La gravitazione
« Il mio spirito ha misurato il cielo, ora misura la profondità della terra »
Copernico
TychoBrahe
Teoria
eliocentrica
Condusse studi sul
moto dei pianeti e
della luna
Keplero
Tre leggi sul moto
dei pianeti
Newton
Legge della gravitazione
universale
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Le leggi di Keplero
Prima legge (1608)
L'orbita descritta da un pianeta è un'ellisse, di cui il Sole
occupa uno dei due fuochi.
Per la prima volta nella storia della scienza Keplero elimina dall'astronomia le
sfere celesti e ipotizza per i pianeti un moto diverso da quello circolare.
Osserviamo che, poiché l'ellisse è una figura piana, i moti dei pianeti avvengono
in un piano, detto piano orbitale. Per la terra tale piano è detto eclittica.
Seconda legge (1609) o legge delle aree
Il raggio vettore che unisce il centro del Sole con il centro del pianeta
descrive aree uguali in tempi uguali.
Terza legge (1619)
I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono direttamente
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proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle loro orbite.
I legge di Keplero

Nella figura è rappresentata un'orbita ellittica, con indicati i suoi
parametri caratteristici: semiasse maggiore (a), semiasse minore
(b),
semi-distanza
focale
(c),
eccentricità
(e).
Tra questi parametri esistono le relazioni seguenti:
L'ellisse in figura ha un'eccentricità di circa 0.5
e potrebbe rappresentare l'orbita di un
asteroide. I pianeti hanno in realtà eccentricità
molto più piccole: 0.0167 per la Terra , 0.0934
per
Marte,
0.2482
per
Plutone.
La distanza dei pianeti dal Sole non è
costante, ma varia da un massimo (afelio) ad
un minimo (perielio).
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II legge di Keplero
La velocità orbitale non è costante, ma varia lungo l'orbita. Le due
aree evidenziate nella figura qui a fianco sono infatti uguali e
vengono quindi percorse nello stesso tempo. In prossimità del
perielio, dove il raggio vettore è più corto che all'afelio, l'arco di
ellisse è corrispondentemente più lungo.
Ne segue quindi che la velocità
orbitale è massima al perielio e
minima all'afelio. Per l'orbita qui
raffigurata, la velocità al perielio
è circa 3 volte la velocità
all'afelio.
La velocità areolare è costante.
Sul pianeta viene esercitata una
forza centrale, cioè diretta
secondo la congiungente tra il
pianeta e il sole.
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III legge di Keplero
I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono
direttamente proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori
delle loro orbite.
Questa legge è valida anche per i satelliti che orbitano intorno ai pianeti e
può essere espressa in forma matematica nel modo seguente:
dove K è una costante (a volte detta di Keplero), che dipende dal corpo
celeste preso in considerazione (il Sole o qualcuno degli altri pianeti).
Per un'orbita circolare la si riduce a
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La gravitazione universale
Secondo le leggi di Keplero, i pianeti che ruotano
intorno al Sole non si muovono in linea retta ma
descrivono delle orbite chiuse; lo stesso vale per
la Luna che ruota intorno alla Terra.
Il Principio di inerzia di dice che pianeti e satelliti
devono essere soggetti a una forza
Questa forza è la stessa che fa cadere gli oggetti al
suolo.
Isaac Newton (1642-1727) nella seconda metà del
‘600 intuì l’esistenza di una forza universale che
fa si che tutti i corpi che possiedono una massa si
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attraggano tra loro
Formulazione matematica
Se
si considerano due
masse m ed M ad una
distanza r, tra di esse
esiste
una
forza
attrattiva
che
è
direttamente
proporzionale a ciascuna
massa e inversamente
proporzionale
al
quadrato della distanza
mM
F G 2
r
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Esempi
Se una delle due masse raddoppia, la forza di gravitazione raddoppia
Se anche l’altra massa raddoppia, la forza diventa quattro volte più grande
Tenendo fisse le masse, se la distanza raddoppia la forza diventa 4 volte più piccola
Se la distanza triplica, la forza diventa 9 volte più piccola e così via
La forza diminuisce molto rapidamente al crescere della distanza. Questo spiega perché
stando sulla Terra, sentiamo molto l’attrazione della Terra e poco quella delle Stelle 8
La costante G
La Costante di Gravitazione
Universale è una costante
della natura, che non dipende
quindi né dalle proprietà dei
corpi che si attraggono, né
dalla loro posizione.
Il valore di questa costante fu misurato per la prima volta dal fisico inglese
Henry Cavendish nel 1798 per mezzo di una bilancia di torsione. Dal
punto di vista operativo, essa si può definire come l'intensità della forza di
interazione tra due corpi sferici, ciascuno di massa pari a 1 kg e posti a
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distanza di 1 m l'uno dall'altro.
La velocità dei satelliti
Per i satelliti artificiali, così come
per quelli naturali, valgono delle
regole atte a calcolare la loro
velocità. Tuttavia, per la
semplificazione dei calcoli, sono
presi in considerazione i seguenti
punti:
 L'orbita del satellite viene
considerata come circolare;
 Il satellite si muove attorno
ad un corpo puntiforme con
una certa massa;
 Anche il satellite è un corpo
puntiforme.
Per le leggi del moto
uniforme, è noto che
centripeta si calcola
formula:
circolare
la forza
con la
v2
F  m
R
e ancora, per la legge di
gravitazione universale, la forza
gravitazionale si calcola con la
formula:
mM
F G 2
r
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I satelliti geostazionari ( i GPS)

Tuttavia, per creare una
situazione di equilibrio,
cioè fare in modo che il
satellite ruoti attorno ad
un corpo e non precipiti
su di esso, la forza
centripeta
dev'essere
uguale alla forza di
gravitazione: FC=FG
v
mM
m  G 2
R
R
2
v
G  M (terra)
R
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