertici
due
in
2
e
agli 0|, Orj ed
attorno
S di
la rotazione
ampiezza
=
;:
-
-
attorno
al
diametro
0
co
sarà data
da
5
G--).
S)
Orientiamo
circostanti
a
inoltre
^
=
0
si
l'icosaedro
disponga
sul
in
guisa
piano h C
che
uno
dei
cinque
dalla parte delle h
vertici
positive.
128
Se
CAPITOLO
indichiamo
sarà
a
con
il valore
a
reale, positiva e "
z
e
i
cinque opposti
Se
i
saranno
consideriamo
unti
punti
medii
dei
IV.
=
della
1. I
a,
£^ a,
vertici
s^ a,
circostanti
T
a
periodo
spigoli opposti (0,a)
alla
2 attorno
,
(
co
j
—
,
analitica
a-
z
=
az^\
poiché
d'altronde
deve
s
=
tice
ver-
0 saranno
(V. fig.2.^)
z
e
questo
s''a
et
espressione
in
complessa
variabile
cinque
sa,
la rotazione
du
due
§.56
—
scambiare
s
a
con
s"*a
avremo
*
congiungente
essa
avrà
per
129
AMPLIATI
GRUPPI
onde
e
essendo
pero,
+ s^
s
2
=
cos
—
positivo:
-
a
La
T
dunque l'espressione
ha
^^^
costruito
(£2_e3)^_(-4_,).
(£+ £^)^+l
sostituzioni
Le
-\-e*.
e
=
superiori S,
T
generatricidel
come
quelle che
appunto
sono
dell'icosaedro
gruppo
§. 49
al
biamo
ab-
forma
sotto
normale.
§. 57.
Trattiamo
—
gruppi finitidi
Un
quanti
di 2.*
dei
gruppi
Per
necessariamente
2 ; F
tutti
dunque
ampliarlo
e
stesso
dei
e
tale che
qui
airampliamento
che, mediante
la ricerca
Un
per
movimento
icosaedrale
dell'ottaedro
questigruppi basta
con
f
in
o
unicamente
movimento
un
sia in F:
ai
stessa.
1.*
sottogruppo
un
dei
di
cinque tipi di
esaminare
^ di 2."
allora
ciascun
gruppo
trasformi
specie,che
sarà
{Y,tY)
=
dei
casi che
gruppi
più
interessano
al nostro
scopo
e
tendo
dell'icosaedro,avver-
e
perfettamente analoghe, si può
rire
esau-
gli altri gruppi.
t di 2.^*specie, che
se
ci
dell'ottaedro
considerazioni
medesimo,
quelle
a
deve
periodo
specie,appartenenti al
sono
uno
i
richiesti.
gruppi
Limitiamoci
cioè
in G
ad
se
movimenti
tanti
appartiene quindi
G
uno
sfera in
specie formano
1.*
di determinare
problema
2."- specie della
e
quelli di
e
il
poliedriregolari.
trovare
se
contiene
d' indice
poliedrale F
r in
G
specie
F
invariante
di ly-
movimenti
tale gruppo
rapidamente
ora
i vertici del
trasformi
trasformare
5
il gruppo
le rotazioni
dell'icosaedro
gruppo,
e
poiché
poliedro,dovrà
ottaedrale
periodo
a
in rotazioni
i
della
poli di queste
la t trasformare
od
4
desima
me-
rotazioni
il poliedro
130
in
CAPITOLO
medesimo
se
vertice
Questo
movimento
Così
il movimento
equivalente
ampliato?
Per
permutabile
sarà
quindi
H
piano
ampliato
periodo
2
dell'ottaedro
angoli
vertici
negli opposti.
l'inversione
che
in
(§.52)
quello
^' è
movimento
ed
riflessioni
riflessioni
sono
i
e
in
il gruppo
y è
se
adunque
quello
piani di
ed
2
è
specie ^'y
di 2.^
inversamente,
Così
saedro,
dell'ico-
periodo
a
la riflessione sul cerchio
nove
120
di riflessione dividono
triangolisferici
alternatamente
baltamen
ri-
un
massimo
nel
il
gruppo
dell'icosaedro
simmetria
taedro
dell'ot-
la sfera
simmetrici
rispettivamente
e
congruenti con
di
dell'ottaedro
caso
e
y
'
TI
T
'
angoli
con
TT
TI
Y
nel
Un
lo sia y
7C
nel
specie
riflessioni contiene
di ribaltamento.
avremo
di queste
che
l'inversione
movimento.
all'asse
corrispondenticircoli
e
altro
dell'ottaedro
caso
quando
gruppo,
dell'icosaedro.
0
in 48
quindi
è evidentemente
è normale
quindici; i piani
I
nel
tanto
qualunque
la t Y
cui
sarà
non
vederlo, si osservi che
con
a
di 2/
del
y
tY
Quante
ampliamento possibile.
solo
sostituzione
una
nell'oppostoe quindi tutti gli altri
otteniamo,
un
t
a
ì;=
porti un
§. 57
—
associando
^).Ora,
far sì che
possiamo
IV.
di
TI
Tt
dell'icosaedro.
caso
Si ottiene
uno
di
questi triangolicongiungendo
i tre vertici di
massimo
triangolo equilatero in
sferiche.
^) Pel
Queste
tetraedro
venga
ampliamenti.
una
sei
reti di 48
invece
trasformato
faccia del
poliedro e
triangoliminori
o
120
bisogna
aver
per
suddividendo
mezzo
triangolisimmetrici
riguardo
nell'opposto (coi
vertici
archi
con
all'altra
poi questo
delle
o
di circolo
tre
altezze
congruenti
possibilitàche
opposti) onde
due
in
il tetraedro
possibili
OTTAEDRICA
RETE
cui
I
sfera
la
risulta
movimenti
di
del
(1.*
di
qualunque
del
e
questi
ad
punto
altro
sostituzione
una
punti
^,
gruppo,
Ogni
triangolo
^',
che
senso
del
del
della
enunciare
della
fondamentale.
sfera
è
in
se
risultato
equivalente
si
a
^
fondamentale
trasportarsi
finale
ad
può
rispetto
da
menti
movi-
Uno
passare
al
gruppo
sostituzione
una
con
da
mentre
non
legata
120
o
medesima.
può
equivalenti
è
48
campo
sfera
fondamentale
^
il
rete
icosaedrica.
rete
fondamentale,
triangolo
Dicendo
quando
i
come
della
punto
nel
soli
assumersi
triangolo
sfera
possiamo
punto
ogni
gruppo.
la
la
o
e
tutti
sono
può
gruppo
ottaedrica
rete
riportano
triangoli
del
un
la
che
specie)
2."
sostituzione
una
diconsi
ampliato
gruppo
nel
gruppo,
divisa
131
ICOSAEDRICA
E
un
con
due
del
così:
uno
e
ad
un
solo
punto
del
Irriducibilità
delle
equazioni.
un'equazione
risolventi
e
e
loro
§. 58.
alle
questioni
conviene
bene
gruppo.
di
che
il
variabile
una
prodotto
diremo
di
-f-«1
le
-^"^^
^),il
basterà
dare
campo
stesso, per
*) Kronecker.
Gi'ossen.
—
le
è
quando
della
riduzione
a
sive
succes-
teoria
dei
gruppi
equazioni algebriche,
dell'algebra
per
ha
non
campo
in
GrundzUge
una
data
quando
non
di
razionalità.
se
quando
non
questione,
si
Per
nel
razionalmente
siano
preciso
senso
f{x)
scindere
fissi
si
cioè,
definire
siderano
concome
il campo
fondamentali
R
,
tutte
elner
impossibile
se
quelle quantità
quali
-\-ttn
X
Cln-i
coefficienti
i cui
note,
K, K
del
loro
delle
-[-...+
quantità che,
razionalmente
razionalità
per
delle
intera
irriducibile
sono
Kronecker
con
Galoìs
generale
fondamentali
concetti
d' irriducibilità
quali
come
e
applicazioni
grado minore,
di
concetto
fissato
venga
le
alcuni
ciò •^"
=
dicesi
di fattori
Questo
noti.
composte
di
Gruppo
—
Formazione
—
la risoluzione
razionale
x
Galois.
senso.
f {x)
di
Equazioni
studiare
sopra
funzione
Una
di
fondamentali.
—
concernono
ritornare
precisarne
Risolvente
semplici.
Prima
—
V.
proprietà
sue
equazioni
—
Capitolo
.
.
.
le altre, che
arUhmetischen
si considerano
Theorie
der
come
algebraischen
136
CAPITOLO
note,
nel
sono
ordinario
senso
di razionalità, che
V.
§. 58
—
tutte
formano
Così
un
.
di razionalità
campo
si dirà
razionalità;esso
coef-
a
un
e
noterà
si de-
di razionalità
campo
di
campo
di razionalità
assoluto
formano
razionali,
qualsiasialtro
in
il campo
pure
numeri
gli ordinarli
contenuto
perciò
[1].Così
col simbolo
razionali
funzioni
sono
.
è evidentemente
questo campo
tutti
forma
della
i numeri
.
.)
.
che
quelle quantità
R', R"
di R,
ficenti interi
e
sole
e
.
il campo
di Kronecker
colla notazione
indicheremo
(R, R', R"
conterrà
esprimibili;allora
razionalmente
_
a
a, h frazioni
essendo
nel
cioè
e
campo
e,
in
debbono
della
f {x)
Se in
prima
in
si
di
può
diventi
si
parla
converrà
e
le
che
\/7 e
nel
di
una
^)
due
*)
Considerazioni
variabili.
=
«0 ^"
diremo
+
che
«1 x''~^
analoghe
.
.
.
)
•
aggiunte. Ad
diranno
f {x),irriducibile
ampliato.
Così
si
amplia
nel
campo
e.
p.
di razionalità,diventa
fattori
f{x)
=
e
turalmente
na-
mitivo,
prix^-l,
riducibile
se
lineari:
{x-^l) {x+\J^).
,
f{x)
riducibilità
quantitàche
note
di razionalità
d'irriducibilità
così il concetto
variabile
campo
nei
=
o
il campo
coefficienti
(R, R' R"
come
si
stesse
il campo
assoluto
si spezza
irriducibilità
considerare
funzione
una
riducibile
che
dai
determinato
della
quantità
quantità
nuove
darsi
di razionalità
tali,si dirà che tali quantità si aggiungono
come
f{x)
Precisato
quello
di razionalità
campo
è irriducibile nel campo
aggiunge
sia
zione
fun-
una
i coefficienti
che
naturalmente
bisognerà parlare
razionalità
ogni aggiunta
che
si
di
il contrario, s' intenderà
si avverta
riguardavano
di
al campo
riducibilità
della
o
dati, cioè appartenenti al campo
particolariricerche
non
fondamentale
quantità
sola
una
/'{x), intendiamo
determinato
un
si ha
qui
irriducibilità
della
quale
f{x). Altrimenti
,
.
non
del
;
Vs
5
essere
generale, ove
di razionalità
di
V
=
intera
razionale
f {x)
R
parliamo
Quando
di
ordinarie
h
+
V
le funzioni
intere
nali
razio-
equazione
-{-•••+
valgono
per
per
«H-i
X
le funzioni
-\-an
=
razionali
0
intere
di
più
IREIDUCIBILITÀ
è irriducibile in
tale è la
Ciò
determinato
un
ricordiamo
premesso,
si fa
che
di
minore
seguito:
(R, R', R"
.
.
)
.
se
,
fondamentali,ai quali
radice
una
della
tinuamente
con-
ducibile
equazione irri-
tutte.
divisore
comun
(x) di F (x)
«]"
e
processi razionali, sicché i coefficienti di ^ (x)
con
f (x), la f (x), che
2.°
Un'equazione irriducibile
ne
^ (x)
ammette
questo
teorema
di razionalità.
campo
Da
seguono
non
Se
(x) fosse di grado
r{j
fattore,sarebbe
come
due
altri
importanti:
può
avere
radici comuni
con
cibile.
ridu-
zione
un'equa-
grado inferiore.
di
S.°
ammette
0
il massimo
all'attuale
apparterranno
nel
=
infatti si determini
f{x), ciò
teoremi
(^)
0, le ammette
=
alcuni
ricorrere
Se un'equazione F
f{x)
E
di razionalità
campo
funzione f (x).
dovremo
1.°
137
riducibile
Ogni funzione
si
può scindere
in
solo modo
un
in
un
prodotto di funzioni irriducibili.
§. 59
Sarà
-
utile
che, almeno
diamo
f{x)
è riducibile
data
Una
ha
per
procedimento che
un
funzione
o
coefficienti numeri
f{x)
una
tale funzione
=
a
f(x)
nel
la funzione
stessa
Cominciamo
dal
Se
le
il loro
se
irriducibili
funzione
una
[1]
di
moltiplicandolaper
e,
razionalità
un
numero
coefficienti interi. Sia
+
«1
x^''~^-f•
coefficienti
a
si dirà
+
•
^n-i
Se
se
il teorema
o
4"
X
^5 è
ò è il divisore
primitiva
dimostrare
•
interi.
funzioni f {x),'f {x) razionali
anche
assoluto
campo
divisore dei coefficienti a, si dirà che
e
di riconoscere
permetta
razionali
ao X"
con
di funzioni
assoluto
irriducibile.
razionale
intero, si può ridurre
speciale del campo
caso
la effettiva esistenza
di razionalità,dimostriamo
e
nel
dn
il massimo
della
comun
funzione f {x)^)
1
=
.
di Gauss:
intere
a
interi
coefficienti
prodotto f {x).(p (x) sarà
una
significareche
(interi)f{m)
sono
mitive,
pri-
sima
funzione della mede-
specie.
*) Con
per
valori
ciò si vuol
interi
m
di
x,
ammettono
tutti i valori
il divisore
l.
che
assume
f{x)
138
CAPITOLO
V.
§.59
—
Poniamo
;r'"~' -f
f (x)
Qq X'"
+
«1
tp (x)=
X"
?"o
+
h, X-"-'
=
f {x).'^
{X)
Co
=
^"'+" +
C,
Co
(Xq Uo
.
.
+
.
X^+"-' +
.
«m-1
X
-{-am
+
hn-i
X
+ hn
X
+ C,n+n
.
.
.
+
•
.
+ Cm+n-l
\
avremo
Co
e
in
^2 +
«0
=
^1
^1 +
«2
+
«A--1
"0
generale
Ca
coll'avvertenza
superiore
a
esisterebbe
siccome
(p (x)
che
le
almeno
fattore
dividere
più basso
divisibile per
non
la
p
m,
a,: ho
le h
come
fosse
f(x).(p{x)non
comune
le
tutte
a
a
né
così b, il
indice
con
primitiva,
tutti i numeri
le
tutte
e; ma
b, poiché f(x),
sia «,? il coefficiente
che
e
j^
"i +
superiore a
primo
né
.
.
Se
0.
=
primitive,supponiamo
sono
.
indice
farsi
un
può
non
j^
+
«'1 ^A-_i
con
a
da
sono
n
h +
«0
=
a
indice
con
primo dei coefficienti b nella
serie
bo, bi,h...
divisibile per
non
p.
Avremo
r
e
potrà anche
due
poiché
darsi
divide
p
che
Co
=
che
per
Dal
Se
p
nel
e
le
Si ha
secondo
[3,sarà
due
membro
non
a
a
se
^
=
é
"^n
indici r,
s
sia
0,
ma
divisibile per
p
contro
sibili
divi-
l'ipotesi.
interi f (x),9 (x) hanno
coefficienti
afi(x)
sono
il corollario:
infatti
=
tutti
?
p il divisore del prodotto f{x).(p (x).
f{x)
non
il coefficiente
consideriamo
(il Or+s—ì
=
tutti i termini, salvo a,- bs ,
precedente segue
funzioni intere
divisori a,
s
,
rto"o- Ora
quindi c+s
teorema
w
dei
uno
Cr+s
vediamo
"
,
^
(x)
=
p 91 (x)
,
i
rispettivi
139
IRRIDUCIBILITÀ
dove
/i(x),9i (x) sono
onde
f(x). 9 (x)
ap./l{x).«pi(a;)ha
=
Dimostriamo
Se
nel
scindersi
altre
prodotto di due
che
modo
per
a
quindi
che
Potremo
un
niente
conve-
=
f(x). ^,{x),
divisori,
p i loro rispettivi
a,
N
=
a,3
,
otterremo
decomposizione richiesta per
assai
qualunque
considerazioni
Dalle
—
del
ci assicura
strazione
la dimo-
si trae
dell'esistenza
grado è
di
numero
un
una
n
:
funzione intera
è certamente
interi
coefficienti
a
«0 X''
=
irriducibile
+
se
un
«1
-^""^ +
il
primo
Supponiamo
«0
ed
an
al contrario
•
•
•
fattoreprimo
tty , C(2 ,
divide
(x).
irriducibili il cui
di funzioni
estesa
F
superiorifacilmente
seguente, che
teorema
f{x)
non
{x)sia
che F
caso
p il divisore di N F (x)e, poiché F (x) è primitiva,avremo
§. 60.
La
interi.
coefficienti
moltiplicareper
/l 'fia coefficienti interi. Se diciamo
è la
classe
potrà
essa
'f (a:)
.
,
sarà
a
riducibile
sia
ì^¥{x)
essendo
p.
proposizionenel
{x)==f{x)
f,'-pcoefficienti razionali.
N
a
si abbia
che
Y
intero
funzioni
stabilire la
primitiva.Supponiamo
avendo
divisore
per
prodotto /l(x).'Si
(x),
interi, è
coefficienti
{x), a
evidentemente
Basterà
il loro
il teorema:
ora
funzione F
una
anche
primitivee però
non
•
.
.
ttn
p,
che divide tutti i
X
f{x) riducibile;pei
X''~^+
«0 X'' -|-«1
^ (x)
Po X' -f (3iX'-' +
.
.
.
.
coefficienti
,
decomponibile nel prodotto di due funzioni
=
«M-i
p"^.
è divisibile per
'f (x)=
-\-an
+
a
4-
.
.
teoremi
al
§.
coefficienti interi
a,-_i
X
-{-(Xr
+ P.-lx + ?s.
59
sarà
140
CAPITOLO
Avremo
ed
uno
r
s
dei
il coefficiente
«„
poiché tutti i termini
e
il
tranne
primo, sarebbe
interi si possa,
essa
è riducibile
dato
da
è il
od
un
f (x) di grado
arbitrio
ad
consideriamo
^
'^' ^-^^
interi
a
cienti
coeffi-
procedimento
un
se
assegnato
n
m
divisori
gli eventuali
ogni grado
se
gliamo
sce-
disuguali
razionali
Vn)
,
di
grado
{x
.
^' *-^^
n
r^ {x-r^ ...{x- r„)
-
^
{r, n) (ro r,)
'
{r, r„)
.
.
{x
^" ^^'
(r, n) (n
-
-
.
-
rp){x
-
rQ
-
quali
da
0
a
cp (x)
ora
f{x). Potremo
un
9
(:r)
=
9
poiché infatti i due
w+1
.
'
'
*
(a; fn-ò
-
...
{rn ro)(r„-ri)... (r„
guisa che
in
r„_i)
-
valori
(r,)
=
divisore
1
,
valore
un
per
'
qualunque
i dell' indice
(/•/,) 0 per i^k.
gi
=
razionale
esprimere 9 (x)
9^•l-l funzioni
(1)
'
(r, r„)
-
.
sia
«
g,
Sia
.
^
costruite
sono
r,)
-
~
-
per
f{x)
per
Ti, r^.-.rn
funzioni
le w+1
-
delle
divisibile
non
scopo
ricercare
Per
^
di
0
funzione
una
questo
.
-
le
KJc"[s.
divisibili per p,
sono
f /.;""
r
a
a
—
numeri
1
n+
"
w
rQ {x-r^...{x-
-
Serve
limitarsi
To,
e
aopo,sia {ik
finito di tentativi,riconoscere
numero
grado di fix), basterà
di
=
i?
da
data
come
irriducibile.
in ao
nell'operacitata. In primo luogo si osservi che,
Kronecker
razionali
dato
indice
ora
potendo
non
divisibile per j?; sarà 0
del 2.° membro
somma
«,?+'.con
con
anche
entrerebbe
f{x) sarà
Vediamo
l'ipotesi.
contro
p,
della
[3s.Ora
poniamo
a,-, [3.,,
indice, non
di x'~'''in
«,+i
ipotesi fatte,p dividerà
le
per
,
numeri
due
p, col massimo
Il coefficiente
Ps onde,
a,
=
§. 60
—
[3,poiché altrimenti
le
tutte
e
n
=
solo
uno
dividere
+
V.
"/,(a;)colla
di
come
grado
un
n,
a
coefficienti interi,
aggregato lineare
omogeneo
formola
(ro)"7o (^) + 'f (*•))
f/i (^) +
polinomii di grado
n
diversi
ro,
n,
.
.
.r„
.
.
.
dalle
f 9 (r„)g» (x)
,
due
parti, coincidendo
142
eguali. Tuttavia
ricamente
modo
nel
potremo
seguente
Particolarizziamo
porta ad
(2) A"-^ (x"n
indici
.
valori
eguali);basta
dunque
sicuri che
i
.
di h
Vs,- effettuandovi
.
a„
V
h
di V
il
ciascuno
a
4*(Y)
coefficienti
e
tanto
sol-
degli
esservene
finito di valori
sere
es-
per
distinti
numericamente
Vs, indichiamo
la sostituzione
x
di
il valore
s,
I
ti
.
che
^).
assume
(n) valori
questa. Avremo
distinti
subito.
qua!
V.2
Ora,
.
.
7r(.0
ti
indicando
(n) in
V.O (Y
-
V.
.
-
è chiaro, saranno
variabile,si
una
struisca
co-
:
V.2)
.
.
.
(Y
simmetriche
le funzioni
esprimibiliper
Y
Y
con
sostituzione
funzioni
-
V,„„);
elementari
dei
simmetriche
ciò razionalmente
pei
ti
(n)
lori
va-
delle radici
coefficienti
di
dunque
^ (Y)
i coefficienti
(Y
,
questi valori corrisponderàuna
grado
=
sono
quindi,come
proposta ed
*) In
di
polinomio
(")
ora
soddisfatta
anche
numero
un
saranno
con
e
sulle
perfettamentedeterminata.
della
permutazioni degli
diverse
possono
=
-
saranno
inversamente
V
V
(Xi, xi^) 0,
+
permutazioni,la (2) è
per
V.i
i suoi
della
con
x
(a)
e
distinti
XiJ
-
,
della
h"~^ ;
=
.+h {Xi,
.
due
(fra i quali
evitare
sulle
.
algebricamente
indicano
le due
indichiamo
(n) sostituzioni
=
X„)
.
(n) valori
ti
Ciò premesso,
la V
.
Scelte
.n.
.
n-1
71
valori
.
-
1, 2, 3
per
/t^
=
forma:
della
(iiÌ2...i„),(XiX2
dove
7.3
x-^J+h"-'(xi„_, ^x„_i)+.
-
cedendo
pro-
ponendo
,
fra due
relazione
una
ciò accada
che
evitare
sempre
le a,
7.2 =^h
l'eguaglianza numerica
§.61
—
:
ancora
7-1=1,
le
V.
CAPITOLO
p
=
Y""'" +
essendo
modo
PiY-""-^ + p2Y'^*")-^-f
razionalmente
possano
in
pratica
noti.
.
.
.
+ 13,(„,
,
L'equazione "!^
(Y)
escludersi
questi
valori
di
0, che ha
=
h
si
vedrà
PROPRIETÀ
manifestamente
per
di Galois
equazione
Se
della
nel
costruire
radici
h
(Y)
«|j
h
da
h
per
143
GALOIS
(w) quantità distinte («),dicesi
tc
risòlvente
data.
di Galois, p.
Xi-{- I1X2+
=
DI
.
.
equazione
una
colla funzione
e,
^i"~'3Cn
+
.
indeterminata, indi si eguaglia
0, si otterrà
=
le
la risolvente
\
si lascia
RISOLVENTE
DELLA
,
il discriminante
zero
a
le cui radici
di
i valori
sono
di
evitarsi.^
§. 62.
La
—
risolvente
fondamentale
quali la
è
Qualunque funzione
di Galois
data
dal
Denotiamo
[pCiX2
F
assume
{xi,X2,
però
avvertendo
che
tutti numericamente
(3) siano
dalla
(b),consideriamo
in Y
data
dalla
Fs2
,
.
.
.
Vi.
=
Fs
.
,
.
x,^
.
n(")
effettuando
sulle
supponiamo
affatto
distinti. Avendo
(Y)
'];
non
la funzione
(Y)
x
che
il
le
i
tuzioni,
{n) sosti-
;r
tz
(n)
valori
significatodato
intera "I"(Y) di
razionale
noti. Facendo
indicando
con
(Y) il polinomio
']"'
ha
multiple
si ha
simmetriche
funzioni
sono
razionalmente
nella
(4)
Y
derivato
(Vs,)4=0)
(jj'
4"
che vale per
una
=
(V..)
qualunque 5,.
Vs,,
di
indi
__
formola
Vsi
per
qualunque
una
grado
ti
(n)
-
1
formola
i coefficienti di 4"
radici
e.
esprimibile
per
con
ancora
Fsi
che
:
Xn)
...
di Galois, p.
(3)
i valori
seguente
è razionalmente
della proposta
della risolvente
radice
teorema
importanti proprietà,delle
razionale
r
delle radici
di
gode
di Xi, x^.
.
.Xn
e
perciò
otteniamo
^ (Y). Siccome
tp(Y)
=
0
non
144
CAPITOLO
Servendosi
della
ora
V.
§§.62,
—
63
relazione
^ (Ysi)
0
=
$
cui soddisfa
Vs,
porsi
possa
grado
Avremo
la forma
di
anche
dimostra
(Vs,) di
affatto indipendente dall' indice
in Vs,- ed
F
=
0
=
i.
(V.,)
funzione
una
ad
§. 63.
{XiX^.
Ogni
.
.
Xn)
abbiamo
conseguito
insieme
(Vsi)
,
delle radici della proposta
risolvente
risolvente
per F
In
della
.
.
.
di Galois
gode
che
luogo
proposta, vediamo
una
a
per
che
:
radice
proposta.
è ìm'
una
qualunque
dicesi
goda
equazione normale.
=
0
,
KY)
tutte le
di
della
sue
=
0
radici
esse.
levata
proprietàqui ri-
un'equazione normale,
se
^ (Y)
delle altre radici della
proprietà che
diseguali)che
di Galois
di Galois
il teorema:
della
per
risolvente
della
qualunque
si avrà
esprimersi razioncdmente
radici
della
x,i)una
e
poi
dà
esprimibile
per
radice
una
completa
(xiXi
risolvente di Galois
fare
di Galois.
conoscere
la risolvente
zionalmente
ra-
verificata.
essere
primo luogo, prendendo
radici
delle
è lecito
dimostrata
sopra
notare.
di Galois
Ogni equazione (a
Galois,
di
che la relazione cessi di
senza
qualunque
la risoluzione
ora
osservi
0
=
quahmque
importa
dunque
risolvente stessa
per
x„)
della proposta è razionalmente
Basterebbe
Prendasi
.
Vsi della
sulle x,
della risolvente
ottenere
.
ragionale
che
una
radice
arbitraria
{xiXi.
proprietàfondamentale
La
—
conseguenze
Si
,
Ma
enunciato.
radice
una
qualunquesostituzione
possono
(Vsi)
relazione
lega
La
.Xn) =^
.
d'importanza fondamentale:
F
varie
{XiX2.
il teorema
l'altro risultato
Nella
ogni
0
intera
particolare
ciò die
per
razionale
funzione
una
Fsi
Fsi
F
,
.
dunque
in
che
,,^^
^ (Vs,)
(e)
ed
(Vs,)
fratta
razionale
la funzione
come
al massimo
1
-
noto
,
sotto
(w)
71
è ben
sicché:
diverse
due
sono
funzioni
diverse
due
con
\
si avrà
pel
0
essendo
di Galois
risolventi
[Xi X^
.
.
e
X,i), V (Xi X.^
.
riguarderemo
sotto
La
può
risolvente
sia nel
di
delle infinite forme
che
Galois,
di
razionalità
ampliato. In ogni
tutti di
due
egual grado.
dei
Ogni equazione
tali
di assumerla
può
quantità,il
nuove
multiple,
cibile,
ridu-
essere
coefficienti
dai
dimostreremo
che
della
stesso
campo
i fattori
cibili,
irridu-
della risolvente,sono
f]^(Y)
sarà
sussiste
essa
equazioni
di radici
particolareessa
§§. seguenti,non
inutile darne
analogamente
mente
indirettastrazione
dimo-
una
per tutte le
cioè il teorema:
Dimostriamo
normale
Tschirnhaus.
questa proprietà risulti anche
Sebbene
diretta,provando che
equazioni normali.
priva
determinato
però
caso
della
equivalenti.
scindersi il primo membro
a
dai teoremi
di
distinte
è certamente
irriducibile. In
o
campo
in cui viene
trasformazionedi
una
primitiva,sia perchè, coll'aggiuntadi
è stato
1
ciò della risolvente di Galois, intendendo
riducibile
essere
con
essenzialmente
non
come
qualunque
una
Xn)
.
,
.
diversi risolventi di Galois
intera, cioè: Due
razionale
per
struite
equazione,co-
fondamentale:
teorema
parleremo
medesima
una
per
fondamentali
proposta si ottengonol'una dall'altra
Noi
145
NORMALI
EQUAZIONI
riducibile si scinde
in
fattoriIrriducibili
tutti
egual grado
Sia
f{x)
un'equazione normale
Basterà
(privadi
evidentemente
è
un
fattore
di
fattore
irriducibile di
f{x) potrà
irriducibile di
un'equazione normale,
radici
(X
multiple)di grado
che
dimostrare
ff(x)=
0
=
.
.
f (x) di grado
avere
e
/"(.r)
un
.
riducibile.
r,
{X- Xr)
una
sua
altro
nessun
grado maggiore
sia x,
e
se
Xi) {X -Xi)
-
n
di
r.
fattore
Sia -fi(a;)
un
radice; essendo
ducibile
irrialtro
f(x)
avremo
Xi
=
0
(Xi)
10
=
0
146
CAPITOLO
0
con
razionale
intera
in x^
V.
(xi)
)
'fi(B
=
che
la radice
le altre
91
ossia
X2,
dell'equazioneirriducibile
x^
cioè
.«s...;»,-,
("""
(^0)
0
=
?i
,
0
altrettante
i^"»
(*"))
e
(^'0
§. 64.
(x),ha
Galois
dei
e
gruppi,
della risolvente
una
dalla
prima
di Galois,
risulta facilmente
qualunque
delle
r
x:
(Xr))
,
simmetriche
coefficienti
di y
AÌX1X2.
{x), cioè
il grado di 'fi{x)sia
che
legano
.
Xr
.
nalmente
razio-
maggiore
la teoria
fondamentale
intera
.
.
.
di
r.
delle
del gruppo
(Y) della
']"
Vs,.
.
.
Sr
,
alle altre radici del
dalle
un
fattoreirriducibile
(d)
'f (Y)
gruppo.
proprietàdimostrate
=
è razionale
in
r
della proposta
V.S,
0
grado
il teorema:
formano
radici
(5)
ove
Vs2
,
di 'f (Yj. Dimostriamo
passa
il polinomio di
siano
sosfituiiioni sidìe radici
quali si
(:r,)
alla nozione
Si SiS-s.
Tanto
(Xr))=0,
irriducibile '^(S^)del 1.*'membro
(e)
colle
.
.
alle considerazioni
fattore
un
di Galois
radici
r
"pi(0
(X,))...(X-Q
0
-
Nsi
Le
però ammette
e
equazione.
{d)
r
.
i coefficienti funzioni
ora
data
una
Consideriamo
risolvente
.
È quindi impossibileche
colla teoria
per
0
(^2)
esprimibilipei
Veniamo
—
equazioni
le
.
0. D'altronde
(X,)){X
ciò razionalmente
noti.
di
.
,
=
fattore di 91
un
per
0
=
radici di ffi(^)
{X-S
e
0
=
si ha:
,
che è
(^)
f
espressioni
le
sono
,
0
=
tutte
0
=
l'equazione
'^,{Six))
ammette
64
Ora, avendosi
.
tpi(x,)
vediamo
§§. 63,
—
al
§.62.
Essendo
Vs/
di 'f(Y), si ha
0
in V.si.Per
(V.,)
,
il teorema
alla fine del
§. 62,
pos-
GRUPPO
siamo
nella
in
(5) permutare
DI
147
GALOIS
le
qualsivogliamodo
a;
e
la relazione
rimane
soddisfatta.
ancora
Operando
qualunque
una
delle
s.t
V*,s,
(6)
sostituzioni
(e),avremo
quindi
0(V.,).
=
Ora, essendo
la
equazione
(" (Y))
9
'f (Y)
0, le
=
=
0, che ammette
ammette
tutte
la radice
si ha
e
cp(0(V.,))
la
(6)
(Vs.sk)
rS"
Vs, «i
Dunque
è
radice
una
formola
l
un
che
da
indice
ci prova
1
a
della
Ne
r.
appunto
Si
formano
le
71
un
gruppo
(n) sostituzioni
e.
le
0, cioè
,
S2
,
.
.
,
sostituzioni
r
.
Sr
questo gruppo
totale
Si
\O2 Si
^
.
.
s,.)
Si
,
Sr
...
/
fjo s,
Oi s,...
,
^^''=j
vediamo
sono
,
quadro
I
Mediante
G,- distribuiamo
con
rispetto al sottogruppo
(si, So.
=
solito
Si
che
gruppo
=
segue
=
G,.
nel
Ysi
=
Si Sk
,
(Y)
9
d. d. Indicando
del
0.
=
Vs,-s/c
essendo
particolare
in
O
=
cioè, per
ducibile
Vsi dell'equazioneirri-
considerazioni
subito
che
le sostituzioni
di
una
K'
affatto
le radici
;r
=
V
analoghe
della
medesima
a
{n)
^
quelle del §. precedente,
risolvente
orizzontale
di Galois, i cui
nel
indici
quadro superiore,
148
CAPITOLO
ad
appartengono
infatti p.
0
essendo
medesimo
un
razionale
cui
è lecito
come
s,
(§. 62),
,
si ha -fi(\y.^ 'fi(0
=
medesimo
fattore
Vediamo
così che
di Galois
=
dicesi il gruppo
funzione
X,
e
intera
questa
deduciamo
orizzontale
ad
appartengono
qualunque fattore irriducibile della
sulle
,
X,
ciascuna
delle
02 (Vsi)
=
.
sulle x, in
qualunque sostituzione
risolvente
dall' una
passare
G,. Questo
gruppo
l'equazione proposta.
§. 62, potremo
al
il medesimo
di V«i, potremo
,
fanno
che
x
sempre
per
01 (V.i)
=
il teorema
per
da
poi che, essendo
razionale
in
irriducibile.
dì Galois
Osserviamo
avremo
si trae, nel solito modo,
=
radici,formano
sue
ne
Sia
e(v..,).
) 0, onde
(V.sij
si parta, le sostituzioni
all'altra delle
risolvente.
appartiene Ng^;
della seconda
dunque tutte le radici V^.,.?,
un
della
nell'argomento Vsj. Eseguendo
v,^.,
Ma
65
irriducibile
irriducibile
intera
la sostituzione
relazione
§§.64,
—
fattore
'fi(Y) il fattore
e.
V,
radici
n
della
proposta
scrivere
.
.
{Xn
0n (V.i)
=
questa relazione
eseguire in
sostituzione
particolareuna
una
del gruppo
di Galois, sicché
0i(V..).0,(V.,),...0„(Vs,)
le radici
saranno
quindi anche
Possiamo
Si
stesse
le
esprimano
n
Xi^x^.
.
.
definire
radici
della risolvente di Galois
x
;
Xn
permutate
il gruppo
radici
n
andiamo
nel modo
cangiando
si permutano
in
5,.
seguente:
per
una
dice
ra-
queste espressioniquellaradice
vente,
fattoreirriducibile della risol-
fra loro appunto secondo
le sostituzioni
di Galois.
del gruppo
§. 65.
x
di Galois
la sostituzione
della proposta razionalmente
in tutte le altre appartenenti al medesimo
le
secondo
—
ora
espresse
Stabilita
ad
nel
§. precedente
occuparci delle
nei
tre
sue
Vesistensa
del gruppo
di
Galois,
proprietà caratteristiche,che
seguenti teoremi
fondamentali.
gono
ven-
150
V.
CAPITOLO
(§.G2) Fs,
si ha
D'altronde
r
nel
enunciato
è
come
Come
=
r
(Ys,) onde, segue
=^^
=^
S2
-T «}•
•
•
•
appunto
5
teorema.
{xiXz
.
Xn) F (x^x^.
.
.
che
si ha
di questo teorema,
corollario
delle radici F
Si
(^
=
§. 65
—
.
