ANALISI D’IMMAGINE
CAPITOLO 8
Filtri di Fourier
A. Dermanis, L. Biagi
Trasformazione di Fourier, continua e discreta, in due dimensioni
Trasformazione di Fourier continua
f(x,y)  F(u,v)
+ +
F(u,v) =
Trasformazione inversa
+ +
f(x,y) =
Trasformazione di Fourier discreta
fij  Fuv
f(x,y) e–i2(ux+vy) dxdy


– –
1
Fuv =
NM
Trasformazione inversa
N
fnm =
F(u,v) ei2 (ux+vy) dxdy


– –
N
M

fnm e
–i 2
vm
( un
+
N M )
n=1 m=1
M
 F
uv
e
i 2
vm
( un
+
N M )
u=1 v=1
A. Dermanis, L. Biagi
f(x)  F()
g(x)  G()
h(x)  H()
Teorema di convoluzione nel continuo
+
g(x) =
h( – x) f() d  f(x)  h(x)

–

G(u) = F(u) H(u)
fij  Fuv
gij  Guv
hij  Huv
Teorema di convoluzione nel discreto
+
gij =
+
 
n = – m = –

+
hi–n,j–m fnm =
+
 
hnm fi–n,j–m
n = – m = –
{gij} = {hij}  {fij}

Guv = Huv Fuv
A. Dermanis, L. Biagi
Applicazione del teorema di convoluzione
{fij}
DFT
Convoluzione
+
gij = 
{ Fuv}
Moltiplicazione
+
 hi–n,j–m fnm
Guv = Huv Fuv
n = – m = –
{gij}
DFT
Inversa
{Guv}
A. Dermanis, L. Biagi
Filtri circolari
Passaalto
Passabasso
1
0
1
0
1
1
A. Dermanis, L. Biagi
Un esempio di filtraggio con Fourier
Originale
Filtro passabasso, R = 100
Transformata di Fourier
Filtro passabasso, R = 75
Filtro passaalto, R = 50
Filtro passabasso, R = 50
A. Dermanis, L. Biagi