Cosa vogliamo imparare?
• risolvere in modo approssimato equazioni del tipo
f(x)=0
che non solo risolubili in maniera esatta ed
elementare tramite formule risolutive.
• Esempio:
x log( x)  1  0
Interpretazione grafica
• Come sappiamo, risolvere un’equazione f(x)=0
equivale a risolvere il sistema
 y  f ( x)

y  0
e quindi equivale a trovare le intersezioni del
grafico di f(x) con l’asse x. Queste intersezioni
vengono anche chiamate le RADICI
dell’equazione f(x)=0.
Presupposti teorici
• Diciamo derivata seconda di una funzione
f(x) la derivata della derivata:
f’’(x)=(f’(x))’.
• Se f’’(x)>0 allora la funzione volge la
concavità verso l’alto, se f’’(x)<0 allora la
funzione volge la concavità verso il basso.
1° passo: separazione delle radici
• Separare le radici significa individuare, per
ciascuna radice (cioè per ciascuna
soluzione) c dell’equazione f(x)=0, un
intervallo [a,b] che la contenga e che non
contenga alcun’altra radice.
Per via grafica…
Esempio: xlog(x)-1=0. Scrivo questa equazione
nella forma log(x)=1/x e rappresento sullo
stesso piano cartesiano il grafico di log(x) ed il
grafico di 1/x:
Vediamo dunque
graficamente che vi è
un unico punto di
intersezione tra le due
curve, la cui ascissa c
è compresa fra 1 e 2:
1<c<2
oppure per via teorica…
• Teorema di esistenza della radice.
Se f(x) è continua in [a,b] e se assume
valori di segno opposto agli estremi
dell’intervallo [a,b], allora l’equazione
f(x)=0 ammette almeno una radice c
interna all’intervallo [a,b].
• Primo teorema di unicità della radice
Se f(x) è continua in [a,b] e derivabile in
(a,b), se f assume valori di segno opposto
agli estremi di [a,b] e se f’(x)≠0 in (a,b),
allora esiste un’ unica radice
dell’equazione f(x)=0 nell’intervallo (a,b).
• Secondo teorema di unicità della radice
Se f(x) è continua in [a,b] e derivabile 2
volte in (a,b), se f(x) assume valori di
segno opposto agli estremi di [a,b] e se
f’’(x) è sempre positiva o sempre negativa
in (a,b) allora l’equazione f(x)=0 ammette
una e una sola radice in (a,b).
2° passo: approssimare la soluzione
• Si tratta di applicare alcuni metodi che ci
permettano di trovare un valore
approssimato di c, dopo aver dimostrato
che c è l’unica radice dell’equazione f(x)=0
nell’intervallo considerato [a,b].
• Supponiamo di avere già separato le radici
e di sapere che l’equazione f(x)=0 ha una
sola soluzione c nell’intervallo (a,b).
• Costruiamo allora una successione an di
approssimazioni per difetto ed una
successione bn di approssimazioni per
eccesso della soluzione c, nel modo
seguente:
• Poniamo a0=a e b0=b. Supponendo di aver
determinato i termini n-esimi an e bn, i termini
successivi sono così definiti:
• Se f((an+bn)/2) ha lo stesso segno di f(an)
poniamo
an 1
an  bn

, bn 1  bn
2
• Se f((an+bn)/2) ha lo stesso segno di f(bn)
poniamo
an 1  an , bn 1
an  bn