,
due
se
il medesimo
x») hanno
.
nali
razio-
funzioni
valore
numerico
F
si avrà
anche
{XiXi.
.
Xn) =-Y
.
qualunque sostituzione
per
r
poiché F {Xix.,
.Xn) -F
.
.
=
Si
(«iXo.
.
r
Si
Xn)
.
,
di Galois:
del gruppo
s,
Xn) è razionalmente
.
F^ =Fu,
se
nota
U
=
0. Ma
non
appartiene al
non
Galois.
di
gruppo
.
,
lecito, in generale,concludere
è invece
in fine
Dimostriamo
Galois
di
gruppo
col teorema:
III).Nessuna
le
tutte
Indicando
proprietà superiormente
caratteristiche
sostUusione
è razionalmente
nel
-
-
nota
Ys,)
V.O (p
(p
=
di
questo
variate
puh lasciare in-
razionalmente
note.
zione
razionalità,la fun-
di
campo
pel
radici
delle
F
di Galois
delle radici
un'indeterminata
p
stabilite
sostituzioni
le
per
fuori del gruppo
funzioni razionali
con
razionale
le
come
siano
gruppo
la
{X1X2.
; ma
.
.
cp (p)
=
g fuori del gruppo
sostituzione
una
V..)
(p
-
.
di Galois
cangia in
F,
può
che
coincidere
=
come
applicate a
il
tutte
si riesce
a
sostituzione
trovare
di F
possiamo
un
di
gruppo
.
.
sempre
caratterizzano
complesso di
sussistere. Risulta
.
col valore
di p che
le relazioni
(p \srg)
-
-
proprietà dimostrate
equazione
ancora
-
numericamente
finito di valori
Le
(p \Wj) (p Ys,g)
razionali
evitare
il gruppo
solo
per
un
mero
nu-
(Cf.§, 61).
di Galois
per
una
sulle radici che,
esistenti fra le radici,le lasciano
se, per
una
F di sostituzioni
lasci invariata
iniziale F
quelle sostituzioni
tutte
qui che
,
numericamente
data
equazione f (x) 0,
sulle radici tale che
qualunque funzione
=
ogni
ra-
ABBASSAMENTO
r
con
radici
delle
zionale
§. 66.
razionalmente
V
conterrà
0
si
il campo
naturalmente
teorema
che
lo stesso, ovvero
E
amplia
invero
il
coinciderà
=
aggiunta di
per
il campo
(R, R', R"
di razionalità
attuale
di Galois.
ad
primitivo
fattore
.
.
)
.
In
ogni
sussiste
caso
di Galois
il
rimarrà
sottogruppo.
suo
un
.
quantità può accadere
nuove
di razionalità,il gruppo
si abbasserà
se
di Galois
mente
un'equazione /"(a;) 0 è essenzial-
per
varii il gruppo
Ampliando
:
nota, il gruppo
di Galois
dipendente dal campo
Se
151
GALOIS
sottogruppo.
come
Il gruppo
—
DI
GRUPPO
DEL
irriducibile
9(Y)=:(Y-Vn){Y-V.,)...(Y-V.,.)
risolvente
della
rimane
di Galois
evidentemente
irriducibile nel
Se
lo stesso.
'fi(Y)
un
rimane
(Y
=
al contrario
V.i) (Y
-
V.,)
-
.
.
diventa
(Y
.
campo,
il gruppo
riducibile, sia
V..,)
-
fattore irriducibile;
sarà
suo
r,-
(si
=
,
il
nuovo
nuovo
di Galois
gruppo
Ciò
che
osserviamo
premesso,
è
«2
•
.
5,)
sottogruppo del primitivo G,
un
che
.
,
Y {x^x^.
se
.
.
x,) è
.
funzione
una
zionale
ra-
qualunque delle radici della proposta f {x) 0, sussiste il teorema:
=
Quelle sostituzioni del
la F [x^x.^
invariata
Potrebbe
sembrare
sostituzioni
anche
d'invariabilità
fuori
del
la
.
.
gruppo
che
di
vale
non
prima.
Basti
+
_|_
che
x,) formano
.
vista
prima
a
algebrica; ma
luog'o senza
aver
G,- di Galois
gruppo
in
lasciano
G,-
il teorema
dovesse
Ciò
più
l' invariabilità
citare
il
sottogruppo ^)
un
.
Galois.
per
camente
numeri-
sarebbe
esempio
seguente
valere
esatto
per
se
le
tutte
si trattasse
che
numerica
può
:
L'equazione
1
X"'
^
——
—
x"-^
cc"-2
.
Zt
ha
le
n
1 radici
—
Ora
il
x,-
prodotto
=
x-^
e
oc,_i
.
.
-]_aj _|_1
0,
=
ove
supponiamo
n^ò
ir
"
{r
=
1
l,2,...n
=
è
lasciato
—
1).
numericamente
invariato
dalle
due
sostituzioni
(X^ X2) (X,t—l Xn—ì)
ma
il
prodotto
il valore
1.
di
queste
due
(x^ Xn—\)
[X^ x^) ;
sostituzioni
lo
cangia
in
x^Xa-z
che
non
ha
più
152
CAPITOLO
infatti,se
E
§. 66
—
di Galois
è lecito
come
(§.65),
Fsi Sk
cioè
anche
il
prodotto
Dimostriamo
Se
F
quel
a
{XiXi
.
.
Che
il
nuovo
razionale
nel
nuovo
le sostituzioni
razionale
7
F {Xi,Xi.
=
di F
(R, R', R"
risulta
di F
dente
evi-
.
.
del
nuovo
dimostrare
) coiraggiunta di
sarà
s^
.
.
.
tutte
basterà,
qualunque funzione
tale funzione
(R, R', R"
poi che
di Galois
gruppo
Una
di Galois
gruppo
U
{x^x.i...x.),
2^ ampliato dal primitivo
esprimibilerazionalmente
colla formola
B è razionale
in z^
tale relazione
con
è
\]
--=
{X1X2.
la 7;
avremo
.
X,)
=
0
(^1)
,
campo
(R,R',R"..).
applicabile,
per le proprietàfondamentali
dell'antico
quindi
poiché,per ipotesi,z-,
=
s^
il teorema.
anche
sarà
U^
dimostra
.
coefficienti razionali neirantico
qualunque sostituzione
ciò che
riata
inva-
.x)
nuovo
nota.
di razionalità
Ui
e
numericamente
che 7 lascia invariata
mostrare
campo
.
al
appartengono
delle radici razionalmente
appartenendo al
.
invariata. Per
numericamente
III, §. 65,
pel teorema
una
si abbasserà
G,- di Galois
sostituzioni
soltanto
le sostituzioni
campo,
lasciarla
debbono
Ad
gionale
ra-
che, essendo
3^
ove
funzione
aggiungendovi una
.
contenga
gruppo
dall'osservare
Zi
d, d.
e.
funzione F [x^x-i. x,) aggiunta.
la
per
gruppo
fondamentale:
teorema
cui sostituzioni lasciano
sottogruppo V, le
suo
invariata
numericamente
di rasionalità
campo
del
Sk
Fsi,
=
X,) delle radici, il gruppo
.
.
Fsk
lascia F
s, Sk
la sostituzione
avremo
=
il seguente
ora
amplia il
si
si ha
,
quindi,eseguendo sulla prima relazione
e
di Gr
tali sostituzioni
due
sono
St, Sk
V.
=
U,
,
gruppo
di Galois,
al
in
§.precedente,
colare
parti-
INTRANSITIVITÀ
§. 67.
Vedremo
—
abbiamo
studiato
nozione
del
TRANSITIVITÀ
0
in
nella
seguito
GRUPPO
le
tutte
come
DI
153
GALOIS
proprietà dei gruppi che
prima parte del presente
di Galois
gruppo
DEL
si traducano, colla
corso
un'equazione,in altrettante proprietà
per
dell'equazionestessa.
Cominciamo
qui dal dimostrare
è riducibile od
Un'equazione f {x)=0
di Galois
è intransitivo
che
Supponiamo
di
/?ix)
sistema
di ciascun
di G
G
il gruppo
allora
secondo che il gruppo
irridticibile,
di Galois
in sistemi
sia intransitivo. Le
di
radici
n
tali che le radici
transitività,
transitivamente
permutate
sono
teorema:
transitivo.
ovvero
si scindono
0
=
l'importante
fra loro dalle
tuzioni
sosti-
(§.9).
Siano
XiXi.
le radici
appartenenti ad
'S
è razionalmente
invariati. Ne
.ri ,
Sarà
Xi)
-
.
{x
.
.
.
.
.
che
lasciano
x,- ,
la
che, quando f (x)
f{x)
se
=
0
è irriducibile,
transitivo.
essere
è riducibile,il gruppo
0
=
biando
scam-
coefficienti numericamente
i suoi
completata la dimostrazione
evidentemente
f{x)
di Galois,
f{x) è riducibile. Dunque,
deve
di
Xr)
-
perchè le sostituzioni del gruppo
di Galois
il gruppo
il fattore
sistema;
{x- x^) {x
=
x.,
segue
{r "r n)
Xf
.
medesimo
un
{x)
noto
fra loro
.
del teorema
di Galois
G
se
è
viamo
pro-
sariamente
neces-
intransitivo.
Sia
9
un
fattore
di
(7.) (a
=
Xi)(a
-
sostituzioni
§. 68.
alla
-
sarà
x
X2)
(a
...
sostituzione
qualunque
—
{X- Xi) {X-X2)
=
f{x); qualunque valore
diamo
9
(X)
di G
f (x)
=
X''
+
{x- Xr)
.
x^,
Xi,
.
.
.
noto
campo
invariata
Galois, dovranno
Xr
fra loro, onde
di
zionalità,
ra-
quindi dovendo
e
numericamente
di
gruppo
al
appartenente
a,
x,) rimanere
del
Denotiamo
.
'f (a) razionalmente
-
scambiarsi
.
per
G
tutte
per
le
è intransitivo.
con
Ci
X''-'
4-
l'equazionegenerale di grado
C2 X"--
n,
dove
-h
.
.
.
4-
c,._i ^
+
e.
=
dunque i coefficientie
0
restano
in-
154
CAPITOLO
determinati.
sarà
Quale
di razionalità
(ci Cs
.
,
Gn(„)sulle
totale
Gr
e
indicando
fattore
primo
del
funzione
simmetrica
F
è funzione
{XiXi.
.
funzione
.
molto
.e,
.
{xiX2.
.
qui
le
in
più
stesse
x
un
sottogruppo
di
Galois,
.
+ Vsr
.
d\f{x)
Una
stesse.
"l"{XiXi
==
è
.
.
tale
.
.
x„
)
assurda.
evidentemente
infinite
costruire
minate
indeter-
Ma
si
che, persino nel
dimostrare
metrica
sim-
eguaglianza
simmetrica, restando
una
e
mente
razional-
funzione
una
equazioni di
di
coefficienti interi,il cui gruppo
con
una
,
0, sarebbe
=
eguale quindi ad
là la ricerca
ci limiteremo
in cui il
grado
f{x)
dato
il
l'irriducibilità
suo
può
campo
dato
un
Galois
sia
*) V.'
alla fine del
§. 13,
trasposizione.Se
Hilbert.
2) Algebra,
•'P"~^+
di Galois
gruppo
2 delle radici di
Bd.
—
0,
/"(.?•)
=
Journal
I.,pag.
Costruiamo
•
•
•
+
*' 1~ «»
'^-'.-i
i cui coefficienti siano
n,
G, che
605.
il gruppo
von
non
il gruppo
ora
^) pel
di Weber
per
ciò p.
e.
irriducibile
dell'equazione(§,67),
Pel teorema
alcuna
«1
dimostrazione
primo.
numero
un
+
«0 ^"
=
grado primo
che
sia
n
riportare la
a
§. 60, un'equazione
del
col processo
-
fosse
ne
totale ^).
il gruppo
w
è il gruppo
risolvente
Vs2 +
ed
simmetrica
non
qualunque,
del
ed
x„)
.
grado
caso
tale gruppo
,
delle radici
di razionalità,si possono
Noi
campo
S,)
.
della
Ysi +
=
assoluto
n
nel
0
=
e.
X,) delle radici
quindi
le e,
X,)
.
.
CiCo.
F
spingere
.
irriducibile
simmetrica
ìion
^l" {xi Xi.
una
.
,
di queste, p.
esprimibileper
fra
infatti che
(.Si52
=
che
/'(x)
con
le radici
che
della
c„)? E facile vedere
radici. Ammesso
n
§. 68
—
di Galois
il gruppo
.
.
V.
numeri
è certamente
coincida
G
si abbasserà
110.
0
interi
al campo
(§.QQ)
e
niamo
suppo-
transitivo
col gruppo
di Galois
aggiungiamo
Creile,Bd.
=
non
per
totale.
può
tenere
con-
di razionalità
al sottogruppo
quelle
contenente
si ridurrà
cioè
che
un
reali, anche
radici
le altre
due
con
sole radici
Così
f (x)
dove
è
p
ed ha
onde
il
È
sola radice
una
suo
facile
anche
grado primo
primo
dato
7.1 X''-'
l'osservare
-f
può
1) (./; 2)
il gruppo
pel
e
totale.
al
teorema
due
§. 60
immaginarie,
siffatte
di
equazioni
per
del
un'equazione
.
.
+
.
X
7.„_i
reali
-\-7.,»
un
grado
0
=
le altre
e
fare
h, essendo
"
-
.
h
.
a
che
subito
in
quantità
quanto
guisa che,
quantità
una
dall'
di
poco
reali, le altre due
risulta
.
due
ginarie,
imma-
reali
si vuole
la
.
abbastanza
abbastanza
regola
dei
le
in
e
s
in
colare
partivalore
piccola,restino
n-2
possiamo prendere,
segni
di
Cartesio
e
dal-
si ha
ad
esempio
/x-i)=p-i"o.
,
che
(«1 «2)
che
piccole s,
le radici
mantenendo
immaginarie '). Ora
applicare
0
=
le
n
2
—
radici
reali
di
f{x)=0
intervalli
guisa
interi
,
(./? (M-2)) (.r+ 1)
-
-
sempre
2) Suppongasi
di
:
totale.
radici
n-2
fm=-p"o
negli
2
-
0
=
infatti
+
7-2 *?"--
abbia
si sa, di tanto
come
radici
*) Ciò
p
è irriducibile
Si costruisca
i coefficienti
Aumentando
delle
n
il teorema
dunque
di Galois
—
l'esistenza
+
X"
=
(x
assoluto
ha
ed
e.
p.
si
px
—
dimostrare
coefficienti reali che
variano,
coefficienti
n
f(x)
con
-\-px^
è il gruppo
qualunque.
n
totale
Ne
grado
Galois
di
razionali.
con
n,
positiva,due negative ^)e quindi
gruppo
radici,
2
-
reali
coefficienti
a
gruppo
primo qualunque,
numero
un
ha per
5.°
Off
=
al gruppo
grado primo
immaginarie
reali
grado primo
reali. Si ha
sono
di
l'equazione di
e.
p.
due
irriducibile
Un'equazione
di
n
mente
quindi razional-
saranno
coefficienti
inferiore
di Galois
gruppo
radici
con
irriducibile
un'equazione
spostano queste
non
due
quelle n-2,
155
TOTALE
che
all'identità ; le altre
se
interi, ha
di G
sostituzioni
esprimibiliper
segue
GRUPPO
A
EQUAZIONI
sia
p.
/"KXO
.
(«2«3)
?
•
•
(««-2«"-1)
e.
,
/•(a,)"0
,
/-(a3)"0.../-(a,._,)"0
giacciano
156
CAPITOLO
V.
«1
«0
guisa
che
«i
divida «o
non
a^.
,
.
.
«2
.
.
rtn
.
divisibili per
siano
a„
sia «,. non
e
69
i coefficienti interi
in infiniti modi,
in
§§.68,
—
divisibile per p'
e
in
«1,
a,.
primo
numero
un
che i
guisa inoltre
che
p
rapporti
differiscano da
?}-«1 ^""^ -j-
«0 x"
§. 69.
Prendiamo
—
della
delle radici
(§.66)
0
^=
razionale
qualunque
del
formano
invariata
G, di Galois
gruppo
in G,
un
sottogruppo
; sia
questo sottogruppo che
che
%jg il valore
(Ti
^
=
S
"
yi, effettuata
assume
che
quantità
una
5
•
•
•
Ys)
entro
iji sulle
della tji. Essendo
g del
la sostituzione
x
si avrà
Va
H
'|'2
il sottogruppo numerico
diremo
di Galois, si vede
gruppo
sia
-\-a„
.
proposta. Quelle sostituzioni
i
e
.
funzione
una
?/i munericamente
lasciano
che
.
immaginarie.
radici
sole
due
.
,
l'equazione irriducibile
di h. Allora
rispettivamentemeno
avrà
«2.
ai
inferiore
=
yg'
assoluti
valori
di
f{a^) f{a^
,
.
,
.
f{an—^.
Posto
_
le
prendano
si
che
3
tutte
inferiori
avremo
+ («.•)"-^
!(«.)"-'
+
a
h, essendo
h
preso
in
guisa
la
h
+
•••
!
+
(«.•)
;=^^^^"H;
ancora
/'Kxo
se
assoluto
valore
sia
A
e
in
f{x)
=
0 avrà
è abbastanza
w—
,
2 radici
piccolo, avere
A«2)"o
reali
fra
le altre
,
i
na,)":o...
medesimi
due
radici
limiti.
reali.
Né
può
la
f{x)
=
0,
158
può
che
si
che
assume
costruire
razionalmeute
le sostituzioni
Se
si
del
ed
^ U\
=
radici i g valori distinti
per
di Galois
risulta che
costruiamo
se
due
razionale
prima radice
la
da G
numerico,
noi
esse
nel
della
proposta
riguardate
Galois; potremo
che
ad
F
abbia
si
sostituzione
G
essa
da
saranno
una
funzione
F
del
G
gruppo
delle radici
razionale
sottogruppo numerico.
per
=
sottogruppo
un
Pongasi infatti
7s)
(yi,Y2
vente
risol-
della
(r^-v.^^){r-vg...(r.-v.^j,
y
di razionalità. Per
qualunque nel campo
un'indeterminata
^r di
(§.63),
prenda
2/i=
[j è
dell'altra e,
V^ le radici del primo fattore irriducibile
con
di Galois
ove
arbitrio
costruire
sempre
F
indicando
due
con
identiche.
come
sia dato
della proposta
e
di Galois
Ne
sottogruppo
l'una
Tschirnhaus
particolaredella risolvente
caso
Inversamente
di
di
(§.66)
nota.
il medesimo
che abbiano
trasformate
saranno
F
a
razionalmente
risolventi
diverse
della
yi
delle radici della proposta,
^i
stesso, sarà
razionali delle radici iji z^
risolvente della proposta.
una
,
come
(a)
x.)
.
.
la proposta scende
per
sia F
numerico
il cui sottogruppo
X2.
di razionalità
campo
però qualunque altra funzione
funzioni
ha
di Galois, dicesi
gruppo
aggiunge al
risolvente, il gruppo
e
§. 69
—
la
^1
per
V.
CAPITOLO
di F
la ijy rimane
invariata; per
un'altra
lunque
qua-
zione
sostitu-
diventa
^.-=(P-V-^^^)(P-V.^^^)...(P-V.^^^).
particolarivalori di
Evitando
il sottogruppo
Così:
classe di
radici
di yi sia
numerico
risolventi della
primitiva
Tschirnhaus
V
Si osservi
una
a
ottenere
che
precisamente F.
di Galois
gruppo
proposta costruite
corrisponde una
funzioni razionali
con
sottogrupponumerico
F, che
sono
delle
trasformate di
delV altra.
poi che, essendo
numerico
quindi sempre
potremo
ogni sottogruppo V del
Ad
della
p,
F
di y,j, essendo
il sottogruppo
g
una
numerico
togruppo
di yi, il sot-
qualunque sostituzione
di G,
DELLA
GRUPPO
sarà
precisamente il gruppo
159
RISOLVENTE
Y'
trasformato
g~^T
=
infatti da
E
g.
segue
indi
I
sottogruppi numerici
affini fra
loro
nel
delle varie
§. 70.
Galois
è
la risolvente
già visto che
sulle radici
due
a
risolvere
(7)
'f {y)
=
sottogruppi affini di G
questione: Quale è il gruppo
la
di
?
0
sostituzioni
le
del
di Galois
gruppo
inducono
(a) della risolvente
y.
y,,
•
•
\
•
precisamente le sostituzioni del gruppo
dimostriamo
La
quindi
sono
risolvente.
È importante
—
per
Si
Viceversa
gruppo.
corrisponde la medesima
radici della risolvente
facilmente
complementare
=
ed
-p-
ora
il teorema:
risolvente 'f{y)
0, costruita
=
con
funzione ragionale
una
delle
yi
V, ha precisamenteper gruppo
proposta a sottogrupponumerico
radici della
H
C
di Galois
complementare H
il gruppo
infatti
G
della proposta
razionale
funzione
una
del gruppo
-pr
F.
rispettoal sottogruppo numerico
E
=
^{y^yg ---yg)
della risolvente,è altresì
delle radici
della
("/i^^
,
in
delle
radici
proposta
U
e
razionale
funzione
una
questa relazione
gi'uppo
di Galois.
Ora
sostituzione
rimane
numericamente
H
h
è
.
.
?/^)
.
lecito
una
g,
F
(a^i ^2
,
eseguita sulla
di H.
per
=
.
.
.
Xn)
sostituzione
eseguire qualunque
Quindi,
invariata
invariata
numericamente
Dunque
è
,
per
tutte
precisamente il gruppo
se
U
tutte
le
h,
x,
induce
le ìi e viceversa, se
essa
di Galois
è
spondente
la corri-
sulle y
è razionalmente
del
g
nota,
U
razionalmente
della risolvente
essa
rimane
nota.
(§.65).
160
CAPITOLO
H
Evidentemente
Supponiamo
cioè
di
del
abbassato
di G
comuni
1
caso
risoluta
r
Allora
la
proposta
§,71.
della
si noti
ma
risolvente
le
comodità
Così
radici
n
cui
ora
una
p.
orizzontali
funzione
le
con
della
che
f{x)
in tal
(§.17).
In
è
'f(?/)0
=
gruppi G, H
i
ogni
semplice, S è
gruppo
caso
stituzioni
so-
alle sostituzioni
ovvero
risolvente
=
s
si
0
anche
della
isomorfi.
di Galois.
radici, talché
n
=
rs,
miniamo
Esa-
gruppo
a
ripartisconoin
nel
al posto che
primitivo
im-
sistemi
r
di
distinguiamo
^1
la radice.
XyS
^ÌS
CCfY OCr%
Xfs
rappresentano
vi occupa
quadro
X^\ Xz2
Prendiamo
d' imprimitività.
i sistemi
simmetrica
razionale
un
quelle
a
doppio indice di cui il primo si riferisce
un
radici
n
delle radici della
tale
prima orizzon-
e.
Vi
essendo
risolvente, cioè
intransitività del gruppo
0
di
^11
le
si troverà
di
(§.67) quali proprietà della equazione
ciascuno
le radici
distribuiamo
Galois
quando G è
d' imprimitività,il secondo
al sistema
G
gruppo
proprietà di un'equazione
le
sono
contenenti
imprimitività,
per
ottenuto
oloedricamente
sono
esaminato
quali
Se
suo
della
risoluzione
colla
corrispondono alla transitività
ora
avremo
sottogruppi affini in G
in G, talché,
Abbiamo
—
radice
tutti i
a
e
pi-oposta;
e
proposta? Il
vantaggio
Quale
corrispondono all'identità in H,
che
è invariante
l'identità.
=
irriducibili.
sempre
radici.
sue
di ciascuna
a
r^{y) 0,
quel sottogruppo S che lascia singolarmente invariato
a
numerico
il valor
ciò: le risolventi
per
=
le
della
(§.66)
sono
e
71
completamente risoluta la risolvente 9 (j/) 0,
avere
tutte
conoscere
la risoluzione
per
§. 69,
di
ora
§§.70,
—
transitivo
è sempre
costruite nel modo
V.
p
I valori
una
(p OCn)(p X,^
=
arbitrariamente
costante
numericamente
(p 3Cis)
-
-
distinti
-
•
.
.
,
scelta
che
assumerà
yi
'.
,
nel
campo
saranno
"
valori
yi
=
(p Xii)(p Xi^
-
-
(p Xi^
-
.
(i=l,2,...r)
.
.
di razionalità.
al
più gli r
EQUAZIONI
noi
e
distinti ciò che
di valori
p scelta
appunto
supporremo
p. Costruiamo
per
G
=
lascia fermo
[x Xn) {x x,2)...{x- !•,,)
le
dove
primitivo di
campo
razionalità.
dell'antico
sostituzione
G
da
di razionalità
si ha
sui
sistemi
di
la radice y^ della
che
quel sottogruppo
a
il fattore
però
cioè
+
x''- +
(y^)
a,
.
-^
.
««
(^i)
,
coefficienti
appartenenti
Eseguendo
sull'identità
precedente
in yi
G
gruppo
,
con
intere
razionali
sono
a
finito
numero
un
siano
o
=
indotto
X'-'
7.1 (y,)
+
X'
=
-
-
^y-V')
•
d' imprimitivitàe
sistema
primo
valori
questi r
al solito
si abbassa
della proposta
separato razionalmente;
viene
ne
il
•
al campo
Se aggiungiamo
imprimitività.
"p itj) 0, il gruppo
•
H
il gruppo
(§.70)
sarà
che
la risolvente
ora
(.u-Vi)ky-y-^
'f iy)=
il cui gruppo
guisa
in
possibile,evitando
è sempre
l6l
IMPRIMITIVO
GRUPPO
A
di Galois, che
porti il
al
una
1." sistema
di
imprimitivitàneiri'"°,avremo:'
{x
...{x- Xis)
Xi^ (.^ :/?,,)
-
i=
Abbiamo
'n jx^
=
possiamo
enunciare
+
=
le due
f +
=
IX'
+
gruppo
Osserviamo
sistemi
a,
f{x)
a
Ci
a,
x^~' +
(y/,)
.
\
-h «. (yò
.
eliminando
si ottiene
impnmitivo,
gruppo
f-' +
y
0
^2
f~- 4-
c-s {y)x'-' -f
che
.
.
.
.
.
.
?^-c._i y-\-Cr
+
a,,
ogni equazione
(t/)
=
0
0
=
.
in questo modo
ottenuta
imprimitivo.
infine che, risoluta
d' imprimitività,i
=
.^--'+
(2/,)
{y)x"-' 4-
(X
di
a,
è facile vedere
Viceversa
un
1, 2, 3..r.
equazioni
(? {y)
ha
-j-a^ {y,)
.
il resultato:
L'equazione f (x) 0,
fra
.
quindi
/?[x)
e
x''' +
x'-^ -j-a, (y^)
(ì/,)
ar' -f «i
=
-
hanno
-
singolifattori
Xii){X
gruppi
la risolvente
-
Xi^)
di Galois
.
=
0
che
scinde
i
irriducibili
.{X~ Xis)
=
.
(ì/)
z
0
simili fra loro. E
infatti se
F
è il
162
Y.
CAPITOLO
sottogruppo di G
lascia fermo
che
fermo
i"*"
questo
sistema, ossia
72
il 1.° sistema, g
sarà g"^ V
nell'i'"",
porta questo sistema
che
§§.71,
—
g^^ Y
sarà
sostituzione
una
il sottogruppo che lascia
g
il gruppo
g
di G
di Galois
per
l'equazione
{X
Arriviamo
§.72.
—
a
ricercare
cioè
Xi^ {x
-
della
corrispondentiproprietà
brevità
che il suo
razionalità)secondo
Dimostriamo
di
risoluzione
risoluzione
G
Gì
con
il
§. 69,
delle radici
e
con
il cui
esprimerci
equazione. Per
di Galois
gruppo
è
si rifletta in
maggior
con
dato
semplice
di
campo
composto.
o
della proposta e,
sottogruppo
suo
funzione
una
grado
e^
invariante
massimo.
il gruppo
Prendiamo,
razionale
Xn)
sia
precisamente
corrispondente risolvente
eguaglierà l'indice
(§.70)
sarà
la
costruiamo
essa
supponendolo composto,
proposta il cui sottogruppo numerico
della
sostituirsi la
può
equazioni ausiliarie semplici.
di Galois
un
0
=
yi=^{XiXi...
Gì
teorie di Galois,
di Galois
gruppo
un'equasìone com,posta f {x)
di
il gruppo
indichiamo
secondo
più importante delle
l'importante teorema:
successiva
Sia
.
semplice o composta un'equazione (in un
diremo
Alla
.
coniposìsionedel
la
0
=
.
alla parte
ora
come
Xii) .{X- Xig)
-
di Gì in G. Il gruppo
di questa
vente
risol-
fattoriale
^
tr
_
che
è
un
semplice (§.21). Il
gruppo
della risolvente
semplicemente
lascia ferma
un
ordine
transitivo
radice.
una
è razionalmente
e (1
ha
e
Ne
=
0
è
Hi transitivo sulle
precisamente eguale
segue
una
che
ad
Cj; esso
sostituzione, tranne
sua
nessuna
esprimibileper
(g)
gruppo
qualunque
radice
un'equazionenormale.
radice
Ci radici
è
quindi
l'identità,
di 'f«i
(y)
fìssa arbitraria,cioè
=
:
0
la risolvente
EQUAZIONI
Se
risoluta
supponiamo
per
il che
basterà
sua
radice, il gruppo
Partendo
è Gì
,
ora
della proposta
nuovo
da
G
al sottogruppo
una
riante
inva-
sottogruppo invariante
un
di
Gg in Gì
massimo
composizione; costruiremo
,
f(.jc)0
=
e
nel medesimo
sia
Co
modo
risolvente
nuova
(^)
sarà
un'equazione normale
0
=
rf2
che
scende
di razionalità
di razionalità in cui il gruppo
campo
il corrispondentefattore di
una
aggiungere al campo
ed
.
dal
prendiamo
la risolvente
conoscere
Gì
massimo
163
COMPOSTE
,
semplice, il cui gruppo
coinciderà
col
C
gruppo
fattoriale
-^
risoluzione
La
di 'ffj
.
(^)
cioè
0
=
la
conoscenza
,
Ga
di
una
radice, abbassa
sua
continuando, arriviamo
il gruppo
alF
della
proposta da
Gì
G^. Così
a
importante risultato:
Se r equazione proposta
f{x)
ha
0
=
di Galois
gruppo
per
un
gruppo
composto G, di cui sia
G
,
^1
la
sua
risoluzione si riduce
a
"p.i(y)=
i cui
gradi coincidono
gruppi
In
e
sono
i
a
di HòLDER
fattoriali
ausiliarie
G2
,
63 ,
.
1
.
,
.
0, 9.2 („-)
=
coi
Cv
.
,
0
.
.
.
'fr,
(0
=
0,
rispettivi
fattoridi composizione e
si riduca
quelle di successive
suir invariabilità
i loro
.
quelladi successive risolventi normali semplici
così la risoluzione
risolventi
dei
(§§. 19, 21) ci dimostrano
e
Gv
.
i
denti
corrispon-
gruppi fattorialidi G.
qualunque modo
composta
,
composizione^coi fattoridi composiùone
serie di
ima
Gì
gruppi di Galois
un'equazione
semplici,i teoremi
fattori di
che
di
composizione
e
di Jordan
dei
gruppi
gli ordini di queste equazioni
rimangono sempre
gli stessi,
164
CAPITOLO
VI.
Capitolo
Equazioni
Abeliane.
Risolventi
di
di risolubilità
—
Andiamo
classe
ogni equazione
un
ciò il
per
equazioni che
di
di Galois
le cui sostituzioni
siano
—
Equazioni
un
Chiamiamo
a
due
e
Ab eliana
Abeliano
gruppo
due
considerò
(§.30),
permutabili.
l'equazione Abeliana
f{x)
si scinde
riducibile,essa
E
sia
Abel
primo
per
equazioniAheliane.
di
nome
radicali.
—
generalifin qui esposte
teorie
applicare le
il cui gruppo
gruppo
Se
ad
ora
per
n.
Lagrange.
di
—
che portano
è
di un'equazione
generale di g-rado
di
un'importante
cioè
VI.
grado " n dell' equazione
Risolvente
grado primo risolubili.
§. 73.
ad
Coudizioni
—
§.73
—
infatti
se
le
n
nel
prodotto
si dividono
radici
\X\ OC2
.
sostituzione
sostituzioni
del
da
prese
in
.
.
r
r
sarà
G
di transitività
il
prodotto
di altrettante
transitivi
Abeliani
gruppi
sistemi
più
ducibili.
irri-
Xic\
Abeliano
gruppo
più equazioni Abeliane
di
'^i\
...
[^,4.1
ciascuna
0
=
r
..
sulle radici di ciascun
sistema
=
eguagliati a
zero
i
{x- x^
/; {x)
/2 (^)
e
.
•
irriducibili di
.
.{X- Xi)
'
•
~
~
daranno
(x-Xi)
^i+l){.^ ^«+2)
\p^
^^
corrispondentifattori
(X
~
Xk)
equazioni Abeliane
altrettante
f {x):
coi
gruppi
parziali
r
r' r"
di
Ora, supposta l'equazioneAbeliana
/•(*-)
=
facilmente
irriducibile,
vediamo
che
il
grado
n
o
suo
gruppo
transitivo G
è
pre-
166
CAPITOLO
transitivo
il gruppo
con
G
Qi la sostituzione
(1)
Xi
indicando
con
sarà
che
porta
in Xi.
0
=
e
n
x^
e.{x,)
—
§§.73, 74
—
d'ordine
la radice
Xr
TI.
Xk
,
potremo,
come
Si abbia
ora
e^.{x,)
0 ;
=
—
sopra, indicare
in cui Xi è portata da
"/,f/A-, con
quella in
Xs
cui è portata
ed operando sulle due relazioni (1)rispettivamente
dagicf/i
con
dedurremo
f/k, (ji ne
Xr
quindi, per
0.(Ba{Xy))
=
,
permutabilità supposta delle operazioni 6
la
tA/j*
Dunque
8t (9i(^i)
)
Xs=
,
r/, (jk
fjk f/i
,
portando
^
^^S
5
x^
nella medesima
'
•
radice x,-
tiche
iden-
sono
:
f/iUk
ed
§. 74.
Abeliano,
è in conseguenza
il gruppo
Se
—
d. d.
e.
applichiamo il risultato finale del §. 72 ad un'equazione
composta, vediamo
Abeliana
"Jk fji
=
subito
che
le
successive
anch'esse
saranno
semplici (risolventi)
Abeliane
ed
gradi, eguagliando i fattori di composizione del gruppo,
primi (§.30). Alla
numeri
di
grado composto
altrettante
irriducibile
noi
pi
'?u
si
Pr-
di
tanti
altret-
saranno
può quindi sostituire quella di
precisamente di
e
a^
ecc.
p-i
di
tale
una
sostituzione
una
generalizziamo la ricerca considerando
di
i loro
un'equazione Abeliana
grado primo
grado
potenze di
di
grado qualsiasin
sostituzione
una
o
che
di
,
?
grado primo II gruppo
di
Abeliana
potenze
?
inoltre
dunque occuparsi della risoluzione di un'equazione Abeliana
delle p
ma
?
equazioni Abeliane
equazioni di grado
Basterà
n=2)i^p2^
di
risoluzione
liarie
equazioni ausi-
ciclica sulle
—
(5/QXi X2
qui prendiamo per comodità
•
gruppo
di
consti
dentement
evi-
radici;
zione
un'equadelle
n
radici
X,i_i) ,
.
cogli indici
0, 1, 2,
...n
presi (mod J?) e riguardiamo quindi
,
.
n
consta
ciclica sulle p
la risoluzione
il cui
ma
equazione
—
Xr-Xs
1
quando
r^s
(mod n). In
ABELIANE
EQUAZIONI
altre
parole noi ci occupiamo qui della risoluzione
di
base
di
abbia
gruppo
una
Abeliano
che, rappresentandoil gruppo
chiaro
liana
il cui
irriducibile
liana
È
167
CICLICO
GRUPPO
A
qualunque per
al modo
G
ed
§. 33,
del
[5^1
5^2
=
•
di
mezzo
•
•
appunto
successive
equazioni Abeliane
dunque la
Consideriamo
f (x)
X^'
=
il cui gruppo
••
a
termine.
un'equazione Abe-
•
ai
§. 72
gruppi
l9i'-.g,]
=
ciclico,di
gruppo
??{CCi X"~'- -j-«2 ^"~^ +
.
.
.
quella di
a
gradi
Wi
.
n-i ,
,
«3
•
•
•
Abeliana
equazione
nostra
.
.
