Equazioni di secondo grado
La forma normale di un’equazione di secondo grado è la seguente:
2
ax  bx  c  0
Se sono presenti il termine di secondo grado, il termine di primo
grado e il termine noto l’equazione si dice “ completa “
a coefficiente del termine di secondo grado
a0
b coefficiente del termine di primo grado
c
termine noto
Le “ soluzioni “ di un’equazione di secondo grado si chiamano anche
“ radici ”.
Le radici sono due e si possono determinare con la
“ formula risolutiva delle equazioni di secondo grado ”.
Si perviene alla formula
risolutiva delle equazioni
di secondo grado applicando
i principi di equivalenza
all’equazione scritta in
forma normale
ax  bx  c  0
2
ax 2  bx  c  0
4a 2 x 2  4abx  4ac  0
4a 2 x 2  4abx  4ac
4a 2 x 2  4abx  b 2  b 2  4ac
2ax  b 2
 b 2  4ac
2ax  b   b 2  4ac
2ax  b  b 2  4ac
Quindi le due radici sono:
 b  b 2  4ac
x1 
2a
 b  b 2  4ac
x
2a
 b  b 2  4ac
x2 
2a
b  4ac  0
2
Le due radici sono reali se
Il binomio b  4ac prende il nome di “ discriminante ” .
Il suo simbolo è la lettera greca “delta”
2
  b 2  4ac
Risolvendo un’equazione si può presentare uno dei seguenti casi:
0
le due radici sono reali e distinte
 b  b 2  4ac
x1 
2a
0
le due radici sono reali e coincidenti (radice doppia)
x1  x2  
0
 b  b 2  4ac
x2 
2a
le due radici non sono reali
b
2a
Se il coefficiente
Si pone
b
è pari la formula risolutiva può essere semplificata.
b  2
b

2
quindi
ax 2  2  x  c  0
x
 2 
2 2  4ac
2a


 2   4  2  4ac  2   4  2  ac



2a
2a
2
b
b


   ac
2
2
2
 2   2   ac 2      ac
     ac
2
2




2a
2a
a
a


La “ formula risolutiva ridotta ” è la seguente:
2
b
b
     ac
2
2
x 
a
Esempi
Se l’equazione di secondo grado non è completa può essere
risolta, in modo più rapido, senza applicare la formula risolutiva.
Se manca il termine di primo grado l’equazione si dice “ pura ”
ax  c  0
2
tale equazione ammette due radici reali opposte solo se
Il coefficiente a e il termine noto c sono discordi.
Le due radici sono:
c
x1   
a
x2   
c
a
Esempi
Se manca il termine noto l’equazione si dice “ spuria ”
ax 2  bx  0
Tale equazione ammette due radici reali, una delle quali è nulla.
Per risolverla si mette in evidenza l’incognita
xax  b  0
e si applica la legge di annullamento del prodotto, cioè si
uguagliano a zero i due fattori
x  0  x1  0
ax  b  0  x2  
b
a
Esempi
Se mancano sia il termine di primo grado che il termine noto
l’equazione si dice “ monomia ”
ax 2  0
Le due radici sono nulle
x1  x2  0
In un’equazione di secondo grado è possibile scrivere delle relazioni
tra i suoi coefficienti e le sue radici.
Basta sommare e moltiplicare le radici.
Somma delle radici
 b  b 2  4ac  b  b 2  4ac
b
x1  x2 


2a
2a
a
Prodotto delle radici
 b  b 2  4ac  b  b 2  4ac c
x1  x2 


2a
2a
a
Quindi le relazioni sono le seguenti:
b
x1  x2  
a
c
x1  x2 
a
c
x1  x2 
a
b
x1  x2  
a
Queste relazioni permettono di trovare l’equazione di secondo grado
note le sue radici.
2
ax  bx  c  0
x2 
b
  x1  x2 
a
b
c
x 0
a
a
c
 x1  x2
a
In seguito alla sostituzione si ha:
x 2  x1  x2 x  x1  x2  0
Esempi
Le relazioni tra i coefficienti
e le radici di un’equazione
consentono di scomporre
facilmente un trinomio di
secondo grado
ax 2  bx  c 
b
c

 a x 2  x   
a
a

 a x 2  x1  x 2 x  x1  x 2 

 ax

2

 x1  x  x 2  x  x1  x 2 
 ax x  x1   x 2 x  x1  
 a x  x1  x  x 2 
Per scomporre un trinomio di secondo grado è sufficiente
uguagliare a zero il trinomio, risolvere l’equazione e, se le radici sono
reali, sostituire i numeri giusti nella seguente formula:
ax  bx  c  ax  x1 x  x2 
2
Esempi
Tramite le equazioni di secondo grado è possibile trovare due numeri
reali conoscendo la loro somma e il loro prodotto.
x  x1  x2 x  x1  x2  0
2
Indicando con s la somma e con p il prodotto delle radici
x 2  sx  p  0
Quindi le radici dell’equazione sono i numeri cercati.
Esempi
Equazioni di secondo grado parametriche
Un’equazione di secondo grado si dice parametrica se, oltre all’incognita,
vi compare un’altra lettera.
Tale lettera prende il nome di “parametro”.
Nelle equazioni parametriche occorre determinare, se possibile,
il valore o i valori da attribuire al parametro per far sì che le radici
verifichino determinate condizioni.
Nella maggior parte dei casi questo problema si risolve ricorrendo alle
relazioni tra i coefficienti e le radici:
b
x1  x2  
a
c
x1  x2 
a
Esempi
Problemi di secondo grado
La risposta a molti problemi che si presentano nelle applicazioni pratiche
si può ricondurre alla risoluzione di un’equazione di secondo grado.
Lo schema di ragionamento da seguire si articola in diverse fasi:
- attraverso la lettura del testo del problema e l’analisi dei dati si
individua la grandezza che possa essere considerata come incognita;
- si traduce l’enunciato del problema nel linguaggio algebrico, cioè
si esprime con un’equazione il legame tra l’incognita e i dati, in pratica
si costruisce il cosiddetto “ modello matematico ”;
- si risolve l’equazione;
- si verifica se le soluzioni calcolate soddisfano le condizioni del problema.
Esempi
Quesiti a risposta aperta
Quesiti a scelta multipla
Vero o falso
Scheda di autovalutazione