2
• Se risulta f((an+bn)/2) =0, il valore (an+bn)/2 è la
soluzione cercata ed il procedimento termina.
• Se invece dopo n iterazioni del procedimento non si
verifica quest’ultima eventualità, avremo trovato una
successione di intervalli di indeterminazione per la
soluzione c:
a<c<b
a1<c<b1
…..
an<c<bn
L’ampiezza dell’ultimo intervallo è
bn  an 
ba
2n
• Dunque an e bn sono rispettivamente
un’approssimazione per difetto e per eccesso di c,
affette da un errore assoluto non superiore a
ba
2n
Esempio
Risolvere in maniera approssimata
l’equazione
xex-1=0
con il metodo di bisezione.
Separazione delle radici
Usiamo il metodo grafico.
Scriviamo ex=1/x e rappresentiamo sullo stesso
piano cartesiano il grafico di ex ed il grafico di 1/x.
Esiste una sola
intersezione tra i 2 grafici e
quindi una sola soluzione c
dell’equazione
xex-1=0 e tale soluzione è
compresa fra 0 e 1: 0<c<1
Metodo di bisezione
• Dividiamo a metà l’intervallo [0,1] e
prendiamo in considerazione il punto 0.5 e
calcoliamo la f(x) in x=0, x=0.5 e x=1:
f(0)=-1<0, f(0.5)≈-0.17563<0, f(1)=e-1>0
Quindi avremo che
0.5<c<1
• Dividiamo a metà l’intervallo [0.5,1] e
calcoliamo la f(x) in x=(0.5+1)/2=0.75:
f(0.5)<0, f(0.75) ≈0.58775>0, f(1)>0
Quindi avremo che
0.5<c<0.75
• Procedendo in questo modo, dopo 14 iterazioni del metodo descritto,
si avrà
0<c<1
0.5<c<1
0.5<c<0.75
…..
0.56689<c<0.56738
0.56714<c<0.56738
Possiamo perciò assumere il valore
0.567
come approssimazione della soluzione c dell’equazione xex-1=0,
esatta fino alla terza cifra decimale.
• L’errore assoluto commesso in questa approssimazione sarà
sicuramente inferiore a
1 0
 0.00006
14
2
y
B(b,f(b))
f(b)
f(x)
O
a
x1
x2
x3
x4
c
b
f(a)
A(a,f(a))
x
• Supponiamo f(x) continua in [a,b], derivabile 2 volte in
(a,b), f(a)<0, f(b)>0 e f’’(x)>0 in (a,b).
• Sappiamo allora, per il secondo teorema di unicità della
radice, che la radice c dell’equazione f(x)=0 è unica.
• Per determinarne un’approssimazione, dopo aver
disegnato il grafico di f, tracciamo il segmento di estremi
A(a,f(a)) e B(b,f(b)).
• L’ascissa x1 del punto d’intersezione di tale segmento con
l’asse x può essere considerata come una prima
approssimazione della soluzione vera c. Facendo i
calcoli, troviamo il valore di x1:
ba
x1  a 
f (a)
f (b)  f (a)
• Possiamo allora applicare nuovamente il
procedimento prima descritto all’intervallo
(x1,b), per ottenere una seconda
approssimazione x2. Si ricava:
b  x1
x2  x1 
f ( x1 )
f (b)  f ( x1 )
e risulta x2<c<b.
• Continuando in questo modo si costruisce una
successione ricorsiva xn così definita:
 x0  a

b  xn

 xn 1  xn  f (b)  f ( x ) f ( xn )
n

• Ovviamente avremo
a=x0<x1<x2<x3<…<b
• Si dimostra che la successione xn converge,
quando n tende a infinito, proprio alla soluzione
esatta c che vogliamo approssimare:
lim xn  c
n
Osservazioni
• La nostra formula è valida anche quando
f(a)>0, f(b)<0 e f’’(x)<0 in (a,b).
y
A
f(x)
O
a
x1
x2 c
b
B
x
• Quando invece abbiamo f(a)<0, f(b)>0 e
f’’(x)<0 in (a,b)….
y
f(x)
B
O
a
c
x2
A
x1
b
x
• …oppure abbiamo f(a)>0, f(b)<0 e f’’(x)>0
in (a,b)…
y
A
c
O
a
f(x)
x4
x3
x2
x1
b
x
• …allora la formula del metodo delle secanti
diventa
 x0  b

a  xn

x

x

f
(
x
)
n

1
n
n

f (a)  f ( xn )

In definitiva (regola):
• Il metodo delle secanti parte dall’estremo
in cui la funzione ha segno opposto a
quello della derivata seconda.
Esempio
Risolvere in maniera approssimata
l’equazione
x2-2-log(x)=0
con il metodo delle secanti.
Separazione delle radici
Scriviamo l’equazione data come
x2-2=log(x)
e rappresentiamo sullo stesso piano cartesiano
il grafico di x2-2 ed il grafico di log(x).
Esistono 2 punti di
intersezione tra i 2 grafici. A
noi interessa quello
compreso fra √2 e 2.
Cerchiamo dunque
un’approssimazione di c, con
√2 <c<2.
Metodo delle secanti
• Cominciamo a calcolare f(√2), f(2) e f’’(x):
f(√2)=(√2)2-2-log √2≈-0.346574<0
f(2)=4-2-log2≈1,30685>0
f’(x)=2x-1/x=2x-x-1
f’’(x)=2+1/x2>0 in (√2,2)
Il metodo dunque parte da x0=a=√2.
• Applichiamo la formula del metodo delle
secanti
 x0 
2