,
dall'equazione Abeliana
la risoluzione
ridurremo
del
processo
[5^2/73 gr] G2
=
,
solo
un
base
una
applicandoil
9r] Gì
di
un'equazione Abe-
+
X
Un-i
-\-an'=0
,
è
G
=
(l, S, S-...S"-')
con
[Xq Xi X2
Q
^w
...
1/
•
Sia
Xi
8
essendo
una
funzione
e
le
(Xo)
,
intera
razionale
precedente la S
relazione
d
=
di
potenze
sue
grado "
Applicando alla
n.
ponendo per
e
brevità
troviamo
^1
Le
un
9
=
unico
X2
della
equazione Abeliana
,
radici
0'^(^0)
(^0)
=
periodo. Viceversa
Abeliana
•
.
,
•
^«-1
si vede
9""^
=
i^o)
,
formano
subito
=
S"
in tal caso,
che
se
formano, convenientemente
irriducibile
^0
(xo)
.
si dice,
come
le radici di
zione
un'equa-
ordinate, un
unico
periodo
e
xo
il gruppo
(xo)
e^
(xo)
.
,
dell'equazionesarà il gruppo
S
Indicando
al campo
,
con
s
=
0"-^
.
.
(^0)
,
ciclico
generato dalla sostituzione
(^o,0(^o),0M^o)...0"~^(^o)).
una
di razionalità
radice
ove
«'""
già
non
qualsiasidell' unità, che aggiungiamo
vi
liguri,consideriamo
la funzione
168
CAPITOLO
delle radici della
razionale
?/i
la
per
Se
iCo T
=
onde
che
segue
^1
=
la
+
di razionalità
Ora
^2
e
e
£'
•
•
="
~r
•
nelle
S
+
^3
^M—
1
j
•
•
radici
del
gruppo
+
£"~' ^0
•
della
di
chiamo
proposta appli-
Galois, otteniamo
£~^ 2/i
=
,
potenza
S
applicandovila
invariata
per
ad
diamo
+
n""^
sua
è razionalmente
però essa
I
i/i razionale
e
numericamente
rimane
^2
s
"r
fondamentale
la sostituzione
ys
^1
la notazione
questa funzione
a
§.74
—
proposta
£
quale adottiamo
VI.
esprimibile
per
le
e
potenze
sue
e
quantitàprimitivedel campo
le
s.
il
di
significato
una
radice
immitiva
w""* dell'unità
poniamo
e
(e-,a:o)"-:B,.;
(2)
queste quantità B,
otterranno
(1
estraendo
+
note
+
=
,
X^)
Xq-^-.Xi
-\-Z^ Xi
-{-...+ £"~^
,
X,)
x,-\- ^' x,
-^ ^' x,
+
{e-'
X,)
^0
=
,
=
,
sommando,
=
+
«1
£'• +
+
.
che
£^'-+
per
.
.
.
r
+
^0
.
.
•
•
+ £"^^ ^i + £'"'-"^2 +
coll'osservare
1
^2
x^
però le (s'',
si
equazioni lineari
n
+
e
^0
\ (e^
(4)
w'"". Dalle
radice
una
razionalmente
O^o)
(s
(3)
tutte
saranno
.
.
-^n-i
=
«1
—
=
+
s'"'"^'
^n-i
=
•
+
£'""'" ^n-i
=
.
V^i
^B,
Vb;^
(mod n) si ha
'^^
£"'-^"'=
=
0,
risulta
-
...
[A)
^
Xo
ai
+ Vbx
+Vb;
+
.
.
.
+
Vb;^,
_
—
,
^
la
quale formola
ci fa
conoscere
con
estrazione
di radicali la
prima
ra-
RISOLUZIONE
anche
dalle
equazioni lineari
razionalmente
.
.
da
.ro, ma
si calcolano
(3).Moltiplicandole ordinatamente
stesse
coll'osservare
1, €~\ e~^'", =-("-'"'?,
per
169
ABELIANE
EQUAZIONI
dedursi
altre possono
Le
dice Xq.
DELLE
la
(4),si
.
ha
n
r
Ciascuno
radicali
degli n-\
è suscettibile
basterà
radicali
di
dare
n
al
2
che
diverse
1
—
.
Per
—
primo radicale
i suoi
che,
significato
(s'-,
X,)
=
Applicando la sostituzione
e
streremo,
dimo-
della
forinola
(A),
(2),ha per noi
.
S la funzione
fondamentale
visto, per £~^
abbiamo
come
ora
pel primo.
la forinola
secondo
come
valori,i rimanenti
n
compiere la richiesta modificazione
risalire al
forinola di risoluzione
figuranoin questa
determinazioni; ma,
Vb;.
il
...w
potendosi esprimere razionalmente
§. 75.
basta
0, 1,
=
similmente
la
tiplica,
(e,x^ si mol-
(s*",
x^ per e*",onde
prodotto
=Vb:.(VBO"-'(-:'?,
(-:,
.ro)"-''
:ro)
è razionalmente
Poniamo
noto.
dunque
Vb;.(Vbo"-'=
essendo
quantità razionalmente
e,- una
Supponendo
che
dunque
cr
nota
,
(nel campo
ampliato
sia
Vb,
=
(e,X,)4:0
,
avremo
VB,.=|-(VB;r
e
la forinola
(B)
X,
(A) di risoluzione
=
-
1
-
a, +
Vb;
+
prenderà la
+
nuova
forma
^^(Vbo^ 1 (VB:f
-t-
f;^(VB,)"-^
,
+
con
s).
170
VI.
CAPITOLO
nella
quale dando
vede,
tutte
le
VBi
a
valori
n
forinola
della
si è avvertito, che
della
il
ove
può
che
tale che
come
suppone,
sopra
presentisi potrebbe ricorrere
e
dovuto
conveniente
un
scegliersi
migliore
modo
a
fattore
un
p
alla
equazioni di grado primo,
può presentarsi^).In
non
procedimentoseguente
sempre
(B)
successive
a
primitiva n"'"' dell'unità
radice
vedere
si
equazione Abeliana
la difficoltà col
una
eccezionale
caso
eccezionale
caso
si
0.
=
riduzione
subito
come
sia
non
questo
nella
(A)
(s,x^)
Quando
si otterranno,
radici.
n
trasformazione
La
i suoi
§.75
—
^)
Weber
si elimina
Essendo
s
.
di m, è facile
primo
esponente
À
^
0
(mod p)
sia
Si ha
infatti
"=o
da
cui
Ponendo
n
=
in
si avrà
pq
particolare
),=o
X
^
0
(mod p)
1) Per
se
fosse
n
e
primo
le
potenze
s''
=
,
(A*)
si annullasse
di
s
con
?-
^
0
sempre
(mod n)
sempre
(s-- cco)
la
si annulla
-
darebbe
2) Algebra.—
per
Bd.
ogni
radice
I, pag.
tutte
le volte che
,
il secondo
se
£"~^'^ 1
il
il segno
primo fattore,sotto
il
0
r
il valore
547.
=
l,2,...n-l
razionale
—
.
sono
quando
tutte
X
^
primitive
0
e
RISOLUZIONE
(mocl p)
seguirebbe
ne
eguali ciò
Ciò
che
DELLE
è assurdo
la proposta
e
x^^x^
irriducibile
nei
n
fattori
suoi
n=^l«l |"/^2 .^/'
.
poniamo
inoltre
n
in
guisa che
Le
0
«2
?
,
le osservazioni
(mod Pi) Xa ^
=
superiori,gli esponenti
•
•
•
Xr ^
^'
ora
razionalmente
razionale
con
.
Yi" T2,
se
•
•
•
"
.
.
razionalmente
sono
dicandon
note; in-
avremo
razionalmente
precedenti radicali.
pUy
qualunque quantità
una
Si osservi per ciò che la funzione
radici
la sostituzione
determiniamo
(XiWi +
^) Questa
(mod p,)
p^/.y
esprimere
per i
delle
acquista per
0
sia
j/y-i
mai
.
(mod ^2)
0
,
i valori
onde,
•
.
,
(s'^s,
a?o)"quantità {éux^""^^'^
facile
sia
e
n
n,-
=
,
È
primi
;
.
n
—
scegliamo, secondo
Xi ^
radici
brevità
per
ìli =
e
avrebbe
^).
decompongasi
premesso,
171
ABELIANE
EQUAZIONI
v
in
X, 11-2+
considerazione
presentarsi quando
ìt
•
di
è
la
il fattore
S
guisa
•
•
che
sia
+ X,-n,) V
Weber
potenza
^
dimostra
di
un
(mod n)
s
—
che
mimerò
il
caso
,
eccezionale
primo.
non
può
172
la
VI.
CAPITOLO
razionalmente
sarà
Zs
La
nota.
§§.75,
—
76
superiore è
congruenza
vibile
risol-
sempre
perchè
À2 «
Al ih +
è
primo
con
Avremo
n.
2
+
•
-f-^"'^r
•
•
dunque:
V'77 Vv^... V'^/
Sostituendo
questi
di risoluzione
i loro
quindi
diversi, si
enunciare
si
può
—
abbiamo
poi
a
di razionalità
la risoluzione
del gruppo
G
ciò, secondo
per
e
Consideriamo
Gì
=
i
.
.
•
,
g,] Gz
,
il
n-z , '^h
anche
diremo
sottogruppi di
[^2(/3
radici
si risolve aggiungendo
ed
Abeliana
a
qualsiasi
ciclico
gruppo
saranno
da
convenientemente
la
porteranno V
non
§. 33,
estrarsi
una
per
formola
uno
sul-
base
siano
sostituzioni
periodirispettividelle
che
Possiamo
radicali.
separati cioè
saranno
di Galois
Abeliano
n
equazioni Abeliane
che, ordinando
Ih
gruppo
le radici.
un'equazione
è risolubile per
dimostrare
Valtro. Determiniamo
(A)
generale:
di risoluzione,i radicali
i
di
successive
quella di
il teorema
e
formola
primitiva n'""' dell'unità
possiamo precisare di più quali radicali
la risoluzione
1) nella
-
n.
Ogni equazione Abeliana
Ma
.«
tutte
radice
una
Siccome
a
.
ciclico sulle
gruppo
d'indice
ridurre
.
finale col teorema:
radicale
un
1, 2
=
nuovamente
il risultato
al campo
§. 7G.
VB. (s
avranno
JJyCequazione Aheìiana
estraendo
di
ai radicali
dando
e
valori
valori
=
'
'
-
'^•
generatrici,cioè gli invarianti
del
gli invarianti delVequazioneAheìiana.
G
[gìr/3
•
.
•
g,]
.
.
.
G,
=
[^,gz... ^,-i]
174
CAPÌTOLO
cezionale
(§.75)
risultato
per
(come accade
ciò che
certamente
reali. Allora
VBi
le due
(3,;ro)
yJKZx
=
coniugate. Ma
saranno
quindi
grado
reali
lia
una
coefficienti reali di questa,
+
a^i
£
+
r
^2
.
.
reale
saranno
+ i"-' Xn^i
.
+ =~' ^2 +
radici
delle
una
se
+
della
.
•
.
-f s~""~"^«-i
equazione è immaginaria,
che V
di queste quantità
una
eguale alla coniugata dell'altra cangiata di segno.
è
radice
a
le altre,allora dimostriamo
tutte
quelle del ^. citato ^).
a
dell'equazioneè dispari) tutte
n
^0 -+?^~' ^1
(£-\xo)
=
analoghe
simo
giungerebbe al mede-
quantità
a^o
=
=
il
se
si
Tequazione Abeliana
se
funzioni
le altre radici, come
pure
considerazioni
mediante
Osserviamo
§.77
—
presenti; in tcal caso
si
non
V.
supponiamo che la coniugata di
x.^
x^
E
invero
se
sia x,;, da
0^''(Xo)
=
segue
e
però
di Xk
x., ha
coniugata x.,j^j^.Facendo
per
v
=
sarà
/ì;,
Xzk
coniugata
indi
X2k
Xq
^^=^
onde
k--
Ora
abbiamo
(s Xq)
^
—
,
percorrendo r
è
sistema
un
^
?^'''
completo di resti (mod n) e la coniugata di (s,a:o)
dunque
2
B
"^
X.
»?+-
VI
Ponendo
r
di resti
+
=
-
p ed osservando
che p percorre
Weber.
r
un
sistema
(mod n), la quantità precedente può scriversi
2^--+v
1) Cf.
con
—
Bd.
I,p.
548.
2
Xr
pleto
com-
ABELIANE
EQUAZIONI
a
e
di
causa
b
^
p
ciò che
La
che
UN
CAMPO
175
REALE
si ha
-1
=
IN
p
la nostra
dimostra
asserzione.
quantità
è razionahuente
(§.75),
nota
positiva 0 negativa secondo
Se
poniamo
la
che
è
reale
adunque
l'equazione ha
le radici reali od immaginarie.
quantità razionalmente
Bi
sarà, per quanto sopra
(cos co
p
=
abbiamo
B„_i
+
più precisamente
e
Bi
nota
i sen
co)
i sen
co)
la forma
sotto
visto,
rj
=
(cosco
-
,
indi
avendo
e
indicato
con
il valore
e
assoluto
di Cn-i.
Ne
deduciamo
quindi
^
.T^
La
e
stessa,
razionalmente
sono
+
cos
le altre e, che
come
sen
^
—
figurano nella formola
(B) di
esprimibiliper
2z
2ti
.
,
s
^
.
yc
=
co4-2r;:
co+2r;r
,
,
\Bi
cos
=
h
^ sen
—
,
n
onde
alla
(B) si potrà dare
(
1
^0
=
-
ni
1
«1
—
+\
la forma
f
r
co
+ 2r-
/
,
,
...
^
S)
+
—
cos
\
2((o+2y;r)
.
i sen
-
n
n
3(co+ 2r7r)
rf
(a +? p) \/c
-^
.
+
n
,
J
n
+
\
+ 2r;r\
i sen
n
2(ctì+2r7r)
^
cos
co
.
cos
\'c
\
+, (a +
f,,.rjs
n
i sen
3(co+2r7r)\
^
-^
,
-\.
ni
+
luzione,
riso-
176
CAPITOLO
VI.
§§.77,
—
78
2-
essendo
S, a'. "'
e, 7,
.
,
in
quantità razionali
.
cos
2sen
—
Possiamo
—
.
,
un
quindi enunciare
Per
il risultato
risolvere in
ciclica dì
grado
un
circonferenzain
la
2.* dividere
un
3.* estrarre
la radice
angolo
che, se
solo
della
uso
§. 78.
un'
e
riga
del
che
di
della
per
ora
r accennata
Se p
Gauss, che
a
per
circonferenza
primo
ad
ci limiteremo
le costruzioni
cioè
col
alle
in
un
quali conduce
il problema
qualunque di
numero
di
quanto è necessario
esporre
di
queste equazioni,
la risolubilità per radicali ;
dimostrò
ne
radicali
conoscere
per
ricerca.
è
un
primo, T equazione
numero
radici
\q p-l
.
?^
r.27c
+
cos
?=
-f a^ -f-1
2,
r=l,
di questa
alla iscrizione
nel
cerchio
determiniamo,
nel
campo
questa equazione. A
tale
0
.
i sen
p
la risoluzione
=
r.27r
,
'•
.
primitive delP unità
radici
e
e
2, tutte
più da vicino quella prima
consideriamo
.
ha
del
più tardi (Gap.VII) la teoria
parti eguali.Esporremo
dovuta
quantità e.
risolubilità per
più semplice classe di equazioni Abeliane
divisione
parti eguali;
eseguibilielementarmente
sono
le condizioni
equazione è necessario
della
ma
esatta
potenza
una
n
compasso.
ricercare
Per
—
e
può costruire,in
quadrata da un'unica
è
n
parti eguali;
n
che si
w,
indicate
geometriche qui
reale un''equazioneAheliana
eseguirele operazioniseguenti:
1.^ dividere
Si osserverà
geometrica:
di razionalità
campo
basta
n
forma
sotto
p
3...i"
—
1,
equazione equivale appunto geometricamente
poligono regolare di
del
assoluto
di
.
.
.
+
lati.
il gruppo
razionalità,
oggetto cominciamo
L'equazione:x''~^ + jc''~^+
p
ic
-f 1
=
dal dimostrare
0 alle radici
Importa che
di Galois
per
il teorema
primitivep""^del-
Vtinità è irriducibile.
Ciò
segue
facilmente
(Eisenstein).
dal
teorema
dimostrato
al
:
principiodel §. 60
-1
xP
lERIDUCIBILITÀ
EQUAZIONE
DELLA
infatti
Posto
x
la nostra
y+l,
=
(y+iy
0
=
—
177
l
X-
diventa
equazione
l
—
0,
=
y
ossia
J^
^"^
/- ArpyP-'-+
tutti i
ed avendo
Ora
se
in
radice
una
g
esprimibilirazionalmente
sono
formino
guisa che
e
distinte fra loro
ciascuna
Per
di
esse
perchè
e
e
,
.
si ha
.
.
e
T ultimo =^9,
equazione
è il gruppo
a; inoltre
siamo
pos-
infatti
periodo.Indicando
radici
s' solo
s''=
§. 74,
visto al
per
-
è la potenza (7'""della
quanto abbiamo
della nostra
unico
un
primitiva(mod p), le p-\
e,
sono
0
_
poniamo
ordinarle
con
4-^
.
irriducibile.
le altre radici
tutte
.
.
il primo, divisibili per 2?
coefficienti,
dopo
è certamente
essa
yP-^+
quando
(mod p),
s
precedente, mentre
risulta che
ciclico
r e^
il gruppo
di
Galois
Tp_i generato dalle^-1
tenze
po-
della sostituzione
S
(3,£^ £•'/' £-^^~')
=
.
L'attuale
p-l
equazione Abeliana
nei suoi fattori
applichiamo le
.
.
composta
e
se
decomponiamo
il grado
primi, sia
1
P
ed
è
.
=
osservazioni
2
al
^1^ |"2
•
•
•
Pr
1
principiodel §. 74,
abbiamo
il teorema
seguente :
Per
trovare
la radice
£
primitiva p'"" dell'unità
=
cos
h
P
^ sen
—
,
P
12
178
CAPITOLO
essendo
basta
primo
numero
un
p
S2
,
.
,
.
e,-
.
ordini
rispettivi
-'-Pr,
Pl,P2,
indi
estrarre
§. 79.
radici
a
ottenuti
quadrate, a.^
le ricerche
Dopo
—
riprendiamo la
della
trattazione
al
teoria
riduzione
sulla
§. 72,
delle
equazioni
della
proposta.
quella
ora
da
può
un'equazione
fondamentale
Se
di esaminare
ottenersi
ad
un
se
per
è stata
completare
ecc.
al
modo
di Galois
per
del
di
campo
per
fu
come
di
razionalità
generale,
una
zione
equa-
le radici
ciò il seguente
completato
cessive
suc-
delle risolventi
alla teoria
gruppo
a
da
di
teorema
^):
Holder
equazione
una
sottogruppo Gì
tati,
i risul-
adoperando
ottenuta
elevarsi
l'abbassamento
nel
suo
d' indice p^
a^
,
un'equazione composta
risolversi,per
f(x)
si riduce
di
Stabiliremo
qualsiasi.
di Jordan,
G
generale
riduzione
aggiungendo
ausiliaria
il gruppo
d' indice pi
semplicispecialie precisamente
ausiliarie
prima questione
La
radicali
§§.precedenti sulle equazioni Abeliane,
dei
equazioni semplici.Tale
è
79
e
Si
dei
§§.78,
—
primitive dell'unità
ìe radici
conoscere
VI.
0
=
Vaggiunta di
per
tutte le radici
di
un'equazioneausiliaria
'f (y)=
viceversa
della
primitiva, ad
come
Ti invariante
saranno
identici
*) Jordan.
Bd.
34,
,
di questa si ridurrà, per
F
il gruppo
0
un
in
suo
V,e
Vaggiunta
sottogruppo Vi ; inoltre Gì sarà
i
di tutte le radici
invariante
in G
gruppi complementari
^
L
Gì'
Ti
isomorfi).
(oloedricamente
Tratte
des
substitutlons, pag.
269.
—
Holder.
Maihem.
Annalen,
Sieno
i
m
n,
rispettivigradi
*^1
radici. Indichiamo
le loro
Gì
delle radici
Gì (§.69),
e
con
,o
poi
quello
179
AUSILIARIE
EQUAZIONI
di
f {x)-0,
*^2
3
con
•
•
(p (i/) 0
*^"i
•
l'ordine
r
di
T. Costruiamo
di
e
=
G,
con
funzione
una
della proposta, il cui sottogruppo numerico
e
con
costruiamo
essa
sia
togruppo
sot-
razionale
precisamente
risolvente
una
0
quello del
ì\
(^)
0
=
T
della
proposta, che avrcà per grado
montare
Se
„-
dell'ausiliaria 9
a
Gì
però
e
al campo
.
^=
^1
Indichiamo
^
(i/i
2/2
•
•
•
ora
^m)
di 'f
G
della
esprimibile razionalmente
è
^1
per
'H^i
=
^2
,
•
^n)
•
formiamo
iji, y-ì,
iyiy-z'.
(y) 0,
che
=
questa funzione
con
avrà
ordine
per
le radici
proposta scende, per ipotesi,
per
^
=
comple-
aggiungiamo
.
ym)
Fi il sottogruppo numerico
con
e
•
il gruppo
gruppo
di razionalità
attuale
0, il gruppo
{y)
e
-
.
ym
.
,
poniamo
.
di T per
4" la
la funzione
solvente
corrispondente ri-
essendo
—
.
,
pi l'ordine di
Fi
,
Pi
r
e
avrà
per
avendo
con
gruppo
essa
^r
1
a
irriducibile
questa risolvente,
(X,Xi...
necessariamente
con
Xn)
"I"(yi?/2
=
9 (^)
0
=
r
indichiamo
ora
.
.
.
si ha
e
G
p
(^) 0,
=
yn)
,
quindi
intanto
r
~
n~jr
Se
la 0
come
la radice
comune
W
coincide
Ma
•
1
t;
Gì
•
con
•^1) ~2
•
•
•
?^J
T
leg
=
radici
—
ri
della
risolvente
comune
0(^)
=
O
di
f{x) 0,
=
'f (y) 0,
=
180
CAPITOLO
aggiunte al campo
radice
di 0
^i
razionali
hanno
di razionalità
{^)
0
=
delle y.
di
f {x)
0
in G
(^)
e
^2 •s's
•
è
0
=
Osserviamo
dopo l'aggiuntadi
•
ora
si abbassa
come
di razionalità
è per
y^y^...
nere
tutte rima-
ipotesiil gruppo
y,,,. Ne
razionali
che
segue
di ^1
di
Gì è
cioè la risolvente
,
il gruppo
T della 'f
gendo
(y) 0, aggiun=
9
^2
.
ym)
*
•
*^ft
*
9
primitiva.Siccome
^1
tale
abbasserà
essere
certamente
Fi
0
G
per
a
ad
(^1X2...
le radici
tutte
Xn)
razionalmente
di
del sottogruppo
sottogruppo di Fi
un
f {x)
0
=
di F
Ma
T
a
si
l'ultima
.
considerazioni
le nostre
mostrano
di-
F si abbassa
cui
si ha
Gì del gruppo
G
l'aggiuntadelle radici di 9 (y)
di
f{x)
0. Ma
=
in questo risultato le due
,
nota, il gruppo
q' del sottogruppo l\
l'indice
per
l'indice
si abbassa
0
^^
=
si esclude, poiché intanto
l'aggiuntadi
q
(ihy^..
ad
che
essendo
4"
=
aggiunta, viene
ipotesifacilmente
per
Gj, dovendo
le radici
•^1
dopo
funzioni
tutte
un'equazione normale.
al campo
della
che
,
funzioni
sono
^q
•
prima
funzioni delle x, le
come
di Gì
soltanto la
non
altre, essendo
sottogruppo numerico
le sostituzioni
0
=
invariante
le
tutte
79
è nota
.ym
.
Dunque, considerate
invariate per
Galois
§§. 78,
—
y^ ij^.
anche
ma
il medesimo
tutte
VI.
equazioni f{x)
=
=
0,
allora,se
a
cui
biamo
scam-
0, 'f(?/) 0, troviamo
=
anche
e
per ciò
come
q'
Gì in G
Come
e
=
Fi
il nostro
e.
d. d. Naturalmente
teorema
corollario del teorema
ausiliaria 'f
nota
F,
e
q
=
{y)
=
0
è
è
semplice,sarà Fi
=
1
di questa.
e
che, se l'equazione
quindi ogni
di razionalità
Ogni equazione ausiliaria semplice,la
del gruppo
in F
completamente dimostrato.
fondamentale, notiamo
quando si aggiungano al campo
abbassamento
poi è Fi invariante
Xi, x-z
.
radice
sua
.
.
Xn.
Dunque:
cui risoluzione contrihuisca
della proposta, è necessariamante
una
sarà
l'
al-
risolvente
182
CAPITOLO
VI.
successivi radicali
risolve estraendo
l'equazionesi
§.81
—
d'indici
egualia questi
fattoriprimi ^)
.
Ora
f(x)
ci
di dimostrare
proponiamo
dovranno
f(:v)
le radici di
=
0
effettuarsi
radicali
dopo l'aggiuntadi
si presentano
che
stesso
il gruppo
della
estrarre
radicali
f{x)
di
0
=
dovrà
d'indice
d'indice
primo
è
un
binomio
primo
numero
esprimibileper
Indicando
dovrà
composto
aggiungendo
via via i varii
dicali
ra-
timo
ul-
trovarsi ridotto all'identità,
equivalead
ed
cessivi
suc-
che il gruppo
successivamente
di
le radici
A,
=
A
dire
estrarre
forma
della
sP
p
tali diventano
di risoluzione,nell'ordine
quindi possiamo
e
(a)
dove
zioni
estra-
l'effettivo calcolo numerico, da
per
ridursi all'identità
equazioni ausiliarie
che
o
che
risoluta.
radicale
un
supposta formola
equazione proposta
l'equazioneessendo
Ora
quantità note
sopra
tenersi
dovrebbe
gruppo
di successive
mezzo
precedenti.Aggiungendo
nella
suo
primi. Noi supponiamo adunque
esprimersi per
possano
di radicali da
che
numeri
altrettanti
essere
un'equazione
se
radicali,i fattori di composizione del
0 è risolubile per
=
che,
inversamente
quantità nota,
una
razionalmente
o
quelle aggiunte prima.
con
radice
una
^i
(a),saranno
della
277,
e
£=
v
le altre radici sicché, ampliato il campo
equazione
Abeliana.
normale, dovrà
e
per
Allora
Va
potrà
*) Sottintendiamo
di
le radici
che
è necessario
unità, come
2) Della
un
r
le radici
tutte
proprietà
un
fattore
riducibile,essa,
supponiamo
in fattori iriducibili di
divisore
della
siano
per
come
dare
dal
qui la dimostrazione
irriducibile
della
in
(a)
tutti
(«)dove
che
diretta
i loro
la
r=l.
l'aggiunta
e
ciò
che
z^,z^
.
.
.Zr
(a)è un'equazione
v
non
l'
del-
valori.
seguente.
dunque
una
(§.63)
r
sarà
p,
corrispondenti radici
fatto
(a) è
equazione
superflua'^).Supposto
le
la
come
primo
numero
ai radicali
testo
s,
egual grado
razionali
saranno
aggiunte
nel
del
puro
(a)
omettersi
dedotta
grado primo diamo
di
la
scindersi
ciò,essendo
del radicale
Se
coU'aggiunta di
"^
Siano
j9- ^
Zy^z^.
loi*o
male
nor-
.
-z^
prodotto
RISOLUBILITÀ
della
accada, il gruppo
ed
applicando il
PER
(7) è dunque
un
ciclico
gruppo
fondamentale
teorema
183
RADICALI
del
§.79,
Tp
sulle p
troviamo
dici
ra-
quindi
il risultato:
a) Se, aggiunta la
la successiva
e, per
si abbassa,
Eesta
aggiunta di
si ridurrà
esso
che
ora
,
.
d' indice p
:
y
A, il gruppo
sottogruppo invariante Gì d' indice
suo
quale abbassamento
G' della
.) scende
della radice
potrà inserirsi
della jrroiwstaè G
il gruppo
può
G
=p.
prodotto nel
aver
proposta in
ad
la successiva
sottogruppo G, per
suo
un
serie di
in G'
giunta
ag-
fra G', G
e
sottogruppi
G, H, Hi
sia
di razionalità
primitivocampo
un
p'""-s dell'unità, sarà G invariante
una
tali che ciascuno
e
il teorema:
gruppo
R"
(R, E,',
radicale
un
un
=,
dell'equazionel'aggiunta della radice i/'"*dell'unità
ciò dimostreremo
b) Se il
ad
vediamo
primitivo gruppo
per
p""^ delV unità
radice
nel
invariante
H2
,
G
.
.
.
,
precedenteed abbia per indice
un
mero
nu-
primo.
E
invero, aggiungendo
noi
s,
aggiungiamo
le radici
tutte
zione
dell'equa-
Abeliana
xP~^ +
il cui gruppo
r' nel
(R, R'
campo
nel
stessa
fondamentale
teorema
§. 79,
gruppi complementari
V
Zj S2
della
•
•
-^v
un
,
quantità
uua
r=^
il gruppo
di razionalità
invariante
ciclico
l'equazio
Fp_i del-
(§.78), ovvero
un
in G' ed esiste,pel
invariante
sottogruppo
un
K
sono
oloedricamente
e
T
suo
un
F tale che
isomorfi. Ma,
sottogruppo, è
nota, onde
razionalmente
es-
certo
possibile
un'eguaglianza
avremo
forma
£*?z;'
Risolvasi
precedente
onde
0
0,
i
Abeliano
gruppo
sarà
in V'
=
r'
^-
G
sendo
.)sarà
.
è certamente
G
c
i
.
assoluto
campo
sottogruppo. Dunque
suo
...+^'+1
+
x^'-'
ora
in
numeri
eguaglianza
a^j^j.-.g,,
sono
alla
interi
a,
potenza
razionali
in
s
=
K.
^ l'equazione poi-l-vp^l
p, osservando
e.
d. d.
che
z-^v
=
A
ed
elevando
si troverà
la
184
CAPITOLO
(§§.30-33)
inserire
siano
composizione
fra G'
anche
§. 81.
fra
riunire
ora
quei gruppi
Come
risolubile per
che
hanno
abbiamo
fattori di
visto
il gruppo
al
è
cosa
cui fattori
dunque
di
possibile
§.precedente per
ottenere
totale
appena
"
n
4,
radicali
suo
è necessario
siano
gruppo
si dà
il
numeri
primi.
gruppi
risolubili
di
nome
sufficiente
e
composizione primi (§.27).
§. 68, l'equazione generale di grado
Ora
Gt^;,,,.
sono
i fattori di
composizione
n
ha per
di
questo
:
2
{n) (§.24)
:c
Y
,
,
concludiamo:
onde
Le
equazionigenerali di grado superioreal quarto
non
risolubili
sono
radicali.
per
Ciò
in
vale
L'unico
grado
particolaredella equazione generale
dimostrarono
pei primi
di
sottogruppi i
stessa
questa ragione appunto che
per
gruppo,
di
i risultati del
fattoridi composizione del
che tutti i
gruppo
la
primi;
Affinchè
un'equazionesia
a
serie
una
finale:
il teorema
E
§§.80, 81
—
G.
e
Basta
—
F
T,
numeri
IV.
la radice
quello che
è
quadrata
del
si ottiene
sua
aggiunta
dell'equazione generale
gruppo
aggiungendo
[1
=
r,
v^A è
grado, come
di razionalità
al campo
discriminante
A
Siccome
ò.°
^).
Abel
possibilenel
abbassamento
n
ed
Rufpini
di
una
funzione
abbassa
il gruppo
{Xr x,f.
-
s
invariabile
per
le
dell'equazioneal
sostituzioni
pari, la
alterno
gruppo
Gt^,
2
dopo
di che
razionalmente
sono
delle radici, ma
sostituzioni
anche
del
note
solo
non
le semisimmetriche, cioè
alterno, che
gruppo
le funzioni
quelle invariabili
esprimersi
possono
simmetriche
tutte
per le
sotto
la
forma
A
*) Sebbene
le dimostrazioni
rigorose, è
completamente
questione
viene
primi germi
e
da
Galois.
per
della
la
teoria
date
tuttavia
prima
dei
B
+
da
\/A
Ruffini
negli
volta
gruppi
posta
di
,
non
scritti
e
del
trattata.
considerarsi
possano
italiano
geometra
Ivi
si
poi
che
altresì
trovano
sostituzioni,sviluppata
come
da
Cauchy
la
i
EISOLUBILITÀ
razionali
A, B
essendo
essendo
coefficienti della
nei
185
RADICALI
equazione. Ma, il gruppo
semplice, qualunque ulteriore abbassamento
estrazioni
solo per
non
PER
di radicali
anche
ma
è
terno
al-
impossibile
aggiunta di radici di
per
equazioniausiliarie.
persino equazioni
ma
§. 68,
si è visto al
Come
di razionalità,per
di Galois
gruppo
è per
n
=
applichiamo i teoremi
2, 3, 4, chiaramente
n
Per
all'identità
n
px
—
vediamo
la serie
coi fattori di
a
di
abbassa
allora
quali circostanze
di
totale
G12
allora Abeliana
§.72
ole
la
loro
risolve
abbassa
quindi l'equazione.
alterno
identità
al gruppo
della
radice
ciclico G3
che
l'equazione,
e
radicale
un
quadrata del
cubico.
composizione è
G4
alterno
gruppo
G2
1
(Vierergruppe)
composizione
L'estrazione
a
è dovuta
1
2, 3, 2,
Si
0
Gi2
coi fattori di
radici
grado (§.68)
5."
equazioni generalidi grado
Abeliana, si risolve estraendo
G24
gruppo
alle
2. 3. L'estrazione
il gruppo
4: la serie
=
il gruppo
=
quindi
sono
non
composizione
gruppo
composizione
discriminante
n
e
G3
totale
gruppo
Per
p
—
(gruppo alterno) e
abbiamo
3
=
ottenuti
Gfi
diventa
totale
l'aggiunta della radice quadrata del discriminante
2
=
il gruppo
il gruppo
assoluto
radicali.
risolubilità per
Per
hanno, nel campo
n
primo.
numero
Se
equazioni generalidi grado
esempio l'equazionedi
-\-px^
x"
p
le
coefficienti numerici
a
risolubili per radicali. Tale
con
solo
non
di
,
2
.
abbassa
prima radice quadrata (suldiscriminante)
una
quella di
radicale
un
cogli invarianti
[2,2]
cubico
e
a
G4
e
l'equazionediventa
la successiva
estrazione
di due
quadrate separate (§.76) risolve l'equazione.
potrebbe anche
alle
vedere
equazioni di
di risoluzione.
3.''
come,
e
4."
applicando il
teorema
generale
grado, si ottengono le ordinarie
del
ni
for-
186
YI.
CAPITOLO
§. 82.
Le
—
ricerche
radicali
per
esistessero
di
esprimere
che per
naturale
ad
equazioni riducibili questo
memorie
di Abel
solo
altro
per
si
si potessero
possibileper
è
che
pensare
radici
più
o
lità
completa risolubi-
tutte.
nel
possibile;ma
cui
più
o
una
radici possano
E
ben
della
caso
soddisfare
può
esprimersi
radicali.
questa proprietà è enunciata
equazione irriducibile
contenenti
alla
il teorema:
risolubile per
radicali,è totalmente
una
una
ciò fosse
che
Un'equajsioneirriducibile,di
Nelle
potrebbe
irridticihiU di cui
irriducibilitcà possiamo dimostrare
per
Si
equazione.
radicali,senza
per
relative
precedenti sono
una
equazioni
§. 82
—
che
se
algebricamente (con espressioni
risolubile
è
radicali)essa
dicendo
algebricamente (per
radicali).
a
pervenga
grado
della
gruppo
equazione
equazione,che
G
transitivo
radicale
ad
d'indice
invariante
primo
sarà
dunque
sia
G
e
egual
un
VA ^).Pel
teorema
poiché Gì
numero
abbiamo
sarà
il
risolubile per
da
le
a)
al
radici
n
della
le radici
gruppo
nostra
di
sitivo,
tran-
rispettoa Gì
ripetendo
pel
gruppo
equazione
note
un
sarà Gì
invece
§. 35
saranno
radicali,come
§. 80
si vede
principio del
n
un
l'aggiunta
per
intransitivo,G
è
sitivo
intranmente
razional-
resa
di lettere,come
grado
cioè tutte
r=\,
totalmente
r
fatto al
intanto, se
Dunque
primo,
numero
p,
j" in
che
ragionamento
metaciclico.
luogo
di transitività in cui si scindono
tutti
conterranno
Gì abbia
della
gruppo
diventato
che il primo abbassamento
intransitivo
d'indice
i sistemi
un
avranno
di
prodotto nel
aggiunte. Il
radicali
successivi
radicali,si
irriducibile
via via Tabbassamento
certo
uno
di
equazione
una
primitivamente transitivo,sarà
radice. Poniamo
una
di
radici
estrazioni
queste successive
per
aggiunte dei
le
quando
nota
era
più
o
§. 80, seguiamo
al
e, come
n
una
conoscere
successive
che, per
adunque
Supponiamo
e
è
un
l'equazione
porta l'enunciato
del
teorema.
