Di Crosara Andrea
 Ci proponiamo di trovare una strategia risolutiva per
l’equazione di secondo grado completa
ax 2  bx  c  0
 dove a, b, c, sono tutti diversi da 0.
 Utilizziamo il secondo principio di equivalenza e
moltiplichiamo ambo i membri per 4a ≠ 0 ottenendo così la
seguente equazione, equivalente alla precedente:
4a 2 x 2  4abx  4ac  0
 Ora aggiungiamo ad ambo i membri b elevato alla seconda
raggiungendo così un quadrato di binomio completo nel
primo membro e spostiamo 4ac nel secondo membro
4a 2 x 2  4abx  b 2  b 2  4ac
 Ora scriviamo il trinomio sotto forma di quadrato
2ax  b 2  b 2  4ac
2
 L’espressione b  4ac   è chiamata discriminante e si
possono distinguere tre casi: se è maggiore, minore o pari a 0.
 1) Se ∆ è maggiore di zero l’equazione può essere vista come
un’equazione pura 2ax  b 2  b 2  4ac che si risolve
estraendo la radice quadrata ad entrambi i membri
2ax  b   b 2  4ac
2ax  b  b 2  4ac
da cui si ottiene
Dividendo entrambi i membri per 2a si ottengono i valori di x
2
 2ax   b  b  4ac infine, semplificando il primo membro, si
2a
2a
 b  b 2  4ac

ottiene: x 12 
FORMULA RISOLUTIVA
2a
 ESEMPIO: risolviamo l’equazione 2 x 2  5 x  3  0
x1
2
5  25  42 3 5  49 5  7



4
4
4
x1 
57
1

4
2
x2 
57
3
4
 2) Se b 2  4ac   è minore di zero l’equazione è impossibile
perché bisognerebbe estrarre una radice di un numero
negativo
 ESEMPIO: proviamo a risolvere l’equazione
7 x 2  5x  9  0
 x 12
5  25  47 9 5   227


4
4
nessuna soluzione reale
e infine
2
b
3) se il discriminante  4ac   è pari a zero allora sia x1
sia x2 sono uguali alla soluzione x   b2a 0   2ba
 ESEMPIO: proviamo a risolvere l’equazione
9 x 2  12 x  4  0
12  144  494 12 2
x1 


2
 si ha:
18
18 3
2
2
x

1
 Oppure: scriviamo l’eq. come quadrato 3 x  2   0
2
3
1
2
Se nell’equazione di secondo grado ax 2  bx  c  0 il
coefficiente b del termine di primo grado è un numero pari
la formula risolutiva può essere modificata ad una forma più
semplice ponendo b  2k la formula risolutiva diventa così
x1
2
 b  b 2  4ac  2k  4k 2  4ac


2a
2a
raccogliendo un 4 sotto radice e portando fuori un 2 si ha
x1

2

 2k  4 k 2  ac
 2k  2 k 2  ac


2a
2a
infine, raccogliendo un 2 e dividendo per esso si ha:
x1

2

 2 k  k 2  ac
 k  k 2  ac


2a
a
Essendo
la formula assume
ESEMPIO: proviamo ora a risolvere una equazione
Il discriminante dell’equazione ridotto si indica con
la quarta parte del discriminante infatti
perché è
Ma se il primo coefficiente è uguale a uno si può scrivere anche
così