La Gravitazione
Modelli di universo
I protagonisti
• Platone (IV sec. a.C.)
– Il cielo, perfetto ed immutabile esige che
i moti delle stelle siano cerchi
– Il moto dei pianeti, erranti tra le stelle,
devono essere comunque combinazioni
di moti circolari
• Eudosso (IV sec. A.C.)
– Modello geocentrico, piuttosto
complicato, completato da Aristotele
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I protagonisti
• Aristarco di Samo (III sec. a.C.)
– Modello eliocentrico in grado di
spiegare:
• Moto d’insieme delle stelle fisse come moto
apparente
• Variazione stagionale dell’altezza del Sole
sull’orizzonte
• Moto retrogrado dei pianeti
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I protagonisti
• Tolomeo (II sec. d.C.)
– Modello geocentrico perfezionato in
grado di prevedere con accuratezza le
posizioni delle stelle e dei pianeti
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I protagonisti
• Copernico e la rivoluzione
copernicana (1543)
– Modello eliocentrico:
• I pianeti ruotano attorno al Sole in orbite
circolari, con diversa velocità; ciò spiega il
moto retrogrado dei pianeti
• La Terra ruota, oltre che attorno al Sole,
anche attorno ad un proprio asse; ciò
spiega il moto delle Stelle fisse.
• Riprende l’ipotesi di Aristarco
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I protagonisti
• Tycho Brahe
– Raccolse per circa vent’anni dati
riguardanti le posizioni dei pianeti e
delle stelle
– Osservò e studiò il moto di una cometa
scoprendo che si muoveva in una orbita
attorno al Sole
– Osservò una ‘supernova’
– Permise a Keplero di dedurre le sue tre
leggi
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I protagonisti
• Keplero
– Sui dati di Brahe si accorse di alcune
anomalie nel moto di Marte
– Abbandonò l’ipotesi dei moti circolari dei
pianeti
– Formulò le sue famose tre leggi
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I protagonisti
• Galileo e il ‘suo’ cannocchiale
– Scopre che la Luna ha un aspetto simile
a quello della Terra con valli e montagne
– Scopre che Giove possiede dei satelliti
che gli ruotano attorno
– Giustifica da un punto di vista ‘fisico’ il
movimento di rotazione della Terra
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I protagonisti
• Newton
– Introduce la legge di gravitazione
universale che giustifica le tre leggi di
Keplero, spiegando le interazioni tra i
corpi celesti
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Keplero
Le tre leggi
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Prima legge di Keplero
• I pianeti si muovono su orbite
ellittiche delle quali il Sole occupa
uno dei due fuochi
• Conseguenza:
– Il pianeta non si trova sempre alla
stessa distanza dal Sole
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Seconda Legge di Keplero
• Le aree descritte dai raggi congiungenti
il pianeta al Sole sono proporzionali ai
tempi impiegati a descriverle
• Conseguenza:
– La velocità di un pianeta nella sua orbita
intorno al Sole non è costante
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Terza Legge di Keplero
• I quadrati dei tempi di rivoluzione dei
pianeti sono proporzionali ai cubi dei
semiassi maggiori
2
3
1
3
2
T1
R

2
T2
R
R  kT
3
1
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2
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La Legge di
gravitazione
universale
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La deduzione della legge di
gravitazione
• Ipotesi iniziali
– Le leggi della dinamica valgono anche
per i corpi celesti
– La forza che obbliga la Luna a ruotare
attorno alla Terra è la stessa che fa
cadere i corpi sulla Terra
– L’orbita della Luna è praticamente
circolare
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Un po’ di calcoli
aP   2 RPS
2
T
1
T 2  RPS 3 (per la III legge di Keplero)
k
4 2 k
FSP  mP
RPS 2

4
aP  2 RPS
T
4 2 k
aP 
RPS
3
RPS
2
Risulta quindi una forza inversamente proporzionale al quadrato
della distanza
mP
FSP  4 k
2
RSP
2
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L’intuizione di Newton
mP
FSP  4 k
RSP 2
2
se si pone CS  4 2 k
si
ottiene
FSP  CS mP
1
RSP 2
Una formula analoga deve valere anche per altri sistemi:
Giove e i suoi pianeti, Terra e Luna,
ognuno con un C diverso
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L’intuizione di Newton
1
FSP  CS mP
2
RSP
1
FPS  CP mS
2
RPS
Per il 3° principio della dinamica la Terra deve esercitare sul
Sole la stessa forza che il Sole esercita sulla Terra
FSP  FPS
cioè
CS mP  CP mS
CS CP

 ....  G
mS m P
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Costante di
gravitazione
universale
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La legge di Newton
CS CP

 ....  G
mS mP
cioè
1
FSP  CS mP 2
RSP
Per cui sostituendo nella formula
Si ottiene:
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CS  mS G
mS m P
FSP  G
R2
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