In
generale
se
\Xi X^
Nessun
*?)
unità
si
altro
caso
riduce, pel
d' indice
primo.
.
•
è da
teorema
.
XyJ
,
(^^,-^1
XrJj.2
•
considerare
alla
fine
•
•
X2
r)
perchè l'agg-iuntadella
del
§.68,
a
successive
radice
aggiunte
l'
p""' deldi radicali
KISOLUBILITÀ
i sistemi
sono
di
PARZIALE
PER
187
RADICALI
saranno
transitività,
'fi {X
\/A)^=(x~Xi
,
) (X-Xi
) ...(X- Xr )
ì"
{x
'f2
VA)
,
fattori irriducibili di
i nuovi
Le
di Gj
sostituzioni
{x- X,-+i)
(x
=
ampliato coll'aggiuntadi \'A
nel campo
f(x)
ciascuna
sono
Xr+2)...{x-Xi ,)
~
.
il
prodotto di
di varii
sostituzioni
gruppi parziali
operanti
transitivamente
Fi r., Ts
,
,
i
sono
.
.
Ora, siccome
che
Ti, Fj, Fa
0,
=
fra loro
sono
.
.
nel
singolisistemi. Questi gruppi
di Galois
VA)
{x,
72
Gì è invariante
.
dei
rispettivigruppi
.
{x, VA)
's,
sulle lettere
0,
=
le
per
'f3
{x,
VA)
transitivo
gruppo
equazioni
G, si vede
isomorfi
oloedricamente
0.,.
=
subito
quindi
e
Fe-
se
quazione
VÀ)
'fi(;r,
è risolubile
ha, per
per
è certamente
equazioni
le
di
l'abbassamento
vero
ricerche
che
l'aggiuntadi
al caso,
dmihììe
che
e
di
f {x)
=
Galois,
stessa
che
sia
ricerca.
le
per
basta
di
di
del
gruppo
scopo,
Siccome
in cui
§. 79
di
è
un'equazione normale, potremo
quello
limitare
per
dimostrato
generale
abbiamo
ausiliaria
ciò che
relativo
è
e.
d. d.
esaminato
un'equazione f{x)
poi al problema
senza
lo
se
n
's
(y)
=
accade
per
supporre
sua
Qui
si
altro
sia irri-
di risolvere
alla
0.
zione
un'equa-
risolvente
che
ulteriormente
0
=
quando
l'equazioneausiliaria
si
un'eqaazione normale,
in
il teorema
ausiliaria. Ci limiteremo
0
sostituire
grado
vero
un'equazione
un'equazione
grado primo.
questa equazione
Ed, essendo
n.
ricerca ed esaminare
al nostro
può
nel
di
di
equazioni
fondamentali
tutte le radici
radice
una
le altre. Ma
talché
esprimibileper radicali,
può prodursi
vogliamo generalizzarela
aggiunga
pure
grado primo, sarà dunque
di
Nelle
—
Xi
saranno
grado inferiore,divisore
equazioni
§. 83.
per
radice
una
ipotesi,
enunciato
le
radicali,tali
per
0
=
la
f{x)
dì
=
la nostra
0
188
CAPITOLO
Ciò posto,
VI.
supponiamo che
§.83
—
raggiunta di
per
radice y^ delFausi-
una
liaria irriducibile
0/)
?.
di
grado primo
il gruppo
p,
di Galois
fix)
scenda
al
sottogruppo Gì
della proposta
e
tX/2
a
sottogruppo numerico
0
essendo
4"
(Xi)sarà
(^i)costruiamo
intera
tA/fi
razionale
f{x)
la
essere
delle
'\{x^Xi...Xy^
esprimere razionalmente
di
.
.
Xn)
"P
=
della
=
0
una
zione
equa-
per la sola Xi, sia
(Xi)
.
y/i
si avrà
e
quindi
Se colla funzione
grado i^-l al massimo.
la risolvente
(P)
proposta
F,("I") 0,
=
il cui
grado
onde
per
q
eguaglieràl'indice
l'irriducibilità della
(t)
sono
•
dopo l'aggiuntadi
nota
razionale
•
con
Gì, che, per
=
^ (XiX^.
4"
equazione normale
0
=
funzione
una
normale, si potrà anche
La
•
della
con
quelle dell'ausiliaria. Prendiamo
X
G
indichiamo
e
iVj
le radici
0
=
di Gì in G,
'f^,(y)
=
0
segue
avremo
che
i 2^ valori
0(2/0 e(y.)...0(2/p)
tutte
poiché, se
radici
fosse
della
Questi
(j3).
@(y,)
=
=
Galois
a
egualiquindi r
...=
Siy,.)
queste relazioni le sostituzioni
della 9
=
(^)
=
0
e
0
p
tutti distinti fra loro
(7)sono
e.
p.
%(y,)
applicando
j^ valori
dedurremmo
ne
che
(«/j) 4" (^1)sarebbe
=
r
"
del
le ^?
1
,
gruppo
transitivo
quantità(v)sono
allora razionalmente
r
nota
di
ad
r
nel
190
CAPITOLO
Siccome
VI.
l'equazione binomia
zP
è irriducibile,come
di
campo
salvo
suo
j?
in
un
radicali
d'indice
reali
2.
un
del
che
può
abbassare
mai
quadrate
radice
sua
Ciò
naturalmente
Cosi
2.
per
a
e
G
quanti si
che ciò
meno
è il
gliano
vocada
ac-
un
suo
quadrato
radicale
un
sottogruppo (invariante)
l'ordine
impossibile se
un'equazione Abeliana
di
le radici essendo
di razionalità, tutte
reale,
quantità positive.
su
ad
è
tutte reali
il gruppo,
l'aggiunta di
in cui
caso
po-
:
radici
e
coefficienti
questo scenderà
reale
sola
una
amplierebbe il
reale di razionalità, raggiunta di
di radici
resta
yj"knon
una
sia A
non
del
gruppo
grado impari
reali
e
l'ordine
eguale al grado (impari) dell'equazione,è impossibile qualunque
gruppo
del
abbassamento
risolubile per
alla divisione
al
di
§.
caso
gruppo
ridurre
un
radicali reali.
per
L'equazione è bensì
gli immagi-
questi portano necessariamente
radicali;ma
narii e, volendoli
Un
ha
che
meno
a
d'altra parte
il gruppo,
campo
d'ABEL
§. 80,
positivo,vediamo
0
=
non
è divisibile per
in
(x)
k
=
l'aggiunta di
caso
è
aggiunga che nel
abbasso
non
A
campo
estrazione
per
Va
ed
2
=
un''equazione f
gruppo
Si
al
siccome
e
razionalitcà)
quando
Se
si è visto
(nel qual
_p'""esatta
tenza
§. 84
—
forma
a
angolo
noto
reale, si può
in
n
ricorrere
unicamente
parti eguali, secondo
il teorema
77.
durre
particolareè quello dell'equazionecubica, che possiamo ri-
alla forma
x^
Nella
formola
Cardanica
-{-p
X
'\-q
Q.
=
di risoluzione
v-t+VT+i^+v-f-V
quando le
Allora
è
tre
radici
si ha
che
sono
reali, si presenta il così detto
^
27
caso
bile.
irriduci-
il discriminante
positivoe l'estrazione
Ogni tentativo
2
di radice cubica
di ricondurre
la formola
porta
a
su
quantitàimmaginarie.
radicali reali,senza
ricorrere
DI
RISOLVENTI
I risultati
di questo fatto. E
v'^^che
quadrato
il gruppo
gruppo
§. 85.
può
attualmente
è nel
caso
alterno
G3
diventa
e
abbassare
ulteriormente
la seguente
questione
quanto sappiamo intorno
Per
forma
variabili ^i
n
Sia
r
totale
nel gruppo
ha
che
funzione
,
;r2
.
.
razionale
.
molto
",-:(„),
occupato i matematici:
possedererisolventi
n
delle
di
nore
mi-
grado
risolventi,il problema
"i n?
"_
r
della
n
nali
razio-
valori distinti.
la
risolvente
proposta numericamente
di F. Indicando
suo
di
meno
formiamo
e
n
0
n
Un'altra
le funzioni
nel ricercare
abbiano
radici
di questa risolvente, il
le radici
cali
radi-
totale
gruppo
G;7(„)
sottogruppid'indice
che
Xn
delle
le sostituzioni
per
a
n,
alla formazione
sottogruppo d'indice
un
di
estrazione
il gruppo.
questione consiste
della medesima
di
3. Nessuna
v'^A),
(p, q,
equivale all'altro
enunciato
Esìstono
reale
n?
eguale a
od
reale, acquista per
campo
equazioni di grado
alle
il radicale
aggiunto
considerato
grado impari
di
la necessità
comprendere
quindi,nel
u)i'equas:ione
generaledi grado
Può
una
ci fanno
Tequazione cubica,appena
invero
Ritorniamo
—
trattare
per
generaliottenuti
Abeliana
un'equazione
reali
191
n
riportaalla equazione
trigometriche(trisezionedell'angolo)
alle forinole
medesima.
"
GRADO
con
riabile
inva-
con
sarà il gruppo
gruppo
complemen-
C
H
tare
G
sarà
sottogruppo S invariante
un
a
yTColquale
=
r
e
tutti i
a
all'identità
isomorfo;
in
in H
corrisponderà
G„;„)(precisamenteil sottogruppo
sottogruppi affini in G^(„))onde,
il caso
eccettuato
,
sarà ^ r identità
primo
il
r"in,
allora
minore
di
alterno
e
onde
totale
n
caso
non
oloedrico, mentre
quello ti (ìì)di
per
può
ciò iji sarà
G.
una
Ora,
alterno.
darsi
divisore
di H,
2Ì sarà
Dunque
funzione
=
4,
supponiamo dapprima
l'isomorfismo
perchè
l'ordine
se
n
di
in questo
semi-simmetrica
di
tc
caso
(a
G,
H
(r),è
rebbe
sa-
certo
il gruppo
due
valori)
concludiamo:
Un'
"C
il gruppo
ovvero
comune
equazione
di
grado
n,
che abbia
non
(come l'equazionegenerale),
all'infuori di
Fa
quella di
eccezione
soltanto
secondo
il
caso
per
di Galois
gruppo
possiede altra
grado y^ ^,
=
w
=
4.
il gruppo
risolvente di
indicando
grado
A il discriminante.
192
CAPITOLO
Si
può
costruire, a
nemmeno
risolvente
Riferendoci
il risultato
lettere
non
che
più
di A, il gruppo
quadrata
può
di
osservare
di
grado
ai
gruppi
dicendo
//
:
VI.
anche
della
n
fa
4
=
stessi
totale
grado
circostanza
realmente
ammette
grado. Così, indicate
4.°
è
funzione
una
1
^
,
(Xi X2)
\
altri due
poiché si
2
la
^1
=
sopra
uno
^
n
4
dei numeri
poiché
e
il gruppo
totale G24 possiede
quindi l'equazionegenerale
cubica.
Ed
è appunto
della
su
questa
equazione
del
/v*
di 4."
grado
hx^ -\-ex
-\-d
0,
=
dell' 8.° ordine
di yi
Xi X-i
{Xi X3) [X-iX4)
,
V*^!"^i -^2 "^z)
?
(.^1
X4) [X2 X-i)
,
KP^l"^3 "^2"^4/
?"
sono
'i'
X2X4
-\- Xo x^
Xi X4
1/3 =
,
trova
2
^
'
1^
—
Ne
eguale ad
enunciare
la seguente
^1 2/2=
«
e
corrispondente risolvente
(6)
cuna
al-
gruppo,
.
/y*
\p^3•^i)
valori
alterno
di risoluzione
/y*
X2) {X3 Xi)
(.^1
,
112 =
e,
valori
è il gruppo
il cui gruppo
Gli
tre
a
si
non
con
+ aoi? +
x^
dice
ra-
1
-
ordine
i metodi
dell'equazionegenerale
(y)
alterno, possiamo
il gruppo
eccezione
-Y*
le radici
w
...
risolvente
una
si fondano
che
ed
totale ed
gruppo
(tre)sottogruppi dell'ottavo
di 4.°
alterno,
semplicità di questo
alcun sottogruppo cV indice
imsseggono
caso
al gruppo
della
n.
3, 4, 5
Il
ridotto, coll'estrazione
deirequazione
causa
"
§. 85
—
abbiamo
di risolubilità
b
y' -^ (a e
notata
4 (^ ,
—
di 3.°
-
4: d) y
la forma
dell'equazionedi
2
2/1!/2^3
grado
c^ +
=
4
ò)
,
si scrive
-\-d (Ab
-
a^)
—
esplicitaper poter
4."
fU«^—
grado per
radicali
c^
:=^
0.
stabilire il criterio
quadratici.In
tale
RISOLVENTE
ipotesianche
però
e
possedere
di 4."
e.
radice
una
(ò)possiedeuna
se
razionale
a
y
c
=
quadrati potrà
0
avere
per
primo, secondo
1) Come
elementare
:
Date
fisso
e
Le
in
condurre
Prese
di
il
di
p.
e.
se
il gruppo
i
e, "^
due
piano
un
l la
dice
ra-
ovvero
affine)
suo
segmenti
del
assi
2«
è risolubile
per
citiamo
il
qiuilele due
coordinati,siano
la trasversale
problema
_
due
radici quadrate
sopra
estratta.
sulla
trasversale
una
che
lunghezza
quadrato perfetto
un
problema
seguente
rette date
un
stacchino
data.
fìsse per
rette
sarà
caso
rette,supjyosteper semplicità ortogonali,ed
sono
data.
a,
domandata
pie
coordinate
del
punto
sugli as^i.
stacca
:
=
l,a2 + r;
Eliminando
^3^ (7.2-1[j2
_/2) ^2_^ 2
radicali
fS
=
risulta
-/;,
a
lì
quadrati, finché
l'equazione di
'^
—
l'irj?
=
4.°
grado
in
e,
0
cz, p,Z restano
ai-bitrari. Cosi
facciamo
2,
=
1=^1
l'equazione
^^-2^3 + 4^2 +
la cui
un
queste due radici portano ciascuna
caso
oc=l,p
abbiamo
Gg (od
applicazione geometrica
lunghezza
le due
^4
non
^).
rasionale
discriminante
suo
-^+ |
che
zione
L'equa-
quadraticisolo quando la
l'equazionesi risolve estraendo
pel punto
equazioni
essendo
conclude:
ne
grado che sia risolubile per radicali
quadrata (v''A)
prima
esempio
segmento
un
4.''
gruppo
che
è G4
radice
terza
punto,
quadratici
la (0)possiede la
e
0, la (7)è biquadratica
=
separate; nell'altro
una
radicali
radicali
h.
=
Se il gruppo
no.
i-azionale. Se
193
G4 (Vierergruppe)
; precisamente si presenteràil secondo
il gruppo
il
4." GRADO
DI
risolversi per
radice
Un'equazione irriducibile di
od
EQUAZIONE
grado (y) è risolubile per
risolvente cubica
p,
DELLA
l'equazionecubica dovrà
dovrà
Così
CUBICA
risolvente
cubica
22-1
=
0,
(ò) è:
Z/='-42/— 16=0,
che
il
non
ha
radici
colla
riga
problema
razionali.
e
diventa
Il
col compasso.
solubile
problema proposto
In
casi
non
come
particolari,
è
quindi risolubile (ingenerale)
quando
p.
e.
c(=+pecc.,
elementarmente.
13
194
CAPITOLO
§. 86.
Veniamo
—
totale, può possedere
gruppo
trasformata
grado
n
di
grado
non
ne
n
n
a
sia
Intanto
n.
di
Un'equazione
:
risolvente di
grado
semplice trasformata di Tschirnhaus). Soltanto
una
ogni
risolvente
una
ovvio, dimostriamo
caso
possiede alcuna
non
grado
proposta è appunto
in questo
totale
gruppo
di
a
n,
(che
n
il
caso
fa eccezione.
Q
=
salvo che
; ma,
un'equazione di grado
se
risolvente
una
della
di Tschirnhaus
§. 86
—
esaminare
ad
ora
VI.
Che
il caso
che
il gruppo
enei
gruppo
Una
n
=
G faccia realmente
Gn(G)d'ordine
si vede
ha
6. 120
=
6."
subito ricordando
(§.39)
6 elementi
dell'equazionedi
risolvente
appunto
è di ordine
l'indice
grado, costruita
delle sei radici invariabile per le sostituzioni
razionale
di G.°
appunto
totale F sopra
lineare
totale
eccezione
grado, senza
essere
trasformata
una
con
di
120
=
6.
zione
fun-
una
T, è quindi
di Tschirnhaus
della
proposta.
Per
il gruppo
H
sulle
della risolvente
oloedricamente
dovrà
Se
^f è
totale
per
col gruppo
o
sulle
G«(„)
lettere Xy x^
n
semisimmetrica.
Ne
.
.
.
Xn\
che H
segue
qualunque di G ed h la corrispondentein H,
sostituzioni
sostituzioni
due
a
simili h, h' in
simili g,
g' di
G
sponderanno
corri-
H, poiché da
hi la corrispondentedi H, segue
essendo
Jì!
hT'hh,.
=
Prendiamo
una
totale
sulle y.
eguale periodo;
due
che
quanto già si è detto al §.precedente,
simmetrica
sostituzione
una
g, h
avranno
essere,
isomorfo
sarà il gruppo
dall'osservare
radici
n
la y^ sarebbe
altrimenti
enunciato, cominciamo
il teorema
dimostrare
sostituzione
che
di
r
in G
ora
ad
una
a
trasposizione;dovrà
una
periodo 2, cioè
determinata
Supponiamo
prodotto di trasposizioni.
trasposizionein G
in H, allora, per
trasposizioni
in G
ogni altra trasposizione
in H
un
e
viceversa
ad
corrispondervi in H
l'osservazione
corrisponderà un
ogni prodotto di
corrisponda
r
un
dotto
pro-
superiore,ad
prodotto di
r
zioni
trasposi-
trasposizioniin H
(con
RISOLVENTE
su
trasposizioni
è dato
(n
w
2
.
(n
n
.
Dimostriamo
.
.
.
1)
-
infatti r"l
(n
intere
dei prodotti
lettere. Ora
ii
1)
^
.
(n- l)
n
2) (w
-
-
3)
la
.
.
.
supponiamo r"3,
-
.
.{n-2
3
.
.
il
(5) si
(n
.
2
che, eccettuato
ora
Supposto
se
diverse,su
delle
numero
2'-
r
.
Ora,
il
eguagliareil numero
.(n-2r+
.
1
(6)
dovrà
avere
(5)
r=l.
,
lettere
3
.
dovremo
—
-^
1) (n-2)
-
Perciò
da
1
però
—
con
trasposizioni,
r
quest'ultimo numero
e
G,
195
il
=
^
lettere, cioè
n
distinti di
GRADO
in
trasposizione
distinte)una
lettere
DI
2 r+
.
caso
n
1)
2'
r
.
r+
.
6, si ha necessariamente
=
scrive
1)
2'-' ti
—
(r)
questa equazione per
=
0
n
non
ha
soluzioni
perchè, posto
f{x)
{x -2) (x-3)...{x-2
=
r+l)
2'-'
—
;:
("•)
,
si ha
f(2 r)
e
a
più
forte
prodotto
di
r
di
(r)I(2r
2) (2r
-
ragione f(n) "
i) Indicando
un
iz
=
'^(r) questo
con
r
—
0
1
per
w
.
"
ed
numero
trasposizioniuna
trasposizioni,ripetuti ciascuno
3)
-
.
.
(r+1)
2
—
2'-'
\"
r.
osservando
che, aggiungendo
trasposizione,si ottengono
r
0
tutti ì
ad
prodotti
volte, otteniamo:
ìndi
,„._i,^(it^W^:iiil+5),(,._2,
•M2)
=
'^t^^--^".Mi)
^2,
e
moltiplicando, coll'osservare
del
testo.
che
'h (1)=
—
(yx
^
—
\\
si ha
-
,
appunto
la
formola
196
CAPITOLO
Se
r
=
poi
vi
2
"C
n
f{n)
soluzioni
sono
la radice
è
2r
intera
Eccettuato
7^
il
caso
J^
Se
(G)^) e
soltanto
nemmeno
per
G
ogni trasposizionein
r
per
abbiamo
3
=
dovrà
dere
corrispon-
H.
la corrispondenza di
significare
per
D'altronde
0.
intanto:
6, ad
=
§. 86
—
{r)?"
;r
clelLa
Dunque
trasposizionein
una
2'~^
-
intere
6.
=
=
VI.
sostituzioni y, h in
due
G,
H
scriviamo
e
si abbia
che
supponiamo
yt) (Xy^3)
(ìja
{oCi
Xi)
~
iVcVci)
^
,
,
avremo
{xixo) (xiX3)
e
però
degli indici
uno
la
e, d
generalitàpossiamo
{xiX2 X3)
=
dovrà
eguagliare a
evidentemente
{X^X^^iyalJb)
Ora
ad un'altra
per
un
indice
comune
la medesima
dell'altra (yiy,).
Ma
0
(j/flV//,)
ya
quindi
Mutando
--
forma
indici
gli
perchè
subito
si esclude
dovrà
(yiyr) r=2,3
{x,X,) (x,Xs){x,Xr)
=
poiché ogni
qualunque
sostituzione
sostituzione
cangiando
^) Il
della
0
(^2^3)
corrispondereuna
alle
quindi
potremo
y,
sposizione
tra-
...n
anche
(x,Xs)
E
abbia
=
Xi
rispondere,
cor-
(yiyù)che
trasposizione
{xiX2) {xix^){xiX2)
^
.
{XiX,)
e
{x^Xr),dovrà
si abbia
che
supporre
indice Xi, sia
quest'ultimocaso
però ad ogni trasposizionecontenente
contenente
avremo
e
a
=
{y„y")\quindi sarà
con
(t/a
yt) 0/«yc)(yayo)
=
e
uno
d
rare
alte-
{XiX^^iìJayc).
,
ragione,una
iyayh)ed
h. Senza
ovvero
supporre
col primo
trasposizione
con
(ybyc)
(payi) (ycyd)
-^
caso
priori perchè
7'=
di H
si compone
si dedurrà
le lettere
2,0 più
il gruppo
H
in
(v/i
y,){y,ys){yiy^
^-
Xi
dalla
generale quello
avrebbe
allora
{yry^)
.
ne
trasposizioni,
con
nelle
=
corrispondentedi
corrispondentiyi.
di
soltanto
r
segue
pari, può
sostituzioni
anche
G
Allora
che
plicemente
sem-
alle
escludersi
pari.
a
198
e
CAPITOLO
identità
la sola
poiché
dei sistemi
di
al massimo
cioè
a
S
sostituzione
una
Xf^, Xi possono
onde
(p- 1),
p
a
§. 87
—
lascia ferme
in G
postiche
VI.
Xo,
sarà
Xi,
per sostituzioni
occupare
si rileva
eguale
ni
Jc"^p. Ora
sulle
periodo j) (ciclica
p
G
contiene
al
mero
nu-
di
G,
mente
certa-
radici)e quindi
il
ciclico
gruppo
Se
indichiamo
U
con
sostituzione di G
una
fuori di
Vp,le p^
tuzioni
sosti-
di G
S^ \a,{i
S''-V
potranno quindi
non
0,l,2...p—l
=
distinte,perchè
tutte
essere
S^
s^^-u
"Cp^.
Poniamo
sia
s^
S" u
=
m
,
con
7.
^
(mod p).
fj^h
a.
Ne
U-i
e, determinando
il
numero
ga-a
gè-fi
u^
dalla
r
(a
deduciamo
congruenza
(mod p)
a) r^l
—
,
segue
a
(U-i gra
-
metaciclico
e
quindi
G
sottogruppo d'ordine
Possiamo
p
coincide
.
potenza di S, appartieneal gruppo
una
col
necessario
razionalmente
si osservi
Ora
Galois
avrà
due
per
che
se
conseguenza
di
radicali.
più
di
una
con
suo
un
una
radice
di
risolubile per
grado lìrimo sia
tutte le
sue
radici
possano
è reale
:
mersi
espri-
esse.
il campo
un'equazione irriducibile
ha
o
di Galois:
il teorema
che
sufficiente
corollario,abbiamo
reali. Come
Se
in
e
metaciclico
gruppo
Affinchètm'equa^ione irriducibile
radicali, e
S(^- ^^'*
=
o.
enunciare
dunque
u-i g U
=
S in
U, trasformando
Dunque
u)r
di razionalità
sola radice
dunque
di
reale
tutte
ovvero
le radici
il teorema:
grado primo,
reale,ma
V equazione di
non
in
un
campo
tutte,essa
reale di
zionalità,
ra-
è insolubile per
RISOLVENTE
ciò è facilissimo
Dopo
equazioni irriducibili
Così
p.
di
DI
formare
nel
grado primo
numeri
p,q
risolubile
non
guisa
di
appena
è
essa
delle p
/v»
e
proposta f (x) 0, che
le
tutte
per
del
(p)
-
valori
numericamente
Essa
"^ 1, è irriducibile
infatti tre
ha
radici
/y"
/y»
•
un'equazione
praticosì
da poter
risolubile. Per
no
trasformarsi
riconoscere,
ciò costruiamo
•
•
/y»
«A/fl
\
numericamente
.
3
Essa
Gry,(p_i),
per tutte
assumerà
lora
al-
(/) 2)
-
.
che
distinti,
invariata
sulle radici
2
1
di
§. precedente può
metaciclico
sostituzioni
=
radicali
per
radici
gruppo
r
3.
o
rimanga
=
sole le sostituzioni
"
valore
certo
un
y
un
stabilito al
equazione, se
razionale
i"
i//Q "X/1 t//2
della
per radicali.
0,
=
intero
m
la risolubilità
grado primo
data
funzione
una
delle
positiva^).
una
darglianche
da
una
sopra
ed
Il criterio per
—
irriducibile
in
radicali
per
q[
—
primi qualsiasied
negative
reali,due
§. 88.
di razionali
qualsiasiinsolubili
p
f{x)=xP-\-mqx^
e
assoluto
campo
l'equazione
e.
essendo
199
LAGRANGE
.
.
.
le radici di
saranno
equazione
una
zionalmente
ra-
costruibile
{y-m)
Questa
Ora,
dicesi la risolvente di Lagrange
/"{x)
la
se
la risolvente
=
G
Gyj(/)_!),
sulle
di
f{x)
prima
=
ìJi
è risolubile
0
di Lagrange
il gruppo
ipotesi,
costruito
{u-y2) ...0/-yr)
X
0
ad
che
un
suo
razionale.
(o un
G;;(^_i)
risolvente
T, sarà
i-egoladei segni
allora
di
/•(-1)"0,
suo
di
pò.-
/-(oxo,
in
infatti,
Se
T
Lagrange,
è
una
osservando
dedotta
nota.
che
/•(i)"o.
che
tale
al gruppo
sottogruppo)nel
razionalmente
Cartesio,
E
si vede
quindi simile
sottogruppo d'ordine
ìJt della
/?(-»)"0,
equazione proposta.
facilmente
radicali,
radice
una
trasforma
colla sostituzione
la
della
della proposta sarà metaciclico
0, la radice
*) Si applichi
avrà
per
o.
=
stituzione
so-
gruppo
dalla
200
CAPITOLO
Viceversa
il gruppo
della proposta
La
necessaria
di Lagrange
Ai
risultati
abbia
metacicliche
(a gruppo
formolo
le risolvono
noi
delle
§§. precedenti si lega una
altra forma
sotto
risolvendo
di 5.°
Si tratta
può
a
di costruire
in
vente
risol-
sua
di
grado primo
costruzione
di questo
ulteriori
forma
solo
e
ci
la costruzione
di Bring-Jerrard
0
=
,
qualunque equazione
di 3.°
delle
data da Kronecker.
^)per
da Runge
della
serie di ulteriori
completa
in tali studi
+ ,3
di 5.°
rimandiamo
grado "),e
grado
il lettore
citata di Weber.
volte
all'operapiù
di
legge
soluzione
grado
a;
equazioni
da Abel, è stata
ridursi
un'equazione
notizie
maggiori
sulla
i risultati ottenuti
è noto,
soltanto
delle
addentrarci
ic'4-
quale, come
G^,(„_i) T,
razionale.
radicali. La
per
(7)
per
radice
equazioni metacicliche
alla
T~^
riata
inva-
radicali.
per
metaciclico)e
di esporre
contenteremo
la lasciano
radicali consiste in rpiestoche la
due
possiamo qui
non
razionale,
un'equazioneirriducibile
sufficiente
affinchè
e
una
esposti nei
problema, formulato
che
è
metaciclico
gruppo
sulla effettiva formazione
ricerche
che
solo sostituzioni
quindi al
sia risolubile per
grado primo
Ma
conterrà
di Lagrange
il teorema:
dunque
condizione
§. 88
—
della risolvente
y^
risolubile
l'equazionesana
Abbiamo
di
radice
una
queste apparterranno
e
onde
se
VI.
primo luogo
per
la
equazione (7)
la risolvente
di Lagrange.
Indicando
con
/yi
le radici
della
indipendenti.Le
generate dalle due
o
e
le 10
delle
X
del
che
semimetaci
rimane
invariata
—
^0 Xi
^) Ada
MatJìnnafica,
2) V.'
Serret.
e.
a,
del
[3restano
~r~
Bd.
—
determin
in-
clico
metaci-
gruppo
fondamentali
elico da
S
per
[Xi X2 X4 X^j
x
,
e
S
e
TI
T*
e
quindi
Una
funzione
0C\ X2
~T~
OC2 OC^ -j~ OC^ «^4 ~|
00^ OCq
•
7.
Algebre siqyérieure,HI.'™'
Etlition
razionale
l'intero
per
è la seguente
Vi
p.
/yt
sostituzioni
20
(Xq X'i X2 •Z'3X^ì
—
gruppo
semimetaciclico
/yi
(7), queste potranno riguardarsi,finché
come
sono
/v»
/y»
§. 192.
gruppo
RISOLVENTE
Indicando
con
y.,
—
e
questa rimane
segue
sarà
che
+
se
invariata
ancora
funzione
mentre
raetaciclico,
i 6
invariabile
la ^i resta
Eseguendo sulle
Xi ,ri
della T si ha
per
mezzo
H--x^ x^ +
x^ x^
ciclico
pel gruppo
generato da S, onde
x
le 60
per
S
e
per
invariata
sostituzioni
T,quindi per l'intero gruppo
per la S
cangia segno per la T.
e
del gruppo
alterno, la
Zi
acquista
seguenti valori distinti
^1
(.ro
Xy
=
+
x^
\- X.2X-Ì +
Xo
(XoX-i \ X^X^Ar
(p^l'^2
^2
-^2 '^4
^3
Xi a'i -k-X^X^-\- X^
x^
—
Xq)
"r
Xo X;}
"T
3^3 X'i
-T
X-"
(^2 "^4 "1" ^4 1^3 T
^3 -^i
T
\^2 X^
-f-
X^
Xq X4 -{-X^ Xi
{^4X3
+
X3 Xo +
^0 ^2 +
+ OCi X^)
^2 ??Z'i
\X^ Xq
-r
Xq Xi
Xi 3^3
"r
.^3 X^
"r
Xo
X^j
^4=
Xq
-T
-p
-p
X^ XiJ
Xq -\-JpQ -^l)
^l 3?q -|-Xf) X^)
-\-Xi X2}
(•'^3
•Z'o+
^0 "^1 +
^1 ^4 +
^4 ^2
+
^2
X3)
(p^S-^l
''^l"^2
T
i^2 ^'pQT
-^0 "^4
T
^4
i^jj
(-^0'^2 ~r -^'2^3
~r
^3 ^1
T
2^1 •2*4"H 3^4 2^0)
,^3 +
(.?()
-r
X^ X2
T
X2 Xi
^5=
T
X3 X^
quali i primi quattro dopo
(01243)
(12 3) non
Xi
"^'4'^0
=
^(3^^^
x^ Xi +
I
T
(Xi X^ -\- X^ X^
dei
deduce
ne
a?2 a-4 +
201
LAGRANGE
posto
s\ una
soltanto
quella che
Xo x^
y-i
DI
e
le
sue
-f-
dedotti
^i sono
potenze
e
Xy X(jJ,
da
F ultimo
equivalente,
rispettoal gruppo
^i
effettuandovi
la
colla sostituzione
^^
stituzione
so-
colare
cir-
semimetaciclico,alle dette
potenze.
Questi sei valori
i cui coefficienti
sono
sono
dunque le radici di
razionalmente
formati
una
con
risolvente
\/^
di 6."
essendo
A
grado
scrimina
il di-
,
della proposta. Si osservi
sostituzione
impari sulle
altro ordine, nei medesimi
omogenea
simmetrica
x
i 6
anzi
di
più che siccome
valori Si, s^, ^z, ^4,
valori
~5"
cangiatidi segno,
di ^i, £?,, ^3, ^4,-^5, ^e
resta
^e
si
così
invariata
per
una
cangiano in
ogni funzione
anche
per le
202
CAPITOLO
sostituzioni
se
mentre
X
solo
pel
2, 6,
«i,
fattore
essendo
yA
differiscono
%
da
Ora
«i,
è di
grado 10;
«1
0
=
,
«3
dove
«5
,
funzioni
ih, (^6 saranno
«2,
p.
simmetriche
tale
funzione
simmetrica
omogenee
nelle
si ha
0
=
v A
gradi
,
l'equazione di
e
dei
x
dunque
wi
=
di segno
intere
una
sono
«5
«3,
cangia invece
e
funzioni
(^6 sono
,
/ + «2 ^^ + «4 ^^+ «e
(8)
Siccome
dimensioni
poi
è della
a
di «2, «4, «e
«2
con
grado pari
«4
,
§. 89
—
in
grado
6."
W2,
Wi,
basta
dare
hanno
per
indi per
/
m,
interi. Per
ad
7., p
le 6
radici
Wi s*
4
-2i,
=
nis
—
-$"+
=
coefficienti interi di
a
nelle
così facciamo
e
mente
necessaria-
avremo
degliinteri
i valori
le
mentre
0}
m^
=
x
w-i, W2,
-l,p
a=
=
mg,
0
e
i valori
x
/
intere
0:, a^
m^
=
determinare
A=
risulta
W2
v/A".5"
rispettivamente4, 8, 12,
particolarivalori
discriminante
—
razionali
nii y., «3
=
m.
=
4.^, (3della 5.^ dimensione
sono
le ^, quattro valori
pel
uno
-
4^
±lQim^
20/
+
2 +
=
Avremo
-
320
—
=
quindi
{s+2 if (^^
=
240^'
4i Faltro
-
tre
i, men-
2+4
l'identità
8 i^
-
20)
=
4-512i^
onde:
(/
Ne
-
mi
^^ + mi
£'
-
1 6' m' s^
m,y +
(^^+ 4)^(^H
=
24 / +
deduciamo
w^i
e
ha
s
la forma
quindi
a,
«2
di
coefficiente numerico
un
m
«3,
yA.
mentre
10
è
se
x
Perciò
grado impari.
è di
delle
impari sulle
VI.
=
20
—
,
quindi la (8) liberata
(^'
-
20
a
^«2
dal
^H
=
240
,
radicale
240
nh
=
320
m
=
2^
+
,
\/A diventa
a' / + 320
r^.y
=
4'^A 0'
.
400)
.
w
si
RISOLVENTE
La
precedente equazione
modo
Se
a)^(/
4
-
quindi
(f
la forma
sotto
24
-
5-^+ 400
a
5 rjAf +
-
anche
scrivere
nel
funzione
La
—
sostituzioni del gruppo
(8)0 (9)come
risolvente
eguali.Ora
.
.
a^)'
5
in y
grado
6.°
la forma
sotto
^^J
=
ò^'^Uj
=
^
=
di Lagraxge
.
è certo
-p
perchè
si
invariabile
della proposta,
si ottiene
la y
non
all'infuori
(8) o (9) non
presentino radici eguali occorre
l'equazioneche
risolvente
bisogna che
altra sostituzione
la risolvente
tutte le
per
riguardarela
per potere
invariata per alcuna
soddisfatta
(8) sia
abbia
che
dici
ra-
insieme
derivandola
rispetto
ovvero
2
(^
sostituendo
5
-
il secondo
non
-
5 o.y- +
primo
potrà
secondo
fattore dell'ultima
diventa
?/*^A
uè A
non
a^){y-af
5
Se
0.
