LE PROPRIETA’ DELLE FUNZIONI E LA LORO
COMPOSIZIONE
a cura del prof. G. de Ruvo - IPSIAM
Molfetta
FUNZIONI A TRATTI
Una funzione è a tratti se per definirla nel suo dominio occorrono
due o più equazioni. Ad es.
y
Tale funzione non si può definire
mediante una sola equazione ma si
potrebbe fare tramite due:
(0;1)
x
(0;-1)
1
f (x )  
 1
se x>0
se x<0
Funzioni a tratti possono essere funzioni in cui compaiono dei moduli. Ad es.
y x
così definita
x
y
 x
se x>0
se x<0
FUNZIONE PARI
f : D  R  R è pari se e solo se x  D
La funzione
f ( x)  f ( x)
In tal caso la curva ha come asse di simmetria l’asse y,
infatti i punti P(x;f(x)) e Q(-x;f(-x)) sono simmetrici rispetto
all’asse y.
Verifichiamo che la funzione
Q
P
f(-x)=f(x)
y  x2  1
è pari e costruiamone il grafico.
Secondo la definizione deve essere
y( x)  y( x)
Sappiamo che y ( x )  x  1 calcoliamo y(-x):
2
y (  x )  (  x )2  1  x 2  1  y ( x )
FUNZIONE DISPARI
La funzione
f : D  R  R è dispari se e solo se x  D
f ( x)   f ( x)
In tal caso la curva ha centro di simmetria nell’origine,
infatti i punti P(x;f(x)) e Q(-x;f(-x)) sono simmetrici rispetto
all’ origine.
f(x)
-x
P
Stabiliamo se la funzione y=x3 è dispari e
costruiamone il grafico.
x
Secondo la definizione deve essere
y(-x)=-y(x)
Q
-f(x)
Sappiamo che y(x)=x3, calcoliamo
y(-x)=(-x)3=-x3=-y(x)
Pertanto la funzione assegnata è dispari
Stabilisci se le seguenti funzioni sono pari o dispari:
y  x 3
1
y  2x 
x
2
pari
pari
4
y  x 1
3
y  2x  x
3
né pari né
dispari
pari
Poiché l’espressione di y(x) è già data, basta calcolare
l’espressione y(-x) e confrontarla con y(x).
ALCUNE OSSERVAZIONI
•Se una funzione è pari o dispari si può limitare lo studio
delle sue caratteristiche alla parte positiva del suo dominio.
•Se la funzione è definita da un polinomio, essa è pari se
nella sua espressione analitica compaiono solo potenze pari
di x, mentre è dispari se compaiono solo potenze dispari di
x, per es.
y  3x  2
pari
y  x  3x
dispari
4
y  x 1
3
né pari né dispari
FUNZIONI PERIODICHE
Sia f una funzione definita da R in R, tale funzione è
periodica di periodo T se:
x  R
T  0
f ( x  kT )  f ( x)
y
-2
0
T
2
T
4
x
T
Tale funzione ha periodo T=2
Se una funzione periodica è nota su un intervallo di ampiezza T, è
nota ovunque, pertanto è sufficiente studiare una funzione
periodica in un intervallo pari al suo periodo.
FUNZIONI MONOTO’NE
Sia
f :I  RR
I intervallo
x , x  I
•f è costante in I se
1
si ha
2
f (x )  f (x )
1
2
f(x1)=f(x2)
a
x1
•f è strettamente crescente in I se
x1<x2
si ha
f (x )  f (x )
1
x2
b
x , x  I
1
2
con
2
f(x1)
f(x2)
a
x1
x2
b
• f è non decrescente o crescente debolmente (crescente in
senso lato) in I se
con x1<x2
allora
f ( x1 )  f ( x2 )
x , x  I
Ad esempio la funzione:
funzione non decrescente
1
2
se x<1
x