2  xn

 xn 1  xn  f ( 2)  f ( x ) f ( xn )
n

• Otteniamo così:
2 2
2 2
x1  2 
f ( 2)  2 
(0.346574)  1.537
1.30685  0.346574
f (2)  f ( 2 )
x2  x1 
2  x1
2  1.537
f ( x1 )  1.537 
(0.067463)  1.55973
f (2)  f ( x1 )
1.30685  (0.067463)
• Proseguendo in questo modo si ha
x3≈1.56365
x4≈1.56432
x5≈1.56444
x6≈1.56446
Come si vede, le prime 4 cifre decimali si sono
“stabilizzate”. E’ perciò ragionevole assumere il
valore
1.5644
Come approssimazione, esatta fino alla quarta
cifra decimale, della soluzione c dell’equazione
x2-2-log(x)=0 nell’intervallo (√2,2).
y
B(b,f(b))
f(b)
a
O
c
x3
f(x)
x2
x1
b
x
• Supponiamo f(x) continua in [a,b], derivabile 2 volte in
(a,b), f(a)<0, f(b)>0 e f’’(x)>0 in (a,b).
• Sappiamo allora, per il secondo teorema di unicità della
radice, che la radice c dell’equazione f(x)=0 è unica.
• Una prima approssimazione di c, dopo aver disegnato il
grafico di f, sarà data dall’intersezione x1 della retta
tangente alla curva nel suo punto B(b,f(b)) con l’asse x.
• L’equazione della tangente suddetta è
y-yB=m(x-xB) → y-f(b)=f’(b)(x-b)
• Ponendo y=0 nell’ultima equazione scritta, si ottiene x1:
f (b)
x1  b 
f ' (b)
• Possiamo applicare nuovamente il
procedimento prima descritto al punto
B1(x1,f(x1)), per ottenere una seconda
approssimazione x2. Si ricava:
f ( x1 )
x2  x1 
f ' ( x1 )
e risulta a<c<x2 <x1 <b.
• Continuando in questo modo si costruisce una
successione ricorsiva xn così definita:
 x0  b

f ( xn )

 xn 1  xn  f ' ( x )
n

• Ovviamente avremo
a<…<x3 <x2 <x1 <…<b=x0
• Si dimostra che la successione xn converge,
quando n tende a infinito, proprio alla soluzione
esatta c che vogliamo approssimare:
lim xn  c
n
Osservazioni
• La nostra formula è valida anche quando
f(a)>0, f(b)<0 e f’’(x)<0 in (a,b).
y
A
f(x)
x2
O
a
c
x1
b
x
B
• Quando invece abbiamo f(a)<0, f(b)>0 e
f’’(x)<0 in (a,b)….
y
f(x)
O
a
x1
x2
x
c
A
b
• …oppure abbiamo f(a)>0, f(b)<0 e f’’(x)>0
in (a,b)…
B
y
a
c
O
x2
f(x)
x1
b
x
• …allora la formula del metodo delle tangenti
diventa
 x0  a

f ( xn )

x

x

n

1
n

f ' ( xn )

In definitiva (regola):
• Il metodo delle tangenti parte dall’estremo
in cui la funzione ha lo stesso segno della
derivata seconda.
Esempio
Risolvere in maniera approssimata
l’equazione
x2-2-log(x)=0
con il metodo delle tangenti.
Separazione delle radici
Scriviamo l’equazione data come
x2-2=log(x)
e rappresentiamo sullo stesso piano cartesiano
il grafico di x2-2 ed il grafico di log(x).
Esistono 2 punti di
intersezione tra i 2 grafici. A
noi interessa quello
compreso fra √2 e 2.
Cerchiamo dunque
un’approssimazione di c, con
√2 <c<2.
Metodo delle tangenti
• Cominciamo a calcolare f(√2), f(2) e f’’(x):
f(√2)=(√2)2-2-log √2≈-0.346574<0
f(2)=4-2-log2≈1,30685>0
f’(x)=2x-1/x=2x-x-1
f’’(x)=2+1/x2>0 in (√2,2)
Il metodo dunque parte da x0=b=2.
• Applichiamo la formula del metodo delle
tangenti
 x0  2

f ( xn )