=
uè
0
=
la
per
[3 0;
=
dovendosi
=
y
le volte che la proposta
a;^+
0
=
per
7. ^
-f P
=
0
anche
ma
radice
0
subito
A y
il
a
il
=
si
se
proposta
caso
insieme
anche
0,
=
la
supponiamo
annullare
(7)
=
(8) stessa
espressionescritta,sarebbe
ammette
A
'/)
si trova
(8) stessa
si ha
(9) [iy
impossibileperchè
// che
a^y +
+15
10 ay
-
nella
fattore
aversi
allora
Tutte
15
risulta dalla
diventa
=
7?)(3/
15 ory + 5
questo valore
(/
il
si annulla
irriducibile
a?/^+
A
per
5
annulla
risolvente
metaciclico,ossia che
gruppo
Se
==
257^)
metaciclico ; ma,
numericamente
rimanga
y,
7.') 4' 5' p^^'
a'y+
14
(^-a)^ (/- 6ay+
§. 90.
e
[3colla formola
equivalente
(9)
ad
a,
può quindi
l'equazione di
scrivere
(8)
alla
si
z
per
poniamo
potremo
del
è espresso
esso
per
203
LAGRANGE
seguente
(/
0
A
al discriminante
Quanto
DI
0
^
0
=
primo
e
la
multipla.Dunque:
o
(8)
204
è
CAPITOLO
la (8) o (9) è
irriducibile,
posta
abbia
sarà
risolubile per
radice
una
Si osservi
se
è
Se
le
in
cui siamo
di 5.°
m
grado
intero
è irriducibile. Una
eventuale
di 5** ciò che
intero
contrario
Al
che
è irriducibile
Per
sia
non
^^
+
a
^
di
dicare
giup
+
0
=
e
tutte
-\-b
primo
vente
interi,la risol-
eguale
alF
unitcà,
X
w
5; l'equazionecorrispondente
m
0
=
non
della
a
un
essere
:
forma
-\-òm=^0\
0
=
(9)dovrebbe
luogo.Dunque
aver
5, è insolubile per
solubile
le
numeri
interi divisori del termine
intera
diamo
e
a
radicali.
(3un
intero
valore
lunque
qua-
esatta, Fequazione
S.'' potenza
una
(§.80)
costruire
:
grado
solubile
ri-
,
-\-h
della
grado
facciamo
se
X
si vede
divisibile per
non
5
=
radice
subito
5."
il
e
saranno
(3
5
=
x"
m
in
di Bring
fisiano
a,
divisibile per
non
Ogni equazione di
con
(9)
o
e.
p.
o(^-\-b
divisore
della forma
radici razionali
o^. Facciamo
un
(8)
è certamente
essa
completamente
ora
coefficienti interi
a
essendo
soltanto che la
è riducibile
particolareche
eventuali
25
costante
la proposta
se
(8)o (9) ha
sue
allora
e
la pro-
radicali.
per
supponiamo
stessa
onde
die
equazione
solubile
no
0
allora
però
e
ragionale.
poi
una
§. 90
—
risolvente di Lagrange
sua
radicali
radicali per
per
la
VI.
radicali.
per
equazioni
x^
-\-ax
^^
=
0
risolubili,pongasi
e
si sostituiscano
questi valori
nella
(9); si
5^
.
otterrà
À
[j."
(X-l)^(X--6X+25)
5^ \i?k
P
Dando
a
X
,
avrà
jj.valori
=
(X-1)^(X^-6à+25)
razionali
in
qualsiasi campo
risulti questa
un'equazione (7) risolubile,
di
irriducibile
razionalità
o
si
riducibile.
206
CAPITOLO
si ha
e
VII.
§.91
—
perciò
2%
27:
27r
2x
,
,
,
l'I
i^2
Pa
27t
dunque
Potremo
l'arco
comporre
2;r
2;r
la cui ricerca
un
al
in cui
caso
numero
primo.
In altre
parole possiamo dire che ogni radice
essendo
Si ,
So
.
,
Si otterranno
.
.
in
Ma
sia
£]
,
£2
.
.
.
alcune
.
.
£h
.
la funzione
nei
fattori irriducibili
date
(1) sono
di
e
£„
il
che fra queste
"'
ove
dell'altra
radici
sono
delle radici
numero
r
abbia
con
r
primitive m""'
correre
per-
corrispondentiradici primitive.
le
considerazioni
sul
determinare
generale in
caso
di
il gruppo
che
=
0, 1, 2
.
.
.
di
Galois
per
le radici
tutte
1
m-
primitive quelle in cui
r
è
primo
primitive è (p (m). Ogni altra radice
m
un
equazione binomia
massimo
di
comun
divisore
grado inferiore
x^
Coi noti
facendo
da
e
e
da
,
ogni equazione corrispondente.Per questo ricordiamo
della
è data
qualunque, specialmente allo scopo
composto
scindere
suoi
C2
le radici
particolaretutte
numero
un
CI
dell'unità
w'""
di
.
dapprima esporremo
m
=
sia la potenza
m
pl'^
rispettivamenteradici delFunitcà d'ordini p\^,p\'^,...
£«
rispettivamentead
cui
Pn
corrisponde appunto
£
gli archi
^
l'i
Fi
noti
appena
—
=
1
m
0
"
divisore
con
;
tiva,
primi-
non
è
1
m
radice
,
di
m
.
processirazionali possiamo liberare la equazione (1) da tutte
le radici che
essa
ha
a
comune
con
queste equazioni di grado inferiore
COSTRUZIONE
e
formare
207
razionali
un'equazionea coefficienti
così
indicheremo
X„,
POLINOMII
DEI
di
grado
v
9
=
(;w),che
con
=
le cui radici
tutte
saranno
§.92.
x^'~'^
-f
«2
sole le 'f {m) radici
e
Per
procedere alla
dal
caso
—
cominciamo
-\- «1 x'~^ +
x'
X„i [x)
costruzione
particolarein
cui
.
-f «v
•
•
primitivew*""
effettiva di
dell'unità.
questipolinomiiXm
di
sia la potenza
m
0,
=
un
numero
V
primo m=p^.
tra
Tutte
equazione x''
le radici
1
=
si ha
e
x^
primitive di
non
all'al-
immediatamente
ciò
per
soddisfano
=1
r
(2)X,,-(x)
-^7-^
=
*'""
•^'''"
+ ?^?"''~'''""
+••••+
=
xP
Supponendo
'^'''"'
+ 1
•
-1
di
ora
{x)mostriamo
Xm
conoscere
come
si formerà
tro
l'al-
polinomio
A-nipì'\X)
dove
è
^
modo
un
di costruire
dimostriamo
scopo
che
primo
numero
un
,
divide
non
dei nostri
qualunque
uno
(x)
Xm;"'-
=
;:3r"
X„.(^^
facciamo
osservando
l.*" I fattori lineari
»—
tale
le
del
5
)
proprietàseguenti:
X„,
numeratore
del denominatore
{x^) come
1
X„i (.r^ )
sono
tutti
semplici; infatti
Xm {xn
dovrebbe
polinomi. A
la forinola
(3)
ciò che
allora evidentemente
avremo
m;
soddisfare
radice
una
x
multipla
di
0
=
l'equazione derivata
xp'~'Xm{xno,
=
ciò che
è assurdo
2.* Tutti
i valori
il numeratore
dell' unità, segue
dividendo
m.
poiché Xm (0)4:0
;
di
x
poiché
x^*^ t^
=
che
X,„
annullano
da x^
che
e
é
=
,
X'm
una
fattori comuni.
hanno
annullano
il denominatore
s, essendo
ancora
non
s
una
radice
tale radice
che
an-
primitivam"^"
primitiva,
p
non
208
CAPITOLO
i valori
3.'' Tutti
di
che
x
il denominatore, annullano
del
è radice
YII.
il numeratore,
annullano
del
esserlo
senza
ì
quindi x
e
k
e"''' dove
=
primitiva m''''
'j? è radice
se
sarà
primo
con
di
(a;)
X,,,^,)-
denominatore.
»•
infatti
E
annullare
senza
e viceversa
ogniradice
X„,y,r(ic);
anche
numeratore
§. 92
—
altrimenti
m,
—
1
lo è d''
non
e
r
si ha
x^
non
x^"^'
1
=
sarebbe
r-l
radice
primitiva m'""',e
radice
primitiva m"'"',onde
che
si vede
così la formola
Dimostrata
2^
x''
altrimenti
soli fattori
due
m^f
sarebbe
cioè
nulla
an-
egualmente.
(3),applicando questa
m=pi''^ jh''^contiene
se
per
primitiva d'ordine
è radice
x
d, d. L'inversa
Xmpr (x) c.
subito
divisibile
non
e
la
primi
(2)
vediamo
dixersì jh, P2,
avremo
{X"l
Nel
generale
caso
indichiamo
1) {X"2
con
u-i
m
'
'
si ottengono dividendo
similmente
un
per
m
{m
preso)
com-
della
dividendo
suoi divisori
primi
forma
m
Pi
si ottengono
pari di
numero
[Xo tutti i divisori
con
m
che
m
PiPkPlPm'
pi Pie
e
di
m
fìt
diversi
tutti i divisori
forma
della
che
1)
-
-
PiPkPi
m
disparidi
numero
un
per
tali
fattori;
la formola
avremo
n(#i-i)
X.(^)
(4)
tL^_^,
=
n(#2_i)
i
prodottial
numeratore
e
denominatore
estesi
rispettivamente
essendo
ai divisori [j-ie [t.2.
E
infatti la
diversi
e
un
p
La
l'unità
dalla
vera
(3) risulta
primo
numero
(4) ci
e
(4) è
dimostra
gii altri
sono
che
se
che
se
che
il
contiene
m
è
non
vera
divide
uno
per
due
0
m
lo è anche
primi
per mp\
sendo
es-
m.
polinomio X„, {x) ha
tutti numeri
soli fattori
per
interi. Si osservi
primo coefficiente
poi
che il numero
Irriducibilità
(1) è eguale al
intero Xm
primo
2?,
risultato
n
Il
X„, (1)h
egualeal
primo
solo divisore
un
§. 93.
teorema
Dimostriamo
—
209
m
è la potenza di
m
contiene
(3):Xm (1)
due
un
più fattori
o
1. Abbiamo
=
numero
dunque il
primo
numero
o
col metodo
ora
all'unità,secondo
che
m
diversi.
contiene
ne
o
p
di
Kronecker
T
importante
:
(x) è irriducibile nel campo
polinomio Km
che
al contrario
Supponiamo
9
=
di Gauss
dove, pei teoremi
(x) abbiano
']"
cp (x),
Facendo
nella
si
Xw
X,„ {x)
.
dimostrati
fattori 9 (1),^
è
eguale
dell'unità
le altre
0
=
potenze di
sono
con
sarà
s,
gli altri numeri
1, sia p.
+
=
interi.
uno
p,
dei
due
e.
1
.
fra le radici
certamente
s
primo
numero
un
±
=
sono
poiché,indicando
e
ad
o
(1)
9
(x)
e
X.(l)
necessariamente
(1) sarà
le radici di 'f
1
che
supporre
avremo
1
a
(5)
Ora
§. 59, potremo
al
=
poiché Xm (1) 0
fattori razionali
,
=
precedentex=l,
di razionalità.
{x) 'jj
{x)
primo coefficiente
il
assoluto
spezzi nei due
'x{l).^(l)
e
0
=
:
numero
contiene
dalla
facilmente
primi diversi,
segue
p se
(2).Se invece
dalla
si vede
come
primo
numero
Xm
della
primitivenf'^
qualunque radice primitiva,tutte
una
necessariamente
ossia
"P
(6)
si annulla
(x)
tutte
per
=
'f(x) 9
.
le radici
(x^)'f(x^)
.
di Xm
=
0
.
ed é
.
'f (x'"-')
perciò^
{x)divisibileper
X„, (x),poniamo
^{x)
(7)
Poiché
sarà
segue
"I"(x) ha,
0
=
±
1
X„.{x)Q{x).
X^ {x),per primo coefficiente 1
come
polinomio della medesima
{x) un
"I"(1)
=
e
facendo
±
x=l
1
=
nella
natura.
Ora
e
teri,
giialtri in-
dalla
(5),(6)
(7) otteniamo
X,n (1)0 (1),
14
210
CAPITOLO
0
ove
(1) sarà
intero.
un
assurda
precedente è
Se
VII.
§. 93
—
è la potenza
m
di
primo
numero
un
la
polinomio Xpr(x)
il
perchè X,ì (1)=ì^' dunque
p,
=
r
CCP —1
=
è irriducibile.
-, —
i
"—
xP
-1
dimostrare
Per
si scinde
prodotto
nel
in generale
proprietcà
la
ora
m
fattore
un
'f {.li)
Sia al contrario
Xr (x), X, (*•).
interi.
di
radice
Ogni
radice
una
{x)
p di 9
fra
primi
essendo
(r,s
al solito col
supporre
=
è
0
0 per
=
radice
una
=
le cui radici
le esauriscono
e
per
=
di 'f(x)
radici
delle
(^r)
le
stessa
ragione, le
radice
di
Xm(^)
un
§. 94.
—
0,
^
=
esauriscono
fra
primi
i due
di X,»
(x), che
gli altri
num-eri
0
e
tale
come
prodotto
0. Le
=
r""'
potenze
{x)
=
0. Costruendo
radici le r"" potenze
"ì"(x)
coefficienti interi,
a
Xj (x) irriducibile,
però, essendo
e
dunque
le [/,percorrendo p tutte le radici di
le
tutte
le radici
a
9
radici
di
di X,. (x). Ne
(x) contro
X»
(x)
segue
l'ipotesiche
's{x) 0,
=
e, per
che
la
ogni
'f (x)fosse
di Xm.
L'equazione
alle radici
si è visto, irriducibile
che
dimostriamo
determinarne
il gruppo
(9)
sistema
e
di Xm
che ha per
0
primitivem'"*
0
=
ciò basterà
un
0
=
appartiene anche
fattore
1
[5di Xs (x)
polinomio
(3,esauriscono
a
=
nel
di Xs
X,„ (x)
come
per
=
di X.,(x)
(8)
è,
{x)
un
avremo
Dunque
tutte.
tali siano
m
H
—
quindi radici
sono
radici
sono
ciò anche
soltanto
0
di Tschirnhaus
la trasformata
che
se
or
r
,
?
delle radici di 9
radice
una
loro) decomponibile
di X,- (x)
a
siano
razionale
coefficiente
primo
che
provare
che
{x) sarà irriducibile,supposto
loro, il polinomio Xm
potremo
fattori r, s,
di due
r.s
=
basterà
r„
completo
nel
assoluto
campo
Abeliano
il carattere
di Galois.
ì\, n...r,
di resti
(mod m),
Indichiamo
(v
=
9
di razionalità.
di questa
Dopo
equazione
con
(m))
esclusi
quellinon
primi
con
m;
di
GRUPPO
questiV
Se
è
£
sarà
(9) uno
numeri
DI
GALOIS
qualunque radice
una
(x)
=^
primitivam'""-
B
0
211
(mod m), poniamo sia
1
^
Xm
DI
ri
1
^
(mod m).
e.
p.
e'"
=
,
le
radici
V
cioè
della
sono
funzioni
tutte
sono
(8)
razionali
di
esse
si ha
e
inoltre
permutabilitàdelle corrispondentioperazioni
la
0e(O
2
qualunque di
una
-:'«,
=
ifico 11P
0,(0i(c)) 9,(0, (£))
(§.73) Tequazione (8)
Dunque
di
V
due
permutabili. Se indichiamo
due
che
porta
moltiplicai
in b'ì
,
s
che
la g,, vediamo
g^
suo
G
gruppo
(9) tutti per
numeri
V
adunque: Il gruppo
unità, denotando
di
m
Ti Ti
,
consta
primi
Applicando
Ti T-i
£'''*;
dunque
la gi
.
Ti
.
T^
,
(9) stessi in altro ordine.
(8) sulle radici
Così
m'"^
l'
del-
Tappresentato dalle sostituzioni lineari
a
[j.
(mod m)
a percorrendoi
moltiplicatore
v
=
'p
{m)
meri
nu-
m.
a
questo gruppo
Abeliano
decomposizione del gruppo
di
del
base
.
V equazione
relativi alla
una
zione
sostitu-
gi la
con
delle radici, il
con
,
per
^
(x'
a
con
cangiandoli nei numeri
r.,
i numeri
sono
Galois
radici, è analiticamente
sugli indici
precisamente
in
trasporta ogni altra radice s*^^"
rispetto al modulo
V
il
e
applicando alla relazione
Ti Ti
le
è Abeliana
sostituzioni
a
che
£'• ,n-.
=
=
gruppo,
saremmo
i risultati
in
condotti
generali dei § §.30-34
gruppi parzialie alla ricerca
a
quel capitolo della teoria
212
CAPITOLO
numeri
dei
che
della
tratta
VII.
§. 94
—
formazione
di
sistema
un
d'indici
pei
meri
nu-
composti ^).
In
particolaresi
è la
ni
di
potenza
vede
un
che
il nostro
primo
numero
potenza, esclusi i casi particolarim
Osserviamo
che
ora
è ciclico soltanto
gruppo
il
dispari o
2,
=
m
doppio
di
quando
tale
una
4.
=
posto
m=pi^Pi^
p/
—
,
si ha
V
sicché
'-^
2)f
'f (m) =
=
risolvere
per
corrispondentiai
'-^
i^^-^
i":f (^^
....
divisori
dei
primi
=jP2
--'Pn-l
il corrispondente problema
col compasso
siano
.
(^,
.
1)
-
,
di radicali di indici
numeri
,
1 radicali d'indice
7.1-
.
1 radicali
=2;i, a^-
dice
d'in-
ecc.
Perchè
e
estrarre
ancora
1)
_
la proposta, oltre le estrazioni
p,-l,2h-l
dobbiamo
1 ) (^,
-
tutti
è necessario
sufficiente
e
sia risolubile colla
gli indici
che
riga
questi radicali
di
'^)
2
=
geometrico
.
Abbiamo
Perchè
il
(collariga
dispari di
forma
p
col
e
compasso) è
entrino
m
I casi p
=
in
numeri
fatto
ha
3, 2^
6
=
i
composti,
2",
=
erano
i nuovi
conoscere
deve
composti
2) Un
problema
per
anche
ad
ciò
il
soltanto
fattoriprimi
i
siano
e
tutti della
primi
2".
già
3,
noti
2».
e
5,
i
conseguenti
2". 3. 5
nell'antichità.
La
di Gauss
teoria
casi
17, 257, 65537...
questi.
Dirichlet-Dedekind.
Bisogna
essere
da
*) Cf.
condurre
elementarmente
che
sufficiente
e
prima potenza
numeri
per
p=
e
costruibile
lati sia
m
necessario
alla
m
:
1.
m
per
di Gauss
poligono regolare di
2" +
=
il teorema
dunque
—
geometrico
un'equazione
(§.80)
grado
che
della
Zahlentheorie, Suppl, V.
determinato
che
l'ordine
si risolva
risolubile
estraendo
del gruppo
equazione,
supposta
sia
una
colla
riga
soltanto
e
col
radici
potenza del 2
irriducibile.
compasso
quadrate.
e
tale
deve
214
ed
CAPITOLO
avremo
U
V=)
VII.
§. 95
—
:
^
Ora
?
-
y
-
...
funzione
una
^^^
.
_
,
,
invariabile
e
.
.
^
.
^^c
.
.
,
S^ quindi per
la
per
t
.
e
...
y
e
.
T, è data
tutto
semplicemente da
3
Ylo
=
e
che
i valori
assume
per
numericamente
essere
ora
essa
£.v -f
-q,=
(
.
4- s^'"""^
.
G^._i,e che proveremo
di
gli e seguenti
.
.
-h s^*'"~''"
.
s/'-^^
_^ £/'?+'4-
pi/''
s^^- + a.-- + s.--'4-
vj„_,=
.
espressionidiconsi i periodi di Gauss
numericamente
sono
.
le sostituzioni
+ s^" + e^'"'
+
s
=
Queste
a^'"
+
diversi, sono
/ -/]o
(11)
s^^ +
+
della
distinti basta
(10).Se
si
.
a^^^-\
+
.
e
per provare
appoggiarsi sulla dimostrata
che
essi
cibilità
irridu-
infatti
avesse
cioè
e/'+
riducendo
£/'+^+
ciascun
+ s"''^^~'''=y +
.
.
a
al minimo
g''-
esponente
l'equazione per
massimo,
£'^'+'
H-
=
.
coefficienti
si avrebbe
j,
.
.
+
.
£»'^^'-''^
,
positivo(mod p)
resto
e
un'equazione, di grado p-2
interi,cui soddisferebbe
cioè
s,
la
videndo
dial
(10) sarebbe
riducibile.
Gli
che
e
periodi -q di Gauss
indicheremo
F,
Questa risolvente
che
Ciò
(-0
di
{-q -g {-q -q,)
=
ha
-
risolvente
una
numeri
caso
Qucdunque funzione
.
.
primo coefficiente
questi coefficienti
come
-
.
il
generali,sono
risulta
radici
di
grado
e,
con
(12)
ai teoremi
sono
sono
razionali.
.
=
1
Ma
e
di
gli altri,in
ordine
strare
più possiamo dimo-
interi.
particolaredal
ragionale
{-q--qe^,)
infera
a
teorema
generale :
interi
coefficienti
delle radici
LA
è
eguale ad
in
potrà
primo luogo
"I"
le
essendo
a
4-
«0
=
e
colle
a
Tale
forma
le
-f
e
+
indi
intere.
normale
s'''
+
«3
.
.
.
.
«^,_i =/~^
+
.
che
s^''~"
+
.
=
si ha
1
—
,
coincidessero
,3non
la conseguenza
+ 7., £^
-f-a^ =?"'
4-
per
l'osservazione
.
.
la
+
corrispondentia
sarebbe
(10)
S,
la
per
.
normale
forma
la
"I".
della
perchè, supposto
colle
che
si dirà
Questa
è unica
trarrebbe,
ne
Ora
riducibile.
se
come
la "" è
mericamente
nu-
avremo
s-'""' «0
%-2
se
2^
=
+
ai
£^'+
a^
£*'+..+
a,,_2 s
.
superiore
0!o
e
f
«2 -"
+ £»^-f
£^
invariabile
£
G^_i,
la forma
sotto
porre
interi,indi, osservando
nuovamente
sopra,
a,
le sostituzioni del gruppo
per
l'altra
sotto
se
ai
numeri
215
=
funzione
tale
una
("/])0
^).
intero
numero
un
invero
E
si
invariahile
(10), numericamente
delia
Ff
RISOLVENTE
^-1 =
=
«2
=
=
•
.
•
«^-2
però
"ì)=
_|7.0 (34- a.'/
.
ciò che
dimostra
^) Il
appartenente
Se
alla
testo
teoria
eguale ad
un
Dirichlet).
razionale
numero
è alla
non
dei
un'equazione f(x)
funzione
_!_s^P--)
.
=
_
^,
,
il teorema.
del
teorema
.
numerf
0
=
ha
intera
intero.
interi
prhno
per
delle
(V'.
volta
sua
p.
e.
sue
che
un
caso
particolare dell'altro,
algebrici :
1 e gli
coefficiente
altri
radici, ctie sia razionalmente
Dedekind
Suppl. X
alla
interi, qualunque
nota, è
Zahlentlieorie
di
216
CAPITOLO
§.96.
La
—
Il gruppo
della
rj di
Gauss
la Fé
(tj)
=
è alla
0
la
risolvente
G,
e
§.96
—
sostituzione
periodi
sui
produce
VII.
è
quindi (§. 70)
ciclico
il gruppo
(i, u, u^...u^-0
=
volta
sua
ciclica
sostituzione
irriducibile
Abeliana
un'equazione
a
gruppo
ciclico.
Per
risolverla
radice
primitiva
dell' unitcà
d'ordine
27t
.
,
\-
cos
=
t
sen
—
e
ed
estrarre
indi
Risoluta
la
Tf
radici
della
i
per
dare
al
radicale
un
F^
=
formato
periodi
risultato
d'indice
dalle
rjo, 'Qi
.
.
forma
una
lineare
intera
Poniamo
invariabile
ed
intera
per
a
omogenea
infatti
una
di
tale
la
a
S^
a
onde
essendo
(§. 95)
numeri
S*" è
interi.
Gauss.
Ma
nel
si
può
dimostrando
dei
la
2
per
ipotesi
per
periodi
forma
possiamo
il teorema:
di s, a'',t^
esprimere
"ì" sotto
bile
esprimi-
nostro
caso
delle
razionale
razionalmente
interi
coefficienti
funzione
Avremo
funzione
quindi
al sottogruppo
si riduce
proposta
Ogni
S^
interi
coefficienti
r=})—
le
della
più determinata,
Ogni fìtnsìone razionale
numericamente
di
per
r^^_i
.
(§.74).
e
G^_i
potenze
invariabile
proposta
e
0, il gruppo
("0
la
e
2::
p
di razionalità
assoluto
al campo
aggiungere
occorre
una
s^''
.
.
,
funzione
yjq, i\i
normale
.
.
.
.'(\e-i.
RISOLVENTI
e
però
^
ciò che
In
dimostra
+
^0 "/]o
=
particolaresi
a
domandare
abbiamo
indicato
supporre
che, pel
=
?^iO
=
'lo
=
essendo
.g
.
è
periodi -q
superiore, si
teorema
.
o(,_i •/],_!
,
di due
prodotto
radice
più periodi yj sarà
o
conoscere
siccome
della
una
tale radice
una
allora
a,
si
altro
per
(10), potremo
le altre
sua
radici
può
con
e
mente
evidenteosservando
ha
«0 '^0+
«1 '^l+
k ''lo
+
"1 '/il+
^0 T^O+
5^1^1
interi.
nota
eguale;
Si troveranno
a.
tjo
'=
h,
+
.
Abeliana,.basterà
qualunque
una
?/]o
rt,
.
Ora, supposta
tutte.
dei
il
essendo
=
quale
a
.
indicata.
(-/])0
averle
per
che
osservi
la forma
Ff
L'equazione
radice
+
ai -/ji
il teorema.
esprimibile sotto
le
217
SUCCESSIVE
+
.
.
.
.
•
.
•
•
+
«f-l
+
^e-i -/le-i
-^f-l
4- ge-i -qe-i
•
Aggiungendo
,
queste
a
equazioni
lineari
r altra
risolvere
si potranno
giacché
non
linearmente
essere
possono
per '^0un'equazione
la F^
è irriducibile.
(rj) 0
=
per
§. 97.
—
Fra
Così
le funzioni
-
anche
dalla
di
(13)
grado e-1,
esprimeranno
-qi -q^
applicabileil
teorema
,
.
.
ne
sultereb
ri-
mentre
mente
•^^_irazional-
.
del
§. precedente
seguenti
£^/")
(X s'^+^)
(x s^"+'0 (^ £'^"^'"'0
-
-
-
.
quindi
teoria
in
.
.
,
0, l,2...,e-l),
=
un'indeterminata.
si scinde
è
le
ih
essendo
si
cui
evidentemente
(x
X
coefficienti interi di
a
'qi,ri2...-qe-u
dipendenti ; altrimenti
-qo.
trovansi
la
equazioni lineari rispettoad
e-1
queste
Per
fattori
e
generale. Dopo
la risoluzione
razionali
di
di ciò basta
di
-
e) (x
-
(?^) Ola
grado f,
quindi
grado f:
(x
F^
0
z^')
...(x- s^*^"''^)
=
,
=
come
risolvere
posta
pro-
risulta
zione
l'equa-
218
i cui coefficienti
sono
§.97
CAPITOLO
VII.
funzioni
lineari
—
intere
coefficienti interi
a
dei
periodi '/].
Nel
ciclico generato
a
ed
periodo f
Sopra
di
se
(13)
ha
Abeliana
quindi un'equazione
quindi procedere
potremo
il gruppo
gruppo
per
di
irriducibile
grado f.
sulla proposta
come
f
se
e
fattori
in due
costruire
potrà
ne
è
la
sostituzione
dalla
esse
è scindibile
di razionalità
ampliato
campo
di
risolvente
una
grado
é
le cui radici
saranno
4- s^"^'^'-^'^
s/^^'-^'^-l-^V_.= s^*'-''^+
...
.
I coefficienti di questa risolvente
"E".C^')
=
-
intere
radicale
d'indice
grado f
medesima
Se
per
)
proposta, che
nel
.
.
.{X-
.
f
la
•
in
due
noto
a
zero
questa
fattori:
darà
un'equazione
procedere
potremo
f
i successivi
prendiamo
il fattore
)
c^
Su
campo.
guisa, scindendo
i fattori e, e',e".
.
razionalmente
eguagliato
nuovo
•
=
ef
e
fattori
così via.
primi
di
1, essendo
ritroviamo
L'ordine
e,
della
irriducibile
Abeliana
^-
di yjo, '^li '']e-ie
che si risolve estraendo
irriducibile,
ciò sarà
Dopo
e.
ix-z) {x-^J
nella
.
•
=
di
=
-
.
coefficienti interi
a
^e {'(])0 sarà un'equazione Abeliana
un
(r/ rie^^,) 0
-
.
lineari
funzioni
saranno
{ri r/o)
{ri ri,)
è, e"
nuovamente
secondo
è naturalmente
il teorema
al
cui assumiamo
in nostro
§. 78.
i fattori
primi
Sarà
però
arbitrio.
di y?
-
1
nella serie
utile ritenere
come
p~Ò
ESEMPIO
fattore il 2 in
ultimo
che
guisa
219
gli ultimi periodi
da determinarsi
siano
i binarii
Cloe
£
Questi ultimi
c-\
+
periodi
precedenza
determinare.
radici
e
che,
reali
il
noto
della
immaginarie
§. 98.
nel
soltanto
Per
—
e
2^
i
5
la
dovuto
in
saranno
a
equazione quadratica
alle radici
stessa, passeremo
s
i
pure
avremo
risolventi
dell' ultima
dà
saranno
proposta.
cati
applicaread esempì effettivi i processi generali indi-
§. precedente, prendiamo
=
reali
e
le successive
tutte
£+5~\
2)
Se
reali
periodi binarii, che
colla risoluzione
binario
periodo
dei
Così
,
quindi
saranno
periodi più ampii, aggregati
£^Ve~^^
£^ + £-^
ò
=
periodi binarii
i casi
2'
17
=
.
sono
poiché
si trova
subito
due
radici
grado
F,(r,)=y,^+-^-l=0
•
Delle
di 2."
la risolvente
per
si
una
può eguagliare
-q^, resta
^
da
risolversi
=
possiamo quindi
essendo
Ccaso
y]o l'altra
a
-qi,
poniamo
•
2
l'equazione
x^
-\-1
'(\q3C
—
di 2.°
=
grado
0 ;
porre
-1
*) Questo
^ii-^
,
(x -e) {x- z*)
a
-l-\/5
-l+\/5
'^io=
Trovato
1).
del resto
l' equazione
si
+
può
a;* -)-ce''
+
V5
iVlO+2\/5
+
trattare
^""
+
se
iudipendentemente
+
1
=
0
un'
dalla
teoria
rale,
gene-
equazione reciproca.
220
CAPITOLO
Ove
e
si
cos
=
i
assumano
4- i
-^
0
sen
radicali
positivi,si
vedrà
subito
che
si
ha
la forinola
e
-—
§.98
VII.
5
2;c
2cos—
consente
iscritto
costruzione
una
ora
anzi
ci dà
di 8
geometrica
j}
17
=
ben
semplice del pentagono regolare
la distribuzione
radice
scegliendo per
e
la tabella
tutto
primitivag
S,
=
struiamo
co-
d'indici
delle
radici
periodi e formiamo
in
i
periodi
termini
7]o=
£
+
£« +
£^^+
£^^ +
£^*'+
S^ +
s" +
£^
?q,
£3 ^
£lO+
c' +
S'^+
£" +
£^ +
£^^ +
£«
=
gli esponenti
poi
della
e
-/join due
in -Qo essendo
2
6
-^i nei
per
r/o
14
per
r/g
,
9,13
7,
11
15
,
per
r/i
per
r/g;
cioè
,J
/]o
—
?^il
c+c
1
£^ +
fine scindiamo
-13
,
-16
+£
e' +
,
+e
-14
_L
.J
-4
^2
,
.12
—
=
t/dnei periodi binarli
S
=
+
£^«
'^4
Bachmann
Kreistheilung
,
-9
1
2
r"^
.15
1-81-2
+£+£
y/3 £l0+£n+37^-6
,
io
^) Vedi
residui.
periodi vj'i
-q^ corrispondentiagli indici
due
3,
In
12
,
1,5,
poniamo
non
,
10
,
,
diamo
Scin-
r/or/icorrispondentiagli indici
8,
,
similmente
i residui, in -qi i
periodi minori
0,4,
e
2
^).
Prendendo
che
=rjo=
pag.
61.
222
VII.
CAPITOLO
§§.98,
—
99
fine essendo
In
deduciamo
/;o-2cos—
Sostituendo
in questa per
2
costruiamo
dà
2
cos
§. 99.
di
calcolati
r/ii valori d'i),
y/o,
poligono regolare di
del
alla
=
Siccome
(a),
lati
17
^).
equazione generale
grado che
secondo
di
conosciamo
s"/_|-s^^*
_|_a/
ha
per
radici
i periodi
calcolare
_|-
.
.
_|-,y-^
.
.
già
+
'^io
'Il
=
1
-
,
il discriminante
A
Ora
la
termini
( r^^
basterà
mediante
interpretazionegeometrica di questa forinola
la risolvente
costruirne
per
La
.
Ritorniamo
—
y--r^i.
t:
-^
la costruzione
+
---
(rio
-'/!,)'.
=
abbiamo
fio
percorrendo
a
i residui
^=
i]\
—
2à^
—
quadratici
e
h
i
'
residui
non
(mod p), sicché
possiamo scrivere
'^
dove
facciamo
percorrere
*) Cf. Bachmann,
l. e,
a
pag.
[i
66-
un
.
.
incl
sistema
u
a
completo di resti (mod p),
LA
escluso
Ma
un
lo zero;
ne
RISOLVENTE
223
GRADO
deduciamo:
fisso v^O
poiché, restando
sistema
2.°
DI
insieme
(modi)), I^-'-^
percorre
completo di resti, cangiando nella
interna
somma
a
con
[i
in [j.v,
possiamo scrivere
V
V
r
=^
invertendo
Ora
se
jx^
la
^''^+^^
le sommazioni:
s^+^~\- s^ ^^+^^
somma
è invece
(modi") ed
1
—
^"^^ ^ -'
1 ^
a
V
ovvero,
-
^
.
.
.
+
^^+'^
s^^-^^
in tutti
=—1
è
eguale a
_^^^\ 1)
^"^
ovvero,
=
(
-
perchè la seconda
Essendo
0.-l)_
^^
1)
I-rji)poi (y]o
=
1
ed
ha
per
cercata
risolvente
.
^
nulla:
avremo
,
?/io
-^1=
quindi la
ind
_
è evidentemente
somma
l_-(-l)2
^
^
;
grado è la seguente:
di 2.»
radici
'^0
=
o
'
'il=
-
gli altri casi. Dunque
si ha
A
^
?
n
1
224
CAPITOLO
Dai
generalisi
teoremi
assoluto
+
...
1
+
a;
0, che
=
riducibile
razioncdità, diventa
dì
quindi il notevole
ottiene
L'equazione a;P~^+ .r^^^+
§§.99
VII.
nel
irriducibile
e
V
per
risultato:
campo
aggiunta del radicale
quadratico
\
e
in
si spezza
{-ly^.p
fattoriirriducibili di grado
due
I coefficienti di
questi fattori
{x) Z {x) sono
Y
mola
ciascuno
^).
lineari intere
a
ficienti
coef-
quindi la forma
avranno
coefficienti interi. Ne
polinomiia
,
\
—
funzioni
saranno
i detti fattori
interi di "/jo,"']!;
dove
p
risulta la for-
notevole
p-\
x^-l
X\x)
^~-^
4
=
{-\)
—
pZ\x).
2
X'
*)
La
equazione
medesima
xp
—
1
si vede
cosa
0
=
che
è
dato
anche
dal
il discriminante
calcolando
D
della
determinante
Sp-\
D
S,^l
dove
Sr
indica
(mod^/j)mentre
la
delle
somma
pel quadrato
A
del
precisamente
A
.
.
S^,,-!
.
?•""' delle
radici
siccome
e
s,=
0
per
r^O
della
(—1)
ccJ'-i+
2
cc''-^4-
p/'
.
.
.
-|_^c -)-1
=
0
differisce
non
da
D
fattore
=
Va, cioèV(—1)~2~P,
2 delle
,S^+i
=
D
si ha
Sj,
Sii
...
si ha
s,,=p
Il discriminante
So
potenze
D
che
Sn
=
sostituzioni
—
v-1
=
(—1)
il gruppo
pari.
2
della
x"v-'^.