y  f ( x )  1
x  2

se 1<x<3
se x>3
è non decrescente in R
Il grafico di una funzione
non decrescente può salire
o stabilizzarsi.
•f è strettamente decrescente in I se
x1<x2
1
si ha f ( x1 )  f ( x2 )
Il grafico di una funzione
decrescente “scende” se lo si
osserva da sinistra verso destra
x , x  I
2
f(x1)
f(x2)
x1
x2
con
• f è non crescente o decrescente debolmente (decrescente in
senso lato) in I se
con x1<x2
x , x  I
f (x )  f (x )
1
allora
1
2
2
x  2x  3
y  f ( x)  
2
2
La funzione
se x<-1
se x>-1
è non crescente in R.
Il grafico di una funzione non
crescente
può scendere o
stabilizzarsi
funzione decrescente debolmente
4
3
2
1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
Le funzioni che godono di una delle proprietà indicate (sempre
strettamente crescente o sempre strettamente decrescente in un
intervallo) si dicono monotòne che significa di tono o andamento
uniforme.
In alcuni casi è molto importante stabilire se in un certo
intervallo una funzione assume un valore più grande o più
piccolo di tutti gli altri:
Sia
f :I  RR
x I
e
0
I intervallo
x0 è un punto di minimo relativo per f in I se esiste un
intorno sferico B di centro x0 (Bxo), tutto contenuto in I,
tale che, comunque si scelga un x appartenente a Bxo, f(x)
è maggiore o uguale di f(xo); in simboli:
B  I
x  B
xo
x0
f(x)
f(xo)
a
x
xo
b
f ( x)  f ( x )
0
Un punto di minimo relativo
non può cadere in uno degli
estremi dell’intervallo perché
sarebbe impossibile trovare un
intorno sferico di centro xo
contenuto
nell’intervallo
considerato.
xo è un punto di minimo assoluto per f in I se, comunque si
scelga x appartenente ad I, f(xo) è minore o uguale a f(x):
x  I
f ( x)  f ( x )
0
f(xo) si dice minimo o valore minimo di f.
assoluto
possono anche cadere negli
estremi
dell’intervallo
considerato.
Se
cadono
all’interno possono anche
essere punti di minimo
relativo.
I punti di minimo
a=x0
b
a=x0 punto di minimo assoluto,
non è minimo relativo
a
x0
b
x0 è un punto di minimo
assoluto e anche di minimo
relativo
x0 è un punto di massimo relativo per f in I se esiste un
intorno sferico B di centro x0 (Bxo), tutto contenuto in I,
tale che, comunque si scelga un x appartenente a Bxo,
f(x) è minore o uguale di f(xo); in simboli:
B  I
x0
x  B
f ( x)  f ( x )
0
xo
f(x0)
f(x)
a
x
x0
b
xo è un punto di massimo assoluto per f in I se,
comunque si scelga x appartenente ad I, f(xo) è
maggiore o uguale a f(x):
x  I
f ( x)  f ( x )
0
f(x0) si dice
massimo o valore
massimo di f



ALCUNE CONSIDERAZIONI
Un punto di massimo relativo non può cadere in uno degli
estremi dell’intervallo considerato (fig.a);
Un punto di massimo assoluto può cadere in uno degli
estremi dell’intervallo considerato (fig.b);
Un punto di massimo relativo può essere un punto di
massimo assoluto (fig.c).
f(x0)
a
x0
b
a
fig.a)
b=x0
fig.b)
fig.c)
a
x0
b
I punti di massimo o minimo
sono anche detti punti
estremanti
FUNZIONI COMPOSTE
g : A  B ed f : B  C
Sia
A,B,C sono tre insiemi
f, g sono due funzioni, allora
esiste una funzione
h: AC
che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento
di C, ossia:
ha   f  g a    f  g a 
a  A
h è la funzione composta
f(g(a) si legge f di g di a
 f  g a  si legge g composto con f di a e si scrive da
destra a sinistra in quanto la funzione che compare a
sinistra è la funzione esterna.
A
f
g
a
B
g(a)
f(g(a))
C
OSSERVAZIONI
Per comporre due funzioni f e g, occorre che il codominio
Cg di g, coincida con il dominio Df di f
ma la
composizione di funzioni ha significato anche quando si
supponga soltanto che:
Cg  Df o Cg  Df
Risalire alle funzioni componenti:
y  1  x
2

3
pensa di dare un effettivo valore a
x e di calcolare con la calcolatrice la funzione assegnata.
x
 x  1 
 x  1
g : x  x  1 y 
g:RR
2
g
2
f
3
2
f : y  y   x  1 
3
2
 f  g: R  R
3
f :RR
in tal caso Cg=Df
y  log x
2
g : x  x  y 
g:RR
2

0
f : y  log y log x
in tal caso
quindi
cioè per
dunque
C D
g
log x
2
2

f :R R

f
ha significato per
x0
 f  g  : R  0  R
x 0
2
Si possono comporre anche più di due funzioni
f:A
B
g:B
C
k  g  f  : A  D
x  A
k:C
è così definita
k   g  f  x   k  g  f  x 
A
B
C
f
D
g
x
D
f(x)
k
g(f(x))
k(g(f(x)))
1
x
 x  1 
 x  1 

x 1
2
f
g
2
k
2
f : x  x 1
2
g:x x
1
k:x
x
1
k   g  f  x  
x 1
2