 xn 1  xn  f ' ( x )
n

• Otteniamo così:
x1  x0 
x2  x1 
f ( x0 )
f (2)
1.30685
 2
 2
 1.62661
f ' ( x0 )
f ' (2)
3.5
f ( x1 )
f (1.62661)
0.159362
 1.62661 
 1.62661 
 1.56621
f ' ( x1 )
f ' (1.62661)
2.63844
• Proseguendo in questo modo si ha
x3≈1.56446
x4≈1.56446
Come si vede, le prime 4 cifre decimali si sono
“stabilizzate” dopo solo 4 iterazioni. E’ perciò
ragionevole assumere il valore
1.5644
come approssimazione, esatta fino alla quarta
cifra decimale, della soluzione c dell’equazione
x2-2-log(x)=0 nell’intervallo (√2,2).
• Il metodo delle secanti fornisce sempre
un’approssimazione per difetto della
soluzione cercata, mentre il metodo delle
tangenti fornisce sempre
un’approssimazione per eccesso.
• Questa osservazione ci suggerisce la
possibilità di usare contemporaneamente i
2 metodi.
Esempio
Determinare la soluzione dell’equazione
1+x-x10=0
contenuta nell’intervallo (-1,0), con un
errore inferiore a 10-4.
Separazione delle radici
Scriviamo l’equazione nella forma 1-x=x10 e
rappresentiamo sullo stesso piano cartesiano i
grafici di 1-x e di x10:
Come si può vedere,
vi sono 2 radici: una
compresa fra -1 e 0
(quella cui siamo
interessati) e una
compresa fra 0 e 1.
Metodo congiunto secanti-tangenti
• Consideriamo la funzione
f(x)=1+x-x10
• Calcoliamo
f’(x)=1-10x9, f’’(x)=-90x8<0 , f(-1)=-1<0, f(0)=1>0.
• Chiamiamo tn e sn le successioni di
approssimazioni della radice c compresa fra -1 e
0, ottenute rispettivamente con il metodo delle
tangenti e con il metodo delle secanti.
• Essendo f’’(x)<0, il metodo delle tangenti parte
da t0=-1 e il metodo delle secanti parte da s0=0.
• Eseguiamo il primo passo con il metodo delle
 1  s0
1  0
secanti:
s1  s0 
f (1)  f ( s0 )
f ( s0 )  0 
1 1
1  0.5
• Eseguiamo il primo passo con il metodo delle
tangenti:
f (t0 )
1
t1  t0 
f ' (t0 )
 1 
11
 0.9090909
• Abbiamo così ottenuto un nuovo intervallo di
indeterminazione per la soluzione c:
-0.9090909<c<-0.5
• L’errore assoluto da cui sono affette tali
approssimazioni non è superiore a
|-0.9090909-(-0.5)|=0.4090909
• Applichiamo nuovamente il metodo delle
secanti e delle tangenti a tale intervallo:
 0.9090909  (0.5)
s2  s1 
f (0.5)  0.75722168
f (0.9090909)  f (0.5)
f (t1 )
f (0.9090909)
t2  t1 
 0.9090909 
 0.85287348
f ' (t1 )
f ' (0.9090909)
• Abbiamo quindi un’approssimazione per difetto
e per eccesso di c:
-0.85287348<c<-0.75722168
• Tali approssimazioni sono affette da un errore
non superiore a
|-0.85287348-(-0.75722168)|=0.09565≈0.1
• Continuando nel modo descritto si hanno i risultati riassunti
in questa tabella:
n
tn
sn
ε=|tn-sn|
0
1
2
3
4
-1
-0.9090909
-0.85287348
-0.83619338
-0.8350835
0
-0.5
-0.75722168
-0.83009768
-0.83505916
1
0.41
0.1
0.0061
0.000025
• Le approssimazioni ottenute al 4° passo sono affette dunque
da un errore assoluto inferiore a 10-4
• Dunque possiamo affermare che il valore approssimato
della soluzione c, con 4 cifre decimali esatte, è
-0.8350
Valutazione dell’errore
• Una volta determinata una soluzione approssimata
dell’equazione da risolvere è importante valutarne il
grado di precisione.
• Con il metodo di bisezione o con l’uso congiunto di
secanti-tangenti tale problema è già risolto perché in
entrambi i casi si determina un’approssimazione per
eccesso e per difetto della soluzione.
• Se invece non si applica uno di questi metodi, si
costruisce, con i metodi studiati, una successione di
approssimazioni, fino a determinarne 2 consecutive che
coincidono per il numero di cifre decimali che ci
interessa.
• Tale metodo è empirico: l’esattezza delle cifre decimali
così determinate è altamente probabile, ma non
matematicamente certa.
Velocità di convergenza
• Segnaliamo che il metodo delle tangenti è quello
che garantisce la convergenza più rapida, cioè è
quello con il quale si ottiene una buona
approssimazione della soluzione cercata in un
numero relativamente basso di iterazioni.
• Il metodo di approssimazione più lento è invece
rappresentato da quello di bisezione.
• Tali differenze però diventano irrilevanti quando i
metodi studiati vengono applicati con l’uso di un
computer o di una calcolatrice programmabile.