Ag-gìung-eudoal
X^,(x)
=
0
si riduce
campo
al
di razionalità
sottogruppo
dice
d'in-
TEOREMA
§. 100.
—
un'
dedursi
può
reciprocitànella
225
forraola
Dalla
stabilita
sopra
RECIPROCITÀ
DI
elegante dimostrazione
quadratici,che
dei residui
teoria
della
legge
è la sesta
di
zione
dimostra-
di Gauss.
Posto
S
dove
f r\
ed
—
sistema
un
percorre
r
2 ^^y
-'/il—
'/lo
—
completo
'
di resti
'
(mod p),
escluso
lo zero,
di Legendre, abbiamo
è il simbolo
\PJ
Ora
formola
sia q
altro
un
alla potenze
primo impari;
numero
=^r—
indi
,
elevando
moltiplicandolaper S,
quest'ultima
abbiamo
Za
e,
poiché
qr
percorre
cangiare nel
un
segno
sistema
completo di restì
sommatorie
formola
in qr,
il che
con
r, potremo
dà:
't'Kp/
p/
La
/•
insieme
(a) può quindi
scriversi
?2:r^V'T-2m-=i(-i)'--/--rr)!-T
^1
e
riducendo
gii esponenti di
positivi(mod/;,
dovranno
e
nel
primo
membro
\p
ai loro minimi
risultare i coefficienti delle medesime
resti
potenze
15
226
di
CAPITOLO
eguali dalle due
e
Ora
fondamentale.
dai
parti, a
della
termini
101
irriducibilità
della
causa
della
seconda
parte si ha
""
tutti i rimanenti
e
dell'equazione
2
=[j)
'
^
pel
teorema
p^
^
distrutte
vengono
coefficienti rimangono
quindi la congruenza
avremo
g;
•
(_1)2
2 ( ) ^'
somma
somma
dunque divisibili per
D'altra
§§. 100,
—
essendo
(f' dei termini
le potenze
VII.
(moti 2)-
d' Eulero
fM
(mod q) ;
dunque risulta la formola
,j-i
,,-1
2
è la ben
che
§, 101,
nota
espressionedel
Abbiamo
—
già
si risolve
di
coli'estrazione
quantità razionalmente
una
dell'unità.
sotto
molto
Ora
il segno
ci
un
(ri)
=
radicale
composta
radicale, ciò che
(12)
0
e^jB,che
d'indice
colla radice
conduce
a
a
porta sopra
primitiva,d' ordine
effettivamente
di costruire
proponiamo
reciprocità.
(§.9G) che la risolvente
osservato
F"
di
teorema
conseguenze
la
e,
quantità B
aritmetiche
di
interesse.
Faremo
dapprima il calcolo sulla proposta
xP-^
xP-' +
(14)
corrispondente al valore
subito
;)
—
1
stessa
-\-...-^x^l=0,
di
e
e
dai
quellirelativi alla risolvente
risultati così
F^
(yj)0.
=
ottenuti
ranno
segui-
RISOLUZIONE
Secondo
Abeliana
il metodo
a
ciclico,indicando
X^
le radici
generale (§.74)
gruppo
delle
—
^1
Z,
(14) distribuite
razionale
xp~'^
che
indicheremo,
delle
al
come
(15)
In
la
{p-iy^^ potenza
di (o; per
(16)
calcolare
£
Dalle
farvi per
quest'oggetto
a
radice
una
co
costruire
.
.
.
^y~^
(o"/'-2)/-
+
^
co^"-s^\
la
esprimibile per
razionalmente
(co,e)
e
dopo l'aggiunta
nota
la formola
(«,S) -\ (e./,
S) -f
subito
la
.
.
.
+
j
(cO^-^
£)
.
vente
corrispondente espressione risol-
(r 0, 1, 2...e-l),
rf
=
=
si ottiene
+
?/;,
ossia,poiché (o/:=a
(17)
Ora
con
e
ciò
=
d'ordine
periodo
razionalmente
indi
poi
£«'''~^
=
=
(co'-/
s)
formata
Xp_i
.
(y]) 0.
h
che
.
unico
2
avremo
s
un'equazione
col simbolo
(oi,
=) sarà
si forma
la F^
Basta
di
=^ {(1,^)+
(15)
per
con
§. 74,
di
:
ai»'
co^''
4-
(co'',
=) sarà
la
.
,
\, dobbiamo
=
«s)=
generale
^"'^
=
un
radici
w'^ =-^/+
+
£
in
per la risoluzione
con
X2
,
primitiva della equazione
la funzione
£^
=
22?
0
F^ ('/])=
DELLA
è
+ or '•/'^,
+
co'-/-^i
•
radice
una
(a'-,
-rio) -/lo
+
a'-
=
nel
e
modo
(^''5
"^0)
per
§. 74
•
"h co'^"'
"/•/]._,
,
primitiva della x'=\,
-f a^'--^04-... +
-Al,
colle radici
di F«
l'espressione
a'-'"" y]..,
,
(ri) 0
=
e
colla
radice
a
dell'unità.
si tratta
razionalmente
del
•
dunque
per
(co,
z) e
di
esprimere
la potenza
effettivamente
£)^~^per
(co,
la potenza (7.,
e
(«,-/lo)
-/jo)^
per
«,
co,
(co'',
=) /«=2,3...25-2
come
analogamente
228
CAPITOLO
§. 102.
sistema
Prendendo
—
VII.
scriversi
(w",e)
2i
=
in questa
Cangiando
in
s
poiché [J.Vpercorre
possiamo
A
sistema
[x un
con
"^
=
(io\eO
il clie dà
^
y
abbiamo
liv
'
co
(mod p),
0
£'
completo
di resti
(zero escluso),
2^
f'^
=
£)
((o'',
prendiamo
^
^
"
fondamentale
la formola
(A)
due
(w",e).
co
=
espressioni
(O/,£)
e
un
•
«inda
V^
v\
di
scrivere
(18)
Ora
^
"*
,
/
base
per
^):
essendo
z''
(o/,c^)
e,
primitiva g {moà p)
la radice
la (15) può
d'indici,
§. 102
—
(o/,S)
,
fra loro; avremo
moltiplichiamole
(oV',
£) (C0\£)
2 2
=
percorrendo sì
dello
jj. che
Nella
zero.
in [J.V ed
v
sistema
un
sommazione
'
completo
rispettoa
v,
di
esclusione
resti,con
fisso "^,
restando
'''''''^
2 2 ^^^^"^^'^
==
li
alla
^
cangiamo
v
otterremo
(o/,s) (co^
s)
*) Pei
'"^
calcoli
congruenza
(mod p—1).
seguenti
r^s
si
^''"""^
'•^^^'"^'^
'
V
ritenga presente
(mod ^j),come
l'altra
che
l'eguaglianza
m''==m'-
alla
s'=3'
congruenza
equivale
h^k
230
CAPITOLO
2°
caso
Sia
—
VII.
h^-h^^O
ora
((o'',
=)
e) (oj'',
la
2,
co
V=l
(19) diventa
s
;
Jl=l
si ha
ma
el'^'+^^=_i
2
e
103
Allora
(modi^-l).
2
=
§§. 102,
—
per
2
1,2, 3,...|J—
y=
invece
s^^^=i"-l
2
da
(v=i"-l),
cui
1
v=»
\
-A
/
(/j-1)
/i ind
—
/,
/
\
—
'v
Mndv
v=l
Ora
abbiamo
{j)—\)
=
che
i) (co-^s)
(co",
è da
La
sostituirsi alla
(C) ci
dimostra
ciò che
è ben
risolvere
Le
—
la
(-1)" p
=
(B)
supposto che
dei
tre
nessuna
le
numeri
(20)
sia alcuno
risulti dubbia
non
equazioni Abeliane
(B) (C)
§. 101,
nel
Dalla
(B)
fattovi
nh
nh
,
divisibile per
(n+1)
p-l,
h
avremo
(co'"+'"'',
(0/',
(oi'O
s)
s)t];,.
s) (oj«'',
.-=-
,
nulla,
an-
plicabil
l'ap-
(Cf.§§.78, 79).
conducono
interi
,
ne
perchè
fondamentali
,
e) si
espressioni(to*,
delle
osservare
h
ve
(mod p-l)
che
generaliper
questione posta
0
h-{-Jc;^0 (mod 77 -1).
necessario
forinole
(h^
per
=
non
0 ;
=
/.?
e
V
^^
intanto
dei metodi
§. 103.
—
la formola
quindi
(C)
/« md
—
2
1), è
(mod^;
^^0
e, se
-r—
-vn
risulta
1
/)
ind
con
facilità
a
I
si ponga
ove
NUMERI
((a)
']/„
COMPLESSI
231
brevità
per
^-^''^'^^
J^f~\co"f''^
^^^
^^+^^
(-")
'!^n
(21)
;
a=l
questa quantità '^n(w'O viene
quindi ad
Supposto
che
ora
2h
oh
,
ve
nella
ne
sia alcuno
,
moltiplicando tutte
1
(co",
=)'"
(22)
2
qui h=l,
3
.
,
alle due
.
m
.
fare
successivamente
1
—
loro, col toglierei fattori
fra
parti, avremo
.
.
(co").
-{)._,
.
possiamo prendere
2
nt=l
,
3
...i)-2
,
(22) diventa
(D)
£)(co,
£) -{;,
(co-,
(co)-]),
(co)
=
.
.
quale forni ola esprimiamo, come
(co^s) (co^s)
,
razionalmente
deduciamo
dalla
(C)
(co)
'];,„_i
.
,
si voleva,
,
.
.
.
(coP-^a)
per
(D) per m=p-2
=
dalla
.
By~^ razionalmente
(oi,
s).In line per esprimere (co,
per
,)P-'
(co,
per
(co^-^e)'^,(03)'j.,
(co)
.
.
(co)
-];,_3
.
,
h=l
(co,=) (ctì^'-^
e)
=
che, moltiplicata
per
(E)
h
(oy"^s)'].,
((o'')
(o/)
'l;^
=
Facendo
indi
ni
.
potremo
relazioni
queste
(non nulli)comuni
comuni
colla
.
(20)
,
la
.
,
divisibile per^"-l,
n=
e
algebrico nel
fra i numeri
h
e
intero
un
(1,oV').
campo
non.
essere
la
,
precedente, ci dà la formola
(co,e)''-' —p
=
—p
^, (co)
"\,(co)
'\,(co)
.
.
.
finale richiesta:
(co)
c|;,,_3
.
oì
232
CAPITOLO
Per
ottenere
nella
facciamo
§§. 103,
—
forinole analoghe
le
poi
VII.
(22) h=f,
indi
o/'
per
purché
c., e
=
1, 2, 3,...e—
potremo,
.
"\n(^0 un
si
prenda
complesso
numero
F^
(-/])0,
=
nella
»i
serie
intero
.
che
ci dà:
'^.-1(a)
=
essendo
risolvente
1
(7,rio)'" (a-, -^o)
(a)'K {^J)
'l'I
(F)
la
precede, applicare la (22), il
quanto
per
104
.
,
nel campo
(1,7.)definito
dalla
formola
=''^f"\/"^^
-
Se
osserviamo
poi
che
la
(C)
h
per
=
la
(F)
m
per
e
=
1
-
-
^Y'P
diventa
(a rjo)-^ (a^-\7]o)
(7)
'^ (a)']^2
^
.
,
ultime
fra loro
moltiplicando le
due
(G)
(7.,
'fi,y {-iy.
=
insieme
Questa,
(l^-+l).
dà
f
=
(7.-\-^o) (
(a,r^o)
e
"^^
^"+1)
l^-
'^.(a)
(23)
colla
p
.
.
(7.)
'];._2
,
deduciamo
4^1(^0'\2(^"-) '^-2(^^.)
.
.
•
.
(E), risolve completamente
per
la Fé
(?/])0,
=
la
questione proposta.
§. 104.
del
circolo
campo
Nelle
—
abbiamo
numeri
ordinari
introdursi
delle
i numeri
complessi pei quali Kummer
ideali, ha
numeri
colle formole
di
visto
di risoluzione
(1, 7). Ci è impossibile qui trattenerci
questi numeri
dei
formolo
ogni
costruita
numero
interi nel
§. precedente,si
primo
campo
p
^^
1
sulla
teoria
pel primo,
colla
analoga
ci contenteremo
possa
(mod e)
(1, a).
complessi interi '\n{'^)del
teoria affatto
interi. Solo
razionali
del
una
effettuare
nel
divisione
equazioni della
prodotto
generale di
sua
a
creazione
quella degli
dimostrare
una
come,
decomposizione
di due
numeri
plessi
com-
DI
DECOMPOSIZIONE
ve
non
dei
che
Supposto
tre
sia alcuno
ne
PRIMO
NUMERO
UN
^9
(mocl e)
1
E=
233
numeri
divisibile per
(t./e) (o/';)_'^"^~
dalla
p~\,
(B) abbiamo
"^
,
ed
ind
h
2
,
{h-{-k)
—
(.x+ 1)
ind
anche
_'^ V
(^i^l^y^Ll'i)
facendo
(/t+ A-)ind (a+1)
la
"V
ind (jx+l)
;x-|-(/i-(-fc)
/iind
—
(C), si ottiene:
è lecito
come
ora,
IX+
^ i"d
-
(^+A-)ind(u.+l)
^^^/lindix—
VI
__
E
"
formule, coll'osservare
Moltiplicando queste due
h
=
f, Jc
=
(e-2)f,
la formola:
avremo
(24)
^mdix+ind(ix+l)
^'
y
p^
dà
ix=l
decomposizione di
la
complessi coniugati nel campo
Se,
ci dà
caso
come
la
([x+l),
^_-indu.-ind
y
*
ix=l
che
y.
j^ nel
prodotto di due
numeri
interi
(1,a).
particolare,facciamo
decomposizione di
due
e
=
(mod 4)
j^ ^:^=l
4
indi
nel
a
=
\/
-
1
=
i
la
(24)
prodotto di due numeri
complessi coniugati di Gauss
p
essendo
Ogni
a,
=
{a+bi) ia-bi)
h interi ordinarii.
nmnero
Ne
=
a'-\-h\
risulta il teorema
primo della forma
4
n-{-\ è la
somma
di Fermat:
di due
quadrati.
234
vili.
CAPITOLO
Vili,
Capitolo
Equazioni con un parametro.
regolari. L'irrazionalità
di
secondo
5.0 ffrado
§. 105.
Le
—
di Galois
icosaedrica
contengono
la risoluzione
e
cui fin
equazioni a
avevano
qui
applicatole
abbiamo
arbitrario. Le
fornisce
come
l'analisi,
funzioni
circolari ed
funzioni
le equazioni
ellittiche,
proposta
più importanti equazioni
la trasformazione
ellittiche,le equazioni per
modulari
ci
delle
appunto
appartengono
ecc.
che
dell'argomento nelle
la divisione
equazioni per
le
i cofficienti della
in cui
caso
teorie generali
le teorie stesse
coefficienti costanti assolute. Ma
per
parametro
un
—
Klein.
egualmente applicabilial
sono
Equazioni dei poliedri
della equazione generale
di monodromia.
Gruppo
—
§. 105
—
a
questa categoria.
che
Importa quindi
punto
ci
di vista di Galois.
e
t il
con
occupiamo
Indichiamo
che
parametro,
coefficienti;
l'equazione si potrà
f
è il simbolo
Ordinando
m
della
l'incognita
x
con
supponiamo
equazioni
nostra
razionalmente
entrare
dal
zione
equanei
scrivere
f{xj)^0,
(1)
ove
della teoria di queste
in X,
ad
razionale
di
x
e
supponendo
un
«1 ^'"~^
+
•
polinomii razionali
sono
a
4-
dato
•
.
+
valori
della
che la
variabili x, t.
(1) sia
di
grado
finiti di
^
(1*).Soltanto
reale
e
cioè
per
X
-{-a,„
con
=
0
,
coefficienti
nenti
apparte-
di razionalità
campo
ogni valore
"^m-l
interi in t
(R, R', R"
Ad
intera nelle due
questa si scriverà
«0 '^^
le
funzione
una
le potenze
per
(1*)
dove
di
o
complesso
le
m
.
.
di t
.)
.
corrisponderannom generalem
radici
quei valori specialidi
t che
annullano
«o si pre-
senta
infinite
radici
Questo
la
può
caso
funzione
vediamo
che
coefficienti
con
di
di
nel
.
conterrà
intere
G
per
del
e
del
invariata
di t
Xi, X2.
del
.
.
x,n
§. 106.
massima
con
algebrico sulle
—
importanza
nel
annullerà
annullare
delle
il gruppo
modo
«,-•
.
.
x,„,
.
f)delle
razionale
è
è
essa
(R, R',R"
.
'f
.
radici della
(R, R', R"
nel campo
di G,
m
.
.
.
mane
ri-
)
funzione
una
zionale
ra-
).
{Xy,x.-i....
una
funzione
per
qualunque
invariata
.
(1)
x,„,
t)
di
di t
razionale
sostituzione
di
equazioni
con
un
parametro
dell'equazione,che
monodromia
ha
la
niamo
defi-
seguente:
precisamente
(')Diventeranno
in
sultano
ri-
come
algebrico,
x.
lo studio
Per
detto
così
§. 65:
razionali
coefficienti
rimane
.),
.
algebrico
il gruppo
del gruppo
{x^,x.^
funzione
(R, R', R".
tratteremo.
le sostituzioni
la
se
di t
e
dapprima
senza
tutte
razionali,essa
coefficienti
gruppo
'f
campo
distinguerlodal
.) per
.
del
razionali
coefficienti
con
vranno
do-
coefficienti razionali
con
t, si dirà
ragionali
coefficienti
con
per
infatti costruire
nalmente
coefficienti razio-
suoi
nei
di Y, t
ora
teoremi
razionale
Inversamente
2.^
con
t
parametro
quale
dai
funzione
una
ci hanno
61-G4
l'equazione,facilmente
l'equazione(1*)nel
(R, R',R".
campo
immediatamente
l.''Se
(R, R',R". ..),
che
in fattori irriducibili,
proprietà fondamentali
le
§§.
ogni
nota
.)
.
di monodromia,
Enunciamo
y^a^x-^
.) il parametro
.
campo
ai
per
lo spezzamento
di Galois
equazione
gruppo
più
o
gli altri poli-
e
Potremo
applicabili.
ancora
razionali
funzioni
appartenenti al
dell'indeterminata
ampliato coll'aggiunta
della
una
razionalmente
come
Galols
di Galois, che
(R, R', R"
1
=
(R, R', R".
fondamentali, che
gruppo
esaminarne
t,ed
coefficiente
primo
riguardiamo quindi
la risolvente
Il gruppo
allora
la trasformazione
operando
di razionalità
rimangono
esse
essere
il
considerazioni
le
al concetto
campo
(1) oifre
la
in t.
di t
condotto
ancora
avrà
al campo
t, e
razionale
riprendendo
nel
in y
aggiungiamo
indeterminata
evitarsi
sempre
interi
razionali
Se
che
in quanto
^).
equazione
nuova
nomii
0
d'eccezione
caso
un
235
ALGEBRICO
GRUPPO
infinite
/*
radici
se
il valore
considerato
t=tf^
236
Diciamo
che
enunciate
le funzioni
attualmente
è
pel
da
invariata
razionalmente
se
X
della
del parametro
(1) e
V di
t,
monodromia,
di t.
la sola t, essa
di Xi
,
Xz
.
.
invariata
resta
caratteristiche
sulle
T
Xm
.
di t è
e
qualunque
per
del gruppo
di monodromia
invariata
che
il gruppo
le
T
Ora
cioè
e
che
per
radice
a,
di
coefficienti razionali
in
(R, R'
basta
un'equazione
zionale
ra-
t, essa
partiene
ap-
ogni
dimostrare
il gruppo
il campo
una
prietà
pro-
algebrico
(R, R', R"
l'aggiunta di
un
caso
.
.
.)
un'unica
normale
0
,
R".
.
è in
di monodromia
è in
ridurre
importa ampliare
non
cp (a)=
r
vogliamo
quantità costanti, ma
numerica
Il gruppo
esprimibileper
di monodromia
algebrico G.
di monodromia
tutte
qualunque funzione
di monodromia.
grande importanza
quello di
lascia
x
di t, che sia razionalmente
e
evidente
bene
irrazionalità
.
). Ne
ogni caso
segue
allora
il teorema
sottogruppo invariante
:
del
algèbricoG.
§. 107.
—
razionale
Per
dimostrare
delle
x
razionali
coefficienti
il teorema
enunciato, prendiamo
una
zione
fun-
di t
e
y
con
razionalmente
riguarda come
delle radici
poi
sottogruppo del gruppo
gruppo
la condizione
di monodromia.
T
sostituzione
una
al gruppo
con
si
costante
si deducono
il teorema:
delle
a
quello
assuma
coefficienti razionali,poiché
abbiano
funzione razionale
una
Queste proprietà sono
al gruppo
algebrico
omettendo
tutte le sostituzioni del gruppo
esprimibileper
cioè vale
algebrico G,
considerarsi
per
del gruppo
sostituzione
di
si
T di monodromia
gruppo
funzione razionale
2.° Inversamente,
È
di razionalità
campo
gruppo
Ogni funzione razionale
rimanga
Se
equazione(1) il gruppo
così i teoremi:
esprimibilecome
e
del
ogni quantità
Abbiamo
1.°
che
per
proprietà fondamentali
quelle sopra
nota.
della
107
quantitàcostanti.
di tutte le
Le
§§. 106,
—
dì monodromia
gruppo
VecptaMone acquistaquando
che
da
vili.
CAPITOLO
in
=
'\{x,,x.z...
(R, R', R"
.
,
.r„, ,
t)
.),che rimanga
invariata
per tutte
238
al
aggiungere
di
A
Se
questi
fondamentali
risultati
che
è
{x,t)
{x,t) '];
F
razionali
transitività
decomposizione
in
del
è
numerica
transitivo, la proposta
è
x, t
coefficienti
con
impossibile se
nel
f(x, t)
dice
ra-
a,
'f {x,t)
irriducibile
fattori
di due
qualsiasi.
che
soltanto
'h (x,t) debbono
,
seguenti.
(1) è
prodotto
assicura
algebrico
gruppo
le osservazioni
aggiungiamo
scindere
impossibile
.
La
irrazionalità
sola
una
108
normale.
di monodromia
senso
§§. 107,
—
di razionalità
campo
un'equazione
il gruppo
nel
©
vili.
CAPITOLO
tale
una
coefficienti
avere
razionali.
Dicendo
funzione
la
%
nel
primo
che
senso,
interpretino
x, t
cioè
coordinate
come
§. 108.
del
fissare
Per
—
Ma,
anche
di
riesce
ciò
resto
m
ciascuna
luogo
transitivo.
Ove
di
un
si scinde
non
radici
in
punto
in
curve
di
è
propriamente
.
sono
e
degli
quando
per
f{x,t), la
equazioni
m
la
sua
di
della
x,„
funzioni
(gruppo
di
rami
m
alla
è necessario
delle
teoria
che
la determinazione
una
funzione algebrica
t,i valori
a
.
irriducibile
gli
tali
fondamensiderazioni
con-
le
per
natura.
Ci
hanno
per
funzioni (algebriche
equazioni
ad
un
di monodromia
del gruppo
questa
valersi
limiteremo
qui
ogni
di t
fondamentali.
x,
.
di questo gruppo,
più indispensabile
nozioni
Xi,
proprietà
le
valsi, nei §§. precedenti,di
appartengono
considerazioni
valore
la proposta
che
dall'analisi
per
stabilire
e
ci siamo
la natura
tanto
poche
a
un
una
è
fornite
appunto
Le
due
0
=
abbia
algebriche.
considerazioni
parametro
il concetto
intendere
bene
per
E
rami
f{x,t)
sia
correnti
cartesiane
curva
monodromia
di
gruppo
puramente
dicesi
la
monodromia
di
variabili
due
l'irriducibilità
che
sempre
delle
f {x, t)
minore.
grado
del
intera
il gruppo
piano, ciò significache
un
di
razionale
irriducibile, intenderemo
x,t
si
che
rami
coppia
di
sono
f (x,t)
della
di
variabile
monodromia
medesima
t. In
distinti ;
rispetto
complessa
funzione
coincidono
di
valori
alla
x.
valore
Quando
t.
transitivo) esse
generale, per
considerata
derivata
0
=
analitica
un
valore
invece
sono
di t, che
x
assegnato
due
o
sieme
in-
di x, t si annulla
Eliminando
la
x
più
fra
le
GRUPPO
un'equazione
si avrà
in t
risultante
F
(4)
cui radici
le
(discriminante),
quali
rami
alcuni
complessa, i punti
punti critici non
fatto
con
abbiamo
previa
una
abbiamo
ridotto
il
polinomii razionali
da
A
punto
un
In
ogni punto
da
sempre
A
al
in A
ritorneremo
però potrà
,
essere
daranno
cammino
A C B
gli m
rami
dei rami
che
valore
succede
Xi^
=
sarà di
di t parta
distinti
sono
lungo
il cammino
un
per
e
tiamo
par-
ai valori
in B
ed arriveremo
che
x,
se
scegliamo
di continuità
ambiguità
per
a
punto critico.
legge
per
vi sarà mai
si descriva
da k
partendo
sarà
degli
uno
m
ancora
diverso
con
degli
uno
da
*-,
in A,
sia Xi^
valori
m
È
è assurdo.
Così
rami
cangiarlinegli m
rami
//•
/v»
/y
tAy"Jl
•
•
*l^m
•
stessi
x.j x,^
.
.
la
che
x
.
e.
Xi
ha
in
A,
che
diversi
rami
due
tinuandolo
con,
continuità,
di
K, due rami
cammino
lungo K,
i due
continua
in
^i,„
rami
rami
l'effetto d' ogni cammino
adunque
tA/\
legge
che
chiaro
legge
con
rami, p.
punto
.
il medesimo
lungo
cangiati
dei
uno
alcun
però per
l'accennata
secondo
,
al ritorno
in A
K,
chiuso
cammino
un
passare
senza
scelto
K
il cammino
Xi^ sarebbero
ciò che
sugli m
e
diversi;altrimenti, retrocedendo
pure
Xt
Xy, Xi,
alcun
principioabbiamo
lungo
Xi
per
determinato
che
ora
critico. Se
Xi
passare
intrecciato,che ritorni in A
comunque
,
senza
C B
altii
altro punto B
un
(1*)
in B.
x
Poniamo
ad
gli
e
l'indice
che
ora
d'aver
nella
§. 105,
costante
una
vada
e
perfettamentedeterminato
valore
un
valori della
Xi
piano complesso
del
ad
«o
al
indicata
già
Supponiamo
anteriore,non
scelti nel cammino
con
trasformazione
algebrica. Altri
supponiamo
come
maginando
Im-
indici delle
sono
funzione
se,
pei
t
sulla sfera
ovvero
che
finito)
da considerare
in t.
quel
x
per
qui
di
coincidere.
a
vengono
critici della
punti
valori
quei
piano complesso,
interi
uno
con
sul
coefficiente
del
soli
e
algebrica x
primo
qualsiasiA
cammino
i
tutti
piano (in numero
di questo
diconsi
(4)
della
radici
0
=
saranno
di t distesi
i valori
(0
funzione
della
239
MONODROMlA
DI
cidenti
coin-
diversi
chiuso
K
240
vili.
CAPITOLO
presi
in altro ordine
cioè:
chimo
cammino
Ogni
109
rami
produce suglim
K
sostituzione
una
È
che
chiaro
il nuovo
invertendo
7~\
inversa
le sostituzioni
nel
percorrere,
E
7',il
y,
y'- Naturahnente
y
cammino
chiuso
K
può
gli infiniti
tutti
un
cammino
cammini
A. E
grup2)o
Vediamo
invero
Y'- il cammino
che
è
Il
rami
Ed
ora,
A
l-l
'
i cammini
'
•
K, K,
Ciò
determinato
un
riamo
conside-
premesso,
partono da A
e
vi ritornano
=r.{m))
massimo
di
;
stituzioni
so-
In
Queste
chiusi
n
sostitugioni
y
formano
un
K, K,- producono le sostituzioni
la sostituzione
produce
appoggiandosi
composta
Yj Y»-,
delle
sostituzioni
fossato A
punto
sui
principidella
teoria
delle
zioni,
fun-
il teorema:
funzione algebrica per
dal
partono
se
?"
che:
facile dimostrare
gruppo
della
la sostituzione
produrrà
in A.
—
è ben
subito
composto
dunque
§. 109.
K'
prodotta da
che
chiusi
risulta dal
che
(certamente finito,al
numero
rami.
poi
vamente
rispetti-
K' composto
K
T identità.
essere
Yl
sugli m
K, K' producono
la sostituzione
anche
è percorso,
K^\ produrrà precisamente
con
i cammini
se
K
cui il cammino
secondo
senso
dovuto, prima K
senso
composta
otterremo
il
che indicheremo
cammino,
la sostituzione
Yó
§§. 108,
—
vi
e
Yi
Y2
,
•
•
•
tutti i
'in che
producono sugli m
si
possibilicammini
ritornano, coincide
chiusi
col gruppo
che
T
di
monodromia.
In
primo luogo,per
r,
a
razionale
invero
basta
dimostrare
che
provare
y»
(xi,X2..Xmt)degli
^{,
m
che
ogni
lascia
rami
invariata
di t che
e
=
F
,
F
Ye di A
qualunque
sia razionale
tiene
appar-
funzione
in t. E
avendosi
^(Xi,X.2...
Xnx 0
con
sostituzione
razionale
in t, per
precedente
produce
la y,
i
continuerà
\Xi
X2
.
a
verificarsi
^'«V
"^'^
(^'^
••
=
principiidella
^^^^
.
X,n
J
{t),
teoria
lungo
r^\ ritorno
delle
tutto
in
A
funzioni,la
il cammino
la F
zione
rela-
K,- che
(0 riprende
il
dell'argomento
DIVISIONE
medesimo
DELLA
FUNZIONE
COS
24l
IO
valore, dunque
(^'1,
^*2'
9
Per
•
dimostrare
di monodromia
F
•
monodroma)
appartiene
dice
chimo
che
A
a
•
•
^'»'
0
d. d.
e.
ogni sostituzione
conviene
ricorrere
descritto da
t ritorni
questa proposizione,prendiamo
una
gruppo
della
t che x^er qua-
valore
col medesimo
funzione ragionale
una
del
al teorema
Ogni funzione algebricadi
:
è necessariamente
Ammessa
'f(^1^2'
==
poi inversamente
teoria delle funzioni che
limqiiecammino
^'m' 0
•
(sia
di t.
funzione
razionale
"]^ ^{Xi,X2. .X,n,t)
=
.
invariabile per
funzione
tutte
e
sole le sostituzioni
algebricadi t,
radice
come
di
di A ;
una
è certamente
essa
risolvente
della
una
proposta,e
chiuso la ^, restando
invariata per tutte le
poiché per ogni cammino
sostituzioni di A, riprende il medesimo
testé citato
valore, per il teorema
è
essa
una
funzione
razionale
debbono
dunque
r
ciò
a
È
A
e.
poi che
A
non
del resto
§.110.
Per
—
consideriamo
circolari,p.
lasciarla invariata
le
la definizione
mentre
varia
ed
gruppo
di
appartengono
é facile
a
vedersi
nodromia
mo-
per
il punto A
generalisvolte
nei
equazioniper la divisione dell'argomento
=
A
era
che
ora
di partenza,
direttamente.
illustrare le teorie
quella che, essendo
e.
primitiva del gruppo
cangiando comunque
t
fa
del
fissato nel piano, risulta
(non critico)
punto A
un
questo gruppo
ciò che
sostituzioni
d. d.
chiaro
relativa ad
di t. Le
§§. precedenti,
nelle funzioni
data
COS
IO
,
conoscere
f tv
a;='COS
-
\m
indicando
Poiché
un
m
per
m
intero
numero
=
2
si ha
e
la ben
dimostriamone
nota
la risolubilità per radicali.
formola
±v^
V
basterà
limitarsi
al
caso
in
cui
il divisore
m
sia
un
numero
primo
le
242
CAPITOLO
vili.
disparip, potendosi manifestamente
al
generale. Dalla
caso
cos
formola
[- i
—
che
le
e
sue
è
x
legata
radici
p
sen
cos
=
Xi
sia
p,se
w
si
funzione
cangi in
w
±
cos
=
—
.
da
cammino
un
±
^ t:
2
+
w
2p sostituzioni
Ogni
chiuso.
la t descrive
+
v
ramo
x^
di monodromia
facile
che
poi vedere
a
V
cos
+
"
T
della
,
algebrico dell' equazione
il gruppo
dovendo
algebrico,
(mod p)
sostituzione
2
del
metaciclico
gruppo
del
detto
gruppo
TU
Abbiamo
—
.
p
w
+
2
w-2
TI
p
2
z
,
h
cos
si ag-
il gruppo
fuori
cos
di razionalità
sottogruppo invariante, non
{b)come
una
equazione (a).
nostra
assoluto
sostituzione
dopo l'aggiunta di
ì] cui
,
71
—
T. Intanto
con
di monodromia
alcuna
contenere
x^i
nostra
scono
[3tutti i suoi valori,costitui-
a
al campo
se
2
il gruppo
ramo
della
(mod|").
p
si diano
(b),ove
precisamente
nel
congruenza
quindi il gruppo
coinciderà
chiuso,
,
algebrica si cangia, per questa sostituzione,nel
dalla
che, se
p intero,e viceversa, qualunque
a
w
cammino
un
facilmente,osservando
^iz, con
2
v'^+
v' ^
=^;
piano complesso
suo
+
giunge r irrazionale numerico
ora
iv
p
continuità
con
(6)
E
x,,^i
.
.
si determina
nel
indice v' è definito
Le
1 sen
p
piano complesso
suo
.
,
descrivere
varia
w
particolare
«;+2(»-1)tc
cos
=
r di monodromia
bisogna che
4-
w
w-\-1tz
-
deve
w
cos
==
-
dall'equazione di grado
t
a
p
t
caso
sono
,
Il gruppo
questo
PJ
'IV
cos
iCo =
risalire da
di Moivre
P
segue
§.110
—
7t
w
^
cos
=
p
2 cos
cos
—
P
-
,
P
nere
conte-
potrà
(§.35). Sia
algebrico,
dell'argomento
DIVISIONE
DELLA
FUNZIONE
COS
243
W
cioè
9
(c)
e
+
Xi
questa relazione
a
di Galois
gruppo
a?_i
sarà
p.
2 COS
—
0
a^o =
.
applicabilequalunque
la v'^
e.
TT
—
a
v
che
dell' attuale
dà
2
I
71
o
2 COS
Xa -f- ^-a
sostituzione
.Xo=0.
P
D'altra
parte si ha
2
tv+
w-2
aiz
X^a
^ COS
COS
=
^
si conclude
quindi
CI.
.
p
(mod |")e.
±1
a^
2 COS
=
p
e
2tz
az
.
,
+
Xa
Xo'
p
d. d.
2
Si
osservi
che
poi
V
dell' irrazionale
aggiunta
numerico
cos
t:
è
—
P
si vuole
necessaria,se
certamente
nel
campo
assoluto
r, poiché la funzione
razionale
Xi
abbassare
di razionalità
delle
radici
-\-x^i
cos
=
determinare
od
un
gruppo
sottogruppo
suo
perchè allora
esclude
G
(a)
p
sostituzioni
può
non
di monodromia
7c
(b) di
F.
algebrico della (a) nel
il gruppo
Questo
le
tutte
l'equazion
del-
—
2Xo
per
algebrico G
al gruppo
della
2
—^
è invariabile
il gruppo
assoluto
campo
infatti che il gruppo
essere
d'ordine
ciò è ben
Dopo
multiplo
l'indice di T in G
di 2p. Ma
sarebbe
di
nalità.
razio-
metaciclico,
il secondo
si
caso
p
divisore
un
facile
1
—
di ^--r
puro
—
C
e
siccome
il gruppo
=;
è
un
Abeliano
gruppo
ciclico, basterebbe
risoluzione della corrispondenteequazione Abeliana
far
conoscere
razionalmente
2
2 ;r
^^
cos
e
^^
1
P—
77-
per
-^TT'
^-^
=
"C
d'ordine
la
+
^
''
=
-}-s~\ che di-
s
P
pende,
»
=t
-
-
—
come
sappiamo,
da
un'equazione
Abeliana
irriducibile
di
grado
1
-
.
Dunque
:
Il gruppo
dell'argomento per p della
è il gruppo
algebricodelV equazione {a)per
funzione circolare
metaciclico v'
=
a
v
+ 6
cos
tv, nel campo
(mod p), che
la
divisione
assoluto di
si riduce
zionalità,
ra-
al gruppo
244
vili.
CAPITOLO
v'^
di monodromia
+
§. no,
—
111
-f-" (mod 2^)coW aggiunta dell'irrazionale
v
nume-
27C
cos
rico
—
.
P
Se
ricava
ne
dell' argomento
Ma
particolare che
nelle funzioni
si osservi
radicale
in
che, già nel
d' indice
circolari
caso
superiore
p
sono
un
la
divisione
risolubili per
sempre
3, è necessaria
=
2, qui di
a
equazioni per
queste
radicali.
l'estrazione
radicale
generale colla riga
§.111.
nel
esporre
rami
dei
Ci
—
sono
rami
volgiamo
funzioni
stessi. Le
alle ultime
ora
che
ci
quelle funzioni
di
di
proponiamo
algebriche i cui
coefficienti costanti, di
a
(fratte),
lineari
teorie d'analisi. Il
in molte
esempio di equazioni di questa
specie è fornito
x""
appunto
ricerche
uno
equazioni (deipoliedriregolari)hanno
corrispondenti
importanza fondamentale
ove
è solubile
col compasso.
e
presente libro,trattando
tutti
un
cubico, e perciò il
corrispondente problema geometrico (trisezionedell'angolo)non
in
di
tutti i rami
si
primo
e
più semplice
dall'equazione ciclica
t,
=
esprimono
linearmente
per
uno
di essi Xo
colla formola
?!LÌ
(
S^
/y.
)
^
£
\r
Andiamo
subito
a
e
cioè
una
ad
un
x.
...
il problema di costruire
come
dei
della
le
proprietà voluta, si
(Gap. IV). Sia
f{x,t)
0
=
in x,
m
tale
che
(una delle radici della (5)),tutti gli altri rami
che
tutte
gruppi finiti di sostituzioni lineari sopra
un'equazione irriducibile di grado
di X,
m-l.
0,1,2,
problema già risoluto nella prima parte di questo libro
(5)
ramo
C
parametro, dotate
un
alla determinazione
variabile
=
dimostrare
equazioni irriducibili ad
riconduca
=
indicheremo
ai X
con
-\-
Oi
,7^+1;;
i coefficienti a, b,e, d essendo
,.
(»=i,2,...»-i).
1
costanti
-i\
Ci
assolute.
indicando
siano
con
funzioni
x
un
lineari
246
CAPITOLO
che
Così vediamo
corrispondeun
E
chiaro
gruppo
che
poi
Vili.
§. Ili,
—
112
finito
sostituzioni
(6) di
lineari sopra
sostituzione
qualunque
altro
un
Dimostriamo
—
lineari
cui rami
che
X
sostituzione
fra loro
si abbia
non
cangi
non
del
subito
di valore
alcun
F
sarà
la
funzione
assoggettiamo
per
automorfe
un
gruppo
x
una
due
prendiamo
stanti
co-
di
alla condizione
non
che
A
-
\Ci
X
+
di
,=0
\Ci
X
+
di
E
infatti
(x)
=
richiesta.
e
qui
nale
razio-
funzione
i;
.=0
al denominatore
^(^"
funzioni
una
razionale
(7*)
*) Le
stituzioni
so-
del gruppo.
(6), cioè supponiamo
gruppo
(6),eseguita sull'argomento x,
fattori al numeratore
(6) di
gruppo
sostituzione
tale oggetto
dell'indice
valore
la funzione
(7)
funzioni
sempre
applicando alFargomento
^).A
soltanto
una
vedremo,
'T' ("^^
gruppo
ap-
corrispondente equazione (5),i
equivalentirispetto al
per
costruiamo
che
algebrica,dà
ogni
per
all'altro da
uno
gruppo
A, B, che
che
una
costruire, come
qualunque
arbitrarie
essere
costruire
appunto legatiV
sono
della
inversamente
può
si
questo basta
Per
gruppo,
di,/
,
funzione
nostra
variabile.
ramo.
§. 112.
e
qualsiasidella
ramo
un
proprietà,
una
del
\Ci
plicataad
della voluta
ogni equazione (5),dotata
ad
considerate
(Kleìniane
finito
o
e
le
Fuchsiane
infinito
di
fa che
non
della
del
sostituzione
fra loro i
scambiare
(7). La (7) può
scriversi
rÌ'
=
sono
qualunque
prime
e
più semplici
della
secondo
Poincaré),
che
sostituzioni
lineari
classe
si
delle
cono
riprodu-
sull'argomento.
COSTRUZIONE
essendo
[
(R-)
Si osservi
ad A
({^(x)^
interi
247
REGOLARI
di
grado
in x,
m
definiti
,=0
f M^)=
n
che
(aiX+bi) A(CiX+di)
n
^
le radici
similmente
e
POLIEDRI
DEI
:
I
a
EQUAZIONI
(.r)polinomii razionali
(x),'];
9
forinole
dalle
DELLE
-
(
)
]ia,x+bi)-B{CiX+d,)\
di 'f {x)=
le radici di
0
4»{^)
0
=
valori
glim
sono
valori
glim
sono
di
lenti
equiva-
x
equivalenti
B, onde, per le ipotesifatte,i due polinomii 'f {x),tj)
(x)risidtano primi
loro.
fra
Indicando
t
con
F(.)
rami
gli }}i
funzione
della
^) di grado
irriducibile
si consideri
parametro,
un
'f^
=
=
^;
di f, così definita
algebrica x
'f {x)~t'!^(x)
0,
=
appunto
del
legatiad
dato
gruppo
di essi dalle
qualunque
uno
dei
come
§. 113.
della
causa
di rotazioni
gruppo
È
—
dei
Xq, Xi
funzione
della
Xi
=
Ci Xq
*?)Che
entra
(9) sia
linearmente,
scindesse
comune
la
in
di
due
-j—
equazioni
gruppo
il gruppo
,
di monodromia
ciò si osservi
X2
.
.
•
delle equazioni
che, indicando
con
Xm—\
{1 0, 1, 2
=
-T
.
.
.
m
-
1)
.
[~ ai
risulta
'f (x),ò
fattori,l'uno
'f(a:),
'!^{x).
le
algebrica,si avrà
irriducibile
mentre
diconsi
poliedriregolari.(Gap.IV).
facile determinare
(iUj
rami
neari
li-
lineari
rappresentazionegeometrica del
(9) dei poliedriregolari.Per
gli m
di sostituzioni
cinque tipidi equazioni (9).Queste
a
poliedriregolari,
sostituzioni
(6).
Corrispondentemente ai cinque tipi di gruppi
(Gap. IV), avremo
dall'equazione
m
(9)
saranno
l'equazione
di
(x)
subito
sono
essi sarebbe
dal
primi
fatto
fra
che
loro.
Se
indipendente da
il
parametro
tp {x)
^
e
—
/
sarebbe
t vi
'}{x)
si
fattor
248
CAPITOLO
Se
le
in questa formola
Vili.
§.113
—
^o in
cangiamo
altro
un
qualunque
dei rami,
Xn
espressioni
nuove
Xi
=
gli
saranno
rami
in
(1
r--,-
0, 1,2
=
.
.
+ ""
Ci Xk
(10) in altro ordine.
Ad
.m-1)
'"
(
sostituzione
ogni
/
\Ck, dk
del gruppo
e
le
corrispondecosì
determinata
una
formano
corrispondenti
Y
Questo gruppo
un
razionalmente
porta
T
rami
sugliw
(10)
Nella
1
di sostituzioni
delV
di monodromia
radici
oloedricamente
sostituzioni lineari. Ora
della
Xi
tutte
ed
una
dimostriamo
transitivo
proposta
è in F
morfo
iso:
equazione.
è certamente
(linearmente)vi
in Xk.
Xq
Yw—
•
di monodromia
delle
qualunque
una
•
(6) di
è il gruppo
infatti il gruppo
E
•
gruppo
fondamentale
al gruppo
che
Yì
sostituzioni
m
To) Ti
per
sostituzione
una
siccome
e
le altre si
mono
espri-
sola sostituzione
relazione
^! X(j -\- Oi
C'tX(^ 'X' di
eseguendo questa
sostituzione
-
Xi
Possiamo
di
ai Xk
+ ^i
Ci Xk
-\rdi
algebrico dell'equazionecoinciderà
per
ciò
coir
aggiunta degli
ampliare
coefficienti
nei
(
irrazionali
"
^
j
del
di razionalità
quale campo
che
figurassero
eventualmente
coefficienti
nei
comparire
senza
gruppo,
il gruppo
proposta (9)
dei coefficienti della
numerici
cangia in
F. Basterà
di monodromia
col gruppo
di razionalità
il campo
Xi si
).
,
in
appunto che
u
_
domandare
più
si vede
F,
di
\Ci 5 dij
della
(9) sviluppata.
Dobbiamo
che, dopo tale aggiunta,una
dimostrare
\X{j, Xi
r
i) La
medesima
risulta
cosa
da
.
,
.
Xm—i
)
considerazioni
funzione
razionale
V
di
continuità,poiché
aixA-hi
,.
mino
chiuso
.
,
che
cang-i
°
.
x^"
m
cci'i
cangerà
D
,
pui-e
I
con
0.-
-i.-
continuità
un
cam-
aiXk-[-bi
.
"
m
.
.
t-^
.
(.fX^-{-di CiXk-f-di
GRUPPO
rami
degli m
di t che
e
razionalmente
E
nota.
¥
è razionalmente
onde
F{Xo,Xi,
i
.
.
funzione
In
p.
{XoXi.
.
di F.
0,
(^0 t)
']"
,
deve
e
X,n-i,
.
0
=
U
-^
simmetrica
di Xo,Xi..
equazione (9).Se
con
i
Xo
v
gli
rami
m
e
in t
coincidono
a
-
fosse
Xy—^ -\-h
—
—
e
Xy
^
=
tQ né possono
a
X(^ ?{- h
=
-\- d
r
e
X(i
•
•
/v*
t
U,'i
=
i
—
coincidervi
a
v
ogni polo
d. d.
punto critico,
f
essendo
j
'
rami
v
a
Xj^i
-j-"
e
a?y_i
+
d
maggiore,
numero
che
se
ni
,
verrebbe
Il valor
x^^x^.
—
/vi
/y»
t//|
%Mj
.
,
•
•
comune
sostituzioni
del
/y*
«^
«
x
=
i, comune
gruppo
\Cv_i
a
y
1
dei
'
viceversa
poiché,
y
in
C(idJ \cidj
e
e.
piano complesso t
tale
un
'
'
le denominazioni
secondo
a
-\-d
Xi
'
'
1
?
"A/Q
precisamente
=
in t
"
1 5
?*'V—
•
.
ne
—
if ^o è
j
»
-\- d
•
è evidentemente,
e
nel
saranno
aXx\-h
'
Xi)-\-d
-f ^ (^»"-i^)
rami
coincideranno, in
ax,^-\-ì)
•
è razionale
.Xm^i,
critici della nostra
coincidano
.
•
,
quali e quanti
e.
invariata
quindi rimanere
(^0 ^) + 'M^n 0 +
sostituzione qualunque del gruppo,
una
di ^
e
trae
ne
•«'0 »*'l
tutti
:r
—
=
Se
avremo
x^,
^ {^Oì '')
"
^=
t)
Xm-i,
t, essendo
per
per
sarà
coefficienti appartenential campo
delle
.
t)
}
fine possiamo vedere
punti
ove
Xm—i
cci, Xi...Xm
di F
che
segue
come
.
in Xo, t, con
le sostituzioni
tutte
per
nota
.
razionale
funzione
ampliato. La
.
le sostituzioni
per
infatti,
esprimendo
razionale
{Xo,f)è
^I^
dove
invariata
rimanga
(^0? Xi, X%^
r
249
MONODROMIA
DI
v
§§.43, 44,
e
un
polo
mune
co-
cioè
(?v-i
sostituzioni del
gruppo,
è- il
250
valor
Gli
vili.
CAPITOLO
di
comune
rami
distinti dei
valori
—
coincidenti
rami
v
§§. 113,
—
in t
la
per
funzione
nostra
algebrica.
sistema
quindi un
to sono
=
114
completo
V
poli fra
di
sostituzioni
del
in
avremo
al
ogni
che
tre
caso
punti critici
i
equivalenti hanno
non
classificazione
la
punti critici salvo
il
ove
tipo I) (equazionicicliche),
per
equazioni appartenenti
dei
numero
tipi del
dei
le
le
polisarà
di
soltanto.
due
§. 114.
Le
—
equazioni dei poliedri regolari appartenenti ai primi
quattro tipie cioè le equazionidella piramide
e
quelledel tetraedro
dell'ottaedro
e
Non
equazionibinomie.
diversa
natura
hanno
doppia piramide regolare
gruppi risolubili ; queste
da
definita
essa
naturalmente
viene
in questo
ad
appunto,
senso
successive
quelle definite per
ampliarsi il campo
estrazioni
delle
di radicali. Se
lità,
irraziona-
nuova
equazioni risolubili ed
l'equazionegenerale di
vedremo,
come
diventa risolubile per irrazionalità icosaedrica
plice.
sem-
(irrazionalità
dell'icosaedro)
di radicali permettiamo quella di questa
all'aggiunta
oltre
a
l'equazionedell'icosaedro,il cui gruppo. è
così
L'irrazionalità semplice da
quindi di
della
o
radicali,cioè riducibili
quindi risolubili per
equazionisono
è
tanti
sono
poli
però, secondo
e
gruppo
risulta
classi di
equazione quante
della nostra
Gap. IV,
equivalenti,onde
loro
e
5.°
grado
da
per radicali. Lasciando
parte lo studio delle altre irrazionalità dei poliedriregolari,ci proponiamo
ora
di studiare
per far
l'equazionedell'icosaedro
i
conoscere
più importanti risolventi
sue
dal cui libro
principiidella teoria di Klein
modificazioni
appunto, salvo
le
e
di secondaria
^)togliamo
dei
importanza, le ricerche
§§. seguenti.
I calcoli che
variabili
dei
e
omogenee
In
eseguire verranno
dovremo
primi teoremi
primo luogo andiamo
del
Osserviamo
dapprima che
£
scrivere
a
teoria
sotto
delle
forma
forme
omogenea
briche.
algele
stituzioni
so-
=
se
nella
forinola
di Cayley
(I) §.51:
X,tA, AAo+BBo=l,
'
*) Vorlesungen
filnften Grade.
della
facihtati dall'uso delle
icosaedrale.
gruppo
(11)
molto
iiber
das
Ikosacler
(Leipzig-Teubner
uncl
1884).
die
Auflosung
der
Gleichungen
von
SOSTITUZIONI
la variabile
cangiamo
mente
la trasformata
siamo
coordinare
s
s
nel
qnoziente
m-^
251-
OMOGENEE
di due
variabili
nuove
alla sostituzione
non
omogenea
,
simil-
e
—
(11),pos-
l'altra omogenea
(
+
^'i
A
=
^1
B ^2
+
(12)
[ ±s^=
quale, fissando
nella
r unità, resterà
ciò ad
(12), ad
Gv
gruppo
queste
sostituzioni
Gov di 2^"
gruppo
Gn corrispondendo in
dalle
ogni
si presenta
possibilefra
volta
ima
oloedricamente
Pel
nostro
per
secondo
un
in
i: ^1
di meriedria,
dentemente
corrispon(12),che
G.m
con
le due
guisa
da ottenere
all'identità
diedrale
gruppo
le ricerche
del
forma
± ^2
corrispondenti 8
*) Klein
ordine
un
•
^):
nella
di segno
di N
omogeneo
gruppo
(12) sceglierne
che
osservare
cosa
è
alle
dare
,
z' =±
sostituzioni
—
sono
omogenee
/o,±i\
r±i,o\
vo,+iy'
V0,=Fij'\±i
/o,±i
oJ
,
già impossibile
infatti,
quattro sostituzioni
normale
/±i,o\
l.c, p. 45.
sostituzioni
(Vierergruppe).E
di 4 sostituzioni
§. 46, possiamo
tal
una
z
le
2.°
G^?
ci basta
scopo
^'2
=
,
determinazioni
z' =±z
e
sarà
,
di
invariante
la domanda
naturalmente
isomorfo con
corrispondentila
2
due
consideriamo
avremo
omogenee
Per
sostituzioni
due
=
TI
(11),
omogenee
Gas il sottogruppo
^'i
Qui
quelle. Se
sostituzioni
essere
corrisponderanno
ne
di
sola
debba
di segno.
determinazioni
(11)
una
non
isomorfo, col grado
evidentemente
formato
fra le due
omogenea
non
di
una
di N
un
in
la scelta
ancora
,
sostituzione
della
il determinante
sostituzione
ogni
omogenee
un
che
Ao^2
Bo^i +
-
'
v+i,
0
252
CAPITOLO
vili.
§. 114,
—
115
/ 1
Ora
sicché
nel gruppo
basta
che
evidente
dall
la detta
che
osservare
figura anche
che vi
mostrare
scelta
luna
lidentità
figuranecessariamente
omogeneo
'
1
sostituzione
f-\
quadrato danno
al
Ora
il gruppo
\ 0, i
anche
qui la
dell'icosaedro,come
la
drale,per
abbiamo
qual
dato
che
scrivere
ora
è
si genera
S)
e
=-
del
omogenee
di questo
colle due
/
sostituzioni
4
riferirsi alla forma
basterà
cosa
di
e
l'ottaedr
del-
però
e
impossibile.
le sostituzioni
alle sostituzioni
esso
quelli del tetraedro
pure
sottogruppi diedrali
domandata
cosa
Vogliamo
0
,
[
appunto
contengono
ele-
(
,
\0,-^/
vate
rendere
j per
Ciò risulta subito
segni è impossibile.
di
l'altra
e
(
l'altra
0
,
(
normale
in
e
gruppo
sostituzioni
gruppo
icosae-
che nel
§. 49
dare
particolarericor-
elementari
^
(s-'-s)^4-(s^-s^) (^ «')=
Riducendo
avremo
le
corrispondentisostituzioni omogenee
al determinante
1,
:
± S^ ^1
^'l
=
(13)
per
la S
per
la T
^'2=±£'^2
V5.^'l=±i(8''-S)^l+(S^—c^)^,|
(13*)
V
e
con
queste
due
5.
sostituzioni
G120. È bene
icosaedrale
icosaedrale
col gruppo
icosaedrale
^',=±1(8^-3^)^,-(£^-0^2!
Gi2o 'i'^on ha
che
osservare
G^o
e
l'intero
genereremo
siccome
gruppo
omogeneo
questo G120 è isomorfo
questo è semplice, così
altro sottogruppo invariante
:
Il gruppo
omogeneo
che il gruppo
del 2.°
ordine
^
§. 115.
omogeneo
—
Introduciamo
icosaedrale
1
=
± ^1
ora
^'2
=
,
la nozione
G120 colla definizione
± '2'2
•
di forme
invarianti
seguente:
del gruppo
254
CAPITOLO
È facile
vedere
ora
vili.
priori,pel modo
a
fondamentali
Gi2o,che le forme
§.115
—
H, T
/",
di
qualunque altra forma
e
riantiva "I"(^i,^2)si riproducono assolutamente
del
icosaedrale
omogeneo
gruppo
4"
invariante
composizione del gruppo
qualunque sostituzione
per
infatti
^).Supponiamo
(^1,^2) acquisti,
per le diverse
inva-
sostituzioni
che
di
la
forma
Gi2o,i fattori
differenti
(14)
«1
Se
sostituzione
la
per
a, a,
onde
art',
due
sostituzioni
due
per
i
v
composta
•
«V
•
v,
=
•
"ì" acquista i
formare
(14) è
si ha
fattori
rispettivi
acquista il fattore prodotto dei
gg
(14) debbono
numeri
d'ordine
essendo
.
g' di G120la
g,
qualunque numeri
di due
gruppo
«2
,
di
un
nuovo
di
uno
ciascuno
quindi per
cioè
gruppo,
il prodotto
essi. Questo
dei numeri
(14)
ini
a*
1 e, siccome
=
sono
vediamo
differenti,
v
1,
nel
^'1==
a
± ^1
=
della
causa
Se
non
^'2
+
s; sia
offrono
^2
1
che
i
1
s''=
e
la rotazione
periodi r=
oy
2, 3,
2
=
una
0
d'indice
s^
(^'i,
v
formano
v
i moltiplicatori
e
del gruppo
=
^
del
sostituzioni
inalterata
délV icosaedro
l'
del-
corrisponderà
1
l'altra delle due
certamente
è di
gruppo
perchè,
grado pari.
icosaedrale
seguirà intanto
5 ne
ov
A''
periodo.Ad
suo
poiché le rotazioni
parte quelle sostituzioni
per la 4"
invariante
il
quali lasciano
le
,
v=l,
D'altra
r
poi A
(a),ogni formazione invariante
conclude
ne
e
=
operata sulla "i"produca in
G'^o che
la g\ che sarà \
omogeneo
,
e
-V-l
s^
g di
"/ed
corrispondentea
gruppo
s,
sostituzione
una
questa la moltiplicazione
per
icosaedro
posto
dati, in altro ordine, dalle potenze di
(14) saranno
Prendiamo
che
3,
=
ov=5.
di Gi2o,cui
evidentemente
in G120 un
,
sicché,per l'osservazione
catore
corrisponde il moltipli-
in fine al
sottogruppo
§. precedente,
si avrà
v
1) La
costruzione
proprietà.
=
1
0
v==60
effettiva dalle
forme
0
120
v==
f, H,
T
(§. seguente) confermerà
la
FORME
Abbiamo
INVARIANTI
necessariamente
quindi
255
ICOSAEDRALI
v
il che
1
=
la
dimostra
,
proprietà
enunciata.
Se
consideriamo
le potenze
f, H%
forme
avremo
tre
potremo
comporre
invarianti
linearmente
grado
60
e
due
con
ed omogeneamente,
qualunque
di
esse
coefficienticostanti,
con
"l" (^i,^2),
cioè sussisterà
fondamentale
qualsiasiforma
p.
la relazione
e.
"l"(^,,^2)=".f+[J^H^
(15)
dimostrarlo
X, \i costanti. Per
con
di
r,
già determinata,
è
sia fissata
delle
una
a
forma
una
valore, possiamo dare
conveniente
che
osservare
di
meno
radici. Ora
sue
manifestamente
sempre
l)asta
fattore
un
il secondo
ad
delle
una
costante, quando
della
membro
e, dando
invariante
sue
damentale
fon-
forma
una
al
(15)
rapporto
radici
-
è
un
qualunque
valore.
particolarerisulta
In
Fra
a
le tre potenze
f",H^,
T^ sussiste
:
relazione
una
lineare
omogenea
costanti.
coefficienti
§. 116.
Cominciamo
—
dal
costruire
z
Possiamo
quindi
f=z,
poiché si
cj,, e'- (c+
0,
=
ha
in
a^
,
forma
la
f, ì
cui
£'•{r+e)
{r
=
0, 1, 2, 3, 4)
z,'uIz,
-
£'•(e+s^)
z^
z, I
\.\z,-£'•(s^+£^)
generale
n
{z,
—
z''z2) z\
=
4,
—
sarà
=
.
porre
(=0
f
punti
punti (Gap. IV §. 56):
nei 12 vertici dell' icosaedro,cioè nei
sono
e
il teorema
qui
di
^i ^.
[4
-
i^^+^r4]
.
[4
-
(s^+ s? 4]
.
radici
256
Vili,
CAPITOLO
§. 116
—
avendosi
Ma,
troveremo
(^jo+ll^^
f=^.^^
(16)
valori
H
calcolare
Per
di
z
nei
e
loro
T
punti radici, ciò
coi
perveniamo
che
periodi 3
che
modo
la
più
forma
dei
i
cercando
otterremmo
2. In
e
osservando
allo scopo
servendoci
procedere similmente,
potremmo
rispettiverotazioni
delle
4")
—
breve
ed
Hessiana
poli
gante
ele-
della
f,
il determinante
cioè
9^1 9^2
ay
9Y
9^2 ^^\
è appunto
totalmente
Ora
drale.
sarà
di
grado 20
invariata
nella
ed essendo
sostituzione
ogni
per
/"essarimane,
omogenea
del gruppo
avendosi
§. precedente,
{a) del
forinola
di
covariante
un
qui
f,
icosaeN
=
20,
necessariamente
a
cioè:
forma
V
Hessiana
di
p
=
=
5
=
0
,
f coincide, a
Y
=
,
di
meno
1
fattore numerico,
un
H:
Poniamo
con
Klein:
H
=
11^
e
come
col calcolo
(17)
H
effettivo troviamo
=—
(^f+4") +
228
(^f^1
—
s\ sf)
—
494
sf 4".
colla
LE
Similmente
è
è
forma
per
ciò,salvo
numerico, poniamo
di f la forma
invariante
fattore
un
=
T
(18)
Come
già abbiamo
combinazione
e
basta
in
confrontare
dall'una
fra
per
in
la
I
alla fine del
9H
9^1
9^o
(4"4'+4' 4")-
10005
—
/^ ff
parte
e
T è
una
:
dalF altra i coefficientidei termini
forme
con
è
U\\i.=—
=
1;
dunque
1728
=
f
=
12'
f
superiorie le osservazioni
generali al §. 112
delle
equazioni dei poliedri regolari ci pongono
T equazione dell'icosaedro,eguagliando il quoziente
grado di scrivere
ora
9H
,
+ ff
risultati
costruzione
di due
9^2
4')
di
1728
f^,ff, T^
T
—
coincide
trovare
(19)
§. 117.
e
osservato,il quadrato della forma
omogenea
X=
la relazione
30
di H:
Disponendo di questo fattore
3^1
(^f4—4
sopra
lineare
^f sf 4 per
=
e
sviluppo effettivo
^«+^«+522
=
grado
f
—
20
collo
di
di
:
T
troveremo
T.
numerico, con
257
Jacobiana
icosaedrale
1
e
f, R, T
FONDAMENTALI
covariante
un
quindi una
che
FORME
Z,
fondamentali
e
di
ponendo poi ^
§. 115, risulta
che
grado
=
60
^\ Da
l'arbitrarietà che
al parametro, che
quanto abbiamo
resta
cheremo
indidetto
nella costruzione
17
258
vili.
CAPITOLO
dell'equazionedeir
corrisponde
fratta. Fissiamo
lineare
sostituzione
una
icosaedro
§.117
—
far
a
subire
Z
parametro
l'equazione
Klein
con
al
saedro
dell'ico-
ponendo
J^.
(I)
=
l'identità
e, per
forma
sotto
di
proporzione
(P)
Z:
del
L'equazione
dunque
Z—
ha,
funzione
1=H':
1:
,s'»
+
f.
disteso, sarà
per
del
nel
piano
quali corrispondono
medii
punti
Z
la
per
aZ
sostituzione
attorno
a
Z
=
1
si permutano
Sappiamo già (§.113)
dell'icosaedro
col gruppo
è
il gruppo
definisce
e
la
dall'altro colle
critici dell' equazione
hanno
medii
rispettivamente per
delle
a
2
intorno
e
F
a
=
GO
ed
al gruppo
qo
5
subiscono
a
5.
dell'equazione
oloedricamente
F
che,
3), similmente
a
di monodromia
L' irrazionalità
algebricoG
Z
sentazione
rappre-
evidente
icosaedrica
3
in fine
ed
nostra
icosaedrale, rende
(si permutano
d'ordine
icosaedrale.
costole
(I*).La
dell'irrazionalità
il gruppo
che
0.
=
oo,
=
risulta dalla
ordine
2
precisamente
di rotazioni
abbassa
3.°
punti
che
la rete
0, i 60 rami
ciclica del
^
1, Z
=
facce, i punti
delle
geometrica,mediante
attorno
I tre
valori
s
interi
Z
!)•'.
—
rispettivamente
sono
0, Z
=
e
si ottengono l'uno
rami
i vertici stessi dell'icosaedro, come
girando
razionali
icosaedrale.
gruppo
Z
i
1)^—12^ /(^^'^-fll/
228/+
di Z, i cui GO
algebricas
(II) dell'icosaedro
una
T-: V2^
—
si vede, coefficienti
come
sostituzioni
indici
continua:
:
Essa
ai
l'equazione dell'icosaedro
grado dell'icosaedro,scritta
GO."
(II) (^2«—228^'' 4-494
GO
scrivere
anche
(19), potremo
Z
isomorfo
numerica, la cui aggiunta
di monodromia,
è
qui
ini
la
radice
delle
b."^
=
=
sostituzioni
algebrico G,
e^
dell'unità,che è l'unica irrazionalità nei coefficienti
del gruppo.
nel campo
È
assoluto
facile
quindi vedere
di razionalità.
s^s'+s'+s+l
=0
quale
Siccome
sarà il gruppo
ducibile
l'equazione irri-
EISOL
che
definisce
=
licaun
m
Ma
gli ultimi
radice
una
4X^0
=
due
=
(§.107),
l'ordine
ovvero
casi
m
da
sono
il
quadrata,
(§.94)
cF ordine
gruppo
invariante
sottogruppo
come
259
lCOSAEDRA.Lt
VENTI
4
escludersi
quoziente
dei
deve
di G
m
2X60,
=
G
e
m
sarà
dato
da
60
=
perchè, estraendo
rami
due
F
contenere
x^, Xi
al
simo
mas-
bx^ :
=
-^=
Xq
rimanendo
invariato
; basterebbe
noto
conoscere
per
§. 118,
cui formazione
dromia
gruppo
Le
hanno
vogliamo
è
possiede
risolventi
col gruppo
risolventi
corrispondono
cercate
rientrare
l'enumerazione
ai divisori
gruppo
Troviamo
in
gruppo
loro
gruppo
ha
della
risolventi,
l'osservazione
un
gruppo
icosaedrale
di
nerale
gemono-
Geo, poiché questo
diversi
di 60, ciò che
alterno
così
su
come
5
di sostituzioni
ed
sottogruppi. Ogni
dei
lineari sopra
una
variabile,
di ciò è facile
tipi possibilidi sottogruppi corrispondenti
corrisponde
all'enumerazione
dei
sottogruppi
elementi.
possibilisottogruppi:
sottogruppitetraedraii
effettiva esistenza
dell'icosaedro.
indici
sottogruppi di Geo
cinque tipi del Gap. IV; dopo
dei
uno
dei
7.0
La
diverse
ai diversi
gradi rispettivamente eguali agli
deve
quadrata
semplice.
sottogruppo di Geo, come
del
di queste
isomorfo
oloedricamente
radice
una
occuparci,premettendo
ora
qualunque
una
di
allora razionalmente
è assurdo.
L'equazione dell'icosaedro
—
che
Testrazione
cioè al massimo
ciò che
e,
le sostituzioni di F, sarebbe
tutte
per
Così
i
risulta
12.o
„
„
subito
dalla
sottogruppi diedrah
ispezione diretta
del
lO.o
ordine
del
sono
260
Vili.
CAPITOLO
quelli che
afi"ni in
loro
^).I sottogruppi
cinque
quelli che
sono
sottogruppi fra
5 tali
tutti fra
sono
per vertici i
risolventi
possiede quindi
dell'icosaedro
L'equazione
tetraedrali
che hanno
ottaedri
dell'icosaedro; esistono
costole
delle
dei
uno
dell'icosaedro;essi
diametro
un
di 6
numero
fìsso
lasciano
fisso
lasciano
§. 118
—
medii
punti
loro affini
^).
dei
rispettivi
uno
speciale
gradi
30
12
20
risolventi
Le
interesse
dei
ultimi
due
ed
grado
5.°
metodo
elegante
ora
di 5."
grado.
'fo
Scelto
utilizza
le
Prescindendo
da
sola
una
risolventi,Klein
si
invariantive
proprietà
fissare
invariata
(^i ^2) che rimanga
mazioni
trasfordi
risolvente
che
e
di
serve
noi
un
siamo
pas-
le idee, alla risolvente
per tutte
,
sostituzioni
noi
per
cinque sottogruppitetraedrali,prendiamo
dei
uno
hanno
5
grado.
eftettiva delle
che
,
manifestamente
descrivere, riferendoci, per
a
forma
una
di G.°
formazione
la
Per
sola
una
,
gradi 6,
osisto
di TscHiRNHAUS,
5.
6
,
ci occuperemo.
di queste soltanto
e
10
15
,
,
,
tetraedrali.
omogenee
sole
e
Applicando
le
denti
corrispon-
questa forma
a
le
120
sostituzioni
120
icosaedrali, otteniamo
omogenee
le sostituzioni icosaedrali
che
del
costruiamo
il
forme
5
=
-
fra loro
permuteranno
Ora
alterno.
gruppo
-—
secondo
stinte
di-
tuzioni
le sosti-
prodotto
"=4
n
('f— (?,?)
,
indicando
con
'f
indeterminata.
una
corrispondente polinomiodi
Nel
5.°
grado
1—4
1) Un
del
e
5." ordine, che
le rimanenti
è
10."
ordine
S
trasformare
diametro
deve
rotazione
qiiindiuna
debbono
fìsso il medesimo
del 4.° ordine
intersecano
le rotazioni
invariante
la sfera
del gruppo
contenere
nn
diametro
S
di
potenza
ima
ciclica S
sostituzione
una
ad
attorno
in
e
dell' icosaedro
lasciare
quindi
(sottogruppi semimetaciclici).
12."
del
sottogruppo (tetraedrale)
2) Un
drale
del
sottogruppo
; i tre
in 6
tetraedrale
assi
punti
ordine
contiene
ortogonali delle
che
debbono
sono
i vertici
dunque
un
rotazioni
di
lasciar
un
sottogruppo
die-
di questo
gruppo
sotto-
ottaedro
regolare ;
fisso questo ottaedro.
262
§. 119
vili.
CAPITOLO
seguenti^j;
le
4
2{^ì-b')^,^,
—
4
—
^ì + 4
z\
Possiamo
prendere
£"*)
^1 ^2
(e -r
2
—
^\-
—
al
semplicemente eguale
t
di queste tre
prodotto
risulta:
forme, onde
t
{z\^ 4) (^t+
=
^?^2-
2
6
44
2
—
^,4 + 4)
.
ovvero
(21)
^
Una
del
di
medii
sulla
che
4
5
—
facce
delle
vediamo
che
4 4
5
—
è
quella
Hessiana
che ha
per
per
.
le sostituzioni
indici delle radici
(proiettatidal
perfettamente simili
deir8.°
della
4 + 4
considerato
considerazioni
forma
2 ^1
—
invariata
ancora
dell'ottaedro
la detta
fattore, la forma
^2
rimane
sfera).Mediante
§. 116,
un
^2
sottogruppo tetraedrale
gli 8 punti
del
4
2
forma
seconda
detto
centro
4 +
=
grado
W
quelle
a
sarà,
meno
a
t. Poniamo
dH
94
W
=
n
9^
94
e
troveremo;
(22)
w=
(4+4) + (4 ^2-^1
-
altra forma
Qualunque
tetraedrale
W
sostituzioni
^) Si
abbia
del
Per
le 60
gruppo
riguardo
si
2)
segni
Si
noti
che
di «1,22.
t,W,
come
per
7
-
le sostituzioni
le due
per
^),le
4)
•
del sottogruppo
fondamentali
dell'icosaedro, ovvero
icosaedrale
(4 4-^ì
nostre
le
per
forme
t
e
120
^, e W
formule:
£*—
i
(4 ^ì—^\ 4)
esprimerà
rotazioni
omogeneo
alle
7
-
invariabile
in considerazione
(Cf.§. 115).
4)
£
forme
=
(£2— £3)(£2+£3)
di
grado pari,
restano
invariate
cangiando
FORME
LE
si mutano
rispettivamente in
le potenze
S'
5 forme
263
otteniamo
distinte che
fondamentale
sostituzione
della
^ E W
TETRAEDRALI
applicando
forma
S, cioè, sotto
genea,
omo-
le sostituzioni
S'-) Z\
± e"-^1
=
(r
(21*)
tr
(22*)
£''•
^?+2
=
W,.=
'J"-
4^2
di t, W
£'?^t4
0
—
7 £^''
^1
Le
tr e
le W,
precisamente
alla
riportiamo
agli attuali
^
o
la rotazione
T
elementare
4+£''-4
£"?^
4
—
.
cinque
fra loro le
corrispondenti e
ottaedri
del
§.55,
osservando
ottaedri
pei cinque
che
cinque forme
ci
che
le
corrispondono
la rotazione
ciclica del
se
5.°
elementare
ordine
(Wo Wi Wo. W3 W4)
0
prodotti di
i
^ £"'^1
—
£'?^1
—
la sostituzione
W
avremo
,
7 e'-44+7
—
deduciamo
t, h ts Q
(^'o
e
5 s"'zUt
—
permuteranno
A, B, C, D, E
indici 0, 1, 2, 3, 4, ne
sulle forme
produce
i
come
,
rappresentazione geometrica
ivi date
denominazioni
S
dell'icosaedro
rotazioni
60
4
t,- W,-
con
s"'44
e"'4^2—7
^f+s=^'-
—
± £''?
^2
=
0,1,2,3,4).
=
rispettivivalori
i
Indicando
S\
,
due
trasposizioni
{tit,)
{t,U) 0 (W,W^)(W3W4),
fissa ^0
restando
§. 120.
—
0
Calcoliamo
i coefficienti della
le cui
radici
Wq.
in
equazione
le forme
sono
che
Osservando
ora
a,
primo luogo,secondo
di
5.°
sono
forme
.
icosaedrali
gradi
rispettivi
dei
6, 12, 18, 24, 30,
se
ne
subito
dedurrà
a
=0,
b
=
kf\
e
=
(20),
grado
fo,fi,t-z,fs, t^
b,e, d, e
il §. 1 18 formola
0, d=ìf,
e=ìnT
,
264
CAPITOLO
essendo
§. 120
—
coefficienti numerici, sicché
h, l,ni
facciamo
Jc,l,m
determinare
Per
vili.
^2
l'equazione sarà
1
=
questa dovrà
•s' e
•s'i
=
,
giarsi
can-
nell'identità:
(/+2 /-5
^+l)'4-/v^(^''+ll
/-l) (^'+2/—
/-5/-2
-f Z/
termini
dei
in ^1 ^2
sicché
f
Per
di
dividere
grado
i valori
che
appunto
48
Questa
Klein
Una
iv' (1
—
Zf
—
é la risolvente
chiama
la risolvente
seconda
,
^2
l. e,
Poniamo
104.
0
=
.
-1
m=
e
cienti
i coeffi-
T
—
40
0.
=
icosaedrale
T da
f,H,
basterà
(§.118)
cangiarla in
una
ciò
per
f^
funzione
u
di
z
=
e
-
la
(23), avendo
ri-
dell'icosaedro,diventa:
u''(1
di 5.°
delle
risolvente,la
pag.
^
•
Z) +
—
15
2^
—
12
=
0
.
grado dell'equazionedell'icosaedro
11
^).
risolvente
f
*) Klein
dedurne
tali potenze di
guardo all'equazione(P) §.117
(III)
/+1)
di Jc,
l
risolvente
una
t per
risulterà
^+l)-f
si scrive:
12
con
-^''^—522
^+1)' +
2
10, l =45,
—
in
in ^1
zero
5 0' -2
per
10/"^=^
+ 45f
—
cangiare questa
moltiplicaree
forma
=
l'equazione richiesta
(23)
costante
danno
^
5 /—
/''— 10005
10005
il termine
osservare
/—
1)*(/+2
/'—
(/H522
-f m
Basta
(^'«+11/—
/—
5 ^'—5
delle r, si ottiene
ponendo
che
RISOLVENTI
Per
calcolarla
scriviamola
5.°
DI
(23)
265
GRADO
così:
f
dividendo
quadrando, poi
e
(IIP)
che
(r^
r
è la risolvente
nel
Gi2o sulle
la radice
Z
e
costruiamo
teoremi
dai
radici. Per
del
dovranno
invece
di
la radice
quadrata
^1
0.
=
un
Siccome
ty diventa
razionali
essendo
razionale
nel parametro
anche
Geo è
irrazionalità
come
nel
rica,
nume-
opposto. Ora
caso
della
il
(23),cioè
speciale,
p.
e^'' questo
e.
valore
quello per,s'2=
numerico
non
1,
risce
diffe-
,
radice
dalla
quadrata
del
discriminante
x'^-\-x^ -{-x^ -\-X -\-1
che
considerare
basta
ts),
—
allora
brico
alge-
il gruppo
ovvero
se
del discriminante
numerico
valore
stesso
sarà certo
razionale
{tr
Il gruppo
(III)o (III*),che,
contenere,
numero
un
G^o
questione
della
numeri
saranno
quadrata
osservarne
la
Geo di monodromia,
II
basterà
sarà
Geo sulle
alterno
generali §. 118.
decidere
discriminante
i coefficienti
algebrico e
0,
=
è il gruppo
esso
di razionalità
il gruppo
per
la radice
se
5
quadrata
invariabile
gruppo
di monodromia
assoluto
campo
1)
—
la r, abbiamo
-
r.
risulta
cinque radici, come
12MZ
a
di queste risolventi?
al gruppo
Quanto
col sostituire
+ 45)'+
r
delle
è il gruppo
Quale
totale
10
—
f^
per
contiene
Dunque
Le
risolventi di 5."
saedro
hanno, nel
gruppo
totcde ; questo si abbassa
per
§. 121.
mediante
—
la
campo
specialirisolventi
di ò.°
di razionalità, per
al gruppo
gruppo
algebricoil
alterno, che è il gruppo
di
nodromia,
mo-
^5.
la risoluzione
irrazionalità
0
delVico(III*)dell'equazione
grado (III),
assoluto
l'aggiunta di
Per
=
V^ (§-99).
l'irrazionalità
:
dell'equazione
della
icosaedrìca
grado
equazione generale di
hanno
dell'icosaedro
6.°
grande importanza
in cui
mancano
la
grado
quelle
quarta
266
potenza dell' incognita
la terza
e
vili.
CAPITOLO
Appartiene
§. 121
—
di queste
e
appunto vogliamo
ha
questa specie l'equazione che
a
per
ora
cuparci.
oc-
radici
Wo, Wi, W^, Ws, w„
giaccheS W,-
-W^,
e
nulle. Lo
identicamente
sono
radici i
esistono forme
il
primo membro
nulla.
identicamente
Ne
T
della
di 8.°
e
di 16.°
che
risolvente
costanti
grado,
ha
per
14
28. Ma
e
di
si ha anche
grado =^22, quindi
ponendo
Tf,.W,.,
^W,. +
arbitrarie, anche
gradi
icosaedrale
che
deduciamo
=
dei
forma
una
Y,
o,
dicasi
stesso
icosaedrali
è
(24)
con
icosaedrali
prodotti
giacché non
perchè
forme
esistendo
non
l'equazione di
5.°
grado che
ha
per
radici
della
mancherà
4.^
S.^
e
corrispondenteequazione,
Y^ +
Y
=
—
che
5
a
che
dall'osservare
cominciamo
potenza. Volendo
'ff
(o w,. +
1
n
YM
5
pY +
(a) §. 115,
troviamo
non
Y
forma
una
la
0
=
,
si ha
tr w,.)
=
'n (w,.) 'ff
(Ci4-
-
T
.
icosaedrale
potrà differire da H^
di
che
tr)
.
1=0
1=0
(Wr) è
effettivamente
scriveremo
)-=0
Ora
calcolare
grado
per
un
con
X
40
e, per
la formola
coefficiente numerico;
quindi subito
n
D'altronde
dalla
(w,)
(23)§. 120,
=
H^
—
indicando
ricaviamo
un'arbitraria,
l'identità
x^
_
10
f\' +
45
r
"^
—
T
=
n
(X
—
tr)
,
RISOLVENTE
onde, facendo
X
risulta
=
,
n
e
267
PRINCIPALE
(a +
G^
t,)
X
=
10
—
/"0^ x^ +
/-^a
45
T t^
però
Y
Per
H'
=
calcolare
poi
a,
[o^
[3ricorriamo
osservando
i
P
Per
[3=2(0
20
espressioni dei
gradi
si
coefficienti,
a
le
p.
delle
Gx''+
f
45
alle formole
e.
15a=2(aW,
—
Sviluppando
fo^ x^ +
10
—
—
W.
8
=3
=
—
cangiare
secondi
membri
G-'+
/?'
/"H
g"
T g'^i -f 72
4-
Z''H
18
f
G^ x^
G
+
X'
+ /"T
H
T
l'equazionedi
nuovamente
come
G
x^
(25*)
V
(24)
sopra
-^
=
;
si scrive
(26)
Y,.
ni
=
Vr
-\-n
Uy
Vr
,
si ponga
^H
(27)
che danno
potenze
per
che
ne
di o, x,
sono
i
m
==
—
xHT
^,n=—^
x^
.
+
27
5.*' grado
inoltre
/o-r^
di Newton
icosaedrali
T
ove
.
+ x^,W,.)'.
u=''f''
la
x^]
trova
(25)
allora
T
Tif,W,)='
+
corrispondenti forme
icosaedrale,poniamo
e
x^ +
—
r^
f
H
x\
nelle Y
in
una
solvente
ri-
268
CAPITOLO
Sostituendo
i valori
Vili.
che
§§. 121,
—
risultano
ne
per
122
a,
nella
x
in
equazione
Y,
questa diventa:
Z Y^
(IV)
^
15 Y
+
+
^8m'
5 Y^
+
4 m^
-
Per
del
risolventi
naturalmente
e
Y
tutte
^
deUa
considerazioni
campo
totale
al gruppo
assoluto
sulle
5
dici.
ra-
alterno, che
è
di Tschirnhaus
le forinole
trovare
P
che
una
determinate
dell'altra
sono
e
si potrebbero
razionalmente
esprimono
di costruire
ora
forma
risolvente
una
di 4.*^ grado invariabile
per
un
di 6.°
grado.
sottogruppo
Gio semplicemente la seguente
ha
0,
è il gruppo
n,
m,
le
algebrico nel
gruppo
grado (III),(IIP), (IV) sopra
trasformate
perciòcome
diedrale
=
suo
valgono
gruppo
questo si abbassa
Occupiamoci
—
Prendiamo
^
grado
-).
r
per
§. 122.
che
suo
aggiunte
di òJ^
facilmente
M
5.°
di monodromia.
il gruppo
Le
Il
V^
di
^^
_
^).
§. precedente.
raggiunta
+
15M^^+4n:^
+
Klein, la risolvente principaledi
di razionalità,cui siano
Per
;
^-Y=zy.
+
".^-
determinazione
del
stesse
-h
^'''^+''')
+
n
f
(48 i^
3
dell'icosaedro
la
12 m'
,_^
Questa dicesi,secondo
equazione
^-
i
=
radici nelle
punti
e
00
rimane
estremità
quindi
l
del
invariata
1, b,
O
Grio
,
congiungente i poli
il sottogruppo
per
b
,
diametro
diedrale
^)
O
=
[ u, US, us^ us^
*) Klein,
l.
e.
pag.
106.
2) Klein,
l.
e.
pag\
106.
3) Si
di
z\
osservi
considerare,
=
+Z2, 2'2
=
che
per
+Zi
il
la
prodotto semplice
sostituzione
cangerebbe
di
U
segno.
Zj z^
che,
us^
.
che
sembrerebbe
,
scritta
sotto
forma
più
naturale
omogenea
è
270
Troviamo
che
Vili.
CAPITOLO
così per
cangiamo in
9
l'equazione:
risolvente
una
§. 122
—
Icosaedrale
ponendo
.Hi..
^
otteniamo
sostituendo
Quale sarà
la risolvente
per
C'—
(V)
12f'
12Z'C
lOZC'f
di questa
il gruppo
dalle
00
rotazioni
(Cf. §. 55). Del
rotazioni
dell'icosaedro, cioè il
che la S
('fo
'fi'h
ferma
lasciando
9^
la T
mentre
,
indotto
modulare
(jruppo
sulle radici
sulle 6 radici
l'effetto
direttamente
S, T, troviamo
elementari
0.
'f2' 'f3, 'h
ri"
resto, calcolando
=
è il gruppo
esso
'f«' 'fo.
óZ^
+
risolvente?
di monodromia
Quanto al gruppo
domandata
prodotto dalle
produce la sostituzione
ciclica
'h)
'h
produce il prodotto di due
trasposizioni
'h)
('fo
? J ('fi
fisse 'fa, fs.
lasciando
v'
del
gruppo
assoluto
=
V
+
il gruppo
le due
sono
v'
1
modulare
esso
teorema
stesso,
ovvero
algebrico della (V) nel campo
contenere
=
alla fine del
il gruppo
'^^,aS-S7^0
modulare
il gruppo
§. 42,
non
lineare
sostituzioni
v'
elementari
(mod 5)
-
=—
Quanto al gruppo
invariante,pel
sostituzioni
,
di razionalità,dovendo
sottogruppo
che
modulare.
Queste
(mod 5).
potrà
totale
come
essere
di
120
PRINCIPALI
EQUAZIONI
Per
per
^
decidere
V alternativa
della
equazione (V)
1
=
dà
subito
che
adunque
Il gruppo
di
§. 123.
mancanti
di
V^
dei
del
numerico
p. e.
Ora
dei
di 5."
(IV)
di 5.°
razionalmente
ricercare
sarà
in
Della
è
per
un'equazione principale,
nota
V
e
di
grado
5.°
al campo
radice
equazione
di Galois
risolvente
drata
quadell' i-
della
(V).
un'equazione principale
prendendo
se
o
=
la radice
di razionalità
possibilecostruire
ridurre
quadrata.
una
quadrata
del
di Galois
risolvente
suo
scrimina
di-
che
sia
icosaedrale.
di 5.''grado
primo luogo che l'equazione^fe^^era^e
alla forma
principale(28),estraendo
equazione
data
af +«1
una
di monodromia,
grado:
al campo
dimostriamo
costruiamo
luto
asso-
0, 1, 2, 3, 4;
1^
aggiunge V-'^
si
precisamentela
essere
precisamente un'equazione
radice
oo,
incognita.Se
della
3.'' potenza
risulta
inversamente
aggiungendo
sempre
nel campo
equazioni
le
r+="i^r+'jpy+v
y,
grado,
totale sui G indici
denominazione
colla 4.=* e
(28)
può
di 6.°
(V)
grado (IV)§. 121
coefficienti della
ad
qualunque
Ma
lineare
questa
con
discriminante
vogliamo
cludiamo
Con•
•
termini
viene
cosaedro
e
minante
discri-
quadratica V^
l'irrazionalità
modidare, che è il gruppo
L'equazione
—
di razionalità
l
del
quadrata
calcoli il valore
ne
risolvente
il gruppo
al gruppo
indicando
si
la radice
:
razionalità,è
aggiunta
ed
se
e
contiene
esso
algebricodella
questo si abbassa
V
si consideri
271
GRADO
,
si vedrà
e
il che
5."
DI
re''
+«2
trasformata
di
^^+«3 x^+ai
di Tschirnhaus
5.*»
grado.
rc+%
=
0
ponendo
sia
+ Ai^ + A2«/3 + Aa^' -f A^y
2/^
+
As
=
0.
soltanto
una
272
Vili.
CAPITOLO
di fare
Si tratta
Al
Ai, Ag
siccome
e
rispettivamente,è
Ed
cioè la radice
qual modo
razionalmente
^
=
W,.
J^l5
t, Wr
(-.''?
z,
—
(c^'^1 +
—
onde
che
segue
b"-z,)(7 4
-
=
Ora
R,
S
le due
=
^35
z])
la
per
(29)
^
equazione
costruita,
è effettivamente
è espressa
J-4
z\'4 +
26
(^P
39
—
^?4
£'•^,)
39
4 4 + 4'
26
—
£
Yi +
£
£'•z.^S
,
Yi+c'-Y, + a^Y3 + £^Y,
Yo +
£^ Yi
+
£^ Y3
c^ Y, +
£
+
Y3 +
s
£=^Y4
£^ Y,
=
Y3 + £^ Y,=-
5 ^1 R
5 z,
R,
cercata
l^=_Yo
+
s
Yi +
£^Y, +
£^Y3 + £^Y4
=
^2
Yo +
£^Yi + £^Y2 +
—
la forma
r.
e^ Y,,+
z\zf)
^ 4")
assume
-f-(s^'z, +
+ s^Yl + £^Y,+
7
+
deduciamo
,
(24) §. 121,
in o,
(4
+
espressioniseguenti
Yo +
Yo +
cui la formula
grado
della equazione
dedurremo
ne
2.°
richiesto,
icosaedrale
come
{b"s,
—
b"-z,) R
espressionilineari
costruiamo
^2?
-
dalla
—
(s^Yo)=Yo
da
4
5'-z,)
{e"z,
=
(s,Yo)
e
esaminare
£^'z,) (—
Y,-,data
la
Y,.
essendo
nel modo
(21*)(22*)per W,., t,.(§.119)
ciò dalle formole
{e"z,
=
e
le radici
per
(IV).Per
risolvente
una
7.
di 1.°
dell' equazione dell' icosaedro
~
J-O»
della
le
a
grado.
icosaedrale
risolvente
(IV) questa
principale
in
di 2.°
(28), converrà
principale data
nelle
prendere
potremo
all'oggetto di costruire
ora
0 ;
=
intere omogenee
un'equazione
soltanto
risolvendo
,
che
chiaro
Aa
0
=
funzioni
sono
risulti
che
in modo
§. 123
—
£
Ys-hs^Y^'
che
esprime la radice
della risolvente
x
equazione principaledi
Poiché,
DELL'EQUAZIONE
ICOSAEDRALE
RISOLVENTE
5."
§. 119, alle rotazioni elementari
(YoYiY^YsY,),
sulle radici Y,, inversamente
si
s
subirà
le due
Notiamo
subito
che
se
nella
tZ
che
Y3+-S
Y,+s^ Y,-|-.^
sussisterebbe
invece
Z
anche
se
I risultati
—
(28)
i/
razionale
fossero fra
sostituzioni
del gruppo
elementari
e
loro
.
5.°
del
indipendenti,la seconda
a
ricercare
se
=
0
la
(IV),se
zione
cioè la fun-
dalla formola
alterno
gruppo
e
Y,
X,-\-s'
naturalmente
visto verificarsi per
icosaedrale
s
grado qualsiasi
+ ò^.f+6?t/-^'!
data
e^ Ys+e^ Y,
sussiste soltanto in forza delle relazioni
precedenticonducono
delle radici
sulle
icosaedrale.
gruppo
Yo_^ Yp+s Y^ + s^ Y,+
'Yofs^ Yi+.^ Y,+
Yo
Y^-f-s^
le Y
alterno
prima forinola,e cioè:
la
mentre
quello che abbiamo
le 60
del
(.2_^3^^_^.4_3)
un'equazione principaledi
accade
del gruppo
—
è un' identità nelle Y
non
§.124.
,
elementari
espressione(29) della
Y,-h£^Y3+s^Y4+e^
Yi+e
per
segue
sostituzioni
Z
per
ne
(YiY^) (Y3 Y,)
eseguisconoqueste permutazioni elementari
Y, la
l'
S, T del-
corrispondono rispettivamentele sostituzioni
icosaedro
z
per le radici della
icosaedrale
grado (IV).
si è visto al
come
273
PRINCIPALE
in
sulle i/,subisce
particolareper le due
le 60
tuzioni
sosti-
sostituzioni
:
(2/32/4)
(2/0^1^22/32/4)(2/12/2)
,
u
274
CAPITOLO
del
alterno
gruppo
dell'icosaedro
Vili.
§. 124
—
le sostituzioni
subisce
generatriciS, T
del
gruppo
:
Quanto alla prima sostituzione
si è
già
osservato
sopra
che
ciò ha
luogo infatti,anzi indipendentemente dalle relazioni
22/,-
(")
cui soddisfano
le y. Per
dovendosi
perciò le
5
,
due
delle
conto
0,
=
la verifica riesce
la seconda
tener
^yl
0
relazioni
alquanto più
plicata,
com-
{b). Introduciamo
espressioni
(r 0,1, 2,3,4),
(^'\yo)=y,-^'-'ys
=
.v=0
e
trasformatrici
funzioni
figuranocome
che
nulla
quali la prima (1,^o) ^
delle
per la risolvente
causa
a
della
di Lagrange
prima
delle
[h).
Poniamo
(=%yo)
la
ove
6o sana
=0
5
=
6r
risolvendo
e
0, 1,2,3,4),
(r
=
questo sistema
lineare
rispetto alle y,
avremo
{r=^0, 1,2,
e
la 2.^ relazione
(h)^7jl
=
la
=
indichiamo
con
fi io i
nelle
diventerà
Ì,U-\-^2^z
(32)
Ora
0
3,4)
0.
che
valori
i:
£i la dopo eseguita
assumono
,
,
permutazione
(yiy-z){y-iVi)
ed
avremo
\ à\=yo
f 5I2
=
+ e'?/i
+
2/0+
s' 2/1+
£
^2
+ s'ys+ s'2/4
=' 2/2+
s' 2/34-
s
2/4,
le
ossia per
(33)
DELL'EQUAZIONE
ICOSAEDRALE
RISOLVENTE
275
PRINCIPALE
(31):
(
_
I
6^,
D'altronde
la formola
+ lJ^3-f
+ l]a,4-[2(s+ 3^)
\(/+-')+ S]Ì,i-[2 (s^+s^)
=
da
trasformato
il valore
di X
essendo
verificarsi
c^-3^
(e^-E)X +
_
diventa:
(=-.^)ail2+ (^-^) e,a;
-
la
=
quale,pei valori (33) di ti,Ì2,si riduce
è verificata per
che
Così
della
dunque
la
funzione
razionale
,
alla seguente
X, data
le sostituzioni
per
sostituzioni lineari del
costruiamo
o
(32).
la
proposta (28) subisce
le 60
del gruppo
icosaedrale
gruppo
e
radici
(30), delle
dalla
per
alterno
sulle y
conseguenza
se
l'equazioneicosaedrale
(À-"—228X''+494
^^^^
0,
a,i;+ (~s^) a,l,
(=^-2^)
X''+
228l^+lf
^
~~
X^—
12^X^(X^°+1 1
'
1)^
più brevemente:
wm=^'
(34*)
le cui radici
sono
i 60
di X
valori
Xi
il secondo
sarà
una
membro
funzione
Z,
come
,
X2
.
.
funzione
semisimmetrica
•
Xgo
,
simmetrica
di
di ij^,iji,y2,tjs,!/* e
questi
60
valori,
però razionalmente
276
Vili.
CAPITOLO
e/.,p, y
esprimibile per
125
^)-La (34) o (34*) è quindi,come
della
icosaedrale
Galois
di
risolvente
una
V^
e
§§. 124,
—
si
voleva,
equazione principale proposta
(28).
§. 125.
la
costruire
di
possibilità
equazione principale di
l'equazionegenerale
risolvere
Ma
modo
dell'icosaedro
ad
razionalmente
esprimere
[i
della
(IV)
colla
7
,
,
farsi si
da
Vv
,
nel
1 -3-=
Z 7
^
^
i_z
—
a^
1)Per
l. e,
pag.
"-
il calcolo
194
2) Klein
e
'-^(3
=
+
2
pag.
192
e
ss.
{i
4 w"
—
^7-2
(1— Z)'
seguenti
tre
Z
m'
V
f.)^
effettivo di Z iu funzione
ragone
pa-
n^
1—
j^
4Z
seguente ^).Il
n* +
m
'
7.
Z
... a
ss.
l. e,
^
[5ìu -\-7
12
ni-;—~^
1
tersi
po-
r(i=zV^
semplice calcolo, le
con
12
(38)
,15
1
—
(36)
(37)
m^ Y^
40
nf
3
quali deduciamo,
debbono
Z
+
—
--
dalle
data
n^-fw^
m
+
i:=z
-
,
48
—
—
che
grado
equazioni
le tre
\2m^n
+
^^^
-
di 5.°
n, Z
modo
1—
(35)
pure
•
eseguirà
fornisce
(28)
8w/+
--=
deve
zione
(IV), §.121 dell'equa-
Y
di m,
6
Za
radicali quadrati
per
a
Il calcolo che resta
possibilitàdi
identificare,come
cioè
e
convenientemente
arbitrio, disponendo
la
possiamo seguire in
di risoluzione
un'equazione principale(28)
con
per
ca.
principale delle
risolvente
la
possibile,
essere
inverso
cammino
un
la
coll'aggiuntadi
di S.'' grado
le effettive formole
dare
per
icosaedrale
in sostanza
quindi
e
icosaedri
di un'irrazionalità
e
certo
grado
dimostrato
ci hanno
di Galols
risolvente
una
5.°
§. precedente
del
considerazioni
Le
—
=
1
i
(4
razionale
nr
Z
—
-
di a,
-^-^^
p,7, V\7veg-gasi:
Klein
278
formole
Le
nelle
per
nel
(39),
§.
(20)
danno
125
di
valori
i
Z,
m,
delTequazione
radici
le
§.
—
di
principale
Riepiloghiamo
icosaedrica.
introdotti
che
n,
i
5.°
risultati
grado
ottenuti
teorema:
c[uadrate
generale
coir
e
aggiunta
ricerche,
Ulteriori
svolgere,
periodi
ElHptische
Nel
libro
la
della
di
Modulfundionem
risolve
si
del
Si
di
5.°
risoluzione
ottiene
equazione
di
il
.3.°
lettore
dalla
dipende
grado
radici
circolari
citato
troverà
e
consente
fa
quazione
dell'e-
delle
mezzo
per
risoluzione
di
divisione
per
dalla
dipendere
^).
nell'altra
ampiamente
di
opera
svolto
5
risoluzione
la
come
si
ci
non
metodo
un
analogamente
funzioni
volte
di
trascendente
grado,
5.°
così
che
ellittiche,
tante
di
grado
libro
presente
detta
così
estrazioni
con
icosaedrica.
dell'equazione
delle
Klein
grado
natura
alla
funzioni
dell'argomento
')
un'irrazionalità
(modulari).
delle
trigonometrica
di
o
generale
dell'equazione
5."
relative
sono
ellittiche
funzioni
di
che
dell'icosaedro,
dei
(42)
irrazionalità
dell'
mezzo
(41),
esprimono
121
L'equazione
di
vili.
CAPITOLO
Klein-Fricke
V
argomento.
sezione
tri-
INDICE
PARTE
Teoria
PRIMA
dei
di
gruppi
sostituzioni.
Capitolo
Sostituzioni
loro
e
1.
3.
Periodo
—
di
sostituzioni.
transitivi
Ginppi
-
ed
sitivi.
intran-
primitivi.
e
composizioue
sostituzione
mia
Sostituzioni
—
loro
e
di
Gruppi
—
impriniitivi
Sostituzioni
—
2.
composizione.
Gruppi
—
L
....
circolari
.....
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Trasposizioni
—
Sostituzioni
—
—
—
sostituzioni
e
trasformate
Concetto
di
Teorema
fondamentale
dispari
e
.
sostituzioni
o
alterno
Transitività
—
Teoremi
—
sui
Limite
—
—
ed
gruppi
superiore
Gruppi
dei
intransitività
Isomorfismo
gruppi
transitivi
del
transitività
di
grado
imprimitivi
16.
17.
gruppi.
dei
primitivi
e
Isomorfismo
—
Gruppi
—
oloedrico
generali
Sottogruppi
—
Griippo
—
Composizione
—
2
d' indice
sottogruppo
come
.
Capitolo
15.
operazion
di
.....
Gruppo
—
12-13.
§. 14.
simili
sostituzioni
e
di
gruppo
pari
finiti
invarianti.
complementare
e
IL
serie
di
meriedrico
o
di
composizione.
fra
i
Gruppi
di
un
di
Sylow.
pag.
.
30
33
operazioni
—
gruppi
I teoremi
—
.....
semplici
e
rispetto
gruppo
35
composti
ad
un
.
togruppo
sot-
suo
36
..........
18.
19.
20.
fondamentali
Teoremi
—
—
—
Fattori
Serie
di
di
per
composizione
composizione
e
di
la
della
teoria
composizione
43
Jordan
teorema
di
gruppi
isomorfi
39
.
....
45
....
280
.21.
22.
Serie
—
23-24.
25.
—
—
27.
—
28.
princiiiale
primo
del
composizione
Gruppi
ordine
di
.
totale
gruppo
Sylow
di
teorema
teorema
—
.
composizione
di
di Holder
teorema
e
Il secondo
—
29.
di
Serie
Il
—
26.
fattoriali
Gruppi
—
.
Sylow.
di
p'
....
Gruppi
semplici degli
Gruppi
semplici
ordini
d'ordine
da
1
60
=
.
Capitolo
Abeliani.
Gruppi
§.30-31.
32-33.
34.
Gruppo
—
40.
Periodo
—
41.
42.
delle
Sostitiizioni
—
.....
sostituzioni
siie
analitica
del
^-»+
sopra
del
del
g-rupjjo
finiti
Gruppi
come
§. 43.
Gruppi
—
44.
Poli
—
45.
—
48.
—
49.
—
50.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
lineari
sostituzioni
di
dei
ciclici
dell'ottaedro
Gruppo
dell' icosaedro
sfera
Gruppi
—
—
—
—
—
di
IV.
e
loro
un
sopra
finito
gruppo
di
gruppi
rotazioni
60
del
Orientazione
ampliati
dei
101
104
110
....
111
115
....
116
....
120
tetraedro
normale
99
....
specie
del
pac
105
rotazioni
rotazioni
geometrica
108
121
....
Le
rappresentazione
variabile
una
....
Cayley.
di 2.=»
Le
Gruppi
tetraedro
complessa
di
.
diedrali
Gruppo
Movimenti
—
e
3
^
poliedri regolari.
possibilitipi
Gruppo
Formola
—
.sostituzioni
composizione
modulare
variabile
una
di
del
La
—
51.
dei
sopra
rotazioni
delle
Grui^pi
—
47.
lineari
di
Enumerazione
—
46.
sostituzioni
di
gruppi
di
lineare.
i:"ery"
Capitolo
S, T
indici
gruppo
modulare
gruppo
serie
e
1
(p i^rimo)
fondamentali
metaciclico
gruppo
metaciclico
gruppo
totale
^" elementi
sopra
le
e
sostituzioni
del
iDarziali
Abeliani
generatrici
Semplicità
—
del
lineare
modulare.
gruppo
in gruppi
decomposizione
risolubili
metaciclico
Sottogruppi
—
39.
e
.....
gruppi
Rappresentazione
—
38.
dei
totale
lineare
Abeliano
gruppo
un
III.
Gruppo
—
loro
e
transitivi
Il gruppo
—
37.
di
Gruppi
—
36.
Base
—
Invarianti
—
35.
Abeliani
Gruppi
—
metaciclico.
Gruppo
—
100
a
gruppo
dei
e
dell'ottaedro
123
dell'icosaedro
124
poliedri regolari
i^oliedri regolari
.
127
129
281
PARTE
equazioni algebriche
delle
Teoria
SECONDA
Capitolo
Irriducibilità
delle
Risolventi
equazioni.
generali
Risolvente
—
loro
e
gruppo,
Galois.
V.
Galois
di
e
Equazioni
—
secondo
di
gruppo
composte
Galois
e
un'equazione.
per
riduzione
loro
a
—
successive
equazioni semplici.
§. 58.
Ii-riducibilità
—
59.
Teoremi
—
60.
61.
Suo
—
64.
65.
66.
67.
Transitività
—
70.
Gruppo
—
71.
Equazioni
—
72.
di
a
.
equazione
di Galois
gruppo
Galois
per
di Galois
generali
risolvente
della
ridotte
.....
Capitolo
Equazioni
di
Abeliane.
grado
"
n
Risolvente
§. 73.
74.
di
Abeliane
Risoluzione
—
76.
Caso
—
78.
di
delle
80.
82.
83.
Teoremi
—
—
—
-
di
n.
—
un'equazione.
di
grado primo
di
Equazioni
del
di
un'ausiliaria
di
Risolubilità
parziale
di
una
per
sola
qualunque
reali
coefficienti
.
.
dell'unità
p""
un'equazione
per
la risoluzione
di
un'equazione
per
radicali
dell'equazione generale
radicali
per
ciclico
gruppo
......
risolubilità
sulla
a
primitive
gruppo
a
risoluzione
Abeliana
Abeliane
radici
Insolubilità
Aggiunta
radicali
per
grado
un'equazione
un'equazione
alle
Abbassamento
—
di
formola
equazioni
Equazione
—
completa
81.
della
Risoluzione
—
77.
di
.......
radicali
per
Modificazione
—
VI.
risolubilità
di
equazioni semplici
Lagrange.
Equazioni
-
75.
79.
Condizioni
—
dell'equazione generale
....
successive
a
totale
il gruppo
.....
imprimitivo
gruppo
Galois
di
gruppo
gruppo
quantità
di
aggiunta
per
del
risolventi
Equazioni composte
—
fattori irriducibili
in
del
di
hanno
Galois
....
data
una
per
delle
Formazione
—
Galois
di
intransitività
che
di Kronecker
procedimento
e
.....
gruppo
od
Equazioni
—
69.
del
razionalità
risolvente
caratteristiche
Riduzione
—
di
razionalità
di
campo
.
irriducibili
decomposizione
Galois
di
dato
un
assoluto
risolvente
questa
di
Proprietà
—
68.
modo
Gruppo
—
al campo
della
di
in
equazioni
equazioni
Proprietà
—
63
di
Costruzione
—
62.
relativi
Esempi
—
delle
radicali
radice
.....
di un'ausiliaria
.
.
di
grado
n
"^
—
Risolventi
risolubili.
—
282
§.84.
di
Aggiunta
cubica
85.
radicali
reali
e
irriducibile
caso
di
risolventi
grado
n
di
dell'equazione generale
di
grado
87.
Equazioni
di
grado primo
88.
Risolvente
89.
La
90.
Equazioni
n
risolubili
Lagrange.
risolvente
di
Lagrange
raetacicliche
§.
91.
Equazioni
92.
93.
94.
circolo
delle
203
in
parti eguali.
effettive
I
—
dei
del
alle
di
periodi di Gauss
risoluzione
e
le
mediante
circolo
pag.
radici
primitive
dell'equazione X„
(x)
i
209
0
=
205
207
Kronecker
210
.
1
l'equazione
per
dell'unità
m""
polinomii X,„ (.r)secondo
Gauss
y] di
periodi
I
—
formolo
XI'—
95.
»
.
......
....
Abeliano
Gruppo
200
VII.
del
la divisione
per
Irriducibilità
—
5.'^^'
grado
eqviazioni di
grado
Costruzione
Equazioni X,„ {x)^0
—
—
197
......
(e).
t',.
complessi
—
—
194
...»
199
le
per
5.°
di
divisione
risolventi.
successive
numeri
la
per
191
........
Capitolo
Gauss
dell'equazione generale
n
»
Risolventi
di
grado "^
.........
86.
di
189
pag.
...........
Imj)ossibilitàdi
Equazioni
dell'equazione
0
=
213
X-
96.
La
—
97
98.
-Risolventi
il
=
successive
I casi i?
—
F".(yj) 0 ed
risolvente
5
,
7)
216
gruppo
dell'equazione
17
=
suo
e
i
poligoni regolari
217
0
=
^-
5
di
100.
101.
La
—
risolvente
Il teorema
—
Le
—
2."
di
di
funzioni
grado
l'equazione
per
reciprocità nella
risolventi
teoria
dei
102.
104.
Formole
—
fondamentali
Formole
—
di
risoluzione
Decomposizione
—
coniugati
di
le
per
un
con
—
un
per
la
F,(rj)
=
primo
equazione
§. 105.
106.
107.
Prima
—
—
gruppo
e
loro
di
con
5."
un
di
e
....
228
.
230
0
in
jì
fattori
complessi
parametro
del
monodromia.
loro
di
come
di
di
dei
Equazioni
—
5."
l'aggiunta
e
gruppo
..........
Vili.
risolventi
sue
mediante
grado
monodromia
algebrico
di
gruppo
dell'icosaedro
definizione
Il gruppo
225
quadratici
232
generale
Equazioni
—
222
0
..........
j)arametro
Equazioni
residui
,
Capitolo
Equazioni
?
espressioni (oj* s)
numero
219
226
(to'',
s),(o('vjq)
,
103.
lati
\
XV—
99.
17
e
6.°
e
grado.
un'irrazionalità
gruppo
monodromia
sottogruppo
algebrico
poliedri
Risoluzione
—
della
icosaedrica.
.
.
pag.
234
235
...»
invariante
lari.
rego-
del
236
283
Funzioni
108.
algebriclie
—
Nuova
109.
loro
e
definizione
del
Equazioni
110.
—
per
la
dei
poliedri
di
gruppo
—
critici
punti
divisione
monodromia
delle
dell'argomento
funzioni
cir
colari
.........
Equazioni
111.
—
regolari
....
Costruzione
112.
di
equazioni
queste
—
....
Loro
113.
di
gruppo
—
....
Sostituzioni
114.
Forme
del
omogenee
—
115.
monodromia
invarianti
del
Costruzione
116.
delle
G^^q
omogeneo
gruppo
—
^, H,
icosaedrali
forme
G,2o
icosaedrale
omogeneo
gruppo
—
T
.
117.
dell'icosaedro
L'equazione
—
.....
118.
Le
dell'
risolventi
icosaedro
metodo
e
—
invariantivo
per
la
loro
formazione
........
119.
ottaedrali
Le
forme
Le
risolventi
La
risolvente
La
risolvente'di
/
e
W
—
.
120.
di
5.°
delle
grado
—
e
u
delle
r
.
121.
—
Y
delle
principale
.
122.
6.°
grado
—
.....
L'equazione
123.
—
La
124.
—
125.
sua
di
di
Galois
risolvente
Risoluzione
—
r
principale
5."
grado
icosaedrale
generale
dell'equazione
di
5.°
grado
icosaedrica
irrazionalità
»
.......
CORREZIONE
Pag.
200,
linea
mediante
9,
manca
l'intestazione
del
§. 89.
276